Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели судов как динамических объектов управления 39
1.1. Классификация математических моделей маневрирующих судов 40
1.1.1 Области применения математических моделей маневрирующих судов 40
1.1.2 Моделирование динамических параметров 49
1.1.3 Учет воздействия случайных факторов 53
1.1.4 Алгоритмическая структура модели 55
1.1.5 Размерность моделей 58
1.2.Основные принципы оптимизации математических моделей 59
1.2.1 Адекватность модели 59
1.2.2 Конструктивность системы 60
1.2.3 Дискретность модели 61
1.2.4 Эффективность вычислительного процесса 61
1.2.5 Локальная или глобальная управляемость 61
1.3.Общая характеристика методов разработки моделей динамики судов 62
1.3.1 Основные алгоритмы построения моделей судов 62
1.3.2 Требования к моделям судов в задачах синтеза управлений 66
1.3.3 Характеристика алгоритмов построения математических моделей судов для решения задач синтеза 68
1.4. Общие дифференциальные уравнения трехмерного движения судна 70
1.4.1 Структура общей системы дифференциальных уравнений 72
1.4.2 Уравнения движения судна 72
1.4.3 Гидростатические силы и силы веса 75
1.4.4 Гидродинамические силы, действующие на подводную часть корпуса судна 77
1.4.5 Аэродинамические силы, приложенные к надводной части судна 82
1.4.6 Силы, приложенные к винто-рулевому комплексу 83
1.4.7 Взаимодействие винто-рулевого комплекса с корпусом судна 88
1.4.8 Силы гидродинамического взаимодействия между судами 92
1.4.9 Силы гидродинамического контакта с бровками канала 93
1.4.10 Кинематические соотношения 94
1.5.Моделирование управления судном 96
1.5.1. Основные дифференциальные уравнения, характеризующие работу органов управления судном 96
1.5.2.Ручное управление 100
1.5.3. Автоматическое управление 104
1.6.Моделирование воздействия гидрометеорологических факторов 108
1.6.1. Алгоритм учета нерегулярного волнения ПО
1.6.2.Воздействие на судно уклона водной поверхности и течения 118
1.6.3.Влияние ветра на судно 124
1.7.Методы подготовки баз данных для математической модели движения судна 127
1.7.1 Использование результатов измерения сил на модели конкретного судна в гидродинамических лабораториях 127
1.7.2 Применение систематизированных результатов измерения сил в гидродинамических лабораториях 128
1.7.3 Подбор констант для кинематических моделей 129
1.7.4 Идентификация гидродинамических сил по результатам натурных испытаний 129
Выводы 134
2. Математические формулировки и методы синтеза программных траекторий движения судов при существенных ограничениях 136
2.1.Принцип разделения проблем синтеза программных и стабилизирующих управлений судами 137
2.1.1.Общая характеристика принципа разделения 139
2.2.Синтез программных движений судов в предпортовых акваториях 145
2.2.1. Постановка задач синтеза программных траекторий 146
2.2.2. Математические формулировки задач синтеза программных траекторий 150
2.2.3.О методах решения задач синтеза траекторий 153
2.3.Математическая формулировка проблемы синтеза программных движений судов в портовых акваториях 154
2.3.1.Постановка проблемы синтеза 155
2.3.2.Математические формулировки проблемы синтеза 160
2.3.3.Методы решения задач синтеза 164
2.4. Синтез программных траекторий обобщенным траекторно-аппроксимационным методом 167
2.5. Синтез программных траекторий проекционным методом 170
2.6. Синтез программных траекторий методом динамического программирования 173
2.6.1. Математическая формулировка задачи для сеточной модели траектории 174
2.6.2. Вычислительный алгоритм динамического программирования 179
2.6.3. Анализ дополнительных вариантов формулировки задачи 180
Выводы 182
3. Синтез управлений для стабилизиции судов на программных траекториях 183
3.1. Анализ задач и методов синтеза стабилизирующих управлений 183
3.1.1. Общая характеристика методов 184
3.2. Математические модели судов для синтеза стабилизирующих управлений 188
3.2.2. Качественная характеристика методов стабилизации 206
3.3. Синтез интервально-оптимальных систем стабилизации судов 210
3.3.1. Математическая формулировка задачи интервально-оптимальной стабилизации судов 214
3.4. Методы вычисления интервально-оптимальных стабилизирующих управлений судами 227
3.5. Анализ устойчивости систем стабилизации судов на программных траекториях 234
Выводы 239
4. Вопросы реализации систем программного управления движением судов 240
4.1. Общая характеристика проблем реализации 240
4.2. Математические модели судов для задач идентификации параметров 242
4.3. Линейные статистические оценки параметров моделей судов 246
4.4. Линейные статистические оценки координат состояния судов 255
Выводы 258
Заключение 259
Список использованных источников 261
- Характеристика алгоритмов построения математических моделей судов для решения задач синтеза
- Математические формулировки задач синтеза программных траекторий
- Математическая формулировка задачи интервально-оптимальной стабилизации судов
- Линейные статистические оценки параметров моделей судов
Введение к работе
Актуальность темы. Теория управления крупнотоннажными судами с точки зрения ее функционирования включают три основных раздела:
- Математические модели, характеризующие динамику и кинематику движения судна.
- Методы синтеза программных траекторий, разрабатываемых на основе математических моделей судов.
- Методы стабилизации и управления программным движением судов.
Создание и дальнейшее развитие современных систем автоматизированного управления крупнотоннажными судами связано с необходимостью решения целого комплекса основных задач моделирования, анализа и синтеза оптимальных или рациональных систем управления. Практическая реализация решения этого комплекса задач направлена на обеспечение безопасности мореплавания и энергосбережение углеводородных ресурсов. Перечисленные задачи на первом этапе решения требуют разработки комплекса адекватных математических моделей, описывающих динамику судов с учетом основных требований к режимам маневрирования, программирования безопасных маршрутов движения судов и создания методов стабилизации движения крупнотоннажных судов на безопасных программных траекториях.
Актуальность рассматриваемой проблемы, особенно для крупнотоннажных судов, подтверждается статистикой навигационной аварийности. Навигационная аварийность крупнотоннажных судов в два - два с половиной раза выше, чем в целом по мировому морскому флоту.
Результаты исследований навигационной аварийности крупнотоннажных судов Новороссийского морского пароходства за два десятилетия, проведенных Новороссийской государственной морской академией, показали, что в акваториях портов произошло более 50% навигационных аварий, около 40% - в узкостях и лишь 10% в открытом море. Именно поэтому основное внимание в работе уделено разработке программных траекторий в акваториях портов и узкостях.
Навигационные аварии крупнотоннажных судов сопряжены с большими материальными потерями. Убытки от аварии одного крупнотоннажного танкера составляют в среднем по мировому морскому флоту 313 тыс. долларов. В некоторых случаях материальный ущерб исчисляется десятками миллионов долларов. Например, убытки от аварии танкера «Амоко Кадис» (Либерия) превысили один миллиард долларов.
Решению комплекса задач, непосредственно связанных с поставленной проблемой, посвящен целый ряд работ по теории маневрирования корабля. Среди них можно выделить ряд результатов, полученных отечественными и зарубежными учеными: A.M. Васиным, С.Н. Благовещенским, Я.И. Войткунским, А.Д. Гофманом, И.Т. Егоровым, В.И. Зайковым, Ф.М. Кацманом, Р.Я. Першицем, Г.В. Соболевым, А.Н. Тихоновым, Ван-Маненом, К. Кииджима и другими исследователями. Проблема моделирования решалась также на основе общих принципов создания и преобразования математических моделей теории управления, полученных Н.Н. Баутиным, Е.А. Леонтовичем, Р.А. Нелепиным, А.А. Первозванским, Ю.В. Ракитским, В.А. Якубовичем и другими учеными. Эффективное решение ком плекса задач моделирования требует формирования моделей с учетом последних достижений теории корабля и теории управления с целью повышения качества моделирования на этапах анализа и синтеза, а также при создании тренажеров, рекомендаций и наставлений для судоводителей.
На следующем этапе исследований на первый план выступает разработка методов оптимального или рационального программирования маршрутов движения крупнотоннажных судов в условиях ограничений на траекторию и скорость движения. Эти ограничения определяются требованиями к синтезу безопасных маршрутов движения на акваториях портов и в подходных каналах с одновременной оптимизацией по длине маршрута, обеспечивающей энергосбережение. Решению этой проблемы посвящен целый ряд работ в области программирования маршрутов, относящихся к теории корабля и к общей проблеме управления. Основные результаты получены Р. А. Нелепиным, А.С. Васьковым, Сейдж Э., Меле Д., Калмана Р. и другими авторами. Специфические особенности постановки этой проблемы потребовали их формулирования с позиций теории математического программирования с учетом выпуклых или невыпуклых допустимых областей. Задача программирования маршрутов при ограничениях, вносимых навигационной обстановкой на входах в порты, характеризуется выпуклой допустимой областью при выполнении ряда предположений. Программирование маршрутов в условиях порта (когда требуется строить маршрут с учетом расположения судов, стоящих в порту) приводит, как правило, к оптимизации или рационализации маршрутов в невыпуклой допустимой области. Актуальность разработки методов программирования маршрутов привела к появлению некоторых подходов, использующих «графовые» или «сеточные» модели траекторий с последующим отбором траекторий по ряду критериев.
Вместе с тем упомянутые подходы не исчерпывают проблему в целом, что делает актуальным обобщение уже разработанных способов и создание принципиально новых методов. Именно эта задача была решена в диссертационной работе, что позволило предложить ряд новых подходов на основе методов невыпуклой оптимизации, штрафных функций, методов проецирования и динамического программирования.
Третьей основной задачей является разработка методов стабилизации программных движений судов с учетом требований к системам стабилизации при выполнении ограничений на точность удержания судна на заданной траектории. В связи с этим необходимо решить комплекс задач, позволяющих синтезировать стабилизирующие управления в целом. Такая постановка задачи требует создания адекватных математических моделей крупнотоннажных судов для прогнозирования динамики их движения, разработки методов анализа их динамики и управлений, стабилизирующих программные движения судов в условиях ограничений на траектории движения. Последнее обстоятельство обуславливает необходимость адекватного формулирования ряда задач по синтезу стабилизирующих управлений, выполнения анализа соответствующих методов, синтеза сложных функциональных методов и алгоритмов управления судами. При этом необходимо ориентироваться на синтез стабилизирующих управлений с учетом требований к динамике крупнотоннажных судов, обладающих большой инерционностью.
Четвертая группа задач связана с реализацией методов и алгоритмов управления судами в условиях оперативного получения требуемой информации о параметрах и координатах состояния судов как объектов управления при маневрировании и швартовке.
Таким образом, в настоящее время актуальным является необходимость дальнейшего развития существующих и создания новых методов, алгоритмов и комплекса прикладных программ, предназначенных для управления судами с целью повышения безопасности мореплавания на основе синтеза безопасных маршрутов движения судов и энергосберегающих технологий управления.
Цель работы. Развитие перспективных методов и алгоритмов управления крупнотоннажными судами с учетом требований к безопасности мореплавания и критериев энергосбережения, повышения эксплуатационной надежности машин и механизмов потребовало решения следующих основных задач исследования:
1. Обобщения и развития методов математического моделирования, предназначенных для анализа замкнутых управляющих систем и вычисления управлений, стабилизирующих движение крупнотоннажных судов на безопасных маршрутах с учетом комплекса определяющих факторов (ветер, течение и др.).
2. Синтеза маршрутов движения в подходных каналах и на акваториях портов (в выпуклых и невыпуклых допустимых областях) методами нелинейного и динамического программирования траекторий движения крупнотоннажных судов по критериям безопасности и энергосбережения с учетом границ маневренности крупнотоннажного судна.
3. Разработки интервально-оптимальных решений для стабилизации судов на безопасных маршрутах движения по критериям минимального отклонения от программных траекторий и минимальных затрат, сведенных к комплексу программ для ЭВМ.
4. Реализации методов и алгоритмов идентификации параметров и координат с учетом статистических характеристик зашумленности данных.
Научную новизну диссертационной работы составляют:
• модифицированные (на основе методологического обобщения) методы математического моделирования динамики крупнотоннажных судов, учитывающие комплекс воздействий внешней среды;
• линейные и кусочно-линейные модели движения крупнотоннажного судна, адаптированные к вычислениям стабилизирующих управлений на бортовой ЭВМ в режиме реального времени и текущей позиции судна;
• предложенные решения задач синтеза оптимальных или рациональных маршрутов движения судов на основе методологии выпуклого и невыпуклого программирования (в частности, методов штрафных функций, проецирования и динамического программирования). Такие решения позволяют не только получить безопасную программу движения, но и обеспечить экономию энергии;
• предложенные решения задач интервально-оптимальной стабилизации на основе методологии квадратичного или модульного программирования, дающие возможность оценки устойчивости систем стабилизации судов на безопасных маршрутах, позволяющих оптимизировать (минимизировать) число перекладок руля и изменений режимов работы двигателя, увеличивая эксплуатационную надежность соответствующих машин и механизмов и энергосбережение.
Практическая ценность. Разработанные математические модели использованы для научного обоснования, разработки и внедрения предложений по увеличению пропускной способности проливов Босфор и Дарданеллы в связи с увеличением танкерной транспортировки нефти для моделирования динамики судов с учетом комплекса гидрометеорологических факторов на этапах формирования адекватных моделей для различных режимов движения в стесненных условиях плавания.
Методы синтеза маршрутов и стабилизирующих управлений на этапе их теоретической разработки предназначены для использования при создании систем автоматизированного управления судами.
Результаты численного эксперимента с применением разработанных математических моделей внедрены в процесс научной экспертизы аварийных ситуаций на морском транспорте и при разработке системы рекомендаций и наставлений для судоводителей крупнотоннажных судов. Материалы диссертации использованы в учебной работе с курсантами НГМА, а также для повышения квалификации судоводителей.
Разработанный алгоритм прогнозирования движения судов внедрен в навигационный тренажер, предназначенный для проведения научных исследований в области безопасности судоходства.
Результаты работы использовались при выполнении научных исследований по темам:
«Анализ пропускной способности проливов Босфор и Дарданеллы в связи с предстоящим увеличением танкерной транспортировки нефти после ввода в действие российской части трубопроводного консорциума (КТК-Р) в порту Новороссийск»;
«Разработка программного обеспечения математической модели управляемого движения судна с учетом заданного НГМА алгоритма и создание баз данных по судну».
Предлагаемые методики могут использоваться непосредственно или адаптироваться к решению аналогичных проблем в других отраслях народного хозяйства.
В работе выделен вклад ведущих ученых, трудами которых создавались адекватные математические модели управляемого движения судов: A.M. Басина, С.Н. Благовещенского, Я.И. Войткунского, А.Д. Гофмана, В.И. Зайкова, Р.Я. Першица, Г.В. Соболева. Отмечена роль созда телей современной теории систем: А.Н. Тихонова, Р. Калмана и др. в решении проблемы идентификации систем и фильтрации навигационной информации. Подчеркнуто значение работ Н.Н. Баутина, Е.А. Леонтови-ча, Р.А. Нелепина, А.А. Первозванского, Ю.В. Ракитского, В.А. Якубовича и других исследователей в решении задач моделирования на основе общих принципов создания и преобразования математических моделей теории управления. Представлен обзор литературы, посвященной исследуемой теме. Сформулированы цели и задачи исследования, приведен краткий обзор содержания диссертации по разделам и основные полученные результаты.
В первом разделе представлены основные принципы разработки математической модели управляемого движения судна и структура такой модели. Показано, что создание модели можно рассматривать как решение проблемы идентификации (т.е. математического воспроизведения) такой достаточно сложной динамической системы, какой является маневрирующее судно. Выделена связь решения поставленной задачи с наиболее общими принципами теории систем, характерными почти для любой отрасли науки, а также специфические требования к математической структуре модели судна.
Для оценки методов построения математической модели движения судна в первой главе рассмотрены области применения этих моделей в решении задач обеспечения безопасности судоходства. Из рассмотренных сфер использования таких математических моделей наиболее близким к основной задаче, поставленной в настоящей работе, является прогнозирование траекторий движения в автоматизированных системах управления движением судов (АСУДС);
Для выбора оптимальной структуры математической модели разработаны принципы классификации математических моделей судов: по назначению, характеру моделирования динамических параметров, учету воздействия случайных факторов, наконец, по алгоритмической структуре.
Выполнен краткий анализ преимуществ и недостатков отдельных категорий математических моделей, на основании которого в качестве исходной принята динамическая нелинейная вероятностная модель.
Эта модель базируется на нелинейной системе дифференциальных уравнений пространственного движения судна. Для полного описания процесса управления судном к этой системе добавлена система уравнений вращения гребных винтов и перекладки рулей.
По результатам выполненного анализа структуры и сфер применения математических моделей управляемого движения судов выдвинут ряд принципов их оптимизации:
Адекватность модели, т.е. естественное требование соответствия между моделью и поведением судна. В соответствии с общими положениями теории систем сформулировано два основных принципа, имеющих прямое отношение к проблеме адекватности: принцип единственности, в соответствии с которым при точных и полных данных существует только одна математическая модель, воспроизводящая эти данные и принцип неопределенности.
Последний принцип устанавливает относительно зашумленных данных следующее общее утверждение: неточные данные воспроизводят неединственную систему (модель). С этих позиций наилучшие возможности для обеспечения адекватности имеет динамическая вероятностная сеточная модель.
В качестве второго принципа оптимизации выдвинуто требование конструктивности системы, которое необходимо для решения задачи синтеза управления. Показано, что наибольшие возможности в этом отношении открываются в случае применения линейных систем, хотя и подчеркнуто, что динамическая модель судна даже для стандартных маневров не вписывается в рамки линейной системы. Указаны возможные пути преодоления этой трудности линеаризацией модели на каждом временном шаге при сохранении общей нелинейной структуры модели судна. Для вычисления управлений возможно применение кусочно-квадратичных моделей, более точно описывающих движение судов.
Третий принцип - дискретность модели, являющаяся вполне естественным требованием при современном состоянии микропроцессорной техники.
Далее выдвинуто требование эффективности вычислительного процесса, под которым понимается минимизация вычислительных операций при функционировании модели. Отмечено, что это качество может быть достигнуто за счет понижения размерности вектора состояния судна как объекта управления применением гипотезы стационарности и перехода к асимптотическим моделям судна.
Наконец в качестве последнего принципа оптимизации выдвинуто требование обеспечения как локальной, так и глобальной управляемости, т.е. возможности перевода судна как объекта управления из одного состояния в другое. Показано, что для случая линейной модели может быть использован критерий управляемости Р. Калмана, а для нелинейной системы при описании вектора состояния подвижного объекта можно линеаризировать модель для каждого малого интервала времени.
В первой главе дана также общая характеристика методов разработки моделей динамики судов. Математические модели динамики судов представлены в качестве специального класса дифференциальных уравнений, которые используются для решения широкого круга задач исследования динамики судов и синтеза управлений. Показано, что наибольший интерес для большинства практических применений имеют модели динамики судов в непрерывном времени, а для вычисления оптимальных управлений необходимо использовать математические модели, описывающие динамику судов в переходных режимах.
Выполненный анализ состояния науки в этой области показал, что в настоящее время модели для оптимизации динамических режимов подвижных объектов недостаточно разработаны. Использование существующих моделей либо затрудняет вычисление оптимальных управлений, либо не удовлетворяет требованиям к адекватности описания специфических режимов движения. Такое положение требует разработки моделей, позволяющих уменьшить вычислительные трудности и выполнять оптимизацию в различных режимах. При разработке математических моделей использованы элементы структуры моделей, ранее созданных A.M. Васиным, А.Д. Гофманом, А.Г. Маковским, Ю.М. Мастушкиным, Е.П. Николаевым, Г. В. Соболевым, В.И. Зайковым, Е.Б. Юдиным и др., которые разделены на две группы.
К моделям первой группы отнесены нелинейные или линеаризованные обыкновенные дифференциальные уравнения, используемые при решении широкого класса задач динамики. Модели второй группы в большинстве случаев получены из точных уравнений с помощью различных методов, позволяющих понизить порядок дифференциальных уравнений или упростить их алгоритмическую структуру.
Показано, что для конструирования оптимальных управлений в реальном масштабе времени целесообразно использование приближенных моделей подвижного объекта в виде линеаризованных дифференциаль ных уравнений состояния более низкого порядка, переход к которым осуществляется асимптотическими преобразованиями. Такой вывод следует из того, что учет нелинейностей моделей и высокий порядок дифференциальных уравнений существенно усложняют процедуры вычислительной реализации управлений, а при оптимизации больших систем ставят непреодолимые трудности в связи с большой размерностью получающихся задач оптимизации. Во многих случаях оптимизация с помощью точных моделей не позволяет получить существенно лучшие результаты, чем при использовании приближенных моделей. Применительно к управлению многими классами объектов такой вывод подтверждается тем, что управление существенно влияет только на низкочастотную часть спектра изменения регулируемых координат. Приведенные соображения являются предварительным обоснованием использования линеаризованных моделей низкого порядка для управления судами.
Однако, для адекватного прогнозирования управляемого движения судна в узкостях и на ограниченном фарватере необходимо применение наиболее полных нелинейных моделей, учитывающих воздействие случайных гидрометеорологических факторов. Главный фактор возмущения - это действие переменного ветра, неоднородного течения воды и волн.
Общая математическая модель движения представлена в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих характеристики судна при любом эксплуатационном маневре. При составлении системы уравнений движения использована левая связанная с судном система координат Gxyz.
В уравнениях учтены продольная, поперечная и вертикальная силы X Y Z а также моменты КпМпЦ, действующие на корпус судна и его винто-рулевой комплекс при работе в условиях переменных глубин, ветра, состояния моря, течений и гидродинамических контактов с другими судами, когда они находятся в непосредственной близости друг к другу, в условиях плавания на мелководье и при учете других факторов.
Во втором разделе дан анализ подходов к синтезу оптимальных программных траекторий движения судов при ограничениях, вносимых акваториями портов, и на подходах к ним. Задачи синтеза программных траекторий формулируются на основе постановок задач управления движением вне и внутри портов. При синтезе программных движений судов внутри порта возникает необходимость формулировки и решения оптимизационных задач с невыпуклой областью ограничений. Основу методов синтеза программных траекторий в этой ситуации составляют методы решения невыпуклых задач минимизации функционалов и метод динамического программирования, позволяющие получить решения для случая невыпуклых областей, которым принадлежат допустимые траектории судов. При этом выделен ряд проблем.
Проблемы, связанные с синтезом траектории входа в порт, решаются на основе программирования оптимальной траектории движения в выпуклой допустимой области. Программирование оптимальной траектории сводится к экстремальной задаче, заданной в выпуклой области. Проблема, соответствующая программированию движения при выходе судна из порта, аналогична проблеме, описанной выше.
Проблема программирования траекторий движения судов внутри порта сведена к экстремальной задаче в невыпуклой допустимой области, поскольку стоящие в порту на якорях суда и границы береговой линии определяют характер невыпуклости допустимой области. Предложены решения, базирующиеся на методах штрафных функций, проецирования исходных траекторий и динамического программирования, обеспечивающие оптимальные или рациональные программные траектории.
В третьем разделе анализируются классические подходы к синтезу стабилизирующих воздействий для движений управляемых судов на программных траекториях. Выполнен анализ методов модального, оптимального и локально-оптимального управления. Предложены решения задач стабилизации судна на курсе и обеспечения заданной поворотливости. Предложен интервально-оптимизационный подход, прогнозирующий динамику судов с учетом ограничений по устойчивости на курсе (траектории), поворотливости судна, на ресурсы управления. Исследована устойчивость замкнутых систем управления программным движением судов в форме достаточных оценок.
Проблема синтеза стабилизирующих управлений судами решена на основе раздельного синтеза программных и стабилизирующих воздействий и использования обобщений методов стабилизации в форме интер-вально-оптимальных процедур стабилизации. Для синтеза управлений разработаны модели судов в форме «вход - состояние - выход», описывающие динамику судов в дискретном времени. Исходными моделями являются полные системы дифференциальных уравнений судов, разработанные в разделе 1. Для вычисления управлений используются линеаризованные, кусочно-линейные и кусочно-квадратичные дифференциальные уравнения.
Показано, что минимизация заданных (на конечном интервале времени) функционалов на целевых множествах приводит к задачам математического программирования относительно прогнозируемых координат и управлений. Эти задачи должны решаться в процессе работы системы по мере поступления текущей информации, что характерно для управления с совмещенным синтезом. Проблемы быстрого решения экстремальных задач в темпе процесса и проведения качественного анализа систем с алгоритмической обратной связью, когда задан алгоритм вычислений управлений.
Применение аналитических процедур для задач, связанных с синтезом управлений, позволит эффективно получать решения экстремальных задач для приближенного описания алгоритмически заданных обратных связей. Для синтеза построены модели замкнутых систем и исследована их устойчивость методами теории устойчивости или нелинейного анализа.
В четвертом разделе рассмотрены вопросы реализации алгоритмов, связанные с созданием математических моделей судов, адекватных сформулированным целям и задачам управления. Рекомендован ряд алгоритмов статистического оценивания параметров и координат состояний судов для управления в режимах входа-выхода из акватории порта и движения в порту на основе разработанных методов синтеза. Рассмотрены вопросы построения этих алгоритмов для статистического оценивания координат состояния и параметров линеаризованных моделей по результатам текущих измерений при различной информации о действующих помехах.
Характеристика алгоритмов построения математических моделей судов для решения задач синтеза
Математические модели динамики судов составляют специальный класс дифференциальных уравнений, которые используются для решения широкого круга задач исследования динамики судов и синтеза управлений. На первом этапе моделирования необходимо дать общую характеристику проблемы.
Наибольший интерес для большинства практических применений имеют модели динамики судов в непрерывном времени. Как уже отмечалось выше, для вычисления оптимальных управлений необходимо использовать математические модели, описывающие динамику судов в переходных режимах. В настоящее время модели для оптимизации динамических режимов подвижных объектов недостаточно разработаны. Использование существующих моделей либо затрудняет вычисление оптимальных управлений, либо не удовлетворяет требованиям к адекватности описания специфических режимов движения. Такое состояние требует разработки моделей, позволяющих уменьшить вычислительные трудности и выполнять оптимизацию в различных режимах. Математические модели, удовлетворяющие этим требованиям, могут быть разработаны на основе результатов, полученных в теории корабля A.M. Васиным [3], А.Д. Гофманом [27], Ю.М. Мастушкиным [73], Р.Я. Пер-шицем [90], Г.В. Соболевым [103], В.И. Зайковым [148]. При этом можно воспользоваться многими элементами структуры ранее созданных математических моделей.
В отношении полноты детального учета всех факторов, определяющих адекватность моделирования движения подвижных объектов, все существующие модели можно разделить на следующие две качественные группы: точные модели, предназначенные для детального анализа процесса движения судов. приближенные модели, используемые для приближенного анализа процесса изменения координат объектов. Математические модели первой группы представляют собой нелинейные или линеаризованные обыкновенные дифференциальные уравнения, используемые при решении широкого класса задач динамики. Модели второй группы в большинстве случаев получены из точных уравнений с помощью различных методов, позволяющих понизить порядок дифференциальных уравнений или упростить их алгоритмическую структуру.
Для конструирования оптимальных управлений в реальном масштабе времени целесообразно использование приближенных моделей подвижного объекта в виде линеаризованных дифференциальных уравнений состояния более низкого порядка, переход к которым осуществляется асимптотическими преобразованиями [3, 103].
Такой вывод следует из того, что учет нелинейностей моделей и высокий порядок дифференциальных уравнений существенно усложняют процедуры вычислительной реализации управлений, а при оптимизации больших систем ставят непреодолимые трудности в связи с большой размерностью получающихся задач оптимизации. Во многих случаях оптимизация с помощью точных моделей не позволяет получить существенно лучшие результаты, чем при использовании приближенных моделей. Применительно к управлению многими классами объектов такой вывод подтверждается тем, что управление существенно влияет только на низкочастотную часть спектра изменения регулируемых координат. Приведенные соображения являются предварительным обоснованием использования линеаризованных моделей низкого порядка для управления судами.
Как уже отмечалось, наиболее удобной формой моделей являются уравнения состояния, которые характеризуют изменение во времени вектора состояния, содержащего всю информацию о предыстории поведения объекта и позволяющего дать анализ его поведения в будущем [36, 37, 103].
Анализ показывает, что управление судном и внешние возмущения влияют на отклонения регулируемых координат через координаты состояния в соответствии с динамическими свойствами объекта, определяемыми его оператором. Такие уравнения состояния, в которых текущие значения выходных координат вычисляются в виде суммы исходных значений координат и отклонений от этих исходных значений, можно назвать обобщенными уравнениями состояния судна. Из обобщенных непрерывных уравнений состояния могут быть получены обобщенные дискретные уравнения, представляющие собой рекуррентные уравнения, дополненные алгебраическими уравнениями выхода.
Рассмотренные особенности и формулировка требований к моделям для оптимизации системы управления движением судна позволяют перейти к выбору способа их построения. Построение моделей может быть выполнено двумя путями: экспериментальным способом при решении проблемы идентификации в процессе работы системы или с использованием априорной информации о процессах и описывающих их уравнениях. Выбор второго пути является предпочтительным на первом этапе синтеза, поскольку идентификация объектов затруднена в связи с многомерностью объекта и ограниченными возможностями для проведения экспериментов в натурных условиях. С другой стороны, идентификация затруднена в полном объеме, если в процесс идентификации включить определение структуры модели и ее параметров.
Построение модели динамики судна должно быть непосредственно связано с описанием существенных свойств моделируемых процессов. С этой целью ниже будет использовано разделение сложного движения судна с выделением семейства уравнений, включающих общие уравнения и уравнения движения в различных плоскостях.
Математические формулировки задач синтеза программных траекторий
Для установившегося плоского движения r = VIRc обобщенная кривизна траектории Q. = L/ L2 + R и безразмерная характерная угловая скорость Пі= »і
физическому смыслу. При неустановившемся движении угловая скорость r = VIR + d$ldt и безразмерная характерная угловая скорость Q будут отличаться от обобщенной кривизны траектории. Разницу в применении этих двух безразмерных параметров можно проиллюстрировать на примере маневра входа судна в циркуляцию. В начальный период после перекладки руля траектория движения центра тяжести остается близкой к прямолинейной. Однако угловая скорость судна г увеличивается за счет роста угла дрейфа, т.е. d$/dt . Вращение судна приводит к перераспределению поперечных скоростей обтекания корпуса, характерному для вращательного движения судна. Но поскольку радиус кривизны траектории центра тяжести остается близким к бесконечности, то и обобщенная кривизна траектории 0. = ьЦі} +Rl =0. В этих же условиях безразмерная характерная угловая скорость Q, а также поперечная сила и момент на корпусе возрастают по абсолютной величине, что находится в соответствии с перераспределением поперечных скоростей обтекания корпуса вследствие вращения судна. Закономерности изменения безразмерной характерной угловой скорости в большей степени удовлетворяют действительной физической картине обтекания корпуса по сравнению с обобщенной кривизной траектории.
Предложенная В.И. Зайковым [37, 150] форма представления кинематических и динамических параметров корпуса судна также не имеет четкой физической интерпретации. Именно для того, чтобы дать ясное физическое толкование основному кинематическому параметру, в настоящей работе введена другая безразмерная характерная угловая скорость. Предлагаемый в настоящей работе параметр представляет собой синус угла, образованного характерной
Для большинства не быстроходных грузовых или пассажирских судов числа Фруда и Рейнольдса не учитываются при определении гидродинамических сил в расчетах маневренности судна. Это объясняется тем, что режим обтекания корпуса судна является "автомодельным", в промежутке чисел Фруда Fr 0.15 и чисел Рейнольдса выше критического значения R RecR. Для быстроходного судна следует учитывать, что влияние чисел Фруда Fr 0.15 оказывается существенным при определении гидродинамических характеристик судна. В частности для оценки влияния критерия Фруда на сопротивление движению судна можно использовать регрессионные зависимости, предложенные Холтропом [133].
Наоборот, при весьма малых скоростях судна критерий Рейнольдса может оказывать заметное влияние на безразмерные коэффициенты гидродинамических сил. Для учета этого обстоятельства вводится дополнительный множитель, отличный от единицы лишь при малых числах Рейнольдса, учитывающий переход к ламинарному режиму обтекания при весьма малых скоростях, соответствующих числам Re \0 . Обусловленные действием ветра аэродинамические силы, приложенные к надводной части судна, могут быть представлены в форме Ся„на надводной части корпуса от угла кажущегося ветра $т в диапазоне от минус 180 до 180 Площадь проекции надводной части судна на диаметральную плоскость Av определяется с учетом надстроек и палубного груза, а кажущаяся (вымпельная) скорость ветра VWR - с учетом скорости судна относительно земли. Безразмерные коэффициенты аэродинамических сил С1іАфУУ]1,(р,в), n = X,Y, K,M,N, для каждого судна должны быть получены по результатам испытаний дублированной модели в аэродинамической трубе или на основании систематических данных в диапазоне углов кажущегося ветра Р Л от минус 180 до 180 градусов. Угловая скорость судна не оказывает существенного влияния на аэродинамические силы, поскольку ветер начинает заметно влиять на движение судна только тогда, когда скорость судна относительно воздуха намного больше, чем скорость относительно воды. Зависимость безразмерных коэффициентов аэродинамических сил CliA($WR,(p,Q),\i = X,Y, K,M,N от углов крена ф и дифферента 0 важно учитывать для парусных судов. Для судов с роторными парусами относительная скорость вращения ротора должна быть дополнительно включена в перечень аргументов, от которых зависят аэродинамические коэффициенты. Целесообразно рассматривать каждый /-тый гребной винт и руль в струе гребного винта в качестве единого винто-рулевого комплекса (ВРК). Геометрия гребного винта определяется диаметром D и шагом Р, а режим работы такого комплекса - частотой вращения п, скоростью набегающего на винт потока vА , гидродинамическими углами атаки «д и дрейфа Р/? в районе ВРК, а также углом перекладки руля или поворотной насадки д. Тогда все силы и моменты, обусловленные работой движительно-рулевого комплекса, можно представить в форме произведений коэффициентов сил, полученных по результатам испытаний изолированного комплекса в свободной воде, на соответствующие множители, учитывающие коэффициенты динамического взаимодействия с корпусом судна — коэффициенты засасывания t ,\x = X,Y,K,M,N.
Математическая формулировка задачи интервально-оптимальной стабилизации судов
Моделирование движения судна на нерегулярном волнении требует введения не только частотного спектра волн, но и редукционных коэффициентов, учитывающих затухание волновых давлений и определяющихся соотношениями размеров судна и волн, а также курсовым углом по отношению к вектору скорости их распространения. Наиболее же детальный метод учета воздействия волн на судно, изложенный в работе В.И. Зайкова и СИ. Кондратьева [138], требует дополнительно учитывать еще и влияние скоростей орбитального движения частиц жидкости в волне. Эти скорости также затухают с увеличением глубины. Таким образом, при построении такой развитой математической модели должны быть учтены такие тонкие эффекты, как влияние переменных скоростей орбитального движения частиц воды в волне на гидродинамические силы, действующие на маневрирующее судно.
Волнение может быть представлено как случайная реализация с использованием заданного частотно-углового спектра. При определении гидродинамических сил учтена неравномерность распределения скоростей и давлений в объеме, занимаемом корпусом судна. Реализация такого подхода в математической модели практически возможна лишь при некоторой схематизации и упрощении метода задания формы волнового профиля в объеме, занимаемом корпусом судна.
При использованном подходе ординаты волнового профиля вычисляются в четырех условных точках выделенного жидкого объема. Эти точки располагаются в местах пересечения со свободной поверхностью воды четырех перпендикуляров к основной плоскости судна. Для судна, имеющего длину L и ширину В, в системе координат, связанной с судном, координаты этих точек Aj\{LI2,-BI2), Afr(LI2, В/2), Aar(-L/2,B/2), Aa\(-L/2,-B/2). По высоте рассматриваемый объем имеет протяженность от основной плоскости, совпадающей с плоскостью днища, до свободной поверхности волны.
Поверхность, ограничивающая этот объем и совпадающая с профилем волны, считается криволинейной (рис. 1.19), однако контур такой криволинейной поверхности ограничивается четырьмя отрезками прямых. Таким образом, профиль волны меняется по линейному закону в направлении следования от каждой точки пересечения перпендикуляров со свободной поверхностью волны при обходе контура в любом направлении. Именно таким способом локальные градиенты скоростей и давлений в волне оценивались по четырем характерным точкам такого объема.
В соответствии с принятой схематизацией задания формы волнового профиля в объеме, занятом корпусом судна, гидродинамическое давление, которое входит в основную часть волновых сил, определяется ординатой волнового профиля в каждой из четырех выделенных точек. Кроме этого, для каждой из этих точек вычисляются скорости орбитального движения воды в волне с учетом затухания скоростей при увеличении глубины погружения точек корпуса судна в волну. Волновое движение распределяется в глубь жидкости и затухает на расстоянии, примерно равном длине волны Aw. При амплитуде волны ч?ц, частоте формы k = 2n/Xw и круговой частоте CUW =2nlTw радиусы круговых орбит rw2 частиц в волне уменьшаются с увеличением глубины погружения центра орбитального движения частиц под свободную поверхность воды zw по закону
Вследствие малости угла %d следует tgKd td=lL , т.е. равнодействующая массовых сил, приложенных к частице волнующихся жидкости, направлена по нормали к профилю волны и всегда отклоняется от вертикали на угол волнового склона X. Это справедливо для произвольного положения частицы на орбите. На рассматриваемую частицу со стороны жидкости будет действовать сила поддержания, равная по величине силе Qw, но обратная по направлению.
Скорости орбитального движения считаются изменяющимися по линейному закону в направлении обхода по контуру, образованному четырьмя характерными выделенными точками. По этим скоростям определяются дополнительные силы сопротивления обтекания шпангоутных контуров в поперечном направлении и контуров батоксов - в продольном.
Такой алгоритм описания сил при пребывании судна на интенсивном нерегулярном волнении, соответствующем спектру Пир-сона-Московитца, позволяет моделировать захват судна волной и заметное увеличение скорости дрейфа судна. Этот эффект наглядно проявляется при сравнении скоростей обтекания корпуса судна с учетом скоростей орбитального движения жидкости в волне в двух положениях судна: на наветренной и подветренной сторонах волнового склона. Время воздействия на судно скорости орбитального движения жидкости в волне на наветренной стороне больше, чем на подветренной. Кроме этого, на подветренной стороне собственная скорость судна складывается со скоростью орбитального движения жидкости в волне. На наветренной стороне эффект обратный, что и объяснят наблюдаемый на практике субгармонический резонанс, серфинг и т.п.
Для описания воздействия трехмерного нерегулярного волнения за основу может быть принят частотно-угловой спектр 5 ((0 , ), который можно представить в виде произведения двух спектров: частотного (oj и углового (ц). Частотный спектр целесообразно принимать по данным, полученным по результатам экспериментального исследования для конкретного района плавания судна.
Линейные статистические оценки параметров моделей судов
Проблема синтеза управлений судами может быть разделена на ряд подпроблем, каждой из которых соответствует специальная задача управления. Задачи синтеза программных траекторий и соответствующих стабилизирующих управлений формулируется на основе содержательных постановок задач управления движением вне и внутри портов. Это объясняется тем, что задачи управления движением вне и внутри портов имеют отличающуюся качественную структуру с точки зрения постановок и используемых методов синтеза. Для решения совокупности задач может быть использован широкий арсенал методов. Синтез управлений судами базируется на методах общей теории оптимизации и управления [11, 32, 41, 62, 76, 77, 87, 93], а также на результатах, разработанных в теории управления кораблем [20, 67, 75, 79, 122]. Характеристика задач и методов их решения приведена в табл. 2.1.
Управление судами вне порта сопровождается необходимостью синтеза программных движений (траекторий), относящихся к классу задач выпуклого программирования. Это объясняется возможностью сведения проблемы синтеза к решению общих конечномерных экстремальных задач с выпуклой областью ограничений [11, 93]. Вместе с общими подходами развивались специальные методы [20, 79, 122], ориентированные на специфику управления судами.
При синтезе программных движений судов внутри порта возникает необходимость формулировки и решения оптимизационных задач с невыпуклой областью ограничений. Развиваемые здесь подходы должны учитывать технологические ограничения по управлению судами, заданные невыпуклыми областями. Основу методов синтеза программных траекторий в этой ситуации составляют методы решения невыпуклых задач минимизации функционалов [11]. Весьма важны способы формулировки функционалов на основе критериев, также приведенных в [11, 68], использующих идеи динамического программирования, позволяющих получить решения для случая невыпуклых областей, которым принадлежат допустимые траектории судов.
Разделение проблем синтеза управлений позволяет выделить комплекс задач стабилизации судов на программных движениях (траекториях) судна, которые формируются с применением моделей раздела 1. Последние задачи обладают общностью для случая ста- билизации маршрутов судов на программных траекториях вне и внутри порта. Указанная общность будет использована при синтезе стабилизирующих управлений. Ниже анализируются подходы к решению проблем управления судами вне и внутри портов.
Формулировка проблем синтеза программных траекторий может быть дана на основе содержательных характеристик отдельных задач. При этом весьма важно определить классы математических задач оптимизации, сопровождающих перечисленные выше проблемы управления. Как следует из введения, при синтезе управлений необходимо выделить три основных технологических режима управления судами (см. рис. 2.1), для которых необходимо синтезировать управления: - технологический режим движения судов в портовых водах при входе в акваторию порта (проблема 1), - технологический режим движения судов при выходе из акватории порта (проблема 2), - технологический режим движения судов в акватории порта, когда существенное ограничение на движение судов накладывается стоящими в порту другими судами, навигационными опасностями (проблема 3). Анализ проблемы 1 позволяет сделать вывод о целесообразности программирования оптимальной траектории движения судов путем сведения решаемых задач в выпуклой допустимой области. Границы допустимой области могут быть приняты выпуклыми при следующих допущениях: использование выпуклой аппроксимации допустимых областей на основе анализа рельефа береговой линии, ограждающей изобаты, аппроксимации ограничений на движение судов заданием существующих или формируемых контрольных точек (в процессе программирования движения), позволяющих обойти задачу представления невыпуклых областей выпуклыми аппроксимациями. В перечисленных выше ситуациях задача программирования оптимальной траектории сводится к экстремальной задаче, заданной в выпуклой области. Механизмами описания возможных (вариантных) траекторий движения судов становятся математические модели судов в дискретном времени, описанные в разделе 1 и которые используются для задач программирования траекторий, синтеза соответствующих им управлений и стабилизации на программных траекториях. Анализ проблемы 2, соответствующей управлению при выходе судна из акватории порта, позволяет сделать вывод о том, что эта проблема аналогична проблеме 1, поскольку исходные данные для решения обеих проблем имеют близкие характеристики. В этой связи синтез управлений осуществляется на базе формулировок задач оптимизации.
