Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Осесимметричные упругие волны в однослойной цилиндрической оболочке 10
1.1. История вопроса. Известные подходы и методы исследования 11
1.2. Исходные соотношения и допущения 17
1.3. Постановка задачи о дисперсии волн в цилиндрической оболочке 17
1.4. Тонкостенная цилиндрическая оболочка (первое приближение). Дисперсионная кривая «трубной» волны 20
1.5. Тонкостенная цилиндрическая оболочка (первое приближение). Спектральное распределение компонент смещения в «трубной» волне 24
1.6. Аналитическое выражение для дисперсионной зависимости мембранной волны в стенке цилиндрической оболочки (второе приближение) 48
1.7. Дисперсия упругих волн в протяженной цилиндрической оболочке произвольных размеров (численный расчет) 62
1.8. Результаты главы 1 71
Глава 2. Дисперсия в осесимметричных упругих волноводах с одной поверхностью. Волны Рэлея на цилиндрической полости 74
2.1. Поверхностные волноведущие структуры – история исследования 74
2.2. Постановка задачи. Общее дисперсионное уравнение для осесимметричных упругих волноводов с одной поверхностью 76
2.3. Дисперсия волн на поверхности цилиндрической полости. Характер затухания волны в толще материала 78
2.4. Особенности волн на поверхности цилиндрической полости. Отсутствие низкочастотных упругих волн на внутренней поверхности трубы 83
2.5. Результаты главы 2 85
Глава 3. Методика применения комплексных коэффициентов отражения для расчета радиального распространения упругих волн в многослойной осесимметричной цилиндрической системе 86
3.1. Введение и обзор литературы 86
3.2. Постановка задачи 92
3.3. Вычисление коэффициентов отражения 93
3.4. Возбуждение многослойной структуры 105
3.5. Результаты расчетов и их анализ 109
3.6. Результаты главы 3 117
Глава 4. Выявление стыков в протяженных структурах. Отражение упругих волн от плоскости со скачком отражающих свойств 119
4.1. Введение 119
4.2. Постановка задачи. Обзор литературы 121
4.3. Получение импульсной характеристики поверхности с границей 123
4.4. Оценка точности локализации границы раздела 126
4.5. Построение профилей для плоской задачи и сравнение с профилями для реальной цилиндрической системы 128
4.6. Требования к параметрам сигнала возбуждения. Отклик системы на короткие импульсы 132
4.7. Отличие границы от сосредоточенной неоднородности по виду профилей 134
4.8. Результаты главы 4 137
Заключение 139
Список литературы 144
- Тонкостенная цилиндрическая оболочка (первое приближение). Дисперсионная кривая «трубной» волны
- Постановка задачи. Общее дисперсионное уравнение для осесимметричных упругих волноводов с одной поверхностью
- Вычисление коэффициентов отражения
- Построение профилей для плоской задачи и сравнение с профилями для реальной цилиндрической системы
Тонкостенная цилиндрическая оболочка (первое приближение). Дисперсионная кривая «трубной» волны
Свойства протяженной многослойной осесимметричной конструкции во многом определяются свойствами ее элемента – цилиндрической оболочки. Несмотря на имеющуюся хорошо разработанную общую теорию оболочек [1, 2, 3, 4, 5], ряд упрощающих геометрических условий (тонкостенность, осесимметричность, большая протяженность и удаленность от концов) в данном частном случае позволяет обойтись менее громоздким теоретическим аппаратом. Вследствие этого удается получить в аналитической форме ряд результатов, которые, несмотря на относительно частный характер, важны для понимания основных свойств структур вращения, в том числе достаточно сложных, и являются, таким образом, принципиальными для исследования возможностей устройств, предназначенных для обследования таких структур.
С помощью уравнения Ламе, описывающего упругие волны в однородном твердом теле, и наложения граничных условий типа «твердое тело – вакуум» на лицевых поверхностях оболочки, решались следующие задачи:
1. В приближении тонкостенной оболочки найдены в аналитической форме дисперсионная зависимость фазовой скорости распространения волнового процесса вдоль оси и спектральное распределение компонент смещения стенки в зависимости от положения сечения при сосредоточенном возбуждении. Использовалось разложение граничных условий в ряд Тейлора до первого члена по малому параметру – отношению толщины стенки h к радиусу оболочки R.
2. С использованием уточненного разложения граничных условий в ряд Тейлора по тому же параметру до второго члена, также аналитически найдена дисперсионная зависимость для оболочки конечной толщины, которая уже учитывает и мембранную волну (волну Лэмба) в стенке, аналогичную симметричной упругой волне в плоской бесконечной пластине (упругом слое).
3. Путем численного решения с исходными граничными условиями построено решение для оболочки с произвольным соотношением толщины стенки и радиуса. Проанализирован переход между ситуациями: тонкостенная оболочка – цилиндр с продольным осевым отверстием – сплошной цилиндр при сохранении неизменным радиуса срединной поверхности и упругих параметров материала.
Упругие оболочки исследуются более ста лет, но работы в этом направлении не прекращаются, что свидетельствует как о неугасающем интересе к этой проблеме, так и о недостаточной изученности предмета.
В данной главе исследуются волновые процессы в протяженной (торцы считаются удаленными) кругоцилиндрической оболочке, примером которой на практике может служить обсадная колонна скважины или любая достаточно длинная прямая труба постоянного сечения. Подобный объект является предметом рассмотрения сразу двух сравнительно независимо развивавшихся направлений теории упругости. С одной стороны, традиционно цилиндрическая оболочка изучается в теории оболочек [1–5], с другой – представляет большой интерес для теории упругих волноводов [6, 7, 8, 9].
Теория оболочек – тел, один из размеров которых (толщина) мал по сравнению с двумя другими, – как самостоятельный раздел теории упругости возникает раньше теории упругих волноводов. Первыми внимание ученых в начале XIX в. привлекли плоские пластины, при изучении которых были использованы результаты решения задач о прогибе балок. Последующее исследование тонких тел уже с искривленными границами развивалось в рамках тех же подходов.
Для плоских пластин было предложено два основных вида разрешающих уравнений, использующих разложение в ряды всех напряжений и перемещений. Наибольшее распространение ввиду относительной физической прозрачности получил метод Кирхгофа, в рамках которого удалось придать предположениям, необходимым для разложения в ряды Тейлора смещений и напряжений в пластине, и граничным условиям понятный физический смысл. Данная теория получила название приближений Кирхгофа. Эти приближения таковы: 1. Прямолинейные волокна, перпендикулярные к средней (равноудаленной от поверхностей) плоскости пластины, остаются после деформации перпендикулярными к изогнутой средней плоскости, сохраняя при этом свою длину; 2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных изогнутой средней плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.
Несмотря на последующее появление более сложных систем приближений (например, теория Тимошенко), где при разложении удерживается больше членов ряда (до двенадцати [8]), система приближений Кирхгофа до сих пор является основным и первичным инструментом решения задач во всей теории оболочек.
С начала XX в. делались различные попытки обобщения результатов теории Кирхгофа для тонких пластин на изогнутые оболочки путем введения криволинейных координат на их срединной поверхности, аналогичной средней плоскости в пластине, то есть равноудаленной от так называемых лицевых поверхностей, которые ограничивают с двух сторон объем оболочки и определяют ее геометрию. Одна из первых общепринятых теорий, где также удерживается только один член в разложении в ряд всех смещений и напряжений, получила название теории Кирхгофа-Лява. В первоначальной версии, изложенной Лявом, она содержала математическую нестрогость, устраненную в середине XX в фундаментальной работе [1].
Без ограничения общности почти всегда рассматриваются оболочки постоянной толщины, что позволяет оставаться в рамках двухмерной задачи: смещения и напряжения вводятся как функции исключительно координат срединной поверхности, и считаются неизменными по толщине оболочки. Основной задачей теории оболочек является анализ напряженно-деформированного состояния, возникающего в оболочке при заданных внешних нагрузках и условиях закрепления краев [1].
Постановка задачи. Общее дисперсионное уравнение для осесимметричных упругих волноводов с одной поверхностью
Можно обратить внимание на несколько особенностей полученной зависимости: Во-первых, отклик по своему виду очень близок к особому классу колебательных процессов, называемых биениями, возникающих тогда, когда в некоторой системе имеет место два близких по частоте колебания. Известно, что частота огибающей в таком случае соответствует полуразностной, а частота заполнения - полусуммарной частоте двух исходных колебаний. Определение по графику, как и следовало ожидать, основываясь на рис. 1.3, дает две характерных частоты трубы - кольцевого и трубного резонансов. По всей видимости, именно частота таких биений определяет тон оркестровых колоколов, суть отрезков тонкостенных (правда, не бесконечных, а также подобранных и по длине) металлических труб. Действительно, для рассмотренной достаточно большой трубы радиусом 8,32 см тон в 434 Гц является куда более правдоподобным, чем находящиеся на грани слышимого диапазона резонансные частоты порядка 10 кГц. В обычных колоколах ситуация, судя по всему, похожа, только ввиду переменного радиуса сечения (да и толщины стенки, о которой речь пока не шла) спектр звучания получается более сложным и изменяющимся во времени.
Из сказанного в источниках по музыкальной акустике (например, [28]) можно заключить, что даже при неосесимметричном возбуждении, которое обычно имеет место, в колоколах, прежде всего, возбуждаются именно рассматриваемые осесимметричные моды. По всей видимости, это определяется тем, что материалы стенок (металлы) имеют очень большой акустический импеданс, очень «тугие», и на возбуждение неосесимметричных мод нужна значительно бльшая энергия, чем на возбуждение осесимметричных. Данное обстоятельство существенно и для обсадных колонн скважин. Скручивающее возбуждение в случае колоколов, как и в рассматриваемом случае скважин, отсутствует.
Во-вторых, колебание начинается не одновременно, а с задержкой на время, равное, как можно убедиться по графику, t1 = z /Vgr , то есть на время, которое нужно, чтобы процесс со скоростью своего распространения вдоль оси Vgr дошел до заданного сечения (в данном примере прошел 1 м). Эта задержка в литературе по сейсмике часто называется интервалом первого вступления. Скорость получается равной примерно 5200 м/с, и почти не зависит от спектра импульса возбуждения, что позволяет в некотором смысле отождествить ее с групповой.
Видно также, что частота биений со временем начинает несколько понижаться, меняется и «глубина модуляции». Это связано с тем, что на двух резонансных частотых групповая скорость волн Vgr различна, и в разные моменты времени вклад того или иного типа колебания, соотвественно, тоже. Оба колебания распространяются в виде некоего волнового пакета, расходящегося вдоль оси в обе стороны от возбуждения с разными скоростями. И, наконец, в-третьих, видимый характер колебаний с явным выделением определнных частот является признаком резонансной системы, прямо подтверждающим тезис, что даже бесконечная цилиндрическая оболочка является резонатором, и введение понятий трубного и кольцевого резонансов, таким образом, правомочно. В книге [26] говорится о колебаниях полубесконечного цилиндра, что при импульсном возбуждении с торца они будут распространяться в виде собственных мод волновода, что вполне согласуется с обсуждаемым результатом для оболочки.
Небольшое затухание процесса, которое можно наблюдать, если построить зависимость смещения до бльших значений времени, определяется внесенным в расчеты небольшим коэффициентом диссипативных потерь г = 106, ограничивающим рост колебаний в системе. 1.6. Аналитическое выражение для дисперсионной зависимости мембранной волны в стенке цилиндрической оболочки (второе приближение)
В предыдущих двух разделах толщина стенки цилиндрической оболочки считалась настолько малой, что всеми эффектами, которые могли быть связаны исключительно с ее изменениями во времени, пренебрегалось. В этом приближении волновод, представляющий собой такую оболочку, во всем диапазоне частот является одномодовым, за исключением небольшого диапазона, в котором распространение без затухания вообще невозможно. Для более детального рассмотрения волновых процессов в протяженной цилиндрической оболочке, как в этой полосе частот, так и за ее пределами, необходимо рассмотреть следующее по порядку малости приближение. Уже рассмотренную волну - волну изменения радиуса центральной линии сечения - здесь и далее целесообразно назвать трубной волной (рис. 1.5 а).
В литературе (например, в справочнике [29]), судя по всему, в отношении этой моды распространено название волны Лэмба. Видимо, это следует из аналогии данной волны с обычной антисимметричной волной Лэмба, определенной для плоского слоя. Однако в рассматриваемом случае волн в стенке цилиндрической оболочки это может привести к путанице, так как на низких частотах, когда длина волны соизмерима с радиусом кривизны, волна в стенке трубы и волна в плоском слое ведут себя различно. Кроме того, в литературе о трубах не всегда уточняется тип плоской волны Лэмба, с которым проводится аналогия - антисимметричной или симметричной, при том, что эти явления и без того имеют существенные качественные отличия от своих «плоских» прототипов. Пусть в той же системе, что и раньше, точно также волновое поле описывается через суперпозицию цилиндрических функций. Можно сразу ввести обозначения для связанных с ними компонент тензора напряжений (см. пару выражений (1.21), (1.22) или (1.23), (1.24) - возбуждение в настоящем разделе не рассматривается), для удобства поделенных на общий постоянный множитель: где R - радиус срединной поверхности. Нужно отметить, что если в первом приближении было, по большому счету, не существенно, на каком из радиусов раскладывать в ряд граничные условия - на внутренней лицевой, на внешней лицевой, или на срединной поверхности, то во втором приближении это уже имеет значение. Наиболее простыми выкладки получаются, если, следуя традиции теории оболочек, привести все к средней линии сечения. Поскольку в рамках данного рассмотрения не предполагается приложение несимметричного возбуждения к внутренней границе, как было сделано в разделе 1.5, где было целесообразно привести все к внутренней границе, здесь это вполне логично.
Вычисление коэффициентов отражения
Несмотря на явный поверхностный характер, осесимметричные волны на поверхности цилиндрической полости отличаются от волн Рэлея на плоскости наличием дисперсии, а от волн в бесконечном упругом стержне -принципиальной одномодовостью и наличием запредельного режима. При этом, как и для поверхностной волны на плоскости, но в отличие от цилиндрических систем с ограниченным погонным объемом, синфазные колебания полости невозможны. В случае стержня именно конечный размер поперечного сечения приводит к многомодовости, так как оно образует резонатор, имеющий характерные собственные частоты, на которых и возможно синфазное колебание системы по всей длине - нижние граничные частоты высших мод. Из исследования поверхностной волны при конкретных значениях радиуса кривизны на поверхности протяженной цилиндрической полости в объеме известного материала (сталь), моделирующем трубу с достаточно толстыми стенками, получается следующее: для центральной обсадной колонны нефте- или газодобывающей скважины, которую предполагается обследовать, во всем интересующем диапазоне частот (от 0 до 30 кГц) существование волн такого типа невозможно, даже если эти частоты лежат несколько выше отсечки.
Можно показать, что даже на 30 КГц расстояние, на котором амплитуда спадала хотя бы в 10 раз, превышает 10 см при внутреннем радиусе около 8 см. Из проведенных расчетов следует, что вплоть до 50 кГц затухание волны на глубине, равной толщине исследуемой обсадной колонны, не превышает 0,8 раз, т.е. с точки зрения поверхностных эффектов это очень тонкие стенки.
Данный факт является благоприятным для разработки именно низкочастотных зондирующих комплексов, т.к. позволяет выбирать форму и способ возбуждения колебаний, не опасаясь, что энергия, которая должна приносить информацию о глубинных слоях системы, уйдет “впустую” вдоль оси системы в виде поверхностных волн на внутренней стенке металлической трубы.
В этом необходимо было убедиться самостоятельно, так как найденная в литературе информация не являлась достаточной для того, чтобы сделать на сей счет надежное и аргументированное суждение.
В заключение нужно упомянуть еще один тип поверхностных волн, также по аналогии с плоскостью упоминающийся в ряде публикаций применительно и к криволинейным поверхностям – так называемые SH-волны, или волны горизонтальной поляризации. Как известно, эти волны характеризуются отсутствием геометрического искривления поверхности, вдоль которой они распространяются. Не останавливаясь подробно на описании характера движений, связанных с этими волнами, и ситуаций, в которых возможно их возникновение, достаточно упомянуть, что в случае распространения процесса вдоль оси они неизбежно связаны со скручиванием, то есть принципиально не являются осесимметричными. Как уже говорилось, для возникновения таких волновых процессов при рассматриваемом механизме возбуждения нет никаких предпосылок, поэтому они выводятся за рамки настоящей работы.
Основные результаты данной главы опубликованы автором в статье [47].
1. Построены нормированные дисперсионные зависимости фазовой скорости от частоты для осесимметричных упругих волн на поверхности цилиндрической полости кругового сечения при различных значениях коэффициента Пуассона среды, отмечена область нераспространения волн такого типа на низких частотах или при малых радиусах кривизны.
2. Численно найдена зависимость критического значения нормированного произведения радиуса кривизны и частоты, от значения коэффициента Пуассона материала, окружающего полость.
3. Произведено качественное сравнение рассчитанной дисперсии упругих волн на поверхности цилиндрической полости с известными из литературы дисперсией волн в бесконечном цилиндрическом стержне в вакууме и поведением классической волны Рэлея на плоской границе раздела упругой среды и вакуума. Выделены сходства и различия.
4. Впервые построены зависимости относительной глубины проникновения упругой волны в толщу материала, окружающего полость, от нормированного произведения радиуса кривизны и частоты при различных значениях коэффициента Пуассона материала.
5. Установлено, что как и в случае оболочки, коэффициент Пуассона – единственный упругий параметр для всех исследованных зависимостей.
6. Впервые указано, что на глубинах, соответствующих толщине стенок реальных обсадных колонн скважин, низкочастотные осесимметричные поверхностные упругие волны спадают незначительно, что позволяет говорить о невозможности возникновения волн такого типа при возбуждении скважин на низких частотах, и, соответственно, о дополнительных преимуществах использования низких частот для акустического зондирования многоколонных конструкцийМетодика применения комплексных коэффициентов отражения для расчета радиального распространения упругих волн Настоящая глава посвящена исследованию осесимметричных упругих волн в многослойной цилиндрической структуре. В рамках настоящей главы по-прежнему рассматривается однородная по длине система, являющаяся моделью бесконечной скважины постоянного сечения. Реальной скважине это соответствует лишь в пределах некоторого отрезка, хотя, возможно, и достаточно протяженного. Благодаря однородности сечения появляется возможность раскладывать спектры всех компонент смещений и напряжений в интеграл Фурье по пространственной координате, направленной вдоль оси скважины (z), аналогично тому, как это делалось в главах 1 и 2 для более простых структур с двумя и одной границами. Польза такой упрощенной модели в следующем:
Во-первых, модель бесконечной однородной скважины вполне соответствует распространению волн в реальной скважине в случае, когда источник и приемник колебаний сосредоточенные, и расстояние между ними много меньше удаления от концов участка, в котором ее сечение постоянно.
Во-вторых, поскольку так отсекается влияние концов (переходов) – исключаются волны, отраженные от них – такая модель позволяет с большой точностью рассчитать и выделить разницу в откликах от разных систем, вызванную именно различием их радиального строения, и никакими иными факторами. К примеру, в настоящей главе показано, как отличаются друг от друга отклики от структур с большим числом слоев, различающихся лишь материалом заполнения одного из внешних слоев (внешнего межтрубного промежутка).
Построение профилей для плоской задачи и сравнение с профилями для реальной цилиндрической системы
Временное представление принимаемого сигнала (4.8) удобно отобразить графически в виде рассчитанного по данной формуле профиля (рис. 4.4 а). Для выделения сигналов, связанных с наличием неоднородности, часто применяется вычитание среднего, маскирующего информационную составляющую. Соответствующий этому более контрастный профиль представлен на рис. 4.4 б.
Из выражения (4.8) видно, что принятый датчиком сигнал состоит из двух составляющих, имеющих довольно прозрачный физический смысл. Первое слагаемое характеризует сигнал, отраженный участками плоской границы, но с разными коэффициентами отражения. По форме он повторяет излученный импульс, задержанный на время a = 2h/c и ослабленный пропорционально коэффициенту отражения. Этот сигнал напрямую не зависит от положения границы, и может быть условно назван откликом поверхности. Второе слагаемое описывает эффекты, связанные со скачком коэффициента отражения, и является, таким образом, полезным информационным сигналом, который можно назвать откликом границы. Первое вступление этого сигнала в осях t, z описывает гиперболу:
Первое вступление составляющих сигнала, отраженного от слоя со скачком отражающих свойств вдоль линии, перпендикулярной направлению отсчета координаты положения источника/приемника колебаний z0.
В сейсмике и подповерхностной радиолокации хорошо известно, что подобные гиперболы на профилях являются признаками точечных неоднородностей [73]. Важно отметить, однако, что сами сигналы как функции от времени в этих ситуациях различны. Отражения от малых неоднородностей порождают сигнал, равный второй производной по времени от излученного. Это связано с тем, что при дифракции гармонических (во времени) волн на малом объекте рассеянное поле пропорционально квадрату частоты [74]. В случае поперечной границы он имеет более сложный вид, описывающийся интегралом (4.8). Характерными особенностями здесь являются разные знаки сигналов у верхней и нижней ветвей гиперболы.
Возвращаясь к реальной задаче о скважине, состоящей из соосных обсадных колонн в виде цилиндрических оболочек с различными радиусами и толщинами стенки, и двумя видами заполнения межтрубных промежутков, необходимо убедиться, что результаты, полученные для более простой плоской задачи, справедливы и для объемного тела вращения.
Для цилиндрической задачи простых решений вида (4.7) или (4.8) получить не удается, однако прямой численный расчет методом конечных элементов в пакете ANSYS дает для системы труб аналогичный результат, представленный в работе [75] (рис. 4.6 а). Приведенный там же соответствующий профиль, снятый в ходе эксперимента на полноразмерной модели 5,5-метрового отрезка скважины, представлен на рис. 4.6 б Параметры расчета и экспериментальной модели идентичны, и совпадают со значениями, данными в таблицах 3 и 4 из главы 3.
Рассчитанный в программном пакете ANSYS (а) и полученный экспериментально (б) профили для многослойной цилиндрической системы при возбуждении и приеме сигнала из центральной обсадной колонны. Граница соответствует изменению заполнения внешнего межтрубного промежутка. Из приведенных данных видно, что положение границы даже в системах разной геометрии (плоскость, цилиндр) проявляет себя сходным образом, что свидетельствует о состоятельности данного математического описания исследуемых физических эффектов. Так как в эксперименте и при численном анализе объект (система труб) был ограничен по высоте, то появлялись соответствующие отражения волн, бегущих вдоль оси. На приведенных изображениях им соответствуют системы наклонных линий, которые при анализе нетрудно отделить.
Итак, конечность системы, доступной для исследования в реальном эксперименте, не сказывается на наблюдении рассматриваемого явления – просматривающихся на всех четырех профилях гипербол, указывающих на местоположение границы отражающих свойств глубинного слоя. На этом основании можно заключить, что аналитическое решение плоской задачи вполне адекватно реальному цилиндрическому случаю, и вполне может использоваться при проектировании зондирующих устройств. Осталось остановиться на двух моментах.
Во-первых, логично предположить, что кривая первого вступления «отклика границы» составляющей (аналог полученного при расчете второго слагаемого в формуле (4.8)) будет не в чистом виде гиперболой, а более сложной, но сходной с ней по форме кривой. Вероятно, в первом приближении отличие может быть вполне исчерпывающе описано поправкой к углу наклона асимптоты.
Во-вторых, эквивалентные коэффициенты отражения Г, соответствующие различным заполнениям внешнего межтрубного промежутка (в рассмотренном случае ниже границы цемент, выше – вода), должны быть предварительно рассчитаны на основании априорных данных. Для сокращения объема изложения в рамках данной работы принято решение не останавливаться более подробно на процедуре, по которой были получены два использованных в расчете коэффициента (см. табл. 5).
Для локализации поперечной границы также естественно использовать априорные данные, но уже о характере принимаемых сигналов. Очевидно, что при большой длительности сигнала (порядка 200 – 300 мкс) и соответствующей протяженности его в пространстве (30 – 40 см) получить хорошее разрешение этой границы проблематично. Поэтому необходимо возбуждать короткие импульсы. Cпектр сигналов при этом расширяется в сторону высоких частот. На рис. 4.7 а представлен на порядок меньший по длительности возбуждающий импульс, имеющий униполярный характер, а соответствующий ему расчетный профиль показан на рис. 4.7 б: а)
