Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Стохастические волновые задачи
1 Спектральное представление. (1). Слоистые среды. (2). Функция Грина 30
2 Стохастические методы. (1). Современные стохастические методы. (2). Уравнения Эйнштейна-Фоккера. (3). Диффузионное приближение 42
3 Статистическое моделирование. (1). Современные методы и подходы. (2). Основные задачи и уравнения. (3). Стохастические уравнения и интегралы. (4). Классические численные методы. (5). Схемы высокой точности. (6). Рандомизация спектрального представления. (7). Статистическое оценивание полей 52
ГЛАВА 2. Флуктуации плоских волн
1 Введение. (1). Плоские гармонические волны. (2). Поглощение плоских волн. (3). Краевые условия на дне. (4). Основные задачи и параметры. 75
2 Стохастические параметры. (1). Коэффициент отражения. (2). Метод возмущений. (3). Быстрые осцилляции. (4). Обратное рассеяние. (5). Оценки параметров 89
3 Статистическое моделирование волн. (1). Предварительные преобразования функции Грина. (2). Основные схемы статистического моделирования. (3). Примеры моделирования обратного рассеяния... 106
4 Источник массы на дне. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория. (3). Статистическое моделирование 123
5 Источник силы на поверхности. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория. (3). Статистическое моделирование 137
6 Волны в неоднородных средах. (1). Постановка задачи. (2). Стохастические методы. (3). Статистическая теория, (4). Разностная схема. (5). Статистическое моделирование 147
ГЛАВА 3. Стохастические гармонические поля
1 Введение. (1). Постановка проблемы. (2). Локализация волн. (3). Флуктуационный волновод. (4) Вопросы моделирования 168
2 Спектры стохастических операторов. (1). Операторы и краевые условия. (2). Однородные ге о акустические модели. (3). Стохастическая задача ШЛ 178
3 Статистическое моделирование полей. (1). Постановка задачи. (2).Стохастические интегралы. (3).Метод возмущений (4). Эволюционный метод. (5). Метод Ньютона. (6). Неоднородные среды. (7). Вычисления полей 190
4 Поля в глубокой среде. (1). Постановка задач. (2). Стохастические параметры. (3). Спектры операторов. (4). Монополь и диполь. (5). Флуктуационный волновод 210
5 Поля в мелком море. (1). Простейшие геоакустические модели. (2). Флуктуирующий водный слой. (3). Флуктуирующий слой осадков. (4). Заключительные замечания 243
ГЛАВА 4. Рассеяние временных импульсов
1 Введение. (1). Формулировка проблемы. (2). Задачи и методы. (3). Дополнения и замечания 279
2 Статистическое моделирование импульсов. (1). Функция Грина. (2). Пространственные и временные масштабы. (3). Схема статистического моделирования. (4) Неоднородные среды 287
3 Обратное рассеяние. (1). Параметры и модели. (2), Результаты вычислений 296
4 Асимптотики и корреляции. (1). Асимптотические зависимости. (2). Спектры мощности 302
ГЛАВА 5. Шумы поверхности
1 Введение. (1) Моделирование динамических шумов. (2) Скалярно- векторное описание. (3) Цель и задачи исследований 311
2 Спектральные тензоры. (1) Передаточная функция поверхностных источников. (2) Пространственно-временные тензоры шумов. (3) Особенности формирования шумовых полей. (4) Шумы в однородном полупространстве 329
3 Статистическое моделирование шумов. (1) Задачи и проблемы моделирования полей. (2) Рандомизация пространственно-временного спектра 339
4 Шумы в однородных средах. (1). Однородное полупространство. (2). Жесткое дно. (3). Жидкое дно 347
5 Шумы в слоистых волноводах. (1). Модели источников, (2). Результаты моделирования. (3). Заключительные замечания 364
Заключение 394
Обозначения и определения 402
Приложение 1. Уравнения погружения 405
Литература 424
- Стохастические методы. (1). Современные стохастические методы. (2). Уравнения Эйнштейна-Фоккера. (3). Диффузионное приближение
- Источник силы на поверхности. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория. (3). Статистическое моделирование
- Статистическое моделирование полей. (1). Постановка задачи. (2).Стохастические интегралы. (3).Метод возмущений (4). Эволюционный метод. (5). Метод Ньютона. (6). Неоднородные среды. (7). Вычисления полей
- Обратное рассеяние. (1). Параметры и модели. (2), Результаты вычислений
Введение к работе
Экспериментальные наблюдения колебаний различной природы постоянно доказывают исследователям, что наиболее адекватным математическим описанием волновых процессов и полей оказывается статистическое описание. Так, в радиофизике, оптике, акустике, сейсмике и других дисциплинах, изучающих волновые движения, наряду с регулярными всегда появляются случайные колебания и волны. Статистика в волновые дисциплины приходит потому, что целый ряд объективных, не зависящих от исследователя факторов, таких как всегда существующие внешние источники поля, физические свойства каналов распространения волн, граничные условия, испытывают флуктуации, как в пространстве, так и во времени [175,54,173,4]. А часто мы просто не знаем детально, каковы условия распространения волн. Например, мы никогда не знаем в деталях, каковы свойства подстилающей поверхности при распространении радиоволн, не знаем достоверно, каковы свойства поверхности моря или отражающие свойства дна в гидроакустике и т.д. Их свойства мы можем описывать лишь с некоторой степенью достоверности, т.е. статистически. Существует также и ряд факторов, только частично зависящих от экспериментаторов, таких, как качество приборов (собственные шумы прибора и/или канала передачи информации), выбор определенного пространственного распределения измерительных датчиков (горизонтальные или вертикальные антенны, интерферометры), условия проведения экспериментов на море (например, качка исследовательского судна и его собственные шумы), которые также «зашумляют» результаты измерений, и должны учитываться при анализе данных [71,72]. Все это, в конечном итоге, приводит к тому, что все измеряемые нами волновые процессы и поля в некоторой степени случайны. Какова степень этой случайности, возможно ли выделить из этой случайности необходимость, т.е. физические законы формирования волновых движений? И каким образом можно использовать эти статистические законы, например, для прогноза изменяющихся с течением времени свойств среды, для решения задач зондирования и т.п. Эти вопросы и определяют цели, а также направления фундаментальных и прикладных исследований в статистической теории волн.
В последние полсотни лет многие исследователи активно пытаются решить эти вопросы методами теоретического познания, а, точнее, методами его наиболее мощного средства, - математическим моделированием случайных волновых полей. Основанием для этого является, во-первых, растущее накопление эмпирического материала во всех волновых дисциплинах, получаемого быстро совершенствующимися измерительными приборами и требующего все более адекватного теоретического осмысления [144]. Во-вторых, интенсивное развитие аналитических методов статистического анализа волн, в частности, теории волновых стохастических дифференциальных уравнений [104]. В-третьих, бурное развитие вычислительной техники, и. как следствие, методов первичной математической обработки случайных процессов и полей [165]. Все эти этапы сопровождаются активной публикацией научных статей и монографий.
Математически стохастические волновые задачи описываются волновыми дифференциальными или интегральными уравнениями, в которых могут быть случайны параметры, граничные условия и источники волнового поля. Условия приема также могут быть случайны и задаются в виде специальных стохастических операторов. В известных монографиях Рытова СМ. [175] и Ахманова С.А. [10] определены четыре типа таких волновых задач:
(1) случайные свойства среды;
(2)случайные источники поля;
(3)случайные граничные или/и начальные условия;
(4)случайные условия регистрации волн (статистика приемника и помех).
В монографии [175] при этом оговаривается, что раздел (4) скорее относится к «радиоматематике», нежели к радиофизике. А в монографии [10] вообще предлагается классификацию ограничить пунктами (1)-(3). Однако задачи типа (3) в [10] трактуются несколько более широко, чем в [175]. В современной статистической радиофизике условия приема также понимаются более широко, чем это было в 70-х годах [188]. Стало очевидным, что условия приема надо понимать системно, ибо органически связаны не только со статистикой приборов, но и со всеми физическими условиями формирования случайных полей, а значит с вероятностными волновыми моделями, которые априорно закладываются в процессоры обработки. В современных экспериментальных наблюдениях процесс регистрации уже неотъемлемо связан с математической обработкой сигналов и шума. Отрывать процесс регистрации сигнала приборами от математической обработки - все равно, что, изучая зрение у человека, ограничиваться изучением строения глаза, игнорирую работу мозга, в котором и возникает изображение. В этом плане, под случайными условиями приема надо понимать также - «статистическое оценивание сигналов и полей» [189]. Поэтому, а также следуя бурному росту в последние два десятка лет количества публикаций по указанной тематике в физических журналах («Акустический журнал», «Радиофизика», «J. Acoust. Soc. Am.» и др.), правильнее придерживаться начальной классификации (1)-(4), понимая раздел (4) в современном смысле.
Принципиальная математическая трудность исследования случайных полей заключается в краевом характере стохастических волновых задач. Поэтому все существующие методы решения таких задач являются приближенными уже на уровне постановок задач. Все существующие приближенные методы и подходы Кляцкин В.И. предлагает разбить на три большие группы [105]:
(I) методы, которые основаны на феноменологической теории переноса излучения;
(II) подходы, в которых пренебрегают эффектами обратного рассеяния и переходят к малоугловому приближению (параболическое приближение), для анализа которого затем используется диффузионное приближение;
(III) подходы, в которых задачи переформулируются в терминах интегральных уравнений, а при анализе статистических характеристики которых используется приближение Бурре для уравнения Дайсона и лестничное приближение для уравнений Бете-Солпитера.
Более детально данную классификацию мы обсудим в главе 1. Здесь лишь заметим, что иногда авторами используется представление решений волновых уравнений в виде континуальных интегралов, которое соответствует, по сути, параболическому приближению и значит, попадает в пункт (II).
В современной гидроакустике под задачами типа (1) понимаются задачи о распространении волн во флуктуирующем океане [173].
Флуктуации звуковых волн в таких средах порождаются различными случайными пространственно-временными изменениями свойств водной среды. Обычно это флуктуации поля скорости звука, а также поля плотности воды [12]. В свою очередь, флуктуации стратификации водного слоя определяются различными динамическими процессами в океане, такими как внутренние гравитационные волны, течения, турбулентность и т.п. [194]. В звуковой волне, проходящей такую флуктуирующую среду, фаза и амплитуда волны тоже становятся случайными.
Задачам о распространении звуковых волн во флуктуирующих средах посвящено наибольшее количество статей и монографий, например, [173,200]. В подавляющем большинстве работ исследуется статистика фазы и амплитуды волн, потенциальная энергия, пространственно-временные функции корреляции поля. Статистический анализ часто ограничен вторыми моментами.
Все существующие приближенные методы решения задач укладываются в рамки классификации [105]. Отметим лишь, что, в силу специфики волноводного распространения звука, изложенные подходы могут применяться на уровне модового подхода [114]. Отметим также, что все математические методы исследования случайных звуковых волн в основном заимствованы из статистической радиофизики с некоторой временной задержкой. Чтобы убедиться в этом - достаточно сравнить обзоры [195] и [13], а также довольно часто цитируемые в литературе монографии [173] и [186]. Ко второму типу задач в гидроакустике уже более пятидесяти лет традиционно относят задачи о шумах океана, а последние два-три десятка лет и задачи о шумах мелкого моря.
Краткий, но довольно емкий современный обзор проблемы дан в обзоре Курьянова Б.Ф. [124]. Там же приведены основополагающие источники.
Интерес к проблеме шумов в гидроакустике обусловлен как общефизическими, так и прикладными целями. Шумы несут информацию об акустико-океанологическом климате океана, и одновременно, они создают помехи при приеме сигналов. Шумы естественного происхождения порождаются различными динамическими процессами, протекающими в водной среде, земной коре и атмосфере. Технические шумы создаются преимущественно судами. В прибрежных зонах они могут вызываться работой промышленных объектов. На характеристики шумов оказывают влияние рефракция в неоднородной среде, отражение от поверхности воды и дна, поглощение в воде и донных осадках и т.п. Поэтому в гидроакустике обычно рассматриваются задачи о механизмах генерации шумов, о глубинной зависимости шумового поля, исследуется направленность шумового поля, пространственно-временная корреляция полей и др. Иногда рассматриваются задачи о шумах в океане со случайными неоднородностями и случайной поверхностью [9]. В рамках классификации [175,10] эти задачи одновременно относятся к типам (1)-(3). Методы решения всех этих задач также соответствуют классификации [105] (І)-(Ш).
К задачам типа (3) обычно относят задачи о рассеянии на поверхности случайной формы и задачи о влиянии на волновое поле поверхности со случайным импедансом (случайное граничное условие на поверхности). В статистической радиофизике и акустике задачи о рассеянии волн случайной поверхностью имеют под собой ясную физическую основу. Реальные поверхности всегда шероховатые, и могут существенно влиять на формирование волновых полей [15,222]. Как при распространении радиоволн над поверхностью земли и моря, так при распространении акустических волн в океане в присутствии морского волнения. Задачи о случайном импедансе также естественным образом возникают при распространении УКВ над поверхностью моря. Хорошо известно, что при определенных метеорологических условиях поверхность моря для радиоволн становится случайно «пятнистая», с точки зрения отражающих свойств [130,19]. Аналогичные задачи возникают при приеме и излучении УКВ, а также передачи их по антенно-фидерным устройствам [191].
Несколько иначе дело обстоит в гидроакустике. Подавляющее количество исследований посвящено рассеянию волн геометрически неоднородной поверхностью моря. Вопрос о случайном характере отражающих свойств границы воздух-вода здесь не ставится, ибо поверхность моря с хорошей точностью можно считать абсолютно отражающей. Но для исследований распространения звука на достаточно большие дистанции в условиях мелкого моря эффективным методом может быть представление морского дна как случайно-неоднородной среды [237.257J. Краевое условие при этом определяется случайным импедансом на дне моря. Физическая интерпретация вероятностного подхода заключается в том, что осадочные слои в мелком море имеют тенденцию выклиниваться и прерываться, что невозможно описать сколько-нибудь разумной детерминированной моделью [90,100].
Для решения задач о рассеянии звуковых волн случайной поверхностью используется необычайно большое количество приближений, в основном соответствующих классификации (I) - (111), но имеющих свою определенную специфику [15]. Чаще используется феноменологический подход. При этом стохастическое волновое уравнение не решается, а вместо этого рассматриваются различные локальные характеристики рассеяния и различные масштабы волнения, например, [17]. Другой подход ориентирован на решения волнового уравнения со случайными краевыми условиями. Основная цель - вычисление статистических моментов акустического поля в волноводе со статистически неровной границей [55]. При таком подходе нет нужды в локальных характеристиках однократного взаимодействия звука с поверхностью. Однако, трудности при получении замкнутых уравнений настолько велики, что для получения практически применимых результатов необходим еще ряд упрощающих предположений. Часто используется приближение Кирхгофа [15].
2. Метод статистического моделирования.
Появление первых вычислительных машин в конце 40-х, а затем постоянное совершенствование вычислительной техники, не могло не повлиять на появление новых методов и подходов к решению статистических задач во всех областях науки.
Поэтому, почти в эти же годы, появился принципиально новый математический метод - метод Монте-Карло, иногда называемый как метод статистических испытаний. Принято считать, что название и рождение метода связано с появлением в 1949 г. статьи Метрополиса Н. и Улама С, (Metropolis N.. Ulam S.M.) [266]. Родоначальником метода принято также считать и Неймана Дж. (Neumann J.), который первым применил его на практике в 1951 г. [267].
На сегодняшний день понятие «метод Монте-Карло» стало настолько широким и неопределенным (см., например, [139]), что в современной научной литературе сегодня принято использовать другие названия, подчеркивая этим более специальное применение общей концепции. Последние годы широкое применение получили такие названия как «статистическое моделирование» и «имитационное моделирование».
Под термином «статистическое моделирование» в современной отечественной научной литературе принято понимать вычислительный метод, состоящий в численной реализации специально разрабатываемых стохастических моделей изучаемых явлений и систем [140].
Задачи, которые решаются методом статистического моделирования, можно условно разбить на три класса. К первому относятся задачи со стохастической природой, когда используется прямое моделирование естественной вероятностной модели. Это почти все задачи статистической физики [143]. Ко второму классу относятся детерминированные задачи, когда искусственно строится вероятностный процесс, с помощью которого дается формальное решение [79]. К третьему классу относятся задачи, которые описываются детерминистическими операторами, но в которых случайны либо коэффициенты, либо граничные условия, или правая часть (источники). Именно в этот класс формально попадают все волновые задачи статистической радиофизики (1)-(3) [175,10].
Появление мощных средств вычислительной техники уже в 50-х годах во многих отраслях знания активно стимулировало попытки выхода за рамки классического дедуктивного подхода и экспериментальных методов, в которых зачастую присутствовало большое количество случайных неконтролируемых факторов. Именно таким промежуточным методом между аналитикой и экспериментом и стал метод статистического моделирования [201,137]. Пожалуй, уже к 80-м годам в различных модификациях имитационные методы, так или иначе, использовались почти во всех отраслях естествознания. Они нашли применение даже в медицине, традиционно «далекой» от современных математических методов [135]. А целом ряде наук, таких как теория массового обслуживания и техническая кибернетика, где натурные эксперименты либо дорогостоящие, либо вообще невозможны, а аналитические решения обычно сомнительны, методы статистического моделирования стали единственно возможным методом теоретического познания [201,202].
Отечественными и зарубежными исследователями попытки использовать метод статистического моделирования для решения стохастических волновых задач были сделаны только в середине 70-х годов [16,255]. Дальнейшее применение метода в основном было ограничено двумя направлениями: первое - это решение уже приближенных волновых уравнений (обычно - параболических) [281], второе - это проверка промежуточных аналитических выкладок [223]. Таким образом, роль метода статистического моделирования для решения волновых задач была лишь второстепенная. Основная причина такого положения дел заключалась в краевом характере исходных волновых задач. Ибо основные разработки современной вычислительной математики ограничены лишь методами решения обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений с начальными данными [39]. Переломный момент в роле метода статистического моделирования для решения стохастических волновых задач был тесно связан с применением метода погружения в теории волн, и произошел он 1982 году, когда была опубликована первая работа Кляцкина В.И и Ярощука И.О. [108].
Первой работой, посвященной применению метода погружения в теории волн, является работа Кляцкина В.И. [101]. Основная концепция, которая была выдвинута автором - это точная переформулировка волновых задач с краевыми условиями в задачи с начальными условиями. Получаемые при этом дифференциальные уравнения и назывались уравнениями погружения. В течение десятка лет после выхода первой работы Кляцкиным В.И,, его коллегами и учениками были получены уравнения погружения практически для всех основных волновых задач. Эти результаты вошли в монографию [105]. Там же даны исторические и библиографические справки. Здесь мы лишь отметим, что появление самой концепции «погружение» связано с работами Амбарцумяна В.А. [7]. А сам метод погружение давно нашел свое применение в прикладной математике [99].
За последние два десятка лет, большей частью на основе уравнений погружения, методом статистического моделирования были решены целые классы стохастических волновых задач для слоистых сред. Были исследованы как вопросы применимости различных классических приближений типа (l)-(lll), так и получены новые интересные физические закономерности формирования случайных полей. Количество таких публикаций сегодня исчисляется десятками. Эти результаты вошли в монографии [216а,217], а некоторые из результатов были представлены еще в монографии [105].
Сегодня уже нет никаких сомнений, что ближайшее будущее метода статистического моделирования стохастических волновых задач не будет ограничено только уравнениями погружения. И такие публикации уже имеются. Однако сегодня можно уверенно констатировать, что метод погружения породил новый метод решения стохастических волновых задач, который будет развиваться самостоятельно и выходит за рамки классификации [105]: (IV) статистическое моделирование стохастических волновых задач.
3. Скалярно-векторное описание.
Звуковые волны в неподвижных газовых и водных средах являются единственным видом колебаний, которые; по воле случая, имеют скалярную природу. Математически это означает, что компоненты тензорной функции Грина для уравнений линейной акустики [151], описывающие «скалярно-векторное» поле давления и колебательной скорости [p;v], линейным образом, посредством операторов d/dt и д/дХт, выражаются друг через друга
[192]. Одним из важных следствий этого факта является свойство потенциальности звукового поля. Так, если звуковое поле описывается потенциалом {t,X), то давление и колебательная скорость выражаются через него довольно простым образом [95]:
p(t,X) = po(t,X), v(tx) = - o (t,x).
Хорошо известно, что введение потенциалов (в общем случае -векторных) исключительно удобно для аналитического анализа электромагнитных, сейсмических и других видов полей. Отметим, что и для акустики движущихся сред также возможно обобщение потенциала Ф(і,Х) путем введения векторного «квазипотенциала». Это понятие и соответствующие формулы впервые были определены и получены Обуховым A.M. [157].
Как известно, создание приемника звукового давления в воде -гидрофона, положило начало созданию и развитию «скалярной» гидроакустики [187]. Как первые, так и большинство современных экспериментальных исследований основано на этом же методе регистрации звукового поля. На базе гидрофанов, как для прикладных, так и для научных целей в настоящее время разработано и создано подавляющая масса гидроакустических средств [29].
Теоретические исследования, в соответствии с запросами практики, традиционно были направлены на изучение полей звукового давления. Поэтому все аналитические [24], а также численные методы всегда были ориентированы на исследования скалярных волновых уравнений для p(t,X) [134]. Все статистические волновые задачи гидроакустики (1)-{4) также рассматривались исключительно в скалярном представлении.
Интенсивные попытки решения важных военно-морских задач в США и СССР, например, таких как регистрация слабых сигналов на фоне помех, на рубеже 50-х годов привели к созданию качественно нового прибора, измеряющего звуковое поле - комбинированного гидроакустического приемника [180]. Первая работа, описывающая конструкцию такого приемника, вышла в США [263]. Подробные исторические и библиографические справки, а также обсуждения различных типов приемников такого класса и их различных названий можно найти в отечественных монографиях Гордиенко В.А. с соавторами [48] и Скребнева Г.К. [180]. Принципиальное отличие комбинированных приемников от гидрофонов - это возможность одновременного измерения скалярно-векторного гидроакустического поля [p;v] в одной точке пространства.
В публичной отечественной научной литературе физические принципы таких измерений впервые были опубликованы Ржевкиным С.Н. [174], а сама концепция и методы измерения скалярно-векторного поля впервые были изложены в статье Захарова Л.Н. и Ржевкина С.Н. [85]. Новый метод измерения гидроакустических полей авторы назвали векторно-фазовым методом. Значительно позже вышла первая монография Гордиенко В.А., Ильичева В.И. и Захарова Л.Н. [48], посвященная векторно-фазовым методам. В современной научной литературе существуют и другие названия такого подхода, например, акустическая интенсиметрия [180], метод измерения акустической интенсивности [230].
В рамках фундаментальных исследований новый способ измерения позволил экспериментально изучать такие физические величины как плотность потока энергии гидроакустических полей, а также изучать такие физические явления как движение частиц жидкости в звуковом поле. Например, в экспериментах были получены такие интересные физические эффекты, как взаимодействие потоков энергии и шума, «поляризация» движения звуковых волн [92,231]. Традиционно, более активно шло применение векторно-фазовых методов для решения прикладных задач (см., например, [44]). Исследования были направлены на решения таких задач, как определения импедансных условий морского дна, изучение направленности шумовых полей, обнаружение слабых источников на фоне шума, определение пеленга и др. Этим проблемам посвящена масса публикаций.
Научные и прикладные задачи стимулировали теоретические исследования в области «скалярно-векторной» гидроакустики.
Уже в первых отечественных публикациях, посвященных векторно-фазовому методу, были сделаны попытки теоретического описания скалярно-векторного звукового поля (см., например, [85,44]). Основой теоретического описания являлось вычисление потенциала звукового поля, с последующим его дифференцированием для вычисления колебательной скорости. Аналогичный подход заключается и в вычислении колебательной скорости путем дифференцирования выражений для звукового давления, в соответствии с уравнениями линейной акустики. Ясно, что такой подход приемлем только для самых простых случаев, допускающих аналитическое выражение для звукового давления. Таких случаев относительно мало, например, однородное пространство и однородный слой водной среды с простейшими граничными условиями. Все более реалистичные случаи распространения волн, как известно, возможно исследовать только приближенными и численными методами [24,134]. Дифференцировать же приближенные, а тем более численные решения для звукового давления, как известно, является делом почти безнадежным [98]. Однако, на этапе становления теории, такие работы выполнили полезную познавательную и методическую функцию [81,80,264]. Любопытно, что и по настоящее время в литературе появляются аналогичные работы, например, [76].
Первые же попытки применения регулярных формул для оценивания поля [p;v] на практике, даже в самых простейших натурных условиях, показали необходимость рассмотрения скалярно-векторного поля как случайного [44]. Анализ многолетних экспериментальных наблюдений доказывает, что скалярно-векторные поля даже в некотором смысле «более стохастичны», чем аналогичные скалярные [62]. Соответственно и теория, претендующая на описание объективной реальности, должна быть изначально стохастической.
Поэтому вполне закономерно появление ряда публикаций, например, [73,36], посвященных случайным гидроакустическим полям в однородных и безграничных средах. Только в этом единственном случае возможно аналитически выполнить простейший статистический анализ скалярно-векторного поля. Отметим также работу [232], где в ракурсе задач архитектурной акустики наиболее полно и закончено исследована эта же статистическая модель поля. Результаты всех эти работ имеют для гидроакустики только методологическое значение.
Следуя исторической логике создания статистических теорий для различных видов волновых полей, статистическая скалярно-векторная теория также должна укладываться в рамки классификации (1)-(4). Методы же решения этих задач, в ближайшее будущее, едва ли выйдут за рамки методов (I)-(IV).
Если тем или иным способом нами вычислены статистические характеристики случайного поля давления p(t,X) (корреляционные функции или даже характеристический функционал), то, казалось бы, что формально можно вычислить и статистические характеристики скалярно-векторного поля.
Дифференцирование же таких приближенных решений абсолютно бессмысленно. Статистическое же моделирование скалярного поля гарантирует только слабую сходимость поля, но не его производных (см. §1.3). Очевидно поэтому, что разработка статистической теории все-таки должна базироваться на исходных уравнениях линейной акустики.
Таким образом, можно констатировать, что, как физические величины [p;v] и технический способ их регистрации [85], так и теоретические основы, пока еще находящиеся в стадии создания, выходят и принципиально должны выходить за рамки «скалярной» гидроакустики. Здесь наблюдается типичный для современной науки случай, когда разработка нового технического метода для конкретных целей (конкретно - для военно-морских) привела к зарождению нового научного направления - скалярно-векторной гидроакустики [158].
Полученные на сегодняшний день теоретические результаты в области статистической теории скалярно-векторной гидроакустики значительно более скромные, чем в традиционной статистической гидроакустике.
Прежде всего отметим, что, в соответствии с исходными целями векторно-фазового метода, большое количество публикаций посвящено вопросам оптимального приема слабых сигналов на фоне шумов. Эти задачи, формально, можно отнести к разделу (4). Одна часть этих задач направлена на решение задачи синтеза оптимальных приемных систем, а именно — протяженных антенн, состоящих из комбинированных приемников, например, [86,268]. Другая часть задач заключается в разработке различных алгоритмов для решения задач статистического оценивания статистического поля, в частности - статистическая оценка направления на локальный источник сигналов. При этом обычно рассматривается два варианта приема: одиночный приемник или антенна [162,178], а также набор приемников, случайно расположенных в водном пространстве [274,287]. Аналогичные работы имеются и у автора совместно с коллегами, например, [262,216]. Хорошо известно, что качество решения таких задач определяется адекватным выбором вероятностной волновой модели сигналов и полей [169]. Однако, общее, что объединяет все эти работы - это использование одной единственной модели сигнала в виде плоской волны. В этом случае, как известно, давление и колебательная скорость связаны через направляющие косинусы выбранной системы координат. Для описания шумов океана все авторы используют простейшие модели объемных или изотропных поверхностных шумов, еще в 60-х предложенные в известной работе [227]. Экспериментальные наблюдения звуковых полей в океане демонстрируют определенную несостоятельность таких моделей [230,276].
Значительно меньше известно работ, в которых рассматривались бы задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах - раздел классификации (1). Большая часть результатов основано на феноменологической теории переноса излучения, например, [70]. Известны также работы, в которой решалось стохастическое волновое уравнение в параболическом приближении [56]. Авторы, как правило, ограничиваются исследованием средней плотности потока энергии скалярно-векторного поля.
Задачи типа (2) о поверхностных шумах глубокого океана и мелкого моря в скалярно-векторном представлении рассматривались, соответственно, в работах [57] и [87]. В первой работе расчеты и анализ основаны на методе погружения и интегральном представлении полей. Во второй основой является модовый подход, однако, выполняется и учет непрерывного спектра. В работе [60] исследовались пространственно-временные характеристики шумового поля для флуктуирующего океана. Используемые авторами модели и результаты детально обсуждаются в главе 5.
Задачи типа (3) для скалярно-векторных полей в научной литературе практически не рассматривались, хотя некоторыми авторами высказывается предположение о возможном существенном влиянии морского волнения на формирование скалярно-векторного шумового поля. Известны лишь отдельные работы, где делались попытки только качественно учесть рассеяние на случайной поверхности моря, например, [93].
4. Стратегия и методы исследований.
Основная стратегическая задача представленной работы заключается в том, чтобы на простых классических примерах изучить и понять ведущие физические факторы, которые в той или иной отрезок времени, на том или ином участке пространства являются определяющими для формирования случайных волновых полей. И хотя большая часть результатов получена численно, мы руководствуемся положением - важны не цифры, а понимание.
Мы исходим также из двух установок. Во-первых, в большей части задач мы рассматриваем гидроакустические поля в скалярно-векторном представлении. Во-вторых, основная тактическая цель - на базе статистического моделирования получить точные решения (в некотором смысле) стохастических волновых задач, не используя те или иные изначальные упрощения.
Все схемы статистического моделирования, разрабатываемые и применяемые в диссертации для вычисления случайных полей, не используют здесь метод погружения, а базируются на обычном понятии импеданса акустического поля [21]. Такой подход, по-видимому, возможен, благодаря «скалярности» гидроакустических полей, а применен он здесь из-за большей физической наглядности, нежели метод погружения, С точки зрения способов переформулирования исходных краевых задач в причинные уравнения он соответствует понятию «метод уравнения Риккати». Все полученные таким способом уравнения и интегральные соотношения в большинстве случаев или совпадают с уравнениями погружения, или в некотором смысле «похожи» на них.
Отметим также один любопытный факт. В процессе решений различных стохастических задач выяснилось, что численные схемы статистического моделирования гораздо удобнее разрабатывать для исходных уравнений линейной акустики, нежели для волновых уравнений, описывающих поле давления. Таким образом, вычисление скалярно-векторных полей для статистического моделирования является делом обычным и не требующим специальных затрат.
В процессе многолетних исследований стохастических волновых задач приходилось неоднократно убеждаться, что развитие и использование мощного аппарата статистического моделирования невозможно без глубокого физического понимания свойств случайных волновых полей. Несомненно, что наиболее удобной и компактной формой этих знаний является аналитические решения стохастических задач. Аналитическое решение обладает рядом положительных качеств: оно не привязано к определенным числовым значениям параметров, позволяет находить оптимальные решения и делать достаточно общие заключения. Однако, уже в самых простейших случаях, таких как задачи об отражении и дифракции плоских гармонических волн, решение получить затруднительно. Применение тех или иных приближений на этапе постановки задачи часто приводит к дополнительным проблемам. Основные из них: отсутствие уверенности в результате и далеко не всегда ясна роль параметров.
В работе мы изначально исходим из целого ряда упрощений исходных физических условий формирования случайного гидроакустического поля. Мы предполагаем среду слоистой. Слой осадков - слоистым и жидким. Источники шума предполагаем распределенными на поверхности водного слоя, и предполагаем, что их распределение - стационарное и статистически однородное поле. Однако и в такой, еще достаточно общей постановке, задача чрезвычайно сложна, и характеризуется большим многообразием факторов. Понять роль и влияние последних на формирование случайных полей, возможно, лишь путем расчленения задачи на самые элементарные модельные задачи. Решение этих элементарных задач, выявление основных факторов, определяющих статистику полей в этих элементарных волновых статистических моделях, и является первым этапом наших исследований. Второй этап - это синтез элементарных моделей, установление их взаимосвязи и изучение более сложных статистических моделей. Следует отметить, что в зависимости от способа расчленения каждой конкретной задачи дальнейшее исследование может, вообще говоря, как упроститься, так и усложниться. Поэтому мы руководствуемся, прежде всего, стандартным физическим подходом, принятым в классической волновой теории вообще, и в традиционной теоретической гидроакустике в частности (см., например,[21]). При таком подходе сначала изучаются плоские гармонические волны, затем гармонические поля, и на последних этапах рассматриваются поля с временной зависимостью, в частности, задачи о падении временных импульсов. Соответственно, источники излучения на первом этапе предполагаются точечными и гармоническими. Специальное расположение источника излучения, например, если источник помещен на границу раздела водного слоя и слоя осадков, также уменьшает количество параметров в задаче. Отметим, что использование источников различного типа (например, источник вертикальной силы и источник массы) в некоторых случаях могут существенно изменить решение задачи.
Математические разработки автора, а также некоторые вопросы методологического и обзорного плана большей частью обсуждаются в главе 1. В приложения вынесены также некоторые специальные вопросы и полезные математические выкладки.
В главе 2 изучается отражение и распространение плоских гармонических волн в случайно-неоднородной среде (либо в водном слое, либо в слое жидких осадков). Специальные предположения, например, модель, в которой отсутствуют регулярные неоднородности среды, модель полу бесконечного слоя осадков, позволяют достичь как существенного упрощения, так и выяснить основные статистические параметры задач. Большую часть результатов удается получить аналитически. Это позволяет выполнить сопоставление с результатами статистического моделирования и выявить области применимости приближенных аналитических методов.
Расчеты гармонических полей полностью основаны на результатах статистического анализа, как флуктуации плоских волн, так и нормальных волн. Они представлены в главе 3.
Рассеяние временных импульсов ограничено исследованием обратно рассеянного поля при нормальном падении плоской волны на слой. И если первое упрощение модели не принципиально и связано лишь с ограничениями на объем материала книги, то второе упрощение позволяет существенно упростить методы и уменьшить время вычислений. Эти результаты можно найти в главе 4.
Задачи о поверхностном шуме в волноводах рассмотрены в главе 5. Модель поверхностных источников выбрана в виде стационарного и статистически однородного поля. Это значительно упрощает анализ решения, хотя и не является принципиальным ограничением для метода статистического моделирования. В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.
Количество монографий по проблеме исследования вопросов излучения и дифракции случайных волновых полей исчисляется сотнями, а статей, пожалуй, десятками тысяч. Несомненно, что любая попытка сделать какой-либо полный обзор, обречена на провал. Поэтому обсуждение результатов, полученных другими авторами, выполняется в каждой главе отдельно.
Везде далее ради сокращения записи, если это только не будет мешать пониманию смысла уравнений и формул, при записи функций мы будем опускать зависимость от некоторых параметров. Например, QH(co,n) и Пн обозначают одну и ту же функцию, но pfcu.ae.z) и p(t,x,z) обозначают различные функции; в первом случае - это амплитуда пространственно-временного спектра давления, а во втором - это поле давления в зависимости от времени и координаты.
Большая часть обозначений, а также некоторые важные определения, которые хотя и обсуждаются в тексте, для удобства вынесены в отдельный раздел «Обозначения и определения».
Диссертация в большей своей части основана на оригинальных работах автора [62-68,108-112,166-171,205-218,238,240-244,262,277,289].
Стохастические методы. (1). Современные стохастические методы. (2). Уравнения Эйнштейна-Фоккера. (3). Диффузионное приближение
Выполним теперь некоторые преобразования уравнений (7) и нормировки входящих туда функций. Колебательную скорость выразим в единицах давления, нормируя ее на волновое сопротивление среды v = poc0v. Плотность среды и скорость звука нормируем на ро и с0, волновое число k(z)=o/c(z) и вертикальное волновое число q2(z)={k2-332), а также волновой вектор эе нормируем на параметр (волновое число однородной среды) ко=ю/со по следующему правилу: p(z) = p(z)/Po, c(z) = c(z)/c0) k(z) = k(z)/k0, аз = ae/k0, q2(z) = k2(z) - зУ. (8) Везде далее, no умолчанию, будем также полагать, что согласно (8) нормированы также и параметры стратификации в слое жидких осадков. Опуская теперь значок тильды, запишем уравнения (7) в следующем виде:
Здесь По(ю.аэ) - некоторая функция, физический смысл которой выясняется далее. В области пространства, где нет источников, однородные уравнения (9) запишутся как В силу линейности уравнений акустики, после соответствующих нормировок (8) можно считать, что спектральные компоненты СВ поля в уравнениях (10) и (11) являются безразмерными. В дальнейшем будем считать, что все они нормированы на некоторую характерную величину давления, которая, если это будет необходимо, оговаривается отдельно. На эту же величину нормированы и источники поля. Таким образом, после выполненных нормировок (8), поля, функции и переменные: [p(e),ae,z);v(w,ae,z)], p(z), c(z), q(z), ээ - безразмерные. Величины: z, х, Н, ко 1 имеют размерность длины, например, метр. Время [t] = секунда, частота [v] = Гц, а О=2ЛУ, соответственно, цикл, или радиан/сек. Установленные размерности необходимо учитывать при вычислении различных интегралов, например, согласно (6), имеем Тогда для давления в пространственно-временном и пространственно-частотном представлении имеем следующие размерности: Для полей р и w, удовлетворяющих системе однородных уравнений (11) с краевыми условиями (10), введем функцию, определяющую импеданс плоской гармонической волны [21] Здесь и далее, вместо аэ будем также использовать параметр ц, ибо в силу симметрии задачи, все волновые поля зависят лишь от квадрата горизонтального волнового числа. В этом случае, например, q2(z)=(k2(z)- i). Легко показать, что импеданс (12) удовлетворяет уравнению Риккати Начальное условие в (13) соответствует условию (10) на нижней границе.
Построим теперь тензорную функцию Грина краевой задачи (9), (10). Для этого формально перепишем задачу (9), (10) в удобном и компактном виде (14) а также рассмотрим две однородные задачи с начальными условиями (15) Здесь р, f, ф, у - двухмерные вектор-функции, а С - оператор размерности (2x2): Отметим, что вектор-функция \\і в уравнениях (15) определена с точностью до произвольной мультипликативной константы. Вектор-функции ср и у удовлетворяют граничным условиям (14) при z=H и 2=0 соответственно и могут быть выражены в квадратурах через решения уравнения Риккати (13), согласно уравнениям линейной акустики (11): Введенная здесь функция Ф;=-рЛл/, также удовлетворяет уравнению (13), но с другим начальным условием и на другой границе водного слоя Функция Фг описывает импеданс плоской волны, падающей снизу вверх на слой неоднородной среды (H,z). Более подробно этот вопрос обсуждается в Приложении 1. Выбор произвольного множителя для вектор-функции V{/(z) в (17) мы определили так, чтобы на верхней границе выполнялись бы тождества ц/1(Н)=-Пн и ч г(Н)=1. Отметим также, что в дальнейшем для задач аналитического анализа волн мы будем использовать и другие формы записи вектор-функций cp(z) и ij/(z). Для статистического же моделирования уравнения (13), (17) и (18) представлены здесь в наиболее оптимальной форме. Непосредственной проверкой можно показать, что вронскиан функций р и ц; не зависит от z, а его значение легко вычислить, например, в точке z=H а по «немому» индексу j выполняется суммирование. Непосредственной подстановкой (20) в уравнение (14) можно проверить, что его решение p(z) выражается через свертку f(z) с тензорной функцией g( o,se,z,0
Источник силы на поверхности. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория. (3). Статистическое моделирование
В настоящем параграфе рассматривается задача об источнике вертикальной силы, размещенном на поверхности водного слоя. В отличие от предыдущего параграфа выбор типа источника здесь является принципиальным. Источники массы и источники горизонтальной силы в этой задаче не излучают волн. Предлагаемая задача важна и полезна с двух точек зрения. Во-первых, она представляет интерес с академической точки зрения. Как будет показано, результаты, полученные в предыдущем параграфе, заметно различаются с представленными ниже расчетами и выкладками. Расположение другого типа источника на границе с другим краевым условием приводит к совершенно другим физическим закономерностям. Специальный вид функции Грина позволяет исследовать задачу без непосредственно обращения к УЭФ. Во-вторых, такая функция Грина имеет принципиальное значение для изучения целой проблемы об излучении поверхностных динамических шумов в океане и мелком море. Эти вопросы будут рассмотрены далее в главе 5. Кроме того, будет показано, что возможности современных стохастических методов здесь заметно ограничены с количественной точки зрения. Только качественная картина поведения моментов поля ухватывается приблизительно верно. Полностью адекватным способом решения такой задачи является только метод статистического моделирования. Представленное изложение материала и методов анализа в основном соответствует работам [240,218,289,216а]. Как и в предыдущем параграфе полагаем, что волновое поле описывается краевой задачей (2.3.1)-(2.3.2). Полагаем также, что в уравнениях (2.3.1) f2=0, а источником звуковым волн является источник силы f1t который расположен на поверхности водного слоя в точке 2=Н-0. Скорость звука, как и ранее, является случайной, и определяется формулами (2.3.12)-(2.3.13). Схема задачи представлена на рис.2.5.1. Согласно общему виду функции Грина (2.3.11) волновое поле в водном слое описывается следующей формулой (zo=H-0): Уравнения (3)-(4) обладают свойством динамической причинности по параметру z (или Н), поэтому можно применять стохастические методы, описанные в 1.2.
Кроме того, легко проверить, что уравнения (3)-(4) в точности совпадают с уравнениями погружения (П.1.49), полученными в Приложении 1. Для этого достаточно заметить, что согласно (3) верно тождество: Следуя выражениям для поля (3)-(4), запишем ряд полезных формул для случая однородной среды: e(z)=0 и у#0 (можно воспользоваться (П.1.31)-(П.1.32)). В этом случае волновое поле описывается выражениями (1 -)-1% qo- Рог): Наиболее простой вид выражения (6) принимают, когда граница z=0 является пропускающей: O0=1/q0. В этом случае энергетические характеристики поля описываются экспоненциальными зависимостями; 2. Статистическая теория. Исследуем теперь статистические моменты энергетических характеристик волнового поля. Для статистического анализа сначала перепишем квадратуры (3) в дифференциальном виде по параметру Н для квадратичных величин: Плотность потока энергии волны, в соответствии с выражениями (3) запишем в следующем виде: Здесь мы полагали, что в среде присутствует малое поглощение у, которое формально ввели во все формулы по правилам (2.1.10). Выделим в уравнениях (8)-(9) быстро осциллирующие функции, используя выражение импеданса через коэффициент отражения (2.1.196): Тогда, усредняя по ансамблю реализаций E(Z) уравнения (8)-(9), получим уравнения для моментов (8): Здесь мы представили коэффициент отражения в виде модуля RZ и фазы фг. Предполагаем теперь, что квадратичные величины в формулах (11)-(12) не изменяются на длине волны. Тогда, учитывая формулу (2.4.28) и усредняя уравнения (11)-(12) по быстрым осцилляциям, получим следующий результат для энергетических характеристик (11) (п=1): и для плотности потока энергии (12): При записи формул (13)-(14) мы использовали стохастические параметры задачи р и D, которые определены тождествами (2.2.32). Сравнение формул (13)-(14) и (7), показывает, что моменты квадрата давления и средняя плотность потока энергии во флуктуирующей среде не зависят от отражающих свойств дна (от импеданса дна Q0) и равны аналогичным характеристикам поля, когда среда однородная: E(Z)=0, а дно свободно пропускающее волны: n0=1/q0. Моменты же вертикальной колебательной скорости существенно определяются отражающими свойствами дна и случайными неоднородностями водного слоя. Математически это определяется пред экспоненциальным множителем во второй из формул (13). Когда точка наблюдения расположена около дна: z-»0, тогда можно приближенно считать, что: где R0 - это коэффициент отражения от дна, определяемый его импедансом Если же водный слой стохастически «большой», т.е. DH»1, а точка наблюдения z находится достаточно далеко от дна: D(H-z)»1, то можно считать, что случайная величина jR22 не зависит от z и определяется стационарным распределением (2.2.28). В этом случае можно записать: Из формулы (16) следует, что момент колебательной скорости уже не зависит от свойств дна, а определяется только поглощением в водном слое. В обоих случаях (15)-(16) величина этого момента может быть достаточно большой. Полученные выше статистические закономерности (13)-(16) моментов поля коренным образом отличаются от аналогичных характеристик в задаче об источнике на дне, рассмотренной в предыдущем параграфе. Общая причина такого положения дел заключается в различных краевых условиях для волнового уравнения. Для статистического моделирования, введем сетку (2.3.18) и вместо континуальной формулы (1) будем применять ее дискретный аналог:
Статистическое моделирование полей. (1). Постановка задачи. (2).Стохастические интегралы. (3).Метод возмущений (4). Эволюционный метод. (5). Метод Ньютона. (6). Неоднородные среды. (7). Вычисления полей
В 3.1 мы сформулировали цель этой главы - вычисление стохастических гармонических волновых полей (3.1.10). Любая стратегия вычисления интегралов (3.1.10), так или иначе, связана с вычислениями спектра стохастического оператора (3,2.1)-(3.2.2). Основные результаты, которые удалось получить аналитически, были изложены в предыдущем параграфе. Цель этого параграфа - разработать эффективные численные методы моделирования спектра стохастических операторов и последующего статистического моделирования случайных волновых полей (3.1.10). Статистическое моделирование обладает своей уникальной спецификой, но многолетний практический опыт показывает также, что все фундаментальные идеи статистических вычислений неявно заложены в классических численных методах. Поэтому сделаем несколько замечаний относительно современных численных методов решения обычных детерминированных задач на СЗ. Прежде всего, стоит упомянуть метод ВКБ, иногда позволяющий на практике делать эффективные оценки СФ и СЗ. Он занимает некоторое промежуточное положение между аналитическими и численными методами. Применимость метода ограничена скользящими модами, а при вычислениях возникают проблемы уточнения СФ в окрестности точек поворота. Все эти вопросы детально обсуждаются, например, в монографии Найфэ А.Х. [153]. Подавляющее количество численных методов решения задач ШЛ можно условно разбить на два класса: методы, в которых исходная задача представляется в разностном виде и методы, в которых выполняются некоторые предварительные преобразования и задача сводится к решению более простых численных задач. Обсуждение этих вопросов можно найти, например, в монографиях Коллатца Л [115], а также Касти Дж. и Калабы Р. [99]. Здесь же отметим лишь, что в первом случае, формально соответствующем решению алгебраической задачи на собственные значения, в целом ряде случаев могут возникать сложные численные проблемы. Обычно - это проблема плохой обусловленности матриц большой размерности. Но основной недостаток, в контексте нашей исходной цели, что такой подход не приемлем для решения стохастических задач (см. 1.3). Простейшая реализация второго подхода - это метод пристрелки. Метод необычайно прост и все проблемы состоят только в непредсказуемом, большом объеме вычислений. Для случая случайных сред он также не приемлем.
Стандартный способ конструирования методов второй группы заключается в формальном преобразовании задачи ШЛ к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. В отечественной литературе такие схемы расчета впервые были предложены Завадским В.Ю. [82] и Крупиным В.Д. [118]. Авторы называют этот подход -фазовым методом. Ряд авторов сводит задачу ШЛ к решению некоторого уравнения Риккати и последующего вычисления квадратур, например, [265]. Такую процедуру принято называть методом уравнения Риккати. Аналогичный подход был предложен Гулиным О.Э. и Кпяцкиным В.И, на основе метода погружения [61]. Использование уравнений погружения было реализовано в схемах статистического моделирования, например, в работах [42,238]. Далее предлагается два способа вычисления стохастических спектров. Первый способ основан на сведение задачи на СЗ к системе стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, но он эффективен лишь для ограниченного класса задач. Второй подход основан на применении метода Ньютона. Он обладает быстрой сходимостью и экономичностью, однако для его реализации необходимо выбирать достаточно хорошее начальное приближение СЗ. Большая часть материала здесь посвящена стохастическим разностным методам для случая однородных (в среднем) флуктуирующих сред, т.е. когда e0(z)=0. Обобщение всех разностных схем на случай регулярных неоднородностей 8Q(z) выполняется В последней части этого параграфа. Прежде чем перейти к обсуждению результатов данного и последующих параграфов сделаем одно важное замечание относительно выбора нумерации СЗ и СФ. Хорошо известно, что нумерация СЗ "п" является условной, но традиционно ее связывают с количеством нулей СФ одномерной задачи ШЛ. В гидроакустике это соответствует тому, что мода с самым малым углом скольжения х имеет номер п=1 (либо п=0). В стохастических задачах такая нумерация может не соответствовать количеству нулей СФ. Например, в случаях, когда поле определяется «квазимодами» (см. следующий параграф). Во-вторых, все наши вычисления случайного спектров выполнены на базе дисперсионного уравнения (3.2.7), решения которого определяются параметром ц=ээ2. По этим причинам будет удобнее СЗ и СФ нумеровать в порядке возрастания параметра ц. Таким образом, везде далее мы полагаем, что (л{п) ц(п+1). Для детерминированных задач мода с самым большим углом скольжения і будет тогда иметь номер п=1. Общая математическая постановка задачи об излучении точечных гармонических источников во флуктуирующей среде дана в п.3.1.1. Исходные уравнения и краевые условия соответствуют формулам (3.1.5)-(3.1.7). Здесь мы приведем только некоторые выражения и формулы, которые будут основой для построения вычислительных схем.
Списки их параметров, как всегда, мы определяем из соображений наглядности, а ограничиваем мерой разумной необходимости. Скорость звука считаем гауссовой случайной функцией, но однородной в среднем статистическом: Математический аспект нашей задачи заключается в том, чтобы решить стохастические волновые уравнения (4)-(5) для различных значений параметра ае (или ц), а затем вычислить интегралы (2) или (3) по этому параметру. В процессе вычисления гармонических полей тем или иным способом, нам потребуется научиться вычислять (для произвольного значения параметра ц) набор случайных функций, введенных в предыдущем параграфе и описанных выше: Некоторые из функций (8) уже численно моделировались в предыдущей главе. Заметим также, что у некоторых функций (8), по сравнению с их исходными определениями 3.2, список параметров изменен. Надеемся, что это не приведет к недоразумениям. Все функции (8) являются случайными функциями. Они получаются в процессе решения стохастических дифференциальных уравнений и/или вычисления различных квадратур (в том числе и стохастических). Поэтому всем выражениям (8) соответствуют некоторые стохастические интегралы (в разностном виде - это суммы), понимаемые в симметризованном смысле. Задача этого раздела - вычислить симметризованные стохастические интегралы (8). Следуя стандартной схеме построения разностных схем, введем равномерную сетку из М+1 узлов на отрезке [0,Н]:
Обратное рассеяние. (1). Параметры и модели. (2), Результаты вычислений
Важным этапом статистического моделирования является выбор численных значений параметров задачи. Необходимо определить следующие параметры: h, о , ц, Az (либо Дт). Первые три параметра определяют физику задачи, и все другие возникающие параметры являются их комбинацией. Значение параметра Дг определяет насколько близки свойства случайных процессов с{2) и E(Z). ДЛЯ вычислений были выбраны следующие значения: h ={20,40}, о.-ЮО, ц=1, Дг=0.01. Величина ш.=100 соответствует большому числу осцилляции для опорной гармоники на масштабе L, или слабым флуктуациям неоднородностей среды (о-2 =0.025). Только в этом случае корректно введение коэффициента диффузии [246а]. Рассматриваемые значения h соответствуют слою достаточно большой стохастической толщины относительно опорной гармоники. Величины ц и Дт выбирались в соответствии с результатами работы [217], а также из соображений разумности объема вычислений. Угловые скобки везде далее означают усреднение по ансамблю из NAV реализаций. Число реализаций, как правило, было NAV=1000. Численные эксперименты показали, что такое значение NAV вполне приемлемо для наших целей. Далее нам потребуется величина Т=2п, которая соответствует среднему времени двойного прохода волной слоя [0, h]. Она принимает значения 40 и 80. Ради краткости будем называть Т временем прохода. Везде на рисунках далее приведена зависимость от времени статистических характеристик обратно рассеянного импульса R(t) у верхней границы слоя среды для различных видов падающего на нее импульса l(t) в момент времени t=+0. На рис.4.3.1 представлены значения R(t) (одна реализация), R(t)) и (R 2{t)) для слоя толщиной h =20. Падающий импульс - l(t)=9(t). В этом случае функция Грина на границе слоя определяется, как P0(t)=9(t)+R(t). Из рисунка видно, что при t 40 происходят основные переходные процессы, связанные с рассеянием поля импульса на флуктуациях среды. В момент времени t 40 наблюдается скачок поля, обусловленный рассеянием фронта падающего импульса на дальней границе слоя, происходящий в момент t«20 (этот отклик дальней границы возвращается обратно к моменту времени t « 40). При дальнейшем росте времени наблюдения статистические характеристики рассеянного поля выходят на стационар, что связано с уходом основной части энергии импульса в полупространство за слоем. Поэтому характерным временным масштабом установления стационарного режима является время одного прохода.
Спектр падающего 6-импульса имеет вид І(га)=і/(и +іО). Для выбранной толщины слоя h=20 гармоники с частотами со со. с вероятностью близкой к единице не достигают дальней границы h, рассеиваясь назад на случайных неоднородностях [217]. Поэтому скачок (Rn(t) при ЫТ формируется гармониками той высокочастотной области спектра І(ш), со со+ , которые смогли дойти до границы h и отразиться от нее. С увеличением толщины слоя все меньшая часть спектра l(co) будет формировать отклик левой границы, и можно надеяться, что величина скачка при t«T начнет уменьшаться. Действительно, на рис.4.3.2 рассмотрен тот же падающий импульс, но п=40 (Т=80), и, как показывают расчеты, величина скачка при t 80 становится достаточно мала (на рисунках это уже не воспринимается визуально). В некотором смысле слой стал почти отражающим для высокочастотных гармоник, формирующих фронт е-импульса. На рис.4.3.3 представлены статистические моменты Rn(t) (п=2, 4) для падающего 6-импульса с заполнением l(t)=9(t)xsin(mt), при ш=ш./2 (ш=50). Для вычисления обратно рассеянного поля здесь использовалась свертка (4.2.8). Спектр падающего импульса похож на спектр 6-импульса, но с центральной частотой ш=50. Хотя для несущей гармоники «=50 такой слой является непрозрачным (его стохастическая толщина в 4 раза меньше h и равна 10), импульс с заполнением, как это видно из количественных характеристик графиков, частично высвечивается из слоя на границе h за счет низкочастотных гармоник, присутствующих в его спектре. Увеличение толщины слоя не приводит к каким-либо качественным изменениям: значение R 2(t)) медленно приближается к стационарному уровню 0.5 (интенсивность гармонической волны sin(tot) равна 1/2), что свидетельствует о постеленном увеличении отражения импульса от слоя. Эти результаты находятся в полном соответствии с результатами рассеяния гармонических волн (см. рис.2.2.1). На заключительном этапе расчетов исследовалось отражение от слоя импульсов различной длительности т) вида l(t)=5n(t). Этот случай интересен по целому ряду причин. Как правило, он рассматривается в литературе по нестационарным задачам и позволяет лучше понять физику процесса стохастического отражения [106]. Наиболее детально сигналы подобного вида рассматривались в работе [224], где специально был разработан приближенный математический аппарат для случайного полупространства. Одним из основных результатов этой работы являлось заключение, что рассеянное поле является гауссовым случайным процессом с нулевым средним при ті , больших по сравнению со временем прохода одного масштаба неоднородности (у нас это - l/c0, или ji/a .). Для проверки данного утверждения была выполнена серия модельных расчетов при различных значениях ц, как больших, так и меньших величины р/со». Было установлено, что при любых г[«Т обратно рассеянное поле R(t) является действительно гауссовым стохастическим процессом, но не с нулевым средним. Проверка на
