Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи обнаружении и оценки параметров сигналов (литературный обзор) 10
1.1. Оптимальная (согласованная) фильтрация в задачах обнаружения сигнала. 10
1.1.1. Введение 10
1.1.1.1. Критерии построения оптимальных фильтров 11
1.1.1.2. Фильтр Колмогорова-Винера 12
1.1.2. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне помех 14
1.1.2.1. Ошибки оптимального обнаружения 15
1.1.2.2. Критерии оптимального обнаружения сигналов 15
1.1.3. Оптимальное обнаружение полностью известного сигнала 17
1.1.3.1. Отношение правдоподобия 17
1.1.3.2. Характеристики обнаружения 19
1.1.4. Оптимальные фильтры в оптимальных обнаружителях 21
1.1.4.1. Импульсная переходная характеристика оптимального фильтра 21
1.1.4.2. Спектральные характеристики оптимального фильтра 22
1.1.5. Оптимальное обнаружение сигнала со случайными параметрами. Схемы
построения 23
1.1.6. Выводы 25
1.2 Оптимальная фильтрация в задачах оценки параметров сигналов 26
1.2.1. Традиционные подходы к определению временной задержки сигналов при многоканальном распространении 26
1.2.2. Оценивание временной задержки в условиях неточного знания несущей частоты. Функция неопределенности 29
1.2.3. Выводы 32
1.3. Принципы синтеза цифровых фильтров 33
1.3.1. Типы цифровых фильтров 33
1.3.2. Оптимальный подход к задаче синтеза цифровых фильтров 35
1.3.2.1. Метод взвешивания. Явление Гиббса и борьба с ним 37
1.3.2.2. Весовые функции и их свойства 41
1.3.2.3. Метод частотной выборки 43
1.3.2.4. Синтез оптимальных по Чебышеву фильтров 45
1.3.2.5. Сравнение оптимальных методов синтеза цифровых фильтров 48
1.3.3. Субоптимальный подход к задаче синтеза цифровых фильтров 49
1.3.3.1. ЛР-модель 49
1.3.3.2. Метод Пропи 53
1.3.3.3. Метод Кейпона 55
1.3.4. Выводы 56
1.4 Заключение 57
Глава 2. Применение теоретико-информационного подхода к решению задач оптимальной фильтрации и оценки временной задержки сигналов 60
2.1. Введение 60
2.2. Решение плохо обусловленных систем линейных уравнений вариационными методами с использованием информационных функционалов 60
2.3. Проблема расширения набора данных 62
2.4. О свойствах информационных функционалов Шеннона и Берга 64
2.5. Обработка фазоманипулированных сигналов избыточным линейным фильтром в задаче определения временной задержки 68
2.5.1. Постановка задачи 68
2.5.2. Метод определения коэффициентов избыточного линейного фильтра... 69
2.5.2.1. Критерий минимума нормы вектора коэффициентов 71
2.5.2.2. Критерий «минимизации спектральной полосы» 73
2.5.2.3. Теоретико-информационный критерий 75
2.5.3. Алгоритм построения функции «текущей дисперсии» 78
2.5.4. Моделирование алгоритма определения временной задержки в условиях доплеровского смещения несущей частоты 79
2.5.4.1. Влияние аддитивного шума 82
2.5.4.2. Влияние мультипликативного (фазового) шума 83
2.5.4.3. Влияние масштабирования спектра сигнала 84
2.6. Результаты и обсуждение 86
Глава 3. Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнении фазоманипулированных сигналов 87
3.1. Постановка задачи 87
3.2. Метод квадратичной фильтрации сигналов 88
3.3. Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения сигналов 93
3.4. Замечания по программной реализации алгоритма 95
3.5. Моделирование алгоритма определения временной задержки в условиях доплеровского смещения несущей частоты. Влияние аддитивного шума 95
3.6. Результаты и обсуждение 98
Глава 4. Комбинированная цифровая фильтрации гармонического заполнения ФМ сигналов в задаче определения временной задержки 99
4.1. Постановка задачи 99
4.2. Получение комплексного представления сигналов на основе линейной фильтрации 101
4.2.1. Критерий минимума нормы вектора коэффициентов 101
4.2.2. Критерий «минимизации спектральной полосы» 103
4.2.3. Теоретико-информационный критерий 105
4.3. Фильтрация гармонического заполнения сигналов 109
4.4. Замечания по программной реализации алгоритма 110
4.5. Моделирование алгоритма определения временной задержки в условиях доплеровского смещения несущей частоты 110
4.5.1. Влияние мультипликативного (фазового) шума 111
4.5.2. Влияние аддитивного шума 112
4.6. Результаты и обсуждение 113
Основные результаты и выводы 115
Литература
- Оптимальное обнаружение сигналов на фоне помех
- Решение плохо обусловленных систем линейных уравнений вариационными методами с использованием информационных функционалов
- Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения сигналов
- Теоретико-информационный критерий
Введение к работе
Одной из основных задач современной цифровой обработки сигналов является задача обнаружения и оценки параметров сигналов па фоне помех [1,2,3,4]. Проблема эффективного анализа и определения характеристик сигналов в присутствии помех различной природы на сегодняшний день представляет собой не только одно из важнейших направлений исследований статистической радиофизики, но и актуальную область активных разработок для многочисленных технических приложений. Различные критерии при проектировании оптимальных устройств обработки сигналов, а также различные модели описания шумовых процессов обусловили большое число применяемых для решения данных задач подходов. Фундаментальные работы В.А. Котельникова, Ю.С. Лезина, Б.Р. Левина, В.И. Тихонова, П.Л. Бакута, П.С. Акимова, Ю.Г. Сосулина и многих других ученых, посвященных решению общих задач анализа сигналов в присутствии помех, являются надежной теоретической базой для постановки и решения конкретных задач обработки сигналов. Кроме того, современный уровень развития схемотехники и элементной базы, а также интенсивное использование спутниковых каналов связи ставят новые задачи, определяемые как стремительным развитием средств радиосвязи и радиолокации, так и возможностью реализации оборудования с использованием компактных и надежных цифровых вычислительных систем.
Такой задачей, в частности, является задача определения параметров сигналов при многоканальном распространении. Одним из наиболее общих практических вопросов, возникающих в широком спектре приложений - от медицины до ядерной техники, - является проблема измерения взаимной временной задержки между двумя искаженными шумом копиями сигнала, распространяющимися по разным каналам, причем сам сигнал может быть неизвестен. На сегодняшний день общего подхода к определению взаимной временной задержки не существует. Например, в задачах радиолокации и задачах исследования среды распространения традиционно используют сигналы с хорошими корреляционными свойствами (коды Фрэнка, Велти, Баркера, М-последователыюсти [5,6]) и специальные методы обработки, позволяющие не только повысить отношение сигнал/шум, но и уменьшить объем обрабатываемой информации. Оценку временной задержки в задачах определения местоположения источника излучения обычно производят на основе методов оптимальной (согласованной) фильтрации.
Специфика обработки сигналов систем радиосвязи, во многих случаях представляющих собой кодовые пакеты короткой длительности с фазовой или частотной манипуляцией с относительно узкой полосой частот в присутствии шумов высокого уровня и различной природы, ограничивает возможность применения традиционных подходов и объясняет причину сохраняющегося интереса к разработке методов решения подобных задач. Основными причинами, обычно усложняющими реализацию алгоритма оценки временной задержки, как правило, являются: низкое (до 0 дБ и ниже)
соотношение сигнал/шум в канале распространения и необходимость учета изменения истинного времени задержки вследствие относительного движения источника и приемника излучения. Кроме того, особенностью разрабатываемых алгоритмов должна быть возможность их реализации на базе программируемой логики и сигнальных процессоров. Такая постановка задачи накладывает ограничение на сложность алгоритма, объем кода и время выполнения в соответствии с аппаратными возможностями выбранной для практического применения вычислительной системы.
В соответствии с изложенным выше, целью диссертационной работы является разработка устойчивых алгоритмов цифровой обработки сигналов, содержащих информационные пакеты с фазовой манипуляцией. Специфика алгоритмов состоит в необходимости определения параметров сигналов в присутствии аддитивных и мультипликативных шумов высокого уровня в условиях неточного, например, вследствие влияния эффекта Доплера при распространении по спутниковым каналам связи, знания несущей частоты. Кроме того, особое внимание уделено требованию простой и эффективной реализации алгоритмов для работы в режиме реального времени на базе цифровых сигнальных процессоров и программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).
Актуальность работы. Задача определения параметров многоканального распространения сигналов (взаимной временной задержки, частотного сдвига) имеет большое значение во многих областях прикладной физики и техники, таких как радиосвязь и радиолокация, сейсморазведка, гидроакустика, гидролокация, дефектоскопия и других. Знание временной задержки между принятыми сигналами позволяет определять положение объектов излучения и получать важную информацию о структуре среды распространения. Основные трудности при решении поставленной задачи на основе традиционных корреляционных методов и согласованной фильтрации связаны с неконтролируемым изменением параметров обрабатываемых сигналов. В частности, прохождение сигналов по спутниковым каналам связи или различные дисперсионные характеристики каналов распространения приводят к смещению и масштабированию спектра сигналов. Для применения традиционных методов необходимо компенсировать частотный сдвиг, что обычно делается введением перебора но частоте и приводит к большим вычислительным затратам. Алгоритмы определения временной задержки сигналов, основанные на нелинейной цифровой обработке исходных сигналов и не требующие компенсации неизвестного частотного сдвига, позволят значительно сократить время вычислений. Л устойчивость алгоритмов по отношению к неконтролируемым шумовым помехам в канале передачи данных является необходимым требованием, обеспечивающим возможность их применения в широком диапазоне условий и прикладных задач при комплексном воздействии всех обозначенных факторов.
Научная и практическая ценность. Большинство известных методов определения временной задержки сигналов в условиях неточного знания несущей частоты на фоне шумов высокого уровня реализуются на основе алгоритмов компенсации смещения спектра сигнала, например, на основе анализа функции неопределенности или методов обобщенной корреляции и в общем случае требуют априорных сведений о спектральном составе обрабатываемых сигналов и шумов. Для обеспечения требуемой точности оценки величины временной задержки необходимо обрабатывать большие объемы данных, что не позволяет производить оценку в реальном масштабе времени, поскольку компенсация неизвестного частотного сдвига производится по всей области неопределенности.
В диссертационной работе предложены алгоритмы определения временной задержки фазоманипулированных сигналов, позволяющие избежать необходимости компенсации неизвестного частотного сдвига посредством нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения с целью выделения фазовых разрывов исходных сигналов. Предлагаемые алгоритмы допускают эффективную реализацию на базе ПЛИС и сигнальных процессоров. Проведенные исследования устойчивости работы алгоритмов но отношению к аддитивным и фазовым шумам дают основания для их применения в задаче определения временной задержки сигналов с фазовой манипуляцией в условиях неточного знания несущей частоты в присутствии шумов высокого уровня.
Научная новизна работы. В диссертационной работе для решения задачи определения взаимной временной задержки предложены алгоритмы предварительной обработки сигналов с помощью избыточных линейных фильтров. Способ вычисления коэффициентов фильтров заключается в модификации метода минимальной дисперсии Ксйиона [1,7,8|. Модификация основана на искусственном увеличении значения порядка модели в подходе Кейпона с целью создания дополнительных параметров, обеспечивающих существование не единственного решения минимума дисперсии для коэффициентов фильтра. Множество решений дает дополнительную возможность использовать вариационные принципы выбора того из них, которое обладает предпочтительными для задачи определения временной задержки свойствами. В диссертационной работе для получения оптимального решения в условиях недостаточной информации при ограниченном наборе коэффициентов фильтра применялся принцип оптимизации информационного функционала. Такой подход не только учитывает характерные особенности обрабатываемых сигналов и требования, налагаемые на амплитудно-частотную характеристику, но и позволяет получать коэффициенты фильтра, устойчивые к несоответствию порядка модели обрабатываемому сигналу.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии». Нижний Новгород, ІІГТУ, 2006, 2007 гг;
на VII-й, VIII-й, ІХ-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва, 2005, 2006, 2007 гг;
на 1Х-й и Х-й научной конференции но радиофизике. Нижний Новгород, РФ ИНГУ, 2005, 2006 гг;
на ХП-й и ХШ-й международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Москва, 2006, 2007 гг.
и были опубликованы в статьях:
в журнале «Автометрия», 2006;
в журнале «Известия ВУЗов. Радиофизика», 2006;
в журнале «Вестник Нижегородского университета им. П. И. Лобачевского. Серия Радиофизика», 2005;
в журнале «Известия ВУЗов. Радиофизика», 2007.
Основные полоэюепия, представляемые к защите:
цифровой алгоритм обработки фазоманипулировапных сигналов избыточным линейным фильтром в задаче определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении и способ модификации подхода минимальной дисперсии Кейпона для определения коэффициентов избыточного линейного фильтра на основе принципа оптимизации информационного функционала;
результаты моделирования и исследования устойчивости работы алгоритма определения взаимной временной задержки при многоканальном распространении по отношению к уровню аддитивных и мультипликативных шумов в условиях неточного знания несущей частоты обрабатываемых сигналов;
алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения фазоманипулировапных сигналов, его применение и программная реализация в задаче определения взаимной временной задержки;
реализация алгоритма комбинированной цифровой фильтрации гармонического заполнения фазоманипулировапных сигналов в задаче определения временной задержки. Получение комплексного представления сигналов на основе линейной фильтрации с использованием принципа оптимизации информационного функционала;
результаты моделирования устойчивости работы алгоритмов
определения временной задержки на основе нелинейной
цифровой фильтрации в условиях доплеровского смещения
несущей частоты по отношению к влиянию уровня аддитивных
шумов.
Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка использованных литературных источников
и четырех приложений.
Первая глава содержит краткий обзор актуальных в настоящее время задач, связанных с обнаружением и оценкой параметров сигналов. Рассматриваются методы оптимальной (согласованной) фильтрации, подходы на основе обобщенного «кросс-коррелятора», функции неопределенности и связанные с ними алгоритмы, традиционно применяемые для решения задач обнаружения и определения временной задержки сигналов при многоканальном распространении в условиях неточного знания несущей частоты. Обсуждены современные подходы к синтезу цифровых фильтров, отмечена возможность их модификации с целью учета особенностей поставленной в диссертации задачи. Приводится краткое описание преимуществ и недостатков, присущих традиционным методам, а также специфические условия и характерные требования, предъявляемые в настоящее время к разработке и тестированию алгоритмов оценки параметров сигналов. В заключении главы формулируются основные направления проведенного в данной работе исследования.
Во второй главе обосновывается возможность применения теоретико-информационного подхода к решению задач оптимальной фильтрации и оценки временной задержки сигналов. Излагается принцип решения плохо обусловленных систем линейных уравнений для нахождения коэффициентов оптимального фильтра с использованием информационных функционалов. Анализируется проблема расширения набора данных и формулируются методы ее решения с использованием энтропийных функционалов в форме Шеннона и Берга.
На основе проведенного анализа предлагается адаптивный алгоритм предварительной обработки фазоманипулированных сигналов на фоне шумов при наличии эффекта Доплера. Обработка, заключающаяся в выделении фазовых разрывов исходных сигналов с помощью предложенного избыточного линейного фильтра, позволяет избежать необходимости компенсации частотного сдвига в задачах определения временной задержки при многоканальном распространении. С целью обеспечения требуемых свойств частотной характеристики коэффициенты фильтра находятся на основе теоретико-информационного подхода с использованием нескольких видов функционалов: критерия минимума нормы вектора коэффициентов, критерия «минимизации спектральной полосы», критерия максимума информационной энтропии в форме Берга. В заключении главы приводятся результаты исследований эффективности предложенного подхода к
определению временной задержки сигналов с различными несущими и шумовыми характеристиками.
Третья глава посвящена вопросам разработки и исследования алгоритма нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов, имеющих различные несущие частоты. Фильтрация заключается в выделении фазовых разрывов исходных сигналов и производится с помощью предложенного в работе квадратичного фильтра, построенного на основе линейного фильтра минимальной дисперсии. Предлагаемый метод позволяет избежать компенсации неизвестного частотного сдвига в задачах определения временной задержки сигналов при многоканальном распространении. Приведены замечания но программной реализации алгоритма и результаты его тестирования в условиях доплеровского смещения несущей частоты на фоне аддитивных шумов высокого уровня.
В четвертой главе предлагается двухступенчатый метод цифровой фильтрации фазоманипулированных сигналов в задаче определения временной задержки при многоканальном распространении. Первую ступень составляет информационно-оптимальный линейный фильтр с комплексными коэффициентами, вторую - квадратичный фильтр на основе подхода минимальной дисперсии. Коэффициенты информационно-оптимального линейного фильтра найдены для трех видов функционалов: критерия минимума нормы вектора коэффициентов, критерия «минимизации спектральной полосы», критерия максимума информационной энтропии в форме Берга. Приведены замечания по программной реализации алгоритма и результаты сравнения свойств амплитудно-частотных характеристик предлагаемых фильтров. Работоспособность предложенного метода продемонстрирована на коротких сигналах с фазовой манипуляцией, имеющих различные несущие частоты на фоне аддитивных и мультипликативных шумов. Исследована возможность простой и эффективной реализации на базе программируемой логической интегральной схемы (ПЛИС) для работы в режиме реального времени.
В заключении содержится сводка основных результатов и даются выводы по работе в целом.
В приложении 1 обсуждается принцип максимальной энтропии, применяемый для выбора предпочтительного из всех одинаково хорошо согласующихся с имеющимися данными решения, и сформулирована теорема о концентрации энтропии.
В приложении 2 в качестве примера приведены информационно-оптимальные модели в физике.
В приложении 3 рассматривается применение метода максимальной энтропии к спектральному анализу случайных процессов и полей. Показана связь с авторегрессиоными моделями.
Приложение 4 посвящено использованию методов многомерной оптимизации при решении задачи нахождения коэффициентов фильтра. Приведен характер оптимизируемой функции.
Оптимальное обнаружение сигналов на фоне помех
В ряде задач приёма сигналов в присутствии шумов нельзя ограничиться таким общим критерием, как отношение сигнал/шум. Возникает необходимость использовать более тонкие статистические свойства процессов, которые дают возможность количественно оценить достоверность полученных данных (например, координаты цели по данным радиолокатора). Вследствие случайного характера помех принципиально невозможно добиться их полного устранения. Использование рассмотренных выше «оптимальных» фильтров не изменяет случайного характера обрабатываемых сигналов. Путём совершенствования приёмных устройств можно снизить вероятность ошибки только до некоторого уровня.
Задача обнаружения сигналов на фоне помех - одна из важнейших в ряду задач, решаемых техническими средствами приема и обработки акустических, электрических, электромагнитных и прочих сигналов. Техническую систему, решающую такую задачу, обычно называют «обнаружитель».
На рис. 1.1 v(/) представляет собой детерминированную или случайную функцию, описывающую входной сигнал; А - случайная величина, принимающая два возможных значения: а0=0 и а,=1, причем а()=0 соответствует ситуации отсутствия сигнала на входе обнаружителя, о,=1 -ситуации наличия сигнала; n(t) - реализация случайного шумового процесса, маскирующего сигнал; В - случайная величина с возможными значениями / 0=0 и /),=1, причем b0=0 соответствует принятию решения об отсутствии сигнала на входе обнаружителя, а / , =1 - принятию решения о наличии сигнала [3, 4, 13, 14, 15].
Ошибки оптимального обнаружения В работе обнаружителя возможны 4 ситуации: а0Ь0 - правильный пропуск отсутствующего сигнала; a0bt - ложная тревога; ахЬй - пропуск сигнала; а,/ , - правильное обнаружение существующего сигнала. Влияние шума при решении задачи обнаружения проявляется в том, что перечисленные выше ситуации начинают носить случайный характер, который принято описывать распределением вероятностей: Р(а,,Ь,),/, j = 0,1.
Каждой ситуации ставится в соответствие некоторая числовая величина /?., характеризующая ущерб от неправильного решения. Величину Rtl принято называть «риском» («потерями», «стоимостью ошибки»). Естественно полагать, что R00 =/?,,= О и R]0 = Rm = 1. Совокупность чисел Р{аі,ЬІ) и Rtj исчерпывающим образом характеризует качество решения задачи обнаружения сигнала на фоне помех. На практике удобнее пользоваться единственным числовым показателем, именуемым «средним риском» Rc. = (R\:
Критерии оптимального обнаружения сигналов Среди критериев оптимального обнаружения обычно выделяют следующие критерии: критерий минимального среднего риска: Rc=min, являющийся наиболее общим критерием оптимального обнаружения сигнала; критерий максимальной весовой разности: a = D-A0F = max, который эквивалентен критерию минимального среднего риска; критерий идеального наблюдателя: Rc = Рош = P(a0)F + Р(а])Н = min, который эквивалентен двум предыдущим критериям при критерий максимального правдоподобия: Р„ш = 0,5 (F + Н) = min или F + H = min, который эквивалентен критерию идеального наблюдателя при Р(а0) = Р(ах) = 0,5; критерий Неймана-Пирсона: D = max//=стї/, который эквивалентен критерию максимальной весовой разности при фиксированном значении вероятности ложной тревоги. Учитывая, что D + H = \, получаем следующую трактовку критерия Неймана-Пирсона: H = mm\Fmam. Комментируя перечисленные выше критерии оптимальности решения задачи обнаружения сигнала, необходимо отметить два наиболее существенных момента. Во-первых, все критерии оптимальности тесно связаны между собой. Это означает, что при проектировании оптимального в смысле заданного критерия обнаружителя есть все основания надеяться «автоматически» синтезировать обнаружитель, близкий к оптимальному в смысле остальных критериев. Во-вторых, наибольшее практическое применение из всех перечисленных критериев во многих технических приложениях нашел критерий Неймана-Пирсона. Объяснение этого факта лежит в смысловой и практической неравноценности понятий «ложная тревога» и «пропуск сигнала». Фиксация ложной тревоги на заданном низком уровне (порядка 10 6-10 10) дает гарантию, что ошибочное решение о наличии сигнала не будет принято и не произойдет наступление «необратимых последствий» [14]. Часто значение вероятности ложной тревоги не может быть увеличено, даже учитывая то, что при этом снижается вероятность обнаружения сигнала. Так как вероятность ложной тревоги функционально связана с относительным порогом, то последний также оказывается заданным [13, 14]. Практически стараются удовлетворить одновременно двум противоречивым требованиям: вероятность ложной тревоги не должна превосходить некоторой заданной величины К; вероятность пропуска сигнала должна быть минимальной.
Качественно логика такого выбора проиллюстрирована на рис. 1.2. Вертикальная линия, восстановленная из точки соответствующего значения относительного порога у, совместно с графиками ограничивает площади, соответствующие вероятностям пропуска сигнала // (вертикальная штриховка) и вероятностям ложной тревоги F (наклонная штриховка). Приведенные графики позволяют качественно проанализировать различные ситуации. Так, при увеличении отношения сигнал/шум (что можно представить как уменьшение дисперсии шума на выходе приемного устройства) оба графика будут сужаться. Поэтому для сохранения допустимой величины ложной тревоги окажется возможным уменьшить значение порога. При этом вероятность пропуска сигнала уменьшится. Следовательно, единственной возможностью увеличения вероятности правильного приема остается повышение отношения сигнал/шум на входе порогового устройства, т.е. на выходе линейного тракта приемного устройства [13, 14].
Решение плохо обусловленных систем линейных уравнений вариационными методами с использованием информационных функционалов
При субоптималыюм методе синтеза линейных цифровых фильтров обычно предполагается, что автокорреляционная матрица обрабатываемого сигнала невырождена, а количество коэффициентов фильтра р определяется количеством спектральных составляющих в сигнале. В частности, если сигнал содержит одну моду, то (с учетом априорно неизвестной дисперсии шума) значение р должно быть выбрано равным трем. Увеличение значения параметра р приводит к вырождению автокорреляционной матрицы и включает задачу нахождения коэффициентов фильтра в класс некорректно поставленных задач [64]. Некорректность проявляется, прежде всего, в том, что задача является недоопределенной, то есть допускает бесконечное число решений, удовлетворяющих поставленным ограничениям. Для метода минимальной дисперсии Кейиона, например, вырождение АКМ приводні- к существованию множества векторов коэффициентов фильтра, минимизирующих дисперсию сигнала на его выходе и пропускающих без искажений синусоиду заданной частоты. Возникающая в данной ситуации проблема состоит в том, чтобы установить и обосновать принцип или критерий, опираясь на который можно было бы из всех возможных решений выделить наиболее предпочтительное. Кроме того, необходимо предложить алгоритм конструирования решения, обладающего признаком предпочтительности по отношению к прочим возможным решениям.
В настоящей главе рассматриваются такие математические критерии отбора наилучшего варианта, которые ассоциируются с понятием информативности решения - информационные функционалы. Таким образом, предпочтительным следует считать такой вектор коэффициентов, который соответствует оптимуму информационного функционала.
Одним из наиболее распространенных традиционных подходов к решению линейных некорректно поставленных задач является метод регуляризации, который заключается в следующем [64, 65, 66]. Рассмотрим систему уравнений:
Ах = Ь, в которой правые части являются результатами некоторых измерений. Допустим, что эта система плохо обусловлена. В случае квадратной матрицы А это означает, что часть ее собственных чисел очень малы, то есть находятся ниже некоторого уровня, определяющегося точностью, с которой задана система уравнений. Эта точность определяется метрологической точностью эксперимента, вычислительными ошибками, степенью адекватности математической модели исследуемой системе. Под решением системы уравнений понимается такой вектор х, который минимизирует норму Лх-Ь. В том случае, если существует множество таких векторов, будет выбран вектор с минимальной нормой x=min. Этот вектор называется обобщенным решением Мура-Пенроуза и может быть записан как Л+Ь. Матрица л+ называется обобщенной обратной матрицей Мура-Пеироуза или псевдообратной матрицей. Для нахождения псевдообратной матрицы используется метод усеченного сингулярного разложения, который заключается в следующем. Теорема разложения по сингулярным числам (РСЧ) [67,68,69] утверждает, что существуют положительные действительные числа a j2 ...ak Q (сингулярные числа матрицы Л), унитарная тхт -матрица U=[z/,,...,wJ и унитарная их «-матрица V=[v,,...,v„], такие что тхп-матрица Л может быть представлена в виде произведения трех матриц: A=UIF" где тхп-матрица Е, играющая центральную роль в методе усеченного сингулярного разложения, имеет следующую структуру: НГЗ Q=diag(a],...,ak) представляет собой диагональную матрицу, элементами которой являются сингулярные числа ак. Можно показать [70J, что сингулярные числа - это положительные значения квадратных корней из ненулевых собственных значений матриц ЛНЛ и ААН, а для квадратных матриц они равны модулям собственных чисел [113, 115].
Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза Л+, соответствующая тхп-матрице Л ранга к, однозначно определяется через компоненты разложения по сингулярным числам как матрица вида: Л+ = V2T \]" где
Таким образом, для получения псевдообратной матрицы необходимо заменить значения ак в матрице на обратные а к , для всех т4/0, и оставить а к нулями для всех ак=0. В методе усеченного сингулярного разложения нулями полагаются не только те элементы а к , для которых ак =0, но и те, для которых ак меньше некоторого порогового значения. Для сингулярного разложения комплексных прямоугольных матриц существуют устойчивые численные алгоритмы [67].
Псевдообратная матрица л+ позволяет получить решение системы недоопределенных уравнений по методу наименьших квадратов х=А+Ь для задачи отыскания их 1-вектора х. Искомый вектор х будет обладать минимальной из всех одинаково хорошо согласующихся с исходной системой уравнений решений нормой. Однако решение с минимальной нормой не всегда согласуется с физическим смыслом задачи. Достаточно сказать, что решение с минимальной нормой на практике редко соответствует условию неотрицательности решения. Таким образом, представляется целесообразным обобщить схему регуляризации на основе усеченного сингулярного разложения с целью обеспечения возможности выбора из набора допустимых решений решения с любыми заранее заданными свойствами.
Очевидно, что условие минимальности нормы Лх-Ь эквивалентно переходу от системы Лх=Ь к системе нормальных уравнений Гаусса [1J. Таким образом, нахождение решения с минимальной нормой эквивалентно решению задачи на условный экстремум:
Вид функционала S может выбираться исходя из физической постановки задачи. Следовательно, метод усеченного сингулярного разложения может быть использован в качестве универсального и гибкого подхода к решению линейных некорректно поставленных задач. Математически формализация этого метода может быть представлена в виде следующих соотношений:
Рассмотрим несколько примеров физически обоснованного выбора вида функционала S. В том случае, если искомое решение х имеет смысл плотности распределения вероятности, следует использовать функционал Шеннона S(x) = YJxklnxk; если х может быть интерпретирован как спектр функционал Берга 5(х) = 1п . В ситуации, когда решение представляет собой распределение электростатического ноля, традиционное условие минимальной нормы является вполне обоснованным, так как выражает собой условие минимума энергии этого поля. Если обоснование вида информационного функционала s не вытекает из физической постановки задачи, он может выбираться исходя из того, какие свойства искомого распределения важны для его дальнейшего анализа. В частности, если существенное значение имеет разрешающая способность решения, то предпочтительным является функционал Берга. В случае, когда для дальнейшей интерпретации решения существенна форма мелких деталей решения, следует пользоваться функционалом Шеннона [71].
Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения сигналов
Алгоритм цифровой фильтрации заключается в построении последовательности, отсчеты которой будут представлять собой отклонения наблюдаемого сигнала от чисто гармонического с частотой /0 и в неявном виде содержать информацию о модулирующей функции G{t). Взаимная корреляционная функция (ВКФ) таких последовательностей для процессов х,(0 и х2((-т0), очевидно, будет иметь глобальный максимум в точке задержки r0.
Предлагаемый алгоритм качественно напоминает процедуру демодуляции сигнала и сводится к прохождению исходных сигналов л:, (/ и x2(t) через цифровой фильтр, вектор коэффициентов а которого, получен в соответствии с выражением (2.21,2.23,2.29). В результате фильтрации отсчеты сигнала заменяются отсчетами другой функции a(t), неявно зависящей от мгновенной частоты. Функция r{t) представляет собой дисперсию сигнала на выходе адаптивного фильтра и вычисляется согласно выражению:
Процедура построения функции текущей дисперсии состоит из нескольких этапов. Вначале выбирается длина «скользящего окна» М (количество отсчетов сигнала, по которому вычисляются р отсчетов АКФ). Из отсчетов АКФ строится теплицева матрица IIі размером рхр и определяется текущее значение функции 7(/(). Затем окно передвигается на один отсчет и процедура повторяется. В итоге получаем два набора отсчетов функции текущей дисперсии, соответствующих сигналам в различных каналах распространения.
Поведение функции текущей дисперсии (а), вычисленной согласно выражению (2.31), для эталонного сигнала (б) приведено на рис. 2.16. Значение параметра р равно 7. Пока в скользящее окно попадают отсчеты сигнала, соответствующие смодулированной синусоиде на частоте /0, откликом будет некоторое постоянное число a(f0). Как только в окно начнут попадать отсчеты сигнала, соответствующие либо другой частоте ft, либо изменению фазы, откликом будет иное число, «следящее» за изменением мгновенной частоты сигнала. Таким образом, получаемая функция текущей дисперсии будет ясно отмечать моменты манипуляций и являться неким аналогом модулирующей функции сигнала. При заданной величине эффекта Доплера полуширина отклика фильтра определяет максимальную длину функции текущей дисперсии эталонного сигнала, при которой не происходит резкого снижения выраженности максимума взаимной корреляционной функции, соответствующего величине временной задержки /0 исходных сигналов [87, 88, 89, 90].
Предлагаемый алгоритм может быть достаточно просто реализован на базе цифровой программируемой логической интегральной схемы и сигнального процессора и имеет высокую вычислительную эффективность. Поскольку алгоритм малочувствителен к плавным изменениям частоты заполнения сигнала, его практическое применение должно быть ограничено классом фазомаиипулированных и частотно-манииулироваиных функций [89]. Применение предложенного в настоящей главе подхода для решения задачи определения временной задержки частотно-манииулироваиных сигналов можно найти в [117, 119].
Предлагаемый алгоритм реализован на программной модели и успению протестирован на реальных сигналах. Исследование эффективности предложенного подхода к определению временной задержки сигналов с различными несущими частотами и шумовыми характеристиками проведено с помощью компьютерного моделирования. Программная модель решала следующие задачи: моделирование аддитивного шума, обладающего специфическими свойствами; построение модели фазоманипулированных сигналов эталонного и исследуемого каналов; исследуемый сигнал содержит в себе эталонный; моделирование мультипликативного (фазового) шума на основе модуляции несущей частоты фазоманипулированного сигнала; наложение аддитивной шумовой составляющей на эталонный и исследуемый сигнал с учетом частотной характеристики приемного тракта; реализация алгоритма определения временной задержки сигналов методом адаптивной цифровой фильтрации: 1. решение задачи оптимизации для нахождения коэффициентов цифрового фильтра; 2. получение функций текущей дисперсии т(/) для эталонного и исследуемого сигналов; 3. вычисление ВКФ функций текущих дисперсий; формирование метки времени, содержащей информацию о временной задержке сигналов.
Модельная программа позволяет определить предельные значения аддитивных и мультипликативных шумов, при которых возможна достоверная оценка временной задержки. Модель фазоманипулированного сигнала характеризовалась следующими параметрами: длина выборки эталонного сигнала - 5000 отсчетов; длина выборки исследуемого сигнала - 8000 отсчетов; несущая частота эталонного сигнала - 25 кГц; несущая частота исследуемого сигнала - 26 кГц; скорость передачи данных в эталонном и исследуемом каналах -5 кГц; частота дискретизации - 250 кГц; временная задержка сигнала исследуемого канала - 500 отсчетов. Величина параметра фильтра р = 1, длина скользящего окна м-зо. Функция fx(f) для функционала «минимизации спектральной полосы» при моделировании полагалась тождественно равной единице. Кроме того, на сигналы накладывался аддитивный гауссов шум (/) в полосе, соответствующей полосе частот сигнала.
На рис. 2.16-2.17 приведены результаты обработки фильтром эталонного сигнала (отношение сигнал/шум +10 дБ) и показана ВКФ полученных функций текущей дисперсии сигналов эталонного и исследуемого каналов.
Теоретико-информационный критерий
Уменьшение ширины главного максимума без изменения числа коэффициентов фильтра приводит к увеличению уровня боковых лепестков, что соответствует теории линейных фильтров; увеличение числа коэффициентов приводит к сужению главного лепестка частотной характеристики; ширина главного максимума при заданной частоте дискретизации определяется выбором несущей частоты, что связано с необходимостью одновременного выполнения двух независимых условий (4.10); использование критерия «минимизации спектральной полосы» позволяет снизить уровень боковых лепестков частотной характеристики фильтра по сравнению с критерием минимума нормы вектора коэффициентов; использование функционала энтропии в форме Берга позволяет снизить уровень боковых лепестков частотной характеристики фильтра по сравнению с критерием минимума «минимизации спектральной полосы»; ширина главного максимума определяет границы изменения частоты /0, в которых возможно построение фильтров с заданным уровнем боковых лепестков. Возможное изменение несущей частоты обрабатываемого сигнала в полосе А/, вызванное, например, наличием эффекта Доплера, накладывает ряд требований на частотную характеристику фильтра. В частности, фильтр должен без значительных искажений пропускать все частоты в диапазоне /0±А/ и подавлять компоненты спеюра в интервале -/0±А/. Необходимая степень подавления достигается выбором функционала энтропии в форме Берга, а требуемая ширина полосы пропускания может быть получена выбором соответствующего количества коэффициентов [ 100].
Предлагается алгоритм фильтрации гармонического заполнения сигналов, основанный на построении комбинированного фильтра, первым звеном которого является фильтр, восстанавливающий комплексную форму сигнала, а вторым - квадратичный фильтр минимума дисперсии [92]. Восстановление комплексной формы гармонического сигнала производится с целью обеспечения устойчивой работы второго звена. Предлагаемый алгоритм качественно напоминает процедуру демодуляции сигнала и сводится к последовательному прохождению исходных сигналов л,(?) и s2(t) через оба звена каскада. В результате отсчеты сигналов заменяются отсчетами функции «текущей частоты» а[п\ [92] (рис. 4.16), являющейся неким аналогом манипулирующей последовательности и вычисляемой согласно выражению: а[п] = вг[пЩ-;в[п],ЩсО[і} = с[Щі-к]= ,г[і}с. (4.12)
Итогом фильтрации (4.12) являются две последовательности отсчетов функции текущей частоты, соответствующие сигналам в различных каналах распространения. Взаимная корреляционная функция таких последовательностей имеет глобальный максимум в точке временной задержки сигналов.
При моделировании предложенного алгоритма установлено, что на свойства частотной характеристики восстанавливающего фазу фильтра оказывает влияние выбор частоты дискретизации. Оптимальным отношением несущей частоты к частоте дискретизации является / = 0.25 (рис. 4.3). Данное соотношение обеспечивает минимальную, с точки зрения подхода Кейпона, дисперсию выходного сигнала фильтра. Кроме того, в этом случае условия (4.10) максимально удалены друг от друга по шкале относительной (в долях fd) частоты, что позволяет практически независимо оптимизировать поведение частотной характеристики в области ±/0. С силу этого обеспечивается улучшение сходимости алгоритма оптимизации и максимальное подавление боковых лепестков.
На рис. 4.17 приведена зависимость энергии выходного сигнала фильтра в случае единственного решения для его коэффициентов (р=2) от относительной частоты /. Характер данной зависимости позволяет сделать вывод о том, что использование предлагаемого фильтра для цифровой фильтрации возможно не только при оптимальном соотношении / = 0.25, по и в достаточно широком диапазоне частот [100]. Аппаратную реализацию предложенного в настоящей главе подхода для решения задачи демодуляции частотно-манипулированных сигналов в режиме реального времени можно найти в [120, 121,122].
Эффективность предложенного метода комбинированной цифровой фильтрации к определению временной задержки сигналов с различными несущими частотами, шумовыми характеристиками при наличии эффекта Доплера исследована с помощью компьютерного моделирования.
Процесс моделирования заключался в построении модели фазоманипулированного сигнала, наложении шума и реализации алгоритма определения временной задержки. Модель фазоманипулированного сигнала характеризовалась следующими параметрами: несущая частота эталонного сигнала - 25 кГц, несущая частота исследуемого сигнала - 26 кГц, скорость передачи данных в эталонном и исследуемом каналах - 4800 бит/с, временная задержка сигнала исследуемого канала - 400 отсчетов; длина выборки эталонного сигнала - 1000 и 3000 отсчетов, длина выборки исследуемого сигнала - 2500 и 7500 отсчетов для частоты дискретизации -250 кГц, длина выборки эталонного сигнала - 400 и 1200 отсчетов, длина выборки исследуемого сигнала - 1500 и 3000 отсчетов для частоты дискретизации - 100 кГц. Количество коэффициентов фильтра, получаемого на основе оптимизации функционала энтропии в форме Берга, р=9. При моделировании не учитывались искажения информационной составляющей спектра фазоманипулированных сигналов, полученные, например, при распространении по спутниковым каналам связи; влияние эффекта Доплера сказывалось только в изменении несущей частоты исследуемого сигнала (26 кГц) по отношению к эталонному (25 кГц). Кроме того, при моделировании необходимо учесть, что при решении задач «пассивной» оценки временной задержки (см. 1.2.1) эталонный сигнал обычно регистрируется с хорошим (не менее + Ю дБ) отношением сигнал/шум, а исследуемый представляет собой задержанную во времени искаженную копию эталонного сигнала. Необходимо отметить, что пренебрежение относительным изменением длительности информационных бит в каналах, вызванным масштабированием (расширением/сжатием) спектра сигнала вследствие эффекта Доплера, может быть обосновано только в случае обработки коротких выборок сигналов [94].
