Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое описание объекта исследований 20
1.1. Обобщенные математические модели дискретных однокольцевых СФС 21
1.1.1. Импульсные СФС 22
1.1.2. Цифровые СФС 25
1.1.3. Импульсно-цифровые СФС 30
1.2. Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС 32
1.2.1. Особенности построения математических моделей СФС с несколькими временными дискретами 32
1.2.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями 34
1.2.3. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты в выходном кольце 42
1.2.4. Комбинированные импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки 45
1.3. Математические модели дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки 49
1.3.1. Импульсная СФС 2-го порядка без привязки фазы 54
1.3.2. Импульсная СФС 2-го порядка с привязкой фазы 55
1.4. Выводы 57
Глава 2. Нелинейные процессы в дискретных СФС второго порядка 59
2.1. Качественные методы анализа процессов на фазовом цилиндре. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек 60
2.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений 78
2.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью 78
2.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью 89
2.3. Нелинейные процессы в кусочно-линейных СФС 98
2.3.1. Анализ установившихся движений в СФС с пилообразной нелинейностью 98
2.3.2. Устойчивость дискретной СФС с треугольной нелинейностью 104
2.3.3. Переходные режимы 109
2.4. Использование качественно-численных методов для анализа дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью 115
2.4.1. Особенности методики расчета бифуркационных параметров неподвижных точек гладких отображений 115
2.4.2. Анализ областей существования установившихся движений в СФС с синусоидальной нелинейностью. Устойчивость 120
2.5. Применение качественных методов для анализа эффектов квантования в цифровых СФС 128
2.6. Использование качественно-аналитических методов для анализа неавтономных дискретных СФС 142
2.6.1. Методика расчета областей существования установившихся движений при периодическом по частоте воздействии 142
2.6.2. Устойчивость режима слежения в СФС 2-го порядка при пилообразном и гармоническом воздействиях 151
2.7. Применение метода гармонической линеаризации для анализа периодических движений дискретных СФС 158
2.8. Выводы 165
Глава 3. Нелинейная динамика кусочно-линейных дискретных СФС третьего порядка 169
3.1. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек кусочно-линейных отображений 3-го порядка 170
3.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений 175
3.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью 175
3.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью 185
3.3. Установившиеся процессы в импульсной СФС с колебательным звеном 191
3.4. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости СФС 3-го порядка 201
3.5. Выводы 211
Глава 4. Некоторые вопросы исследования динамики двухкольцевых СФС тороидального типа 213
4.1. Бифуркации неподвижных точек кусочно-линейных отображений с двумя временными дискретами. Эквивалентные линейные модели 214
4.2. Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами 228
4.3. Устойчивость связанных и комбинированных систем синхронизации... 236
4.3.1. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты 236
4.3.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями 251
4.3.3. Импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки 256
4.4. Выводы 263
Глава 5. Устойчивость дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки 266
5.1. Линейные модели дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки 267
5.2. Методика анализа устойчивости дискретных СФС с разрывным временем 271
5.3. Анализ установившихся движений в СФС с прерыванием различного типа 282
5.4. Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости систем с разрывным временем 293
5.4.1. Эквивалентная модель приведенной линейной части СФС 293
5.4.2. Расчет областей существования периодических движений 297
5.5. Выводы 301
Глава 6. Практическая реализация и экспериментальные исследования устройств на основе дискретных СФС 304
6.1. Быстродействующий широкополосный синтезатор частоты метрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки 305
6.2. Возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона для аппаратуры передачи телевизионных сигналов 309
6.3. Синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой импульсной СФС 317
6.4. Цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым квадратурным АЦП на входе 325
6.5. Выводы 333
Заключение 335
Список литературы
- Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС
- Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений
- Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений
- Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами
Введение к работе
Актуальность работы
Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно-измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой синхронизации (СФС). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов [1-14].
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик [15-25].
Возможности дискретных технологий привели фактически к новым классам СФС. К числу их относятся связанные и комбинированные системы синхронизации. В состав их могут входить несколько колец фазовой синхронизации с перекрестными связями между кольцами, кольца слежения за фазой и задержкой, за фазой и частотой [14]. Примером служат многокольцевые цифровые синхронно-фазовые демодуляторы, перекрестные связи в которых позволяют значительно поднять точность оценки отслеживаемого параметра по сравнению с однокольцевыми [7]. Многокольцевые импульсные системы фазовой синхронизации и многокольцевые импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки получили большую популярность в технике частотного синтеза [17,19,20,41,42]. Введение дополнительных связей между кольцами позволяет поднять эффективность устройств на их основе: повысить быстродействие, расширить область устойчивой работы, диапазон синтезируемых частот. Подобные связанные системы образуют класс систем тороидального типа, особенностью которых является наличие нескольких периодов дискретизации.
К числу новых относятся дискретные системы фазовой синхронизации с циклическим прерыванием режима автоподстройки [26-29]. С помощью таких систем можно эффективно решать такие задачи, как создание высокоэкономичных синтезаторов частоты, систем многочастотного синтеза, возбудителей ЧМ и ФМ колебаний, систем обработки информации с временным разделением каналов, систем обработки информации в условиях длительного пропадания входного сигнала. Подобные системы образуют класс цилиндрических дискретных систем с разрывным временем.
Дискретные системы синхронизации - существенно нелинейные системы с множеством устойчивых состояний равновесия, в общем случае, с несколькими устойчивыми периодическими и квазипериодическими движениями различных типов, со сложным, порой непредсказуемым поведением при больших расстройках по частоте. Знание характеристик таких предельных режимов, умение управлять ими является необходимым при разработке как самих систем синхронизации, так и устройств на их основе.
Основными динамическими характеристиками СФС являются параметры и области существования состояний равновесия и других установившихся движений, области устойчивости в малом, в большом и в целом, параметры переходных процессов. Знание области параметров, в которой система устойчива в целом, решает проблему надежности ее функционирования. Обеспечение надежного функционирования в условиях отсутствия устойчивости в целом за счет управления начальным либо промежуточным состоянием позволяет найти компромиссное решение при разработке систем с учетом противоречивости основных характеристик. Знание параметров переходных процессов позволяет решить проблему быстродействия.
Большинство задач по отысканию перечисленных характеристик даже применительно к традиционным однокольцевым системам второго порядка имеют в лучшем случае приближенное решение. Причина состоит в отсутствии достаточно эффективных строгих методов исследования нелинейных разностных уравнений, описывающих анализируемые модели.
Если теория аналоговых систем синхронизации сегодня близка к завершению, то теория дискретных систем, несмотря на повышенное внимание к ней, развита существенно в меньшей степени. Большое влияние на ее оказали работы М.И.Жодзишского, В.Н.Кулешова, В.В.Шахгильдяна, А.К.Макарова, С.К.Романова, Б.И.Шахтарина, А.В.Пестрякова, В.Н.Белыха, В.П.Сизова, Г.А.Леонова, М.С.Гаврилюка, В.Линдсея, Д.Холмса, Д.Джилла, Х.Осборна, С.Гупты.
К настоящему времени детально исследованы и получены точные характеристики нелинейных режимов для дискретных систем первого порядка и в некоторых специальных случаях для автономных систем второго порядка с фиксированным периодом дискретизации. Точный анализ нелинейных режимов дискретных систем фазовой синхронизации второго и третьего порядков с различными видами нелинеиностеи, включая неавтономные режимы для случая простейших частотных воздействий, отсутствует.
Анализируя современные методы исследования нелинейных режимов дискретных СФС второго и выше порядков, следует выделить прежде всего различные численные методы, включая компьютерное моделирование. Можно указать ряд работ Б.И Шахтарина и его учеников, в которых численные методы решения разностных уравнений с успехом используются для определения областей существования периодических движений в системах с различными нелинейностями [9,71-73]. На основании полученных результатов делается попытка оценки областей устойчивости в целом дискретных СФС. В то же время очевидны ограничения подобных подходов, особенно для анализа сложных движений. Оценка границ устойчивости в этих условиях сопряжена с огромными машинными затратами, требуется постоянный контроль за сходимостью метода. Кроме того, использование численных методов в чистом виде затруднено, необходима предварительная оценка возможных движений в системе и областей параметров, в которых они существуют.
Получили известность математически строгие частотные методы, разработанные в ряде работ Г.А.Леоновым и Ю.А.Корякиным [85-89]. С помощью них можно получать оценки областей глобальной асимптотической устойчивости для систем практически с любым видом нелинейности, включая системы высокого порядка. В то же время получаемые с помощью частотных методов оценки глобальной устойчивости зачастую оказываются сильно заниженными. Это связано с тем, что методы дают лишь достаточные условия устойчивости.
Достаточно эффективными для анализа нелинейной динамики являются адаптированные к дискретным системам асимптотические методы. К числу их относится разработанный в работах А.В. Пестрякова и его учеников метод усреднения, позволяющий получать оценки областей устойчивости и временных характеристик переходных процессов достаточно широкого класса дискретных систем синхронизации [27, 31-33]. Метод основывается на разделении движений в системе на быстрые и медленные (разделение обобщенных координат на быстрые и медленные) с последующим раздельным анализом движений по быстрой и медленной координатам. Переход в результате такого разделения фактически к уравнениям более низкого порядка позволяет получить ряд интересных с практической точки зрения оценок. К числу их относится оценка времени движения по медленной координате, которая может выступать в качестве оценки установления частоты в системе. С другой стороны, очевидно, что разделение на быстрые и медленные движения не всегда возможно, что выступает в качестве ограничения применимости метода.
Неудивительно, что наибольшее число работ по исследованию нелинейной динамики посвящено качественному анализу процессов в фазовом пространстве. Это связано с тем, что в отличиии от других подходов, качественные методы в достаточно доступном виде позволяют получить не только ряд важных для практики общих оценок, касающихся различных режимов функционирования систем, но и определить основные тенденции в поведении систем при изменении параметров. Независимо от вида нелинейности легко устанавливаются, например, направления движения системы при тех или иных значениях координат, области линейного и нелинейного движений, области движений без проскальзываний фазовой координаты, притягивающие слои, области существования простейших движений. Все это позволяет на начальном этапе исследований получить о системе достаточно много информации и использовать ее на последующих этапах.
На сегодняшний день с помощью качественных методов и близкого к ним метода точечных отображений изучены системы 1-го порядка с различными нелинейностями и многие частные случаи для систем 2-го порядка. К числу их относятся работы В.И.Горюнова [59-62], Д.Джилла и С.Гупты [63,64], посвященные анализу локальной устойчивости СФС 1-го порядка, работы А.К.Макарова [65-67], а также С.К.Романова и В.Н.Малиновского [68,69], в которых изучается глобальная устойчивость импульсных СФС 1-го порядка. В [74] В.Н.Кулешовым и Г.М.Левченко изучаются условия возникновения и области существования предельных циклов 2-го рода. Анализу нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка посвящены работы Х.Осборна [76,77], В.Н.Белыха и В.П.Максакова [78-80]. В работах последних исследуются периодические движения и устойчивость в целом дискретных систем с релейной нелинейностью.
В работах В.Н.Белыха и Л.В.Лебедевой [54,81,83] качественно-численными методами исследуются некоторые нелинейные режимы ряда моделей дискретных СФС 1-го и 2-го порядков с синусоидальной характеристикой детектора. В частности, в [54] исследуются модели импульсной СФС с пропорционально-интегрирующим и астатическим фильтрами в цепи управления при нулевых частотных расстройках. В первом случае ограничение на расстройку снижает практическое значение полученных результатов.
Несмотря на частный характер полученных качественными методами результатов, приведенных в большинстве проанализированных работ, данные методы имеют большую перспективу. В пользу подобного утверждения говорит тот факт, что методы, базируясь в общем случае на обших положениях теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций, дают достаточно полную картину возможного поведения исследуемых систем и качественных изменениях в них. Исследования, выполненные на последующих этапах аналитическим или численным способами, в состоянии довести поставленную задачу анализа до конкретных численных оценок, претендующих на высокую точность. Подобный подход был продемонстрирован автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики дискретных кусочно-линейных СФС 2-го и 3-го порядков [75,90,91,106,110]. На основе качественно-аналитических методов получены точные оценки областей устойчивости в целом и полос захвата ряда дискретных СФС с различными нелинейностями детектора. На качественном уровне были проанализированы возможные бифуркации в системе, связанные с возникновением и разрушением периодических и квазипериодических движений, разработана методика определения бифуркационных параметров, результатом применения которой явились выражения для расчета областей устойчивости.
В случае дискретных СФС с гладкими нелинейностями перспективным является подход, основанный на качественно-численных методах. Бифуркационная картина, установленная на первом этапе анализа системы, дополняется численными исследованиями. В отличии от рассмотренных выше данная численная процедура основана на знании типа движения, его параметров, начальных условий движения, заданных в фазовом пространстве, и не требует больших затрат машинного времени. Данный подход использован автором диссертации при анализе устойчивости дискретных СФС 2-го порядка с синусоидальной нелинейностью [177].
Качественные методы анализа нелинейной динамики имеют большую перспективу и для задач исследования новых классов связанных многокольцевых систем и систем с циклическим прерыванием. Подтверждением являются точные оценки областей устойчивости, полученные автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики связанных и комбинированных дискретных систем СФС различного типа [122-124,126]. В известных ранее работах Т.С.Федосовой и Т.К.Паушкиной по связанных дискретным системах исследования выполнялись на основе перехода к непрерывным моделям и имели приближенный характер [114,119,120]. Что касается исследований динамики дискретных СФС с прерыванием, то на сегодняшний день в основном они выполнены А.В.Пестряковым и его учениками на основе метода усреднения [26,27,132-134]. Применение методов, позволяющих получить в общем случае более высокую точность, представляет как теоретический так и практический интерес.
Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2-го и тем более 3-го порядков, в том числе относящихся к новым классам связанных систем и систем с циклическим прерыванием автоподстройки, показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие точных методов исследования, а следовательно, и методик расчета динамических режимов, сдерживает широкое распространение их на практике. С одной стороны, большая практическая потребность в высокоэффективных системах синхронизации, с другой стороны, отсутствие достаточно полной информации о поведении таких систем для произвольных параметров и условий, отсутствие информации об их потенциальных возможностях. Это приводит к необходимости разработки эффективных прикладных методов анализа дискретных СФС и проведения исследований с помощью этих методов перспективных моделей для важных технических приложений.
В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная методам анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации и исследованию различных классов систем с применением этих методов, является актуальной.
Цели и задачи диссертации.
Целью диссертационной работы является разработка и развитие эффективных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих проводить исследования и расчет динамических свойств широкого класса импульсных, цифровых, импульсно-цифровых, связанных многокольцевых СФС, составляющих основу перспективных систем обработки информации, генераторов сигналов с угловой модуляцией, устройств частотного синтеза и стабилизации частоты.
Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:
1. Построение обобщенных математических моделей ряда классов автономных и неавтономных дискретных систем фазовой синхронизации.
2. Разработка эффективных математически обоснованных методов анализа нелинейных движений в рассматриваемых моделях, позволяющих получить простые расчетные соотношения для определения основных динамических характеристик систем.
3. Разработка на основе предложенных методов алгоритмов расчета динамических характеристик дискретных систем: областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом в целом, полосы захвата, параметров переходных процессов.
4. Анализ на основе разработанных методов и алгоритмов динамических режимов ряда моделей дискретных систем фазовой синхронизации: импульсных и цифровых различных порядков, двухкольцевых систем различного типа, в том числе комбинированных, систем с циклическим прерыванием автоподстройки.
5. Обоснование на основе полученных результатов анализа возможности повышения эффективности различных устройств обработки информации, генерации и стабилизации за счет применения рассматриваемых дискретных СФС.
6. Выработка рекомендаций по оптимизации динамических характеристик различных устройств, для реализации которых могут быть применены рассматриваемые дискретные СФС.
7. Демонстрация на ряде технических разработок высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, устройств частотного синтеза, синхронно-фазовых демодуляторов возможности повышения качественных показателей за счет использования разработанных методов анализа и реализации оригинальных технических решений.
Общая методика исследований
Разрабатываемые в диссертации методы анализа нелинейной динамики дискретных СФС базируются на общих положениях качественных методов теории колебаний дискретных систем с периодическими нелинейностями, теории бифуркаций, теории точечных отображений и метода гармонической линеаризации.
Для решения поставленных задач используются также известные разновидности метода усреднения, математическое и компьютерное моделирование, численное решение нелинейных разностных уравнений.
Разработанные методы анализа нелинейной динамики, включая качественные методы анализа на фазовом цилиндре и торе, метод гармонической линеаризации, адаптированный для анализа устойчивости новых классов систем синхронизации, ориентированы на использование персональных компьютеров.
Научная новизна результатов
1. Получены обобщенные математические модели ряда классов дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных и комбинированных систем, систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки.
2. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций разработаны эффективные
-13 методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных.
3. На основе общих положений метода гармонической линеаризации разработан ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем.
4. С учетом разработанных методов получены алгоритмы анализа основных динамических характеристик различных классов дискретных систем; алгоритмы позволяют получить расчетные соотношения для определения областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом и в целом как на плоскости обобщенных параметров так и на плоскости физических параметров.
5. На основе разработанных методов и алгоритмов создано оригинальное программное обеспечение для анализа динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации.
6. С помощью разработанных методов и алгоритмов выполнено исследование большого количества различных типов дискретных СФС. В отношении ряда систем получены новые уточняющие результаты, позволяющие иначе подойти к их разработке (импульсные и цифровые СФС различных порядков). Ряд систем исследован впервые (различные модификации связанных двухкольцевых СФС, комбинированных систем, модификации СФС с циклическим прерыванием автоподстройки). В процессе исследований установлен ряд новых качественных особенностей дискретных СФС, связанных с процессами дискретизации и квантования, которые могут быть распространены на многие другие системы рассматриваемых классов.
Практическая ценность
1. Разработанные в диссертации методы исследования позволили определить ряд основных динамических характеристик различных классов дискретных СФС. Получены границы существования установившихся периодических и квазипериодических процессов, границы областей устойчивой работы, зависимости полос и областей захвата от соотношений параметров систем и вида нелинейности детектора. Разработаны алгоритмы и пакеты программ для расчета динамических характеристик; созданные автором пакеты программ используются на ряде предприятий: РГАТА г. Рыбинск, МГТУ им. Баумана г. Москва, ЯрГУ г. Ярославль.
2. Разработанные программы позволяют оптимизировать вид и параметры нелинейности детектора с целью обеспечения заданных динамических свойств дискретных автономных и неавтономных СФС.
3. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению эффективности разрабатываемых дискретных СФС, в том числе традиционных, и различных устройств с их применением (повышению надежности, расширению диапазона устойчивой работы, увеличению полосы рабочих частот, быстродействия): высокостабильных генераторов сигналов с частотной модуляцией, однокольцевых и многокольцевых систем частотного синтеза, синтезаторов на основе комбинированных связанных систем, синхронно-фазовых демодуляторов и следящих измерителей.
4. Предложенные и развитые в диссертации методы, и разработанные на их основе алгоритмы и программы можно использовать в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа нелинейных свойств дискретных систем синхронизации и синтеза дискретных систем синхронизации различного назначения.
Результаты диссертации использованы в 6 научно-исследовательских и 2 опытно-конструкторских работах, выполняемых по решению ВПК и Постановлению ЦК и Совета Министров. Использование результатов работы в НИОКР подтверждено актами о внедрении. Предложенные при этом технические решения защищены 13 авторскими свидетельствами. Разработанный под руководством автора один из первых вариантов синтезатора частоты дециметрового диапазона на основе комбинированных дискретных СФС вошел в состав электронного комплекса, получившего в 1985 году премию Ленинского комсомола в области науки и техники.
В ходе работы над диссертацией в отраслевых научно-исследовательских лабораториях "Поликом" и "Дискрет" ЯрГУ под руководством и при непосредственном личном участии автора был создан ряд высокоэффективных устройств частотного синтеза, возбудителей ЧМ-колебаний, синхронно-фазовых демодуляторов, базирующихся на применении теоретических и прикладных результатов исследования дискретных СФС различных классов, в том числе однокольцевых, связанных, комбинированных и систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Разработки внедрены на
-15 предприятиях г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Рыбинска (ОКБ «Луч»).
Часть материалов, включая разработанное программное обеспечение, используется в учебном процессе Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, МГТУ им. Баумана г. Москва, РГАТА г. Рыбинск, ЯрГУ г. Ярославль.
Положения, выносимые на защиту
1. Обобщенные математические модели ряда классов дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных систем и систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки.
2. Разработанные на основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных.
3. Разработанные на основе общих положений метода гармонической линеаризации ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем.
4. Результаты исследования динамических характеристик конкретных типов дискретных СФС второго и третьего порядков, используемых при создании высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, цифровых синхронно-фазовых демодуляторов, синтезаторов частоты: однокольцевых импульсных и цифровых СФС с различными видами характеристик детектора, связанных двухкольцевых СФС с преобразованием частоты в кольцах и без преобразования, комбинированных дискретных систем частотно-фазовой автоподстройки, дискретных СФС с прерыванием режима автоподстройки с предустановкой и без предустановки фазы в момент смены режима функционирования.
5. Предложения по повышению эффективности и параметрической оптимизации дискретных СФС и устройств с их применением и конкретные технические решения, внедренные на предприятиях г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Рыбинска (ОКБ «Луч»).
Публикации и апробация результатов работы
Значительная часть результатов диссертационной работы опубликована в монографии Шахтарина Б.И. «Анализ систем синхронизации методом усреднения», М.: Радио и связь, 1999 г.: главе 13 -« Анализ дискретных ФАС 2-го порядка (усреднение разностных уравнений)», разделе 14.5 - «Применение качественно-аналитических методов для анализа нелинейной динамики дискретной ФАС 3-го порядка», приложении 11 - «Нелинейная динамика дискретных ФАС 2-го порядка с кусочно-линейной характеристикой детектора», в 6 отчетах по НИР и 2 отчетах по ОКР, 9-й публикациях в научных центральных журналах, 5 статьях в межвузовских сборниках, 5 депонированных рукописях, материалах 7 международных и 9 Всесоюзных семинаров и конференций, 13 описаниях изобретений, двух учебных пособиях.
Основные результаты, изложенные в диссертации, были доложены и обсуждены на 7 международных конференциях и семинарах, 16 Всесоюзных и республиканских конференциях, семинарах и школах-семинарах: всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", г. Львов, 1985г. ; V Всесоюзной школе-совещании молодых ученых "Стабилизация частоты", г. Иваново, 1986г. ; научно-техническом семинаре "Применение систем фазовой синхронизации в синтезаторах частоты", г. Куйбышев, 1986г. ; научно-техническом семинаре "Применение систем синхронизации в устройствах приема и обработки информации", г. Ярославль, 1987г. ; научно-техническом семинаре "Системы синхронизации в устройствах формирования сигналов", г. Львов, 1987г. ; всесоюзной научно-технической конференции "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи", г. Горький, 1988г. ; научно-техническом семинаре "Цифровые системы и устройства синхронизации", г. Одесса, 1989г. ; VI Всесоюзной школе-совещании молодых ученых "Стабилизация частоты", г. Канев, 1989г. ; международном семинаре по системам и устройствам синхронизации "Синхронизация - 90", г. Созопол, HP Болгария, 1990г. ; международном семинаре "Нелинейные цепи и сигналы", г. Москва, 1992г. ; научных сессиях НТОРЭС, посвященных Дню Радио, г. Москва, 1993г., 1995г., 1997г., 1999г. ; всесоюзной научно-технической конференции "Нелинейные колебания механических систем", г. Н.Новгород, 1993г., 1996г. ; The Second International Scientific School - Seminar "Dinamic and
Stochastic Wave Phenomena", Nizny Novgorod, 1994 ; The School-Conferense was supported by Ukrinian Academy of Sciences "Bifurcations and Chaos", Kotsiveli, Crimea, Ukraine, 1994, ; всесоюзных научно-технических конференциях "Направления развития систем и средств радиосвязи", г. Воронеж, 1996г. и "Радио и волокно - оптическая связь, локация и навигация", г. Воронеж, 1997г.; 5h International Specialist Workshop, "Nonlinear Dinamics of Electronic Sistems", Moscov, 1997; The 1-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1998; The 2-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1999.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений. Она изложена на 325 страницах машинописного текста, из которых 87 страниц рисунков. Список литературы содержит 195 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы и ее практическая значимость, сформулированы цели и задачи исследования, дан критический анализ работ в области исследования динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации.
Первая глава посвящена построению обобщенных математических моделей дискретных СФС различных классов: однокольцевых импульсных, импульсно-цифровых и цифровых систем с многоуровневым квантованием, многокольцевых связанных и комбинированных систем с перекрестными связями межу кольцами - систем с несколькими временными дискретами, однокольцевых систем с периодическим прерыванием режима автоподстройки - систем с разрывным временем.
Вторая глава посвящена обсуждению методов и результатов анализа нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций обосновывается ряд положений, определяющих нелинейное поведение дискретных СФС на фазовом цилиндре второго порядка для широкого класса нелинейностей: гладких (синусоидальной), кусочно-линейных (треугольной), разрывных (пилообразной). К числу их относятся возможные сценарии бифуркаций в системах при изменении обобщенной частотной расстройки, условия и характер возникновения и исчезновения состояний равновесия, периодических движений произвольной структуры и квазипериодических движений. На основе разработанных методов исследуются области существования периодических и квазипериодических движений в импульсных и цифровых СФС 2-го порядка, устойчивость в большом и в целом. Анализируются установившиеся движения в неавтономных дискретных системах при периодических по частоте воздействиях.
Третья глава посвящена анализу нелинейной динамики дискретных кусочно-линейных СФС третьего порядка с различными типами фильтров в цепи управления. Получили развитие качественно-аналитические методы анализа нелинейной динамики на фазовом цилиндре и метод гармонической линеаризации, предложенные во второй главе. Выполнены исследования областей существования периодических и квазипериодических движений, устойчивости в большом и в целом, полосы захвата импульсных СФС с двумя последовательно включенными пропорционально интегрирующими фильтрами в цепи управления и колебательным звеном 2-го порядка, а также цифровой СФС с двумя интегрирующими звеньями с независимым пропорциональным каналом.
В четвертой главе на основе полученных в предыдущих главах результатов выполнен анализ нелинейной динамики кусочно-линейных дискретных связанных СФС и комбинированных систем с частотным управлением. Получили развитие качественно-аналитические методы исследования динамических процессов применительно к тороидальному фазовому пространству. Изучены бифуркации, связанные с возникновением неподвижных точек и потерей устойчивости в целом состояния равновесия. Получили подтверждение основные выводы, сделанные для однокольцевых кусочно-линейных СФС относительно условий возникновения неподвижных точек, входящих в состав циклических движений. На основе утверждения о возникновении неподвижных точек в граничных точках нелинейностей предложена оригинальная методика определения бифуркационных значений параметров, приводящих к периодическим движениям. Исследован ряд моделей связанных дискретных систем с преобразованием и без преобразования частоты и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки.
В пятой главе исследуется нелинейная динамика двух типов моделей дискретных систем фазовой синхронизации с пилообразной характеристикой детектора с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Получили развитие методы анализа, разработанные в предыдущих главах, применительно к системам с разрывным временем. Рассматриваются условия возникновения и потери устойчивости неподвижных точек в новой шкале времени. На основе предложенных методик разработаны алгоритмы определения бифуркационных значений параметров, при которых возникают циклические движения. В главе развит метод гармонической линеаризации для дискретных СФС с прерыванием. С этой целью предложена методика построения коэффициента передачи эквивалентной приведенной линейной части системы, учитывающая нелинейные отображения на цикле работы системы.
В шестой главе приводятся примеры технической реализации и экспериментальных исследований ряда устройств, основанных на различных вариантах дискретных СФС, исследованных в диссертации. К числу их относятся: быстродействующий широкополосный синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки, синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой импульсной СФС, возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона на основе импульсной СФС с циклическим прерыванием, цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым АЦП на входе. В основу разработок легли идеи, содержащиеся в авторских свидетельствах на изобретение, приведенных в списке публикаций, и результаты исследований нелинейной динамики дискретных СФС, проведенных в диссертации.
В заключении подведены итоги диссертации и показаны направления дальнейшего развития идей, предложенных в работе.
В приложения вынесены материалы о внедрении результатов диссертационной работы.
Изложенный в диссертации материал является теоретическим обобщением исследований автора в области разработки прикладных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, что позволяет решать такую важную народно-хозяйственную проблему, как создание высокоэффективных систем и устройств обработки информации, синтеза и стабилизации для радиотехники и связи.
Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС
С учетом классификации, предложенной в [120] для непрерывных тороидальных систем, и практической значимости в разделе рассматриваются математические модели следующих классов связанных дискретных систем: - систем с двумя внешними опорными колебаниями, - систем с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты внутри колец.
Общая структурная схема первого из них приведена на рис. 1.8. Схема является основой для построения как импульсных связанных систем так и цифровых. Вариант импульсной связанной СФС может составить основу синтезатора частоты [114,118-120], вариант цифровой связанной СФС - основу двухкольцевого цифрового синхронно-фазового демодулятора [7].
Представителем данного класса связанных систем являются также комбинированные системы частотно-фазовой автоподстройки [29]. Пример подобной схемы приведен на рис. 1.9. В состав схемы входит один перестраиваемый генератор, охваченный двумя кольцами с единичными взаимными связями: импульсным кольцом фазовой автоподстройки и цифровым кольцом частотной автоподстройки. Кольца функционируют с разными временными дискретами. Комбинированная схема может составить основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового или дециметрового диапазонов [29,122,149]. ЦАП
Общая структурная схема второго из перечисленных классов приведена на рис.1.10. Подобная схема может составить основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового, дециметрового или сантиметрового диапазонов с повышенными требованиями к качеству синтезируемого сигнала [123,124]. Введение в схему дополнительных связей между кольцами позволяет улучшить динамические характеристики синтезатора, повысить устойчивость.
Существование перекрестных связей между кольцами приводит к совершенно новому классу дискретных связанных СФС, отличительной особенностью которого является наличие нескольких (чаще по числу колец) временных дискретов. Данная особенность требует и отличного от известных подхода к построению математических моделей подобных систем.
Суть подхода состоит в переходе к единой временной шкале (связанной с собственными шкалами колец). Пусть Т - временной интервал, в котором целое число раз укладывается каждый из интервалов дискретизации отдельных колец Т], Т2,...Тт. Соответственно выполняется равенствоpiTi=p2T2...=pmTm , где Р, р2,..., рт - целые положительные числа.
Введем временной интервал АТ =Т IР, где Р - наименьшее общее кратное д, Р2,..., рт, и определим новую шкалу времени с дискретом AT . С учетом ее введем понятие вектора состояния системы- Xv={x\:,x\:,...xl T, где g-размерность вектора, размерность совпадает с порядком связанной системы, в общем случае g m, 0 i Р-1. Двойной подстрочный индекс вектора и его координат связан с временным отсчетом t = п-Т + i- AT .
С учетом введенной временной шкалы AT запишем нелинейные функции, описывающие фазовые детекторы,-F/ j, где rj(i) - индекс-функция, определяющая моменты срабатывания -го детектора в новом времени.
С учетом сказанного обобщенную математическую модель связанной дискретной системы, состоящей из т колец, можно записать в виде системы разностных уравнений: где нелинейные функции G(x) определяются конкретным исполнением колец и видом характеристики детекторов в составе колец.
Построим математическую модель двухкольцевой импульсной СФС. На рис. 1.11 приведена функциональная схема такой системы. При построении схемы сделаны следующие допущения: 1) характеристики управления перестраиваемых генераторов ПГ1, ПГ2 линейны на рабочих участках; 2) кольца функционируют с постоянными периодами дискретизации Тъ Т2; 3) фазовые детекторы представляют собой нелинейные функциональные преобразователи с периодической характеристикой, нулевым временем стробирования и идеальным запоминанием на периоде стробирования; 4) дополнительные связи между кольцами выполнены в виде линейных элементов с коэффициентами передачиL1(M1) = //HL2(M2)= 3.
На схеме приняты обозначения: совхЪ совх2 - частоты опорных сигналов 1-го и 2-го колец; сопг1, сопг2 - выходные частоты 1-го и 2-го перестраиваемых генераторов; Sb S2 - крутизны характеристик перестраиваемых генераторов; Кг(р), К2(р) - коэффициенты передачи фильтров нижних частот 1-го и 2-го колец; Е}, Е2 - максимальные напряжения на выходах ИФД1, ИФД2; F((p), Ф(І/У) - нормированные характеристики ИФД1 и ИФД2; (р, у/ - разности фаз импульсных последовательностей на входах ИФД1 и ИФД2 соответственно; сопг01, сопг02 -частоты перестраиваемых генераторов при нулевых управляющих напряжениях; //, 3 - коэффициенты передачи взаимных связей.
Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений
Предлагаемая в разделе методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 2-го порядка основана на сформулированных выше утверждениях о возможности возникновения неподвижных точек на границах линейных участков функций Fc((p) и Fi(cp). Для возникновения простых неподвижных точек данные утверждения являются достаточными. Для возникновения -кратных неподвижных точек они выступают в качестве необходимых, достаточность обеспечивается дополнительным структурным условием, определяющим принадлежность остальных к-1 -кратных точек линейным участкам функций Fc( p) nF]( p).
Дадим ряд определений, которые будут использованы при разработке методики. Будем называть предельным циклом структуры (и/к) (ПЦ) периодическое движение периода к, абсолютное приращение фазы на периоде которого равно 2и. Предельный цикл (и/к) , и = 0 , будем называть циклом 1-го рода или колебательным движением (ПЦ1). Предельный цикл (и/к) , и 0 , будем называть предельным циклом 2-го рода или вращательным движением (ПЦ2). Предельные циклы 1-го и 2-го рода будем характеризовать числом проскальзываний по фазе или числом полных оборотов вокруг фазового цилиндра. Простейшими циклами 2-го рода будем называть циклы 2-го рода с одним проскальзыванием по фазе. Пусть F( p) =F]( p). В силу периодичности F]( p) фазовым пространством системы будет цилиндр, общий вид развертки которого показан на рис. 2.14.
На фазовом цилиндре выполнен ряд вспомогательных построений. К ним относятся линии отображения с сохранением координат р и х - Ьщо и Lx о соответственно. Отображение вектора и, принадлежащего одной из этих линий, будет происходить с сохранением значения соответствующей координаты. Уравнение первой из этих линий можно получить из верхнего уравнения (1.1.1), положив рп+] = рп , уравнение второй линии получается из нижнего уравнения (1.1.1) при хп+] =хп Ьщ0: х=а р, Lx,0:x=(-P(p+g)/(l-d). (2.2.1)
и ее положение не зависит от нормированной начальной расстройки g. В отличие от нее положение прямой LX:o (ЛВ) зависит от g . Точка пересечения прямых Ьщ0ы Lx0 является состоянием равновесия системы (одновременно выполняются условия рп+1 = р„и хп+1=хп ) и имеет координаты: О( р0, х0) = 0{gl{{\ - d)a + J3);ag/((l - d)a + /3)). Согласно (2.2.1) точка 0(щ, х0) с увеличением g будет смещаться вверх. Решая неравенство х а с учетом (1.1.1) при р=1 (точки О, В, D слились), можно получить условие на существование равновесного состояния : \gl((\-d)a + P)\ \. (2.2.2)
Заметим, что структура фазового пространства симметрична относительно смены знака g , поэтому в дальнейшем, не теряя общности, будем рассматривать g 0. Данный результат следует непосредственно из уравнения (1.1.1), для которого легко доказывается инвариантность относительно одновременной замены срп = -срп, хп = -хп, g = -g.
На рис. 2.14 стрелками показаны направления движения системы в каждой из областей , ограниченных прямыми L o и Lx0. Сами прямые являются границами, при переходе которых направление движения по соответствующей координате меняется на противоположное. По сути они представляют собой дискретные аналоги изоклин вертикальных (Lq,to) и горизонтальных (Lx,o) касательных. Для определения областей с положительным направлением изменения координат согласно (1.1.1) необходимо решить систему неравенств
(Pn+i -9п= -aF{(pn) + хп 0 (223)
x«+i - хп = PF((Pn) - (1 - d)xn + g 0 Области с отрицательным направлением изменения координат получаются из неравенств, противоположных (2.2.3).
Зная направление движения системы, можно предположить с большой вероятностью ее состояние после очередного шага. Например, легко увидеть, что движение из областей BOD (вниз и влево) и АОС (вверх и вправо) может происходить только вовнутрь развертки цилиндра и будет линейным. Движение из области СОВСЪ будет происходить вверх и влево и при определенных условиях приведет к выходу системы за левую границу развертки.
Определим области нелинейного отображения, стартуя из которых система выйдет либо за правую (ср=1), либо за левую {ср= -1) границы развертки фазового цилиндра и попадет на ее соседний период. Для нахождения первой из них (обозначим ее через Qi) положим в первом уравнении (1.1.1) pn+i = 1, в результате придем к уравнению прямой (KD), стартуя с которой система попадет на правую границу развертки фазового цилиндра. Положив в первом уравнении (1.1.1) (p„+i =3 , придем к уравнению верхней границы Qj (KJDJ), стартуя с которой система попадет на правую границу соседнего периода фазового цилиндра. Еще две границы задаются отрезками KKj и DDj, принадлежащих соответственно прямым р = -1 и р = 1 и ограниченных отрезками KD и KJDJ.
Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений
Пусть F((p)=Fi((p). В силу периодичности Fi(cp) фазовым пространством отображения (1.1.2) будет трехмерный цилиндр, сечения развертки которого показаны на рис. 3.3. На рис. 3.3а приведено сечение фазового пространства плоскостью у„ = 0, на рис. 3.36 - плоскостью хп=х0і. (х0г координата равновесного состояния). Прямые L o (АВ), LXio (CD) и ЬУіо являются сечениями поверхностей отображения с сохранением координат р, х и у соответственно. Уравнения этих поверхностей могут быть получены из (1.1.2) соответственно при pn+l = (pn,xn+l = xn,yn+l = уп: L o: х=а р, Lx,0: х=(у-у (p+g)/(l-d) , (3.2.1) Lyy0: y=hx- j р.
Поверхность отображения с сохранением координаты у определена при условии xn=Xoi . Следует отметить, что в уравнение для Ьщо не вошла координата у, значит рассматриваемая поверхность перпендикулярна плоскости у = 0. Кроме того, поверхность Ьщо проходит через начало координат, и, как и в системе 2-го порядка , не зависит от нормированной начальной расстройки g. Точка пересечения указанных поверхностей является равновесным состоянием системы (одновременно выполняются условия рп+] = рп , Хп+] =хп и уп+] =уп) и имеет координаты О(фоі, x0i, yoi).
По аналогии с системой 2-го порядка могут быть найдены области пространства, стартуя из которых решение (1.1.2) попадет на границы периода нелинейности Fi(q ) (р„=1 и (рп=-1. Искомые области представляют собой набор плоскостей GgjW (индекс т - номер периода Fjfcp), на границу которого попадает решение), уравнения которых имеют вид : GQM : х=(а-1)(р+2т-1, т=1,2,3... (3.2.2) и GQM : х=(а-1)(р+2т+1, т=-1,-2,-3... (3.2.3) В (3.2.2) и (3.2.3), как и в уравнение для Lpj, не вошла координата у, следовательно данные плоскости перпендикулярны плоскости уп = 0. -177 Стрелками показаны направления движения вектора состояния с[п (срп, хп, у у) вдоль направлений срп и хп при отображении в каждой из четырех зон, образованных отрезками АВ и CD.
На рис. 3.3а заштрихованы области нелинейного отображения с выходом соответственно за границы (рп=+1 и срп=-1 развертки фазового цилиндра - Qi и Q-i. С двух сторон области Q] и Q.i ограничены плоскостями рп=±1, с третьей -плоскостью х=1-(1-а) р для Q] (отображение в направлении увеличения хп) и плоскостью х= —1 -(1 -а) р для Q ] (отображение в направлении уменьшения рп). По направлениям уп и одному из направлений хп области Q] и Q_j неограниченны. Между областями Q] и Q ] находится область Qo, отображение из которой происходят линейно.
При нелинейном отображении область Q] переходит в область Q\. При этом точка В(1,а,0) отображается в точку B (-l, ad-fi+g, ah-q); L(-l, 2-а,0) -в точку L (-1, d(2-a)+/3+g, h(2-q)-q) , и т. д. Изменение координаты [qn] вектора состояния в области Qi приводит к изменению координаты вектора [qn+i\x в Q\: при увеличении (уменьшении) [qn] - увеличивается (уменьшается) [ й+1]х. Таким образом, вся область Q] отображается в бесконечную по оси хп полосу, ограниченную по оси рп плоскостями рп=±1 и еще дополнительно двумя параллельными плоскостями, являющимися отображениями плоскостей (Рп=±1 Аналогичные рассуждения приводят к построению области Q _1, которая является отображением Q_j . Необходимо заметить, что наблюдается пересечение областей Q\ и Q_j, а также Q _1 и Q] , что принципиально отличает рассматриваемую систему от системы второго порядка.
Рассмотрим итерации с начальными условиями из произвольного вектора состояния q0 =( р0,х0,у0). Согласно (1.1.2) вектор qn выразится через q0 следующим образом: Чп =Л" % + Y.A1 -(r + A-j-i) , (3.2.4) j=o TJXQA - линеаризованная матрица, соответствующая (1.1.2) -178 A \-aF{( p) 1 О -PF({q ) d 1 -(TFl((p) h — T при линейном отображении p- =(0,0,0) , в случае нелинейного отображении Pj =(±2,0,0) , при этом знак "+" соответствует выходу за границу q =—l , знак "-" соответствует выходу за границу х=+1 . Вектор р. возвращает вектор состояния системы на (J+1)-OM шаге в интервал [-1; 1] по координате х. Перепишем (3.2.4) в виде: qn=Anq0+(E-An)(E-A)-1f+YjAJpn_J_1. (3.2.5) j=o Для существования цикла периода к необходимо выполнение условия замыкания- = %- С учетом этого условия из (3.2.5) следует выражение для вектора начальной точки цикла: q0 =(Е -A r A A-j-i) +(Е -АГ1?. (3.2.6)
Выражение (3.2.6) можно рассматривать как первое необходимое условие существования цикла - условие замыкания. Вторым условием является нахождение всех векторов состояний цикла заданной структуры в пределах интервала „ 1 -структурное условие. Выполнение этого условия означает, что все вектора состояний цикла находятся в соответствующих им областях Q], Qo, Q-i. В противном случае (3.2.6) может формально привести к некоторому состоянию, не являющемуся точкой цикла. Сформулированные условия необходимы и достаточны для существования цикла заданной структуры.
Аналогично дискретной СФС 2-го порядка можно показать, что произвольный цикл, существующий в системе с нелинейностью F]( p), устойчив при выполнении условий локальной устойчивости отображения (1.1.2).
Рассмотрим цикл структуры (и/к), где и - количество нелинейных отображений на периоде цикла, к - период цикла. Для предельного цикла 1 -го рода и=0, для предельного цикла 2-го рода в случае вращения по координате ср в сторону увеличения и 0, в случае вращения в сторону уменьшения -179 координаты q - и 0. В соответствии с (3.2.6) вектор произвольной точки цикла можно представить в виде qj=Tj+gbJ = l..Jc, (3.2.7) k-i где Ij =(Е -Ак) 1( YJ JPk-j-i) , b=(E -А) 1 (0,1,0)т ; I - вектор, зависящий j=o от структуры цикла и выбора начальной точки, b - вектор, не зависящий ни от структуры цикла, ни от его начального состояния.
При изменении g происходит смещение всех точек цикла в фазовом пространстве вдоль вектора b . Это может привести как к возникновению, так и к разрушению цикла вследствие перехода точек цикла между областями Qj , Q0 , Q і, а также при пересечении векторами точек цикла плоскостей рп=±1.
Найдем условия на обобщенную расстройку g, при которой существует цикл заданной структуры (и/к). Для этого воспользуемся сформулированными выше условиями существования цикла.
Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами
Методика расчета бифуркационных параметров связанных систем как и в случае однокольцевых СФС основана на условиях попадания -кратной неподвижной точки на границу линейных участков функции Fc( p). Особенность методики обусловлена необходимостью использования в математическом описании связанных систем новой шкалы времени и неоднозначным в общем случае сценарием возникновения периодических движений заданной структуры в новой шкале. Подобный подход был отчасти применен во второй главе для анализа установившихся движений в неавтономных системах, находящихся под воздействием периодических по частоте сигналов.
Учитывая важность для установления основных бифуркаций неподвижных точек знаний областей локальной устойчивости рассматриваемых систем в новой шкале времени, в разделе решается также задача построения эквивалентной модели связанных систем и выполняется анализ ее свойств.
Методику построения эквивалентных линейных моделей дискретных связанных систем с двумя временными дискретами рассмотрим на примере двухкольцевой СФС с преобразованием частоты, уравнение которой в зависимости от типа фильтра имеет вид (1.2.23) либо (1.2.28).
С учетом введенной в первой главе временной шкалы пТ, где Т = к] -Т2 = к2 -Т] , запишем в векторном виде линеаризованное уравнение связанной системы Чп+ю = А-Чп,о+Ь, (4.1.1) где: д„0 - вектор состояния системы, Аэ - эквивалентная квадратная матрица, переводящая систему из одного состояния в соседнее, отстоящее на интервал Т. размерность Аэ совпадает с размерностью вектора qn 0; Ъ - вектор воздействия, компоненты которого зависят от начальных расстроек в кольцах. Задача линеаризации исходных нелинейных уравнений сводится к построениию матрицы Аэ и вектора b .
Переход к временной шкале п-Т, ставит ряд вопросов. Анализируя локальную устойчивость эквивалентной модели, ничего нельзя сказать конкретного о поведении колец и системы в целом в промежутках между п-Т и (/2+1)71. При этом существование устойчивых состояний равновесия в моменты времени п-Т еще не гарантирует состояние равновесия внутри временных дискретов. Ответом на поставленный вопрос может служить дополнительный анализ состояний равновесия в промежутках "линейной" временной шкалы и анализ возможных периодических движений в системе, в состав которых входили бы неподвижные точки, совпадающие по времени со шкалой п-Т. Отсутствие состояний равновесия, отличных от q0, исключает возможность возникновение незатухающих движений в области линейных участков характеристик F( p) и Ф(уу).
Можно предположить далее, что движения в окрестности состояния равновесия будут затухать и в том случае, если несмотря на устойчивость "в малом" эквивалентной системы, одно или оба кольца по отдельности не отвечают требованиям локальной устойчивости. Такая ситуация является достаточно распространенной для связанных систем. С позиции поблемы устойчивости это означает, что устойчивость системы "сильнее" неустойчивости колец.
Рассмотрим методику определения элементов матрицы Аэ. Необходимые для этого преобразования выплним в два этапа. На первом этапе осуществим линеаризацию функций F( p) и Ф{ш) в исходных временных шкалах п-Т] и п -Т2. На втором этапе избавимся от временной зависимости внутри шкалы п -Т . Выпишем в соответствии с (1.2.23) уравнение для состояний равновесия {\- )-а-Р{ср0)-{1- 1)/3-К-Ф{ш0) = а-Уі k , (4.1.2) Ц а 2Р{%) + Р-Ф{ш()) = Р-г2 где \F( p)\ 1, \Ф{ш)\ 1. Анализ решений системы уравнений (4.1.2) с учетом ограничений на нелинейные функции позволяет определить область существования q0 и ответить на характерный для связанных систем вопрос о единственности состояния равновесия. Существование множества состояний q0 объясняется исключительно взаимным влиянием колец. Системы с таким свойством -216 относятся к классу нейтральных. Реализация конкретного состояния q0 будет зависеть от начальных условий в системе. Предположим, что в окрестности состояния q0 кусочно-линейные функции F( p) и Ф{ц/) не имеют разрывов и представимы в виде П Рщ) = П Р ) + Рп , Ф(п,д = ФШ + п,. (4-1.3) Тогда уравнение (1.2.23) с учетом (1.2.2) можно записать в виде (Рп,г+1 = (Рп,г --- -1 4)- PnMl) + — пЛі) 1 2 V (4.1.4) _ /3 /л-a-v К j І /Сі
При наличии функций rj(i) и т(і) систему уравнений (4.1.4) нельзя считать линейной. Переход к полностью линейной модели вида (4.1.1) возможен только в новой временной шкале п-Т. Для произвольного соотношения к] и / такой переход связан с большим числом промежуточных решений в точках, определяемых л(і) и т(і) и не обладает универсальностью. Предлагается алгоритм косвенного вычисления компонент матрицы Аэ по заданному начальному и полученному согласно (4.1.4) конечному состоянию системы. Конечное состояние возникает после к = к\-к2 итераций отображения (4.1.4). Для полного определения элементов матрицы Аэ необходимо повторить расчеты для нескольких начальных условий, число повторов определяется порядком системы.
Суть предложенного метода можно пояснить следующими рассуждениями. Пусть qx - начальное состояние системы, не совпадающее с состоянием равновесия, q2 - состояние, в которое придет система через к = к] fa итераций. Тогда согласно (4.1.1) имет место уравнение q2=A3-qx. (4.1.5) Выражение (4.1.5) является записанной в матричном виде системой линейных уравнений относительно переменных at . и bt ., в качестве которых выступают элементы матрицы Аэ . Для нахождения всех элементов at . и bt . необходимо воспользоваться количеством уравнений вида (4.1.5), равным порядку матрицы Аэ.
