Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Дифракция электромагнитной волны сферическими и сфероидальными частицами в оптическом диапазоне 14
1.1 Теория электромагнитного рассеяния 27
1.1.1 Рассеяние сферическими частицами 28
1.1.2 Рассеяние сфероидальными частицами 40
1.2 Рэлеевское рассеяние 52
1.3 Оптических свойства сред вблизи резонанса 66
Глава 2 Моделирование магнитных свойств наноразмерных ферромагнетиков 80
2.1 Уравнение Ландау-Лифшица 86
2.2 Моделирование динамики намагниченности 90
2.3 Спектральный метод расчета магнитной восприимчивости 97
Глава 3 Дифракция электромагнитной волны наноразмернои ферромагнитной сферой. Расчет магнитных восприимчивостеи сложных ферромагнитных структур 104
3.1 Дифракция наноразмернои ферромагнитной сферой 104
3.2 Магнитная восприимчивость массива наноразмерных полос 106
3.3 Магнитная восприимчивость массива наноразмерных точек 108
Заключение 110
Приложения 113
Публикации по теме диссертации 117
Список литературы 120
- Рассеяние сферическими частицами
- Оптических свойства сред вблизи резонанса
- Спектральный метод расчета магнитной восприимчивости
- Магнитная восприимчивость массива наноразмерных полос
Введение к работе
Актуальность работы
На сегодняшний день заметно расширилась область применения рассеяния электромагнитного излучения различными веществами. С ним сталкиваются специалисты таких разнообразных областей наук как радиофизика, астрофизика, биофизика, экология, оптика атмосферы, гидрооптика, оптика полимеров, медицина, коллоидная химия, физика конденсированного состояния. Их всех объединяют возникающие задачи по определению характеристик материальных сред, рассеивающих излучение и представляющих собой частицы конечных размеров различной формы. Причем в качестве упрощенной модели таких частиц чаще всего используют частицы сферической, сфероидальной и цилиндрической формы.
Все сильнее развивается направление оптических методов контроля и диагностики различных сред, которые зачастую оказываются единственно доступными и непревзойденными по оперативности и быстродействию. Так, например, с их помощью ведутся постоянные наблюдения за состоянием атмосферы, они также незаменимы для получения информации о быстро протекающих процессах подобных взрыву, когда нет возможности или времени для отбора проб на химический анализ среды и т.д. Хотя при подобных исследованиях применяется широкий спектр оптических явлений, но рассеяние света и прозрачность среды остаются важнейшими показателями ее состояния.
В настоящее время довольно актуальными являются исследования в области биофизики и медицины, посвященные рассеянию электромагнитного излучения особым видом органических объектов - биологическими объектами [15, 25, 39, 52]. В частности, большой интерес представляют перспективные исследования, связанные с выявлением как физических, так и химических свойств различных белков, в том числе гемоглобина и его соединений [12].
4 В экологии метод светорассеяния довольно широко используется для решения актуальной на сегодняшний день проблемы очистки природных и сточных вод [70,71]. Важной особенностью этих исследований является то, что часто в коллоидных растворах таких частиц (флокул) интенсивность их рассеяния не подчиняется приближению Рэлея ввиду выхода размера флокулы за пределы действия закона рэлеевского рассеяния, а также возможного появления у нее поглощающих свойств. При отклонении формы частиц от сферической, приближение рэлеевского рассеяния ограничено еще больше, причем возможно возникновение ряда новых эффектов, в первую очередь дихроизма.
Хотя задача рассеяния электромагнитного излучения сферическими частицами была строго решена Густавом А. Ми еще в 1906 году при исследовании им окраски коллоидных растворов золота [4], тем не менее, на наш взгляд недостаточно исследованы зависимости рассеяния поляризованного электромагнитного излучения поглощающими частицами вблизи резонансных частот среды, а также отсутствуют исследования, посвященные области применимости приближения теории Ми — рэлеевскому рассеянию. Широкое и зачастую некорректное использование рэлеевского приближения вне области его применимости [57, 58] приводит к существенным ошибкам в задачах о рассеянии электромагнитного излучения веществом. Авторы пренебрегают затуханием среды, полагая, что ее оптические постоянные являются чисто действительными величинами. Справедливость этого приближения может быть взята под сомнение для некоторых типов веществ. Причем для описания «малости» рассеивающих частиц в литературе встречаются неоднозначные соотношения между длиной падающей волны и радиусом сферической частицы [4, 51, 52]. Поэтому вопрос о справедливости рэлеевского приближения является достаточно актуальным.
Гораздо сложнее обстоит дело с аналитическим решением задачи о дифракции электромагнитного излучения частицами сфероидальной формы.
5 В настоящее время существует несколько методов решения задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на сфероиде: методы неортогональных рядов, интегральных уравнений, расширенных граничных условий и разделения переменных в векторном уравнении Гельмгольца в сфероидальных координатах. Первые три из них являются универсальными, поскольку не зависят от формы частицы, но при их реализации возникает необходимость решения векторных сингулярных уравнений, либо систем уравнений высоких порядков. В рамках метода разделения переменных наиболее полно учитывается геометрия задачи. Так как в общем случае одновременное разделение переменных в уравнениях Максвелла и граничных условиях провести невозможно [11], то задача рассеяния сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения искомых полей. Применение в качестве базисных векторных волновых сфероидальных функций является наиболее целесообразных, поскольку геометрии рассматриваемой задачи в наибольшей степени отвечают именно они. Трудности вычисления волновых сфероидальных функций в подобных задачах зачастую приводят к необходимости поиска приближения рэлеевского рассеяния для расчета дифракции поляризованной электромагнитной волны на сфероидальных частицах в виде, аналогичном этому же условию для сферических частиц. Запись такого условия позволила бы использовать приближение Рэлея, например, для экспресс диагностики применительно к сфероидальным биологическим и медицинским объектам.
Использование многоосцилляторной модели вещества является наиболее адекватным и приближенным к реальности описанием его оптических постоянных. Вопрос о поведении рассеяния веществом вблизи его резонансных частот также является актуальным и находит широкое применение в области химии, физики атмосферы, медицины [1-7, 55-61, 64].
Последние достижения в области нанотехнологий предоставили возможность применения методов рассеяния электромагнитного излучения для исследования искусственных сред микро- и наноразмеров. Так, например, к настоящему моменту времени разработаны и апробированы достаточно совершенные технологии для получения образцов таких упорядоченных магнитных структур [1-8]. Одной из широко распространенных групп таких технологий являются так называемые методы самосборки. Они относятся к наиболее эффективному способу по созданию образцов упорядоченных магнитных сред, которые могут состоять даже из атомных нанокластеров. Другой, более широко известной и ограниченной размерами в полмикрона, группой технологией являются фотолитографические методы, которые подчас уступают первой группе. Отметим, что электронно-лучевая литография сильно неэкономична при ее применении для создания таких образцов больших размеров.
Использование ферромагнитных материалов для создания наноструктур несет в себе огромные перспективы по разработке высокоскоростных магнитных датчиков, устройств со сверхвысокой плотностью хранения информации, а также микроволновых устройств с точной регулировкой резонансной частоты, используемых в различных областях науки и техники [1-7, 13, 14, 17].
Совершенствование компьютерных технологий, а также методов теоретического моделирования наноразмерных ферромагнитных образцов сделало возможным проведение расчетов характеристик таких сред. На этом фоне еще одно применение получил спектральный метод или метод преобразования Фурье для вычисления одной из важных характеристик вещества: линейного отклика наноразмерных ферромагнитных образцов на переменное микроволновое электромагнитное поле — линейной высокочастотной магнитной восприимчивости, часто называемой в литературе динамической магнитной восприимчивостью. Актуальность моделирования таких мезоскопических структур и расчета их характеристик обусловлена с одной стороны нарастающим объемом их производства и совершенствованием технологий, с другой - все более широким
7 применением таких материальных сред в различных областях науки и техники, а также растущими возможностями получения таких структур с требуемыми физическими свойствами.
Таким образом, процессы дифракции электромагнитного излучения в оптическом и микроволновом диапазонах требуют более детального анализа и нуждаются в комплексном подходе на основе разработанных в электродинамике методов теории взаимодействия излучения с веществом и методами численного эксперимента.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является проведение исследований по моделированию процессов дифракции электромагнитного излучения оптического и микроволнового диапазонов на сферических и сфероидальных частицах с учетом поглощения и частотной дисперсии, а также моделированию свойств наноразмерных магнитных структур.
В соответствии с поставленной целью диссертации решались следующие задачи: нахождение области применимости приближения рэлеевского рассеяния для сферических и сфероидальных частиц с учетом дисперсии и поглощения на основе точного расчета характеристик рассеянного поляризованного электромагнитного излучения с использованием теории Ми; расчет характеристик рассеянного поляризованного света на средах, описываемых одно- и двухосцилляторными моделями вблизи их резонансных частот; сравнительный анализ и адаптация конечно-разностной аппроксимации квазиклассического уравнения Ландау-Лифшица наиболее подходящей для моделирования динамики намагниченности ферромагнитных веществ; расчет линейного отклика ферромагнетиков на переменное
8 высокочастотное электромагнитное поле — высокочастотных магнитных восприимчивостей различных наноструктур с использованием спектрального метода; — расчет дифракции электромагнитного излучения на наноразмерной ферромагнитной сфере с использованием теории Ми.
Методы исследования
Анализ процесса дифракции электромагнитных волн на сферических и сфероидальных частицах с учетом дисперсии и поглощения производился соответственно с использованием аппарата теории Ми и аппарата волновых сфероидальных функций. Численное моделирование динамики намагниченности проводилось на основе апробированных алгоритмов и численных методов. Модификация диссертантом известных алгоритмов проверялась на соответствие путём сравнения с известными результатами в частных и предельных случаях.
Научная новизна
В данном исследовании представлен системный и целостный анализ рассеяния гармонической электромагнитной волны микроволнового и оптического диапазонов с учетом частотной дисперсии и поглощения в широком диапазоне значений материальных параметров для сферических и сфероидальных частиц.
Впервые получено новое условие применимости приближения рэлеевского рассеяния для сферических органических и неорганических материальных сред в широком диапазоне значений их характеристик.
Впервые показана невозможность применимости приближения рэлеевского рассеяния для сред, описываемых одно- и двухосцилляторными моделями вблизи их резонансных частот.
9 Впервые получена самосогласованная функциональная зависимость высокочастотной магнитной восприимчивости образцов наноразмерных ферромагнитных материалов.
На основе теории Ми, примененной к расчету дифракции электромагнитного излучения на наноразмерной ферромагнитной сфере, впервые показано существование дополнительного резонанса, обусловленного характером магнитной восприимчивости наноразмерного ферромагнетика.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Достоверность основывается на строгих теоретических моделях взаимодействия электромагнитного излучения с веществом и теории рассеяния Ми, получившей экспериментальное подтверждение для многих практических случаев. Результаты проведенных расчетов совпадают с уже опубликованными при использовании соответствующих параметров частиц.
Практическая значимость диссертации состоит в том, что полученные в ней результаты могут: - использоваться для интерпретации результатов линейной дифракции электромагнитного излучения органическими и неорганическими веществами; применяться для интерпретации результатов данных линейных откликов от наноразмерных магнитосодержащих сред, описываемых уравнением Ландау-Лифшица; использоваться для поиска наноматериалов с наперед заданными электродинамическими параметрами.
Исследование содержит потенциальную основу для новых изысканий в области электродинамики наноразмерных ферромагнитных материальных сред.
Основные положения, выносимые на защиту:
Получено новое условие применимости приближения рэлеевского рассеяния для сферических органических и неорганических материальных сред в широком диапазоне значений их материальных характеристик.
Показана невозможность применения рэлеевского рассеяния для сферических и сфероидальных частиц, описываемых одно- и двухосцилляторными моделями вблизи их резонансных частот.
Разработано приложение для моделирования процессов рассеяния электромагнитного излучения в оптическом и высокочастотном диапазонах на частицах сферической и сфероидальной формы, включая рассеяние вблизи резонансных частот среды.
Проведено численное моделирование высокочастотной магнитной восприимчивости наноразмерных ферромагнитных образцов на основании предложенной конечно-разностной аппроксимации членов свободной энергии Гиббса, входящих в квазиклассическое уравнение Ландау-Лифшица.
Проведен расчет рассеяния электромагнитного излучения на сферических наноразмерных образцах на основе полученной магнитной восприимчивости.
База исследования
Работа была выполнена на кафедре Лазерной физики Волгоградского государственного университета.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на IV международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2005 г.); XIII научной конференции «Лазеры для медицины, биологии и экологии» (Санкт-Петербург, 2006 г.); XI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2006 г.); VI международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007 г.); XII региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2007 г.); VII международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2008 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке и образовании» (Самара, 2008 г.); V Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (Ростов-на-Дону, 2009 г.); VII Международной Казахстанско-Российско-Японской научной конференции «Перспективные технологии, оборудование и аналитические системы для материаловедения и наноматериалов» (Волгоград, 2009 г.); VIII международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Санкт-Петербург, 2009 г.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 3 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК, 7 тезисов в сборниках докладов международных и общероссийских конференций, и 3 статьи в сборниках тезисов докладов региональных конференций.
Структура и объем диссертационной работы
Диссертация написана на русском языке и включает введение, литературный обзор, три главы, в одной из которых описана методика компьютерного моделирования динамики намагниченности и расчета высокочастотной магнитной восприимчивости, обсуждение результатов, основные выводы, а также список цитируемой литературы, включающий 124 наименования на русском и английском языках. Общий объем диссертационного исследования составляет 130 страниц печатного текста, в том числе 57 иллюстраций.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследования, а также перечислены задачи исследования, приведена научная новизна, практическая значимость результатов, приведены положения, выносимые на защиту, перечислены сведения об апробации материалов диссертации.
Первая глава посвящена обзору публикаций в периодической и специальной литературе, посвященных вопросам рассеяния света материальными средами, состоящими из частиц, различной геометрии. Рассмотрены методы, применяющиеся для расчета процессов рассеяния сферическими и сфероидальными частицами, в том числе теория Ми. Особое внимание уделено поглощающим свойствам таких частиц. В п. 1.1 кратко рассматриваются основы теории Ми, а также ее применение для рассеяния поляризованной электромагнитной волны сфероидальными частицами. Параграф 1.2 полностью посвящен вопросам области применимости рэлеевского рассеяния для сферических и сфероидальных частиц. В п. 1.3 были рассмотрены оптические свойства вблизи резонансных частот сред, из которых состоят сферические и сфероидальные частицы.
Во второй главе проводится обзор последних достижений в области как теоретических (в области моделирования с использованием т.н. теории микромагнетизма), так и экспериментальных исследований многочисленных свойств и особенностей ферромагнитных микро- и наноструктур в нашей стране и за рубежом. В п. 2.1 кратко рассматривается явление ферромагнитного резонанса, а также уравнения Ландау-Лифшица. В п. 2.2 рассматриваются особенности моделирования динамики намагниченности с использованием теории микромагнетизма, приводятся наиболее приемлемые для реешния поставленных задач конечно-разностные аппроксимации для выражений полей, входящих в эффективное магнитное поле: обменного, размагничивания, анизотропии и зеемановского. В п. 2.3 рассматривается
13 расчет отклика ферромагнитного образца на электромагнитное поле СВЧ диапазона. Поскольку рассматривается магнитная система, то обычно ищется связь вектора намагниченности образца с напряженностью магнитного поля электромагнитной волны.
В третьей главе приводятся результаты расчетов гармонической электромагнитной волны на различных ферромагнитных структурах и обсуждаются причины возникновения различных эффектов, объясняемых только в рамках квазиклассического уравнения Ландау-Лифшица. В п. 3.1 приводится результат расчета рассеяния j-поляризованной электромагнитной волны с использованием теории Ми на ферромагнитной сфере. В п. 3.2 приводятся результаты моделирования динамической магнитной восприимчивости для наноразмерной ферромагнитной структуры, состоящей из трех пермаллоевых полос. В п. 3.3 приводятся результаты моделирования динамической магнитной восприимчивости массива наноразмерных точек.
В заключении сформулированы основные практические и научные результаты настоящей диссертационной работы.
В приложениях А, Б приводятся вычислительные подробности для коэффициентов разложения вытянутых угловых сфероидальных функций в ряд по присоединенным функциям Лежандра первого рода.
В приложении В приводятся разложения, из которых определяются искомые коэффициенты, входящие непосредственно в элементы амплитудной матрицы рассеяния.
Рассеяние сферическими частицами
Одной из самых важных точно решаемых задач в теории поглощения и рассеяния частицами является задача о шаре с произвольным радиусом а и показателем преломления п. Если частица, на которой происходит рассеяние, является шаром известного радиуса а, то векторные волновые уравнения (2) путем введения направляющего вектора, могут быть преобразованы в скалярное волновое уравнение [4]: где zn - любая из четырех сферических функций Бесселя: j„,yn,hn,hy, i "(cos#) - присоединенные функции Лежандра первого рода. Тогда векторные сферические гармоники, порождаемые двумя скалярными - у/стп и Последующее детальное решение задачи производится, например, авторами [4]. Ограничимся рассмотрением лишь основных, необходимых для дальнейших расчетов выкладок и формул. Дальнейшие этапы решения задачи о дифракции электромагнитной волны на шаре состоят в следующем: производится разложение падающей, прошедшей и рассеянной плоских волн в бесконечные ряды по векторным сферическим гармоникам (1.8), затем, коэффициенты этих разложений упрощаются путем применения свойств ортогональности функций синуса, косинуса и самих векторных гармоник. Вычисление коэффициентов рассеянного поля становится возможным благодаря применению граничных условий к тангенциальным компонентам полей Е и Н :
Тогда, путем весьма нетривиальных преобразований можно записать, что разложения рассеянного поля имеют вид: где верхний индекс (3) приписан векторным сферическим гармоникам, для которых радиальная зависимость производящих функций задается функцией Коэффициенты ряда рассеяния ап и Ъп находятся из граничных условий (9) и равны: где за x и m обозначены соответственно параметр дифракции и относительный показатель преломления: гг11 И JV1 — показатели преломления частицы и окружающей ее среды соответственно. Коэффициенты ряда рассеяния существенно упрощаются после введения функции Риккати — Бесселя: и том предположении, спр находится таким образом: Предполагая, что ряд (1.10), в который раскладывается рассеянное поле, равномерно сходится. Поэтому в этом ряде можно ограничиться пс членами, причем ошибка будет сколь угодно малой при любых кг, если пс достаточно велико. Если, кроме того, кг пс, то можно подставить в этот оборванный ряд следующие асимптотические выражения: В итоге, для поперечных компонент рассеянного электрического поля получим: где а ряды после пс обрываются. Тогда амплитуды падающего и рассеянного полей связаны соотношениями: Очевидно, что: (1.23) Поэтому, в направлении рассеяния вперед (0 = 0) (1.25) Из (1.22) следует соотношение, связывающее параметры Стокса падающего и рассеянного света: Если падающий свет полностью поляризован в направлении, параллельном некоторой плоскости рассеяния (можно взять любую плоскость рассеяния), то параметры Стокса рассеянного аведливом лишь в первой главе, что магнитная проницаемость частицы и окружающей среды одинакова. Тогда, получим: Практический интерес представляют сечения и элементы матрицы рассеяния. Можно показать [4], что сечение рассеяния равно: Сечение экстинкции находится таким образом: Предполагая, что ряд (1.10), в который раскладывается рассеянное поле, равномерно сходится. Поэтому в этом ряде можно ограничиться пс членами, причем ошибка будет сколь угодно малой при любых кг, если пс достаточно велико. Если, кроме того, кг пс, то можно подставить в этот оборванный ряд следующие асимптотические выражения: В итоге, для поперечных компонент рассеянного электрического поля получим: где а ряды после пс обрываются. Тогда амплитуды падающего и рассеянного полей связаны соотношениями:
Очевидно, что: (1.23) Поэтому, в направлении рассеяния вперед (0 = 0) (1.25) Из (1.22) следует соотношение, связывающее параметры Стокса падающего и рассеянного света: Если падающий свет полностью поляризован в направлении, параллельном некоторой плоскости рассеяния (можно взять любую плоскость рассеяния), то параметры Стокса рассеянного света имеют вид: где был опущен множитель у(к2г2). Таким образом, рассеянный свет тоже оказывается полностью поляризованным параллельно этой плоскости рассеяния. Обозначим через i{[ рассеянную интенсивность, приходящуюся на единичную падающую интенсивность при условии, что падающий свет поляризован параллельно плоскости рассеяния: Если падающий свет поляризован перпендикулярно плоскости рассеяния, то параметры Стокса рассеянного света равны: поэтому рассеянный свет также поляризован перпендикулярно плоскости рассеяния. Обозначим через г± рассеянную интенсивность, приходящуюся на единичную падающую интенсивность при условии, что падающий свет поляризован перпендикулярно плоскости рассеяния:
Оптических свойства сред вблизи резонанса
Далее будет рассмотрен вопрос, связанный с поведением рассеяния вблизи резонансных частот среды. Для описания оптических свойств вещества часто используется один из двух наборов величин: либо вещественная и мнимая части комплексного показателя преломления n = ri + in, либо вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости є = є + іє". Эти два набора зависимы, поэтому можно считать, что любой из них полностью описывает оптические свойства вещества. В предположении о немагнитности вещества /л = ju0 соотношения между ними имеют вид: В начале двадцатого столетия Хендрик Антон Лоренц разработал классическую теорию оптических характеристик. В ней электроны и ионы вещества рассматриваются как простые гармонические осцилляторы, на которые действуют силы, обусловленные сторонними электромагнитными полями. Получаемые из такой теории результаты формально совпадают с результатами рассмотрения в рамках квантовой механики, отличаясь от них лишь трактовкой параметров. Данное совпадение весьма удачно, потому что для большинства из нас удобнее мыслить не квантовыми, а классическими понятиями, поэтому мы можем поступать так, не искажая правильных результатов. Именно благодаря этому модель Лоренца и остается столь полезной для количественного анализа экспериментальных данных до сих пор. В качестве микроскопической модели поляризуемого вещества возьмем набор одинаковых независимых изотропных гармонических осцилляторов. Пусть на осциллятор с массой т и зарядом е действуют силы: линейная возвращающая сила кх, где к — постоянная упругости, ах — смещение груза от положения равновесия; тормозящая сила Ьх, где Ъ — постоянная затухания; сила, обусловленная действующим электрическим полем Еех1 (магнитными силами обычно можно пренебречь по сравнению с электрическими. Реакцией излучения мы пренебрегаем. Уравнение движения такого осциллятора имеет вид: Действующее поле Eexty на отдельный осциллятор, вообще говоря, отличается от макроскопического поля Е, которое представляет собой результат усреднения по области с большим числом осцилляторов. Однако мы не будем учитывать этого различия, поскольку оно не влияет на используемую модель оптических постоянных.
Полагаем, что электрическое поле является монохроматическим с частотой со. Будем пользоваться комплексным представлением вещественных монохроматических во времени величин. Тогда решение уравнения (1.86) состоит из двух частей: переходного процесса, который затухает, и осциллирующего с частотой приложенного поля вынужденного решения. Нас будет интересовать только вынужденное решение где со\ = к/т, а у = Ь/т. При у Ф 0 коэффициент пропорциональности между х и Е является комплексным числом, откуда следует, что смещение груза и поле изменяются не в фазе. Если известен отклик отдельного осциллятора на монохроматическое электрическое поле, то легко найти оптические постоянные вещества, представляющего собой скопление таких осцилляторов. Наведенный дипольный момент р одного осциллятора есть ex . Если в единичном объеме содержится N таких осцилляторов, то поляризация Р (дипольный момент единичного объема) равна Np = Nex, и в соответствии с (1.87) где через a 2=Ne2/ms0 обозначена плазменная частота. Равенство (1.88) представляет собой частный случай материального уравнения Р = є0%Е. Поэтому диэлектрическая проницаемость рассматриваемой системы простых гармонических осцилляторов есть: а ее вещественные и мнимые части равны: Обратим внимание на некоторые важные характеристики осцилляторной модели. Область сильного поглощения на частотах вблизи со0 порождает связанную с ней область сильного отражения (при условии, что в этой области А:»1). Из-за высокой отражательной способности за ограничивающую вещество поверхность проникает только малая часть света, которая быстро там затухает. По обе стороны от резонансной области п возрастает с увеличением частоты, и это явление называют нормальной дисперсией. Уменьшение п с ростом частоты имеет место лишь в непосредственной близости от резонансной частоты — в области аномальной дисперсии. Для частот, много меньших резонансной (co z:co0), вещественная и мнимая части (1.90) принимают вид: Мнимая часть стремится к нулю как со, а вещественная обращается в константу, значение которой зависит от концентрации осцилляторов и их массы.
Спектральный метод расчета магнитной восприимчивости
Рассмотрим отклик ферромагнитного образца на электромагнитное поле СВЧ диапазона. Поскольку рассматривается магнитная система, то обычно ищется связь вектора намагниченности образца с напряженностью магнитного поля электромагнитной волны. Поскольку функции h(f) в (2.11) и M(t) в (2.1) удовлетворяют условию существования спектра, то применение спектрального метода для расчета высокочастотной магнитной восприимчивости является теоретически обоснованным [97]. Выражаясь в терминах теории цифровой обработки сигналов, частотную характеристику системы или, что аналогично в классической электродинамике, динамическую магнитную восприимчивость можно, в случае отсутствия зависимости намагниченности от постоянного магнитного поля, найти непосредственно по формуле: Используя выражение (2.17), нахождение /(со) не представляет вычислительных трудностей, т.к. использование дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для больших массивов данных в настоящее время проводится с помощью широко известных алгоритмов БПФ (алгоритма Кули-Тюки с прореживанием по времени и частоте, алгоритма Винограда и т.п.), существенно ускоряющих процесс вычислений, позволяющих проводить обработку в режиме реального времени и входящих во все современные математические пакеты вычислений [28, 97]. В качестве исследуемого образца авторами была выбрана пермаллоевая сфера радиусом 0,5 мкм с однодоменной структурой, напыленная на тонкую немагнитную подложку. Полученная динамика намагниченности этой сферы была использована для расчета ее восприимчивости.
Были взяты следующие входные параметры: параметр затухания а - 0,5; гиромагнитное отношение Ландау-Лифшица у - 2,21-10 Гц-м/А, намагниченность насыщения пермаллоя Ms = 860-10 А/м, размер ячеек сетки — 20 нм по всем трем осям. Направление возмущающего магнитного поля h(t) = h0smcoot было выбрано вдоль оси Y, h0— 100 А/м, COQ— 57Г-109 Гц. Все расчеты проведены в предположении равенства нулю энергиичсристаллографической анизотропии. Далее, полученное трехмерное распределение намагниченности в элементах сетки для эквидистантных дискретных моментов времени усреднялось по объему. В результате чего, была получена динамика среднего значения намагниченности по объему M(t). В силу того, что падающее переменное поле подавалось в направлении оси Г, для расчета была выбрана именно Г-компонента намагниченности, как реакция системы на воздействие падающего поля. Так как речь в дальнейшем будет идти только об этой компоненте, то мы не будем приписывать намагниченности какого-либо индекса. Ниже изложена подробная схема вычислений, дополняющая авторов [81-87] и приведены результаты вычислений магнитной восприимчивости для двух пермаллоевых сфер различного радиуса. 1. Как известно, практически во всех динамических процессах имеет место наличие переходных процессов. Поэтому решение линеаризованного уравнения (1) представляет собой суперпозицию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: характерный вид которого представлен на рисунке 2.1. Общее решение однородного уравнения, соответствующее переходному процессу (transient) в случае одноосцилляторной модели магнитной среды имеет вид: частное решение Mst(t), соответствующее установившемуся процессу, поскольку именно оно определяет резонансные частоты исследуемой системы, т.е. переходный процесс никоим образом не влияет на характеристики магнитной среды и ее параметры определяются только кривой намагниченности установившегося режима, что не было, например, учтено в работе [82].
Отметим также, что модели многих сред [93, 95, 96], в том числе магнитных, удачно описываются одно- или двухосцилляторной моделями. Наши расчеты показали, что исключение переходного процесса из динамики намагниченности представляется практически возможным при следующих значениях феноменологического параметра диссипации в уравнении Ландау-Лифшица-Гильберта: а 0,05. 2. Пользуясь алгоритмом БПФ в форме Кули-Тюки с прореживанием по времени, вычислим спектр намагниченности, рассчитанной в предыдущем пункте 1, за вычетом переходного процесса, оканчивающегося уже через 5 не. Тип весового окна - прямоугольное, тип спектра - двусторонний. Наиболее представительная часть амплитудного спектра, нормированного на
Магнитная восприимчивость массива наноразмерных полос
В данном разделе был проведен расчет отклика на переменное высокочастотное возмущающее поле системой, состоящей из трех пермаллоевых полос, напыленных на тонкую немагнитную подложку, представленной на рисунке 3.4. Их геометрия была выбрана так, что каждая из этих полос допускала использование однодоменного приближения. Значения их ширины Ъ изменялись от 10 до 30 нм, при неизменности других параметров: а = 100 мкм, h = 20 нм. Были взяты следующие параметры: коэффициент затухания а = 0,5; гиромагнитное отношение Ландау-Лифшица у ==2,21-105 Гц-м/А, намагниченность насыщения пермаллоя Ms= 860-10 А/м, поле кристаллографической анизотропии # = 412 А/м, размер ячеек сетки - 1 нм по всем трем осям. Направление возмущающего магнитного поля h(i) = /?0sincoo было выбрано вдоль оси Y, /г0 = 100 А/м, со0= 571-109 Гц. Анализ результатов позволяет утверждать, что имеется зависимость частоты ферромагнитного резонанса от ширины наноразмерных полос. Это обусловлено существенным влиянием магнитного дипольного взаимодействия, а также влиянием обменного взаимодействия полос друг с другом, т.е. для данной системы велико влияние квантовых эффектов, удачно описываемых используемым в рамках настоящей диссертации квазиклассическим уравнением Ландау-Лифшица. С увеличением ширины полос происходит уменьшение частоты ферромагнитного резонанса, а также уширение резонансных пиков и рост их амплитуды. В данном разделе был проведен расчет отклика на переменное высокочастотное поле системой, представленной на рисунке 3.6 и состоящей из девяти пермаллоевых цилиндрических точек, напыленных на тонкую немагнитную подложку. Геометрия точек выбрана так, что каждая из них является однодоменной. Значения расстояния между ними а изменялись от 0 до 40 нм, при неизменности других параметров: d = 10 нм, h — 5 нм. Были взяты следующие параметры: коэффициент затухания а = 0,5; гиромагнитное отношение Ландау-Лифшица у = 2,21-105 Гц-м/А, намагниченность насыщения пермаллоя Ms— 860-10 А/м, поле кристаллографической анизотропии /4 = 412 А/м, размер ячеек сетки - 0,5 нм по всем трем осям. Направление возмущающего магнитного поля h(f) = /z0sinco0 было выбрано вдоль оси Y, ho = 100 А/м, со0= 5%-109 Гц.
Результаты вычислений мнимой части высокочастотной магнитной восприимчивости такой системы приведены на рисунке 3.7. Ее структура, как видно из рисунка, более сложная. Анализ результатов позволяет утверждать, что имеется сильная зависимость частоты ферромагнитного резонанса от расстояния между наноразмерными точками. Это обусловлено влиянием сильного магнитного дипольного взаимодействия, а также вкладом обменного взаимодействия, т.е. для данной системы также как и в предыдущем случае, велико влияние квантовых эффектов. Важным для этого случая является возникновение второго резонансного пика на низшей частоте - это вклад, сильного магнитного дипольного взаимодействия. Увеличение расстояния приводит к незначительному изменению частоты главного резонансного пика, причем изменение резонансного пика на низшей частоте весьма существенно - как по частоте, так по амплитуде и ширине. Рассмотренные в настоящей главе примеры позволяют увидеть новые эффекты, возникающие при моделировании наноразмерных структур, а также могут быть полезны для дальнейших изысканий в области электродинамики наноразмерных структур. В ходе научного исследования, проведенного в рамках представленной диссертации, были достигнуты следующие результаты: 1) получено строгое решение задачи о рассеянии плоской гармонической электромагнитной волны линейной поляризации на сфероидальной частице, а также получены асимптотические выражения для нахождения полей в дальней зоне; 2) найдено новое условие применимости рэлеевского приближения, справедливое для сферических органических и неорганических материальных сред в широком диапазоне значений их материальных характеристик, которое упрощает анализ интерпретации экспериментальных данных; 3) создан пакет прикладных программ для расчета характеристик рассеянного поляризованного света материальными частицами сферической и сфероидальной формы с учетом дисперсии и поглощения в приближении однократного рассеяния; 4) показана невозможность получения приближения рэлеевского рассеяния для сфероидальных частиц в виде, подобном полученному диссертантом новому приближению для сферических частиц; 5) обнаружено, что для сфероидальных частиц вблизи резонансной частоты обратное рассеяние в большинстве случаев превалирует над рассеянием в прямом направлении; 6) показана невозможность применимости приближения рэлеевского рассеяния для сред, описываемых одно- и двухосцилляторными моделями вблизи их резонансных частот;
