Содержание к диссертации
Введение
2 Статистические характеристики эффекта задержки распада шумом неустойчивых состояний. 27
2.1 Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний. 28
2.2 Времена распада в случае симметричного потенциала 29
2.3 Времена распада в случае антисимметричного потенциала 33
2.4 Потенциальный профиль с барьером 34
2.5 Дисперсия Времени Первого Достижения 40
2.6 Выводы 50
3 Времена установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источниками и стоками. 52
3.1 Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц. 53
3.2 Обобщение метода отыскания временных характеристик
на случай систем с источниками и стоками частиц 59
3.3 Связь временных характеристик в системах с нулевым и ненулевым стационарным потоком 64
3.4 Примеры вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в конкретных потенциалах 68
3.5 Выводы 72
4 Эффект ускорения диффузии в наклонных периодических потенциалах. 74
4.1 Постановка задачи 74
4.2 Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале 76
4.3 Произвольный потенциал. Случай высоких барьеров 86
4.4 Выводы 91
5 Заключение. 92
- Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний.
- Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц.
- Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале
Введение к работе
Задача об исследовании влияния шума на характеристики различных физических систем представляет в настоящее время значительный интерес (см., напр., [1]-[10]). Это связано с тем, что его присутствие в сложных нелинейных системах становится причиной существенных изменений в их поведении. Только в случае достаточно малой интенсивности шума и для систем, имеющих единственное устойчивое состояние равновесия, флуктуации являются мало возмущающим фактором, приводящим лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от своего среднего значения [11]. Однако, в широком круге задач физические системы имеют несколько локально устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. В этом случае под воздействием шума может произойти переход из одного состояния равновесия в другое, распад метастабильного или нестабильного состояния и т.д. Таким образом, роль флуктуации в неравновесных системах во многом становится определяющей. Одной из эффективных моделей для анализа индуцированных шумом переходных процессов в подобных системах является модель броуновского движения частиц в вязкой среде в потенциальном поле сил [6], [8]-[10],[12].
В настоящей работе изучается кинетика флуктуационных процессов в нелинейных динамических системах, далеких от равновесия, в рамках модели одномерной броуновской диффузии.
1.1 Постановка задачи
Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением Ланжеве-на: !~^+«'>. <>> где х - изображающая точка (некоторая физическая величина), характеризующая состояние системы, U(x) - потенциал, характеризующий саму систему, г] - коэффициент эквивалентной вязкости, (<) белый гауссо-вый шум, < (<) >= 0, < {t)(t + в) >= 2q6(0)/T], q - интенсивность шума. Поведение такой системы определяется воздействием двух сил -регулярной dU(x)/r]dx и случайной (<).
Если х - это координата броуновской частицы, то уравнение (1.1) описывает броуновское движение в потенциальном поле сил U(x), в сре де настолько вязкой, что инерционностью (массой) частицы можно пре небречь. Поэтому уравнение (1.1) называют уравнением броуновской диффузии. '
Данное уравнение описывает множество различных процессов в таких областях физики как лазерная физика [7],[8],[13], динамический хаос [14],[15], радиотехника [8],[9],[16],[17], обработка сигналов [18],[19], физика диэлектриков [8],[20], динамика солитонов [21],[22], фазовые переходы [23], [24], геофизика [25], физика джозефсоновских переходов [2], [26], [27] диффузия в твердом теле [28], физика плазмы [29] и пр. Кроме того, оно широко используется в химии [30],[31] и биофизике [32],[33].
В большинстве интересных с физической точки зрения случаев потенциал U(x), описывающий конкретную систему, имеет ряд минимумов и максимумов, которым соответствуют устойчивые состояния динамических систем (см. Рис.1.1). Это могут быть, например, различные амплитуды колебаний напряженности электрического поля в лазерах, или различные фазовые состояния вещества, или различные режимы динамических систем (хаотический и ламинарный) и т.д. В отсутствии флуктуации попавшая в один из локальных минимумов броуновская частица оставалась бы там бесконечно долгое время. Однако под воздействием случайной силы (t) она может преодолеть потенциальный барьер и попасть в соседний минимум потенциала. Совершая таким образом индуцированные шумом переходы, частица будет диффундировать в потенциальном профиле, большую часть времени находясь вблизи его ми-
Рис. 1.1: нимумов. Таким переходам броуновской частицы через потенциальные барьеры соответствуют переходы динамических систем из одного состояния в другое (смена режимов генерации, фазовые переходы, переходы из ламинарного режима в хаотический, глобальные изменения климата и т.д.) Их также называют термически активированными переходами, имея ввиду, что во многих задачах и, в частности, в случае задачи о броуновской диффузии, интенсивность шума берется пропорциональной температуре: q = кТ.
Из-за воздействия флуктуации время, за которое происходит индуцированный шумом переход, или, другими словами, время пребывания системы в одном из устойчивых состояний является случайной величиной. Поэтому при решении различных физических задач возникает вопрос о ее статистических характеристиках, которые определяются нестационарной плотностью вероятности W(x,t) нахождения броуновской частицы в точке х в момент времени t. Как известно (см., напр., [8],[9]), функция W(x,t) описывается уравнением Фоккера-Планка, соответствующим уравнению (1.1): dW{x,t) (1.2) W(x,t), д dU{x) DJP_ дх rjdx 2 дх2 где введено обозначение D = 2q/rj, с соответствующими граничными условиями, например, W(±oo,t) = 0.
Уравнение (1.2) в литературе известно также как уравнение Смолу-ховского. Дело в том, что уравнением Фоккера-Планка (УФП) иногда называют уравнение соответствующее более общему случаю, когда, интенсивность белого шума в (1.1), а следовательно и величина D, является некоторой функцией от координаты D = D{x). Тогда уравнение для плотности вероятности будет иметь следующий вид: dW(x,t) dt д dU{x) З2 D{x) дх rjdx дх2 2 W(x,t). (1.3)
Однако, в силу того, что при помощи известной замены переменных [8],[9] уравнение (1.12) сводится к уравнению (1.2) где D = const (произвольная константа) мы можем без потери общности рассматривать только уравнение (1.2) и называть его уравнением Фоккера-Планка.
Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 броуновская частица находилась в точке с координатой х = хо, то за начальное условие УФП (1.2) следует взять: И^(х,0) = 6(х — х0). В этом случае решением УФП будет плотность вероятности переходов W(x, t) = W(xo\x, t), являющаяся функцией Грина этого уравнения. Поэтому если за начальное условие взять некоторое произвольное распределение W(x, 0) Wo(a:), то решением УФП будет / со Wo{x0)W(xo\x,t)dx0. -оо
Таким образом зная решение УФП (1.2) с дельтаобразными начальными условиями, т.е. плотность вероятности переходов, мы можем определить решение УФП с любыми заданными начальными условиями. _5_2 дх''
УФП (1.2) есть линейное уравнение в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами. С помощью замены переменных (см., напр., [34]) это уравнение сводится к уравнению Шре-дингера: dW(x,t)
У(') + s-2 и к уравнению диффузии: =^(4^)- dW(x,t) dt
Стационарное решение УФП (1.2) легко найти из условия dW(x,t)/dt -0. В результате, как и следовало ожидать, мы получим распределение Больцмана, где вместо температуры стоит интенсивность шума: Wst{x) = NexP(-^l). (1.4)
Помимо систем, описываемых уравнением (1.1) и соответствующим ему УФП (1.2) для плотности вероятности W(x,t), в данной работе рассматриваются системы с источниками и стоками частиц, часто используемые в качестве моделей при описании, например, процессов ядерного синтеза [35, 36], диффузии протеинов в микропорах [37], фотопроцессов на поверхности раздела "газ-твердое тело" [38] и пр. Основная проблема, возникающая при исследовании подобных систем, связана с невозможностью введения для них уравнения, подобного уравнению Ланжевена (1.1) для систем без источников, что приводит, в частности, к значительным сложностям при численном моделировании происходящих в них физических процессов [39]. Вместо уравнения Ланжевена описание подобных систем происходит на языке концентрации броуновских частиц p(x,t), диффундирующих в заданном потенциальном профиле U(x), которая при наличии внешнего источника s(x,t) описывается неоднородным УФП (см., напр., [40], [41]): &М_ _«*>+.<,,,), (1.5) которое в таком виде называют еще неоднородным уравнением диффузии. Здесь G(x, t) - поток вещества: p{x,t) + dx дх (1.6) D - коэффициент диффузии (во многих задачах принимается, что D = 2kT/h), ip(x) = ^р = Щр- - безразмерный потенциальный профиль, а s(x,t) - функция источника или стока. Будем считать, что s(x,t) > 0. Тогда s(x, t) это число частиц в единицу времени, рождающихся в точке х в момент времени t. Пусть в такой системе задан сток при х -> +оо (т.е. U(x) —> —оо при х -4 +оо). В этом случае в ней может возникнуть стационарная неравновесная концентрация частиц pst(x), зависящая от источника и стока [40], которая, в силу неравновесности системы, уже не будет совпадать с распределением Больцмана (1.4), как это было в случае систем с конечным числом частиц. Другим отличием систем с источником и стоком частиц является тот факт, что стационарный поток вещества в них будет отличен от нуля.
Задачей данной работы является исследование особенностей поведения статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов в сильно неравновесных динамических системах, описываемых различными потенциальными профилями U(x), их зависимость от интенсивности шума и начального пложения броуновской частицы. Для различных типов потенциалов и начальных положений броуновских частиц вводят различные временные характеристики переходных процессов: время первого достижения броуновскими частицами заданных границ, время перехода через потенциальный барьер, время жизни мета-стабильного состояния, время распада нестабильного состояния и др. Поясним более подробно, что подразумевается под каждой из этих временных характеристик.
Время релаксации - есть характерное время за которое в системе устанавливается стационарное распределение (1.4) если в начальный момент времени распределение W(x, 0) не совпадало со стационарным. Обратимся к потенциальному профилю изображенному на Рис. 1.1. Пусть изначально система находилась в состоянии А, то есть W(x, 0) = $(х — А), тогда вероятность того, что частица находится в области минимума А равна: PA(t = 0)= f W(x,0)dx = l.
С течением времени начальное распределение W(x, 0) будет расплываться, при і -> оо установится больцмановское распределение (1.4) и вероятность Ра{Ь — оо) станет равной: гс РА(оо) = / Wst(x)dx.
Таким образом, в процессе релаксации исходного распределения к стационарному вероятность Ра{і) меняется от Ра(0) = 1 До некоторого значения Рд(оо) (см.Рис.1.2). Назовем временем релаксации характерное
Рис. 1.2: время установления стационарного значения вероятности Рл(0- Разумеется, вместо вероятности Ра{Ї) можно взять вероятность того что частица будет находится и на другом интервале, например, вблизи минимума В. Тогда при тех же начальных условиях VK(x,0) = 8(х — А) вероятность Рв{і) = J_cW(x,t)dx будет увеличиваться от Рв(0) = 0 до стационарного значения Рв(оо). В любом случае будем считать, что время релаксации есть характерное время установления стационарного значения вероятности того, что броуновская частица находится в некотором заданном интервале. Определим его, пользуясь правилом равновеликого прямоугольника: (1.7) т = S?(P(t)-P(oo))dt^ р(0)
Р(0) - Р(оо)
Аналогично можно ввести время релаксации и для систем с источниками и стоками частиц . Только в этом случае будет происходить установление не вероятности Рл(0> а стационарной неравновесной концентрации броуновских частиц pst(x), которая возникает в подобных системах.
Время первого достижения - есть время за которое броуновская частица стартующая из некоторой точки х = xq впервые пересечет одну или две заданные границы расположенные в некоторых произвольных точках xi и х2 (хі < х0 < х2). Время первого достижения (ВПД) есть (1.8) (1.9) случайная величина для которой можно ввести плотность вероятности w(r) и определить (см., напр., [42]) среднее время первого достижения (СВПД): < т >= T1(x0,xl,x2) = / tw(t)(1t, и его дисперсию (ДВПД): а2 = Т2(х0,х1,х2)-Т1(х0,х1,х2)2, T2(x0,xl,x2) = / t2w(t)ut.
Рис. 1.3:
Пусть в потенциальном профиле изображенном на Рис. 1.1 броуновская частица в начальный момент находится в точке х = А я требуется найти СВПД границ С п С. Можно показать (см., напр., [9]), что если найти решение УФП Wi(x,t) для потенциального профиля Ui(x), который при С < х < С совпадает с исходным потенциальным профилем, а за границами х = С и х = С имеются бесконечно глубокие потенциальные ямы (или, другими словами, в точках х = С ш х = С находятся поглощающие границы, см. Рис.1.3), то искомое СВПД будет равно: _ /*00
Т(А,С,С)= PM(t)dt, Jo (1.10)
Раі(і)= I Wv(x,t)dx есть вероятность того, что броуновская частица будет находится вну-
Рис. 1.4: три интервала [С,С] потенциального профиля Ui(x). Эта вероятность меняется от Рм(0) = 1 до Рм(оо) = 0 (см. Рис.1.4) и СВПД (1.10) есть характерное время релаксации вероятности Раі(Ї) к стационарному значению, определенное по правилу равновеликого прямоугольника.
Кроме того, можно показать (см., напр., [9]) что упомянутое выше распределение ВПД w(t) равно производной от вероятности Раі{і) ' w(t) = -jj-{r).
Заметим, что поскольку аналитическое выражение в квадратурах для СВПД в случае произвольной формы потенциального профиля давно известно (о чем подробнее будет сказано в следующем пункте), именно эта временная характеристика чаще всего используется авторами при изучении флуктуационных процессов в различных динамических системах. При этом зачастую остается без внимания тот факт, что СВПД дает о них весьма ограниченную информацию. Действительно, как следует из определения, при вычислении СВПД пренебрегается возможностью того, что частица может вернуться в интервал решения, после того, как однажды покинет его. Подобная идеализация, как это было показано, например, в работе [43], в некоторых задачах может приводить к серьезным ошибкам. Поэтому, для того, чтобы учесть обратный поток вероятности, вводят еще одну временную характеристику, называемую нелинейным временем релаксации (НВР), являющуюся средним временем пребывания частицы внутри интервала решения и вычисляемую независимо от того, как много раз броуновская частица покидала интервал и возвращалась обратно. Определяется НВР следующим образом: пусть P(t) -это вероятность того, что частица находится внутри интервала решения. В начальный момент Р(0) = 1. Со временем частица покинет неустойчивое состояние, поэтому -Р(оо) = 0. Чтобы учесть тот факт, что во время процесса распада частица может несколько раз пересекать границу интервала решения, определим НВР как время установления вероятности P(t) :
0 = / P(t)dt. (1.11)
Если частица пересекает границу интервала решения лишь однажды, время (1.11) совпадает с СВПД. В противном случае выражение (1.11) учтет обратный поток вероятности через границу интервала решения и будет существенно отличаться от СВПД. Таким образом, СВПД является частным случаем НВР (1.11), а именно случаем, в котором мы пренебрегаем обратным потоком вероятности.
Под временем перехода через потенциальный барьер обычно подразумевают СВПД границы, находящейся за потенциальным барьером, если в начальный момент броуновская частица находится в добарьерной области. Например, для потенциального профиля U(x), изображенного на Рис. 1.1 за время перехода А -» В через потенциальный барьер С можно принять СВПД Т(А, -со, В) границы расположенной в х = В из точки х = А. В этом случае временем перехода через потенциальный барьер С будет характерное время установления стационарного значения вероятности
Рм№ = Г W2{x,t)dt,
МО) = 1, РА2(оо) = 0, в потенциальном профиле Ui(x) полученном из исходного U(x) путем добавления бесконечно глубокой потенциальной ямы в точке х = В (см.Рис.1.5)
Рис. 1.5:
Время жизни метастабильного состояния есть характерное время нахождения броуновской частицы вблизи локального минимума, который находится намного выше остальных минимумов мультистабиль-ного потенциального профиля. Рассмотрим, например, двухуровневую бистабильпую систему, описываемую потенциальным профилем Ui(x), изображенном на Рис. 1.6. В таком потенциальном профиле при t -4 со состояние А можно считать менее устойчивым, чем состояние Z?, потому что из стационарного распределения (1.4) следует, что Рд4(оо) < Рві{<х>), где
М0=/ W4{x,t)dx, J—оо roo Pe*(t)= W*{x,t)dx,
Но это не значит, что броуновская частица, перескочив из минимума А в В, никогда не вернется назад. Просто время ее пребывания вблизи В будет больше, чем вблизи А. При достижении динамического равновесия \Ц(Х)
А С В х
Рис. 1.6: в системе число переходов из А в В и назад приблизительно одинаково, так как поток вероятности через барьер равен нулю. Однако, если минимум А расположен намного выше В, так что Рл4() *С Рва{оо), то время пребывания броуновской частицы в минимуме В будет намного больше, чем в А. Тогда состояние А можно назвать метастабильным, в том смысле, что совершив переход из А в В броуновская частица практически никогда не вернется из более стабильного состояния В. В этом случае характерное время пребывания броуновской частицы в минимуме А есть время жизни метастабильного состояния. Поскольку минимум В находится намного ниже Л, то можно вообще исключить его из рассмотрения и заменить исходный потенциальный профиль Ui{x) профилем Us(x), имеющим бесконечно глубокую яму при х —у оо (см.Рис.1.7).
За время жизни метастабильного состояния можно, таким образом, принять характерное время релаксации вероятности
Раь(і)= [ W5(x,t)dx, к своему стационарному значению Раь(<х>) = 0. Если исходный потенциальный профиль имеет больше двух локальных минимумов, то мета-стабильному состоянию может соответствовать профиль имеющий два потенциальных барьера (см.Рис.1.8). В этом случае, за время жизни метастабильного состояния принимается характерное время релаксации
Рис. 1.7: вероятности Рлб(0 соответствующей потенциалу Ue(x), изображенному на Рис.1.8:
Рм(і) = Іс W6(x,t)dx, к стационарному значению Рає(оо) = 0.
Нестабильные состояния образуются из метастабильных, если положить равной нулю высоты потенциальных барьеров в потенциальных профилях Ub(x) и U&(x), описывающих метастабильные состояния (см. Рис.1.9,1.10).
Времена распада нестабильных состояний определяются аналогично временам жизни метастабильных состояний, как характерные времена установления стационарных значений вероятностей РачІ}) и PA&(t): J — ОО PAS(t) = J W8{x, t)dx, PAs{0) = 1, Pas(oo) = 0
Границы С и С выбираются согласно условиям конкретной задачи. Кроме того, в некоторых задачах времена распада нестабильных состояний определяются как СВПД границ С и С.
Таким образом, любая из вышеперечисленных временных характеристик, используемых для решения различных задач, может быть опре-
Рис. 1.8: делена, как время установления стационарного значения вероятности нахождения броуновской частицы (либо стационарного значения концентрации броуновских частиц) на соответствующем интервале потенциального профиля.
Кроме самих временных характеристик случайных процессов, происходящих в системах, далеких от равновесия, в настоящей работе исследуется выражаемый через них эффективный коэффициент диффузии броуновских частиц, диффундирующих в наклонных периодических потенциалах, являющихся адекватной моделью, успешно используемой при исследованиях в твердотельной [8] и джозефсоновской [44] электронике, химической физике [45] и биофизике [46], [47]. Для его определения вновь рассмотрим модель одномерного сверхвязкого движения броуновских частиц, в периодическом потенциале V(x) с периодом L в присутствии белого гауссовского шума и постоянной внешней силы F, описываемого уравнением Ланжевена (1.1), в котором U(x) = V(x) — Fx. Соответствующая плотность вероятности W(x,t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка:
8W(x,t) dt
П*)-г+,-г W(x,t) (1.12) с граничными условиями W(±oo,t) = 0. Если первоначально все частицы были сосредоточены в точке х = х0, то со временем начальная
Рис. 1.9: дельтаобразная плотность вероятности W(x,0) = 5(х — х0) начнет смещаться под действием постоянной внешней силы и расплываться из-за наличия шума. На больших временах можно рассмотреть плотсность вероятности Was(x,t) (см. Рис.1.11), усредненную по многим периодам потенциала V(x), которая будет ассимптотически стремиться к гауссов-скому распределению: Wa.{x,t) = (1.13) exp[-(ar - vt)2/4Defft] ^4TrDefft где v - это скорость сноса, a De/f - эффективный коэффициент диффу- < x2(t) >-< x{t) >2 (1.14) Def/ = lim являющийся предметом нашего интереса. Его величина может быть определена, если известны СВПД Тг(х0 -» х0 + L) и ДВПД Ат2(х0 -> Хо + L), о чем подробнее будет сказано в следующем пункте.
1.2 Современное состояние проблемы.
Как показано в предыдущем пункте, все временные характеристики индуцированных шумом переходных процессов, а следовательно, и выра-
кЩх)
Рис. 1.10: жаемые через них физические величины можно было бы определить, зная нестационарное решение УФП (1.2). Однако, к настоящему времени, это решение в общем случае произвольного потенциального профиля U(x) неизвестно. Тем не менее, уравнения для некоторых из перечисленных выше временных характеристик, а именно для СВПД и ДВПД броуновскими частицами заданных границ, были найдены еще в 1933 году, в работе Понтрягина и др. [48]. Используя результаты этой работы легко получить точное выражение для СВПД и ДВПД для произвольного потенциала U(x) (см., напр., [10], [42]). Помимо этого, в работе [42] показано, что аналогичным методом можно получить точное выражение для любого момента < т" > распределения ВПД. Это выражение будет включать в себя все моменты < тк >, где к < п. Так, в случае, если рассматриваемая система ограничена одной отражающей (в точке а) и одной поглощающей (в точке Ь) границами, выражения для первых двух моментов ВПД примут вид:
Чх0; q) = ~ [" eU{v)/4 f e-W'dudv, (1.15) T2{x0;q) = —? euW* ГTiMe-VW'dudv. (1.16) Q Jxn Ja
W(x,t), WJx,t)
Рис. 1.11: Характерный вид плотности вероятности, определяемой уравнением (1.12) и ассимптотической плотности вероятности (1.13).
Если же в точках а и Ь находятся две поглощающие границы, данные выражения еще более усложнятся: jyU{v]l4jy-U{u)lqdudv), (1.17)
2Ч (№ eU^dy [Ь u{v)/g Г _Щи), 2Ыч) = 7 [Цешиіуі е L TlMe dudv~ / eu(«)/«y Т,(щЯ)е-и^1Чи(1уу (1.18)
Здесь xo - точка начального положения броуновских частиц.
Для нахождения других временных характеристик в случае произвольного вида потенциального профиля за последние годы была разработана группа методов (см., напр., [43], [49]-[52]), основанных на использовании преобразования Лаплпса, позволяющих решать поставленную задачу для систем с нулевым стационарным потоком (в отсутствие источника частиц) без знания точного нестационарного решения УФП (1.2). Так, например, в указанных работах было получено общее выражение для НВР: в{х0, L; q) = Т(х0, L; q) + 0(L; q), (1.19) где 0(L;q) - поправка к СВПД Т(х0,L;q), отвечающая за обратный поток вероятности. Например, в случае, если потенциал U(x) - симметричный, а интервалом решения является область (—L, L) она определяется выражением:
0(1; q) = ir eU^4v Ґ e-u^>4v. (1.20) q Jl Jo
Если же потенциал U(x) - антисимметричный, а интервалом решения является область (—оо, L) данная поправка равна:
0(L; q) = - Г eU^'4v [L e-uW'4u. (1.21) qJL J-оо
Перечисленные выше результаты относятся к системам с нулевым стационарным потоком. Системы же с источниками частиц стали исследоваться значительно позже. В частности, в работе [40] впервые было показано, что если в подобной системе потенциальный профиль спадает при х —» +оо не медленнее, чем —ж2, то через некоторое время в ней установится равновесие между источником и стоком, и возникнет стационарное распределение плотности частиц: р(х, оо) = ^-е-^ Ґ ev(u)l(u - x0)du (1.22) и стационарный поток G(x) ф 0 : G(x) = s0l(x - х0). (1.23)
Вопрос же о временах их установления оставался открытым.
Как видно из представленных выше выражений для временных характеристик флуктуационных процессов в неравновесных динамических системах, результатом всех перечисленных выше работ являются подчас весьма громоздкие квадратурные формулы, в которые как параметры входят потенциал U(x), интенсивность флуктуации и начальное положение броуновской частицы. Непрозрачность выражений для статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов привела к тому, что хотя сами точные формулы известны уже давно, некоторые принципиальные особенности поведения времен переходов через барьер, времен жизни нестабильных и метастабильных состояний и связанных с ними физических величин были обнаружены сравнительно недавно. Так, например, долгое время считалось, что присутствие аддитивного шума способно лишь уменьшать время жизни нестабильного состояния так же, как это происходит в случае распада метастабиль-ного состояния [13], [53]. И лишь несколько лет спустя в ряде работ (см., напр., [43],[54]-[56]) было продемонстрировано, что при определенных условиях аддитивный шум может стабилизировать нелинейную систему, увеличив среднее время жизни описываемого ею нестабильного состояния. Данное явление получило название эффекта задержки распада шумом нестабильных состояний (ЗРШ). Другим примером принципиальной роли шума в поведении неравновесных динамических систем может служить явление стохастического резонанса, обнаруженное при исследовании зависимости отношения сигнал/шум в сложных нелинейных системах. Так, в работах [57], [58] было показано, что в отличие от линейных систем, где отношение сигнал/шум монотонно убывает с ростом интенсивности флуктуации, в неравновесных нелинейных системах оно может иметь немонотонную зависимость с ярко выраженным максимумом на определенном уровне шума. Другими словами, наличие флуктуации в подобных системах за счет их сложного нелинейного взаимодействия с сигналом способно оптимизировать условия его выделения на фоне шумов.
Отметим так же, что указанная выше громозкость точных формул для статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов заставила большинство авторов ограничиваться рассмотрением лишь среднего времени установления стационарного или распада нестабильного состояния, оставив в стороне вопрос о его дисперсии, характеризующей состоятельность оценки средних значений измеряемых физических величин. Лишь в некоторых работах (см., напр., [53, 59]) была рассмотрена зависимость ДВПД от начального положения броуновской частицы при постоянном уровне шума. В результате, в частности, до сих пор остается открытым вопрос о возможности экспериментального обнаружения некоторых предсказанных в теории эффектов.
Помимо этого, в работах [60], [61] при исследовании эффективного коэффициента диффузии в сильно неравновесных системах, описываемых наклонными периодическими потенциалами, впервые было показано, что он выражается не только через среднее, но и через дисперсию времени жизни метастабильных или нестабильных состояний, описываемых периодическим потенциалом. Причем особенности поведения указанных статистических характеристик могут приводить к появлению немонотонности в его зависимости от интенсивности шума, в то в время, как прежде при исследовании эффективного коэффициента диффузии в периодических потенциалах подобное явление обнаружено не было [8], [62]. Точные выражения в квадратурах для эффективного коэффициента диффузии были впервые получены в работах [60, 61, 63]. В частности, в работах [61, 63] было показано, что De/j можно выразить через среднее Ti(xo —^ хо+Ь) и дисперсию а2(хо -> x0+L) ВПД броуновскими частицами границы, расположенной в точке хо + L, в наклонном потенциальном профиле V(x) — Fx: _ L2 a2(xo^xQ + L)D<" - ТрЦхо-Ио + ФГ (1'24)
Помимо этого, в работах [61, 64] было впервые показано, что в периодическом синусоидальном потенциале с критическим наклоном F = Fc (т.е., таким наклоном, когда исчезают максимумы и минимумы потенциала) возникает эффект ускорения диффузии по сравнению с диффузией в свободном пространстве. В этих работах появление максимума в зависимости эффективного коэффициента диффузии от величины наклона объяснялось с помощью модели переходов броуновских частиц через плоские участки потенциала, которые возникают, когда наклон достигает критического значения. Для этого случая в работе [63] были получены приближенные выражения для эффективного коэффициента диффузии, становящиеся ассимпотически верными при малом шуме. Позднее, в работах [65, 66], для изучения влияние формы потенциального профиля на немонотонную зависимость эффективного коэффициента диффузии в окрестности критического наклона была использована модель кусочно-линейного потенциального профиля.
С другой стороны, в работе [60] эффект ускорения диффузии был рассмотрен для субкритического наклона периодического потенциала. В этом случае эффективный коэффициент диффузии, как функция интенсивности шума, растет с увеличением флуктуации, достигает максимума и при сильном шуме ассимпотически стремится к значению коэффициента диффузии в свободном пространстве. Ранее диффузия в потенциальных профилях с субкритическим наклоном рассматривалась, например, в работе [9], где было показано в случае малой интенсивности шума, что эффективный коэффициент диффузии является возрастающей функцией интенсивности флуктуации, однако в данном приближении максимум эффективного коэффициента диффузии не мог быть получен.
Основной проблемой перечисленных выше работ, посвященных исследованию эффективного коэффициента диффузии в наклонных периодических потенциалах, является тот факт, что в них рассматривались сложные нелинейные потенциальные профили, делающие анализ проходящих в них флуктуационных процессов чрезвычайно сложным. В результате оставался открытым вопрос о механизме возникновения эффекта ускорения диффузии в подобных системах, об условиях его появления и зависимости от параметров потенциального профиля.
Помимо перечисленных приложений вопрос о зависимости ДВПД от интесивности флуктуации и параметров потенциальных профилей возникает так же при исследованиях флуктуационной динамики джозеф-соновского контакта [27] и флуктуации фазы автоколебаний [59].
В настоящей работе аналитическими и численными методами проводится детальное исследование поведения статистических характеристик (как среднего, так н дисперсии) флуктуационных процессов в динамических системах, далеких от равновесия, изучается их зависимость от формы потенциальных профилей, интенсивности флуктуации и начальных положений броуновских частиц.
1.3 Содержание работы.
В настоящей работе в гл.1 аналитическими и численными методами проведено исследование эффекта ЗРШ нестабильных состояний, описываемых полиномиальными потенциалами, а так же распад метастабильного состояния, описываемого кусочно-линейным потенциальным профилем. В результате впервые удалось показать, что не при любых условиях эффект ЗРШ, предсказанный теоретически, может быть обнаружен в экс- перименте [67]. Для выяснения причин указанного явления на примере эффекта ЗРШ, возникающего в кусочно-линейном потенциальном профиле, впервые была исследована зависимость ДВПД от интенсивности флуктуации и начального положения броуновской частицы. В частности, удалось показать, что ДВПД может быть немонотонной функцией интенсивности шума даже в случае, если первоначально частица располагалась внутри потенциального барьера. Кроме того, в гл.1 получены ассимптотические выражения для ДВПД в пределе малого шума для различных начальных положений броуновской частицы. Это дало возможность обнаружить ту область начальных условий, где ДВПД значительно превосходит СВПД в области малого шума, что позволило объяснить отсутствие в численном эксперименте эффекта ЗРШ, который, должен был возникнуть согласно теоретическим расчетам [68]. Так же впервые удалось найти такие начальные положения броуновских частиц, при которых условия наблюдения эффекта ЗРШ становятся оптимальными.
Гл.2 посвящена изучению временных характеристик в неравновесных системах с источниками и стоками частиц, в которых при определенных условиях, найденных в [40], могут возникать стационарные неравновесные распределения плотности вещества. В настоящей работе впервые удалось получить точное нестационарное решение неоднородного УФП в модельной задаче с постоянным потенциалом [69], что, в свою очередь, дало возможность определить времена установления стационарной плотности и потока частиц в подобной системе. В случае же произвольной формы потенциала, когда точное решение неоднородного УФП неизвестно, для нахождения временных характеристик был разработан метод, являющийся обобщением и дальнейшим развитием подхода, предложенного в [49]-[51], позволяющий находить точные времена установления стационарной плотности частиц без использования нестационарного решения неоднородного уравнения УФП [70].
Кроме этого, на основе выявленной связи временных характеристик в системах с фиксированным числом частиц и с постоянным во времени источником частиц, была предложена модификация хорошо известного метода Крамерса [71], позволяющая отыскивать времена перехода броуновских частиц через потенциальный барьер. Упомянутый метод справедлив лишь в случае малой по сравнению с высотой барьера интенсивности шума, в то время, как предложенная модификация дает точное значение времени перехода для произвольного соотношения между интенсивностью флуктуации и высотой потенциального барьера [72].
В гл.З исследован эффективный коэффициент диффузии Defj, описывающий расплывание броуновских частиц, диффундирующих в наклонных периодических потенциалах. В настоящей работе на основе изучения диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале впервые удалось выяснить физический механизм немонотонного поведения эффективного коэффициента диффузии, сформулировать условия на параметры потенциала, при которых немотонность возникает и вычислить максимально возможное значение эффективного коэффициента диффузии, как функции интенсивности шума, превосходящее значение коэффициента диффузии в свободном пространстве. Полученные результаты обобщены на случай потенциального профиля произвольной формы [73].
Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний
Как уже было отмечено выше, суть эффекта ЗРШ, обнаруженного в работах, появившихся в последние годы (см., напр., [43, 74, 75]), заключается в увеличении среднего времени распада нестабильных состояний под действием флуктуации. Другими словами, в указанных работах было продемонстрировано, что при определенных условиях зависимость среднего времени жизни нестабильного состояния от интенсивности шума в системах, описываемых уравнением (1.1), может быть немонотонной и содержать участок, где с ростом интенсивности флуктуации происходит увеличение времени распада.
Простейшим случаем, когда возникает эффект ЗРШ, является распад неустойчивого состояния, описываемого параболическим потенциалом, подробно рассмотренный в литературе (см., напр., [24, 53, 43, 76, 77]):
В данном случае начальное состояние является неустойчивым равновесным, если о = 0 и неустойчивым неравновесным, если Хо ф 0. При изучении распада неустойчивых состояний в подобном потенциале различные авторы ограничивались лишь начальным состоянием х0 = 0. В этом случае динамическое время распада (время распада в отсутствие флуктуации) равно бесконечности, и действие шума способно его лишь уменьшить, что было продемонстрировано в работах [53, 76, 77]. Эффект же ЗРШ появляется лишь если х0 ф 0. В этом случае времена распада (как СВПД, так и НВР) увеличиваются с ростом интенсивности флуктуации, достигают максимума и уменьшаются.
Кроме того, в работе [43] было показано, что учет обратного потока вероятности, направленного из устойчивого состояния в неустойчивое, приводит к значительному увеличению эффекта ЗРШ для НВР, по сравнению с СВПД.
В данной главе все перечисленные результаты проверяются при помощи численного моделирования и аналитических рассчетов на примере нестабильных состояний, описываемых полиномиальными потенциалами. Кроме того, показывается, что НВР может быть увеличено действием флуктуации, когда их интенсивность меняется в значительно более широких пределах, чем СВПД.
Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц
Рассмотрим систему с постоянным во времени источником частиц s(x), описываемую неоднородным УФП (1.5). Как уже было сказано выше, если потенциал (р(х) спадает при х - +оо не медленнее, чем — я2, то в такой системе спустя некоторое время может наступить равновесие между источником и стоком частиц и возникнуть стационарное неравновесное распределение концентрации броуновских частиц р(х). Будем считать, что р(х) удовлетворяет указанному условию. Полагая так же, что s(x) = s0S(x - х0), и что в начальный момент времени р(х,0) = О, поставим задачу нахождения времени установления стационарного неравновесного распределения плотности броуновских частиц в некотором слое, либо в произвольной точке среды.
Прежде чем перейти к решению поставленной задачи в случае произвольной формы потенциального профиля ip(x), рассмотрим простейший частный случай постоянного потенциала
Эта модельная задача интересна тем, что для нее возможно отыскать точное нестационарно! решение неоднородного уравнения диффузии (1.5), что, в свою очередь, дает возможность в деталях исследовать кинетику установления станционарной неравновесной плотности частиц.
Будем рассматривать достаточно простую и, вместе с тем, интересную ситуацию, когда источник расположен вблизи отражающей границы, другими словами, будем считать, что XQ мало и больше нуля. В этом случае уравнение (1.5) запишется следующим образом.
class3 Эффект ускорения диффузии в наклонных периодических потенциалах. link3
Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале
Как было сказано выше, эффективный коэффициент диффузии De// в наклонных периодических потенциалах определяется выражением (1.24), куда входят среднее и дисперсия времен распада метастабильного состояния, описываемого этим потенциальным профилем. Очевидно, что упомянутые статистические характеристики для модельного потенциала (4.1) могут быть сосчитаны. Поэтому, используя полученные точные результаты мы можем исследовать влияние формы периодического потенциала на значение эффективного коэффициента диффузии.
Прежде всего рассмотрим зависимость эффективного коэффициента диффузии от интенсивности флуктуации. Как было сказано выше, впервые возможность немонотонного поведения Dejj(q) была обнаружена в работе [60] в случае потенциального профиля особой формы при некоторых значениях его параметров. Подобный эффект был найден и нами для кусочно-линейного потенциала (4.1). Как следует из Рис.4.2, будучи равным нулю в отсутствии флуктуации, коэффициент диффузии в потенциальном профиле V(x) медленно возрастает с ростом интенсивности шума q, оставаясь при этом меньше, чем коэффициент диффузии в свободном пространстве D0(q) = q. Так происходит до определенного уровня флуктуации, примерно в 10 раз меньшего высоты потенциального барьера Е, после чего коэффициент диффузии резко возрастает в несколько раз, достигает максимума при q w Е/А, уменьшается, достигая минимума при q « Е/2, и вновь начинает расти, ассимптотически стремясь к величине Do(q).
В настоящей работе предлагается следующий физический механизм для качественного объяснения подобного поведения коэффициента диффузии Dejf(q). В отсутствие флуктуации, очевидно, и De/j(q) и D0(q) равны нулю. Под воздействием же шума броуновские частицы начинают диффундировать, однако, в потенциальном профиле V(x) эти процессы замедляются потенциальными барьерами, поэтому Defj(q) Do(q) при q « Е. Однако при увеличении интенсивности шума ситуация качественно меняется. Чтобы понять характер этих изменений рассмотрим поведение двух броуновских частиц в свободном пространстве и в потенциале V(x) при q « Е. В первом случае единственной причиной, по которой происходит увеличение среднего расстояния между броуновскими частицами, является действие флуктуации, в наклонном же периодическом потенциале V(x) в действие вступает иной механизм, за счет которого при определенных условиях коэффициент диффузии может резко возрасти. Это объясняется тем, что частица, перешедшая через потенциальный барьер, под действием постоянной силы F быстро сместится до ближайшего минимума потенциала, находящегося на расстоянии L относительно частицы, оставшейся в потенциальной яме. Таким образом, расстояние между частицами возрастет на величину, пропорциональную L, за время, обратно пропорциональное F. Отсюда следует, что при интенсивности шума, равной по порядку величины высоте барьера Е, эффективный коэффициент диффузии, характеризующий среднюю скорость разбегания частиц, должен быть пропорционален произведению FL и может превосходить значение величины Do{q).
