Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Применение резонансных свойств сферических частиц в задачах оптической диагностики 13
1.1. Диэлектрические резонаторы микронных размеров в оптическом диапазоне 14
1.1.1. Сенсоры поверхностного слоя 14
1.1.2. Датчики смещений и ускорений 19
1.1.3. Резонаторно-улучшенная спектроскопия 20
1.1.4. Квантовая электродинамика резонатора 22
1.2. Оптически менее плотные частицы 23
1.3. Металлические наночастицы 23
1.3.1. Поверхностно-усиленная спектроскопия 23
1.3.2. Визуализация тканей и фототермическая терапия 26
1.3.3. Оптическая микроскопия ближнего поля 27
1.3.4. Биосенсоры на металлических наночастицах 30
Глава 2. Оптические поля в сферических частицах. Особенности резонансного возбуждения . 35
2.1. Собственные колебательные моды в прозрачных частицах 40
2.2. Электромагнитные поля в оптически менее плотных частицах 46
2.3. Особенности рассеяния света металлическими наночастицами 47
2.3.1. Плазмонные резонансы 47
2.3.2. Модель Друде-Лоренца 51
2.3.3. Размерный эффект 54
2.4. Плазмонные резонансы в диэлектрических наночастицах, покрытых металлическим слоем 60
Глава 3. Структура спектра поглощения и резонансное накопление энергии в прозрачных сферических частицах . 63
3.1. Энергия, накопленная внутри и снаружи резонатора 66
3.2. Алгоритм поиска резонансов на неравномерной сетке 69
3.3. Результаты расчетов спектра поглощения 72
3.4. Результаты расчетов накопленной электромагнитной энергии 76
3.5. Выводы к главе 3 79
Глава 4. Влияние тонкого поверхностного слоя на параметры резонансов и на характеристики рассеяния сферических частиц . 80
4.1. Модифицированные граничные условия в сферической системе координат 83
4.2. Уравнения для парциальных амплитуд 85
4.3. Влияние анизотропного поверхностного слоя на резонансы кварцевых шариков: результаты расчетов 89
4.4. Выводы к главе 4 93
Глава 5. Рассеяние света металлическими и металло-диэлектрическими наночастицами 96
5.1. Рассеяние света металлическими наночастицами 96
5.2. Рассеяние света диэлектрическими наночастицами, покрытыми тонким металлическим слоем 102
5.3. Выводы к главе 5 113
Глава 6. Электромагнитные резонансы газовых пузырьков в жидкости 114
6.1. Введение 114
6.2. Расчетные формулы 115
6.3. Результаты и обсуждение 116
6.4. Оптическое погружение: давление света на газовые пузырьки. 126
6.5. Выводы к главе 6 130
Глава 7. Дипольная поляризуемость сферических частиц 131
7.1. Введение 131
7.2. Поляризуемость шара в теории Ми 134
7.3. Дисперсия дипольной поляризуемости. Результаты расчетов для СВЧ сегнетоэлектрических резонаторов 136
7.3.1. Поле излучения в дальней зоне 136
7.3.2. Применимость дипольного приближения в ближней зоне. 143
7.4. Применимость дипольного приближения для описания рассеяния наночастицами в оптическом диапазоне 147
7.5. Выводы к главе 7 150
Основные результаты и выводы 152
Литература
- Сенсоры поверхностного слоя
- Электромагнитные поля в оптически менее плотных частицах
- Алгоритм поиска резонансов на неравномерной сетке
- Влияние анизотропного поверхностного слоя на резонансы кварцевых шариков: результаты расчетов
Введение к работе
Общая характеристика работы Актуальность темы исследования:
Исследование резонансного рассеяния света сферическими частицами является важным в многочисленных задачах как фундаментального, так и прикладного характера. Общая постановка задачи о дифракции электромагнитной волны на шаре была исследована в работах Ми [1] и Дебая [2]. Эти работы легли в основу оптики коллоидных сред и капельных аэрозолей. Кроме того, в биологии, медицине, радиофизике, ближнепольной микроскопии и других областях науки и техники широко развиты приложения теории Ми, связанные с применением металлических наночастиц и диэлектрических частиц микронных размеров.
По отношению к падающей электромагнитной волне сферические диэлектрические частицы являются объемными открытыми резонаторами, в которых возбуждаются вынужденные колебания. Последние эксперименты показывают, что добротность таких резонаторов, изготовленных из диэлектрика с низкими потерями, может достигать 1010 [3]. Высокие добротности таких частиц явились стимулом для развития целого ряда как научных направлений, так и технических приложений. Среди них можно отметить такие, как нелинейная оптика, квантовая электродинамика резонатора, резонаторно-улучшенная спектроскопия, а также создание на базе сферических диэлектрических частиц твердотельных лазеров, датчиков смещений и ускорений, сенсоров поверхностного слоя, биосенсоров, стабилизаторов частоты лазеров и СВЧ генераторов.
В металлических наночастицах на оптических частотах тоже возбуждаются вынужденные колебания, правда, меньшей добротности. Это коллективные колебания электронов проводимости, вызванные действием электромаг-
нитного излучения. Такие резонансы называют локализованными плазмон-поляритонными, или кратко - плазмонными. Они могут существовать в металлических наночастицах, когда действительная часть диэлектрической проницаемости вещества шара меньше нуля, что соблюдается для частот, меньших плазменной. Резонансные свойства наночастиц легли в основу развития целого ряда научных направлений и технических приложений. Среди них можно отметить такие, как поверхностно-усиленная спектроскопия, оптическая микроскопия ближнего поля, визуализация биологических тканей, фототермическая терапия, доставка лекарственных препаратов. Широкое распространение получили также биосенсоры и маркеры биоспецифических взаимодействий на металлических наночастицах.
Широта различных применений сферических частиц обусловлена не только их уникальными свойствами, но и универсальностью оптических методов. Оптические методики регистрации и исследования наночастиц и диэлектрических частиц микронных размеров а также поверхностных слоев на них являются наиболее удобными, быстрыми по сравнению с другими и неразру-шающими. В связи с этим первая цель настоящей диссертационной работы состоит в исследовании рассеяния света на сферических частицах и оценке перспектив применения обнаруженных закономерностей в оптическом диапазоне.
В ряде приложений остро стоит задача дистанционной диагностики поверхностного слоя, толщина которого в зависимости от системы варьируется от субмикронных до мономолекулярных размеров (Ю-7 - Ю-10 м). Существует широкое разнообразие датчиков и методик детектирования вещества поверхностного слоя. К ним можно отнести эллипсометрию, датчики на поверхностных плазмон-поляритонных волнах, интегрально-оптические интерферометры Маха-Цендера, дисковые резонаторы, а также сферические микрорезонаторы с различными элементами связи. Все эти устройства являются
весьма чувствительными и широко используемыми в различных областях науки и техники. Датчики, в которых используются резонансные эффекты, являются наиболее чувствительными среди них, однако, они требуют элементов связи для подвода лазерного излучения. Это могут быть растянутые и срезанные оптические волокна, призмы, планарные волноводы. Элементы связи должны находиться вплотную к резонансным датчикам. Такие конструктивные особенности требуют специального аппарата для ввода и вывода исследуемого вещества в сенсоры, что во многих аспектах применения является желательным свойством. Однако есть задачи, в которых нет возможности обеспечить подвод вещества в сенсор, например, когда требуется удаленно и непрерывно (не разово, путем взятия пробы) контролировать показатель преломления жидкости или газа в потоке или когда объект исследования находится в герметичной камере с прозрачным окном, в которую подвод дополнительных коммуникаций затруднен. Примером последней задачи может быть проблема контроля толщины слоя в вакуумной камере установки по ионному осаждению. Во всех этих случаях востребован датчик, который позволяет удаленно регистрировать состояние поверхностного слоя. Причем желательно, чтобы датчик не требовал внешнего электропитания и работал автономно. Всем этим требованиям удовлетворяет сферический диэлектрический микрорезонатор, который возбуждается плоской волной или гауссовым пучком. Кроме того, часто требуется заменить регистрирующую часть сенсора в результате того, что на ней адсорбировалось или хемисорбировалось вещество, которое затруднительно удалить. Сферический диэлектрический резонатор не дорог в изготовлении и легко может быть заменен, при этом регистрирующее оборудование остается неизменным. В связи с этим вторая цель настоящей диссертационной работы состоит в исследовании возможности улучшения характеристик сенсоров поверхностного слоя на диэлектрических резонаторах высокой добротности.
Еще одной актуальной задачей можно считать контроль качества металлических наночастиц. В настоящее время оптические методики уже нашли широкое применение в производстве композитных материалов, содержащих наночастицы. В частности, по частотной зависимости плазмонного резонанса осуществляется регистрация размеров металлических наночастиц, оценивается степень разброса их размеров. Для широкого круга приложений интересны металлодиэлектрические наночастицы, представляющие собой диэлектрические наночастицы, покрытые тонким поверхностным слоем металла. Требуют решения вопросы оптической диагностики однородности слоя, оценки дисперсии толщин слоев в таких частицах. Оценка распределения толщин слоев и их неоднородности важна в связи с тем, что толщина слоя влияет на поглощающие свойства частиц, а однородность - на усиление напряженности электрического поля. В связи с этим третья цель настоящей диссертационной работы состоит в развитии оптических методов диагностики коллоидных сред, состоящих из металлодиэлектрических частиц, в частности методов оценки параметров распределения толщин металлических слоев.
Основными задачами диссертационной работы являются:
Исследование структуры спектра поглощения и резонансного накопления энергии в прозрачных сферических частицах в широком диапазоне параметров дифракции, выявление закономерностей, связанных с резонансным возбуждением.
Создание математической модели рассеяния плоской электромагнитной волны на сферической частице с анизотропным и (или) гиротропным поверхностным слоем и оценка возможности определения параметров анизотропного поверхностного слоя по характеристикам рассеяния.
Исследование рассеяния света коллоидными средами, состоящими из диэлектрических наночастиц, покрытых тонким металлическим слоем. Оценка возможности определения параметров слоев статистического
ансамбля частиц по угловым индикатрисам рассеяния.
Исследование электромагнитных резонансов газовых пузырьков в жидкости. Оценка возможности регистрации размеров пузырьков по характеристикам рассеяния.
Получение аналитических выражений электрической и магнитной ди-польных поляризуемостей через парциальные амплитуды рассеяния теории Ми. Сопоставление этих выражений с квазистатическими и выявление границ применимости подхода представления сферической частицы парой эквивалентных точечных диполей.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Установлено, что резонансные пики на зависимостях эффективности поглощения и накопленной энергии от параметра дифракции в диэлектрических шарах с низкими потерями сгруппированы в отдельные серии мод с одинаковым радиальным индексом, причем огибающие серий имеют подобный вид.
Впервые получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на сферической частице с тонким анизотропным и (или) гиротропным поверхностным слоем. При этом свойства слоя учитываются в граничных условиях путем введения тензора поверхностной поляризуемости.
Предложен способ определения компонент тензора поверхностной поляризуемости тонкого анизотропного поверхностного слоя сферического кварцевого микрорезонатора. Метод основан на регистрации вызванных появлением слоя изменения параметров пары близких по частотам ТЕ и ТМ мод: сдвигов собственных частот и изменению добротностей.
Исследовано влияние размерного эффекта, приводящего к анизотро
пии тонкого металлического слоя, на угловые индикатрисы рассеяния
металлодиэлектрических наночастиц.
Предложена модель, которая позволяет находить индикатрисы рассеяния коллоидных сред, состоящих из двухслойных наночастиц с анизотропным поверхностным слоем. При этом возможен учет статистического распределения частиц по размерам, слоев по толщинам и анизотропии слоев, вызванной размерным эффектом проводимости.
В рамках предложенной модели решена обратная задача нахождения статистических параметров слоев (средней толщины и дисперсии) методом минимизации функционала среднеквадратичного уклонения теоретических угловых индикатрис рассеяния от экспериментальных.
Исследованы условия представления рассеянного поля сферической частицы в виде поля двух точечных диполей. Показано, что границы применения дипольного приближения можно существенно (в 3-9 раз) расширить за пределы, установленные условием квазистационарности, при условии расчета поляризуемости с использованием формул парциальных амплитуд рассеяния теории Ми. Найдено, что для частиц с высокой диэлектрической проницаемостью дипольное представление является приближенно верным не только в дальней, но и в ближней зоне.
Практическая значимость работы:
Результаты работы могут быть использованы для улучшения характеристик сенсоров поверхностного слоя на основе сферических диэлектрических микрорезонаторов, в частности для регистрации анизотропных и гиротроп-ных слоев.
Разработана методика определения статистических параметров металлических слоев (средней толщины и дисперсии) ансамбля металлодиэлектри-ческих наночастиц по угловым индикатрисам рассеяния. При этом размеры частиц могут быть меньше длины волны падающего излучения.
Положения, выносимые на защиту:
Показано, что возможно определение всех компонент тензора поверх-
ностной поляризуемости тонкого анизотропного поверхностного слоя сферического диэлектрического микрорезонатора путем регистрации вызванных появлением слоя изменений параметров пары близких по частотам ТЕ и ТМ мод: сдвигов собственных частот и изменению добротностей.
Индикатрисы рассеяния коллоидных сред, состоящих из покрытых тонким металлическим слоем диэлектрических наночастиц, являются физическими характеристиками, по которым возможно определение статистических параметров поверхностных слоев (средней толщины и дисперсии).
Максимальные размеры сферических частиц, при которых справедливо их представление парой эквивалентных точечных диполей, от трех до девяти раз больше (в зависимости от параметра дифракции и вещества шара), когда поляризуемость определена через точные формулы теории Ми, чем в случае использования квазистатических выражений поляризуемости.
Апробация работы и публикации:
Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции "Физика и применение микроволн". (Звенигород, 2005); Международной конференции "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 2005); Международной конференции "Materials for Advanced Technology I Advanced Materials" (Singapore, 2005); Международной конференции "ICONO/LAT 2005" (Санкт Петербург, 2005); Всероссийской конференции "Волновые явления в неоднородных средах." (Звенигород, 2006); Всероссийской конференции "Физика и применение микроволн." (Звенигород, 2007), а также на семинарах кафедры физики колебаний физического факультета МГУ.
Основные результаты диссертации опубликованы в 6 тезисах конференций [4-9]. 5 статьях [10-14] и одном препринте [15].
Личный вклад соискателя:
Результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем или в соавторстве при его определяющем участии.
Структура и объем диссертации:
Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, списка литературы. Она состоит из 178 страниц, в том числе из 153 страниц текста, включает 39 рисунков, 4 таблицы и библиографию, состоящую из 246 наименований.
Сенсоры поверхностного слоя
В настоящее время перспективными являются биосенсоры на основе высокодобротных оптических сферических микрорезонаторов [3,31,45—49]. Такие сенсоры, как правило, изготавливают из плавленого кварца оплавлением конца волокна кислородно-водородной горелкой [3,49-54], лазером, или стандартными устройствами для сращивания волокон [52,55,56]. "Устройства предназначены для определения свойств молекул или микроорганизмов, находящихся на их поверхности. Они обладают несколькими свойствами, являющимися желательными для решения подобных задач, которые включают: 1) высокую чувствительность (подробнее ниже); 2) неразрушаемость образца; 3) высокую селективность исследуемых веществ (в случае,покрытия поверхности веществами - агентами) и 4) применимость к различным веществам. На поверхности таких сенсоров могут иметь место процессы преобразования частоты (например, флуоресценция, вынужденное комбинационное рассеяние), изменение реальной и мнимой частей показателя преломления. Перечисленные процессы могут быть использованы для обнаружения молекул практически любого типа: химических, предбиологических и биологических, и для обнаружения микроорганизмов [31].
Работа биосенсоров на микросферах основана на возбуждении неоднородной волны, распространяющейся вдоль поверхности устройства. Этот принцип лежит в основе целого класса биосенсоров вытекающего поля, к которому можно также отнести устройства на диэлектрических волноводах, кольцевых резонаторах, призменных элементах [57]. В зависимости от вещества, из которого изготовлен сенсор, и показателя преломления среды с исследуемым образцом, вытекающая волна выходит за пределы регистрирующей области устройства на расстояния р от 100 до 140 нм [58] (на этих расстояниях амплитуда напряженности электрического поля уменьшается в е раз) и взаимодействует только с веществом вблизи его поверхности.
Сенсоры вытекающей волны на призменных [57] и волоконно-оптических элементах [59], а также устройства, использующие метод эллипсометрии [60,61] и поверхностные плазмон-поляритонные волны [58,62,63], позволяют регистрировать только изменение реальной части показателя преломления поверхностного слоя, потери при этом предполагаются малыми. Сферические резонаторы позволяют регистрировать изменение как реальной части показателя преломления поверхностного слоя, так и мнимной. Изменение реальной части показателя преломления слоя приводит к изменению эффективного радиуса резонатора и, соответственно, к сдвигу его собственных частот [3]. В то же время образование поверхностного слоя ведет к увеличению поглощения и рэлеевского рассеяния. Оба эффекта ухудшают добротность микрорезонатора, изменение которой также может быть зарегистрировано и пересчитано в значение мнимой части показателя преломления поверхностного слоя.
После инжекции анализируемого вещества в среду вокруг сенсора, возможны две ситуации: 1) будет происходить однородное изменение показателя преломления среды, в этом случае сенсор будет действовать как дифференциальный рефрактометр; 2) анализируемое вещество будет адсорбироваться на поверхности сенсора или химически связываться с ней. Отметим, что после изготовления или отожжения, резонаторы совершенно неспецифичны, на их поверхности может адсорбироваться широкий спектр веществ: органические (белок, ДНК, РНК или их части) или неорганические (например вода). Поверхностная обработка, например антителами или цепочками олигонуклео-тидов (частями молекул ДНК или РНК) обеспечивает специфичность анализируемого вещества: сенсор будет детектировать связи, комплементарные (противоположные) нанесенным на поверхность. Два условия должны быть выполнены для химического модифицирования поверхности микросфер. Сначала поверхность должна быть покрыта компонентом, который минимизирует неспецифичное связывание. Потом какое-нибудь антитело или другое биоспецифическое вещество, связывающееся только с искомым веществом (является комлиментарным ему), должно быть связано с микросферой таким путем, чтобы оба свойства: функциональность биоматериала и высокая добротность микросферы были сохранены. Тонкая пленка материала с толщиной меньшей, чем у вытекающего поля мод жепчущей галереи (МШГ), не будет значительно изменять добротность Q микро-резонатора; и таким образом, слой толщиной до 100 нм может быть нанесен на резонатор с сохранением его высокой добротности.
Электромагнитные поля в оптически менее плотных частицах
Расчет электромагнитного поля в воздушных пузырьках в воде и в их окрестности нетрудно произвести по формулам (2.1) и (2.2). При этом иногда расчет приходится проводить для широкого диапазона длин волн падающего излучения. Расчет электромагнитного поля для пузырька в воде представлен на рис. 2.7. На нем видно, что поле рассеянного излучения сосредоточено в основном в направлении вперед. В пузырьках поле представляет собой сумму многих мод [15], добротности которых малы, то же самое можно сказать и о каплях, при нерезонансном возбуждении. Но, в отличие от капель, пузырек является рассеивающей линзой, а не собирающей. Нетрудно заметить, что в ближней зоне, в сечении пузырька будут наблюдаться неоднородности поля, характерный пространственный размер которых порядка длины волны падающего излучения. Ни при каких условиях в пузырьках и вне их не наблюдаются высокие концентрации электромагнитного поля, хотя в эффектах сонолюминесценции, при схлопывании пузырька наблюдаются световые вспышки, соответствующие очень высоким температурам, (106 К) [172]. Рассеяние света металлическими наночастицами привлекает интерес современных исследователей в связи с развитием нанотехнологий и созданием датчиков и детекторов различных видов (см. гл. 1). Теоретические расчеты их характеристик рассеяния возможны в рамках теории Ми, однако требуют корректного учета оптических свойств металлов.
Широко известно, что на поверхности металла могут распространяться поверхностные плазмон-поляритоны (англоязычный термин - surface plas mon polariton), которые являются связанными модами фотонов и плазмо-нов (см. монографии: [29,36,37,173-175], а также обзорные статьи [121,176]). Поверхностные плазмон-поляритоны являются неизлучающими модами, следовательно их нельзя напрямую возбуждать электромагнитным излучением. Для их возбуждения требуются методы, в которых реализована связь с внешним излучением, например путем применения призменного элмента связи или дифракционной решетки. Модели таких коллективных колебаний базируются на допущении, что поверхность металла неограничена как минимум в од ном измерении.
Когда металл пространственно ограничен во всех измерениях - имеют место локализованные плазмон-поляритоны или, далее, плазмонные резо-нансы [28,39-44,121,131,132,176]. Поскольку электромагнитные поля плаз-монных резонансов излучаются в открытое пространство, эти моды можно возбуждать непосредственно падающим электромагнитным излучением. В средах, содержащих множество металлических частиц, будет происходить отбор мощности падающего излучения, и эффект возбуждения плазмонных резонансов будет проявляться в традиционных спектроскопических измерениях (например в измерениях поглощения или рассеяния).
В работах по исследованию металлических наночастиц, часто .пользуются понятием частоты плазмонного резонанса О, которую вводят, как частоту, при которой достигается максимум эффективности экстинкции [17,145,177-179]. Следует отметить, что резонансная частота колебаний в пространственно ограниченных металлах О, может заметно отличаться от частоты плазмонного резонанса в объемных средах шр. Это нетрудно показать, воспользовавшись соотношением для эффективности экстинкции в длинноволновом приближении [17,145,177-179]: (е2)М 7- о - (е//)2 + (е/ + 2е2у Cextо = limCext = , 2 . / / . —Г2# (2-11) где єі = і + іє", Є2 = е 2-\- іє2 , є2 = 0- диэлектрические проницаемости вещества шара и окружающей среды.
Существуют различные теоретические модели, описывающие оптические свойства объемных металлов. Среди них можно выделить квантовые и полуклассические. Расчет в рамках квантовых моделей сложен, и до сих пор не всегда хорошо согласуется с результатами экспериментов [185,186]. С другой стороны, полуклассическая модель Друде-Лоренца хорошо описывает поведение металлов в СВЧ и ИК диапазонах (см. монографии: [29,36,37,173-175], а также обзорные статьи [121,176]). В этих диапазонах вклад межзонных переходов ничтожно мал, и металлы целесообразно рассматривать как пространственно ограниченную плазму свободных электронов проводимости и неподвижных положительно зараженных ионов (представляющих собой ядра вместе с вращающимися вокруг них орбитальными электронами). В отсутствие внешнего воздействия отрицательно заряженное облако электронов проводимости и положительно заряженное облако ионов перекрывают друг друга, и в континуальном приближении в каждой пространственной точке проводника суммарный заряд равен нулю (если он не был предварительно заряжен электростатически). Под воздействием внешнего возмущения, например электронного пучка или электромагнитного излучения, облако электронов смещается относительно тяжелых неподвижных ионов. Суммарный заряд в отдельных пространственных областях становится нескомпенсированным, начинают действовать кулоновские силы, стремящиеся вернуть электроны в положение равновесия.
Алгоритм поиска резонансов на неравномерной сетке
Основная трудность при вычислении зависимостей Cabs(q), Csca(q), Cext(q), Cpr(q), Win(q), Woutio) состоит в достижении сочетания высокой точности и приемлемой скорости расчетов. Малая ширина резонансов по сравнению с расстоянием между ними требует малого шага и большого количества точек по q. Если шаг выбран недостаточно малым, то могут быть упущены особенности, связанные с возбуждением наиболее добротных мод шепчущей галереи [166]. Такие пропуски становятся почти неизбежными при расчете панорамных зависимостей в большом диапазоне параметров дифракции. Получаемые при этом графики (см., например, работы [17,148], рис. 3.2.а) указывают на существование резонансных всплесков, однако не способны дать правильное представление об их амплитудах, добротностях и собственных частотах. Отмеченные недостатки отсутствуют в предложенном ниже подходе с использованием неравномерного шага.
Подход расчета на неравномерной сетке основан на создании массивов величин, характеризующих моды. В них входят резонансные значения параметров дифракции qres(n,l), добротности Q(n,l) и резонансные значения парциальных амплитуд внутри резонатора еЛП);, "M.n . Заполнение элементов массивов происходит по следующему алгоритму. Для фиксированного номера моды п, который присутствует явно в выражениях теории Ми, строились зависимости одной из двух парциальных амплитуд тДг(д) или eAn(g)j (рис. 3.3), в зависимости от типа исследуемой моды (ТЕ или ТМ). Они состоят из серии резонансных пиков. Их нумерация, начиная с меньших параметров дифракции, соответствует радиальному индексу I. Последний явно не присутствует в выражениях теории Ми, поэтому был создан простой алгоритм нахождения и нумерации локальных максимумов указанных функций. После того, как резонанс детерминирован, производятся вычисления десятка точек mAn(q) (или eAn(q)) в окрестности данного резонанса, а затем они аппроксимируются методом наименьших квадратов резонансными кривыми общепринятого вида: \eAn(q)\-2 = \eAres (n, /)2 [1 + Q2 (n, I) (1 - g2e , l)/q2)] . (3.9) Причем алгоритм аппроксимации основан на нахождении интересующих параметров: \eAres (п, 1)\ (или \mAres(n,l)\), Q(n,l) и qres(n,l). Таким образом, все три интересующие характеристики можно вычислить небольшим количеством итераций. Следует отметить, что есть работы [208,209], в которых предложены аналитические формулы для нахождения собственных частот амплитуд и добротностей резонансов. Однако использование этих формул затруднительно. Вычисление собственных частот требует нахождения корней функции Эйри, что по трудоемкости (для больших номеров и параметров дифракции) является сопоставимым с вычислением парциальных амплитуд теории Ми.
Расчет коэффициентов eAn{q) и mAn(q) для первых двух мод (n = 1, 2) производился с постоянным шагом, выбираемым так, чтобы в окрестности каждого резонанса имелось не менее десяти точек. Для третьей и последующих мод, на основе информации о предыдущих двух модах, делалось предсказание резонансной частоты qres(n, I) и добротности Q(n, I). Причем учитывалось то обстоятельство, что зависимость собственных частот qres от номера п при / = const почти линейна, а добротность монотонно растет с ростом номера п. В окрестности предсказанной точки q = qres{n І) с приемлемым шагом (не менее десяти точек на максимум), определяемым добротностью и резонансной частотой Idq = Aq/10 = qres/ Q 10 J программа, как правило, находила резонанс. В случае, когда первоначальная оценка резонансной частоты была не точной, вычислялись дополнительные точки, расширяющие окрестность поиска. После регистрации резонанса, выборка рассчитанных точек обрабатывалась методом наименьших квадратов. В результате обработки находились характеристики резонансов и записывались в базу данных.
Построение зависимостей Cabs{q), Csca(q), Cext(q), Cpr(q), Win(q), Wmt( l), проводилось следующим образом. Вначале проводился расчет по формулам (3.3) во всем интервале q с постоянным шагом. Шаг можно было варьировать в зависимости от требуемой точности, например для эффективности поглощения, представленной на рисунке 3.2.6, был взят шаг & 0.4. К результатам, вычисленным при постоянном шаге, добавлялись отсчеты, соответствующие окрестностям резонансов (п, /), обычно по 10 точек на резонанс.
Подход с использованием неравномерной сетки позволяет существенно сэкономить количество отсчетов. Например, в расчет зависимости Cabs(o) (рис. 3.2) было включено около 2000 резонансов, имевших достаточно большую амплитуду по сравнению с пьедесталом. Таким образом, на интервале q от 0 до 380 располагалось примерно 20000 точек неравномерной сетки. Если бы расчет велся с постоянным шагом, то при Q 105 следовало бы брать шаг Aq Ю-4 и тогда потребовалось бы на интервале вычислений брать гораздо больше точек, около 4 106. Таким образом описанный алгоритм позволяет, не упуская участков резонансного поведения, существенно сэкономить время вычислений.
Выше было отмечено, что в диэлектрических шарах с низкими потерями зависимость Cabs{q) имеет две составляющие: "пьедестал", монотонно возрастающий с ростом параметра дифракции, и серию узких резонансных пиков. Причем на панорамных зависимостях резонансы некорректно отображаются при использовании равномерной сетки (рис. 3.2.а). Вместе с тем, применение алгоритма п.3.2. позволяет корректно проводить расчеты Cabs{,q) Д-, демонстрация такого расчета приведена на рисунке 3.2.6).
Результаты расчетов Cabs(q) для диэлектрических шаров с низкими потерями демонстрируют, что резонансные пики сгруппированы в отдельные серии с одинаковым радиальным индексом, причем огибающие серий имеют подобный вид. В области пьедестала кривая эффективности поглощения формируется за счет суммирования вкладов от резонансов ТМ П)і, ТЕ/)Пд с большими порядками I п. Эти резонансы соответствуют волнам, для которых условия полного внутреннего отражения не выполняются. Как видно на рис. 3.3, добротности этих резонансов низки, а осцилляции соседних мод при суммировании компенсируют друг друга.
Влияние анизотропного поверхностного слоя на резонансы кварцевых шариков: результаты расчетов
Существует многообразие сенсоров поверхностного слоя, основными регистрирующими элементами которых являются сферические диэлектрические резонаторы с малыми потерями [3,48,51,64,69], подробный обзор их характеристик приведен в п. 1.1.1., там же приведены их преимущества и недостатки. Размеры шаров и их добротности в указанных экспериментальных работах составляли: в [69] d = 30 мкм, Q 2 106; в [48] d = 55 мкм, Q 5 106; в [51] d = 200 мкм, Q 5-Ю5; в [64] d =90..230 мкм и в [3] d =750 мкм, Q = 0.8-1010. В основу расчетов настоящего параграфа положен диаметр шара, равный 300 мкм. Вместе с тем, материальные параметры были выбраны с низкими потерями т\ — 1.457 4- 1.2 10-10г, шг = 1. Расчеты показывают, что среди мод с собственными частотами, соответствующими длине волны Л = 633 нм, плоской однородной волной наиболее эффективно возбуждаются имеющие радиальный, полярный и азимутальный индексы I = 33, п = 550, mz = 1 соответственно. Однако в связи с тем, что в отмеченных экспериментальных работах возбуждение происходило неоднородной волной с помощью элементов связи, остановимся подробнее на исследовании соответствующих мод. В этом случае наиболее эффективно возбуждаются резонансы типа "шепчущей галереи" т2 « п.
Частотные зависимости парциальных амплитуд мод с mz — п в задаче рассеяния неоднородной волны на сферической частице, согласно результатам работы [216], аналогичны рассматриваемым в теории Ми с mz = 1 с такими же п и /. Отличие заключается только в эффективности их возбуждения, и, соответственно, амплитуде. Таким образом оказывается возможным использовать классические соотношения теории Ми для оценки частот и добротностей резонансов при возбуждении шара элементами связи. Сдвиги резонансных частот Av и изменения обратных добротностей Да кварцевого шара диаметром 300 мкм вызванные появлением тонкого диэлектрического слоя, характеризуемого кп, кт. Наличие поверхностного слоя приводит к сдвигу частот Аи и изменению добротностей резонансов. В настоящей работе целесообразно пользоваться коэффициентом затухания моды, численно равному ее обратной добротности a = Q-1. Расчет изменений параметров мод в зависимости от материальных параметров анизотропного поверхностного слоя приведен на рисунке 4.1. Для разумных, относительно малых значений компонент тензора поверхностной поляризуемости кт и кп зависимости Av и Да являются линейными, причем на сдвиг частоты влияют только реальные компоненты тензора поверхностной поляризуемости, а на приращение коэффициента затухания - только мнимые. Вместе с тем, на параметры ТЕ мод не оказывает влияния нормальная компонента тензора поверхностной поляризуемости кп. Этот эффект можно объяснить тем, что у этого типа мод отсутствует радиальная компонента электрического поля. Резонансные частоты в результате появления поверхностного слоя уменьшаются, поэтому на рисунке Av отрицательны.
В главе получено аналитическое решение задачи Ми, модифицированной таким образом, чтобы учесть влияние тонкого слоя на поверхности сферической частицы. В качестве характеристики электромагнитного отклика слоя введен тензор поверхностной поляризуемости. Были произведены исследования в рамках полученной модели, которые позволяют сделать ряд выводов. Так, анизотропный поверхностный слой не нарушает сферическую симметрию задачи и не приводит к изменению набора возбуждаемых сферических гармоник по сравнению со стандартной теорией Ми. Если слой обладает оптической активностью (гиротропией), то возбуждаются моды, соответствующие ортогональной поляризации падающего излучения. При этом ТЕ(ТМ) моды исходной поляризации оказываются связанными с ТМ(ТЕ) модами ортогональной поляризации. Следствием возбуждения мод ортогональной поляризации может быть, в частности, изменение диаграмм направленности рассеянного излучения.
Итоговые соотношения модели поверхностной поляризуемости оказываются относительно простыми, сопоставимыми по сложности с формулами стандартной задачи Ми. Они допускают применение и для решения обратной задачи, то есть нахождения компонент тензора поверхностной поляризуемости тонкого анизотропного слоя. Предложен метод нахождения, который основан на регистрации вызванных появлением слоя изменений параметров пары близких по частотам ТЕ и ТМ мод: сдвигов собственных частот и изменению добротностей.
