Содержание к диссертации
Введение
1. Распространение света в неоднородной среде: ВКБ - решение, 2-е приближение 27
1.1. Распространение света в неоднородной изотропной среде 28
1.2. Расчет эллипсометрических параметров 38
1.3. Расчет эллипсометрических параметров отраженного света для сред с различными видами неоднородности 40
1.4. Распространение света в неоднородной анизотропной среде 41
2. Поверхностные поляритоны на границах неоднородных сред 46
2.1. Расчет дисперсионных характеристик поверхностных поляритонов на границе неоднородной изотропной среды 46
2.7.7. Условие квазиклассичности для р-волны 61
2.2. Расчет дисперсионных характеристик поверхностных волн на границе неоднородной анизотропной среды 63
3. Отражение света многокомпонентными реагирующими средами 85
3.1. Расчет динамики эллипсометрических параметров отраженного электромагнитного излучения для газовой реагирующей среды 85
3.2. Динамика эллипсометрических параметров электромагнитного излучения, отраженного неоднородной газовой реагирующей средой 92
Заключение
- Расчет эллипсометрических параметров
- Распространение света в неоднородной анизотропной среде
- Условие квазиклассичности для р-волны
- Динамика эллипсометрических параметров электромагнитного излучения, отраженного неоднородной газовой реагирующей средой
Введение к работе
Актуальность темы. На протяжении последних десятилетий сохраняется интерес исследователей к явлениям отражения и распространения света в неоднородных средах, а также в анизотропных средах с дисперсией. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, развитие лазерной физики постоянно поддерживает интерес к покрытиям, применяемым в качестве зеркал или фильтров в оптических резонаторах. Во-вторых, совершенствуется технология производства жидкокристаллических экранов, поэтому вызывает интерес оптика неоднородных анизотропных сред. В-третьих, в оптоэлектронике появляется необходимость разработки сред со специальными свойствами для оптических логических устройств миллиметрового и субмиллиметрового диапазона. В-четвертых, бесконтактные оптические методы используются для неразрушающей бесконтактной диагностики экологических объектов и биологических растворов.
Изучение оптических явлений в реальных объектах существенно осложняется неоднородностью и анизотропией. Для математического моделирования неоднородности традиционно используется метод характеристических матриц для многослойной среды, или используются усредненные оптические параметры. Если свойства среды являются непрерывными функциями пространственных координат, то и векторы электрического и магнитного полей должны быть непрерывными функциями координат. Слоистая модель учитывает отражения от границ, которых на самом деле не существует, а сшивка на границах слоев искусственно приводит к разрывности полей и «вычислительной» интерференции. Поэтому одной из центральных задач является создание адекватной физической модели распространения света в неоднородной среде.
Поверхностные плазмоны (ПП) обычно возникают на границе металл-диэлектрик. Незначительные изменения толщины или показателя преломления среды приводит к изменению условий резонанса и длины пробега ПП. ПП играют важную роль при анализе свойств поверхности. Резонанс ПП ис- пользуется в медицинских технологиях, в исследовании антител-антигенов, рецепторных взаимодействий, анализа состава гемоглобина (см. [87]). Для расчета условий возникновения ПП используется дисперсионное уравнение для однородного изотропного слоя [76]. Одновременно учет неоднородности и анизотропии выполнен не был, т. к. не существовало адекватной модели для распространения волн в анизотропном неоднородном слое. Актуальной является задача о влиянии анизотропии и неоднородности на условия возникновения ПП, выводе дисперсионных уравнений для ПП; нахождение их решений, а также связь решений со спектрами НПВО.
Энергетические и эллипсометрические параметры отраженной волны могут прямо измеряться в эксперименте. Они определяются оптическими свойствами и несут информацию о химическом составе среды, а также о градиентах концентраций. Оптические методы позволяют исследовать реагирующие многокомпонентные неоднородные системы в их развитии. Интерпретация результатов эллипсометрического эксперимента существенно зависит от теоретической модели объекта.
Научная новизна диссертации - впервые развит математический матричный аппарат второго приближения ВКБ для решения задачи о распространении электромагнитных волн в неоднородной среде с одновременным учетом анизотропии; впервые найдены дисперсионные уравнения для поверхностных волн, возникающих на границе неоднородной изотропной и неоднородной анизотропной сред, получены их решения для неоднородной плазмы, найдена связь между количеством ветвей в решении дисперсионного уравнения и свойствами среды; выполнен расчет и анализ спектров НПВО для неоднородной плазмы и установлена их связь с решениями дисперсионных уравнений; выполнен расчет энергетических и поляризационных свойств отраженного света на границе неоднородной многокомпонентной реагирующей среды, который улучшает адекватность описания реагирующих систем.
Достоверность и практическая значимость. Достоверность положений диссертации основывается на использовании строгих теоретических моделей * распространения электромагнитных волн в средах с учетом неоднородности и анизотропии. На каждом этапе теоретический и численный анализ прове рялся условиями применимости используемых математических методов. Во всех исследуемых задачах подтверждается переходом к ранее известным ча стным случаям. т Практическое значение результатов диссертации определяется возмож- ностью их использования для расчетов коэффициентов отражения электромагнитных волн на границе неоднородных сред, разработки сред со специальными отражающими свойствами, направленного поиска оптических логических устройств (расчета дисперсионных кривых 1111 реальных неоднородных объектах с учетом анизотропии), а также для адекватной математической модели расчета энергетических и эллипсометрических параметров от- раженного света реагирующими многокомпонентными неоднородными сре дами.
Положения и основные результаты, выносимые на защиту: впервые получена матричная запись метода ВКБ во втором приближении, а также энергетические и эллипсометрические коэффициенты отраженного и прошедшего света для изотропных и анизотропных неоднородных сред связанные с матричными коэффициентами; впервые получены дисперсионные уравнения во втором приближении ВКБ для поверхностных волн, возникающих на границах неоднородного изотропного и неоднородного анизотропного слоя; - количество «ветвей» дисперсионных кривых, являющихся решения ми дисперсионного уравнения, в изотропной среде определяется количест вом границ, на которых меняется знак диэлектрической проницаемости сре- ды; в анизотропной среде количество ветвей дисперсионных кривых опреде ляется количеством границ, на которых меняется знак функции <>{e{z)) , ко- ' см. формулу (2.16) торая вычисляется через компоненты тензора диэлектрической проницаемости; - показано, что разрывность функции 0(f(z)) на границе неоднородной анизотропной среды приводит к появлению новых ветвей дисперсионных кривых; дисперсионные кривые для ПП в изотропной среде совпадают с проекциями минимумов в трехмерном спектре НПВО, в анизотропной среде с проекциями точек перегиба спектра НПВО.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на II Качинских чтениях (апрель 1997 г.), III Качинских чтениях (апрель 1998 г.), IV Качинских чтениях (апрель 1999 г.), 5-й Международной конференции "Нелинейный мир" (Астрахань, сентябрь 2000 г.), 6-й Международной конференции "Нелинейный мир" (Краснодар, сентябрь 2001 г.), 1 Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001 г.), 2 Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2003 г.), 3 Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, сентябрь 2004 г.).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 18 научных работах, включая 7 статей, 3 из которых опубликованы в рецензируемых журналах, и 11 тезисов докладов. Список публикаций по теме приведен в конце диссертации.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений, списка публикаций диссертанта и списка цитируемой литературы из 118 источников. Общий объем работы составляет 141 страницу, включая 52 рисунка и одну таблицу.
Целью диссертационного исследования являляется теоретическое изучение явлений отражения электромагнитных волн неоднородными изотропными и анизотропными средами, условий существования поверхностных волн в неоднородных средах с анизотропией, а также изучение отражения света многокомпонентными неоднородными реагирующими средами. * Задачами исследования являются создание адекватной математической модели отражения света неоднородными изотропными и анизотропными средами, изучение условий существования поверхностных волн на границе неоднородных сред, * - расчет и анализ спектров отражения света неоднородными средами и учет влияния анизотропии на спектры отражения, - расчет и анализ спектров отражения многокомпонентной реагирую щей неоднородной среды.
Личный вклад. Постановка задач осуществлялась научным руководи телем. Диссертантом выполнены: вывод аналитических решений, составле ние компьютерных программ и реализация численных расчетов. Совместно с ,% научным руководителем диссертантом выполнялись анализ и обсуждение ре- зультатов работы. Тексты статей были написаны диссертантом.
Задаче о распространении электромагнитных волн в средах с различными видами неоднородности посвящено множество работ [1-2], [10-53]. Применяются различные подходы к расчету энергетических и поляризационных характеристик отраженного и прошедшего света на границе неоднородного слоя конечной толщины. Вид неоднородности среды определяет параметры прошедшего и отраженного света[1]. Анизотропия также вносит разнообразие в спектры отражения. Несмотря на многообразие приемов, не найдено универсального способа расчета векторов электромагнитного поля, распространяющегося внутри неоднородной среды. Аналитическое решение задачи было найдено только для некоторых видов неоднородности и для однородно- го слоя[1], [16]. Поэтому представляет интерес задача об отражении света на границе неоднородной анизотропной среды.
Для расчета спектра отраженного излучения неоднородной средой важно создать адекватную математическую модель изучаемого объекта. Проекции векторов электромагнитного поля в общем случае произвольной ориентации оптических осей относительно плоскости падения определяются как решение системы дифференциальных уравнений 4x4 с переменными коэффициентами. Решение будет определяться видом неоднородности оптических свойств среды а также геометрией задачи.
Начальным приближением может служить модель среды с однородными оптическими свойствами, изложенная в монографии [1]. Неоднородность среды моделировалась при помощи множества тонких слоев, каждый из которых считался однородным. Для расчета проекций векторов поля на границах раздела сред применялись характеристические матрицы. При таком подходе не надо отдельно учитывать многократные отражения электромагнитной волны от границ раздела сред; поле в любой точке среды рассчитывается матричным методом. На границах раздела сред выполняется «сшивка» для тангенциальных составляющих векторов электрического и магнитного поля путем перемножения характеристических матриц. Этот метод применяется для расчетов и другими авторами [2]. Коэффициенты отражения и пропускания света записываются в удобной форме, через коэффициенты характеристической матрицы. Другая модель [1] сводится к замене функции s{z) на постоянную интегральную величину эффективного значения диэлектрической проницаемости еэфф =- js(^)d^, где 1- толщина слоя. При таком под- ходе считается, что направление волнового вектора постоянно в каждой точке среды.
Для вычисления оптических параметров среды часто применяется метод кинетического уравнения для плазмы твердого тела [3-8]. В работе [8] для неоднородной среды найдены критерии устойчивости решений дисперсионных уравнений, если они являются алгебраическими уравнениями. Модель неоднородной плазмы твердого тела исследуется и в работах [9-14]. В работах [9-14] в первом приближении ВКБ найдено общее решение задачи о распространении волн в бесконечной неоднородной плазме. В работе [15] выполнен обзор существовавших методов решения задачи о распространении волн в неоднородных анизотропных средах и говорится о необходимости ВКБ решения для системы дифференциальных уравнений 4x4 для анизотропной неоднородной среды. Авторы рассматривают распространение волн в бесконечной среде и говорят об общем решении, без учета граничных условий. В работе [16] для сред с простейшими видами неоднородности найдено аналитическое решение задачи. В работах [17-18] при помощи метода ВКБ найдено общее решение в неоднородной изотропной среде для наклонного падения. В работе [19] исследуется сходимость разложения, лежащего в основе метода ВКБ, исследуется асимптотическое решение в окрестности точки поворота. Для расчета параметров отраженного света общего решения в бесконечной среде недостаточно. Необходимо частное решение, матрица Коши неоднородной среды, оператор преобразования оптического сигнала.
Авторы работ [20-23] используют модель слоистой среды. В работе [20] рассматривается случай нормального падения волны на многослойную анизотропную структуру, состоящую из N произвольно скрещенных решеток из линейных проводников, плоскости которых параллельны друг другу. Для скрещенных слоев авторы применяют операторы поворота к матрицам Джонса. В работе используются два метода расчета для произвольного направления проводников в соседних решетках: в первом методе каждый слой рассматривается как интерферометр Фабри- Перо, суммируются многократные отражения и вычисляются отраженная средой и прошедшая волны; другой - рассматривает интерференцию с иных позиций: поле внутри каждой пары соседних слоев рассматривается как суперпозиция двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Значения напряженности электрических полей всех волн связаны системой граничных условий, записанных в матричной форме. Недостатком метода является необходимость перемножать матрицы 4*4 для N слоев системы. Методы учитывают многолу- чевую интерференцию в многослойных изотропных структурах. Метод многократных отражений используют авторы работы [21]. Авторы рассматривают нормальные волны в слоистых средах, имеющих комплексные диэлектрические проницаемости, записывают условия сшивки фаницах раздела слоев и получают коэффициенты Френеля для каждой границы. С помощью метода многократных отражений был рассчитаїг коэффициент отражения для одного слоя. Затем, для общего случая наклонного падения волны методом многократных отражений были рассчитаны коэффициенты отражения для ТЕ и ТМ волн. Предложен алгоритм использования полученных формул для численных и приближенных аналитических расчетов. Авторы отмечают, что в случае нормального падения оптической волны на слоистую систему наблюдается хорошее совпадение точных результатов со вторым, а часто и с первым приближением метода многократных отражений. Однако метод испытывает трудности в окрестности резонансных частот.
В работе [22] исследованы особенности волновых явлений в многослойных оптических резонансных структурах с частотной и угловой избирательностью. На основе метода модифицированных рекуррентных формул разработаны методы синтеза структур с заданными угловыми характеристиками оптического пропускания. Авторы работы [23] рассматривают границу раздела сред как переходный слой с неоднородными оптическими параметрами и исследует влияние поверхностных изотропных N слоев на отражение света в отсутствии поглощения. С помощью метода характеристических матриц в длинноволновом приближении с точностью до членов второго порядка малости получены амплитудные и энергетические коэффициенты отражения для наклонного падения. Проанализирована угловая зависимость отражательной способности s- и р- поляризации. Показано, что для переходного неоднородного слоя угол полной поляризации, главный угол падения и угол, при котором Rp является минимальным, различны. Показаны новые возможности для фотометрической диагностики сверхтонких слоев: измерения точно под углом Брюстера следует заменить угловым сканированием в окре- стности этого угла, и приводятся формулы для определения параметров сверхтонких слоев. В работе [24] предложено отличающееся от традиционного описание стационарных электромагнитных мод регулярного диэлектрического многослойника, допускающее переход к параметрическому описанию адиабатических мод плавно-нерегулярного перехода в планарном многослойном диэлектрическом волноводе.
В работе [25] автор излагает теорию пренебрежимой малости объемного отражения, вводит операторы преобразования векторов электромагнитного поля оптическими системами и находит матрицы пропускания неоднородного анизотропного слоя для нормального падения.
Преобразованию оптических сигналов анизотропными средами посвящена работа [26]. По формулам Френеля выполнен расчет фаз отраженного света для s- и р- мод в случае полного отражения для одноосного кристалла. Показано, что при линейной поляризации падающего света однократно отраженный свет может быть поляризованным по кругу. Показано, что такой свет может быть получен при показателе преломления меньшем, чем необходимо для полного внутреннего отражения. Выясняются условия, при которых возможно получение в области полного внутреннего отражения одинаковой поляризации падающего и отраженного света. Показано, что с изменением угла наклона 3 оптической оси кристалла, меняются углы полного отражения для обыкновенной и необыкновенной волн. Выполнены расчеты для фазы и эллиптичности прошедшего и отраженного эллиптически поляризованного света. При углах 9, близких к 90 можно получить круговую поляризацию света. Получены соотношения, связывающие углы полной поляризации с оптическими параметрами кристаллов. Приведены многочисленные результаты расчетов для различных ситуаций.
Для оптически однородных анизотропных сред в работе [27] дается точное аналитическое решение для матриц Джонса и Мюллера. Авторы выводят соотношение, позволяющее из матрицы Джонса сконструировать матрицу Мюллера. Получают систему линейно-независимых решений для про- шедшей волны. Вводят два трехмерных вектора, характеризующих дихроизм и двупреломление среды. Элементы матриц Мюллера и Джонса связаны с компонентами этих векторов и являются измеряемыми величинами. Проанализированы случаи, когда дихроизм и двупреломление независимы и когда они связаны между собой. Для всех рассмотренных случаев рассчитана степень поляризации прошедшего света. Степень поляризации падающего света меняется, и указывается на значение этого параметра для расчета. Измеряя максимальное значение степени поляризации, можно получить абсолютное значение величины дихроизма и двупреломления.
В работе [28] для случая нормального падения рассмотрено отражение и пропускание света в системах среда - холестерический жидкий кристалл (ХЖК) — подложка и стекло(1) — ХЖК— стекло(2), которые автор рассматривает, как заполненный ХЖК резонатор Фабри-Перо. Применена модификация метода сложения слоев, когда для слоев А и В матрицы Джонса системы А+В RA+B и ТАВопределяются через аналогичные матрицы составляющих слоев матричными уравнениями: RA+B = RA + ^ARbV ~RARb\ TAi ta+b=tb\J ~rarb\ ta-Получены точные и явные выражения для матриц Джонса этих систем. Изучены спектры отражения и пропускания, поворота плоскости поляризации и эллиптичности поляризации изучаемых систем. Посредством матриц Мюллера изучено влияние квазимонохроматичности и степени поляризации света на свойства отражения. Исследовано влияние диэлектрических границ на поляризации собственных волн и слоя ХЖК. Показано, что с увеличением разности между средней диэлектрической проницаемостью ХЖК и диэлектрической проницаемостью среды, ограничивающей со всех сторон ХЖК, собственные поляризации из квазикруговых поляризаций превращаются в квазилинейные поляризации. В работе [29] рассмотрено отражение и прохождение света при его нормальном падении на слой среды, обладающей диэлектрической и магнитной спиральностями. Оси локальных электрической и магнитной спиральностями. Оси локальных тензоров єиц, а также ось спирали параллельны друг другу и перпендикулярны граничным поверхностям. Решение задачи автор представляет в виде: Er = RE.t, где Eir- поля падающей и отраженной волн, R - матрица Джонса. Найдены коэффициенты матриц Джонса отраженного и прошедшего света. Вычислены коэффициенты отражения и прохождения, поворот плоскости поляризации и эллиптичность поляризации. Вводится передаточная функция для комплексной амплитуды как функция, характеризующая преобразование комплексной амплитуды волны через оптическую систему и находят собственные значения передаточной функции для случая минимального влияния диэлектрических границ. Изучены особенности поляризаций собственных волн, характер отражения и прохождения волн с собственными поляризациями.
В работе [30] предложен новый метод определения амплитуд отражения и прохождения плоской произвольно поляризованной электромагнитной волны, падающей наклонно на неоднородный диэлектрический слой, находящийся внутри асимметричного резонатора Фабри-Перо. Авторы находят решения для волновых уравнений для полей Е и Н при помощи метода трансфер - матриц, численно решают задачу Коши для волнового уравнения для однородного слоя конечной толщины и для неоднородного периодического слоя. Получены алгебраические соотношения, связывающие амплитуды рассеяния волны для слоя, граничащего с различными однородными полубесконечными средами, с амплитудами рассеяния для того же слоя, граничащего с обеих сторон с вакуумом. Рассмотрены три конкретных примера, соответствующих реальным ситуациям, для которых выполнены вычисления.
В работе [31] рассматривается прохождение света через вещество, обладающее линейным или квадратичным электрооптическим эффектом и находящееся во вращающемся с периодом Т электрическом поле, приложенном перпендикулярно к оптической оси. Показано, что собственные волны в таком устройстве являются право- и лево- поляризованными и имеют разную скорость; при этом оси эллипсов поляризации вращаются со скоростью 2Т. В трехмерном нецентро-симметричном кристалле с нелинейностью второго порядка (керровской) возможно образование своеобразных солитонов, движение и конфигурация которых определяется величиной приложенного поля.
В работе [32] получены выражения оптических параметров многослойных систем в форме, удобной для численных расчетов. Показано, что системы, состоящей из изотропных слоев, могут быть описаны с помощью матриц 2x2, в то время как системы, состоящие из анизотропных слоев, могут быть описаны с помощью матриц 4x4. Полученные результаты могут быть применимы для произвольной комбинации толстых и тонких слоев. Кроме того, получены матрицы для случая анизотропных и поглощающих материалов.
Множество авторов используют матрицы 4><4 для изучения распространения света в анизотропной среде с произвольной ориентацией оптических осей. Авторы работы [33] представляют теорию распространения света в произвольно анизотропной слоистой среде, обращая внимание на частные случаи ориентации оптических осей, а также на возможные комбинации изотропных и анизотропных слоев. Для каждого слоя должна быть найдена характеристическая матрица; произведение характеристических матриц позволяет найти характеристическую матрицу 4x4 многослойной среды.
На основе матриц 4Х4 в работе [34] исследуются особенности распространения световых волн в непрерывных неоднородных биапизотропных структурах. Найдены амплитудные и поляризационные характеристики отраженной и прошедшей волн для структур типа доменных стенок и приповерхностных слоев в магнитогиротропных кристаллах.
При некоторых ориентациях оптических осей для решения задачи достаточно матриц 2x2. Так считает автор работы [35]; он предлагает аналитический метод для исследования распространения света в анизотропных средах. На его основе даются простые формулы для определения матриц отражения и пропускания для общего случая двухосной пластинки, расположенной между произвольно ориентированной средой и подложкой.
В работе [36] решается задача о распространении света в одноосной гиротропной пленке с произвольной ориентацией оптической оси при наклонном падении с учетом многократных отражений. Представлены зависимости характеристик отраженного и прошедшего света от параметров гиро-тропии и ориентации оптической оси пленки, угла падения световой волны и показателей преломления окружающей среды и подложки. Проведено сравнение с негиротропными пленками.
Отражение света слоистой анизотропной одноосной средой рассматривалось в работе [37]. Оптическая ось при этом была направлена вдоль или поперек плоскости падения. По результатам проведенного анализа показано, что существенное упрощение задачи достигается при ее формулировке в терминах интенсивностей электрической и магнитной компонент световой волны, соответствующих ТЕ и ТН модам. Описан способ математической реализации предложенного подхода.
Часто неоднородная среда заменяется на однородную, путем усреднения оптических свойств. В работе [38] исследовано отражение и преломление волн при падении излучения на среду с пространственно-периодической структурой. Получена система интегро-дифференциальных уравнений и найдено её аналитическое решение.
В работе [39] проанализировано соотношение между волновым уравнением электромагнитной теории и дифференциальным уравнением эволюции поляризации света в рамках матричного метода Джонса для прозрачных макроскопически неоднородных анизотропных оптических сред. Найдена линейная связь дифференциальной матрицы Джонса и тензора диэлектрической проницаемости среды. Показано, что при расчетах оптических параметров несоразмерно модулированных кристаллов со слабомодулированными, но быстро изменяемыми в пространстве диэлектрическими свойствами нельзя использовать джонсовское исчисление. Выяснена специфика поляризации нормальных волн и принципа суперпозиции в кристаллооптике несоразмерно модулированных сред.
Адекватная математическая модель для неоднородных оптических систем позволит не только рассчитать параметры отраженной и прошедшей волны, но и определять характеристики неоднородной среды. В работе [40] представлен новый модуляционный метод для расчета распространения волн в многослойных средах, основанный на прямом использовании коэффициента отражения и прохождения. Авторы вводят операторы суммирования и мультипликации, которые в состоянии теоретически реконструировать любую многослойную структуру из подструктур. В работе [41] представлена неразрушающая методика восстановления профиля коэффициента преломления n(z) в планарном волноводе и итерационный алгоритм для его расчета. Неизвестный показатель преломления выражается через ряд аналитических функций. Изучается влияние на точность результата шумов и флуктуации.
В работе [42] приводится приложение матричного метода для изучения волновых характеристик ТМ мод для плоских волноводов с произвольным показателем преломления. Матрица решения ТМ волны имеет различный вид для различных характеров волноводов.
Авторы работы [43] показывают возможность конструирования компактных (порядка нескольких микрон) электроуправляемых поляризационных устройств и полуволновых элементов на основе анизотропных периодических структур, содержащих кубические центросимметричные среды с высокой электрооптической эффективностью.
Влиянию неоднородности и анизотропии на распространение электромагнитной волны посвящена работа [44]. Автор рассматривает распространение электромагнитной волны в изотропных гиротропных средах и в средах со спиральной структурой в присутствии градиента оптических параметров. Показано, что спиральные среды обладают эффектами асимметрии, аналогичными эффектам необратимости волн.
В работе [45] исследована поляризация отраженного от сверхрешетки света при наличии в ней линейного поглощения. Определено влияние поглощения на спектральную зависимость энергетических коэффициентов отра- жения света. В окрестности брэгговских резонансов найдена угловая и спектральная зависимости эллиптичности и азимута поляризации дифрагированной световой волны. Показано, что эллиптичность световой волны чувствительна к малым изменениям поглощения, что позволяет создать высокоточный метод для измерения поглощения периодических структур.
Теоретически и экспериментально исследован [46] промежуточный режим дифракции света на ультразвуке, распространяющемся вдоль осей [001] и [ПО] гиротропного кубического кристалла германата висмута. Показана возможность поляризационно-независимой модуляции света в промежуточном режиме дифракции, близком к брэгговскому. Приведены зависимости эффективности дифракции от азимута поляризации.
Оптические свойства среды зависят от ее состава. В работе [47] показано, что при низком содержании водорода х<0.3 пленки Mg2NiHx толщиной 232нм обнаруживают очень сильные изменения в отражении. Оставаясь в металлическом состоянии, они могут перестраиваться от полного отражения в видимой области до полного поглощения. Переход осуществляется в интервале от х=0.1 дох=0.3.
Авторы [48] представляют новый метод одновременного определения толщины и оптических постоянных тонкой пленки в приближении прозрачной подложки через анализ пропускательной способности и внутренних углов когерентного света. Авторы демонстрируют метод на примере полимерной тонкой пленки. Были найдены коэффициенты преломления для длин волн 1064, 632.8, 532 нм. Авторы применяют метод к пленкам из полисте-рина.
О строении и состоянии органов человека и животных можно судить по интерференционным эффектам в неоднородных тканях этих органов. В работе [49] рассматривается модель формирования сложной интеренфенци-онной картины в коже человека. Кожная ткань представлена как многослойная структура резонансного типа. Обсуждаются результаты численного моделирования воздействия миллиметровых волн на биоструктуры. Авторы рассматривают кожу как плоскослоистую среду, каждый слой которой считается однородным. Авторы рассматривают нормальное падение плоской волны и применяют метод импедансных характеристик и приближение многолучевой оптики. Авторы используют данные для диэлектрической проницаемости кератина, дермы, дермиса и жировой ткани. Получены энергетические коэффициенты для коэффициента отражения и их зависимость от длины волны в воздухе. Интерференционная картина зависит от толщины слоев кожи, которые являются индивидуальными, однако самый существенный вклад дает второй слой - дерма. В нем происходит резонансное поглощение электромагнитной энергии и кожу можно трактовать как "многослойный интерференционный поглотитель".
Получены простые формулы для расчета коэффициентов отражения и пропускания пленок при произвольном угле падения излучения в работе [50]. Показано, что эти формулы совпадают с аналогичными формулами волновой оптики в предположении, что мнимая часть показателя преломления намного меньше его вещественной части.
В работе [51] развивается общий метод анализа оптических систем и, в качестве примера, обсуждаются свойства пластинки, в которой создается керровское двупреломление вращающимся электромагнитным полем. Строится матрица, описывающая такое устройство, определяется его действие на циркулярно-поляризованный свет. Для общего случая используется формализм Дирака, рассматривается влияние устройства на правый и левый фотоны, их преобразование друг в друга и спектральный сдвиг, создаваемый системой. Указывается, что его спектральные характеристики устройства не зависят от поляризации падающего света.
Создание материалов с управляемым показателем преломления важно для оптоэлектроники, В работе [52] предложен и проанализирован метод управления показателем преломления, основанный на рассеянии электромагнитной волны. Решая уравнения Максвелла, авторы находят связь волнового числа рассеянной волны и параметров добротности усилителя. Эффективное волновое число можно изменять, варьируя коэффициент усиления. Эффективный показатель преломления электромагнитной волны, распространяющейся в таком устройстве, называется виртуальным.
В работе [53] представлен аргументированный обзор основных идей и тенденций будущего развития средств физической оптики для управления световыми полями. Проделан анализ распространения света в изотропной линейной неоднородной среде и введен ряд критериев. Рассмотрено функционирование оптических элементов общего вида. Качество преобразования описывается зависимостью доли энергии прошедшей волны на выходе преобразователя от вида оптической системы. Особо анализируется роль микроструктуры оптического элемента.
В настоящее время ведется работа над созданием оптических тон ко п-леночных транзисторов на пластиковой подложке [54-55] и оптических процессоров [56]. Первые оптические процессоры способны выполнять одно- и двумерные операции с использованием линейных операторов. Обработка данных выполняется при помощи оптических комплексных преобразований. Делается упор на Фурье обработку, композиционную фильтрацию, распознавание трехмерных шаблонов и оптическую нейронную обработку.
Интерферометры Фабри - Перо используются в качестве фильтров в волоконной оптике. Автор работы [57] использует метод характеристических матриц для расчета отражения и глубины проникновения света для четвертьволновой многослойной периодической структуры. Автор указывает на применимость подобных структур в оптоэлектронике. Особое значение имеет поиск структур с нулевой и отрицательной глубиной проникновения поля в среду для применения к фотонным узкополосным материалам [58]. Резонансные моды Фабри-Перо чувствительны к изменению угла падения и к изменению коэффициента преломления. Теоретическая модель и результаты эксперимента по измерению зависимости интенсивности ортогональных мод от плоскости поляризации накачки в лазере со слабо анизотропным резона- тором Фабри-Перо представлены в работе [59]. Результаты указывают на зависимость интенсивности от анизотропии.
В настоящее время ведется разработка активных оптических элементов, таких как оптические переключатели, фильтры, оптические аттенюаторы. Эти устройства должны быть компактными и универсальными. Жидкие кристаллы исследовались учеными в течение ряда лет и поиски показали, что их применение очень многогранно. Они применяются не только для производства мониторов, но и перспективны для развития оптоэлектроники. Работы [60-61] посвящены разработке интегрированных активных элементов в тонкопленочных структурах. Рассматривают слой холестерического жидкого кристалла, расположенного между двумя стеклянными плоскостями, на одной их которых нанесены электроды [62]. Автор рассчитывает коэффициенты преломления для s- и р- волн в зависимости от глубины и от приложенного напряжения.
Взаимодействие излучения с границей раздела часто приводит к неожиданным эффектам. В частности, для волны, падающей на границу металл -диэлектрик могут возникать аномалии, которые в зависимости от длины волны и угла падения света приводят к нарушению полного внутреннего отражения. Впервые такое явление наблюдалось в экспериментах Вуда с продолжительным источником света и дифракционной решеткой металл-диэлектрик [63]. Полученный спектр отражения не был гладким и непрерывным; наоборот, он содержал резкие остроконечные максимумы и минимумы. Явление нарушения полного внутреннего отражения (НПВО) позднее было связано в работе [64] с возбуждением поверхностной волны. В работе [65] развивалась эта идея. Аномалии спектра отражения при падении электромагнитной волны на металлическую поверхность связывают с возникновением на границе поверхностных плазмонов. Поверхностные плазмоны являются решениями уравнений Максвелла, при заданных граничных условиях (которые будут приведены в главе 2). Они возникают, как правило, на металлической поверхности. В работе [66] была предложена первая схема возбуждения поверхностных волн (геометрия Отто), в работах [67-68] представлена еще одна, призменная схема возбуждения поверхностных волн (геометрия Креч-маннна). В этой схеме на гипотенузную грань прямоугольной треугольной призмы, располагающейся параллельно металлической поверхности, падает наклонно плоская электромагнитная волна р- поляризации. Резонансы ПП в однородных средах хорошо исследованы в классической геометрии Креч-маннна в работах [69-75]. Дисперсионное уравнение приведено в работах [74] и [76] для поверхностных волн и выполнен расчет дисперсионных кривых для однородной изотропной среды.
В ИК-спектроскопии успешно используется двухпризменный метод возбуждения и детектирования ПП. Длина пробега ПП вдоль поверхности может достигать нескольких сантиметров, она весьма чувствительна к шероховатости, наличию оксидных пленок и адсорбированных слоев, химическим изменениям в поглощающем слое. ПП позволяют исследовать границы раздела, а также выполнять прецизионные оптические измерения, например, измерять поглощение порядка 0,01 высокоотражающих зеркал с ошибкой не более 10%.
Авторы работы [79] рассматривали резонанс ПП на грубой неровной штриховой поверхности, имеющей сложный рельеф, при помощи математического преобразования пространства (х, у, z) в пространство (u, v, w), в котором неровная штриховая поверхность в пространстве (х, у, z) сводилась к плоской поверхности в новой криволинейной системе координат. Авторы [80-81] моделируют грубую поверхность, как массив полуцилиндров, включенных в серебряную плоскость. Рассматривался случай, когда глубина рельефа ^значительно меньше Zg расстояния между штрихами и расчет показал, что вектор электрического поля на штрихах и в канавках различается в 60 раз. Численный расчет резонанса ПП с учетом формализма [80-81]] выполнен в работах [82-85]. В работе [86] изучается взаимодействие ТМ поляризованного света с грубой серебряной поверхностью. Рассматривается плоская волна, которая падает на плоскость раздела (x-z) между средами; на плоскость нанесены штрихи параллельно оси OY с некоторым периодом Л .
Векторы электрического и магнитного полей находятся при помощи разложения в ряд по базисным функциям, связанным с собственными значениями волнового вектора ПП, который зависит от периода решетки. По найденным формулам рассчитано распределение поля и заряда внутри слоя между штрихами и его зависимость от периода и глубины штриховки.
Резонанс поверхностных плазмонов может использоваться в качестве инструмента во многих приложениях, например, в медицинских технологиях, в определении антител-антигенов, рецепторных взаимодействий, анализа состава гемоглобина [87]. Изучение дисперсионных зависимостей поверхностных плазмонов может дать инструмент для создания активных полупроводниковых приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона [88]. Особенная простота и высокая восприимчивость, оптическая чувствительность резонанса ПП и собственных мод волноводов остается в центре внимания ученых с конца 80-х годов.
Высокая чувствительность позволяет придумать новые конфигурации для эксперимента развивать технику измерения физических, химических и биологических параметров исследуемой среды. Анализ чувствительности спектра НПВО к изменению показателя преломления среды представлен в работах [89-91]. В работе [92] также показана связь между изменением показателя преломления и изменением спектра НПВО, Выполнено сравнение двух методов анализа спектра НПВО. В первом случае находится угловая зависимость резонансного провала, чувствительность этого метода невелика, так как обычно провал оказывается сильно сглаженным. Второй метод основан на выборе рабочего угла около средней точки провала. Малые изменения концентрации дают заметные изменения в интенсивности отраженного света. Работа [93] содержит обозрение методов анализа спектра НПВО. В ней указывается на возможность широкого применения резонанса ПП и повышение его чувствительности, если будет улучшена технология изготовления призм и решеток. Если для слоя исследуемого вещества выполняется условие k}dt = 2яи, то есть слой является интерферометром Фабри-Перо, то изменение показателя преломления среды ведет к изменению коэффициентов отражения электромагнитной волны. Авторы работы [94] исследуют эту зависимость и находят условие экстремальности коэффициента отражения. Авторы работы [95] применяют зависимость спектра НПВО для определения концентрации глюкозы с точностью 10"4. Другие расчеты позволяют определять концентрацию с точностью 10'5 [96].
Изменение показателя преломления вносит изменения в спектр НПВО, следовательно, неоднородность среды должна влиять на спектр отражения.
В 1988 году В. Кноль и Б. Ротенхойслер предложили использовать ПП для микроскопии [97]. Они продемонстрировали рабочую модель микроскопа, в котором ПП возбуждались по схеме Кречманнна, для исследования специально сделанной сетки с известными параметрами. Микроскоп на поверхностных плазмонах можно использовать в химии для исследования кинетики химических реакций и в биологии для прямого наблюдения биологических объектов. Здесь важно не столько высокое разрешение микроскопа по толщине, сколько высокое разрешение объектов, внутренняя структура которых определяется элементами с малыми изменениями в диэлектрической проницаемости [98]. Модель микроскопа позволяет исследовать неоднородные биологические объекты.
В работах [98-99] изложены современные физические представления о поверхностных электромагнитных волнах оптического диапазона. Рассмотрены их основные свойства и методы возбуждения. Рассмотрены применение поверхностных плазмонов для высокоточных измерений в металлооптике, при измерении коэффициента отражения глухих зеркал, в микроскопии сверхвысокого разрешения, для повышения энергетической эффективности ближнепольного микроскопа, а также для формирования поверхностных периодических структур, в появлении которых поверхностные плазмоны играют определяющую роль.
В работе [100] получены приближенные граничные условия типа Леон-товича для волн s- и р- поляризации на фанице анизотропной среды. Автор рассматривает случай, когда вторая среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости, компоненты которого по модулю намного больше ,, например металлы с анизотропной проводимостью. Полученные фанич- ные условия автор применяет для исследования вопроса о нормальных волнах, возбуждаемых на границе раздела двух сред - поверхностных полярито-нах. Автор приходит к выводу о невозможности существования поверхностных волн ТЕ типа, как для изотропной среды, так и для среды с анизотропией и получает дисперсионное уравнение для поверхностных волн ТМ типа для анизотропной среды.
Возбуждению поверхностных плазмонов в анизотропных средах посвящается работа [101]. Рассчитаны распределения напряженностей ТМ и ТЕ компонент электромагнитного поля в анизотропной одноосной диэлектрической среде в случае возбуждения на границе раздела среда - серебряная пленка поверхностных плазмонов-поляритонов. Используется геометрия Кречманна. Проекции полей Ё и И рассчитаны в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения поляритонов в зависимости от угла падения возбуждающего ПП света и ориентации оптической оси среды относительно плоскости падения. Показано, что при определенных геометриях вследствие ТЕ-ТМ взаимодействия возможно резкое увеличение пропускания. В работе [102] представлены результаты экспериментов и численного моделирования, свидетельствующие, что поверхностные плазмоны могут резонансно усиливать пропускание света через тонкую рифленую металлическую пленку. Интерпретация результатов на основе стимулированного плазмонами резонансного туннелирования позволяет объяснить эксперименты по проникновению света через периодические субдлинно вол новые отверстия в тонких металлических пленках. Созданные на этой основе узкополосные фильтры могут использоваться в оптических средствах связи. Теоретический анализ взаимодействия световой волны и собственных мод в металлической пленке, разделяющей одноосный кристалл и изотропную среду, выполнен в [103]. Показано, что возникают две поверхностные моды; одна - на границе изотропная среда - металл, другая на границе кристалл - металл. Возможно согласование мод с падающей световой волной без специальных приспособлений. Приведены результаты численных расчетов для разных углов падения. Показано, что мода на границе диэлектрик-металл — обычный поверхностный плазмон. Свойства другой моды зависят от ориентации кристалла. Отмечается возможность резонансов и зависимость от толщины металлического слоя. Авторы работы [104] сообщают о прямом наблюдении р-поляризованной прошедшей волны, которая распространяется среди двумерного массива металлических наночастиц. Авторы объясняют особенности резонанса НПВО в угловом спектре как следствие возбужденных в среде поверхностных волн.
Несмотря на высокую точность измерения показателя преломления, вопрос о зависимости спектров НПВО от типа неоднородности среды и влиянии на спектр НПВО анизотропии не рассматривался. Дисперсионное уравнение для ПП было получено только для однородной изотропной среды.
В основе многих новых медицинских диагностических методов и технологий производства лекарств лежит анализ кинетики химических реакций. Для контроля над химическим процессом важно знать не только все стадии основного направления реакции, но и значения констант скорости реакции, а также обнаружение промежуточных побочных и нестабильных продуктов. Термин «неизмеримо быстро протекающая реакция» [105-106] перестали использовать в 70-е годы. В настоящее время существует множество эффективных методов исследования быстропротекающих химических процессов: метод быстрого смешивания, скачок давления, скачок температуры, метод электрического импульса, акустические методы [107-108], метод фотоионизационной спектроскопии [109-110]. Перечисленные методы являются контактными, предполагают воздействие на исследуемый объект, или требуют отбора проб. Это может привести к нежелательным изменениям в исследуе- мой системе, или к ее разрушению. Преимущества оптических методов — бесконтактность и неразрушающий характер. Их применение позволяет изучать кинетику любой реагирующей системы.
Из сказанного выше следует, что применяемые модели слоистой среды плохо аппроксимируют неоднородность, методом ВКБ найдено общее решение волнового уравнения в бесконечной неоднородной среде, без учета граничных условий и поляризации. Применению метода ВКБ во втором приближении к изотропному неоднородному и анизотропному неоднородному слою с учетом граничных условий и поляризации света, выводу матричных формул для сшивки решений и расчета полей посвящена первая глава настоящей работы. Метод применялся для расчета энергетических и эллипсо-метрических параметров отраженного света для сред с некоторыми видами неоднородности в виде переходного слоя (графики приведены в Приложении 1). Матричное ВКБ- решение дополнено сшивкой решений в окрестности точек поворота (Приложение 2).
Задача о возникновении ПП на границах оптически неоднородных объектов также остается не решенной; это касается как изотропных, так и анизотропных сред. Не изученным остается вопрос о связи ПП в неоднородных изотропных и неоднородных анизотропных средах со спектрами НПВО. Во второй главе получено дисперсионное уравнение для ПП в неоднородной изотропной плазме и неоднородной анизотропной плазме в постоянном магнитном поле и выполнен расчет в зависимости от толщины слоя, вида неоднородности, и напряженности приложенного магнитного поля. Рассчитаны спектры отражения от неоднородной среды в геометрии Кречманна и найдена связь между дисперсионными кривыми и спектрами отражения.
В третьей главе матричный аппарат метода ВКБ применен для расчета энергетических и эллипсометрических параметров отраженного света для неоднородной многокомпонентной реагирующей среды с дисперсией.
Расчет эллипсометрических параметров
Реальные физические границы раздела не являются идеальными геометрическими плоскостями, на которых функция s{z) имеет разрыв. Вопрос о необходимости учета переходного слоя рассматривается в работах [11-15]. (1.46) (1.47) (1.48) В рамках изложенного в предыдущих разделах ВКБ решения был выполнен расчет угловых спектров коэффициентов отражения и пропускания света, а также спектры эллипсометрических параметров отраженного света для неоднородной среды в виде переходного слоя. Расчет был выполнен для переходных слоев следующих видов: ( ( \\ 1 + — arctg к 1 + 5 e{z)= ф) = 2(і+ 1- )), ( e(z) = є2 2X) \ )) TZ 1 + SI )
Расчет был выполнен в рамках второго приближения ВКБ. Характер угловой зависимости эллипсометрических параметров существенно зависит от вида функции e(z), т. к. вид функции определяет разложение (1.2). Энергетические угловые спектры отраженного и прошедшего света, а также спектры эллипсометрических параметров отраженного света приведены в Приложении 1. На рис. 36-50 видно, что спектры отражения, рассчитанные в рамках ВКБ решения, отличаются от аналогичных спектров, рассчитанных в приближении однородной среды. Для ВКБ решения фаза прошедшей и отраженной волны рассчитывается как интеграл от непрерывной функции k(z), изменения которой связаны с локальными неоднородностями среды. В сшивке граничных условий используются значения c(z) на этих границах. В расчетах, выполненных в приближении однородного слоя, использовалось усредненное значение (1.49). В расчетах по формуле (1.49) амплитуды изменения энергетических коэффициентов и эллипсометрических углов будут большими. В этих случаях учитываются значения еэфф на границах, которые отличаются от є(0) и s(d) и проявляется многолучевая интерференция. На графиках для р-волны, рассчитанных методом ВКБ, отсутствует угол Брю-стера. Полученная запись ВКБ метода позволяет выполнять расчеты в удобной матричной форме и подавлять «вычислительную» интерференцию.
Мы будем решать систему (1.51) с матрицей (1.53) для неоднородной среды с тензором диэлектрической проницаемости (1.54), рассматривая отдельно волны s- и р- поляризации. Для s-волны решение совпадает с решением (1.31.1-4), найденным в п. 1.1. для изотропной среды. Найдем решение для р-волны.
По формулам (1.62) и по формулам (131.1-4) составим матрицу Коши Nan(z,0) решения системы (1.51), аналогичную матрице (1.30). Матрица Nan(z,0) будет удовлетворять условию сшивки (1.33) на границах раздела сред z=0 и z=/, и для неоднородного слоя будут справедливы формулы (1.39-1.42) для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания света. В случае произвольной ориентации оптической оси относительно плоскости падения следует развивать метод ВКБ для матриц 4x4 и рассчитывать матрицы Джонса для отраженного и прошедшего света. Формулы (1.62) для неоднородного анизотропного слоя были найдены впервые; анализ решения будет выполнен в следующих пунктах. Матрица Коши, полученная в настоящей работе, позволяет находить частное решение для вектора Q(z) для любых условий на границе. Данный метод позволяет избегать разбиения на слои и перемножения матриц в расчетах, как это делается в [1], Сокращается влияние «вычислительной» многолучевой интерференции и вычислительной ошибки.
Распространение света в неоднородной анизотропной среде
Поверхностные поляритоны играют важную роль при анализе свойств поверхности резонансных сред (см.[64-104]), их используют, например, для наблюдения за организацией мономолекулярных ориентированных пленок Ленгмюра-Блоджетт в момент их формирования на поверхности жидкости и при переносе их на твердые подложки. ПП могут использоваться для изучения кинетики протекания химических и биохимических реакций, контролировать размер образующихся на поверхности комплексов. При рассмотрении поверхностных поляритонов, как правило, рассматриваются однородные среды. В данном разделе выполним анализ влияния неоднородности на дисперсионные характеристики поверхностных поляритонов. Также будут приведены расчеты коэффициентов отражения для /7-поляризованной волны в схеме НПВО (см. также [76]).
Рассмотрим вопрос о существовании поверхностных волн в трехслойной среде, с внутренним неоднородным слоем, изображенной на рис. 1. Напомним, что поверхностным поляритоном называется нормальная электромагнитная волна в резонансной среде, экспоненциально затухающая при удалении от границ. В первой главе было найдено матричное ВКБ решение для электромагнитной волны, распространяющейся в неоднородной среде. Его мы будем использовать для нахождения дисперсионного уравнения для поверхностных волн. В трехслойной системе мы будем искать решения волнового уравнения, вида Н(1)(?) = Н00) ехр{і( х -/л ! )}, 2 0, Н{2)(г) = Я0(2) ехр{і(кхх + і f(jc2(z)))\ 0 z d, (2.1) Я(3) (г) = Я0(3) exp{i(kxx + ifc3z)}, z d. Здесь Кі --і х (D et , все кі 0, A:2(Z)= \kl 2(w,z) , /(/r2(z)) — функция, вид которой определяется неоднородностью среды и находится при помощи В КБ решения. Применим стандартную методику рассмотрения поверхностных волн для случая неоднородных сред. Рассмотрим условия на границах раздела сред «І-ЇЇ» и «ІІ-Ш».
Однородная система линейных алгебраических уравнений (2.4), относительно неизвестных проекций векторов Й/])(г) и Hd{i\r), имеет нетривиальное решение, тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, а неизвестные линейно зависимы. Учтем, что в первом приближении ВКБ p(d) = -yjє{сі) — a2 = itc2(d) и р(0) = ік2(0). Получим дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов в неоднородной среде «II»: Г ЛҐ з ООА \ кг(); 1_ _L, 2(rf)Y, 1 2 () ехр(-20 \tc2(z)d%) = 0. (2.6) Здесь є(z) — диэлектрическая проницаемость неоднородной среды «II». Это уравнение справедливо и во втором приближении, если принять: iic2(z) = p(z) = p(z) + a z) м2 При больших d второе слагаемое стремится к нулю, и дисперсионное уравнение распадается на два уравнения + = 0, \ (2.7) 1 + = 0. єг K2(d)) \ 2(0); Их вид совпадает с дисперсионными уравнениями для поверхностных поляритонов в полубесконечной среде. Уравнение (2.6) по внешнему виду похоже на уравнение для 1111 (11.96) в работе [76]. В случае однородной сре ды интеграл2к0 \ ос2 ()d% = 2K2d и уравнение (2.6) сводится к уравнению (11.96). Т. е. в пределе наши формулы сводятся к ранее известным. Мы будем рассматривать неоднородную среду с дисперсией, где диэлектрическая проницаемость среды зависит не только от координаты, но и от частоты. Решениями уравнения (2.6) будут являться наборы значений «частота - волновой вектор», при которых возникают поверхностные волны. Выполним решение дисперсионного уравнения для конкретных случаев.
Рассмотрим обобщение модели Лоренца для неоднородной среды. Для расчета е мы используем формулу (6.13) работы [76]. Пусть число осцилляторов, имеющих резонанс на частоте wo на интервале [a;a+d\ зависит от расстояния от границы «I—II» и пропорционально непрерывной функ N(z) ции/М -—. Пусть функция/ в точке достигает максимума:/, /, шах тогда N(zo)=Nmax, так что f(z0 )-со2 = 2 0,1 col Тогда s(z) примет вид .2 ) = 1-2- %./(г) 1- /(г), (2.8) а)2-б)0 у У= (2.8.1) - расстройка частоты. Введем обозначение: ц = кх к0 а. (2.8.2) Уравнение (2.6) было решено численно для сред с различными видами неоднородности. Численный расчет показал, что вид дисперсионных кривых и количество ветвей в решении уравнения (2.6) зависит не только от толщины слоя «II», но и от вида функции f(z). Например, расчет показал, что для неоднородной среды, являющейся переходным слоем с s(z), непрерывно меняющимся от начального значения є(0) є{і будет существовать только одна, нижняя ветвь решения. Для среды с s(z), меняющимся от отрицательного значения на границе «I-II» до s(a+d) на границе «П-Ш», в решении дис перс ионного уравнения останется только верхняя ветвь.
Условие квазиклассичности для р-волны
Обратимся к условиям (1.23), (1.56) и выясним, является ли оно препятствием для применения полученных в главе 1 матричных формул расчета векторов электромагнитного поля. В случае анизотропной среды условие квазиклассичности имеет вид (1.56), для изотропной среды оно сводится к условию (1.23).
Таким образом, если значение функции g = єхх + —— велико, мы можем применять метод ВКБ к пленкам, толщиной меньше длины волны. При численном решении дисперсионных уравнений (2.6) и (2.15) точки, в которых не выполнялось условие (1.56.2) исключались и не выводились в файл отчета.
Поверхностные плазмоны (ПП) являются коллективными возбуждениями среды и электромагнитного поля. Они могут возбуждаться различными способами и с их помощью можно исследовать свойства границы раздела [76]. Резонанс поверхностных плазмонов используется в качестве инструмента в медицинских технологиях, в обнаружении антител-антигенов, изучении рецептор-ных взаимодействий, диагностике кожи, глаз и гемоглобина [87]. Анализ дисперсионных зависимостей поверхностных плазмонов может дать инструмент для создания активных полупроводниковых приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона [88]. Исследуемые объекты могут быть неоднородными, поэтому во многих случаях нельзя ограничиться моделью однородной среды. Анизотропия также вносит разнообразие в спектры ПП. Поэтому представляет интерес задача о поверхностных плазмонах на границе неоднородной анизотропной среды. Развитый выше подход с использованием 2-го приближения ВКБ позволит более адекватно описывать реальность.
Рассмотрим вопрос о существовании поверхностных волн в плоской неоднородной анизотропной одноосной среде, показанной на рис. 12. Пусть оптическая ось лежит в плоскости падения. В этом случае мы можем рассматривать отдельно волны s- и р- поляризации. Будем искать затухающие при удалении от поверхностей раздела волны, вида [74-76]: Я(1)(г) = Я(1Ч0)ехр(/( л:-/К-17)),г 0, #(3)(7) = Я(3)(0)ехр(/(М + ifc3z))tz d. Здесь все к{ 0. Решение внутри неоднородного слоя II имеет сложную структуру и определяется как ВКБ решение для неоднородного слоя (формулы (1.62) главы 1). Рассмотрим граничные условия на границах раздела сред «1-И» и «П-Ш». Среда I
Поверхностные волны на границе неоднородной анизотропной среды. Оптическая ось ОО лежит в плоскости падения XZ. Толщина неоднородной анизотропной среды d; kj - проекция волнового вектора на ось OX; g/, e2(z), є3 - диэлектрические проницаемости среды I, II, III Данная однородная система линейных уравнений относительно неизвестных Ну3 (d) и Ну (0) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, а неизвестные Hy3)(d) и Я (0) линейно зависимы.
Второе слагаемое в (2.17) учитывает второе приближение ВКБ. В случае изотропной среды второе слагаемое функции ф(є{г)) обратится в ноль и уравнение (2.15) сводится к уравнению (2.6) Главы 2; если среда однородна, то мы получим уравнение для поверхностных поляритонов (11.96) работы [76]. Т. е. в однородном изотропном случае наши уравнения сводятся к классическому дисперсионному уравнению для поверхностных поляритонов. 6) p 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 - 0.0 V 7 2 3 A 5k\\/
Проследим как влияет анизотропия и неоднородность на вид дисперсионных кривых. Рассчитаем дисперсионные кривые для различных анизотропных сред. Вернемся к анизотропной плазме в магнитном поле, которая рассматривалась в п. 1.4. Тензор диэлектрической проницаемости среды имеет вид (1.54). Рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле отсутствует, (ои = 0. В этом случае среда будет изотропной. Пусть вторая среда занимает полупространство г 0, и рассчитаем дисперсионные кривые для полубесконечной однородной изотропной плазмы.
Теперь будем рассматривать однородный слой толщины d; будем увеличивать напряженность постоянного магнитного поля. Рассчитаем дисперсионные кривые для случая d= О, IX. Выполним расчет для различных соотношений плазменной и гироскопической частоты.
Обратимся снова к схеме НПВО в геометрии Кречманна. Матричный аппарат, изложенный выше, а также формулы для энергетического коэффициента отражения для волны / -поляризации позволяет получить спектры отражения для четырехсложной системы с анизотропной неоднородной средой внутри.
В точках A-D рис. 17, как и во всех точках, являющихся решениями дисперсионного уравнения для однородной анизотропной среды, нарушается полное внутреннее отражение в спектре, показанном на рис. 18.
При указанной расстройке частоты поверхностные волны существовать на этой границе не могут и появляются две новые ветви. В этом случае появляются изменения и спектре НПВО. На рис. 24 показано его трехмерное изображение и дисперсионные кривые. В спектре НПВО появляются новые минимумы.
Динамика эллипсометрических параметров электромагнитного излучения, отраженного неоднородной газовой реагирующей средой
Реакция взаимодействия СО и NO на Rh(l 11) протекает на поверхности катализатора, а не во всем объеме газовой смеси, поэтому реагирующая среда не может быть однородной. Рассмотрим газовую смесь, которая находится в замкнутом объеме и ограничена двумя плоскими стеклянными пластинами. На одну из пластин нанесен слой катализатора Rh(l И). В начальный момент времени t=0 концентрации химических веществ будут постоянными по всей толщине слоя: (г,0) = 0{ = const и среда будет оптически однородной. Однако с течением времени состав среды будет меняться, причем скорости изменения концентраций будут выше у той границы, на которую нанесен катализатор и происходит химическая реакция, то есть в плоскости z—l. Пусть / — толщина неоднородной реагирующей среды, или расстояние между пластинами. Химическая реакция на границе раздела z=l обеспечит изменение концентраций в заданной плоскости, что приведет к возникновению градиентов концентрации в среде. Состав смеси будет меняться по всей толщине слоя за счет диффузии. Изменение во времени частотного спектра энергетического коэффициента отражения для s- волны. График «1» получен для t=10 n. График «2» для t=10 ct график «3» для t=l(f с, график «4» для t=510 с. Графики «1-4» рассчитаны для неоднородной среды в рамках ВКБ- приближения
Последнее граничное условие следует из отсутствия газовых потоков через плоскость z=0. Интегрирование системы дифференциальных уравнений реакции дает функции значений концентраций реагирующих веществ от времени с,(/, t), которые являются граничными условиями для границы z=/. При помощи метода прогонки был выполнен расчет функций Ci(z,t). Известно, что химический состав среды влияет на значение ее диэлектрической проницаемости є, поэтому среда, неоднородная по химическому составу будет оптически неоднородной. Поскольку состав среды меняется со временем, то с течением времени будут меняться и ее оптические свойства. Диэлектрическую проницае мость рассчитаем по формуле (3.2). При взаимодействии с неоднородной средой электромагнитная волна будет проходить через слои различной оптической плотности, а это повлияет на отраженную и прошедшую волны.
Изменение во времени частотного спектра энергетического коэффициента отражения для р- волны. График «1» получен для /=/0 . График «1» получен для t=10 n. График «2» для t=10 c, график «3» для t=I0"9c, график «4» для t=5-10 9c. Графики «1-4» рассчитаны для неоднородной среды в рамках ВКБ- приближения
Найдем коэффициенты отражения и пропускания плоской электромагнитной, волны для неоднородной динамической среды в различные моменты времени. Для этого применим найденный в Главе 1 матричный аппарат метода ВКБ. В ходе реакции сокращаются концентрации оксидов азота (II) и углерода (II) на границе z=/.
Расчет для неоднородной среды выполнен в рамках ВКБ- приближения На рис. 34а, 346 показана динамика элипсометрических параметров ці и Д, рассчитанных в рамках ВКБ — приближения для одиночного резонанса. На рис. 35 показано изменение во времени параметра ц/, рассчитанного в рамках модели однородной среды (1.49). Расчет, выполненный по формулам (1.31) учитывает непрерывные изменения функции e(z), расчет в приближении однородной среды, учитывает усредненное значение c(z). В последнем случае при расчете коэффициентов отражения также были использованы усредненные значения e2(0)=E2(U они учитываются в сшивке на границах, и коэффициенты (1.39-1.42), рассчитанные в рамках такой модели, учитывают многолучевую интерференцию внутри слоя. Поэтому на графиках рис.35 при возникновении градиентов концентрации N0 амплитуда параметра у/ меняется незначительно. Согласно графикам рис.34а и 346, рассчитанным в рамках метода ВКБ, графики имеют экстремумы на частоте а)0 диапазон изменения параметров ці и Д сокращается по мере сокращения концентрации N0.
1. Получена матричная форма метода ВКБ во втором приближении для волн s- и р-поляризации, а также формулы для рассчета энергетических и эллип-сометрических коэффициентов отраженного и прошедшего света для неоднородных изотропных и анизотропных сред.
2. Найдено матричное решение для проекций векторов полей в окрестности точек поворота, а также сшивка матричных решений вдали и в окрестности точек поворота. Поле рассчитывается путем матричных преобразований.
3. Получено условие квазиклассичности для р- волны. При достаточно больших значениях функции ф( (г)) оно позволяет применять метод ВКБ к неоднородным слоям толщиной меньше длины волны.
4. Матричный метод ВКБ учитывает непрерывность оптических свойств среды, не предполагает разрывности векторов полей на границах слоев и позволяет устранить вычислительную многолучевую интерференцию: в этом его преимущество перед методом характеристических матриц.
5. Получены дисперсионные уравнения для 1111 на границе неоднородного изотропного и неоднородного анизотропного слоев во 2-м приближении.
6. Форма дисперсионных кривых для ПП для изотропной и среды зависит от вида неоднородности среды и от толщины слоя. В неоднородной изотропной среде количество ветвей решения дисперсионного уравнения определяется количеством границ, на которых меняется знак диэлектрической проницаемости среды.
