Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Устройства цифровой обработки сигналов в системах управления, сбора и преобразования информации 13
1.1 Общая характеристика алгоритмов работы линейных устройств цифровой обработки сигналов 13
1.2 Виды передаточных функций цифровых фильтров и соотношение неопределенности 17
1.3 Свойства симметрии передаточных функций цифрового фильтра..30
1.4 Формулировка показателя эффективности алгоритма цифровой обработки сигналов 35
1.5 Выводы по главе 46
Глава 2. Синтез эффективных цифровых фильтров на основе декомпозиции передаточной функции 48
2.1 Использование декомпозиции для уменьшения вычислительной сложности 48
2.2 Факторизация передаточной функции 52
2.3 Использование факторизации передаточной функции для синтеза взвешивающих окон 67
2.4 Параллельная декомпозиция передаточной функции 78
2.5 Выводы по главе 89
Глава 3. Построение эффективных многоканальных и многоскоростных цифровых фильтров 91
3.1. Постановка задачи 91
3.2. Частотное разделение каналов методом многополосной фильтрации 92
3.3. Эффективная реализация многоканальных цифровых фильтров методом трехканального разделения 102
3.4. Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров 111
3.5. Выводы по главе 128
Глава 4. Разработка и использование систем и устройств цифровой обработки сигналов эффективных по критерию вычислительной сложности 130
4.1. Разработка методики проектирования устройств цифровой
обработки сигналов на основе декомпозиции их системных функций.. 130
4.2. Разработка и экспериментальное исследование синтезаторов сигналов, реализуемых методами цифровой обработки сигналов 144
4.3. Разработка элементов радиовещательных систем передачи данных 168
4.4 Выводы по главе 178
Заключение 179
Список литературы
- Виды передаточных функций цифровых фильтров и соотношение неопределенности
- Формулировка показателя эффективности алгоритма цифровой обработки сигналов
- Использование факторизации передаточной функции для синтеза взвешивающих окон 67
- Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров
Введение к работе
Наблюдающееся в настоящее время бурное развитие телекоммуникационного сектора экономики, ставшее возможным благодаря либерализации государственного контроля над телекоммуникациями, наряду с другими тенденциями, характеризуется быстро расширяющимся применением цифровых технологий в действующих и перспективных системах связи, радиовещания и телевидения. Это связано, прежде всего, с известными преимуществами применения цифровых сигналов: высокой потенциальной помехоустойчивостью, возможностями оптимизации использования частотного спектра, перспективами применения в различных телекоммуникационных и информационных системах универсальных аппаратных и программных решений и т.д.
Одним из ключевых факторов развития в этом направлении выступает технологический прогресс. Как отмечалось в [1], «Растущая производительность микропроцессоров, появление мощных сигнальных процессоров, создание высокоэффективных методов компрессии и транспортировки информации - это только часть списка технологических инноваций, ведущих к ускорению развития сетевых технологий ... к увеличению числа услуг связи и снижению их стоимости». Наиболее общую форму оценки прогресса в области микроэлектроники дает закон Мура [1, 2]: производительность интегральных схем, измеряемая операциями/сек, и объем памяти в единице площади удваиваются каждые 18 месяцев, а стоимость микросхем при этом уменьшается на 50 %.
Успешное воплощение перспектив развития инфокоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи приема, формирования, обработки и передачи информации в реальном масштабе времени [3]. Осуществление сложных алгоритмов ЦОС требует, в свою очередь, применения эффективных базовых алгоритмов ЦОС (фильтрации, спектрального анализа и синтеза сигналов), экономично использующих соответствующие технические ресурсы.
5 В редакционной программной статье [3] подробно рассмотрены этапы
становления теории ЦОС, как научного направления, со своим собственным
кругом проблем и задач и отмечено, что: «...В теории ЦОС основная задача
традиционно формируется в достижении заданных технических требований к
устройству при минимизации вычислительных и аппаратных затрат.»
Основная научная проблематика в области ЦОС заключена в разработке путей преодоления ограничений обусловленных имеющимися ресурсами: возможностями элементной базы, допустимой величиной программно-аппаратных затрат. Методы проектирования инструментальных средств ЦОС, объединяющие синтез в спектральной области по заданным величинам рабочих параметров с приемами, учитывающими эти ограничения, позволяют получить решения, близкие к оптимальным в смысле минимизации результирующих затрат.
Задача синтеза эффективных алгоритмов и устройств цифровой фильтрации и синтеза сигналов, базирующаяся на последних достижениях теории цифровой обработки сигналов, является весьма актуальной, тем более что накопленный опыт разработки и использования цифровых сигнальных процессоров стимулируют создание новых более совершенных и мощных типов этих процессоров, в архитектуре которых должны быть заложены возможности воплощения эффективных алгоритмов ЦОС [5].
Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема совершенствования алгоритмов и устройств ЦОС для систем связи и радиовещания.
Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.
Вопросы передачи и обработки дискретных сигналов, включая построение эффективных алгоритмов обработки, рассматривались в работах М. Бе-ланже, Б. Голда, А. Константинидеса, Г. Лэма, Дж. Макклелана, А. Оппенгей-ма, Т. Паркса, Л. Рабинера, А. Феттвейса, Р. Хемминга [4-9, 91, 98]. Заметный вклад в развитие ЦОС внесли отечественные ученые В.В. Витязев, Л.М. Голь-
денберг, В.П. Дворкович, В.Г. Карташевский, Д.Д. Кловский, А.А. Ланнэ, Б.Д. Митюшкин, А.И. Тяжев, Л.М. Финк [10-13, 21, 60, 89, 94-96]. Следует отметить также работы Ю.Б. Зубарева и С.Л. Мишенкова в сфере развития технологий цифрового телевизионного и звукового вещания [3, 11, 99-101].
Публикация работ, посвященных глубокому исследованию отдельных способов сокращения сложности алгоритмов ЦОС [9, 10], свидетельствует о насущной необходимости обобщающего подхода в этом направлении.
Обзор результатов новых исследований в данной области показывает, что они могут быть сгруппированы по следующим основным направлениям:
исследование и синтез новых структурных схем ЦФ, обеспечивающих низкую чувствительность характеристик к изменениям коэффициентов ЦФ;
разработка новых типов ЦФ, для реализации которых требуется выполнение уменьшенного объема арифметических операций;
развитие новых методов аппроксимации, постановка и решение новых аппроксимационных задач.
Работы первого направления восходят к 1971 году, когда А. Феттвейс опубликовал первую работу, излагающую концепцию волновых фильтров [7]. Важность этого направления обуславливается тем, что структуры с низкой чувствительностью требуют всего нескольких бит в кодовом слове коэффициента и, следовательно, они обеспечивают возможность эффективной реализации ЦФ. Кроме того, в рамках этого подхода был предложен метод синтеза рекурсивных ЦФ (РЦФ) в виде параллельного соединения всепропускающих цепей, который оказался очень продуктивным при решении задачи конверсии частоты дискретизации [14]. Обобщающие результаты по синтезу низкочувствительных ЦФ содержатся в работах С. Митры и П. Вадьянатхана [14,15], в которых волновые, лестничные и ортогональные ЦФ получаются как частные случаи общего подхода.
Эффективная реализация ЦФ, требующая уменьшенной величины объема выполняемых арифметических операций, возможна не только за счет уменьшения чувствительности.
После появления в 1984 году работы Адамса и Вильсона [16] внимание было привлечено к применению для целей уменьшения числа умножений в фильтре простейших видов нерекурсивных ЦФ, известных также как фильтры Уолша [5,16] или фильтры рекурсивного скользящего среднего. Фильтры Уолша принципиально не требуют для своей реализации выполнения операций умножения. Основная идея подхода Адамса и Вильсона заключается в том, что фильтр Уолша осуществляет предварительную грубую фильтрацию, а каскадно соединяемый с ним выравниватель наряду с компенсацией искажений в полосе пропускания, которые вносит в сигнал фильтр Уолша, обеспечивает окончательную фильтрацию сигнала.
Поскольку требования к фильтру - выравнивателю ослаблены по сравнению с требованиями к фильтру в целом, то для его реализации используется меньшее число коэффициентов и соответственно требуется выполнение меньшего числа умножений.
Развитие методов аппроксимации связано прежде всего с постановкой и необходимостью решения новых задач:
расчетом фильтров с максимально-плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания и равнопульсирующей в полосе задерживания [17];
расчетом фильтров при учете одновременных требований как к амплитудно-частотной, так и к фазо-частотной характеристикам [18].
Задаче конверсии частоты дискретизации посвящено несколько монографий, например [15].
Вопросы многоканальной цифровой фильтрации с изменением частоты дискретизации тесно примыкают к задаче собственно конверсии частоты дискретизации. Их сходство и различие неоднократно рассматривались многими авторами, начиная с 1974 года. Наиболее полно рассмотрены два типа струк-
8 тур: древовидная (многоступенчатая) и полифазная. Для них решены аппрок-
симационные задачи с разными типами фильтров, включая НЦФ с комплексными коэффициентами [12, 15, 19].
Значительно меньше исследованы задачи многоканальной фильтрации без преобразования частоты дискретизации.
Цель работы - повышение эффективности алгоритмов и устройств ЦОС в системах связи и радиовещания путем разработки методов их построения, оптимизирующих использование программных и аппаратных средств.
Задачи исследования
Исследование свойств передаточной функции цифровых фильтров и характеристик алгоритмов ЦОС.
Формулировка и обоснование критерия для целей сопоставления и оптимизации различных вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС.
Разработка методов и путей совершенствования алгоритмов и устройств ЦОС, определение условий целесообразности их использования.
Создание методики проектирования алгоритмов и устройств ЦОС с уменьшенной величиной программно-аппаратных затрат.
Разработка и реализация методик синтеза программного обеспечения и инструментальных средств ЦОС.
Техническая реализация и внедрение разработанных методик, алгоритмов и устройств при создании оборудования связи и радиовещания.
Методы исследований. Перечисленные задачи решены методами теории линейной аппроксимации, гармонического и спектрального анализа, z -преобразования, теории групп. Кроме того, использовались методы численного анализа и моделирования.
Научная новизна
1. Сформулирован и обоснован критерий оптимальности в виде показателя вычислительной сложности, характеризующего эффективность алгоритма ЦОС применительно к задаче синтеза ЦФ по рабочим параметрам.
Впервые исследовано и классифицировано влияние свойств симметрии системной функции на характеристики вычислительной сложности алгоритмов ЦОС.
Разработаны методы синтеза сигналов, передаточных функций фильтров, включая взвешивающие функции «окон», удовлетворяющие в смысле сокращения числа вычислительных операций критерию оптимальности, и соответствующие способы реализации цифровых генераторов и фильтров, минимизирующие аппаратно-программные затраты.
На основе декомпозиции матрицы фильтрации разработаны структурные схемы многоканальных ЦФ: пирамидальная, параллельная, трансверсаль-ная, модифицированная полифазная - и определены условия целесообразности их применения.
5. Разработаны методика расчета, инструментальные средства и про
граммное обеспечение для проектирования алгоритмов и устройств ЦОС, удов
летворяющих критерию минимума показателя вычислительной сложности.
Практическая ценность
Разработанные методики проектирования, структурные схемы и схемотехнические решения ЦФ, инструментальные средства и программные продукты обеспечивают создание программных и аппаратных средств ЦОС повышенной эффективности, оптимизированных по критерию минимума показателя вычислительной сложности, для использования в составе оборудования цифровых систем связи, радиовещания, обработки информации и управления.
Разработанные методика синтеза сигналов методами ЦОС и обоснованные на этой основе структурные схемы обеспечивают создание генераторов и функциональных преобразователей для оборудования связи и радиовещания при минимизации программно-аппаратных затрат на их реализацию.
На основе результатов диссертационных исследований созданы новые технические решения, защищенные авторскими свидетельствами.
Реализация результатов работы
Результаты диссертационной работы использовались:
- в работах по автоматической системе коррекции сетевых трактов
(ОКР «Окоп» ЦНИИСвязи г. Москва);
в работах по созданию аппаратуры автоматической системы коррекции первичных сетевых трактов (ОКР «ОКА-АСК» НПО «Дальняя связь» г. Ленинград);
в работах по созданию АСУ проведения виброиспытаний (по договору о передаче научно-технических достижений НПО «Информатика» г. Куйбышев);
в НИР, выполнявшихся по заказам Минсвязи России («Оповещание», «Регион» и др.)
Внедрение результатов диссертационной работы и достигнутый при этом эффект подтверждены соответствующими актами.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В главе 1 изложены результаты исследования основных свойств системных функций и характеристик алгоритмов цифровых фильтров. На основе анализа современного состояния теории и практики в области цифровой обработки сигналов на примере цифровой фильтрации дана общая характеристика алгоритмов ЦОС. Установлены основные свойства системных функций цифровых фильтров. Сформулирован и обоснован критерий оптимальности алгоритмов ЦОС на основе показателя вычислительной сложности.
В главе 2 рассмотрены вопросы проектирования эффективных цифровых фильтров на основе декомпозиции передаточной функции. Обосновано использование факторизации и параллельной декомпозиции передаточной функции ЦФ для сокращения вычислительной сложности алгоритма фильтрации. Разработаны принципы синтеза взвешивающих функций «окон» путем факторизации передаточных функций и применение декомпозиции в процедурах синтеза нерекурсивных цифровых фильтров.
В главе 3 рассмотрено использование методов декомпозиции передаточных функций для случаев многоканальной цифровой фильтрации и фильт-
рации с преобразованием частоты дискретизации. Рассмотрены варианты построения многоканальных цифровых фильтров древовидной структуры на основе многополосных фильтров. Проанализирован многоканальный ЦФ на основе устройства трехканального частотного разделения. Рассмотрены многоскоростные многоканальные цифровые фильтры полифазной структуры.
В главе 4 излагаются вопросы разработки и использования систем и устройств ЦОС. Дано описание методики проектирования ЦОС устройств на основе декомпозиции их системной функции. Содержатся результаты исследования линейного синтеза сигналов и построения синтезаторов сигналов, систем передачи для радио и проводных трактов передачи.
В заключении перечисляются основные результаты диссертационной работы и формулируются необходимые выводы.
В Приложении 1 приведены результаты разработки модулятора системы RDS.
В Приложении 2 описана система автоматизированного расчета и программирования нерекурсивных ЦФ.
В Приложении 3 приведены результаты разработки цифрового генератора для аппаратуры АСК СТ (ЦГ).
В Приложении 4 помещены акты внедрения результатов диссертационной работы.
На защиту выносятся:
Критерий для сравнительной оценки и оптимизации вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС в виде показателя вычислительной сложности, характеризующего эффективность соответствующего алгоритма.
Классификация свойств симметрии системных функций, основанная на оценке влияния этих свойств на величину показателя вычислительной сложности алгоритмов ЦОС.
3 Результаты исследования характеристик взвешивающих функций
«окон», используемых в спектральном анализе и проектировании фильтров.
4 Методы и результаты проектирования цифровых фильтров, в том числе многоканальных, оптимизированных по критерию минимума показателя вычислительной сложности, включая способы реализации устройств, расширяющие условия их использования.
5. Методика синтеза сигналов методами ЦОС, обеспечивающая минимизацию программно-аппаратных затрат и разработанные на этой основе структурные схемы генераторов и функциональных преобразователей.
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на областной научно-технической конференции (Куйбышев, 1980), областном межотраслевом научно-техническом семинаре (Куйбышев, 1981) «Методология и организация автоматизированного проектирования систем информационных процессов», конференции «Синтез фильтрующих и корректирующих устройств для систем передачи информации по каналам связи» (г. Одесса, 1982 г.), всесоюзной научно-технической школе «Помехи и борьба с ними» (г. Москва, 1984 г.) II всесоюзного симпозиума по вычислительной томографии (г. Куйбышев, 1985 г.), семинарах «Новое в телерадиовещании и радиосвязи» (г. Псков, 1998, 2001 г.г.), «Состояние и перспективы развития средств телевизионного и звукового вещания в новых условиях» (г. Адлер, Анапа, 1999, 2000 г.г.), «Современные технологии вещания, переход на цифровое вещание (г. Сочи, 2001 г.), а также на научно-технических конференциях областного правления НТО РЭС им. А.С. Попова (г. Куйбышев, 1984-1990 г.г.)
Материалы диссертационных исследований опубликованы в 11 статьях в периодических научных изданиях, 9 публикациях в виде тезисов докладов. Новые технические решения защищены двумя авторскими свидетельствами и двумя патентами на изобретения. Отдельные результаты теоретических и экспериментальных исследований отражены в отчетах по научно-исследовательским работам и материалах опытно-конструкторских работ.
Виды передаточных функций цифровых фильтров и соотношение неопределенности
Изучение передаточной функции дает столь же полную информацию о свойствах линейных систем, как линейное разностное уравнение. Вместе с тем на практике принято задавать требования к ЦФ в виде норм и допусков на параметры передаточной функции, и конструктивный подход к проектированию эффективных ЦФ удобнее развивать, исследуя передаточные функции и их свойства.
Передаточная функция линейного инвариантного к сдвигу ЦФ является z-преобразованием его импульсной характеристики, или, что эквивалентно, может быть определена как отношение z-преобразований выходного и входного сигналов. В общем случае передаточная функция, соответствующая разностному уравнению, равна [5, 9]:
Выражение (1.3), являющееся дробно-рациональной функцией аргумента z , соответствует рекурсивному цифровому фильтру (РЦФ). Передаточная функция нерекурсивного цифрового фильтра (НЦФ) является полиномиальной, поскольку все коэффициенты знаменателя Ьт, обуславливающие наличие обратных связей, равны нулю: L-1 H(z) = а0+ axz x +... aL_xz L-X) = hQ + h.z 1 +... + hN_xz (L-X) = hnz " . (1.4) и=0
Коэффициенты НЦФ hn представляют собой отсчеты его импульсной характеристики. Из выражения (1.4) сразу следует, что НЦФ обладают конечной импульсной характеристикой (КИХ): hn = О для всех п N -\. Связь коэффициентов РЦФ с отсчетами его импульсной характеристики можно получить, подставив в разностное уравнение хп в виде единичного скачка (дельта-импульса): п K=an-Yubihn-i. (1.5) г=1
При вычислении hn все значения bt = 0 для всех і М-1,иап = 0 для всех п L - 1. Непосредственно из (1.5) следует, что импульсная характеристика РЦФ из-за наличия рекуррентного слагаемого X bt Нп4 представляет собой бесконечную последовательность отсчетов, то есть РЦФ обладает бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
С алгебраической точки зрения числитель и знаменатель передаточной функции (1.3) представляют собой полиномы комплексной переменной Z и для (1.3) справедливо представление через сомножители: {Pm } - корни полинома знаменателя, именуемые в дальнейшем полюсами передаточной функции.
Ограничив область определения контуром единичной окружности в z-плоскости, мы получаем из передаточной функции фильтра его частотную характеристику: Ще jX) I z = ejX = H{z) = \ЩЛ)\ ё m = Нге (ё х) + j Him (ё \ где \ЩЛ)\ и ср (Л) - модуль и аргумент частотной характеристики, соответственно; Нге(е] ) и Ніт(е ) - ее действительная и мнимая части, соответственно; Л = = со/Fg- нормированная частота.
Во многих приложениях часто бывает достаточно определить либо только модуль, либо только аргумент частотной характеристики. Для модуля принято наименование - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), для аргумента - фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Кроме ФЧХ аргумент принято характеризовать с помощью функции группового времени запаздывания (ГВЗ) т(Х), которое определяется как: d[mgH(ejX)\ dcp(A) dX dX K }
Физически реализуемый ЦФ должен удовлетворять условию каузальности: его импульсная характеристика h(n) = 0 при п 0. Как показано в работах [9, 23], передаточная функция таких ЦФ полностью определяется заданием только мнимой или только действительной части характеристики ЦФ.
В частном случае минимально-фазовой передаточной функции, которая не имеет нулей и полюсов вне единичного круга z-плоскости, можно, как это сделано в главе 7 монографии [23], с помощью преобразования Гильберта установить соответствие между АЧХ и ФЧХ: 9-Х р(Х) = — V.P.j\og\H(e)\ctg -— сів, (1.8) где V.P. - символ того, что под значением интеграла понимается главное значение в смысле Копій.
Полиномы вида (1.4), принадлежащие классу минимально-фазовых передаточных функций, то есть не имеющие нулей вне единичного круга, могут быть рассмотрены как своеобразные блоки, из которых можно сконструировать передаточные функции произвольного вида. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, обратимся к передаточной функции наиболее общего вида, то есть передаточной функции дробно-рационального вида (1.3).
Формулировка показателя эффективности алгоритма цифровой обработки сигналов
Процедура построения эффективного устройства ЦОС складывается из следующих этапов: синтез оператора обработки сигналов согласно некоторого критерия оптимальности; разработка и оптимизация вычислительных алгоритмов согласно критерия эффективности алгоритмов; разработка схемы реализации полученного алгоритма;
Для ЦФ на первом этапе решается задача аппроксимации импульсной характеристики ЦФ, задача построения спектрального разложения или другие эквивалентные задачи. Полученное решение должно быть представлено в виде численных значений требуемых констант и параметров законов изменения переменных.
Решение задачи аппроксимации - синтезированный оператор обработки сигнала - может быть реализован в виде различных алгоритмов. Например, НЦФ можно представить в виде алгоритма прямой свертки, в виде параллельного каскадного соединения звеньев, а гармонический анализатор - в виде алгоритма быстрого преобразования Фурье или дискретного преобразования Фурье, гребенки ЦФ и т.д.
Выбор алгоритма, наилучшего в смысле установленного критерия эффективности, производится на втором этапе, этот выбор существенно зависит от имеющихся возможностей по реализации процедур обработки.
На третьем этапе разрабатываются архитектура процессора, технические решения отдельных узлов, ориентированные на определенный элементный базис, обеспечивающие воплощение всех достижений, закладываемых на предыдущих этапах, в конкретном устройстве.
Таким образом, этап разработки вычислительного алгоритма - это важный этап проектирования устройства, на котором алгоритм должен быть опи сан с раскрытием трудоемкости выполняемых операций, степени своей однородности и регулярности, требуемой для его реализации емкости запоминающих устройств.
В качестве обобщенного показателя, характеризующего потенциальные возможности алгоритма, естественно выбрать показатель сложности алгоритма. Понятие сложности алгоритма одно из основных понятий метрической теории алгоритмов [27]. Полагая, что алгоритм определен на конечном множестве операций, множество символов, обозначающих эти операции, называют алфавитом алгоритма. Определив затем язык алгоритма как множество цепочек или слов алфавита, мы приходим к определению понятия сложности алгоритма, как сложности его записи. Сложность записи определяется числом содержащихся в ней символов алфавита [27].
Выполненное в п. 1.1 рассмотрение специфики алгоритмов ЦОС дает нам возможность концентрировать внимание на оценке сложности вычислительных операций алгоритма, оценке его вычислительной сложности (СВ), которую в формулах мы обозначим Св.
Первоначально СВ оценивали числом умножений, которое необходимо выполнить в единицу времени: Св =М F где М - число умножений; Fg частота дискретизации, Гц. Популярность такой оценки объясняется ее простотой, вместо оценки СВ всего алгоритма оценивается сложность выполнения умножений, наиболее трудоемких операций. В тех случаях, когда алгоритм ориентирован на реализацию на универсальных ЭВМ, этот показатель достаточно полно характеризует алгоритм.
Подход, развиваемый в теории аналитической вычислительной сложности, который оперирует с понятиями простейшей операции, заданного набора операций, информационного оператора [27]. Если допустимый по отношению к заданному набору простейших операций алгоритм требует выполнения К простейших операций, то сложностью вычисления алгоритма называют сумму К сложности простейших операций. Сложность простейшей операции опреде ляется произвольным образом, в зависимости от интерпретации конкретной задачи, единственное ограничение, которое при этом накладывается, это требование, чтобы сложность была конечным числом.
Как показывает практика, для того, чтобы сформулировать понятие вычислительной сложности алгоритма ЦОС, в качестве простейших операций следует выбрать операции суммирования, задержки (пересылки) и умножения. Сложность алгоритма теперь связывается со структурой программы при построении ЦФ программным путем или структурной схемой устройства, если реализация аппаратная. В любом случае структура, определяя взаимосвязь простейших операций, несет в себе информацию, существенную для определения вычислительной сложности, поскольку один и тот же результат может быть получен вычислениями по алгоритмам с различной структурой.
Структурное описание алгоритма ЦОС в виде структурной схемы или линейного направленного сигнального графа сохраняет аддитивность как свойство меры сложности алгоритма. Временной аспект сложности может быть учтен введением характеристики быстродействия, то есть учетом влияния частоты дискретизации. Благодаря учету этого влияния понятие сложности вычислений способно отражать влияние мультиплексирования или временного уплотнения, как средства повышения эффективности алгоритма ЦОС и устройства в целом.
Использование факторизации передаточной функции для синтеза взвешивающих окон
В соответствии с рассмотренными выше основными принципами сокращения вычислительной сложности, параллельная декомпозиция, согласно (2.1), обеспечивает выигрыш по сравнению с прямой формой, если ПФ слагаемых Hi{z) имеет группу с симметрией большего или, по крайней мере, не меньшего порядка, чем группа симметрии исходной ПФ.
Закономерности, характеризующие взаимосвязь АЧХ и ФЧХ слагаемых с соответствующими характеристиками ЦФ в целом, можно проследить на примере (2.9). Используем обозначения: Н{ёх) = Ф (Л) ё ; Hi{dx) =А (Л) ёа(1); Н2(ёл) = В (Л) ёра) где Ф(Х) = \Н(ё )\, А(Л) = \НХ( )\, В(Л) = \Н2(ёл)\ - АЧХ соответствующих ПФ; р (Л) = arg Я {ё\ а (Л) = arg Нх {ё\ 0 (Л) = arg Я2 (е л) - ФЧХ соответствующих ПФ. В общем виде из (2.25) получаем: Ф(Л) = л1А2(Л) + В2(Л) + 2А(Л)В(Л)со$[а(Л)-Р(Л)] (2.27 а) ДЯ) sin сг(Я) + (Я) sin ДЯ) - arctS Ащ cosащ + Вщsin рщ (2.27 6)
Если положить а (Л) = Р (Л), то получаем случай когерентного или синфазного сложения: Я (ёх) = ёа(Х) [А (Л) + В (Л)] (2.28) Ф(Л)=А(Л) + В(Л) (2.28 а) (р(Л) = а(Л) (2.28 6) Полагая А (Л) = В (Л), имеем дифференциально-фазовое сложение в (2.9): Я (У1) = А (Л) [ёа(Х) + ёр а)] (2.29) Ф (Я) = 1А (Л) cos [{а(Я)-/?(Я)}/2] (2.29 а) р(Л)= [а(Л) + Р(Л)]/2 (2.296)
Когерентное сложение возможно для любых значений т в (2.26) с естественным обобщением в (2.28). Без наложения дополнительных ограничений дифференциально-фазовое сложение в (2.26) возможно только для т=2. Для /72=4, например, требуется соблюдение условия попарного равенства фаз. А именно, из И{ёх)=А {Л) \ёа(Х + ёР(Х) + ёу(Х) + ew(X \, следует, что если а(Л)-р (Л) = у(Л)-уі (Л) (2.30) то Ф (Л) =А (Л) cos [{а(Л)-р(Л)} 12] cos [{а(Л)-у (Л)}/2] (2.30 а) и (р{Л) = а(Л) + уі{Л) = Р(Л) + у{Л) (2.306)
Определяющая роль симметрии зеркального вида по отношению к рассмотренным методам сложения проявляется наглядно при решении вопроса о типах ПФ слагаемых, в этих методах используемых. Когерентное сложение обеспечивает получение нетривиальных результатов только для слагаемых с однотипной зеркальной симметрией ПФ, возникающей только для ИХ симметричного вида. Дифференциально-фазовое сложение требует наличия зеркальной симметрии для образующих полиномов числителя и знаменателя ПФ слагаемых.
В качестве слагаемых для когерентного сложения должны быть использованы ЛФ НЦФ. В результате получается ЛФ НЦФ того же типа, что и слагаемые. Формирование ПФ более общего вида, согласно (2.34), возможно, добавляя дополнительный каскад или же вводя слагаемое, суммируемое некогерентно.
Случай когерентного, точнее говоря, противофазного суммирования, в котором используется H\(z) = z , получим специальное название дополняющей или комплементарной фильтрации [42]. В этом случае получаем из (2.28 а), полагая, что порядок ПФ Н2 (z) в (2.9) равен N: Ф (/l) = l-Я (/l) .
Главное достоинство дополняющей фильтрации в том, что удается задачу построения широкополосной ПФ преобразовать в сопряженную задачу построения узкополосной ПФ, которую в свою очередь можно эффективно решить с помощью рассмотренных выше методов факторизации ПФ.
Таким образом, для уменьшения вычислительной сложности наиболее эффективны структуры типа: Н (z) = і 1)/2 H20(zR) tf21(z) .
Основной вывод, который можно сделать по результатам рассмотрения метода синфазного или когерентного сложения, заключается в следующем. Вследствии возможности использования только слагаемых зеркального типа симметрии, потенциально достижимая эффективность метода по критерию сложности вычислений не превосходит 50%, а реальная величина выигрыша оказывается еще меньше. По этой причине данный метод широкого распространения на практике не находит, кроме случая комплементарной фильтрации.
Определенный интерес представляет случай общего суммирования линейно-фазовых составляющих по (2.26). В этом случае при соблюдении некоторых дополнительных условий можно обеспечить компромисс между величиной вносимой задержки и величиной отклонения ФЧХ от линейного вида. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в (2.27)
Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров
Ранее рассмотренные методы одно- и многоканальной цифровой фильтрации с неизменяемым значением частоты дискретизации являются частным случаем многоскоростной ЦОС. Свое конкретное выражение многоскоростная ЦОС получает при выполнении конверсии частоты дискретизации (интерполяции и децимации), однополосных преобразований (включая трансмультиплексирование), квадратурно-зеркальной фильтрации и ряде других приложений [14, 15, 19]. Исключительно важную роль как в теоретическом, так и практическом аспектах многоскоростной обработки, играет полифазное представление передаточной функции фильтра (ППФ) и полифазная структура ЦФ (ПФС), впервые предложенная М. Беланже в работах [48,49]: 1-і Н {2) = - 21) (3.16) 1=0
Сопоставляя (3.16) с выражением (2.26) мы можем классифицировать ППФ как вариант параллельной декомпозиции общего вида, использующий в качестве слагаемых многополосные ПФ вида (3.6).
Обратимся к наиболее простому случаю двухкратной конверсии частоты дискретизации. При L=2 полифазное представление z-преобразования сигнала у(п) на выходе ЦФ с передаточной функцией H(z) можно записать как: Y(z) = H(z) X(z) = Y0(z2) + z Yjfz2) = = [X0(z2J -H0(z2) + z2 -Xj(z2) -Hj(z2)] + z1 [Xj(z2J -H0(z2) + X0(z2) -Hj(z2] (3.17) Выражение (3.20) получено при использовании для H(z) L=2 в (3.16) и полифазного представления для z - преобразования входного сигнала х(п): X(z)=X0(z2)+z-1X1(z2), где X0(z2) = У2 [X(z) + X(-z)], Xjfz2) = z/2 [X(z) -X(-z)]. Как было сказано выше в подразделе 3.2 X(-z) соответствует z - преобразованию альтернированного сигнала ха(п) = (-1)п х(п). Соответствующие спектральные и временные диаграммы приведены на рисунке 3.8.
В случае интерполяции частота дискретизации входного сигнала вдвое меньше, чем частота дискретизации выходного сигнала. Благодаря такому соотношению частот спектр входного сигнала имеет зеркальную симметрию от-носительно точки Х=п : X(z) = X(-z). В результате имеем X(z) = XQ(Z ). Опустив в 3.17 слагаемые cX](z) = 0 получаем: Y(z) = Y0(z2) + z Y z2) = Xo(z2)-[H0(z2) + z -H z2) (3.18)
Из выражения (3.18) следует, что для интерполяции достаточно иметь фильтр, работающий на более низкой частоте дискретизации входного сигнала. 7 7 7 В случае децимации X(z) = X0(z) + z Xj(z), но выше приведенные соображения по симметрии применимы к Y(z): у Y(z) = Y0(z) поэтому: Y(z) = Y(z2) =X0(z2)-H0(z2) + z- Xjfz j-Hjfz2). Следовательно, при децимации также можно обойтись фильтром, работающим на более низкой частоте дискретизации выходного сигнала.
Возникающая за счет уменьшения частоты дискретизации симметрия повторения, в случае двухкратного уменьшения совпадающая с зеркальной, может быть задействована для понижения сложности вычислений. Сокращение вычислительной сложности находит отражение в изменении значения F$, входящего сомножителем в формулы для показателя вычислительной сложности. ПФС является оптимальной структурой для многоканальной многоскоростной фильтрации. Реализация устройств двухканального разделения в соответствии с (3.19) на основе схем дифференциально-фазового типа после появления пионерской работы [50] неоднократно обсуждалась в литературе.
Будучи по своей природе схемой фазокомпенсационного типа ПФС может быть реализована с использованием всепропускающих ПФ в качестве субфильтров Hi(z) в (3.16) независимо от соотношения частот дискретизации и тем самым задействовать присущую этим ПФ симметрию для снижения вдвое числа умножений, выполняемых в слагаемых Hi(z ).
Слагаемые, на которые расщепляется ПФ в (3.16), образуются группированием отсчетов импульсной характеристики в L чередующихся подпоследовательностей децимированных в L раз: оо Hl(zL) = z l Yuz nl KhL + l). (3.20) П =-00
Полученные в соответствии с (3.20) составляющие ("щепки") имеют фазовые характеристики, совпадающие по модулю с периодом L.
Уравнение связи 1-го слагаемого с расщепляемой исходной ПФ H(z) можно получить из (3.20). За основу возьмем соотношение z - преобразований исходной - H(z) и децимированной в L раз последовательностей - Hq(z ) [52]: #Д ) = }І ( ), где W = exp (-j-211/%). Применяя это соотношение, в совокупности с теоремами о сдвиге последовательности и умножении на экспоненциальную последовательность [9, 23] к (3.20) получаем: 1 L l H z1) = zl YwkH{zWk) (3.21) L к=0
Целесообразность использования ППФ и ПФС в схемах с преобразованием частоты дискретизации объяснима тем, что при величине, равной отношению преобразуемых частот дискретизации, каждый отсчет сигнала более высо 115 кой частоты дискретизации формируется или обрабатывается только одним из L слагаемых. При этом каждое из слагаемых работает на более низкой частоте дискретизации. Это положение для L=2 наглядно иллюстрирует выражение (3.18). Если L кратно отношению преобразуемых частот, то каждое слагаемое в (3.16) обладает ПФ гребенчатого вида Hi(zL) = Hi(zF), где Р= LFdl/Fd2 - показатель кратности. Для реализации эквивалента линии задержки требуется (Р-1) добавочных ячеек памяти на каждое звено.
Поскольку величина полосы пропускания частотных характеристик для ПФ, используемых для интерполяции и децимации по порядку величин равна 0(1/L), то для L 10 эти ПФ можно отнести к разряду узкополосных.
