Содержание к диссертации
Введение
1. Самоподобность телекоммуникационного трафика. постановка задачи исследования 10
1.1. Основные положения теории самоподобных процессов 10
1.1.1. Оценка показателя Херста 16
1.1.2. Самоподобность телекоммуникационного трафика 17
1.1.3. Самоподобность речевого и видео трафика 19
1.2 Характеристика потоков трафика реального времени
телекоммуникационных сетей 21
1.3 Постановка задачи исследования 28
2.Исследование самоподобности трафика речи 29
2.1 Проблема самоподобия трафика реального времени 29
2.2 Статистические характеристики речевого трафика 32
2.3 Характеристики речевого трафика 40
2.3.1. Характеристики речевого трафика на уровне вызовов 40
2.2.2. Характеристики речевого трафика на уровне пакетов 45
2.4 Математические модели трафика VoIP 48
2.4.1 Модели речевого трафика на уровне вызовов 50
2.4.2. Оценка параметров полумарковской модели и результаты моделирования речевого трафика на уровне вызовов 54
2.4.3.Математические модели речевого трафика на уровне пакетов 56
2.5 Имитационное моделирование речевого трафика 60
2.5.1 Структура имитационного комплекса 60
2.5.2 Результаты моделирования отдельного источника 66
2.5.3 Результаты мультиплексирования отдельных ON/OFF-истточников 67
2.6 Выводы 70
3.Исследование самоподобности видео трафика .73
3.1 Долговременная зависимость для VBR-видео 73
3.2 Анализ самоподобия видеотрафика 94
3.3 Модели и моделирование видеопоследовательностей 105
3.3.1 Типы нестационарности для VBR-видеотрафика 105
3.3.2 Модель смены сцен видеотрафика, основанная на процессе смещающихся уровней (СУ) 108
3.3.3 Модели видеопоследовательностей в пределах отдельной сцены 113
3.3.4. Фрактальные авторегрессионные модели р-го порядка 119
3.3.5 Моделирование MPEG с использованием статистики 1,Р и В
кадров 121
3.4 Выводы 122
4. Оценка влияния фрактальности трафика на построение очередей телекоммуникационных сетей
4.1 Постановка задачи 125
4.2 Оценка влияния самоподобия трафика на построение очередей 126
4.2.1 Модель построения очередей с трафиком в виде фрактального броуновского движения 127
4.2.2 Фрактальное движение Леви 130
4.2.3 Асимптотическая нижняя граница для вероятности переполнения буфера 133
4.3 Мультифрактальные свойства трафика реального времени 134
4.3.1 Основные определения 135
4.3.2 Мультифрактальный анализ 138
4.3.3 Алгоритм вычисления функции разбиения Sm(q) 139
4.3.4 Мультифрактальные свойства речевого трафика 145
4.3.5 Мультифрактальные свойства видеотрафика 150.
4.4 Оценка влияния мультифрактальности трафика на построение очередей
4.4.1 Очереди в случае мультифрактального трафика на входе 154
4.4.2 Мультифрактал и монофрактал 155
4.5 Выводы 157.
Заключение 159
Список литературы
- Основные положения теории самоподобных процессов
- Характеристики речевого трафика на уровне вызовов
- Долговременная зависимость для VBR-видео
- Оценка влияния самоподобия трафика на построение очередей
Введение к работе
Самоподобностъ и фракталы - понятия, впервые введенные Б. Ман-дельбротом. Фракталы описывают явление, при котором некоторое свойство объекта (например, реального изображения, временного ряда) сохраняется при масштабировании пространства и/или времени. Объект является самоподобным или фрактальным, если его части при увеличении подобны (в некотором смысле) образу целого. В отличие от детерминированных фракталов, стохастические фрактальные процессы не обладают четким сходством составных частей в мельчайших деталях. Несмотря на это, стохастическая самоподобностъ является свойством, которое может быть проиллюстрировано наглядно и оценено математически.
Стохастический процесс называется фрактальным, когда некоторые из его важных статистических характеристик проявляют свойства масштабирования с соответствующими масштабными показателями.
Последние исследования локального и глобального трафика показали, что сетевой трафик проявляет изменчивость в широком диапазоне масштабов времени. Поразительна повсеместность этого явления, наблюдаемого в различных сетевых технологиях, от Ethernet до ATM, LAN и WAN, сжатом видео и WWW трафике, основанном на HTTP. Такая масштабно-инвариантная изменчивость не совместима с традиционными моделями сетевого трафика, которые проявляют пульсирующий характер на коротких масштабах времени, но сильно сглажены на больших масштабах времени, поэтому в них отсутствует долговременная зависимость (ДВЗ). Поскольку инвариантная к масштабу пульсирующая структура трафика может оказьшать сильное влияние на производительность сети, то анализ причин и последствий самоподобности в трафике является очень важной задачей. Многочисленные измерения сделали очевидным, что инвариантная к масштабу пульсирующая структура является не отдельным, побочным явлением, а скорее характерной особенностью, сложившейся в пределах сетевых окружений.
Системы передачи речи и видео существуют десятки лет и успели прочно войти в нашу жизнь. Со временем такие системы развивались и совершенствовались, приобретая все новые возможности и осваивая новые технологии.
По мере совершенствования систем передачи речи и роста числа подписчиков на речевые и видео сервисы, такие системы все более усложнялись, делая существующие методы проектирования несостоятельными. Переход к системам пакетной передачи демонстрирует пример подобного развития событий: в традиционной телефонии с коммутацией каналов применяются методы расчета, которые не подходят для случая коммутации пакетов.
Особенности пакетной коммутации приводят к необходимости пересмотреть традиционные подходы к анализу и синтезу телекоммуникационных систем (ТС) с использованием традиционной теории телетрафика и теории массового обслуживания. При рассмотрении систем пакетной передачи речи и видео появляются новые особенности и характеристики качества обслуживания, которых лишена традиционная телефония. Появляются новые возможности, связанные, например, с подавлением пауз в речи и использованием освободившегося ресурса. Это влечет за собой появление новых методик расчета, проектирования и моделирования ТС с пакетной передачей речи.
Особую значимость для проектирования речевых и видео сервисов имеют адекватные модели трафика как отдельного источника, так и мультиплексированных потоков. Последние исследования показывают, что телекоммуникационный трафик для большинства видов сервисов является самоподобным (фрактальным). Известно большое количество экспериментальньк и теоретических исследований в этом направлении. Однако очень небольшое число посвящено исследованию фрактальной природы трафика речевых и видео сервисов. Известны результаты, подтверждающие самоподобный характер видео трафика. Есть предположение, что подобными свойствами обладает и речевой трафик.
На сегодняшний день не существует систематизированных исследований, посвященных изучению воздействия самоподобных, свойств суммарного тра-
фика отдельных голосовых и видео источников на качество обслуживания каждого подписчика сервиса передачи речи и видео. Исследование данной проблемы представляется особенно важным, так как при наличии самоподобного трафика в системах передачи речи и видео качество обслуживания теоретически должно быть хуже по сравнению с тем, что наблюдалось бы в случае пуас-соновского трафика.
Использование самоподобных (фрактальных) моделей трафика позволит более точно описать и воспроизвести речевой и видео трафик, что обеспечит возможность получения показателей качества обслуживания (QoS) соотносимых с реально наблюдаемыми.
Поэтому актуальными представляется исследование свойств самопо-добности речевого и видео трафика и их влияния на характеристики QoS телекоммуникационных сетей.
Целью диссертационной работы является исследование фрактальных (самоподобных) свойств трафика реального времени (речевого и видео), оценка влияния моно- и мультифрактальности трафика на характеристики ТС с целью обеспечения заданного качества обслуживания QoS. Для достижения поставленных целей потребуется решить задачи: 1 .Разработки специализированного программного обеспечения и проведение комплекса экспериментальных исследований трафика ТС с целью оценки статистических и фрактальных характеристик речевого и видео трафика, для различных видов речевых и видео кодеков;
2.Разработки аналитических и численных моделей и их сравнительный анализ с целью адекватного описания и имитационного моделирования речевого и видео трафика с учетом самоподобных (моно и мультифракталь-ных ) свойств, для различных стандартов сжатия речевых и видео сигналов, сетевых протоколов и технологий;
3.Разработки вычислительных алгоритмов и реализующего их программного обеспечения (ПО) с целью аналитической и численной оценки выходных характеристик качества обслуживания QoS телекоммуникацион-
ных сетей в условиях монофрактального и мультифрактального характера телекоммуникационного трафика.
Методы исследования. Для решения перечисленных задач в работе использованы методики статистической обработки данных, теории массового обслуживания, теории марковских цепей, а также имитационного моделирования на ПЭВМ.
Научная новизна исследований, проведенных в данной работе, состоит в следующем:
Разработано специализированное программное обеспечение и проведен комплекс экспериментальных исследований статистических и фрактальных характеристик речевого и видео трафика в крупномасштабных телекоммуникационных сетях. Показано, что трафик речевых и видео сервисов обладает самоподобными ( моно и мультифрактальными) свойствами;
Разработаны и реализованы численными и аналитическими методами моно и мультифрактальные модели речевого трафика VoIP как на уровне соединений, так и на пакетном уровне при использовании кодеков G.711, G.728, G.729, G.723.1 и механизма VAD, параметры которых оценены из статистических характеристик реального трафика ТС;
Разработаны и реализованы численными и аналитическими методами моно- и мультифрактальные модели видеопоследовательностей различных стандартов CIF, QCIF, Н.263 , MPEG-2, MPEG-3, MPEG-4 и др. как на уровне смены сцен так и в пределах отдельных сцен, параметры которых оценены из статистических характеристик реального видеотрафика;
Разработаны имитационные модели и проведено имитационное моделирование генерации речевых и видео цифровых потоков, позволяющие оценить эффективность телекоммуникационных сетей с учетом моно- и мультифрактальных свойств телекоммуникационного трафика.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. количественные и качественные результаты статистического анализа трафика в реально функционирующей системе VoIP с учетом самоподобно-сти речевого трафика;
2. результаты статистического анализа видеопоследовательностей на выходе
цифровых видеокодеков Н.263 , MPEG-2, MPEG-3, MPEG-4 и др. с учетом
моно и мультифрактального характера видеотрафика;
3. алгоритмы, ПО и полученные в результате имитационного моделирова
ния выходные характеристики QoS узла ІР-сети с пакетной коммутацией
при значительной вариации типов и характеристик входного речевого и ви
део трафика, а также параметров узлов коммутации.
5. результаты исследования влияния моно и мультифрактальности речевого и видео трафика на характеристики построения очередей ТС.
Практическая ценность работы и ее реализация. Результаты, полученные в диссертационной работе могут использоваться при проектировании речевых и видео сервисов в телекоммуникационных системах. Разработанное программное обеспечение может применяться как практикующими специалистами в области телекоммуникаций, так в научных и учебных целях.
Апробация работы. Основные результаты автором докладывались и обсуждались на следующих конференциях.
на Х-й и XI - Международной научно-практической конференции «Наука - сервису», секция «Применение информационных технологий в электротехнических комплексах и системах» МГУС, 2005, 2006 гг,
Международном форуме информатизации (МФИ- 2004, 2005, 2006) конференции «Телекоммуникационные и вычислительные системы», Москва , 2004, 2005, 2006 гг.
- научной конференции профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУ СИ, 2005 г.
По теме диссертации автором опубликовано 18 печатных работ. В том числе 4 в научно-технических журналах, входящих в перечень ВАК.
Основные положения теории самоподобных процессов
Последние исследования показывают, что телекоммуникационный трафик для большинства видов сервисов является самоподобным (фрактальным) [1].
На сегодняшний день нет систематизированных исследований оценок, самоподобных свойств аудио и видео трафика.
Стохастический процесс называется фрактальным, когда некоторые из его (важных) статистических характеристик проявляют свойства масштабирования с соответствующими масштабными показателями. Так как масштабирование математически приводит к степенным соотношениям в масштабируемых величинах (то есть степенной зависимости статистических характеристик), можно сделать вывод, что, например, телекоммуникационный трафик, проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах.
Самоподобность и фракталы тесно связаны между собой. К числу основных понятий, определяющих свойства фрактальных процессов относятся самоподобность, долговременная зависимость - ДВЗ, медленно затухающая дисперсия, бесконечные моменты, фрактальные размерности, распределения с «тяжёлыми хвостами», зависимость спектральной плотности S(co) по закону 1//.
Рассмотрим дискретный во времени случайный процесс или временной ряд x(t),teZ, где x(t) интерпретируется как объём трафика (измеряемый в пакетах, байтах или битах) в момент времени t.
Будем считать процесс x(t) «стационарным» в широком смысле, накладывая ограничения, что корреляционная функция R(tl,t2) = M[(x(tl)-m)(x(t2)-m)] является инвариантной относительно сдвига, то есть, R(fx,t2) = R($l+k,t2+k)j!flX. любых tx,t2,k =.Z. Предполагается, что первые два момента существуют и конечны, и равны соответственно m=M[x(t)\ a2 =M[x(t)-m2\ для любых teZ. Здесь М{) - операция усреднения; т - первый центральный момент; а2- дисперсия процесса x(t). Примем для удобства т = 0. Так как при условии стационарности R(tl,t2) = R(tl2,6), обозначаем корреляцию как R(k), а коэффициент корреляции r(k) = R(k)/R(o) = іф)/ст2.
Чтобы сформулировать масштабную инвариантность, сначала определим объединённый (агрегированный) процесс Xм для X при уровне объединения т, Xм (і) = — V X(t} Г=ія(/-1)+1 То єсть, x(t) разбивается на не перекрывающиеся блоки размером т. Их значения усредняются, и і используется в качестве индекса этих блоков. Обозначим корреляционную функцию Xм как RM(k). При предположении о стационарности в широком смысле рассматриваемых случайных процессов приходим к следующим определениям самоподобности второго порядка (самоподобность в широком смысле).
Определение!. (Самоподобность второго порядка): Случайный процесс x(t) является точно самоподобным второго порядка с показателем Херста #(l/2 Я l), e uR(k) = — {(k + і)2Я - 2k2H +(k- і)2Я) для любых k \. X{t) является приблизительно самоподобным второго порядка, если lim R{m)(k) = — ((к + l)2H - 2к2Н +(к- \)2Н) т-»а 2
Самоподобность второго порядка (в точном или приблизительном смысле) - это основная структура для моделирования сетевого трафика.
Определение 2: Непрерывный во времени стохастический процесс X,{teR+) со стационарными приращениями Y Xj-X ieN) с показателем Херста н(о,5 Н 1.0), для любого действительного, положительного коэффициента расширения а считается: статистически самоподобным, если процессы Xt и перемасштабированный процесс (с масштабом времени at) а нХа! имеют одинаковые конечномерные плотности распределения вероятностей (ПРВ) для всех положительных целых п : w{Xx,X2,...,Xn}% {а-нХа,а-нХ2а,...,а-нХпа} ; самоподобным второго порядка, если процессы Ха1 и анХ( имеют одинаковые статистические характеристики до второго порядка: М\Х 1 rr2\x 1 среднее значение [ ,] = —Цг дисперсию т2[х,] = —W ; и а а корреляционную функцию R(t,r)= 2?T „2Я а асимптотически самоподобным второго порядка, если статистические характеристики до второго порядка для Xat и анХ( одинаковы при а - о.
Показатель Херста Н самоподобного ряда лежит между 0,5 и 1. При приближении Які, ряд становится всё более самоподобным.
В дополнение к статистической подобности при масштабировании, самоподобные процессы обладают некоторыми количественными свойствами. Самоподобные процессы можно обнаружить по нескольким равноценным признакам.
Во-первых, они обладают гиперболически затухающей корреляционной функцией вида R(k)-ki2H 2)L(t) при - », где z(o) -медленно меняющаяся функция на бесконечности (то есть lim M = 1 для всех х 0).
Характеристики речевого трафика на уровне вызовов
Речевой трафик на уровне вызовов состоит из процесса поступления вызовов и процесса длительностей вызовов.
Данные на уровне вызовов были получены на основе анализа cdr-логов, запись которых осуществлялась на гейткипере сети. Каждая строка лога представляла собой информацию об отдельном VoIP-телефонном разговоре. Анализируемый cdr-лог содержал промежуток времени начиная от 02.02.2004 и до 21.06.2004, охватывая в общей сложности 455874 вызовов.
В результате обработки файла cdr-статистики была выявлена периодическая структура данных на уровне вызовов. Анализ показал, что можно разделить все изучаемые данные на две категории: вызовы, осуществлявшиеся в рабочие дни и вызовы в выходные и праздники. На рис.2.6, а...2.6в представлены реализации трафика вызовов, вьшолненные за один из рабочих дней.
На рисунке представлена зависимость интенсивности вызовов от индекса последовательности вызовов. Так как разрешающая способность последовательности равна 1 сек, то и интенсивность имеет размерность вызовов/с.
Индекс последовательностн Рис. 2.6, е. Фрагмент речевого трафика на уровне вызовов в выходной день Приведенная на рис.2.7 гистограмма трафика вызовов в характерный рабочий день имеет сложную структуру, что объясняется принадлежностью звонков к различным группам, каждая из которых характеризуется своим законом распределения вызовов.
Процесс поступления вызовов можно разделить на два случайных процесса: процесс, отражающий длительность интервалов между поступлениями двух следующих друг за другом вызовов и процесс длительностей вызовов.
Реализация первого процесса на всем периоде измерения представлена на рис. 2.6. Периодические всплески, соответствуют длительным интервалам времени, когда звонков не было вовсе. Подобное поведение можно объяснить снижением активности абонентов в ночное время. Таким образом, существуют интервалы времени порядка 1 - 1,5 ч, когда система простаивает, и вызовов в ней не наблюдается.
На рис. 2.8 процесс интервалов между поступлениями вызовов представлен для 3000 вызовов. В табл. 2.1 представлена выборочная статистика процесса, изображенного на рис.2.8. Так как гейткипер регистрировал статистику даже для тех вызовов, которые не были завершены по различным причинам (абонент передумал звонить, но уже набрал номер, или вызываемый абонент не взял трубку и пр.), то вызовы менее 10 с. исключались из рассмотрения.
Статистический анализ экспериментальных данных показал, что в основном интервалы между поступлениями вызовов сосредоточены в диапазоне от 0 до 500 с, охватывая 99,5 % всех вызовов. В основном интервалы между поступлениями вызовов были сосредоточены в диапазоне от 0 до 100 с, охватывая 96,2% всех вызовов.
Индекс последовательности Рис. 2.8 Последовательность значений интервалов между поступлениями вызовов
Выборочная статистика реализации на рис. 2.6
Все наблюдения Число наблюдений МІп, с Мах, с СКО, с среднее, с (длительность 10 с) 455878 26,5 0 7033 120,8 Проведем предварительный статистический анализ процесса длительностей вызовов. На рис. 2.9 представлена реализация длительностей вызовов за весь период измерения. Индекс последовательноста Рис. 2.9а. Реализация процесса длительностей вызовов для 50000 вызовов
Все наблюдения Число наблюдений Выборочное среднее,с Min, с Мах, с СКО, с (длитительность 10 с) 455874 123,2 0,00 9942,0 200,03
Анализ информации на уровне соединений (табл. 3.2) позволил провести тщательное исследование всплесков трафика. В моделях агрегированного трафика (в том числе ON/OFF-модели) всплески трафика возникают в результате того, что большое число пользователей начинают одновременно передавать информацию (в байтах или пакетах), т.е. всплески возникают в результате «конструктивной интерференции» множества соединений.
б) Разделим исходную последовательность вызовов, график которой показан на рис.3.7, б на два процесса: процесс длительностей вызовов (рис. 2.10) и процесс интервалов времени между поступлениями вызовов (рис. 2.11). Анализ показывает, что распределения процесса длительностей вызовов и процесса интервалов между поступлениями вызовов существенно отличаются от экспоненциального, и хорошо описываются распределениями имеющими «тяжелые хвосты». Хорошее приближение, в частности, дает распределение Парето.
Информация на уровне соединений, содержащаяся в широко доступных трассах трафика, как правило, игнорировалась при классическом анализе агрегированного трафика (ДВЗ, фрактальный, мультифрактальный). Вместе с тем учет этой информации позволяет проводить более корректный статистический анализ речевого трафика и увеличить точность моделирования пульсирующего сетевого трафика.
Долговременная зависимость для VBR-видео
Видео - это последовательность непрерывных пространственно неподвижных картин, называемых кадрами. Существует несколько физических причин, почему трассы видеоисточников являются особыми. Каждая неподвижная картина представляется кодирующим алгоритмом в цифровом виде и затем сжимается для уменьшения полосы пропускания. Обычно используемый способ уменьшения полосы пропускания - переслать начальный полный кадр, а затем пересылать разностные кадры. Такой способ передачи называется межкадровым кодированием. Так как расположенные рядом кадры мало отличаются друг от друга (поскольку движение является непрерывным), это приводит к существованию значительной корреляции кадров, находящихся рядом. Защититься от ошибок передачи можно, периодически передавая полный кадр. Кроме того, при изменении сцены кадры больше не зависят от прошлых кадров. В этом случае функциональная корреляция заканчивается, что может также положить конец и статистической корреляции в размерах кадра. Так как произошедшие изменения требуют, чтобы новый кадр был передан полностью, то продолжительности сцен отражаются на характере трассы. По этим и некоторым другим причинам видеотрафик отличается от широкополосного трафика данных, и, как следствие, модели и выводы, полученные для видео, не могут быть применены к другим типам трафика.
Когда информация теряется в течение передачи или межвходовые времена кадров большие или сильно меняются, качество видео ухудшается. Качеством воспроизведения видео можно управлять, ограничивая размеры буфера; при этом кадры, которые поступают с опозданием, могут не учитываться вообще. Размер буфера часто характеризуют периодом времени до его опустошения (что является максимальной задержкой кадра, которая может возникнуть). Целью проектирования является не допустить задержек больше 100-200 мс. Так как от источника до получателя могут встретиться несколько буферов, а также существуют другие источники задержек (например, время распространения сигнала), то в некоторых исследованиях в качестве максимального размера буфера используется величина Юме.
Видеоконференции
Основной целью разработки методов компрессии видеосигнала является снижение скорости передачи цифрового видеопотока до уровней от 40 кбит/с до 2 Мбит/с. Группа Н.261/Н.263, как часть рекомендаций Н 320, содержит рекомендации по передаче видео и аудио соответственно со скоростями 46,4 кбит/с и 16 кбит/с в В-канале (64 кбит/с) совместно с необходимой служебной информацией, требуемой рекомендациями Н.221 [ 20, 37].
При видеоконференциях показываются только «разговаривающие головы», и поэтому видеоконференции могут считаться самым простым типом видео для моделирования. Источником видео может быть сигнал в стандарте как PAL, так и NTSC, конвертируемый далее в общий стандарт одного из двух типов: CIF-Ьли QCIF.
Стандарт Common Intermediate Format (CIF) обеспечивает более высокое качество, но требует более широкую полосу частот (при использовании современных методов компрессии" рекомендуемые скорости передачи 384 кбит/с и выше). Достигаемое разрешение оказывается всего лишь вдвое хуже, чем в системе NTSC.
Стандарт Quarter Common Intermediate Format (QCIF) имеет разрешение вдвое ниже OF по каждому измерению, т.е. в четыре раза меньшее общее число пикселей, однако требуемая скорость передачи может быть снижена до 64 кбит/с.
Пример реализации, характерной для видеоконференций в стандарте Н.263 иллюстрируется на рис. 3.1а. Для описания развлекательного видео используются модели, произошедшие от них.
Оценка влияния самоподобия трафика на построение очередей
При проектировании любой территориально распределенной телекоммуникационной сети приходится сталкиваться с ограничениями на пропускную способность каналов. В этих условиях оценка эффективной полосы пропускания и времени запаздывания становится одним из ключевых вопросов. Расчеты на основе классических методов теории очередей, ориентированные на некоррелированные потоки заявок, в условиях самоподобного трафика дают чрезмерно оптимистические результаты. После обнаружения фрактальной структуры в сетевом трафике анализ построения очередей для фрактального трафика на входе в рамках классической теории построения очередей становится проблематичным. К настоящему моменту опубликовано несколько важных результатов [81,82,83,84,85].
Исследование влияния фрактальности на построение очередей является важной задачей. Некоторые приложения сетевого проектирования, такие как задание размера буфера и управление трафиком, связаны с этим вопросом, что делает его чрезвычайно актуальным.
Рассмотрим простую модель построения очередей. Очередь отдельного сервера рассматривается в непрерывном времени, дисциплина обслуживания задана как FIFO. Очередь обладает бесконечным буфером и постоянной интенсивностью обслуживания г. Обозначим через A(t) общий объем нагрузки, поступающей в очередь с момента времени (-І) в прошлом до настоящего момента времени (г = о). Так называемый процесс нагрузки Q(t) является общим объемом нагрузки, хранимым в буфере на интервале (-Щ.
Определим текущую длину буфера очереди Q(t ,г), которая является длиной очереди в равновесном состоянии, когда система эксплуатируется в течение длительного интервала времени и начальная длина очереди не оказывает на нее никакого воздействия. Если такое состояние системы существует, т.е. справедливо предположение стационарности и эргодичности процесса нагрузки, и, кроме того, достижимо состояние устойчивости системы, то тогда Q(t;r) = sup (A(t) - A{s) -r(t -s)) . (4.3) 0 ,S ,t Здесь (A(t)-A(s)) - величина нагрузки, поступившей для обработки в течение интервала времени [s, t]; r(t-s) - величина нагрузки, которая обработана в этот же интервал времени.
Будем рассматривать входной процесс поступлений A{t) как фрактальный процесс вида A(t) = h+yfdkZ(t), гє(-оо;оо), (4.4) где Z{t) - нормированное фрактальное броуновское движение (ФБД) с показателем Херста я є [0.5; 1] процесса Z(t) и интенсивностью обслуживания г Х; х о - средняя входная интенсивность; а о - коэффициент изменения. Видно, что уравнения (4.3) и (4.4) полностью характеризуются четырьмя параметрами:)., а, Я и г.
Учитывая самоподобность процесса Z(t), можно получить из (2) более точное соотношение между параметрами сети - размером буфера L, пропускной способностью канала С и параметрами трафика г, а и Н для граничных значений.
Анализ построения одиночной очереди с ФБД на входе впервые был представлен в [84], где показано, что распределение для длины очереди может быть аппроксимировано распределением Вейбулла. В частности, в [84] найдено, что хвост распределения очереди в случае ФБД для больших L на входе удовлетворяет равенству
Наблюдаемая линейность графика иллюстрирует затухание вероятности по закону Вейбулла. Полагая, что вероятность P(Q L) = E И р=г/с, можно решить (4.5) относительно пропускной способности С и найти, что QoS приблизительно достигается, когда , ,± _L ±JU _L С = г + [к(Н) -2)пгУ а2НL и r » ,(4.6) ГДЄ к(Н) = Нн(1-Н)1 я.
Для практического использования (4.6) в качестве формулы, задающей размер канала, интересно рассмотреть ее чувствительность к а и Я. На рис.4.2 показаны рекомендуемые пропускные способности каналов с различными значениями а и Н при г = 2 Мбит/с, є = 10 3 и для двух размеров буфера: L = 100 КБайт и 1 МБайт. Видно, что когда буфер является небольшим, требования к каналу меньше зависят от Н, чем когда буфер является большим. Наблюдаемый результат иллюстрирует известный факт - кратковременно зависимому трафику очень трудно наполнить большой буфер.
