Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие сведения и тенденция развития сотовых сетей связи. постановка задачи исследования 11
1.1 Эволюция развития сотовых сетей связи 11
1.1.1 Основные тенденции развития сетей связи 11
1.1.2 История беспроводной связи 14
1.1.3 Основные стандарты сотовых сетей связи 17
1.1.4 Фазы развития стандарта GSM 19
1.2 Услуга пакетной радиопередачи GPRS/EDGE на базе стандарта GSM.. 21
1.2.1 Передача данных в GSM 21
1.2.2 Методы кодирования 23
1.2.3 Структура передаваемого трафика 24
1.3 Самоподобие телекоммуникационного трафика GPRS 25
1.3.1 Основные положения теории самоподобных процессов 25
1.3.2 Оценка показателя Херста 31
1.3.3 Самоподобие трафика GPRS 34
1.3.4 Мультифрактальность трафика GPRS 36
1.4 Качество обслуживания в телекоммуникационных системах 37
1.4.1 Влияние моно и мультифрактальности трафика на QoS 40
1.5 Постановка задачи исследования 40
Глава 2. Экспериментальное исследование фрактальных свойств сетевого трафика GPRS/EDGE 42
2.1 Экспериментальные исследования фрактальных свойств GPRS трафика протоколов сетевых уровней 42
2.1.1 Описание исследуемой сетевой конфигурации 42
2.1.2 Анализ полученных данных 46
2.2 Вейвлет-анализ фрактальных свойств составляющих GPRS-трафика 53
2.2.1 Постановка задачи 53
2.2.2 Разложение GPRS-трафика по вейвлет-базису 54
2.2.3 Вейвлет-метод оценки самоподобия GPRS-трафика 55
2.2.4 Оценка самоподобия GPRS-трафика вейвлет-методом с автоматическим определением границ масштабирования 56
2.2.5 Описание программного обеспечения «Вейвлет-анализ» 58
2.2.6 Результаты экспериментальных исследований фрактальных свойств GPRS-трафика 63
2.3 Вейвлет-анализ самоподобия GPRS-трафик 73
2.3.1 Свойства и возможности вейвлет-преобразования 73
2.3.2 Результаты исследования 78
2.4 Выводы по главе 2 94
3. Мультифрактальныи анализ сетевого трафика GPRS/EDGE 96
3.1 Постановка задачи 96
3.2 Методика оценки скейлинговой и масштабной функции мультифрактального трафика 98
3.3 Программное обеспечение и результаты статистической обработка мультифрактальных данных в среде MATLAB 100
3.3.1 Описание интерфейса программного обеспечения 100
3.3.2 Результаты статистической обработки 104
3.4 Оценка размерности Реньи и спектра сингулярностей мультифрактального трафика 115
3.4.1 Основные теоретические положения 115
3.4.2 Численные результаты 119
3.5 Выводы по главе 3 120
4. Оценка влияния мультифрактальности GPRS/EDGE трафика на показатели качества обслуживания 122
4.1. Методика оценки влияния показателей мультифрактального трафика на эффективность обслуживания очередей 122
4.1.1 Постановка задачи 122
4.1.2 Модель построения очередей 123
4.1.3 Аппроксимация вероятностей для асимптотик построения сигнала 126
4.2 Численные результаты 128
4.3 Выводы по главе 4 131
Заключение 132
Список литературы 134
- Основные положения теории самоподобных процессов
- Результаты экспериментальных исследований фрактальных свойств GPRS-трафика
- Результаты статистической обработки
- Модель построения очередей
Введение к работе
Актуальность темы. Развитие систем связи прошло множество различных этапов, начиная от создания радио до современных систем 4 поколения (4G). В настоящее время существует множество систем связи, на которых базируются современные телекоммуникационные сети. Одной из таких систем являются сотовые системы связи (ССС).
Сотовые системы связи получили достаточно широкое распространение в связи с удобством и мобильностью их использования. В настоящее время, системы второго поколения (2G) на основе GSM, имеют широкое распространение, но данная система мобильной связи не имеет достаточного набора функциональных возможностей для полной ее реализации, поэтому, на сегодняшний день, происходит внедрения различных систем для передачи информации. Одной из таких систем является пакетная радиосвязь общего пользования GPRS (General Packet Radio Service). Предшественником GPRS являлась услуга высокоскоростной передачи данных с коммутацией каналов HSCSD (High Speed Circuit Switched Data), скорость передачи информации в HSCSD была не высока и составляла 10-25 кбит/с.
В связи, с усовершенствованием существующих технологий, услуга пакетной передачи GPRS перешла в EGPRS и получила современное название усовершенствованного высокоскоростного протокола передачи данных для глобальной эволюции EDGE (Enhanced Datarates for Global Evolition), что послужило большим прорывом для создания сетей третьего поколения (3G).
Современная тенденция развития телекоммуникационных услуг с использование пакетной радиосвязи привела к развитию мультисервисных сетей связи способных в едином канале передавать видео, речь, данные и интернет трафик. Исследования, проведенные в диссертации в этом направлении, базируется на результатах теоретических и прикладных исследований в области построения систем сотовой связи Маковеева М.М., Макарова В.В., Вознюка М.А, Кан Р.Э., Гроунмейер С.А. и др.
Современные исследования трафика в телекоммуникационных сетях, в том числе в ССС, показывают наличие в нём самоподобных (фрактальных) долговременно зависимых свойств, которые оказывают существенное негативное влияние на эффективность работы таких сетей. Результаты, полученные в диссертации, базируются на фундаментальных и прикладных исследованиях в области фрактальных процессов B.B. Mandelbrot, W. Willinger, P. Abry, M.S. Taqqu, J. Beran, О.И. Шелухина, А.А. Потапова, Б.С. Цыбакова и др.
Влияния мультифрактальных свойств GPRS/EDGE на характеристики обслуживание мобильных телекоммуникационных сетей является актуальной научно-технической проблемой.
Объектом исследования мобильные телекоммуникационные сети связи и обеспечение качества предоставленных ими услуг.
Предметом исследования являются моно - и мультифрактальные свойства статистических данных GPRS/EDGE трафика.
Целью диссертационной работы является исследование моно - и мультифрактальных свойств GPRS/EDGE трафика и оценка их влияния на характеристики качества обслуживания мобильных сетей связи.
Научная задача диссертации заключается в исследовании мультифрактальных свойств сетевого трафика GPRS/EDGE и влияние их на характеристики качества обслуживания мобильных телекоммуникационных сетей связей с пакетной коммутацией.
Решение поставленной задачи научного исследования проводилось по следующим направлениям:
1. Анализ экспериментальных данных GPRS/EDGE существующей сети сотовой связи стандарта GSM и выявление моно - и мультифрактальных свойств трафика для протоколов различных уровней модели OSI.
2. Оценка основных параметров мультифрактальных спектров Лежандра исследуемого трафика, включая функции разбиения, скейлинговой показатель, а также параметры масштабирования на различных уровнях агрегирования трафика на основании экспериментальных данных с целью разработки аналитических моделей мультифрактальности исследуемого трафика.
3. Разработка метода аналитической и численной оценки вероятности превышения допустимого времени пребывания в буфере как одного из основных показателей качества передачи информации в мобильных телекоммуникационных сетях с пакетной коммутацией и получение количественных результатов, характеризующих влияние мультифрактальных свойств данных GPRS/EDGE на характеристики качества обслуживания мобильных сетей связи.
Методы исследования. Для проведения исследований использовались методы теории вероятности, математической статистики, случайных процессов, теории телетрафика, массового обслуживания, а также методы имитационного моделирования. Математические расчеты выполнены в среде Matlab 2007, MathCAD 2003.
Достоверность полученных результатов основаны на результатах имитационного моделирования, теоретических положениях математической статистики, теории массового обслуживания, теории сетей связи, а так же длительностью экспериментальных исследований, повторяемостью и контролируемостью.
Научная новизна и теоретическая значимость работы определяется следующими основными результатами:
1. Впервые проведены экспериментальные исследования статистических характеристик телекоммуникационного GPRS/EDGE трафика в сотовой телекоммуникационной сети связи с целью рассмотрения структуры протоколов составляющих данный трафик;
2. Разработаны фрактальные и мультифрактальные вейвлет модели отдельных составляющих телекоммуникационного GPRS/EDGE трафика с учетом их нестационарности и самоподобности, которые показывают наличие сложной многомасштабной структуры и границу разделения между ними;
3. Разработана имитационная модель генерации мультифрактального телекоммуникационного трафика GPRS/EDGE и передачи цифровых потоков информации через узел сети связи с коммутацией пакетов, позволяющая проводить исследования методов выбора параметров телекоммуникационных сетей в условиях точно и приближенно заданных исходных данных;
4. Проведены исследования влияния моно - и мультифрактальности сетевого трафика на характеристики построение очередей на самом перегруженном сервере сотовой системы связи. На основе результатов проведенного исследования даны рекомендации по выбору параметров ТС заданной топологии с различными характеристиками;
5. Показано, что совокупный трафик, передаваемый с использованием ТСP (Transmission Control Protocol) или НТТР (Hyper Text Transfer Protocol ) не только монофрактален (самоподобен), но также и мультифрактален, а IP-трафик является мультифрактальным на больших временных интервалах (5…10 минут и больше).
6. Проведены исследования влияния моно - и мультифрактальности сетевого трафика на характеристики построение очередей на самом перегруженном сервере сотовой системы связи. С помощью разработанного метода показано, что учет мультифрактальности трафика позволяет получить более точное соотношение между параметрами сети - размером буфера, пропускной способностью канала и параметрами трафика для граничных значений.
Практическая ценность. Результаты, полученные в данной диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании различных сервисов в телекоммуникационных сетях связи. Разработанное программное обеспечение может применяться, как в практической работе специалистов в области телекоммуникаций, так и в научных и учебных целях.
Реализация и внедрение результатов работы. Полученные результаты диссертационной работы внедрены в сотовой компании ЗАО «Шупашкар-GSM» для оценки эффективности телекоммуникационной сети связи, и в учебный процесс кафедры «Телекоммуникационные системы и технологии» и ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова» в курсе «Сотовая радиосвязь», о чем свидетельствуют соответствующие акты внедрения.
Положения выносимые на защиту
1. Математические модели составляющих GPRS/EDGE трафика, полученные в результате обработки экспериментальных данных в сотовой компании ЗАО «Шупашкар-GSM», которые позволяют оценить качество обслуживания передаваемых потоков информации и проводить сопоставление результатов с аналогами;
3. Разработанное программное обеспечение, позволяющее осуществить имитационное моделирование телекоммуникационной сети с пакетной коммутацией, включающие протоколы: IP, TCP, UDP, FR, FTP, FTP DATA, HTTP, ICMP, SMTP, WAP, WAE, WSP, WTP при значительной вариации типов и характеристик входного трафика и параметров узлов коммутации;
4. Результаты исследования влияния моно - и мультифрактальности сетевого трафика на характеристики построение очередей на самом перегруженном сервере сотовой системы связи.
5. Результаты имитационного моделирования качества обработки GPRS/EDGE сервисов, позволяющие осуществить выбор значений контролируемых параметров, в условиях долговременной зависимости телекоммуникационного трафика.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались:
- на IV международной конференции «Методы и средства управления технологическими процессами » Саранск, 2007;
- на VI Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления. Опыт инновационного развития» Томск, 2007;
- на международной научно-практической конференции «Новые информационные технологии в образовании» Екатеринбург, 2008;
- на научной конференции по гуманитарным, естественным и техническим наукам Чувашский госуниверситет, Чебоксары, 2008;
- на международной научной конференции по естественным и техническим дисциплинам, Йошкар-Ола, 2008;
- на научной конференции по гуманитарным, естественным и техническим наукам Чувашский госуниверситет, Чебоксары, 2009;
- на VIII всероссийской научно-технической конференции, Чебоксары 2009;
Публикации. По результатам исследований опубликовано 14 печатных работ, две из них в изданиях рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 147 наименований. Работа представлена на 146 страницах машинописного текста, содержит 80 рисунков и 11 таблиц. К работе прилагается список использованных сокращений.
Основные положения теории самоподобных процессов
Для количественной оценки и описания пульсирующей структуры телекоммуникационного трафика в большинстве случаев достаточно использовать статистические характеристики 2-го порядка. Корреляционная функция самоподобного процесса играет весьма важную роль. С ее помощью успешно определяется масштабная инвариантность процессов этого типа. Существование корреляции «на расстоянии» называется долговременной зависимостью (ДВЗ). Отличительной особенностью корреляционной функции самоподобных процессов от функции, которая обычно имеет место, является то, что корреляция как функция временной задержки предполагает полиномиальное, а не экспоненциальное убывание [74,75,76].
В телекоммуникационных приложениях свойствам стохастической самоподобности (фрактальности) удовлетворяют измеренные трафиковые трассы.
Здесь предполагается, что мерой схожести является вид трафика с соответствующей амплитудной нормировкой. Для измеренных трафиковых трасс сложно наблюдать четкую структуру, однако самоподобность позволяет учитывать стохастическую природу многих сетевых устройств и событий, которые совместно влияют на сетевой трафик.
Когда трафик на входе является самоподобным, буферизация оказывается неэффективной, поскольку возникают несоразмерные задержки в очереди.
Самоподобность подразумевает существование корреляционной структуры на промежутке, который может использоваться с целью управления трафиком. Для этих целей, на больших временных масштабах извлекается информация о корреляционных свойствах анализируемых процессов, корректируя действия системы управления перегрузками. Поскольку масштабирование математически приводит к степенным соотношениям в масштабируемых величинах (т.е. степенной зависимости статистических характеристик), можно сделать вывод, что, например, телекоммуникационный трафик проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах.
Самоподобность и фракталы тесно связаны между собой. К числу основных понятий, определяющих свойства фрактальных процессов, относятся самоподобность, долговременная зависимость, медленно затухающая дисперсия, бесконечные моменты, фрактальные размерности, распределения с «тяжелыми хвостами», зависимость спектральной плотности S(a ) по закону 1/f.
Рассмотрим дискретный во времени случайный процесс или временной ряд X(t), t є Z, где Х(і) интерпретируется как объем трафика (измеряемый в пакетах, байтах или битах), переданный до момента времени t.
Будем считать процесс X(t) стационарным в широком смысле, накладывая ограничения, что его корреляционная функция R{t\, t2) = M[(X(ti) - m)(X(t2) — пі)] инвариантна относительно сдвига, т.е. R(t\,t2) = R(t\ +к, t2 + к) для любых t\, t2.
Предполагается, что первые два момента существуют, конечны и равны для любых t є Z. Здесь М— операция усреднения; т — первый центральный момент; сґ- дисперсия процесса X{t). Примем для удобства т = 0. Поскольку при условии стационарности R(th t2) = R(t\ —t2, 0), обозначим корреляцию как R(k), а коэффи-циент корреляции г(к) = R(k)/R(0) — R(k)/ j .
Чтобы сформулировать масштабную инвариантность, сначала определим объединенный (агрегированный) процесс Х гп) для X при уровне объединения т.
Этот процесс можно описать как XM(i) Отсюда видно, что X(t) разбивается на не перекрывающиеся блоки размером т. Их значения усредняются, и / используется в качестве индекса блоков. Обозначим корреляционную функцию X 11 как к-т\к). В предположении стационарности в широком смысле рассматриваемых случайных процессов справедливы следующие определениям самоподобности 2-го порядка (самоподобность в широком смысле) [135,136,137]. Определение. Случайный процесс X(f) является точно самоподобным в широком смысле с показателем Херста/f (1/2 Н 1), еслиR(k) = (о /2)((к+ 1) —2кг +(к—1)" ) для любых к 1. Случайный процессX(f) является приближенно самоподобным в широком смысле, если lim RKm)(k)= (сГ/2)((к+ 1) - 2кг +(к —
Самоподобность 2-го порядка (в точном или приблизительном смысле) - основная структура, характерная для моделирования сетевого трафика.
Определение. Непрерывный во времени стохастический процесс X,(t є R+) со стационарными приращениями Yi — Xi — Х \ (/ є N) с показателем Херста Н (0,5 Н 1,0) для любого действительного, положительного коэффициента расширения а считается статистически самоподобным, если процессы Xt и перемасштабированный процесс (с масштабом времени at) aHXat имеют одинаковые конечномерные плотности распределения вероятностей w{Xi, Х2, ..., Хп) w{aHXa, аиХпа, а нХш} для всех положительных целых п; самоподобным в широком смысле, если процессы Xat и a Xt имеют одинаковые статистические характеристики до 2-го порядка (среднее значение М[Х,] = M[Xat]/a , дисперсию J [Xt] = o [Xat]/a и корреляционную функцию R(t, т) = R{at, ах)1а2И); [55,58,59].
Асимптотически самоподобным в широком смысле, если статистические характеристики до 2-го порядка для Xat и aHXt одинаковы при а — со.
Таким образом, показатель Херста Н самоподобного ряда лежит на интервале (0,5; 1). При приближении Нк 1 ряд становится все более самоподобным.
Самоподобные процессы в дополнение к статистической подобности при масштабировании обладают некоторыми количественными свойствами. В результате, самоподобные процессы можно обнаружить по нескольким равноценным признакам.
Во-первых, у них гиперболически затухающая корреляционная функция вида R(k) — l62H 2)L(t) при к — со, где L(i) - медленно меняющаяся функция на бесконечности, т.е. \imt a0L(tx)/L{t) = l для всех х 0. Следовательно, корреляционная функция является не суммируемой и ряд, образованный последовательными значениями корреляционной функции, расходится, т.е. Ък R(k) — со. Эта бесконечная сумма является еще одним определением ДВЗ, поэтому почти все самоподобные процессы являются долговременно зависимыми. Последствия этого очень существенны, так как кумулятивный эффект в широком диапазоне задержек может значительно отличаться от того, который наблюдается в кратковременно зависимом процессе (КВЗ-процессе). В качестве примеров КВЗ-процессов могут выступать пуассоновский, марковский или авторегрессионный процесс. Хотя анализ телетрафика в прошлом, в основном, базировался на КВЗ-моделях, последствия ДВЗ в телетрафике могут быть весьма серьезными. ДВЗ является причиной длительных пульсаций, которые превышают средние уровни трафика, это может привести к переполнению буферов и вызвать потери и/или задержки.
Во-вторых, дисперсия выборочного среднего затухает медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. Если ввести в рассмотрение новую временную последовательность {Х ; i= 1, 2, ...}, полученную путем усреднения первоначальной последовательности {Х{, і = 1, 2, ...} по непересекающимся последовательным блокам размера т, тогда для самоподобных процессов характерно более медленное уменьшение дисперсии по закону сГ (А т)) со т (Ш-2) при т -» оо, в то время как для традиционных стационарных случайных процессов дисперсия а\{Х[т ; /=1,2,...}) = а2т \ т.е. уменьшается обратно пропорционально объему выборки. Это говорит о том, что статистические характеристики выборки, такие как среднее значение и дисперсия, будут сходиться очень медленно, особенно при Н— 1, что отражается на всех мерах самоподобных процессов.
В-третьих, если рассматривать самоподобные процессы в частотной области, то явление ДВЗ приводит к степенному характеру спектральной плотности в окрестности нуля. Фактически (при слабых условиях регулярности накладываемых на медленно меняющуюся функцию L\), Xявляется долговременно зависимым, если S{(D) corL2{o)), при о —» оо, где О у \\L2 — функция, медленно изменяющаяся в нуле; S(co) = ZkR(k)elkco - спектральная плотность. Следовательно, с позиции спектрального анализа, ДВЗ подразумевает, что S(0) = Sk R(k) = оо, т.е. спектральная плотность стремится к +со, когда частота ш приближается к О (подобное явление в дальнейшем названо l/f-шум). И наоборот, - процессы с КВЗ характеризуются спектральной плотностью, имеющей положительное и конечное значение при оо — 0.
Результаты экспериментальных исследований фрактальных свойств GPRS-трафика
Полученные экспериментальные данные GPRS-трафика были разложены на его составляющие по протоколам согласно сетевой иерархии модели OSI. Результат исследований на основе вейвлет-анализа (рис. 2.19-2.21) показал наличие сложной многомасштабной структуры сетевых составляющих трафика. На этих рисунках представлены следующие зависимости: а — реализация исследуемого трафика; б — автоматический выбор границы масштабирования; в - оценка показателя Херста в предположении монофрактального трафика; г — оценка показателя Херста в предположении мультифрактально-го трафика; д - гистограмма распределения исследуемого трафика; е - коэффициент корреляции исследуемого трафика.
На рис. 2.23 и 2.24 изображены входящий и исходящий FR-трафики, полученные в результате работы алгоритма автоматического определения области масштабирования. Сплошной линией показана «зона быстрого роста», а пунктиром - «зона равновесия» [107,108,109]. На рис. 2.23 (б) и 2.24 (б) точкой обозначены «границы раздела» между кратковременными и долговременными корреляциями в данных. Если производить оценку по всем доступным масштабам [2], то показатель Херста будет подвержен сильному влиянию кратковременных корреляций (Я 1) и это уменьшит достоверность результата.
На рис. 2.23 (в) и 2.24 (г) приведены логарифмические диаграммы полученных данных с аппроксимацией, выполненной с учетом выбранной области масштабирования. Полученные графики указывают на наличие двух масштабных областей, в которых выполнены оценки самоподобия. На рис. 2.23 (д) представлены гистограммы реальных данных, по которым видна асимметричная форма распределения и медленно убывающей зависимости. Для исследуемых трасс (рис. 2.23(e) и 2.24(e)) были построены коэффициенты корреляции, по графикам которых можно увидеть, что присутствует кратковременно-зависимые процессы, а также, что значение исследуемого ряда являются приблизительно некоррелированными.
На рис. 2.21 и 2.22 показаны входящий и исходящий FZP-трафики. По рис. 2.21 (а) и 2.22 (а) определяем границы раздела между долговременными и кратковременными корреляциями в данных, а по рис. 2.21 (в,г) и 2.22 (в,г) находим показатель Херста: для ДВЗ - #=0,670 (0,440) и КВЗ - #=0,640 (0,702) соответственно. Наклон графика на всех временных интервалах рис. 2.21 (в,г) и 2.22 (в,г) определяется масштабным показателем а, где а = (2#-1). Из рис. 2.21 (д) и 2.22 (д) видно, что корреляционная функция входящего FTP-трафика имеет более ярко выраженную изменяющуюся ребристую структуру, поэтому можно сказать, что с увеличением показателя Херста корреляционная функция является более коррелированная. Полученные гистограммы также имеют асимметричную структуру (как и у і -трафика).
На рис. 2.23 представлен FTP DATA трафик, объем которого значительно меньше, чем у FrP-трафика с границей раздела масштабирования 7=2.
Таблица 2.3. Значения показателя Херста, полученного с помощью вейвлет-анализа.
Видтрафика S? SSQfcfe Ї і; 3 S4 3 со 3s 1 Значение. Показателя Херста, Н оо о" CNОо" оVо" CNОо оо" оо о оо о in о с? CN СПооо" оо о" оо inо" CNоо
Значения показателя Херста на КВЗ (#=0,708) на один порядок выше, чем на ДВЗ (#=0,606), отсюда видно, что интервал ДВЗ имеет более изменяющуюся структуру, чем интервал КВЗ с учетом аппроксимаций. Наклонный показатель а для КВЗ равен 0,416 и для ДВЗ равен 0,213 с выборочной функцией Q (j\) = 1 - Fj_2 [у (y j )j, численное значение которой составляет 1,2-10"4.
На рис. 2.28 и 2.29 представлены входящий и исходящий НТТР-трафики, объем которых значительно превышает объемы остальных протоколов. Это показывает, что пользователи сети GPRS в основном пользуются интернетом, используя телефон как модем. Из рис. 2.28 (в,г) и 2.29 (в,г) видно, что значение показателя Херста на ДВЗ превышает его значение на КВЗ. Построенные гистограммы имеют асимметричную форму и показывают присутствие долговременной зависимости «тяжелого» хвоста. Корреляционная функция с более высоким показателем Херста имеет более гладко выраженную структуру [125].
На рис. 2.30-2.33 представлены входящие и исходящие трафики почтовых протоколов ICMP и SMTP. Из графиков видно, что объемы входящих трафиков превышают объемы исходящих, также увеличивается и значение показателя Херста. С учетом масштабирования границы раздела двух сред составляет j = 4. Из графиков видно, что с увеличением показателя Херста корреляционная функция имеет менее изменяющийся характер, т. е. она обладает долговременной зависимостью.
На рис. 2.30 и 2.31 представлен ЖЛР-трафик с границей масштабирования/ = 5. Из графиков видно, что корреляционная функция имеет экспоненциальную зависимость по сравнению с другими протоколами, а значение показателя Херста также на порядок выше.
Численные значения усредненного показателя Херста, характеризующего степень самоподобия исследуемых видов трафика, представлены в таблице 2.4.
Анализ данных, приведенных в таблице однозначно показывает, что все составляющие GPRS -трафика обладают фрактальными свойствами, поскольку показатель Херста для всех анализируемых компонент превышает 0,5. Вместе с тем приведенные данные следует рассматривать как усредненные значения. Численный анализ показателей масштабирования в зависимости от уровня разложения ( номера октавы) при вейвлет анализе показывает, что эти зависимости имеют явно выраженный ломаный характер, что однозначно свидетельствует о мультифрактальном характере исследуемых реализаций трафика. Это в свою очередь приводит к необходимости дальнейшего изучения свойств GPRS -трафика на более подробном, мультифрактальном уровне.
Результаты статистической обработки
С помощью разработанной программы, произведем расчет для всех выбранных нами трасс и представим на рис. 3.6-3.11
На рис. 3.10-3.17 (а) представлены анализирумые трассы в виде количества пакетов от отсчетов. На Рис. 3.10-3.17 (б) представлены графики абсолютных моментов агрегированной последовательности набора данных исследуемой трассы в зависимости от уровня объединения на log-log графике для некоторых значений порядка момента q. Из графика моментов q получены графики зависимости To(q), который связан с z(q) простым соношением г 0(q) - t(q) + 1. Нелинейность графика i(q) явно обнаруживает мультифрак-тальность этого набора данных. После применения метода оценки, представленного в предыдущем подразделе, были оценены множества z(q) и c(q\ которые представлены на 3.10-3.17 (в) и (г). График функции является выпуклой кривой, что говорит о мультифрактальном характере исследуемой трассы.
Результаты статистической обработки с целью поиска коэффициентов аппроксимации функций т(д) и log2C{q\ характеризующих мультифракталь-ность исследуемых реализаций трафика приведены в таблице 3.1
Логарифмические диаграммы /Р-трафика посчитанные при различных q дают оценку показателя масштабирования i(q), показанную на рис.3.10-3.11 (г). Нелинейная кривая функции масштабирования говорит о том, что ZP-трафик проявляет мультифрактальную структуру на этих масштабах времени. Проведенная нами оценка функции масштабирования z(#) на рис. 3.11 (г) основана на функциях разбиения, показанных на рис. 3.11(e), также подтверждает сделанные нами наблюдения относительно мультифрактально-го масштабирования.
При исследовании рядов данных для протоколов транспортного уровня наш масштабный анализ показал, что трафик протоколов транспортного уровня обладает свойством ДВЗ как и говорилось ранее, но тесты на масштабное поведение в UDP провалились. В случае TCP было обнаружено, что его масштабная структура подобна масштабной структуре /Р-трафика. Оцененные log2C{q) и x(q) показанные на рис. 3.12.-3.13 имеют сходство с теми, что получены для ZP-трафика. Сделан вывод, что TCP трафик также проявляет мультифрактальное масштабирование.
Также был проведен анализ масштабной структуры протоколов уровня приложений. Результаты масштабного анализа HTTP показаны на рис. 3.14-3.15. И показатель масштабирования log2C(q) и функция масштабирования i(q) являются выпуклыми кривыми, что говорит о присутствии мультиф-рактальности. Более того, оцененная i(q) является приблизительно такой же как и для IP и TCP трафика. Результаты анализа трафика SMTP показаны на рис. 3.16-3.17. Видно, что и показатель масштабирования log2C(q) и функция масштабирования t(q) являются линейными функциями от q. Следовательно, выбранный нами набор SMTP показывает явное присутствие монофракталь-ности. Однако, в соответствии с проведенным ранее обсуждением обнаружение монофрактальной структуры не является общим выводом касательно характеристик трафика, переносимого протоколом FTP. Наши результаты подтверждают результаты, представленные в [117, 116, 119], показывающие, что WAN трафик является ДВЗ. Однако, наши исследования позволили дополнить эти результаты, показывая, что WAN трафик обладает сложной муль-тифрактальной структурой не только на малых, но и на больших масштабах времени. Более того, анализ показывает, что агрегирование состоит из составляющих с сильно отличающимся масштабным поведением (без масштабирования, мультифрактальное масштабирование, монофрактальное масштабирование.
Предложен метод оценки мультифрактальных свойств трафика на основе статистического реализаций телекоммуникационного трафика и построения функции разбиения. Реализован метод определения скейлинговой функции т(д) и масштабного коэффициента c(q) полностью характеризующих мультифрактальный спектр и мультифрактальную размерность реальных телекоммуникационных трафиков.
Модель построения очередей
Рассмотрим простую модель построения очередей отдельного сервера в непрерывном времени. Дисциплина обслуживания задана как FIFO. Очередь обладает бесконечным буфером, а интенсивность обслуживания s является постоянной величиной. Обозначим через X{t) объем нагрузки, поступающей в очередь, начиная с какого-то прошедшего момента времени - t, до настоящего момента времени 0. Процесс W(f) является общим объемом нагрузки, хранимым в буфере на интервале (; 0), и этот процесс описывается выражением W{t) = X(t)-st (4.1)
Однако на практике интересна текущая длина буфера очереди, обозначаемая как Q. Она является длиной очереди в равновесном состоянии, когда система эксплуатируется в течении длительного периода времени и начальная длина очереди не оказывает никакого воздействия на состояние системы. Если такое состояние системы существует, т.е. справедливо предположение о стационарности и эргодичности процесса нагрузки, и также достижимо состояние устойчивости системы, т.е. limsup, M[X(t)]/t s, тогда 0 = supW(t), где W(0) предполагается равным 0.
Будем рассматривать входной процесс поступлений X(t) как обобщенно определенный мультифрактальный процесс. В отличие от монофрактальных самоподобных процессов, многомасштабные или мультифрактальные процессы обеспечивают более гибкий закон масштабного поведения. Класс мультифрак-тальных процессов включает в себя все процессы, обладающие свойствами масштабирования, в том числе самоподобные, мономасштабные и многомасштабные процессы.
Определение. Стохастический процесс X(f) называется мультифрак-тальным, если он обладает стационарными приращениями и удовлетворяет уравнению M[\X(t)\ ] = c(q)tT{ l)+l для некоторого положительного q є Q, [0, 1] с: Q, где t(q) — масштабная функция (скейлинговый показатель), a c(q) — мо-ментный коэффициент, не зависящий от t.
Очевидным следствием из этого определения является то, что т(д) является выпуклой функцией. Если z(q) линейно зависит от q, то процесс называют одномасштабным или монофрактальным, в противном случае - мультиф-рактальным. Можно показать, что в частном случае самоподобного процесса с показателем Н справедливо равенство i(q) = qH - 1 откуда следует, что c{q) = М[\Х(\)\Ч]. Класс мультифрактальных процессов включает в себя и монофрактальные, и самоподобные случаи.
Рассмотрим сумму q-x моментов коэффициентов вейвлет преобразования телекоммуникационного трафика /и (j,q) на разных масштабах ", где суммируются максимальные значения) J :
В [135,136,137] показано, что в случае фрактального сигнала эта сумма должна вести себя как i\j,q)& 2J +ql2 , т.е. log//(/,?)« У Таким образом, необходимым условием того, чтобы сигнал обладал свойствами самоподобия, является линейная зависимость log ju{j,q) от номера уровня разложения j. Если это требование удовлетворено, то зависимость функции т от ранга момента q определяет, является данный сигнал монофрактальным или мультифрактальным. Монофрактальные сигналы характеризуются одной размерностью, тогда как для описания мультифрактальных сигналов необходим целый набор таких размерностей. Монофрактальные сигналы однородны в том смысле, что они обладают одними и теми же свойствами скейлинга на всем их протяжении. С другой стороны, мультифрактальные сигналы можно разложить на «подсигналы», каждый из которых характеризуется своей локальной размерностью, задаваемой определенной весовой функцией. При выборе вейвлета с достаточным числом нулевых моментов вейвлет-преобразование нечувствительно к низшим полиномам, которые могут воспрепятствовать количественному описанию локального скейлинга сигнала при традиционном подходе путем подсчета на отдельных интервалах. Функция x(q) может рассматриваться как масштабно-независимая мера фрактального сигнала. Ее нетрудно связать с размерностью Реньи, показателями Херста и Гельдера. Область применимости мультифрактального формализма при исследовании функций можно выяснить с помощью методов дважды микролокального анализа, обобщенных на случай высших моментов вейвлет-коэффициентов. Заметим, что сумма вторых моментов log ju{j,q=2) представляет собой дисперсию вейвлет-коэффициентов при равном нулю их среднем значении.
При положительных значениях q функция log fj.{j,q) описывает скей-линг больших флуктуации и сильных сингулярностей, а при отрицательных q она отвечает за скейлинг малых флуктуации и слабых особенностей, проявляя тем самым свою чувствительность к разным аспектам динамики, лежащей в основе исследуемого сигнала.
