Содержание к диссертации
Введение
1. Алгоритмы адаптивной фильтрации на основе разложения 21
1.1. СМ-критерий в алгоритмах 21
1.2. Алгоритмы на основе обратного разложения и критерия 24
1.3. Вычислительная сложность алгоритмов 28
1.4. Моделирование алгоритмов 32
1.5. Основные результаты главы 1 41
2. Адаптивные антенные решетки на основе алгоритмов с линейными ограничениями 42
2.1. СМ-критерий в линейно-ограниченных ЖЛ-алгоритмах 42
2.2. Вычислительная сложность линейно-ограниченных алгоритмов 45
2.3. Моделирование алгоритмов 50
2.4. Основные результаты главы 2 60
3. Адаптивные антенные решетки на основе nlms-алгоритма с линейными ограничениями 63
3.1. СМ-критерий в линейно-ограниченном Ж.МХ'-алгоритме 63
3.2. Вычислительная сложность линейно-ограниченного NLMS-алгоритма 66
3.3. Моделирование алгоритмов 71
4. Адаптивные антенные решетки на основе алгоритма аффинных проекций с линейными ограничениями 84
4.1. СМ-критерий в линейно-ограниченном ЛР-алгоритме 84
4.2. Вычислительная сложность линейно-ограниченного алгоритма 86
Моделирование алгоритма 91
Основные результаты главы 4 100
Вопросы программной реализации адаптивных антенных решеток 102
Заключение 137
Список литературы 140
Приложение
- Алгоритмы на основе обратного разложения и критерия
- Вычислительная сложность линейно-ограниченных алгоритмов
- Вычислительная сложность линейно-ограниченного NLMS-алгоритма
- Вычислительная сложность линейно-ограниченного алгоритма
Введение к работе
В диссертации разрабатываются и исследуются модифицированные алгоритмы адаптивной фильтрации сигналов для антенных решеток систем цифровой связи. Алгоритмы базируются на одновременном использовании двух критериев: постоянства модуля информационных символов и рекурсивного критерия наименьших квадратов (Recursive Least Squares, RLS). В основе алгоритмов лежит обратное QR-разложение матрицы отсчетов обрабатываемых сигналов. Рассматриваются Л5-алгоритмы без ограничений и с линейными ограничениями. Кроме того, рассматриваются нормализованный градиентный алгоритм (Normalized Least Mean Squares, NLMS) и алгоритм аффинных проекций (Affine Projections, АР) с линейными ограничениями. Исследуется эффективность алгоритмов адаптивной фильтрации сигналов в антенных решетках в различных условиях функционирования. Рассматриваются также вопросы программно-аппаратной реализации разработанных алгоритмов.
Актуальность работы
Широкое использование беспроводных средств передачи цифровых данных ведет к неуклонному росту числа базовых станций и различного рода терминалов, не связанных друг с другом, но работающих в одном диапазоне частот. Такие средства связи являются источниками взаимных помех. Применение адаптивных антенных решеток (ААР) позволяет подавлять помехи, находящиеся в одной полосе частот с полезным сигналом и приходящие с неизвестных направлений, за счет формирования провалов в диаграмме направленности (ДН) в направлениях на источники помех.
В общем случае для ААР, как разновидности адаптивного фильтра, требуется опорный сигнал. Однако адаптивная фильтрация сигналов в ААР может выполняться и на основе алгоритмов без опорного сигнала. Это позволяет упрощать протоколы функционирования систем цифровой связи.
Для фильтрации сигналов в ААР, в которых не предусмотрен опорный сигнал, используются либо алгоритмы с линейным ограничением (Linearly Constrained, LC), либо алгоритмы на основе критерия постоянства модуля информационных символов (Constant Modulus, СМ). Данные алгоритмы характеризуются известными недостатками, проявляющимися при приеме ААР помех, коррелированных с полезным сигналом.
Создание алгоритмов, не требующих наличия опорного сигнала и не имеющих недостатков вышеуказанных алгоритмов, является актуальной
задачей, решение которой обеспечивает подавление помех и, как следствие, обеспечивает повышение скорости передачи данных по каналу связи.
Решению научных и технических задач, возникающих при фильтрации сигналов с помощью ААР без опорного сигнала для систем цифровой связи, посвящена настоящая диссертационная работа.
Объектом исследования являются адаптивные антенные решетки систем цифровой связи без опорного сигнала.
Предметом исследования являются алгоритмы адаптивной фильтрации на основе критерия постоянства модуля информационных символов с линейными ограничениями.
Цель и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы является разработка ряда модифицированных алгоритмов адаптивной фильтрации для антенных решеток систем цифровой связи, функционирующих на основе критерия постоянства модуля информационных символов (СМ-критерия); исследование эффективности использования этих алгоритмов в малоэлементных антенных решетках, а также оценка реализуемости этих алгоритмов на современной цифровой элементной базе.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
разработать вычислительные процедуры и исследовать эффектив
ность следующих алгоритмов для фильтрации сигналов в ААР, функ
ционирующих по СМ-критерию:
-многоканальных рекурсивных алгоритмов на основе критерия наименьших квадратов (RLS);
-многоканальных рекурсивных алгоритмов на основе критерия наименьших квадратов с линейными ограничениями (LC RLS);
нормализованного алгоритма по критерию наименьшего среднеквадратичного отклонения с линейными ограничениями (LC NLMS);
алгоритма аффинных проекций с линейными ограничениями (1С АР);
исследовать эффективность программной реализации на базе циф
ровых сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор»
ААР, функционирующих по СМ-критерию с использованием LC RLS-,
NLMS- и ЛР-алгоритмов.
Методы исследования
При проведении работы использованы методы теории цифровой обработки сигналов, адаптивной фильтрации, антенных решеток, цифро-
вой связи, линейной алгебры, компьютерного моделирования и программирования микроконтроллеров. При моделировании и разработке программ использовались следующие программные продукты: MATLAB и Assembler для сигнальных контроллеров серии «Мультикор».
Научная новизна диссертации
В процессе исследований и разработок получены следующие новые научные результаты.
Разработаны модифицированные многоканальные ftLS-алгоритмы на основе обратного g/ї-разложения для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих по СА/-критерию, и установлено путем компьютерного моделирования, что такие алгоритмы являются более устойчивыми по сравнению с аналогичными алгоритмами на основе леммы об обращении матрицы.
Разработаны модифицированные многоканальные Л5-алгоритмы с линейными ограничениями для фильтрации сигналов в ААР на основе СА/-критерия; показано путем компьютерного моделирования, что использование таких алгоритмов позволяет обеспечить устойчивое функционирование ААР в условиях приема коррелированных помех; установлено, что линейные ограничения позволяют компенсировать постоянный фазовый сдвиг в выходном сигнале ААР, обусловленный ориентацией источника полезного сигнала относительно антенной решетки и значениями ее весовых коэффициентов.
Разработан эффективный с вычислительной точки зрения LC iVIMS-алгоритм для фильтрации сигналов в ААР на основе СМ-критерия; продемонстрировано, что при соответствующем выборе масштабирующего множителя динамического шага сходимости такой алгоритм обеспечивает значения ДН в направлениях на источники помех, близкие значениям, достигаемым с помощью LC .RLS-алгоритмов.
Разработан эффективный с вычислительной точки зрения LC АР-алгоритм для фильтрации сигналов в ААР на основе СМ-критерия; установлено с помощью компьютерного моделирования, что при соответствующем выборе размера скользящего окна длительность переходного процесса в таком алгоритме уменьшается в несколько раз по сравнению с LC МЖ^-алгоритмом.
Реализованы линейно ограниченные RLS-, NLMS- и ЛР-алгоритмы на базе цифровых сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих по СМ-критерию, и на основе оценок вычислительных ресурсов, необходимых для реализации этих алгоритмов, даны рекомендации по использованию предлагаемых алгоритмов в различных условиях функционирования ААР.
Практическая значимость
Практическая значимость результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в том, что использование разработанных алгоритмов в ААР позволяет эффективно подавлять коррелированные и некоррелированные помехи (до уровня -70...-100 дБ), находящиеся в одной полосе частот с полезным сигналом.
Разработанные на языке программирования MATLAB модели указанных алгоритмов могут быть использованы при проектировании беспроводных систем цифровой связи, а также в учебном процессе по основам цифровой связи и цифровой обработки сигналов.
Разработанные для указанных алгоритмов программные модули для сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» на языке Assembler позволяют снизить время проектирования ААР за счет использования готового программного обеспечения.
Полученная оценка вычислительной сложности алгоритмов позволяет выбирать алгоритмы при их использовании, исходя из компромисса между требуемыми ресурсами и эффективностью функционирования ААР в терминах длительности переходных процессов и достигаемой глубины ДН в направлениях на источники помех.
Достоверность результатов
Достоверность результатов диссертационной работы подтверждена результатами моделирования в среде MATLAB, а также реализацией разработанных алгоритмов в виде программных модулей для сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор».
Личный вклад автора
Все основные результаты диссертационной работы, включая положения, выносимые на защиту, получены лично автором диссертации.
Внедрение результатов работы
Результаты диссертационной работы внедрены в виде: -вариантов реализации на ПЛИС линейно-ограниченных RLS-, NLMS- и ЛР-алгоритмов адаптивной фильтрации для антенных решеток систем цифровой связи с Phase Shift Keying (PSK) сигналами, а также прототипов перечисленных алгоритмов на языке MATLAB в ОАО «Радиотехнический институт имени академика А.Л. Минца»;
-программной реализации на языке Assembler отечественных сигнальных контроллеров серии «Мультикор» линейно-ограниченных алгоритмов адаптивной фильтрации для антенных решеток систем цифровой связи с сигналами, отвечающими СМ-критерию и прототипов этих
алгоритмов на языке MATLAB в ОАО «Челябинский радиозавод «Полет»;
-лекций и лабораторных работ по курсам «Цифровая обработка сигналов» и «Проектирование встроенных систем на ЦСП» на кафедре «Телекоммуникационные системы» Московского государственного института электронной техники (технического университета) (МИЭТ); что подтверждено соответствующими актами.
Положения, выносимые на защиту
Многоканальные Лі5-алгоритмьі на основе обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих на основе СМ-критерия.
Многоканальные LC /ЇІб'-алгоритмьі на основе обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих на основе СМ-критерия.
Эффективный с вычислительной точки зрения многоканальный LC МЖ5-алгоритм для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих на основе СМ-критерия.
Эффективный с вычислительной точки зрения многоканальный LC ЛР-алгоритм для фильтрации сигналов в ААР, функционирующих на основе СМ-критерия.
Рекомендации по реализации перечисленных выше алгоритмов на базе цифровых сигнальных контроллеров отечественной серии «Муль-тикор».
Апробация работы
Основные результаты работы представлены и обсуждены на 7 научно-технических конференциях: 14-й Международной конференции «Информационные средства и технологии» (г. Москва, 2007), Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы информатизации. Развитие информационной инфраструктуры, технологий и систем» (г. Москва, 2007, 2008), 15-й Международной научно-технической конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (Рязань, 2008), Всероссийской ежегодной научно-технической конференции «Наука, производство, технологии, экология» (г. Киров, 2008), Всероссийском научно-техническом семинаре «Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания» (Ярославль, 2008), Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (>РЛ-2009)» (Москва, 2009).
Публикации
Результаты диссертационной работы опубликованы в 13 работах. Из них 5 статей в журналах из перечня ВАК: «Цифровая обработка сигналов», «Телекоммуникации», «Информационные технологии», «Антенны», «Известия высших учебных заведений. Электроника»; 1 статья в журнале, не входящем в перечень ВАК: «Исследования в области цифровых систем связи» (Межвузовский сборник, изд. МИЭТ); 7 статей в трудах перечисленных выше российских и международных конференций.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения и приложения. Она содержит 184 страницы текста, включая 57 рисунков, 13 таблиц, 11 страниц списка используемой литературы из 111 наименований, 10 приложений, включая 3 акта о внедрении ее результатов.
Алгоритмы на основе обратного разложения и критерия
Рассмотренное в предыдущем разделе допущение позволяет применить любой из известных Ж -алгоритмов с квадратичной вычислительной сложностью 0[N2) в качестве алгоритма поиска вектора весовых коэффициентов, минимизирующего функционал (1.3). В [46, 47] для данной цели был использован і -алгоритм на основе леммы об обращении матриц [48]. Для решения этой же задачи в настоящем разделе представлены модификации многоканальных Ж,5 -алгоритмов на основе обратного 0/?-разложения [28]. Полученные алгоритмы приведены в табл. 1.1 и табл. 1.2. Если р = 2, то zN(k) = xN(k)x"(k)hN(k-1).
В этом случае вычисление вектора zN(k) требует минимального числа арифметических операций, равного 2N умножениям и N сложениям, а длительность переходного процесса алгоритма адаптивной фильтрации минимальна, так как переменная zN(k) обладает минимальной памятью [47]. Кроме того, в условиях низких отношений сигнал-шум (ОСШ) адаптивным фильтром обеспечивается меньшее значение среднеквадратичной ошибки при р = 2, чем при /7 = 1 [49]. В табл. 1.1 и табл. 1.2 символами toN и 1 обозначены нуль-вектор и единичная матрица, соответственно. Векторы весовых коэффициентов инициализируются как Пдг(0) = [ljO .J или hN(0) = \[/N,0TN_1\ . Это означает, что в начале работы алгоритмов (до первой итерации) только одна антенна принимает сигналы. Поскольку парциальные ДН антенн ААР предполагаются всенаправ-ленными, то направление на источник полезного сигнала может быть неизвестным. В процессе адаптации формируется ДН ААР с максимумом основного лепестка в направлении на источник полезного сигнала и с провалами в направлениях на источники помех. Параметр S2 используется для начальной регуляризации обращения кор 27 масштабированное значение R (&) (нижние треугольные матрицы) используются в алгоритмах. Параметр регуляризации выбирается из условия 52 О.ОІсгГ [50], где т1 — дисперсия сигналов z(k). Нижние индексы і и j в обозначениях переменных указывают на номера используемых элементов векторов и матриц,, обозначение ( ) указывает на /Л:/ номера элементов» строк матриц, а обозначение ( ) на номера элементов 1:/ векторов. В основе многоканального алгоритма (табл. 1.1) находится одноканаль-ный алгоритм, использующий обратное -разложение [51], для адаптивных фильтров с действительными весовыми коэффициентами. Для определения вектора коэффициентов Калмана gN(k), с помощью которых в уравнении (1.1.11) вычисляется вектор весовых коэффициентов hN(k), используются фигурирующие в (1.1.9) переменные uN(k) и bN{k). Эти переменные находятся с помощью соотношения:
Алгоритмы (табл. 1.1 и табл. 1.2), а также алгоритм [47], математически эквивалентны и отличаются лишь вычислительной сложностью. Эквивалентность означает, что алгоритмы получены путем тождественных математических преобразований соотношений, обеспечивающих минимизацию функционала (1.3). Поэтому при реализации вычислений в арифметике с плавающей точкой, одинаковых параметрах адаптивного фильтра и одинаковых условиях функционирования, т.е. при обработке одинаковых сигналов, сравниваемые алгоритмы вычисляют на каждой итерации одинаковые показатели ААР (выходные сигналы, векторы весовых коэффициентов и др.). Эти показатели различаются лишь ошибками округления, так как в каждом из алгоритмов используется своя последовательность вычислений со своим числом арифметических операций. Эквивалентность обеспечивается на всем интервале наблюдения в случае, если алгоритмы функционируют устойчиво. Алгоритм (табл. 1.1) содержит N операций извлечения квадратного корня, что обусловлено вычислением переменной bN(k) в уравнении (1.1.4) в течение N шагов i = l,...,N на каждой к-й итерации алгоритма адаптивной фильтрации. Алгоритм (табл. 1.1) также содержит 3N2 + WN операций умножения, 1.57V2 + 5.5ІУ +1 операций сложения и N операций деления. Вычислительная сложность алгоритма (табл. 1.2) равна 2.5N2 +117V операциям умножения, 1.5N2 +5.5N + 1 операциям сложения и N операциям деления. Операции извлечения квадратного корня в алгоритме отсутствуют. Для сравнения вычислительная сложность алгоритма на основе леммы об обращении матрицы [47] равна 4N2 + 6N операциям умножения, 3N2 + 4N + 2 операциям сложения и одной операции деления. Этот алгоритм также не содержит операций извлечения квадратного корня.
Другой Ж -алгоритм на основе обратного Оі?-разложения содержит только одну операцию извлечения квадратного корня [28]. Вычислительная сложность этого алгоритма равна 47V +7N + 3 операциям умножения, 3N +4N + 3 операциям сложения, одной операции извлечения квадратного корня и двум операциям деления. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма [28] в части операций умножения и сложения несколько больше, чем у алгоритмов, представленных в табл. 1.1 и табл. 1.2. Однако в нем число операций извлечения квадратного корня в N раз меньше, чем в алгоритме табл. 1.1, а число операций деления в N12 раз меньше. Алгоритм [28], является многоканальной версией одноканального алгоритма [55]. В данном алгоритме для выполнения преобразований, аналогичных (1.4), вместо вращений Гивенса используется преобразование Хаусхолдера [56]. В приведенных оценках сложности алгоритмов также учитывается число арифметических операций при вычислении вектора zN(k) = xN(k)y (k), куда входит и вычисление выходного сигнала антенной решетки у{к). В алгоритмах в основном используются комплексные арифметические операции. Для сравнения вычислительной сложности рассмотренных алгоритмов необходимо представить операции извлечения квадратного корня и операции деления тоже в терминах умножений и сложений. В большинстве ЦСП используются программные реализации операций извлечения квадратного корня и де
Вычислительная сложность линейно-ограниченных алгоритмов
LC-алгоритмы на основе вычислительной процедуры (табл. 2.1), использующие различные процедуры вычисления.вектора gN(k), являются математически эквивалентными. Алгоритмы отличаются лишь вычислительной сложностью. Сложность LC-алгоритма (табл. 2.1) равна 12N +1 операциям умножения, 1ON + 5 операциям сложения и одной операции деления. Здесь отсутствует сложность вычисления вектора сДс с ) , так как это вычисление не зависит от номера итерации к и, подобно инициализации, может быть выполнено заранее. Сложность вычисления вектора коэффициентов Калмана с помощью процедуры, содержащей квадратные корни (табл. 1.1), включает N операций извлечения квадратного корня, 3N2+7N операций умножения, 1.5N2 +2.5N операций сложения и N операций деления. Сложность вычисления вектора коэффициентов Калмана с помощью процедуры, не содержащей квадратные корни (табл. 1.2), равна 2.5N2 + IN операциям умножения, 1.5iV2 + 2.5JV операциям сложения и N операциям деления. і
Сложность вычисления вектора коэффициентов Калмана с помощью процедуры на основе леммы об обращении матрицы [47] равна AN2 + 2N операциям умножения, 3N2 + N +1 операциям сложения и одной операции деления. Сложность вычисления вектора коэффициентов Калмана с помощью обратного ОЯ-разложения с использованием преобразования Хаусхолдера [28] равна 4N2 + 3N + 3 операциям умножения, 37V2 + N + 2 операциям сложения, одной операции извлечения квадратного корня и двум операциям деления. Таким образом, полная вычислительная сложность рассмотренного LC-алгоритма зависит от способа вычисления вектора gN(k). На практике использование той или иной вычислительной процедуры определяется имеющимися ресурсами для реализации алгоритма и его устойчивостью в заданных условиях функционирования. Полная вычислительная сложность рассматриваемых алгоритмов в терминах умножений и сложений приведена на рис. 2.1 для случаев N = 2,...,32. В этих оценках операции извлечения квадратного корня и деления представлены в виде операций умножения и сложения в соответствии с тем, как это реализовано в прикладных библиотеках СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» [29], см. также раздел 1.3. Относительное увеличение числа арифметических операций в LC-алгоритмах настоящей главы по сравнению с алгоритмами без линейных ограничений, рассмотренных в главе 1, приведено на рис. 2.2. Крайние значения графиков на рис. 2.2 приведены в табл. 2.2. Из рис. 2.2 и табл. 2.2 следует, что с увеличением числа антенн N относительный вклад числа арифметических операций в алгоритм из-за применения линейных ограничений уменьшается.
Так как алгоритм (табл. 1.2) г обладает минимальной сложностью, то совместное использование алгоритмов (табл. 2.1) и (табл. 1.2) также характеризуется минимальной вычислительной сложностью, см. рис. 2.1. При TV = 8 алгоритм (табл. 2.1 и табл. 1.2) требует 370 комплексных умножений и 228 комплексных сложений на одну итерацию. Следовательно, одна итерация алгоритма занимает Кт = 4 370 + 2 370 + 2 228 тактов сигнального-процессора в контроллерах серии «Мультикор», см. раздел 1.3. СБИС 1892ВМЗТ («Мультикор-12», МС-12) серии «Мультикор» может выполнять примерно 100-Ю6/Кт »37.5-103 таких итераций за 1 секунду. Если итерации следуют с удвоенной частотой смены информационных символов, то, например, для сигналов PSKA антенную решетку можно использовать в системах связи со скоростью передачи данных до 37.5 103 бит/с. При использовании СБИС 1892ВМ2Т («Мультикор-24», МС-24) число итераций алгоритма за одну секунду примерно удваивается, что обеспечивает возможность обрабатывать информацию со скоростью до 70 кбит/с. СБИС MCF-0428 («MultiForce») серии «Мультикор» в этих же условиях позволяет строить цифровую ААР для приема информации на скорости до 33-37.5-103 «1.24 Мбит/с. Если на длительности информационного символа производится несколько отсчетов сигналов, то приведенные оценки скорости приема информации пропорционально уменьшаются в число отсчетов раз. Для демонстрации эффективности рассмотренных алгоритмов проведено компьютерное моделирование процессов подавления помех с помощью ААР. Моделирование для ААР с числом антенн N = 8 проводилось в условиях, аналогичных рассмотренным в разделе 1.4. В разделе 1.4 при моделировании не учитывался аддитивный, шум во входных сигналах антенных элементов. Причиной этого шума является тепловой шум приемно-усилительных трактов модулей антенной решетки, шум АЦП, шум из-за конечного подавления комбинационных составляющих сигналов фильтрами, следующими за преобразователями частоты. Этот шум ограничивает глубину провалов в ДН в направлении на источники помех F(6 ) = с%(вj)hN. Действительно, адаптивный фильтр сходится к решению, характеризуемому вектором весовых коэффициентов hN(k) = R (k)pN(k), где показать, что Таким образом, при наличии шума, вектор весовых коэффициентов состоит из двух составляющих, обусловленных компонентами уравнения (2.7). При к- сс, c"(ej)\R (-:)(k)pN(k)\=0 . Поэтому уровень ДН в направлении на источник j -й помехи при наличии шума определяется второй компонентой уравнения (2.7), т.е. имеет вид: Анализ уравнения (2.8) является сложным, так как при обработке СМ сигналов (см. раздел 1.1) элементы матрицы R ,(r)(A:) и вектора pN(k) являются функциями вектора весовых коэффициентов h . Кроме того, наличие шума влияет на процесс адаптации и при к -» оо, с" (0 .)[R 1(r) (/с)рдг ()]= 0 . Поэтому влияние шума на достижимое подавление помех для СМ(2,2) Ш -алгоритмов главы 1 исследовано путем моделирования. Результаты моделирования приведены в табл. 2.3 для разных значений отношения сигнал-шум (ОСШ).
Вычислительная сложность линейно-ограниченного NLMS-алгоритма
Из табл. (3.2) следует, что полученный LC СМ{2,2) TVLMS-алгоритм не содержит умножения на квадратную матрицу Р , а, следовательно, в отличие от исходного алгоритма [36] и его модификации (3.1) — (3.5), характеризуется не квадратичной 0(N2), а линейной O(N) вычислительной сложностью. Вычислительная сложность алгоритма (табл. 3.2) равна 9N +1 операциям умножения, 8N + 4 операциям сложения и одной операции деления. Для сравнения, вычислительная сложность алгоритма (3.1) - (3.5) равна 2N2 +5N + 2 операциям умножения, 2N2 + 5N + 2 операциям сложения и одной операции деления. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма (табл. 3.2) примерно в 2N раз меньше сложности алгоритма (3.1) — (3.5). Сложность алгоритма (табл. 3.1) без ограничений равна 5N +1 операциям умножения, AN + 2 операциям сложения и одной операции деления. Полная вычислительная сложность алгоритмов (табл. 3.1 и 3.2) в терминах умножений и сложений приведена на рис. 3.1 для случаев iV = 2,...,32. В этих оценках операции деления представлены в виде операций умножения и сложения в соответствии с тем, как это реализовано в прикладных библиотеках СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» [29], см. также раздел 1.3. На рис. 3.2 приведена сложность алгоритмов (табл. 3.2) и (3.1 — 3.5). Видно, что алгоритм (табл. 3.2) характеризуется линейной вычислительной сложностью, а алгоритм (3.1 - 3.5) — квадратичной.
Оба алгоритма являются математически эквивалентными, что свидетельствует о вычислительном преимуществе алгоритма (табл. 3.2). Аналогичные зависимости для алгоритма (табл. 3.2) и LC RLS-алгоритмов, рассмотренных в главе 2, приведены на рис. 3.3. Из рис. 3.3 также следует преимущество алгоритма (табл. 3.2). При N = 8 алгоритм (табл. 3.2) требует 80 комплексных умножений и 47 комплексных сложений на одну итерацию. Следовательно, одна итерация алгоритма занимает Кт = 4 80 + 2 80 + 2 47 тактов центрального процессора в сигнальных контроллерах серии «Мультикор», см. раздел 1.3. СБИС 1892ВМЗТ («Мультикор-12», МС-12) может выполнять примерно \00-\06/Кт »175-103 таких итераций за 1 секунду. Если итерации следуют с удвоенной частотой смены информационных символов, то, например, для сигналов PSK-4 антенную решетку можно использовать в системах связи со скоростью передачи данных до 175 кбит/с. При использовании СБИС 1892ВМ2Т («Мультикор-24», МС-24) число итераций алгоритма за одну секунду примерно удваивается, что обеспечивает возможность обрабатывать информацию со скоростью до 350 кбит/с. СБИС MCF-0428 («MultiForce») серии «Мультикор» в этих же условиях позволяет строить цифровую ААР для приема информации на скорости до 33-175-103 «5.5 Мбит/с. Если сравнить эти скорости с аналогичными скоростями для LC RLS алгоритма на основе обратного ( -разложения без операций извлечения квадратного корня (см. раздел 2.2), то можно заметить, что при заданном значении N алгоритм (табл. 3.2) обеспечивает примерно в 4.7 раза большую скорость приема цифровых данных. Сравнение эффективности этих алгоритмов с точки зрения длительности переходных процессов и достигаемых значений провалов ДН в направлениях на источники помех приводится в следующем разделе на основе результатов компьютерного моделирования.
Для демонстрации эффективности рассмотренных алгоритмов проведено компьютерное моделирование процессов подавления помех с помощью ААР. Моделирование для ААР с числом антенн N = 8 проводилось в условиях, аналогичных рассмотренным в разделе 1.4. В качестве полезного сигнала использовались сигналы PSK-4, PSK-S, PSK-X6 и PSK-32 с а, = 1 (рис. 3.4). Сравнивались алгоритм (табл. 3.2) и LC RLS алгоритм на основе обратного OR-разложения без операций извлечения квадратного корня (см. главу 2). Из рис. 3.5 следует, что алгоритм (табл. 3.2) в одинаковых условиях функционирования, отличающихся только видом полезного сигнала, обеспечивает примерно одинаковое подавление помех, что сказывается на общей форме ДН и глубине провалов в направлениях на источники помех. На рисунках ДН неадаптивной антенной решетки показаны серыми линиями. Направления на источники сигналов обозначены стрелками в верхней части рисунков1. На рис. 3.6 - рис. 3.9 показаны переходные процессы в терминах значений ДН на каждой итерации рассматриваемых алгоритмов в направлениях на источники принимаемых сигналов для LC СМ(2,2) МЖб -алгоритма при трех значениях параметра /л и для LC СМ(2,2) Ж -алгоритма на основе обратного ОЯ-разложения с использованием вращений Гивенса без операций извлечения квадратного корня при приеме сигналов PSK-A и PSK-8. Из графиков следует, что с уменьшением ju длительность переходного процесса в LC СМ(2,2) NLMS-алгоритме увеличивается. Такое поведение LC СМ(2,2) NLMS-алгоритма. при минимизации квадратичного функционала согласуется с общей теорией градиентных алгоритмов адаптивной фильтрации. Длительность переходных процессов в одинаковых условиях, отличающихся только видом полезного сигнала, одинакова. Из рис. 3.6 - рис. 3.9 видно, что в LC СМ(2,2) МЖЗ -алгоритме существует большой разброс мгновенных значений ДН в направлениях на источники помех.
Однако эти значения ДН (-50...-120 дБ) позволяют подавлять некоррелированные и коррелированные помехи до уровня, обеспечивающего различение информационных символов в выходном сигнале ААР. При уменьшении параметра ju провалы в ДН ААР в направлениях помех в среднем становятся глубже и приближаются к значениям, достигаемым с помощью LC СМ(2,2) і і -алгоритма. Платой за этот результата является более длительный переходный процесс в LC СМ(2,2) NLMS-алгоритме. Результаты, аналогичные рис. 3.6 - рис. 3.9, получаются при приеме сигналов PSK-16 и PSK-32 при других значения N. Аналогичные результаты для ААР с iV = 16 приведены на рис. 3.10 — рис. 3.12. Источники помех располагались в направлениях 6j =-10 и GJn =10. Параметры помех были аналогичны помехам, используемым при моделировании ААР с JV = 8. Из рис. 3.10 - рис. 3.12 следует, что эффективность ААР в терминах достижимых уровней ДН в направлениях на источники помех при N = 16 аналогична ААР с N = 8. ААР с разным числом антенных элементов различаются лишь длительностью переходных процессов. С увеличением N длительность переходного процесса увеличивается, что также подтверждено моделированием ААР с N = 32 при расположении источников помех в направлениях 0j = -5 и #л = 5.
Вычислительная сложность линейно-ограниченного алгоритма
Оценка вычислительной сложности алгоритма (табл. 4.1) равна и N {L +1) + N(L +2L + 2) + L(L +1) операциям умножения N2 {L +1) + N{L2 + 2L +1) + L(2L +1) операциям сложения на одну итерацию. Здесь не учитывается сложность обращения квадратной матрицы с числом элементов LxL в уравнении (4.1.5). Следовательно, сложность алгоритма (табл. 4.1)-0(N2). В настоящем разделе рассматривается применение вычислительно более эффективного LC -алгоритма [65], модифицированного с помощью приемов (1.3), для управления ААР, функционирующей по СМ-критерию. Для этого уравнение (4.1.6) (табл. 4.1) представим как: (4.4) Кроме того, вектор (4.1.4) (табл. 4.1), может вычисляться как [66, 67]: (4.5) состоящий из первых L-X элементов вектора aL, т.е. элементов с номерами 0,..., L - 2. С учетом структуры матрицы Р , см. (3.2), матрицы ZNL(k) и (4.4), (4.5) полученный LC СМ(2,2) Р-алгоритм приведен в табл. 4.2. Этот алгоритм характеризуется пониженной вычислительной сложностью по сравнению с алгоритмом (табл. 4.1). Уравнение, аналогичное (4.1.5), в [37] получено на основании соотношения Рдг = Р Рдг и того факта, что матрица PN является унитарной. В этом случае матрицу HL(k) = Z L(k)NZ NL(k) в уравнении (4.2.6) можно вычислять как [65]: где zN(k) = PNzN(k) = zN(k) — qNc zN(k), см. уравнение (4.2.3). Таким образом вместо вычисления полной матрицы RL() в уравнении (4.1.5), можно вычислять лишь элементы первой строки или первого столбца этой матрицы с помощью уравнения (4.6). С учетом (4.6) оценка вычислительной сложности алгоритма (табл. 4.2) равна N(L + 7) + L(L + 2) операциям умножения и N(L + 7) + L(2L +1) операциям сложения на одну итерацию. Здесь также не учитывается сложность обращения квадратной матрицы с числом элементов LxL в уравнении (4.2.6). Для выполнения этой операции можно использовать лемму об обращении клеточных матриц [48].
Вычислительная сложность такого обращения примерно равна 2L3/3 арифметическим операциям сложения, 2L3/3 арифметическим операциям умножения и L операциям деления. Следовательно, сложность полученного алгоритма (табл. 4.2) - 0(N) арифметических операций, тогда как сложность алгоритма (табл. 4.1) - 0(N2). Полная вычислительная сложность алгоритма (табл. 4.2) в терминах умножений и сложений приведена на рис. 4.1 для случаев N = 2,...,32 и L = {4,8,1 б}. В этих оценках операции деления представлены в виде операций : а) умножений, б) - сложений, 1-L = 4,2-L = S,3-L = умножения и сложения в соответствии с тем, как это реализовано в прикладных библиотеках СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» [29], см. также раздел 1.3. Из рис. 4.1 следует, что при L & основной вклад в сложность алгоритма вносит обращение матрицы TlL(k) + 82lL. Поэтому, подобно ЛР-алгоритмам во временной области, вычислительные преимущества .Р-алгоритмов по сравнению с / / -алгоритмами (см. главу 2) сказываются при малых значениях L по сравнению с N. При iV = 8 и L = 4 алгоритм (табл. 4.2) требует около 180 комплексных умножений и 180 комплексных сложений на одну итерацию. Следовательно, одна итерация алгоритма занимает Кт - 4 180 + 2 180 + 2 180 тактов центрального процессора в сигнальных контроллерах серии «Мультикор», см. раздел 1.3. СБИС 1892ВМЗТ («Мультикор-12», МС-12) может выполнять примерно 100 10б IКт w 69.5 103 таких итераций за 1 секунду. Если итерации следуют с удвоенной частотой смены информационных символов, то, например, для сигналов PSK-4 антенную решетку можно использовать в системах связи со скоростью передачи данных до 69.5-103 бит/с. При использовании СБИС 1892ВМ2Т («Мультикор-24», МС-24) число итераций алгоритма за одну секунду примерно удваивается, что обеспечивает возможность обрабатывать информацию со скоростью до 139 кбит/с. СБИС MCF-0428 («MultiForce») серии «Мультикор» в этих же условиях позволяет строить цифровую ААР для приема информации на скорости до 33 69.5 103 « 2.3 Мбит/с. Если сравнить эти скорости с аналогичными скоростями для LC RLS ал I горитма на основе обратного 0/?-разложения без операций извлечения квадрат ного корня (см. раздел 2.2), то можно заметить, что при заданном значении N и L алгоритм (табл. 4.2) обеспечивает примерно в 1.85 раза большую скорость приема цифровых данных. По сравнению с LC NLMS-алгоіртмом скорость приема цифровых данных с помощью ZC P-алгоритма в 2.5 раза меньше. Сравнение эффективности LC -алгоритма при разных значениях L с точки зрения длительности переходных процессов и достигаемых значений і провалов ДН в направлениях на источники помех приводится в следующем разделе на основе результатов компьютерного моделирования. Для демонстрации эффективности рассмотренных алгоритмов проведено компьютерное моделирование процессов подавления помех с помощью ААР. Моделирование для ААР с числом антенн 7V = 8 и N = 16 проводилось в условиях, аналогичных рассмотренным в разделе 1.4. Источники двух помех, моделируемых белым шумом с одинаковым отношением сигнал/помеха, равным -20 дБ, располагались симметрично под углами ±21 (при N = S) и под углами ±10 (при N = 16) относительно направления основного луча ДН. Направления на источники помех совпадали с максимумами первых боковых лепестков ДН.
Значения масштабирующего множителя динамического шага сходимости и параметра регуляризации были выбраны, соответственно, как /л(к) = 0.01 и 52 = 0.01. Отношение сигнал/тепловой шум в каждом канале антенной решетки равнялось 30 дБ. На рис. 4.2 - рис. 4.5 показаны переходные процессы в ААР в терминах значений ее ДН в направлениях на источники принимаемых сигналов. Видно, что на каждой итерации алгоритма в направлении на источник полезного сигнала обеспечивается уровень ДН, равный / = 0 дБ (верхняя прямая темная линия). Этот уровень задается уравнением ограничения (2.1). Длительность переходного процесса изменения значений ДН в направлениях на источники помех (см. темную и светлую кривые в нижней части рисунков) зависит от параметра L. При Z = l (рис. 4.2а и рис. 4.4а) LC -алгоритм совпадает с LC NLMS-алгоритмом [104, 105]. На рис. 4.26, рис. 4.3, рис. 4.46, рис. 4.5 приведены результаты моделирования-! -алгоритма при значениях L, равных 4, 8 и 16. Из рисунков следует, что независимо от N, при L 1 длительность переходного процесса уменьшается в 1.5...2 раза. Однако дальнейшее увеличение L в основном влияет на разброс значений ДН в направлениях на источники помех
