Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ существующих отечественных и зарубежных подходов к оцениванию величины инвентаризационной разницы 15
1.1 Требования нормативных документов 15
1.2 Российские методы статистической обработки результатов измерений .. 16
1.3 Нормативные документы, применяемые в США для измерений в области учета и контроля ядерных материалов 21
1.4 Международные нормативные документы по статистической обработке результатов измерений 23
1.5 Подход МАГАТЭ к методам оценивания инвентаризационной разницы .29
1.6 Статистическое оценивание инвентаризационной разницы, представленное в нормативных документах США 32
1.7 Сравнение национальных и международных подходов к оцениванию результатов измерений и инвентаризационных разностей 33
1.8 Выводы 35
2 Аналитические методы контроля инвентаризационных разниц ядерных материалов на основании погрешностей средств и методов измерений методом «переноса погрешностей» 37
2.1 Измерение массы, аддитивная модель погрешности 44
2.2 Перекалибровка 44
2.3 Мультипликативная модель 45
2.4 Аддитивная и мультипликативные модели 45
2.5 Учет корреляций 46
2.6 Смешанная модель 47
2.7 Измерения N учетных единиц 49
2.8 Обобщение формул 52
2.9 Анализ линеаризации дисперсии инвентаризационной разницы методом Монте-Карло 54
2.10 Выводы 60
3 Методы контроля инвентаризационных разниц на основании прогнозирования временных рядов 61
3.1 Постановка задачи 61
3.2 Выявление характеристик временных рядов 63
3.2.1 Анализ на стационарность, сезонность 63
3.2.2 Анализ рядов с использованием автокорреляционного анализа 64
3.3 Методы прогнозирования временных рядов 66
3.3.1 Методы, использующие скользящее среднее 67
3.3.2 Экспоненциальное сглаживание 67
3.3.3 Регрессионный анализ 68
3.3.4 Метод Бокса-Дженкинса 69
3.3.5 Расчет предикторов в методе Бокса-Дженкинса 80
3.3.6 Сравнение методов прогнозирования 84
3.5 Моделирование временных рядов методом экспоненциального сглаживания 84
3.6 Методы адаптивного прогнозирования 86
3.7 Выводы 96
4 Определение универсальной модели прогнозирования исследуемых временных рядов 97
4.1 Выбор модели 97
4.2 Расчет предикторов моделей и выбор наилучшей модели методологии Бокса - Дженкинса 109
4.3 Проверка выбранной модели на адекватность 122
4.4 Расчет предикторов методами экспоненциального сглаживания и адаптивного прогнозирования 131
4.5 Выводы 132
5 Разработка процедур и программного обеспечения для контроля инвентаризационных разниц методом авторегрессии первого порядка 134
Заключение 136
Библиография
- Российские методы статистической обработки результатов измерений
- Аддитивная и мультипликативные модели
- Анализ рядов с использованием автокорреляционного анализа
- Расчет предикторов моделей и выбор наилучшей модели методологии Бокса - Дженкинса
Введение к работе
Необходимость обеспечения сохранности ядерных материалов (ЯМ) на предприятиях, их перерабатывающих, объясняется такими основными факторами, как опасность ядерных материалов для человека и окружающей среды, угрозы терроризма, международные обязательства по нераспространению и высокая стоимость ядерных материалов.
Ключевыми элементами системы учета и контроля ядерных материалов (УиК ЯМ), обеспечивающих совместно с системой физической защиты их сохранность, являются проведение физических инвентаризаций и подведение балансов ядерных материалов. Подведение балансов ядерных материалов заключается в расчете инвентаризационной разницы (ИР), погрешности ее определения и расчете допустимых границ, в которых может находиться инвентаризационная разница.
Актуальность осуществления контроля за величиной инвентаризационной разницы, направленного в конечном счете на обеспечение сохранности ядерных материалов, подтверждается наличием в федеральных нормах и правилах учета и контроля ядерных материалов НП-030-05, являющимися обязательными для выполнения всеми эксплуатирующими организациями и предприятиями требований к определению наличия или отсутствия аномалии в системе УиК ЯМ по результатам сравнения ИР и ее погрешности с заданными пороговыми значениями.
Инвентаризационная разница (ИР) - это разница между количеством имеющегося в наличии ядерного материала, определенного по результатам измерений, проводимых во время проведения физической инвентаризации, и тем количеством, которое должно находиться по данным учета.
Значение ИР для каждого ЯМ (или каждого вида ЯМ) рассчитывается по формуле:
ИР = КК-ДК =КК-(НК + УВ-УМ), (1) где КК - фактически наличное количество ЯМ в зоне баланса ядерного материала (ЗБМ), определенное в результате данной физической инвентаризации на конец межбалансового периода (МБП);
ДК - документально зарегистрированное количество ЯМ в ЗБМ на конец МБП;
НК-наличное количество ЯМ в ЗБМ, определенное и документально зарегистрированное на начало данного МБП в результате предыдущей физической инвентаризации;
УВ - определенное и документально зарегистрированное увеличение количества ЯМ в ЗБМ за данный МБП в результате всех поступлений сырья, оборотов, наработанной, но не отправленной продукции и т.д.;
УМ- определенное и документально зарегистрированное уменьшение количества ЯМ в ЗБМ за данный МБП в результате всех отправок из ЗБМ продукции, отходов, безвозвратных потерь и т.д..
Появление ИР объясняется тем, что в процессе технологической переработки ядерных материалов происходит их преобразование из одной физической формы в другую. Например, на сублиматных заводах получение гек-сафторида урана [1, стр.71] производится прямым фторированием в газопламенном реакторе закиси-окиси урана с последующей десублимацией урана и очисткой газов, на радиохимических заводах для переработки облученного топлива [1, стр.73] используется экстракционный пюрекс-процесс. Обогащение урана производится на заводах разделения изотопов [1,стр.97] центробежным методом.
Значения масс ядерных материалов при расчете ИР технологических переделов определяются на основе измерений различными средствами и методами измерений. Например, измеряются объемы растворов в емкостях различными типами уровнемеров, по методикам химического анализа измеряются концентрации ядерного материала, взвешивается на весах масса материалов и т.д. Все используемые средства и методы измерений имеют погрешности, следовательно, результаты измерений являются случайными ве личинами, что вызывает необходимость применения методов математической статистики. Кроме того, на некоторых технологических переделах невозможно произвести прямые или косвенные измерения и компоненты ИР определяются аналитически, на основании ранее сделанных исследований. Например, во время проведения каждой физической инвентаризации невозможно измерить величину всех отложений ЯМ в технологическом оборудовании.
Предприятие разбивается на зоны баланса ядерных материалов (ЗБМ), в которых измеряются все поступления ЯМ в зону, все передачи ЯМ и определяется на основании измерений наличное количество ЯМ в момент проведения физической инвентаризации.
Измерения ядерных материалов при поступлениях в зону баланса, передачах из зоны баланса и имеющегося в наличии ЯМ во время проведения физических инвентаризаций производятся в соответствии с установленной периодичностью. Погрешности средств и методов измерений, являющиеся случайными величинами, могут иметь различные формы (законы) распределения.
Таким образом, объектом исследования являются:
а) индивидуальные инвентаризационные разницы, определенные уравнением (1) и представляющие собой алгебраическую сумму компонент. Отдельные компоненты ИР является в общем случае произведением измерений массы/объема на концентрацию химического элемента и изотопного состава ЯМ. Компоненты ИР входят в уравнение баланса с различными знаками. Концентрация и изотопный состав, как правило, определяется от партии ЯМ.
Погрешности измерений массы, объема, концентрации имеют в общем случае случайные и неисключенные систематические составляющие, изменяющиеся по аддитивной или мультипликативной модели. Измерения могут проводиться одними и теми же или различными средствами измерений. Между измерениями существуют корреляции, которые необходимо учитывать; б) Последовательность значений инвентаризационных разниц, полученных с заданной периодичностью. Физические инвентаризации ядерных материалов, по результатам которых подводятся балансы ЯМ и определяются инвентаризационные разницы, осуществляются с установленной периодичностью от одного месяца до одного года. Наиболее важные с точки зрения контроля зоны баланса ядерных материалов, инвентаризируются ежемесячно. Это означает, что для анализа инвентаризационных разниц имеется дополнительный статистический материал, представляющий собой временной ряд значений инвентаризационных разниц. Объемы таких временных рядов достигают сотен значений.
В настоящее время, в силу специфики определения, установленного федеральными нормами и правилами, инвентаризационная разница имеет кумулятивный эффект. Одновременно имеются статистические данные о проведенных инвентаризациях ядерных материалов за инвентаризационные периоды, технологические процессы которых изменяются незначительно и статистические данные о погрешностях средств и методов измерений в конкретный инвентаризационный период. Учитывая то, что отсутствуют федеральные и отраслевые нормативные документы с требованиями к порядку оценивания погрешности ИР, становится очевидным актуальность данной работы.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка аналитических методов, использующих все доступные статистические данные и позволяющих делать заключение о том, объясняется ли значение инвентаризационной разницы влиянием случайных и систематических составляющих погрешностей средств и методов измерений или величина инвентаризационной разницы свидетельствует о наличии аномалии в учете ядерных материалов (нарушении сохранности ядерных материалов или влияния других неучтенных факторов).
Аналитические методы контроля за величиной ИР, их реализация в виде компьютерных программ и правила принятия решения должны быть разработаны таким образом, чтобы они применялись инженерами по учету ЯМ при проведении ими регламентных работ по оцениванию результатов физических инвентаризаций различных технологических процессов переработки ядерных материалов.
Методы аналитического контроля должны быть универсальными для ядерных материалов всех производств комбината: сублиматного, разделения изотопов, радиохимического и химико-металлургического.
Информационными источниками являются монографии по методам математической статистики, метрологии, анализу временных рядов, материалы иностранных авторов по учету и контролю ядерных материалов, нормативная документация зарубежная и отечественная по учету и контролю ядерных материалов, результаты инвентаризаций различных производств комбината, собственные расчеты и моделирование. Указанные методы в основном применяются в зарубежных монографиях (JJaech, Боуэн, Беннет). Методы краткосрочного прогнозирования временных рядов основываются на работах отечественных и зарубежных авторов (Айвазян, Браун, Бокс, Дженкинс).
Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:
• вывод аналитических формул расчета дисперсии компонент и результирующей дисперсии значения инвентаризационной разницы ИР( в произвольном инвентаризационном периоде t Расчет интервальной оценки погрешности инвентаризационной разницы. Сравнение результатов, полученных по аналитическим формулам, с результатами моделирования методом Монте-Карло;
• анализ поведения последовательностей инвентаризационных разниц HPt различных видов технологических процессов переработки ядерных материалов, как членов временных рядов. Выбор модели прогнозирования, которая адекватно описывает все исследуемые временные ряды;
• разработка алгоритма и реализация в виде компьютерных программ расчета прогнозного значения временного ряда на основе найденной модели и расчет соответствующего доверительного интервала; • разработка решающих правил для анализа значения HPt в инвентаризационном периоде /, используя найденные доверительные интервалы в задачах 2 и 3, рассматривая величину ИР в качестве функции случайных величин и в качестве члена временного ряда. При построении решающих правил необходимо использовать требования и пороговые значения, установленные федеральными нормами и правилами государственной системы учета и контроля ядерных материалов;
• реализация выше указанных алгоритмов расчетов и решающих правил в виде нормативного документа и компьютерных программ для оценивания результатов физических инвентаризаций инженерами по учету различных технологических производств комбината.
Научная новизна работы характеризуется следующими научными результатами, полученными автором:
• исследованы модели поведения временных рядов инвентаризационных разниц с учетом их не стационарности и сезонности всех технологических процессов переработки ЯМ на Сублиматном, Разделения изотопов, Радиохимическом и Химико-металлургическом заводах СХК;
• впервые найдена автором модель прогнозирования (авторегрессия первого порядка метода авторегрессии - интегрированного скользящего среднего Бокса-Дженкинса), являющейся универсальной и адекватно описывающей имеющиеся на комбинате временные ряды инвентаризационных разниц;
• разработаны аналитические методы расчета результирующей дисперсии ИР на основании погрешностей средств и методов измерений с учетом аддитивной и мультипликативной моделей их поведения, корреляций, перекалибровки средств измерений. Аналитические методы сравнивались с результатами прямого моделирования погрешностей; • разработаны аналитические методы расчета погрешностей и границ допустимых расхождений ИР отличающиеся тем, что они одновременно использует информацию об ИР, как случайного значения, являющегося следствием случайных и систематических погрешностей средств и методов измерений в отдельном инвентаризационном периоде, и информацию об ИР, как члене временного ряда. Практическая ценность. На основании результатов, полученных в результате диссертационной работы, автором разработан и введен в действие на ФГУП «СХК» стандарт организации СТО 76-2007, в котором для выдачи заключения о том, выявлена или нет аномалия в учете ядерных материалов по результатам физической инвентаризации, приведена методика анализа ИР, как случайного значения, являющегося следствием коррелированных погрешностей средств и методов измерений и найденный универсальный метод прогнозирования временного ряда инвентаризационных разниц.
Приведенный подход позволяет выявлять значимые расхождения дисперсии, полученной с учетом погрешностей конкретного межбалансового периода, с дисперсией временного ряда ИР, выявлять аномалии и тенденции в поведении ИР, свидетельствующие о признаках аномальных ситуаций.
Полученные аналитические методы расчетов реализованы автором в виде шаблонов компьютерных программ, используемых на заводах ФГУП «СХК» при регламентных работах по подведению балансов ядерных материалов.
Стандарт организации введен в действие приказом по комбинату, акт внедрения приведен в приложении к диссертации.
Апробация результатов работы и публикации. Апробация результатов работы проводилась при подготовке учебных материалов и чтении лекций в Учебно-методическом центре подготовки специалистов по учету и контролю ЯМ (УМЦУК) Федерального агентства по атомной энергии в г. Обнинске для специалистов отрасли, занимающихся учетом и контролем ядерных материалов. Лекции изданы в сборниках методических материалов УМЦУК в 2001,2005 и в
2007 годах. Методы расчета погрешности инвентаризационной разницы, использующие погрешности средств и методов измерений, были оформлены в виде нормативного документа комбината «Рекомендации. Оценивание статистической значимости инвентаризационной разницы на основании погрешностей средств и методов измерений. Методы расчета», введены приказом по Сибирскому химическому комбинату и используются на заводах комбината с 2002 года.
Материалы второй главы диссертационной работы использованы при разработке проекта отраслевого нормативного документа по оцениванию значения инвентаризационной разницы. Отраслевой нормативный документ разрабатывался рабочей группой под управление Всероссийского научно - исследовательского института автоматики им. Н.Л.Духова (ВНИИА), в состав которой входит автор.
Материалы работы отдельными частями докладывались и изданы в материалах 7 научно-технической конференции СХК в 2003 году и конференции ТААЭП-2007, организованной СГТА.
Результаты, полученные автором, были опубликованы в журнале «Метрология» в 2003г. №11, с.33-39 и в 2005г. №12, с.39-45.
Автор входит в состав рабочей группы Росатома по разработке федеральных норм и правил в области государственного учета и контроля ядерных материалов. Результаты диссертационной работы и опубликованные совместные статьи с сотрудниками ГНЦ РФ-ФЭИ по оценке результатов физических инвентаризаций ядерных материалов были использованы при разработке федеральных норм и правил государственного учета и контроля ядерных материалов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 148 страницах машинописного текста, иллюстрируется 33 рисунками, 18 таблицами и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 83 наименований и 2 приложений.
Российские методы статистической обработки результатов измерений
В нормативном документе ГОСТ 8.009-84 [3] систематическую составляющую основной погрешности Aos рассматривают как детерминированную величину для отдельного экземпляра средства измерений, но как случайную величину (процесс) на совокупности средств измерений данного типа. При расчете характеристик погрешности средств измерений в реальных условиях применения (и при расчете характеристик инструментальной со ставляющей погрешности измерений) составляющие АС1 и ADYN рекомендуют рассматривать как детерминированные величины (процессы) в зависимости от того, какие известны характеристики реальных условий применения средства измерений и спектральные характеристики входного сигнала средства измерений.
Метод расчета погрешности в этом случае должен заключаться в статистическом объединении характеристик всех существенных составляющих модели погрешности Ас, средств измерения и составляющих ADYN, обусловленной взаимодействием средств измерений с объектом измерений.
Однократные измерения
В руководящем нормативном документе РД 50-453-84 [4] даны методические указания расчета характеристик составляющей погрешности прямых однократных измерений для средства измерений (СИ) в реальных условиях эксплуатации - по нормируемым в соответствии с ГОСТ 8.009-84 [3] метрологическим характеристикам СИ, известным характеристикам влияющих величин и входного сигнала.
Методические указания предназначены для использования при разработке нормативно-технических документов по расчету погрешности измерений или соответствующих разделов других нормативно-технических документов; при разработке методик выполнения измерений, в частности, при выборе методов измерений и СИ, обеспечивающих заданные нормы точности измерений..
Методы, рекомендуемые данными методическими указаниями, позволяют рассчитать следующие характеристики погрешности СИ. - Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение погрешности СИ;. - Нижнюю и верхнюю границы интервала, в котором с вероятностью Р находится погрешность СИ.
Для расчета характеристик погрешности СИ рекомендуется использовать один из методов расчета характеристик погрешности в реальных условиях эксплуатации, в зависимости от задач измерений, экономической целесообразности и доступной исходной информации.
1) Первый метод включает в себя расчет математического ожидания, дисперсии статической и динамической составляющих погрешностей по формулам. Среднеквадратичная погрешность СИ определяется как корень квадратный суммы дисперсий статической и динамический составляющих погрешности.
2) Второй метод оценивает наибольшее по величине возможное значение дополнительной погрешности СИ от j-ой величины. Погрешность СИ определяется как сумма следующих составляющих погрешностей: основной погрешности, динамической и суммарной дополнительной погрешности от всех влияющих величин.
Многократные наблюдения
В нормативном документе ГОСТ 8.207-76 [5] определены методы статистической обработки результатов измерений с многократными наблюдениями, и в частности устанавливается следующий порядок обработки группы результатов наблюдений: - исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений; - вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения; - вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения; - вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения; - проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению; - вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения; - вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения; - вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.
Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, рекомендуют проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений.
Для определения погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0.95.
В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0.95, допускается указывать границы для доверительной вероятности Р = 0.99.
Аддитивная и мультипликативные модели
Вопрос статистического оценивания инвентаризационной разницы, широко представлен в американской литературе, например, [18, 19, 20]. Используемые принципы статистического оценивания инвентаризационной разницы очень похожи на принципы, используемые МАГАТЭ для тех же целей. Отметим только отличительные особенности:
Для каждого измерения рассматриваются две составляющие погрешности: случайная и систематическая (МАГАТЭ делит систематическую погрешность на кратковременную и долговременную); Предлагается учитывать ковариации пар измерений, что автоматически позволяет исключить возможность неоправданного включения в рассмотрение систематической составляющей погрешности тех единиц учета ядерных материалов, которые дают вклады в уравнение для инвентарной разности в качестве входных и выходных единиц, а также в начальный и конечный момент инвентаризации. (Фактически в подходе МАГАТЭ того же эффекта добиваются введением фиктивных знаков для дисперсий соответствующих систематических погрешностей). В качестве последовательности инвентаризационных разностей анализируется их кумулятивная сумма, причем сами величины инвентаризационных разниц в Российских и Американских нормативных документах рассчитываются по отличающимся алгоритмам. За величину начального значения инвентаризационной, разницы следующего инвентаризационного периода в соответствии с Российскими нормативными документами [2] принимается величина документально зарегистрированного количества ЯМ, в Американских - фактически измеренного.
Как видно из приведенного обзора, Российские нормативные документы по методам статистической обработки результатов измерений значительно отличаются от международных [25]. Шагом по сближению подходов явилось издание в 1999г. во ВНИИМ им. Д.И.Менделеева МИ 2552-99 Рекомендаций [22]. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений». Но данные рекомендации и само Руководство не нашли однозначной поддержки в среде метрологов России.
Методы оценивания инвентаризационных разниц при подведении балансов ядерных материалов на Российских предприятиях, приведенные в [8] и [9], основываются на методах переноса погрешностей, в целом аналогич ных Американскому и подходу МАГАТЭ. В [8] для расчетов дисперсий результатов отдельных измерений используется логарифмически нормальное распределение. В [6] используется подход, основанный на анализе исторического ряда инвентаризационных разностей за предыдущие периоды инвентаризаций. В данном подходе не исследуется поведение остатков (ошибок) модели временного ряда.
Подводя итоги сравнения различных подходов и методов анализа инвентаризационных разниц можно кратко сформулировать, что в отечественных документах не достаточно полно изложены подходы к применению метода «переноса погрешностей» измерений для оценивания величины инвентаризационной разницы. В зарубежных документах методы переноса погрешностей достаточно полно изложены, но из-за различия в подходах к расчету самой величины ИР, методы анализа последовательностей ИР, как членов временного ряда не применимы для условий работы отечественных предприятий.
Как следует из сравнения подходов, ни один из приведенных нормативных документов не содержит достаточно полных методов проведения комплексного анализа величины инвентаризационной разницы, использующего максимально доступную информацию о погрешностях средств и методов измерений в текущий инвентаризационный период и информацию о поведении инвентаризационных разниц в предыдущие периоды инвента ризаций как членов временного ряда.
Анализ рядов с использованием автокорреляционного анализа
Стационарные и нестационарные модели поведения временных рядов характеризуются изменением наблюдений во времени или строго периодически, следовательно, эти наблюдения взаимосвязаны или коррелированны. Корреляция членов временного ряда измеряется коэффициентом автокорреляции.
Коэффициент автокорреляции [40] с запаздыванием на один период определяет корреляцию между наблюдением и наблюдением с запаздыванием в один или более периодов времени. Коэффициент автокорреляции между Yt и Yt.] равен Для определения, существенно ли отличается от нуля коэффициент автокорреляции, применим два метода.
Первый метод предложил Кэнуй (Quenouilee). Согласно его исследований, коэффициенты автокорреляций распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной 1/л/й .
Для случайного ряда практически все коэффициенты автокорреляции должны находиться внутри интервала, содержащего нуль, плюс или минус определенное число стандартных ошибок. При заданном уровне значимости ряд может считаться случайным, если коэффициенты автокорреляции находятся внутри интервала, ограниченного выражением IP - Е(гк )\. На практике применяется доверительная вероятность, равная 95%, следовательно коэффициент t распределения Стьюдента берется для значения, равного 0,025. Где SE{rk)- стандартная ошибка коэффициента автокорреляции с запаздыванием к; г; - коэффициент автокорреляции с запаздыванием і; к-время запаздывания; п - количество наблюдений во временном ряде. Таким образом, для проверки значимости коэффициента автокорреляции применяются следующие нулевая и альтернативная гипотезы: Н0: рк=0 Н,:рк 0 t-статистика определяется уравнением:
Существует другой подход, который проверяет значимости коэффициентов автокорреляции не по одному, как выше было изложено, а для множества коэффициентов одновременно. Таким подходом является использование модифицированной Q статистики Бокса-Пирса (Box, Pierce), разработанное Льюнгом (Ljung) и Боксом. Этот критерий, как правило, применяют к ошибкам модели прогноза. Если автокорреляции вычисляются для случайного процесса (белого шума), то Q - статистика имеет % распределение с m степенями (т -число запаздываний, для которого выполняется проверка). где п-число наблюдений во временном ряде; к- время запаздывания; т- число запаздываний, для которых проводится тестирование; rk - выборочный коэффициент автокорреляции ошибок для запаздывания на к периодов.
В разделе определены статистики, которые предлагается использовать для определения стационарности или нестационарности временных рядов, значимости коэффициентов автокорреляции, проверки рядов остатков модели на случайность.
В предыдущих пунктах были приведены методы определения характеристик временных рядов, и была поставлена задача определения интервального прогноза на один период вперед. Таким образом, будем рассматривать методы краткосрочного прогнозирования для стационарных и нестационарных временных рядов.
В анализе временных рядов для целей краткосрочного прогнозирования применяются следующие основные методы: Сглаживания скользящими средними; Экспоненциального сглаживания;
Расчет предикторов моделей и выбор наилучшей модели методологии Бокса - Дженкинса
В предыдущем пункте, анализируя визуально поведение автокорреляционной и частной автокорреляционной функций выбраны две модели. Несмотря на это рассчитаем параметры более широкого класса моделей, тем самым проверим количественно сделанный визуально выбор. Расчет параметров проведем для следующих моделей: авторегрессии первого порядка с константой ARIMA( 1,0,0); скользящего среднего первого порядка с константой ARIMA(0,0,1); скользящего среднего первого порядка для первой разности ARIMA(0,1,1); авторегресии первого порядка для первой разности АШМА( 1,1,0); авторегрессии второго порядка с константой ARIMA(2,0,0); скользящего среднего второго порядка с константой АШМА(0,0,2); экспоненциального сглаживания для полиномиальной модели нулевого порядка (EWMA); экспоненциального сглаживания с учетом тренда -метод Хольта (Holt); экспоненциального сглаживания с учетом сезонности -метод Винтерса (Winters); двойного экспоненциального сглаживания (2xEWMA); адаптивного экспоненциального сглаживания -метод Тригга-Лича-Шона (TLS).
Для сравнения моделей рассчитаем средню квадратическую ошибку (MSE) приведенную в формуле (116). Дополнительно рассчитаем критерии Акайка (AIC) и Байесовский информационный критерий (BIC) по формулам (67), (68). Критерии AIC и BIC будем использовать для сравнения моделей с различным количеством параметров. Другими словами, тем самым проверим, оправдан или нет ввод в модель дополнительных параметров.
Результаты расчетов представим в двух таблицах. В первую (табл.6) поместим результаты моделирования методом Бокса-Дженкинса. Во вторую (табл.18) поместим результаты различных вариаций метода экспоненциального сглаживания.
Результаты, приведенные в табл.6, показывают, что выявились закономерности в наилучшей модели: это авторегрессии первого и второго порядков, что подтверждается поведениями графиков ACF и PACF. Для ряда ID5 наилучшей моделью оказалась ARJMA(0,1,1). Для нее наименьшие значения принимают среднеквадратическая ошибка (MSE) и Байесовский критерий BIC.
Напомним, что задачей является разработка математической модели и программного обеспечения для автоматического прогнозирования временных рядов пользователями системы в дальнейшем. Поэтому важно проверить, изменялась ли модель ряда с течением времени, т.к. существенные ошибки можно получить при использовании неверно выбранной модели.
Для проверки, изменяются ли модели рядов со временем и сравнении различных рядов, будем рассматривать ряды как бы через движущееся вдоль оси времени окно постоянной ширины к. Данное окно является аналогом обучающей выборки в методах скользящего экзамена оценки точности статистических выводов [40], эти методы оценки точности еще называются «ме тодом складного ножа» (jackknife method) или «перекрестным анализом дееспособности метода» (cross-validation method).
Оценим модель сначала для интервала временного ряда, образованного членами 1,2,...,к. Затем для интервала временного ряда с членами ряда 2,3,..., к+1 и т.д. Длина этого окна к должна быть достаточно большой, чтобы получить устойчивые статистические оценки. С другой стороны, не представляется оправданным задание слишком большой величины окна, т.к. рассматриваемые временные ряды имеют следующие специфические особенности. Наряду со случайными факторами, на значения временных рядов влияют особенности технологических процессов, которые со временем только совершенствуются, и как правило, не возвращаются к предыдущим характеристикам. Решающую роль на построение модели должны оказывать новые значения временных рядов.
