Содержание к диссертации
Введение
I. Анализ существующих методов контроля теплофизических характеристик конденсированных материалов 15
1.1. Определение теплофизических характеристик в среде постоянной температуры 18
1.2. Определение коэффициента температуропроводности в регулярном режиме 20
1.3. Нестационарные методы определения теплофизических характеристик в начальной стадии теплообмена 25
1.4. Определение теплофизических характеристик вереде переменной температуры 27
1.5. Учет зависимости теплофизических характеристик от температуры и изменения граничных условий во времени 31
1.6. Определение теплофизических характеристик при заданном постоянном тепловом потоке на поверхности тел 34
1.7. Импульсные методы определения теплофизических характеристик 36
1.8. Постановка задач исследования 39
2. Автоматизированный комплекс для экспресс-контроля теплопроводности строительных материалов с использованием потока плазмы 41
2.1. Конструкция автоматизированного комплекса контроля 41
2.2. Принцип действия автоматизированного комплекса контроля 47
2.3. Градуировка автоматизированного комплекса контроля 50
2.4. Контроль теплофизических и динамических параметров плазменного потока 51
2АЛ. Контроль температуры плазменного потока 51
2.4.2. Контроль удельной плотности теплового потока 59
2.4.3. Контроль скорости плазменного потока 64
2.4.4. Контроль коэффициента теплоотдачи к сферической частице 68
2.5. Статистическая обработка результатов экспериментальных измерений 70
3. Тестирование экспресс-метода контроля теплопроводности строительных композиционных материалов с использованием высококонцентрированного потока плазмы 19
3.1. Создание математической модели экспресс-контроля
теплопроводности материалов 79
3.1.1. Постановка задачи 79
3.1.2. Решение задачи моделирования экспресс-контроля теплопроводности материалов 86
3.2. Оптимизация режимов теплового воздействия для экспресс-контроля теплопроводности строительных изделий 95
3.3. Решение обратной задачи теплопроводности 98
3.3.1. Методы поиска минимума функционала 98
3.3.2. Поиск решения ОЗТ 102
3.4. Установление границ допустимых погрешностей определяющих величини меры по их соблюдению 108
3.5. Последовательность экспресс-контроля теплопроводности 113
4. Применение экспресс-метода для текущего контроля теплопроводности строительных материалов - 116
Заключение 124
Список литературы
- Определение коэффициента температуропроводности в регулярном режиме
- Принцип действия автоматизированного комплекса контроля
- Решение задачи моделирования экспресс-контроля теплопроводности материалов
- Установление границ допустимых погрешностей определяющих величини меры по их соблюдению
Введение к работе
Актуальность работы обусловлена тем, что в процессе создания новых теплоэффективных строительных материалов на стадии оптимизации состава исходного сырья и технологических режимов изготовления необходим постоянный контроль теплопроводности изделий в диапазоне температур их эксплуатации.
Существующие стационарные и нестационарные методы контроля теп-лофизических характеристик (ТФХ) связаны со значительными временными затратами в процессе исследования ТФХ низкотеплопроводных материалов при повышенных температурах, хотя именно при таких температурах и ведется эксплуатация огнеупорных и теплоизоляционных строительных материалов.
Основой большинства известных методов служат решения задач никак не отражающих специфику объекта и условий его взаимодействия с окружающей средой. Это затрудняет достижение необходимой точности контроля ТФХ при повышенных температурах. Поэтому необходимы дополнительные исследования, связывающие точность определения теплофизических характеристик с реально имеющими место условиями теплообмена.
В связи с этим разработка новых методов контроля теплопроводности строительных композиционных материалов, обеспечивающих малую продолжительность экспериментов и достаточно высокую точность получаемых результатов, является весьма актуальной. Это дает возможность текущего контроля теплофизических характеристик в процессе разработки новых строительных материалов в диапазоне температур их эксплуатации.
Актуальность работы подтверждается включением ее в тематические планы ГУ НИИ СМ при ТГАСУ и заинтересованностью предприятий строительного комплекса.
Целью работы являлась разработка и реализация экспресс-метода контроля теплопроводности строительных композиционных материалов с использованием высококонцентрированного потока плазмы на основе решения обратных задач теплопроводности. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
- обосновать использование плазменного потока в качестве источника нагрева при контроле теплопроводности строительных композиционных материалов и исследовать его теплофизические и динамические параметры;
- разработать методику оптимизации режимов экс пресс-контроля теплопроводности строительных композиционных материалов с использованием высококонцентрированного плазменного потока;
создать математическую модель контроля теплопроводности материалов;
- разработать алгоритмическое и программно-техническое обеспечение для экспресс-контроля теплопроводности;
- провести сравнительную оценку точности полученных результатов, определить область их рационального использования.
Научная новизна работы:
- разработан экспресс-метод контроля теплопроводности строительных композиционных материалов, включающий в себя нагрев изделия движущейся плазменной струей, температурно-временные измерения в разноудаленных от источника тепла точках, расположенных внутри материала образца, определение плотности теплового потока и эффективной теплопроводности материала образца;
- создана математическая модель контроля теплопроводности материалов, аналитическим и расчетным путем определено распределение температуры в образце строительного материала при воздействии на него движущегося источника тепла;
- предложена методика многокритериальной оптимизации режимов теплового воздействия для экспресс контроля теплопроводности строительных материалов;
- установлено, что при использовании разработанного программно-технического обеспечения время от начала измерений, и обработки данных до выдачи результата составляет 20 - 30 с, что при организованной подготовке образцов позволяет сократить продолжительность теплофизического контроля строительных материалов по сравнению с традиционными методами. Практическая значимость работы:
- система контроля и оценки теплофизических характеристик строительных материалов и изделий развита за счет реализации более оперативного метода контроля теплопроводности строительных композиционных материалов;
- результаты контроля могут быть положены в основу более точных расчетов соотношений «глина - наполнитель» по критерию оптимизации «прочность - теплопроводность», на примере разрабатываемого теплоизоляционно-конструкционного материала показано, что состав шихты с содержанием зольных микросфер 70 % является оптимальным по соотношению «прочность -теплопроводность». Полученные изделия по прочности соответствует марке 150 (Іїасж = \5 МПа) конструкционных материалов, а по теплопроводности (X = 0,17 Вт/м°С) относится к классу теплоизоляционных материалов;
- результаты диссертационной работы используются в учебном процессе.
Томского государственного архитектурно-строительного университета для студентов специальности 291300 «Механизация и автоматизация строительства». Основное содержание работы.
Первая глава носит обзорный характер. Выполнен критический анализ литературы по уровню развития и задачам совершенствования методов контроля теплофизических характеристик. Теоретические предпосылки и классический подход к определению ТФХ методами стационарного и регулярного режимов проанализирован на основе работ А. В. Лыкова, Г. М. Кондратьева, М. Ф. Жукова, В. А. Осиповой и др. Иррегулярные методы рассмотрены по работам В. Г. Безбородова, В. С. Волькенштейна и др. Анализ импульсных методов и методов ОЗТ для определения ТФХ проведен на основе работ Г. Карслоу, В. Л. Шевелькова, Л. А. Коздоба, Н. И. Никитенко, Ю. В. Полежаева и других исследователей. Сделан вывод, что разработка нового экспресс-метода контроля теплопроводности строительных композиционных материалов в диапазоне температур до 1350 °С (их эксплуатации), основывающегося на плазменном нагреве материала и решении обратных задач теплопроводности является актуальной задачей. Сформулированы цель и задачи исследования.
Вторая глава посвящена разработке автоматизированного контрольного комплекса и программного обеспечения для эксрпесс-контроля теплопроводности строительных материалов, а также определению теплофизических и динамических характеристик плазменного потока, использующегося в качестве источника тепла при контроле теплопроводности.
Сделан вывод, что созданное программно-техническое обеспечение позволяет осуществлять температурно-временные измерения при воздействии плазменного потока на исследуемый объект с относительной погрешностью не более 5 %.
Третья глава посвящена расчетному тестированию экспресс-метода контроля теплопроводности строительных композиционных материалов с использованием плазменного нагрева. При этом создана математическая модель контроля теплопроводности материалов, аналитическим и расчетным путем определено распределение температуры в образце строительного материала при воздействии движущегося источника тепла. Выработан алгоритм обработки первичных измерений, включающий цифровую фильтрацию, временную корреляцию, сглаживание и интерполяцию.
Установлены предельно допустимые суммарные погрешности измерения основных величин и предусмотрены меры по их обеспечению. Показано, что разработанный алгоритм математической обработки экспериментальных данных и решения на их основе ОЗТ позволяет компенсировать возникающие при измерении погрешности.
В четвертой главе рассмотрены вопросы текущего контроля теплопроводности при создании новых строительных композиционных теплоизоляционных материалов на основе шихты из зольных микросфер и глины. Проведен анализ теплопроводности таких материалов с различным содержанием зольной микросферы (ЗМС) и выполнена оптимизация содержания ЗМС в составе исходного сырья по соотношению «прочность - теплопроводность». Выработаны рекомендации для оптимизации компонентного состава изделий. Проведена сравнительная оценка погрешности полученных результатов.
При использовании разработанного метода время от начала измерений и обработки данных до выдачи результата составляло 20 - 30 с, это с учетом удовлетворительной точности получаемых результатов позволяет говорить о перспективности разработанного экспресс-метода контроля теплопроводности строительных материалов и эффективно применять его в области строительного материаловедения.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку на:
- Втором Международном научно-техническом семинаре «Нетрадиционные технологии в строительстве» (г. Томск, ТГАСУ, 2001 г.);
- Восьмой Международной научно практической конференции студентов, аспирантов, и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, ТПУ, 2002 г.);
- Научно-технической конференции «Архитектура и строительство. Наука, образование, технологии, рынок» «Создание высококачественных строительных материалов и изделий, разработка ресурсосберегающих, экологически безопас-ных технологий в стройиндустрии» (г. Томск, ТГАСУ, 2002 г.);
- Международной конференции «Сопряженные задачи механики, информатики и экологии» (г. Томск, ТГУ, 2002 г.);
- Второй Всероссийской научно-практической конференции «Техника и технология производства теплоизоляционных материалов из минерального сырья» (г. Бийск, ЦЕИ, 2002 г.);
- III семинаре вузов Сибири и Дальнего Востока по теплофизике и теплоэнергетике (г. Барнаул, АлГТУ, 2003 г.). Публикации. Основное содержание работы изложено в девяти публикациях и заявке на изобретение №2003124090 (025533). На защиту выносятся:
- совокупность научных положений, на базе которых разработан новый экспресс-метод контроля теплопроводности строительных композиционных материалов с использованием высококонцентрированного потока плазмы;
- теплофизические и динамические параметры плазменного потока, используемого в качестве теплового источника при контроле теплопроводности строительных изделий;
- методика оптимизации режимов теплового воздействия на образец для экспресс-контроля теплопроводности строительных изделий;
- сравнительная оценка точности полученных данным методом значений теплопроводности строительных материалов.
Практическая реализация. Результаты диссертационной работы использованы в ООО «Лесопромышленное объединение «Томлесдрев» на заводе древесностружечных плит для определения теплопроводности шамотного ог-неупора, применяемого для футеровки сушильных установок, и в ЗАО «Томский завод керамических материалов и изделий» для контроля теплопроводности выпускаемых строительных керамических изделий.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 168 страниц, включая 28 рисунков, 21 таблицу.
Определение коэффициента температуропроводности в регулярном режиме
Коэффициент температуропроводности может быть найден из зависимости вида (1.10). Характерные размеры образца, а также изменение абсолютной избыточной температуры как функции времени есть непосредственно измеряемые величины. Обработка опытных данных в большинстве случаев связана с определением темпа нагрева, который при Bi — со прямо пропорционален коэффициенту температуропроводности [4].
Если теплообмен происходит при неопределенном значении критерия Био, то темп нагрева является функцией не только температуропроводности а, но и первого корня р-! , соответствующих характеристических уравнений и для нахождения температуропроводности потребуются данные не в одной, а в двух точках (метод двух точек [4]). Существует два способа обработки данных. Первый предполагает вычисление отношения температур Д7/Д7 в одни и те же моменты времени т2 = т, для точек с координатами xt и х2 .
Сущность второго способа состоит в измерении времени запаздывания, то есть времени, в течение которого температура в некоторой точке тела становится равной температуре в другой точке этого тела, причем время запаздывания, как и темп нагрева, будет являться величиной постоянной [11, 45].
Но оба этих способа довольно сложно осуществимы с математической точки зрения, отсюда сравнение рассмотренных выше методов определения температуропроводности при В і Ф СО И В І = со говорит в пользу последнего ус ловия. В литературе [4] обычно описывается схема а-калориметра, позволяющая осуществить режим близкий к условию Bi = со. Под а-калориметром понимается металлическая форма, заполненная исследуемым материалом. Заполненный а-калориметр выдерживается при постоянной температуре, а за тем переносится в термостат, где он нагревается или охлаждается в непрерывно перемешиваемой жидкой среде. Разность исходной и конечной температур должна составлять 10-20 С. Температура измеряется дифференциальной термопарой, один спай которой находится в центре а-калориметра (при использовании формул вида а = Схтх положение термопары не влияет на точность измерений), а другой - в жидкой среде. Свободные концы дифференциальной термопары подключаются к гальванометру или самописцу. В ходе эксперимента определяется зависимость ДГ = /(т), Знание этой зависимости позволяет найти mw для тела заданной формы непосредственно или графически. В графическом представлении в регулярном режиме это прямая линия. Последний вариант расчета более надежен, ибо включает в себя критерии проверки правильности хода эксперимента и исключает случайные ошибки единичных измерений.
Метод а-калориметра неудобен при исследовании твердых материалов. Рекомендации по обертыванию образца алюминиевой или медной фольгой и покрытию обертки водонепроницаемым лаком нельзя считать приемлемыми [7]. Действительно, эту трудоемкую операцию необходимо каждый раз повторять при испытании нового вида материала. Кроме того, образец отделяется от среды не только слоем изготовленной изоляции, но и увеличенной воздушной прослойкой в промежутке образец - изоляция. Наличие дополнительных термических сопротивлений изменяет величину пи, что вносит ошибку при расчете коэффициента температуропроводности [7].
Определение коэффициента температуропроводности в регулярном режиме при высоких температурах реализовано при выполнении граничных условий как первого, так и третьего рода [8, 17]. Требуемый режим создается помещением предварительно прогретого образца в масло, расплавленные соли, металлы [8] или печь с более высокой температурой [17]. Методика эксперимента и обработки данных и в этом случае определяется видом задаваемого граничного условия. Техническое оснащение эксперимента зависит от температурного диапазона исследований. В целом для отыскания зависимости а = /(Т) в широком температурном диапазоне необходимо многократное повторение экспериментов при разных температурах и малых температурных перепадах в образце.
Использование однородного исследуемого материала при однократном тепловом воздействии дает возможность с помощью соотношения (1.10) определить только коэффициент температуропроводности. Определение коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости при задании граничного условия третьего или первого рода обычно реализуется в сравнительных методах, предлагающих применение эталонных материалов. Если теплообмен в эталоне и испытуемом образце изучается отдельно, то теоретической основой отыскания аДиСр являются выражение (1.10) и соответствующие характеристические уравнения (1.7) - (1.9). Сравнение теплофизических свойств осуществляется посредством сравнения темпов изменения температуры, определяемых при разных условиях теплообмена. Из выражения (1.10), опуская символы суммирования, получаем
Так как для тела данной формы д,„ - величина известная, то, определив из (1.11) u-i и воспользовавшись одним из уравнений (1.7)-(1.9) или соответствующими им таблицами [1], можно найти критерий B\ = aRl/X, а затем, если коэффициент теплоотдачи известен, и X. Однако, коэффициент теплоотдачи, как правило, неизвестен, что и определяет практическую ограниченность рассмотренного варианта исследований.
Принцип действия автоматизированного комплекса контроля
Перед началом работы автоматизированный комплекс контроля подвергался настройке и градуировке.
Градуировка комплекса осуществляется при помощи имитатора ПИП. Имитатор представляет собой маломощный источник постоянного тока, плавно регулируемый по напряжению в пределах от 0 до 50 мВ, подключающийся на каждый канал АКК.
Аппроксимация значений откликов системы ЦК при градуировке каналов производится полиномами до 4-й степени в зависимости от линейных характеристик усилительного тракта. Для автоматической обработки градуировочных данных создана специальная программа. Полученные аппроксимационные зависимости используются для обработки данных программой, управляющей измерениями в ходе эксперимента. В каждом цикле производится 100... 1000 опросов, вычисление среднего значения искомой величины - измеряемого параметра, среднеквадратичного отклонения. Производится оценка и отброс явных промахов. Текст программы приведен в приложении 5.
Результаты градуировки измерительной системы для ПИП на основе термопар типа ВР 5/20 и ХА приведены в приложении 1.
Одним из основных элементов экспресс-метода контроля теплопроводности является нагрев материала до высоких температур с помощью электродугового плазмотрона мощностью до 25 кВт, что, в свою очередь, требует знания теплофизических и динамических характеристик генерируемых им высокотемпературных газовых потоков.
Известно, что наиболее простыми и удобными являются контактные методы контроля плазменных потоков (ПП) [55]. В этих методах чувствительный элемент (ЧЭ) помещается в измеряемую среду и, следовательно, контролируется температура ЧЭ, а не среды. Контактные методы контроля в условиях высоких температур основаны на измерении нестационарных (изменяющихся во времени) температур чувствительного элемента (ПИП температуры - королька термопары, ПИП теплового потока - пластинки или цилиндра, заделанных в исследуемый образец).
Можно рассмотреть процесс нагрева тела чувствительного элемента при следующих условиях. 1. Температура газового потока Тж не изменяется во времени. 2. Коэффициент теплоотдачи а является неизменной во времени величиной. 3. Внутренние источники тепловыделения в теле образца (ЧЭ) имеют нулевую мощность (W- 0). 4. Начальное распределение температуры в теле образца (ЧЭ) может быть произвольным. 5. Разность между температурой в любой точке тела и температурой потока имеет один и тот же знак.
При этих условиях нестационарный процесс нагрева (охлаждения) может быть разделен на две стадии: начальную стадию и стадию регулярного теплового режима.
Первая стадия характеризуется тем, что изменение температуры во времени существенно зависит от начального распределения температуры в теле (теплового состояния ЧЭ). Здесь характер процесса не определяется однозначно условиями нагрева (охлаждения) и свойствами тела.
Во второй стадии постепенно влияние начальных условий все более и более утрачивается. Воздействие условий нагрева и свойств материала тела ЧЭ становится определяющим. Наступает регулярный тепловой режим (РТР).
При этом закон изменения температурного поля во времени принимает простой и универсальный вид: логарифм избыточной температуры (б = [7-7 .]) тела в любой точке изменяется по линейному закону ох Скорость нарастания температуры пропорциональна разности температур между телом ЧЭ и средой омывающего потока. Так же можно записать Э[1п(Г,-Г)] дх х Решение этого уравнения имеет вид: Т = Тж-С-е-" \ (2.6) то есть температура во времени изменяется по экспоненциальному закону. Здесь С, С, - константа интегрирования, зависящая от начальных условий (распределения температуры в теле ЧЭ в момент времени т - 0).
Решение задачи моделирования экспресс-контроля теплопроводности материалов
Известно большое количество конечно-разностных схем, использовавшихся для решения задач теплопроводности. Многие из них описаны в работах A. А. Самарского [62], А. В. Гулина [63], Н. Н. Яненко [64], Г. И. Марчука [65], B. К. Саульева [66], В. Вазова и Дж. Форсайта [67], Р. Д. Рихтмайера и К. В. Мортона [68]. Среди разностных методов вряд ли можно указать такой, который имел бы преимущества во всех отношениях. Каждая из разностных схем имеет свои достоинства и недостатки. Кроме того, реальные физические процессы протекают во времени и пространстве, имеющем три измерения, и это приходится учитывать при их численном исследовании. Переход от одномерных к многомерным задачам не вызывает принципиальных трудностей при построении разностных алгоритмов. Однако число неизвестных в системе разностных уравнений при этом значительно возрастает, соответственно увели чивается число арифметических операций, необходимых для ее решения. В этом случае особую ценность приобретает свойство экономичности разностной схемы.
Для решения многомерных задач математической физики в последние десятилетия успешно применяются разностные схемы, основанные на методе дробных шагов [60, 64]. Такие схемы сочетают положительные качества явных и неявных методов - они абсолютно устойчивы и для перехода от одного слоя к другому требуют числа арифметических операций, пропорционального числу узлов разностной сетки. Такая экономичность разностных схем, основанных на методе дробных шагов, достигается благодаря тому, что решение сложной многомерной задачи сводится к решению ряда одномерных. При этом для решения последних можно применить метод прогонки [69].
Для численного решения уравнения (3.2) применен метод дробных шагов, который основан на предположении, что в первую половину промежутка времени ск тепло передается в направлении дг, а во вторую половину - в направ лении z. В соответствии с данным предположением уравнение (3.2) можно преобразовать в систему двух уравнений рС дТ
Система уравнений (3.13) и (3.14) совместно с начальными и граничными условиями решалась по неявной разностной схеме методом прогонки. Использование метода прогонки обеспечивает абсолютную устойчивость решения относительно шага по времени. Это дает возможность найти оптимальное соотношение между точностью и продолжительностью расчета.
Двумерная сетка, с помощью которой осуществляется разбиение профиля температуры в образце на отдельные точки, приведена на рис. 3.4. Разбиение по координатам х и z осуществляется в соответствии со следующими формулами: л:0 = 0, xd = У21, хп = / - задается в исходных данных; х,=Хь+і при (/ = 1,2 пх-\)\ (3.15) пх -1 z0 = 0, zdk=zQ+zJk, zn=h - задается в исходных данных; h Zj=z0 + j при (j = 1,2,..., п. -1), (3.16) п. — \ где xt и Zj - положение ( -й (У-и) точки по оси х и z соответственно; / и h - длина и высота образца; лг и п. - количество точек сеточной аппроксимации вдоль оси х и z; xd - координата, характеризующая положение ПИП по оси д;; zdk - координата к -го ПИП по оси z; zd - расстояние между ПИП.
Следует отметить, что для упрощения расчетной модели температурные ПИП располагаются вдоль линии параллельной оси z (координата х неизменна для всех ПИП), что в теплофизическом эксперименте недопустимо. Ранее проведенные исследования [100] подтверждают правомерность такого допущения.
Установление границ допустимых погрешностей определяющих величини меры по их соблюдению
Для решения обратной задачи теплопроводности необходим выбор подходящего алгоритма поиска минимума невязки экспериментальных и расчетных данных, который должен эффективно, с высокой точностью, решать поставленные задачи и обладать высоким быстродействием.
Не случайно, что многие важные методы поиска минимума функционала были разработаны в течение трех последних десятилетий, в период появления цифровых ЭВМ, и эти методы являются машинными. Трудно считать их сколько-нибудь практически значимыми без большой скорости и эффективности вычислительных машин, имеющихся в наше время в распоряжении исследователей. Не смотря на это, они занимают достойное место рядом с классическими методами оптимизации.
Методы оптимизации функции, как одной, так и п переменных можно условно разделить на две группы: это методы подразумевающие оптимизацию без ограничений и при наличии ограничений. Методы оптимизации при отсутствии ограничений, в свою очередь, можно разделить на методы прямого поиска и градиентные методы.
Методы поиска, в которых наряду со значениями функции используется ее градиент, называют градиентными методами. Последние десятилетия XX века проводились активные исследования градиентных методов. Эти методы основаны на идеях сопряженных направлений и свойствах квадратичных функций. Существует целое семейство таких методов, среди которых методы наискорейшего спуска, Давидона - Флетчера - ГТауэлла [76], Флетчера - Ривса [77] и Ньютона - Рафсона [78] являются наиболее яркими представителями [79]. Не будем рассматривать их во всех подробностях, упомянем лишь, что эти методы являются достаточно эффективными для определенных функциональных зависимостей, однако в областях поиска, для которых трудно установить аналитическую зависимость, такие методы нельзя считать конкурентоспособными по сравнению с методами прямого поиска. На разработку методов прямого поиска для определения минимума функции п переменных было затрачено много усилий. В методах прямого поиска используются только значения функции, практика показала, что эти методы являются эффективными и применимы для широкого круга задач. Рассмотрим функцию двух переменных. Ее минимум лежит в точке fjfj , ) Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска.
Из произвольной точки производим поиск минимума вдоль оси х\ и, таким образом, находим точку, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси х\. Затем, производя поиск из этой точки вдоль оси Х2, получаем следующую точку, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Любой из одномерных методов может быть использован здесь для поиска вдоль оси. Очевидным образом идею можно применить для функции п переменных.
Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были разработаны более сложные методы, использующие больше информации на основании уже полученных значений функции.
Метод Хука - Дживса [72] разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом.
Метод Нелдера — Мида [73] является развитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсворта [74]. Множество (я+1) - й равноудаленной точки в п - мерном пространстве называется регулярным симплексом. Эта конфигурация рассматривается в методе Спендли, Хекста и Химсворта. Следовательно, в двумерном пространстве симплексом является равносторонний треугольник, а в трехмерном пространстве - правильный тетраэдр. Идея метода состоит в сравнении значений функции в (л+1) вершинах симплекса и перемещении сим 100 плекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры. В симплексном методе, предложенном первоначально, регулярный симплекс использовался на каждом этапе. Нелдер и Мид предложили несколько модификаций этого метода. В результате получился очень надежный метод прямого поиска, являющейся одним из самых эффективных, если п 6.
Проверка сходимости в методе Нелдера - Мида основана на том, чтобы стандартное отклонение (и+1) - го значения функции было меньше некоторого заданного малого значения є. В этом случае вычисляется 2 = (/-///(" + 0 (3-40) где = 1/,/(« + 1).
Если ст є, то все значения функции очень близки друг к другу, и поэтому они, возможно, лежат вблизи точки минимума функции. Такой критерий сходимости является разумным, хотя и не единственным возможным [75]. Подобранные определенным образом [73], на основании результатов экспериментов с различными комбинациями значений, коэффициенты отражения, сжатия и растяжения (а,Р, у) позволяют методу быть эффективным, и работать в различных сложных ситуациях. Метод прямого поиска, предложенный Нелдером и Мидом [73], в настоящее время является одним из самых надежных и эффективных методов [71] при количестве переменных п 6 . В процессе решения обратных задач не всегда удается получить простой и удобный для минимизации вид функционала, а тем более затруднительно вычисление его градиентов, поэтому применение методов прямого поиска является весьма заманчивым. Метод Нелдера - Мида вполне может быть использован для минимизации функционалов в процессе решения обратных задач.
