Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Океанические циркуляции и математическое моделирование поля скоростей крупномасштабных океанических течений 18
1. 1. Основные характеристики и причины океанических циркуляции 18
1.1.1. Поверхностная циркуляция в океанах 19
1.1.2. Вертикальное движение воды и глубинная циркуляция 22
1.2. Основные гидрографические характеристики необходимые для определения параметров циркуляции в океане 23
1. 3. Основные подходы к теоретическому исследованию океанических циркуляции 31
1.4. Математическое моделирование поля скоростей крупномасштабных океанических течений 36
1. 4.1. Квазигеострофические модели для расчета скорости крупномасштабных течений в океане 36
1.4.2. Методы сопряжения 40
1.4. 2.1. Целевая функция, сильные и слабые ограничения 40
1. 4. 2. 2. Методика сопряжения 41
1.4. 3. Краткий обзор некоторых моделей, использующих адаптацию данных 43
1.4. 3.1. Обратная модель для двухмерных гидрографических секций 44
1. 4. 3. 2. Метод Вунша 47
1.4. 3. 3. Инверсные модели гидрографической коробки 50
1.4. 3. 4. Метод /? -спирали 52
1.4. 3. 5. Четырехмерные модели 54
1.4. 3. 6. Трехмерные модели 56
Выводы 58
Глава 2. Конечно-элементный метод расчета двухмерного поля скоростей течений через гидрографическую секцию (FEMSECT) 59
2.1. Конструкция модели 60
2. 2. Дискретизация уравнений, входящих в модель 61
2.2.1. Конечно-элементная дискретизации уравнений модели 63
2.2.1.1. Линейные базисные функции для скорости 63
2.2.1.2. Кусочно-непрерывные постоянные базисные функции для скорости 64
2. 2. 2. Исследование дискретизированных уравнений геострофического баланса в области с идеализированной геометрией 65
2. 2. 3 Флуктуации рассчитанного поля скорости 67
2. 3. Исследование характеристик течений в проливе Фрама 68
Выводы 76
Глава 3. Инверсный конечно-элементный метод определения трехмерного поля скоростей течений (IFEOM) .77
3.1. Конечно-элементная модель океана FEOM 78
3.1.1. Соотношения, используемые в модели... FEOM 78
3.1.2. Атмосферный фактор 81
3.1. 3. Конечно-элементная дискретизация 81
3.1.4. Коррекция скорости 83
3.1.5. Уравнение для потенциальной плотности 84
3.1.6. Дискретизация исходных формул 85
3. 2. Конструирование модели...IFEOM 87
3.2.1. Контролируемые и зависимые параметры 87
3.2.2. Строгие и слабые ограничения, целевая функция 89
3.2.3. Вывод сопряженных уравнений 90
3.2.4. Коррекция уровня возвышения водной поверхности 94
3.2.5. Дискретная формулировка IFEOM 95
Выводы 99
Глава 4. Результаты исследования характеристик океанических течений с помощью обратного конечно-элементного метода IFEOM и их обсуждение 100
4.1. Исходные данные для проведения расчетов 102
4.2. Анализ климатологических данных 104
4.3. Прогностическая оценка плотности баротропного потока . 108
4.4. Выбор значений весовых коэффициентов в целевой функции 117
4.5. Ассимиляция климатологических данных атласа Левитуса 118
4.6. Офаничения, накладываемые на градиент давления с глубиной 120
4.7. Ассимиляция климатологических данных атласа Левитуса с использованием офаничения на градиент давления с глубиной (Эксперимент LEV) 121
4. 8. Ассимиляция климатологических данных атласа Лозиера с использованием ограничения на градиент давления с глубиной. (Эксперимент LOZ) 127
4. 9. Замечания по поводу рассчитанного поля скорости 130
4.10. Исследование величины объемных транспортов через некоторые гидрологические секции в северной Атлантике 130
4.11. Анализ годичной изменчивости объемных транспортов через некоторые гидрологические секции в северной Атлантике 140
Выводы 146
Заключение 147
Литература
- Вертикальное движение воды и глубинная циркуляция
- Дискретизация уравнений, входящих в модель
- Конечно-элементная дискретизация
- Прогностическая оценка плотности баротропного потока
Введение к работе
Актуальность работы
Мировой океан - важная часть климатической системы земли. Он взаимодействует с земной атмосферой, меняя ее влажность и температуру, которая также в свою очередь влияет на свойства водных масс. Океанские течения и крупномасияабная циркуляция перераспределяют эти водные массы по обширной территории, приводя таким образом к глобальному взаимодействие между океаном и атмосферой. Для того, чтобы улучшить наше понимание земной системы климата и качество прогноза его изменений, требуется знание крупномасштабной океанской циркуляции, ее тенденций и изменчивости.
Ввиду того, что крупномасштабные океанические течения осуществляют транспорт огромного количества энергии, их характеристики существенно влияют на экологическое состояние отдельных регионов планеты и биосферы в целом. Климат на нашей планете во многом зависит от характера крупномасштабных океанических течений. Так, например, зона максимальной температуры или термический экватор располагается примерно на 5 с. ш. Его положение зависит от распределения суши и моря в обоих полушариях, но больше всего от влияния, которое они оказывают на океаническую циркуляцию. Океанские течения, которые переносят тепло по направлению к полюсам Земли (например, Гольфстрим в северо-западной части Атлантического океана) отчетливо выделяются на карте горизонтальных распределений температур в виде положительных температурных аномалий. Аномалии среднегодовых температур, показывающие отклонение наблюдаемых значений от средних на данной широте, хорошо отражают влияние адвективного переноса тепла от теплых океанических течений. Одна из них достигает 10 С и более над северо-восточной частью Атлантического океана, что связано с переносом тепла Гольфстримом и Северо-Атлантическим течением. Стоит отметить, что наметившуюся в последние годы тенденцию увеличения среднегодовой температуры ряд ученых относит не к влиянию антропогенных факторов, а к изменению характера океанических течений. От длительных и крупномасштабных изменений параметров океанических течений зависят условия жизни людей. Влияя на климат, они определяют условия хозяйствования, уклад и уровень жизни населения планеты.
Кратковременные изменения характера течений могут определять погоду в отдельных регионах планеты. Знание текущих характеристик гидрологической обстановки может помочь избежать чрезвычайных ситуаций и катастроф.
Важную роль играют течения как переносчики биогенных элементов в океане. Благодаря им осуществляются условия, необходимые для существования трофических цепей пелагиали. Так, в зонах дивергенции происходит подъем в зону фотосинтеза глубинных вод, богатых питательными для продуцентов веществами. Поэтому области апвеллинга характеризуются значительной биологической продуктивностью на всех трофических уровнях. Важна роль течений и как переносчика теригенных и антропогенных и примесей в океане. Вышесказанное далеко не полностью описывает необходимость изучения океанических течений, однако уже сказанное показывает, что разработка методов оценки скоростей и направлений таких течений весьма актуальна.
В настоящее время из общей гидродинамики в самостоятельное направление выделилась дисциплина - гидрофизическая гидродинамика. Она изучает такие движения сплошной среды, для которой существенную роль играют вращение всей системы и стратификация среды. Именно совместное влияние вращения и стратификации определяет своеобразие явлений, изучаемых геофизической гидродинамикой. Она охватывает широкий круг явлений, происходящих на Земле. Это, в частности, движение планетарных атмосфер, движения мантии в жидком ядре Земли, геострофические движения в атмосфере и океане и т. д. Одной из наиболее важных в прикладном и общенаучном отношении является изучение крупномасштабных, имеющих геострофический характер, течений в океане. Именно на больших масштабах наиболее четко проявляется общность характера движений в океане. Наиболее отличительной чертой поверхностной циркуляции Мирового океана является хорошо выраженная западная интенсификация циркуляции в каждом из океанов. В северной части Атлантического океана, например, направленная в основном против часовой стрелки циркуляция имеет небольшие скорости от 1 до 10 см/с, за исключением узкого течения Гольфстрим, прижатого от к западной границе от Флориды до мыса Гаттерас, где оно поворачивает в открытый океан. Величественны течения, подобные Гольфстриму. Ширина его в области сильного течения составляет от 50 до 100 км при типичной скорости течения 100 см/с (максимальная - примерно 200 см/с), что соответствует импульсу единицы объема жидкости -100 г см'2 с*1. О грандиозности Гольфстрима свидетельствует также величина его полного расхода. Оценка величины скорости переноса воды через поперечное сечение Гольфстрима имеет порядок 90 млн. м3 в секунду. Об отчетливой западной интенсификации океанской циркуляции говорит также существование мощных течений Куросио в Тихом океане, Бразильского течения в южной Атлантике и течения Агульяс вблизи побережья восточной Африки. В то же время океаны отличаются такими характеристиками, как особенности формы, топографии дна и стратификации, климатические условия, а также полем касательного напряжения ветра, которые влияют на характер крупномасштабных циркуляции. Эти факторы приводят к большому пространственно-временному разнообразию течений в Мировом океане. В принципе, точное решение основных уравнений гидродинамики с соответствующими граничными и начальными условиями дает требуемую информацию относительно любой конкретной проблемы. Однако уравнения движения для реальной системы настолько сложны, что точное аналитическое решение может быть найдено лишь в редких случаях. Геострофическое приближение приводит к очень простым соотношениям, однако информации о движении, содержащейся в геострофических соотношениях недостаточно для полного определения динамики движения. Характер поля океанических течений оказывается зависимым от малых сил, каждая из которых мала по сравнению с силой Кориолиса, что делает аналитическую задачу весьма трудноразрешимой. Поэтому в гидрофизической гидродинамике широко используют численные методы. Для их использования необходима совокупность исходных экспериментальных данных. Основная гидрофизическая информация, имеющая практический характер, поступает от исследовательских судов, постоянно ведущих в океане измерения основных гидрологических характеристик - температуры и солености на различных глубинах, топографии дна, локальных скоростей и направлений течений, состояние атмосферы и др. Уровень возвышения поверхности океана над геоидом определяется по данным спутниковой алтиметрии (Торех / Poseidon altimeter). Однако систематизация этих данных осложнена тем, что проводятся измерения на неравномерной сетке и с разной плотностью числа измерений. Причем эти разнородные данные имеют существенно разные методические и приборные ошибки, а, например, данных о скоростях течений гораздо меньше, чем данных о температуре и солености. В связи с этим встает важный вопрос о разработке методов получения карты крупномасштабных океанических течений, параметры которых являются результатом согласованного оптимального учета всей имеющейся совокупности экспериментальных гидрологических данных.
Несмотря на постоянное совершенствование вычислительной техники, существующие численные модели все еще далеки от возможности достаточно полно описать реальный океан. Лучшая стратегия в этой ситуации состоит в том, чтобы комбинировать данные наблюдений и океанских моделей и искать компромисс между ними с учетом априорной информации относительно погрешностей данных и модели - подходом, известным под несколькими общими названиями, такими как ассимиляции данных или обратного метода. Существующие методы не позволяют в настоящее время достаточно успешно решить эту задачу ввиду ряда присущих им недостатков. В связи с этим разработка и исследование нового метода, позволяющего на основании массива гидрофизических данных, получить самосогласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды в океане, является весьма актуальной.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование численных конечно-элементных методов обработки массива гидрофизических данных, позволяющих получить самосогласованные крупномасштабные поля скоростей течений и плотности воды в океане.
Для достижения поставленной цели в диссертации сформулированы следующие задачи: - разработка метода, позволяющего на основании массива гидрофизических данных, получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана; исследование стационарных самосогласованных трехмерных полей распределения скоростей течений и плотности воды в северной части Атлантического океана, полученных с помощью разработанного метода; - разработка метода определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанного на ее конечно-элементной дискретизации; - исследование двухмерных полей скорости течений и объемных транспортов воды через гидрографическую секцию, полученных с помощью разработанного метода;
Предметом исследования настоящей работы являются численные конечно-элементные методы получения самосогласованных крупномасштабных полей скоростей и плотности воды в океане на основании массива гидрофизических данных.
Объектом исследования являются пространственно-временные характеристики крупномасштабных полей распределения скоростей течений и плотности воды в океане.
На защиту выносятся:
1. Численный конечно-элементный метод обработки массива гидрофизических данных, позволяющий получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана.
2. Численный метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации.
3. Результаты исследования характеристик самосогласованных полей распределения скорости течений и плотности воды в северной части Атлантического океана
Научная новизна работы в целом заключается в разработке методов и алгоритмов решения адаптационной гидродинамической задачи, позволяющих на основании разнородных гидрофизических данных получать оптимизированное поле скоростей океанических течений.
В отличие от предыдущих исследований, в настоящей работе стационарные поля скоростей течений и плотности воды в океане получены численным методом непосредственно из стационарной модели с более полным, чем это было ранее, учетом топографии океана за счет использования конечно-элементного метода дискретизации. Наиболее важными новыми результатами работы являются: - метод получения оптимально согласованных крупномасштабных трехмерных полей скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана на основании анализа массива гидрофизических данных; - метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации; - стационарные трехмерные поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода обработки массива гидрофизических данных; значения объемных транспортов воды через гидрографические секции в разных частях северной Атлантики; величина среднего меридионального оборота в северной части Атлантического океана.
Практическое значение полученных результатов заключается в том, что разработаны методы решения обратной гидродинамической задачи, позволяющие определять взаимосогласованные 2-х и 3-х мерные стационарные поля скоростей течений и плотностей воды в океане на основании гидрографических данных, полученных на неравномерной гидрологической сетке. Эта информация крайне важна при решении задач связанных с обработкой экспериментальных гидрологических данных, исследованием крупномасштабных океанических процессов и их влияния на биосферу в целом в экологии, океанологии, климатологии, метеорологии и др. Научное и практическое значение также имеют: результаты расчетов стационарного трехмерного поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода усвоения массива гидрофизических данных. значения оценок стационарных переносов масс в разных частях северной Атлантики, в том числе через сечения пролива Фрама, полученных с помощью разработанного конечно-элементного метода получения двухмерных стационарных полей течений через гидрологические секции. - результаты расчетов временной изменчивости и среднего значения меридионального оборота в северной части Атлантического океана.
Достоверность результатов обеспечена использованием при их получении надежных и проверенных теоретических представлений, методов и технологий, численными расчетами, проведенными на основании полученных соотношений с использованием современных сверхмощных компьютеров, оценками величин и характера вытекающих из них зависимостей с использованием надежных исходных данных, систематической проверкой полученных результатов данными, заимствованными из литературных источников, сравнительным анализом результатов, полученных новыми и независимыми традиционными методами.
Внедрение результатов работы. Результаты исследований, полученных в диссертационной работе, использовались при выполнении в 2001-2002 г. г. научно- исследовательской работы "Разработка экспрессного метода экологического мониторинга акваторий" номер гос. регистрации 01200109372 и в ГБ НИР ФПБЭИ-2К за 2004 г.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: XXXVII научная конференция студентов и аспирантов (Санкт-Петербург, 2001);
Ill doctorandinnen Tag des AJfred-Wegener-lnstitutes in Bremenhaven (Bremenhaven, Germany, 2002); VIII и IX Санкт-Петербургские международные конференции "Региональная информатика" (Санкт-Петербург, 2002 и 2004 г. г.); The 2nd International workshop on unstructured grid numerical modelling of coastal, shelf and ocean flows. Delft University of technology (Delft, Holland, 2003);
Всероссийская научно-техническая кон<реренция "Биотехнические системы в XXI веке" (Санкт-Петербург, 2004);
1st General Assembly of European Geosciences Union (Nice, France, 2004);
Научно-практическая конференция «Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий», СПб, 2004;
Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава СПб государственного электротехнического университета 2004 и 2005 г. г.
Всероссийская научно-техническая конференция "Наука-производство-технологии-экология", Киров, 2005.
2nd General Assembly of European Geosciences Union (Vienna, Austria, 2005)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе -2 статьи, 6 докладов и 4 тезиса к докладам на консреренциях.
Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). Математические расчеты на основании разработанной модели проводились в Институте Альфреда Вегнера (AWI), Бременхавен, Германия.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и общих выводов, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Основная часть работы изложена на 118 страницах. Работа содержит 44 рисунка и 5 таблиц.
В первой главе рассмотрено современное состояние проблемы экспериментального и теоретического изучения крупномасштабной динамики водных масс в океанах, а также проведен краткий анализ современных методов экспериментального измерения основных гидрологических характеристик. На основании проведенного рассмотрения сделан вывод о том, перед исследователем имеется громадный массив разнородной информации, полученной различной аппаратурой (и, соответственно, с разной точностью), в разное время и с различной плотностью данных на трехмерной гидрологической сетке. Зто требует разработки методов обработки имеющейся информации, учитывающих указанные выше ее особенности, с целью получения наиболее надежных обобщенных данных, Поэтому одновременно с проведением экспериментальных океанологических исследований актуальной является разработка численных методов, позволяющих ассимилировать результаты этих измерений и получать поля крупномасштабных океанических течений.
Отмечено, что основные уравнения гидродинамики совместно с граничными условиями, в принципе, могут служить основой для решения задачи определения динамики морских и океанических течений. Однако аналитическое решение такой системы нелинейных уравнений возможно лишь при весьма идеализированных предположениях. Его удается получить лишь в рамках простейшей геострофической модели циркуляции бароклинного океана. Численное же решение для реальных задач с учетом максимального набора рассматриваемых факторов и высоким уровнем дискретизации удается выполнить лишь на самых мощных ЭВМ с использованием большого количества машинного времени.
Проведен краткий обзор некоторых обратных моделей, используемых для ассимиляции данных. Отмечено, что двумерные модели гидрофафическои секции просты, но в полной мере не учитывают потоки тепла и соли через фаницы, кроме того они не дают полной картины явления. Анализ существующих методов ассимиляции (согласования) данных при решении задач определения трехмерных стационарных полей скоростей течений показал, что они основаны на использовании упрощенных геострофических гидродинамических уравнений и поэтому не позволяют достаточно полно описать реальный океан. Кроме того, они дают неоднозначные решения при поиске минимума целевой функции в процессе адаптации данных. Отмечено, что общим недостатком двух- и трехмерных моделей является отсутствие условия сохранения массы. В то же время использование четырехмерных моделей требует очень большого машинного времени, что заставляет уменьшать набор исходных данных и приводит к низкому качеству получаемых результатов Необходимо отметить, что численное решение рассмотренных задач проводится с использованием метода конечных разностей. Этот метод требует использования равномерной гидрологической сетки, что не позволяет должным образом учесть сложную топографию дна и боковых границ. В то же время существует метод конечных элементов, который в принципе не требует указанного ограничения и позволяет более полно описать топографию границ рассматриваемой области.
Проведенный анализ позволяет обосновать выбранное направление исследований, сформулировать цели и задачи работы, в результате решения которых будут разработаны методы определения параметров крупномасштабных океанических течений на основании гидрологических данных, что имеет важное народно-хозяйственное значение.
Во второй главе предложен новый метод под названием FEMSECT, предназначенный для определения величины массопереноса через двухмерную гидрографическую секцию на основании гидрографических данных. Отличительными особенностями FEMSECT являются использование конечных элементов для численного решения уравнений геострофического баланса и объединение решений этих уравнений с экспериментальными данными, полученными с неподвижных платформ, методом наименьших квадратов. При этом в качестве конечных элементов использованы треугольники, которые позволяют естественным путем описать форму границ дна в тех случаях, когда возможность применения конечно-разностных методов представляется неясной. Второе преимущество вытекает из строго определенных правил интерполяции, которые позволяют привязывать модельные переменные к местам получения экспериментальных данных. Для вычисления скорости течения в узлах сетки, где проводились измерения солености и температуры, предложено разложение непрерывных функций по линейным базисным функциям, а для значений скорости между узлами - на кусочно-непрерывных постоянных базисных функциях. Из уравнений геострофического баланса с использованием FEMSECT были вычислены поля скоростей переноса объемов воды через идеализированную область в виде треугольника и рассматривались условия, при которых можно получить точное значение объемного транспорта. Полученные значения объемных транспортов сравнивались с результатами, даваемыми другими методами
Показано, что в случае нелинейно изменяющегося поля плотности воды метод конечных элементов почти на порядок величины более точен, чем динамический метод. Полученный результат позволяет считать, что конечно-элементный метод является перспективным для использования в задачах расчета величины потока через гидрографические секции.
Разработанный метод использован для оценки характеристик транспорта объема воды и тепла через пролив Фрама - глубокого протока между Арктическим и Северным морями. Для него имеется обширный набор данных о температуре, солености и скорости течения, полученных с использованием стационарных датчиков и необходимых как для проведения расчетов, так и проверки работоспособности разработанной модели. Установлено, что метод FEMSECT дает возможность, в отличие от предыдущих методов, в которых использовалась конечно-разностная дискретизация, объяснить ряд характеристик транспорта объема воды и тепла, полученных на основании экспериментальных данных.
В третьей главе предложен и обоснован метод, предназначенный для оптимального объединения (ассимиляции) экспериментальных данных. В состав блок-схемы IFEOM входит прямая и обратная (сопряженная) модели. Прямая конечно-элементная модель служит для расчета гидродинамических характеристик океан (зависимых параметров). В качестве нее использован модифицированный вариант разработанной ранее модели FEOM, позволяющей численно решать стационарные уравнения гидродинамики с конечно-элементной дискретизацией для заданных гидрофизических переменных. Модификация модели FEOM заключалась в переводе используемых в ней операторов в матричную форму, что обеспечило эффективность ее применения в IFEOM. Обратная (сопряженная) модель, разработана для определения модельных данных на основании рассчитанных гидродинамических характеристики океана. В ней матрицы операторов представляют собой транспонированную форму матриц операторов прямой модели. В качестве контролируемых параметров в IFEOM используются значения поля плотности р, ветрового напряжениях и баротропного транспорта через открытые фаницы vob. Причем плотность воды рассчитывается на основании исходных данных о температуре Т и солености S и использовано адвекционно-диффузионное уравнение для потенциальной плотности (вместо двух разных уравнений для температуры и солености. Компромисс между решением, вытекающими из модели IFEOM и экспериментальными данными достигнут путем минимизации целевой функции, которая штрафует отклонение значений плотности воды, даваемых моделью, от экспериментальных данных, а также включает несколько других характеристик, которые отражают наше априорное знание относительно океана. Так, для обеспечения однозначности решения при поиске минимума целевой функции примененено предложенное автором дополнительное офаничения. А именно, в целевую функцию включен член, который штрафует отклонение даваемого 1FEOM глубоководного градиента давления (ниже 2000 м) от значения, полученного из прямой модели FEOM. Физический смысл этого офаничения состоит в сохранении характеристик глубоководной циркуляции неизменными в процессе ассимилияции данных. Это ограничение приводит к адаптации поля плотности в верхних слоях океана, что согласуется с априорными знаниями о том, что изменения структуры плотности наблюдаются в пределах термоклина.
Решение проблемы минимизации получено методикой адаптации данных, общей для такого типа проблем и также используется в методе FEMSECT. Использование этой методики требовало разработки модели, сопряженной к стационарной FEOM. Решение этой задачи было облегчено тем, что основная часть FEOM сформулирована в матричной форме.
В четвертой главе разработанный метод IFEOM использована для реконструкции циркуляции в Полярной Атлантике, на основаннии климатологических данных гидрографических атласов Левитуса и Лозиера, перекрывающих период с 1950 до 1995. Проведено вычисление интегральных характеристик Полярной Атлантической циркуляции, таких как баротропная функция тока и циркуляции меридионального кругооборота. Кроме того определены величины массопереноса через несколько секций WOCE и проведено сравнение наших результатов с оценками, полученными иными методами. Показано, что инверсия средних климатологических данных Лозиера согласуется намного лучше с другими имеющимися оценками, чем инверсия данных Левитуса. Инверсия средних климатологических данных атласа Лозиера, за отдельные пятилетия показывает только ограниченную изменчивость со среднеквадратичным отклонением в несколько единиц Sv (106 м3 с"1) для баротропной функции потока и около 0,5 106 Sv для меридионального кругооборота.
Ключевой частью IFEOM, обеспечивающей успешную ассимиляцию данных без нарушения динамического равновесия - это ограничение, накладываемое на глубоководный фадиент давления, предложенное автором. Градиент глубоководного давления использован в качестве ориентира для задания исходных данных при запуске FEOM, усредненных по некоторому промежутку времени. Физическим обоснованием этому является то, что при ассимиляции данных главные изменения должны произойти в структуре плотности верхних уровней, а изменения характеристики океана на больших глубинах (значительно ниже главного термоклина) должны быть минимальны. Если не использовать это положение, то имеется тенденция, приводящая к появлению неуравновешенного гидростатического давления и поверхностных градиентов давления при ассимиляции данных плотности (или температуры и солености). Это проявляется как смещение баротропной скорости в океанской циркуляции.
В целом, проведенное рассмотрение показывает, что значения объемных транспортов, полученных с использованием предложенного метода IFEOM (в результате ассимиляции данных Левитуса и данных Лозиера) и с помощью других моделей близки. Это свидетельствует о работоспособности метода IFEOM. В то же время в ряде случаев с помощью IFEOM удается получить новую информацию о характеристиках крупномасштабных течений, что обусловлено большими возможностями метода отражать реальную картину изучаемых процессов в океане.
В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.
Вертикальное движение воды и глубинная циркуляция
Одним из основных источников, которые управляют океанскими потоками, является градиент плотности. Эта характеристика редко измеряется непосредственно. Обычно плотность воды рассчитывают на основании полей температуры, солености и давления с использованием уравнения состояния морской воды. Уравнение состояния, связывающее плотность с температурой, соленостью и давлением, получено на основании лабораторных экспериментов и включает три многочлена с 41 константами [431. Оно позволяет получить значение плотности с точностью Ю кГ/м3.
Поля температуры, солености и давления в настоящее время обычно измеряют с борта экспедиционного гидрографического судна обычно с помощью погружаемых электронных измерительных приборов - CTD (Conductivity Temperature Depth) -зондов. Результаты измерений электропроводности и температуры регистрируют в цифровой форме в зависимости от глубины погружения зонда с борта судна. Температуру обычно измеряют термистером, удельную проводимость определяют индукционным измерителем электропроводности, а давление - тензометрическим датчиком с использованием кристалла кварца в качестве чувствительного элемента.
Типичные значения погрешностей определения основных параметров морской воды современными приборами - представлены в таблице 1.1
Давление, давление не только указывает глубину, на которой ведется наблюдение, но и переменная (характеристика состояния), которая используется при вычислении большинства физических свойств воды. Часто используемой единицей измерения давления являются децибары (dbars). Один децибар соответствует 104 паскалям (кг м с"1). Согласно международному океанологическом соглашению, под давлением понимается превышение давления на глубине над давлением на поверхности океана, то есть это полное давление при р=0 на поверхности океана.
Температура. Температура последние 22 года приводится в Международной практической температурной шкале 1968 (IPTS-68). Все алгоритмы для расчета физических свойства морской воды были разработаны с использованием шкалы IPTS-68.
Международный комитет мер и весов (Comite International des Poids et Mesures) рекомендовал принятие Международной температурной шкалы в 1990 г. (ITS -90). ITS -90 вводит точку плавления галлия (29,7646С) в качестве точки отсчета в новой температурной шкале. Тройная точка воды (0,0100С) осталась неизменной в ITS -90 и используется следующее линейное соотношение, выполняющееся с точностью в пределах 0.5Ю"3оС: Г68 = 1,00024 (1.1) для установления соотношения между шкалами IPTS-68 и ITS - 90 в океанографическом температурном интервале (Saunders, и al 1991). Соленость. СТД датчики обычно не измеряют соленость непосредственно, а регистрируют электропроводность воды. Большинство CTD зондов калибровано так, что измеряют электропроводность воды в миллисименсах на сантиметр (мС/см). Однако, для вычисления солености требуется относительный коэффициент электропроводности R. Относительный коэффициент электропроводности среды есть электропроводность среды, деленная на электропроводность воды с соленостью 35/оо (PSS-78), температурой 15С (IPTS-68) при стандартном атмосферном давлении Р-- 1,013250 бар. R = C(S,T,P)/C(35,15,Q). (1.2)
Часто используемым значением С (35, 15, 0) является 42.914 мС/см при температуры, измеренной в шкале IPTS-68. Если электропроводность среды измерена, значение эталонной среды с С (35; 15; 0) также должно быть зарегистрировано для того, чтобы гарантировать точное преобразование к коэффициенту электропроводности.
Соленость рассчитывают из коэффициента электропроводности, температуры и давления, используя практическую шкалу солености, введенную в 1978 (PSS-78) [44, 45]. Алгоритм и программу вычисления солености на языке Фортран в практической шкале PSS-78 из давления, температуры и коэффициента электропроводности можно найти в [46J. Диапазон работоспособности шкалы PSS-78 -2СZT 35С, 2 ,S42 %о, 0 р 1000 бар.
Циркуляционный эксперимент в Мировом океане (WOCE) является частью Всемирной программы по исследованию климата (WCRP). Приоритетом для WOCE является гидрография (измерение температуры, солености, и других свойств морской воды на всех глубинах в определенный момент времени показана на рис. 1. 1. Измерения неравномерно распределены в пространстве и времени. Особенностью проекта WOCE - является использование единых типов устройств для проведения всех измерений. CTD чувствительные датчики для измерения удельной проводимостиОкеане) - главный источник информации об океанических циркуляциях. Карта WOCE на, температуры и давления были калиброваны относительно сертифицированных стандартов. Это существенно для обеспечения высокой точности измерений
В дополнение к прямым измерениям гидрографии имеются данные климатологии. Наиболее известный источник таких данных - Мировой Океанский Атлас LEVITUS94, [37, 38]. В этом атласе объективно проанализированы поля большинства океанических параметров в годовом, сезоном и месячном временных масштабах. Набор данных охватывает глобальный океан с пространственным разрешением один градус до глубины 5500 м. Недостатком при использовании наборов данных атласов является то, что они предлагают слишком сглаженные поля, которые отражают только крупномасштабные особенности океанской циркуляции. Единицы измерения величин, точности и число профилей температуры и солености, приводимых в атласах представлены в таблице 1.2.
Дискретизация уравнений, входящих в модель
Четырехмерные модели требуют интегрирования за весь изучаемый период на каждом итерационном шаге минимизации. Это приводит к необходимости использовать значительные вычислительные ресурсы, что объясняет очень ограниченное число четырехмерных исследований, выполненных до настоящего времени. С точки зрения возможностей выполнения расчетов, в некоторых случаях-предпочтительнее использовать стационарные океанологические модели для получения информации о средних значениях характеристик океанических циркуляции. Однако, из-за необходимости параметризации мелкомасштабных процессов, ошибки возникающие при описании граничных условий и топографический данных, результаты использования стационарных моделей всегда отличаются от реальных средних состояний океана. Это позволяет заключить, что успех трехмерной ассимиляции зависит от выбора начальных условий, а также от ввода специальных ограничений и сделанных предгтложений.
Одно из первых применений трехмерных моделей было сделано в [68], где была исследована возможность решения обратной задачи с использованием общей модели циркуляции (ОЦМ), основанной на фундаментальных гидродинамических уравнениях. Там же было проанализировано как оптимизация с использованием различных данных может быть использована для расчета требуемых параметров модели. Целевая функция штрафовала отклонение результатов, даваемых моделью, от стационарного состояния, а именно, отклонений температуры, солености, потоков тепла через границу вода-воздух и ветрового напряжения от наблюдаемых значений. Причем упрощенные уравнения для моментов не учитывали диффузию моментов и действие ветрового напряжения как «массовой силы», которые отличаются от нуля только в слое Экмана, глубина которого предполагалась
Неизменной. После этой работы вышла другая статья тех же авторов [69], в которой была проведена оценка параметров стационарной циркуляции в северной Атлантике с разрешением 2ХЗ.
Другое применение трехмерной модели дано в статье [50], где авторы оценили параметры океанической циркуляции в Северной Атлантике Модельные соотношения для момента были почти везде геострофические за исключением районов, где имели место сильные фрикционные эффекты. Уравнение сохранения масс в приближении твердой крышки было использовано для определения вертикальной скорости. Уравнения для сохранения тепла и соли рассмотрены в термодинамической части модели. Все соотношения в модели рассматриваются в рамках строгих ограничений. Стационарное решение определено как состояние, при котором модельные поля наиболее близки к исходным на окончательном шаге прямого расчета. Из-за такого способа нахождения стационарного решения, модель, в действительности, является промежуточной между трех- и четырехмерной. В дополнение к различиям между начальным и конечным состояниями, в [50] в целевую функцию включены различия между рассчитанными потоками тепла и соли через поверхность и их усредненных наблюдаемых значений. Одно из последних применений трехмерных моделей сделано в работе [41]. В ней использована трехмерная модель океана для изучения изменчивости Арктического океана в последние сорок лет. В качестве строгого ограничения в этой статье рассматривается стационарные (не зависящие от времени) фундаментальные гидродинамические уравнения для моментов, из которых рассчитываются скорости и возвышения водной поверхности на основании набора контролируемых параметров. Контролируемые параметры включали температуру, соленость, значение момента на поверхности и граничные условия Дирихле для скорости на открытых границах. Целевая функция штрафует отклонение модельных значений температуры и солености от гидрографических данных, потоков поверхностного момента и граничные условия для на открытых границах от их начальных значений. Кроме того, в целевую функцию были включены слагаемые для штрафования появление остаточных членов, которые появляются в стационарных уравнениях для тепла и соли при использовании их интегрированных по вертикали значений. Помимо этого, авторы [41] сочли необходимым наложить ограничение на горизонтальную изменчивость горизонтальной компоненты скорости вокруг открытых границ.
Модели океанических циркуляции интенсивно разрабатывались в течение прошлых двух десятилетий и в настоящее время способны воспроизвести основные особенности крупномасштабных циркуляции, а также полей скорости, температуры и солености, отвечающих за состояние климата. Однако им присущ ряд недостатков, ограничивающих возможность применения при решении практических задач. Так, в методах Вунша и в методе р- спирали отсутствует условие сохранения массы. Двумерные модели гидрографической секции не учитывают потоки тепла и соли, кроме того, они не дают полной картины явления. Кроме того, имеются трудности в использовании ассимиляционных методов. Это требует их совершенствования для эффективного использования. Трехмерные стационарные модели дают неоднозначные решения при поиске минимума целевой функции. Использование четырехмерных моделей требует очень большого машинного времени, что заставляет уменьшать набор исходных данных и приводит к низкому качеству получаемых результатов. С учетом возможностей современных компьютеров метод ассимиляции данных на основании четырехмерных моделей можно использовать лишь для получения оценочных решений с грубым пространственным разрешением.
Целесообразно направить усилия на совершенствование трехмерных стационарных моделей с тем, чтобы обеспечить возможность использовать гибкие расчетные сети, позволяющие отразить топографию дна, а также получение однозначных решений в результате ассимиляции исходных данных.
Конечно-элементная дискретизация
Как уже указывалось выше, FEOM использует тетрагональные элементы, получаемые созданием поверхностной сетки с треугольными ячейками, введением вертикальных призм, построенных на поверхностных треугольниках обрезанием их набором горизонтальных слоев с образованием элементарных призм и, наконец, тетраэдров. Это обеспечивает хорошую гибкость в отображении произвольной топографии и точность передачи сеткой ее мелких деталей.
Кусочно-непрерывные линейные базисные функции требуют только значений в узлах соответствующих полей и поэтому приводят к компактным выражениям для полей и, что более важно, к компактному виду матриц, связанных с соотношениями. Важность последнего фактора особенно вырастает с увеличением сложности задачи.
Однако, поскольку эти базисные функции не являются дважды дифференцируемыми, необходимо слегка переформулировать задачу, определяемую выражениями (3.1) - (3.11) и (3.15) - (3.17). Умножая (3.1) - (3.3) на произвольный вектор поля (U,V,), который не зависит от z, используя соотношение Грина и граничные условия (3.5) - (3.7), приходим к соотношениям: j[(-JV + gHd)U + AjV(Nu] dQ = j(rx —]dxpdz)UdT (3.16) г, П Ро -н j[(JU + gHdyCW + A,VlNu] dl = \(ry -— ]dypdz)VdT (3.17) г, г, Ро -Я $(U,V).V?dr = lv0Bn3?dr, (3.18) г, г«
Выражая переменные модели в виде линейных комбинации трех- и двумерных линейных кусочно-непрерывных базисных функций Хк и Sk, определенных на тетрагональных элементах (к- я базисная функция равна 1 на к- м узле и линейно убывает к 0 внутри тетраэдра или треугольника, содержащих этот узел, u=Jukskt c ZCtStt u=2 A. А,=АА (3.19) и, заменяя исследуемые функции U и V на St, мы получаем так называемые соотношения Галеркина для Uk и к, которые представляют значения в узлах для баротропного транспорта и возвышений поверхности. Здесь NiD и N2D - общие количества узлов соответственно в трех- и двумерных решетках.
Трехмерное уравнение для момента в приведенной форме может быть переписано аналогичным образом: \[{Дк х и] + gV) й + ДДидги + AN и u]dQ = J гіьЛГ - J-U VpdQ., (3.20) Q Г, QA
Необходимо указать, что давление р рассчитывается из плотности р с точностью, даваемой методом конечных элементов, так как использование конечно-элементного решения здесь может привести к неприемлемо сильному шуму в производных по горизонтальным координатам. После получения значений рк в узлах, давление может быть определено аналогично (3.19) как: Р = %Р Х . (3.21) когда рассчитан их вклад в (3.16), (3.17) и (3.20).
Для того, чтобы решить главную проблему расчета w конечно-элементным методом (метод итерации для этого очень неэффективен), вводится потенциал вертикальной скорости Ф в виде и =д.Ф.В слабой формулировке (3.12), (3.14) могут быть переписаны в виде: дФд,ФвП=-иУФ +у05п3Ф /Г4 (3.22) Q Q Г, Ф-!ФА. (3-23) 4=1 и должны выполняться для всех Ф є X. Рассчитанная таким путем вертикальная скорость является постоянной в пределах элемента. При расчете по этой схеме уравнения неразрывности, объем сохраняется как локально внутри элементарных объемов, имеющих общий узел (взвешенный тест-функцией, определенной при этом узле), так и общий объем.
Поскольку оба граничных условия в этой схеме являются Неймановского типа, правая часть (3.22) должна удовлетворять условию разрешимости: и должна быть равно нулю для тест-функций, не зависящих от вертикальной координаты, Ф=Ф(Л,#). Как уже указывалось, последнее гарантировано уравнением неразрывности с точностью до ошибок численного расчета. Однако, итеративное решение очень чувствительно к малейшим отклонениям от условия разрешимости (3. 22). Поэтому это условие усиливается перед решением (3. 22) суммированием его правой части по вертикальным колонкам и подстановкой малых остаточных членов из верхнего слоя. 3. 1.4. Коррекция скорости
Имеется один частный аспект использования стабилизации, нуждающийся в пояснении. Из-за стабилизации уравнения неразрывности имеется некоторое несоответствие между возвышением водной поверхности С и горизонтальными скоростями из трехмерной модели: их интегрированная по вертикали дивергенция мала, но не точно равна нулю. FEOM и наша прямая модель устраняют это несоответствие поиском скорректированной двухмерной скорости, которая должна быть подставлена из полей и и V.
Коррекция скорости выражается через градиент скалярного потенциала ф, который рассчитывается на основании решения уравнения A VJWz, dj = 0 (3.24)
Это уравнение решается в пространстве кусочно-непрерывных линейных базисных функций ф- кк8к. Сложности в проведении коррекции скорости минимальны, если решается только двухмерная задача с симметрично определенным оператором. Если ф рассчитано, то оценка V может быть получена из поля горизонтальной скорости: u-mf- V (3.25)
Скорректированное поле скорости в дальнейшем используется для расчета величины w с помощью FEOM и используемой нами прямой модели. 3.1.5. Уравнение для потенциальной плотности
Несмотря на то, что наша прямая модель имеет дело только с решением уравнений для момента и неразрывности, IFEOM штрафует остаточные члены в уравнениях для трассеров, записанные в конечно-элементном виде, (как уравнения Галеркина). Дискретизация уравнений для трассеров взята из FEOM и поэтому здесь мы даем ее краткое описание.
В настоящей работе использовано упрощенное приближение в уравнениях для трассеров. Для того, чтобы минимизировать вектор контролируемого параметра в FEOM, использовано адвекционно-диффузионное уравнение для потенциальной плотности (вместо двух разных уравнений для температуры и солености).
Прогностическая оценка плотности баротропного потока
По аналогии с результатами, полученными в [50], в нашем случае ассимиляция климатологических данных вместо простого анализа их (см. раздел 4. 5) также не помогает, если начальное состояние выбрано близким к климатологическим данным. Мы можем с успехом уменьшить разницу в слагаемом для потенциальной плотности, тесно приблизившись к экспериментальным данным. Однако при этом фиктивные течения у восточного побережья не исчезнут и значения функции потока как баротропного, так и меридионального оборота будут далеки от значений, даваемых моделью. Это говорит о том, что инверсная модель дает несколько состояний океана (целевая функция имеет несколько минимумов) и мы двигаемся к одному из них, который соответствует слабой циркуляции, если не введено дополнительных условий и набор исходных параметров слишком близко соответствует климатологическим данным.
Для того, чтобы преодолеть проблемы с инициализацией расчетов в [50] разработана прогностическая модель, усиленная использованием наблюдаемых поверхностных потоков за 250 дней и конечного состояния в качестве первичной оценки начального условия для процесса минимизации. Эта первичная оценка дала значение потока 12 Св.
Мы проделали аналогичную процедуру. В качестве начального приближения брались средние значения температуры и солености, а также наблюдаемые поверхностные потоки и проводился пошагово-временной прогностический расчет на срок пять лет. В дальнейшем будет использован результат этого прогностического расчета, также как его комбинацию с климатологическими данными для решения проблемы инициализации процесса минимизации.
Результаты расчетов показали следующее. Средняя горизонтальная скорость глубоководного западного пограничного течения, полученная из прогностической модели, имеет гораздо более высокое значение (рис. 4. 9.), не содержит артефакта течения у восточных границ, а результирующая величина потока равно 19 Св (рис. 4. 10.).
Баротропная функция потока, соответствующая первому приближению, (рис. 4. 11), имеет малое значение в субтропическом круговороте. Это происходит из- за того, того, что большая часть Гольфстрима направляется вдоль береговой линии на север начиная от 35 N и течет параллельно глубоководному западному пограничному течению. Это может быть следствием аппроксимации топографии дна континентального шельфа, которое влияет на циркуляцию в верхних слоях океана. Между первым приближением поля плотности, полученным из модели и плотностью, рассчитанной из экспериментальных климатологических данных Левитуса имеется значительное различие, особенно в верхних слоях океана.
На глубине 50 м это различие для некоторых районов может достигать более чем 0,5 кг м"3 . Однако это значение находится в пределах стандартного отклонения для плотности (см. рис. 4. 6 и 4. 12) на этой глубине. Уже на глубине 500 м различие становится много меньше и его максимальное значение немногим превышает 0,2 кг м 3. Это, однако, много меньше, чем оценка стандартного отклонения на соответствующей глубине (см. рис. 4. 7 и 4. 13). На больших глубинах - 1500 м (см. рис. 4. 8 и 4. 14), различие плотностей не превышает 0, 07 кг м"3. Это говорит о том, что интервал шага, выбираемый в модели не особенно влияет на результаты расчетов на больших глубинах. На глубинах, превышающих 2000 м различия находятся в пределах стандартных отклонений.
Выбор весовых коэффициентов в целевой функции является ключевым моментом, в обеспечении эффективности процедуры ассимиляции и поэтому детально рассмотрим процедуру выбора значений весовых коэффициентов при конструировании целевой функции.
Начнем с остаточного члена выражения для потенциальной плотности. Как указывалось в разделе 3. 1. 3. (см. ф-лу (3. 29)), благодаря конечно-элементной дискретизации задачи, остаточные члены определяются как значения, взвешенные с тестовой функцией в объеме. Например, если остаточные члены кусочно-непрерывны на элементах, то наименьшее квадратичное отклонение соотношения (3. 29) для каждой линейной базисной функции в объеме с трехмерными элементами р0 = Хк может быть сосчитана на основании: LHSKQ29)=\t(nVoIt)t (4.1) 5 1 где фактор - появляется из интеграла тест-функции по объему, величины ей Volit / = 1...е являются числом трехмерных элементов, которые содержат узел А: и их объемы соответственно, rt, / = 1...е являются остаточными членами на элементах. Это приводит к разностям, определенным на объемах. Ввиду нерегулярной структуры сети, определение разностей, взвешенных на объемах, представляется более разумным, чем на узлах. Если необходимо сделать вывод о том, является разность большой или нет, мы должны также описать масштаб этого различия. Если мы желаем, чтобы разности были определены на узлах, а не на объемах, необходимо сделать следующую аппроксимацию: LHSK (3.29) - 5(4-29) . (4. 2) \hnVoU) 3 Несмотря на то, что наблюдается пространственная корреляция между разностями, определить их весьма сложно. Поэтому почти во всех экспериментах мы используем диагональную весовую схему, которая требует только инфоромацию о разностях. Были исследованы обе весовые схемы (узловая и объемная), в результате чего было установлено, что взвешивание на объемах предпочтительно при проведении минимизации целевой функции. Поэтому во всех экспериментах, описанных ниже, веса выбирались на объемах. Пространственная плотность распределения узлов в сети убывает с увеличением глубины, при этом увеличиваются элементарные объемы. Поэтому вклад в целевую функцию глубоководных узлов больше, чем приповерхностных. Поэтому мы не боялись, что изменения разностей везде будут постоянны. Данные даются в установленных местах, которые в результате установки модели не обязательно должны соответствовать узлам сетки. Следующая стратегия была применена при взвешивании. Если сетка модели проходит через узлы сетки, в которых определены данные, мы умножаем вес данных на квадрат объема кластера, который соответствует узлу сетки.
1 Если точка, в которой определены данные, находится внутри элемента сетки, то сначала необходимо рассчитать на основании модели поле в точках, где определены экспериментальные данные. Это легко сделать в случае нашей модели, поскольку параметры ее являются кусочно-непрерывными линейными функциями на элементах. После этого мы умножаем вес смещения каждого данного или на квадрат среднего объема всех соседних трехмерных элементов или на квадрат объема элемента, который содержит точку, в которой определено данное значение. Были опробованы обе эти схемы. Весовые коэффициенты для двумерных полей рассчитывались аналогично трехмерному случаю. 4. 5. Ассимиляция климатологических данных атласа Левитуса
