Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор литературы 13
1.1. Метаматериалы и метаплёнки 13
1.2. Области применения метаматериалов 16
1.3. Методы расчёта характеристик метаматериалов 20
1.3.1. Модель колебательного контура 21
1.3.2. Матрица поляризуемости 24
1.3.3. Расчёт свойств метаплёнок на основании поляризуемостей отдельных резонаторов 27
1.4. Ограничения, налагаемые на поляризуемости частиц 28
1.5. Выводы 29
Глава 2 Матрица поляризуемости субволновых резонаторов 31
2.1. Введение 31
2.2. Методика расчёта поляризуемостей 32
2.2.1. Общие уравнения 32
2.2.2. Электрический дипольный момент 34
2.2.3. Магнитный дипольный момент 36
2.2.4. Определение компонент матрицы поляризуемости 37
2.3. Численное решение задачи рассеяния методом конечных элементов в COMSOL Multiphysics 39
2.4. Дипольные поляризуемости сферических частиц 43
2.5. Дипольные поляризуемости П-образных частиц. Результаты численного расчёта и обсуждение 47
2.5.1. Распределение полей в резонансах 47
2.5.2. Спектры коэффициентов поляризуемости 50
2.5.3. Наклонное падение 53
2.6. Влияние вариации геометрических параметров на частотные за
висимости 2.6.1. Зависимость резонансной длины волны от высоты резонатора 54
2.6.2. Зависимость резонансной длины волны от глубины ёмкостного зазора 56
2.7. Выводы по главе 2 57
Глава 3 Размерные зависимости поляризуемости 59
3.1. Введение 59
3.2. Спектры коэффициентов поляризуемости 61
3.2.1. Электрическая поляризуемость 66
3.2.2. Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости 68
3.3. Масштабные зависимости резонансных частот и добротности 70
3.4. Обсуждение 72
3.5. Выводы по главе 3 74
Глава 4 Модель расчёта коэффициентов прохождения и отражения бианизотропной метаплёнки 75
4.1. Введение 75
4.2. Аналитические соотношения 76
4.3. Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения 84
4.4. Выводы по главе 4 88
Глава 5 Влияние статистического разброса размеров частиц на характеристики метаплёнок 89
5.1. Введение 89
5.2. Образцы, установка и эксперимент 89
5.3. Сравнение эксперимента и теории 92
5.3.1. Аналитичиские выражения и расчёты 92
5.3.2. Результаты первоначального расчёта 94
5.3.3. Статистическое усреднение 95
5.3.4. Обсуждение 97
5.4. Выводы по главе 5 100
Глава 6 Экспериментальное и теоретическое исследование метап лёнок в терагерцовом диапазоне частот 101
6.1. Введение 101
6.2. Экспериментальные образцы 101
6.3. Экспериментальная установка 106
6.4. Обработка экспериментальных данных 108
6.5. Определение материальных параметров ситалла СТ-50-1 в терагерцовом диапазоне 112
6.6. Численное моделирование метаплёнок с использованием периодических граничных условий 115
6.7. Результаты и обсуждение 118
6.7.1. Сравнение результатов эксперимента и численного моделирования 118
6.7.2. Эффективные показатели преломления и поглощения ме-таплёнок 123
6.7.3. Проверка корректности результатов с помощью соотношений Крамерса-Кронига 124
6.8. Выводы по главе 6 127
Заключение 128
Список сокращений и условных обозначений 130
Литература
- Методы расчёта характеристик метаматериалов
- Магнитный дипольный момент
- Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости
- Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения
Методы расчёта характеристик метаматериалов
Электромагнитный отклик такой среды определяется как геометрией и симметрией структуры, так и свойствами материалов, из которых состоит композит. Стоит отметить, что метаматериалы состоят в близком родстве с другим типом широко известных композитных структур — фотонными кристаллами. Разница между ними состоит лишь в том, что фотонными кристаллами называются среды, чья рабочая длина волны для внешнего излучения сопоставима с размерами неоднородности композита, а в метаматериалах длина волны много больше размеров неоднородностей.
Подобно обычным средам, электродинамические свойства метаматериалов удобно описывать с помощью параметров эффективной магнитной и диэлектрической проницаемости. Поскольку роль атомов (или ионов) при этом исполняют неоднородные включения, которые обычно имеют резонансный отклик, то и спектры эффективных параметров будут иметь резонансный характер. Таким образом, настраивая резонансные свойства отдельных частиц, можно получить композит с желаемыми свойствами.
Широкий интерес к метаматериалам возник на рубеже XX-XXI веков в связи с проблемой получения сред с отрицательным показателем преломления, и построения на их основе суперлинзы [5]. Теоретическое описание и предсказание эффектов в средах с отрицательным показателем преломления было дано в работе [3] ещё в 1967 году. Было показано, что отрицательный показатель преломления п = л/єу/JJ, можно получить, если в среде одновременно отрицательны диэлектрическая є, и магнитная /І проницаемости. Векторы Е, Н и к электромагнитной волны, распространяющейся в такой среде, образуют левую тройку векторов, поэтому такие среды ещё называют «левыми». При этом фазовая и групповая скорости волны становится противонаправленными, обращаются законы преломления, эффекты Доплера и Вавилова-Черенкова [27]. Интересным следствием инверсии преломления является то, что плоскопараллельная пластинка с показателем преломления п = — 1 даёт идеальную фокусировку изображения объекта, что позволяет обойти дифракционный предел и реализовать эффект суперлинзирования. Однако, в 1960-у годы экспериментальная реализация «левой» среды представлялась невозможной, поскольку не было материалов способных обеспечить отрицательную магнитную проницаемость.
В 1999 году в работе [4] впервые была продемонстрирована возможность получения такой среды. Для этого была предложена периодическая структура, состоящая из субволновых металлических резонаторов. Резонаторы, названные кольцевыми (в иностранной литературе широко используется термин split-ring resonator, SRR), представляли собой вложенные друг в друга металлических полоски в форме буквы «С». Отрицательная эффективная магнитная проницаемость обеспечивается массивами таких резонаторов на высокочастотном склоне их резонансной кривой.
В 2000 году на основе кольцевых резонаторов в комбинации с массивом металлических стерженьков, которые обеспечивали отрицательную эффективную диэлектрическую проницаемость структуры, был впервые реализован метама-териал с отрицательным показателем преломления, работающий в микроволновом диапазоне излучения на частоте 5 ГГц (см. рис. 1.1а) [6].
Естественным направлением развития в области построения метаматери-алов стало продвижение по спектру от микроволновых частот до волн оптического диапазона. Так в работе [28] продемонстрирована экспериментальная реализация левой среды, работающей на 100 ГГц. В [29] значения отрицательной магнитной проницаемости были получены для частот в районе 1 ТГц. Рабочая частота метаматериала 100 ТГц получена в [30]. Резонансная частота в 200 ТГц была достигнута в [31], а резонансы на 350 ТГц — в [8]. При это размеры частиц уменьшились примерно на 5 порядков: с 6,6 мм в [6], до 215 мкм в [28], затем до 32 мкм в [29], далее до 320 нм в [30], и, наконец, до 200 и 110 нм в [31] Рис. 1.1: Фотографии экспериментальных метаматериалов для диапазонов СВЧ ( [6] (а), [28] (б)), терагерцового ( [29] (в)) и оптического из работ ( [30] (г), [31] (д) и [8] (е)) и [8] соответственно. На рис. 1.1 представлены фотографии экспериментальных образцов из указанных работ.
Хорошо видно какую эволюцию претерпевает резонатор при перестройке рабочей частоты с микроволн на частоты ближнего инфракрасного диапазона. По мере уменьшения размеров был произведён переход от двух вложенных резонаторов к одному, форма резонатора от округлой перешла к П-образной. Кроме того, заметен рост неидентичности резонаторов между собой, что влияет на степень расхождения экспериментальных данных с результатами расчётов.
Упрощение формы резонаторов связано прежде всего с особенностями технологий изготовления экспериментальных образцов. В [6] резонаторы изготавливались с помощью промышленной технологии создания печатных плат. Для изготовления структур [28, 29] применялись методы, основанные на фотолитографии. Для более мелкомасштабных композитов [8,31] использовалась электронно-лучевая литография. Поскольку процесс изготовления композитных структур по таким технологиям достаточно сложен, дорог и разрешающей способности не всегда достаточно для точного воспроизведения формы частиц, критически важно, чтобы форма резонаторов была как можно более простой. Поэтому для метаматериалов оптического диапазоне наиболее часто используются массивы из резонаторов прямоугольной П-образной геометрии. Специфика технологий изготовления метаматериалов также привела к тому, что объектами экспериментальных исследований наиболее часто становятся двумерные планарные структуры — метаплёнки (metafilms) или метаповерх-ности (metasurfaces). Изготовление планарных структур, особенно микронных размеров, существенно легче и дешевле, чем изготовление объёмных образцов. Для получения получения последних приходится использовать послойную методику изготовления, как, например, это было проделано в [32,33]. Существуют и более изощренные методики. Например, представленная в [34], позволяющая изготавливать метаматериалы, в которых плоские резонансные частицы располагаются на гранях углублений различной формы, будь то кубики, полусферы или пирамидки. Также следует отметить метод теневой литографии [35], позволяющий получать большие планарные массивы периодически расположенных C- и O-образных резонаторов, за время, значительное меньшее по сравнению с электронно-лучевой литографией, при сопоставимом качестве изготовления.
Магнитный дипольный момент
Из (2.37) видно, что магнитоэлектрические компоненты могут становится равными нулю, если у частицы имеются соответствующие плоскости симметрии. Приведённая выше методика не предполагает учёта влияния симметрии на вид компонент матрицы поляризуемости, все компоненты вычисляются независимо друг от друга.
Заметим также, что описанный способ нахождения матрицы поляризуемости (1.13) пригоден не только, когда значения комплексных амплитуд диполь-ных моментов получены с помощью аналитических или численных расчётов, но и в тех случаях, когда они измерены экспериментальными методами.
Численное решение задачи рассеяния методом конечных элементов в COMSOL Multiphysics Как было отмечено выше, в настоящей работе для решения задачи рассеяния использовался RF модуль пакета программ COMSOL Multiphysics1, в основе которого лежит метод конечных элементов [103,104].
Рассмотрим основные этапы решения задачи рассеяния методом конечных элементов в COMSOL Multiphysics на примере П-образного резонатора, представленного на рис. 2.2. Форма резонатора задавалась следующими геометрическими параметрами: длинной стороны /, высотой резонатора /г, шириной зазора д и глубиной зазора и. В этой главе ориентация П-образного резонатора вдоль осей декартовых координат принята следующая: плоскость резонатора перпендикулярна оси у, ось z проходит вдоль ножек резонатора, а ось х — перпендикулярно им. ху.3.5а, build 3.5.0.608 Рис. 2.2: Геометрические параметры отдельного резонатора и его ориентация в пространстве.
Частицу окружала сферическая область радиусом 2,5/, электромагнитные характеристики которой соответствуют вакууму.
Для того, чтобы избежать паразитных отражений вакуумная сферической область окружена областью представлявшей идеальную согласованную нагрузку (в англоязычной литературе используется термин PML, Perfectly matched layer), эффективно поглощающую рассеянное излучение и прошедшую волну. Толщина слоя PML составляла 0,5/.
В области расчёта задаются материальные параметры веществ и граничные условия, сшивающие поля, а также амплитуда, направление и длина падающей плоской волны. В области расчёта находилось решение волнового уравнение для рассеянного электрического поля Esc:
Для этого вся область разбивалась на сетку, состоящую из множества конечных элементов в форме тетраэдров и призм, как показано на рис. 2.3.
После разбиения области на конечные элементы COMSOL Multiphysics производит расчёт в автоматическом режиме без участия пользователя. Для полноты изложения рассмотрим основные шаги метода конечных элементов на этапе собственно решения. В каждом конечном элементе неизвестное решение волнового уравнения (2.38) для электрического поля представлялось в виде полиномиальной функции второй степени с неизвестными коэффициентами. Функции не равны нулю только внутри своих конечных элементов. Затем, методом Ритца или Галёркина, производился переход к системе (разреженных) линейных уравнений, решение которой давало искомое распределение поля в Рис. 2.3: Область расчёта, разбитая на конечные элементы. Показаны конечные элементы на границах областей.
области расчёта. Подробное и детальное рассмотрение метода конечных элементов и его применение к задачам электродинамики можно найти в монографиях [103,104].
COMSOL Multiphysics предоставляет на выбор довольно большой набор различных решателей (в англоязычной литературе широко используется термин solver) систем разреженных линейных уравнений. Довольно полное рассмотрение возможностей и сравнение производительности различных решателей приведено в работах [105,106]. На основании анализа этих работ и по результатам собственных тестовых расчётов, было определено, что наиболее эффективный для рассматриваемых проблем решатель — PARDISO. Он характеризуется довольно быстрой загрузкой оперативной памяти при старте моделирования и эффективным использованием многоядерных процессоров с поддержкой нескольких потоков.
Первоначально для проведения расчётов использовалась ЭВМ оснащенная процессором Intel Core i7 950 (4 ядра, 8 потоков) и 12 Гб оперативной памяти. Среднее время расчёта распредления поля в представленной на рис. 2.3 области для одной точки по частоте составляло от десятков секунд до десятков минут и нелинейно зависело от количества элементов на которые была разбита область решения. Для модели состоящей из примерно 22 тысяч элементов среднее время решения 107 секунд. Впоследствии расчёты также производились на машине с процессорам Intel Core i7 3770k и 16 Гб оперативной памяти, что сократило время вычисления модели с 22 тысячами элементов до 70 секунд для одной точки по частоте.
Возможность COMSOL Multiphysics работать в связке с MATLAB позволила написать ряд программ параметризующих и автоматизирующих процесс моделирования. Постобработка результатов расчёта в основном осуществлялась в MATLAB.
После решения численной задачи по известному распределению полей в соответствии с формулами (2.22), (2.23) и (2.28), (2.29) рассчитываются компоненты индуцированных дипольных моментов. Для полноты изложения приведём выражения, использующиеся при их вычислении в COMSOL Multiphysics, в явном виде.
Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости
В настоящей главе исследованы частотные характеристики поляризуемости для П-образных резонаторов из золота и сферических металлодиэлектри-ческих резонаторов, состоящих из кварцевого ядра и покрытых слоем золота, размеры которых варьируются в широких пределах — от 25 нм до 6 мм.
Установлено, что при расчете коэффициентов поляризуемости П-образных резонаторов, размеры которых много больше толщины скин-слоя, имеет место систематическая ошибка в определении объемной составляющей магнитного дипольного момента, вызванная особенностями реализации функции postint при объёмном интегрировании в среде COMSOL Multiphysics. Величину ошибки можно существенно уменьшить без увеличения числа узлов сетки, если приближенно полагать, что в указанной области дипольный момент обусловлен лишь поверхностными токами, т.е. пренебречь объёмными токами. После устранения упомянутой систематической ошибки отклонение значений магнитоэлектрических компонент от принципа Казимира-Онсагера существенно уменьшилось (хотя и не вошло в пределы обусловленные лишь погрешностью вычислений).
Установлены пределы геометрических размеров частиц и частотной области, где имеют место законы электродинамического подобия. А именно, от микроволновых частот до частот дальнего ИК. Указанный диапазон характеризуется линейной зависимость резонансных длин волн всех мод от геометрических размеров. Кроме того, наблюдается независимость величины добротности резонансов от частоты и постоянство нормированных на объем значений коэффициентов поляризуемости.
Электродинамическое подобие нарушается на длинах волн видимого и ближнего ИК диапазонов. Здесь имеет место насыщение размерной зависимости резонансных частот и некоторое увеличение добротности. Размерные зависимости нормированных поляризуемостей ведут себя разнонаправленно: электрические — имеют тенденцию к росту с ростом резонансных частот и соответственно — уменьшением размеров, при этом магнитные поляризуемости имеют максимум, и резко падают при дальнейшем уменьшении размеров. Магнитоэлектрические коэффициенты также характеризуются максимумом и дальнейшим уменьшением значений, хотя не столь резких. ГЛАВА 4
В современных исследованиях метаматериалов существенное место занимают проблемы взаимодействия электромагнитных волн с системами излучателей, располагающихся на поверхностях и имеющих размеры и взаимные расстояния гораздо меньшие длины волны. В последнее время свойства метап-лёнок, составленных из частиц микронных и субмикронных размеров, интенсивно исследовались в терагерцевом, ИК- и видимом диапазонах (см. напр. [6–8, 28–31,63,64,73,114]).
Как было отмечено в литературном обзоре, для вычисления характеристик метаматериалов и метаплёнок используются различные численные методы, в том числе методы конечно-элементного и конечно-разностного моделирования. Обычно производится моделирование элементарной ячейки с периодическими граничными условиями. Такой метод имеет свои преимущества, особенно, если заранее известны все параметры моделируемой метаплёнки. Однако, при необходимости проектировании метаплёнки с заданными свойствами или при исследовании угловых зависимостей спектров прохождения и отражения количество расчётов существенно возрастает.
Альтернативой является подход, развитый в работах [11,12], который позволяет вычислять коэффициенты прохождения и отражения метаплёнки, по известной матрице поляризуемости одиночных частиц и их пространственной периодичности. Однако, он подходит только для случая частиц с диагональной матрицей поляризуемости.
В главе 2 была разработана методика определения всех компонент матрицы поляризуемости частицы произвольной формы. В данной главе, на основе подхода, разработанного в [11,12], рассматривается прямая задача определения электромагнитных свойств метаплёнок, составленных из частиц произвольной формы. При этом для определения коэффициентов прохождения и отражения используются усредненные граничные условия [95]. Главное внимание уделяется исследованию прямой задачи для общего случая, когда частицы метаплёнки обладают бианизотропией.
Отметим, что примерно в тоже время, когда была разработана данная методика [15], была проведено аналогичное обобщение в работе [13], которое, однако, учитывает только одну поляризацию падающей волны.
Пусть метаплёнка представляет собой двумерную периодическую решетку, составленную из малых поляризуемых частиц, расположенных в плоскости ху, как показано на рис. 4.1. При этом, использовавшая в главах ранее система координат является собственной системой координат резонатора. Соответственно сами резонаторы могут быть ориентированы в метаплёнке произвольным образом. На метаплёнку, находящуюся в однородной изотропной среде, имеющей материальные параметры /IQ и Q, падает плоская однородная электромагнитная волна. В результате рассеяния волны на метаплёнке образуются прошедшая и отражённая волны. Все указанные волны являются монохроматическими. Как и в предыдущих главах используется временная зависимость exp(-\-juji).
Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения
Инфракрасный поляризованный импульс на длине волны 1040 нм длительностью 150 фс и средней мощностью 1 Вт, сгенерированный Yb:KYW лазером, разделялся на пробный пучок и пучок накачки. Последний проходил через механически перестраиваемую линию оптической задержки, чоппер и попадал на полупроводниковую пластинку из InAs, помещённую во внешнее магнитное поле, параллельное поверхности кристалла. В результате генерировалось когерентное поляризованное терагерцовое излучение [133, 134] с длительностью импульса TpUise = 3 пс и средней мощностью PpUiSe = 48 мкВт
Получившееся излучение коллимировалось параболическим зеркалом и попадало на тефлоновый фильтр, не пропускавший мощное инфракрасное излучение лазера, а прошедшее сквозь фильтр терагерцовое излучение дифрагировало на исследуемой метаплёнке. При этом диаметр пучка ТГц излучения составлял 5 мм по уровню половинной мощности. Затем оно попадало на второе параболическое зеркало и направлялось на кристалл CdTe, в котором наводило двулучепреломление за счёт электрооптического эффекта [135]. Соответственно, линейная поляризация пробного пучка, падавшего на кристалл CdTe, преобразовывалась в эллиптическую поляризацию. Поворот фазы вследствие электрооптического эффекта Поккельса описывается выражением [136]:
Изменяя длину оптического хода в линии задержки производилась регистрация сигнала во временной области. Синхронный усилитель служил для увеличения отношения сигнал-шум. Дальнейшая обработка данных производилась в компьютере, на выходе получалась зависимость напряжённости терагерцового излучения от времени ETHz{t).
Впоследствии, измерения образцов были продублированы на коммерческом импульсном терагерцовом спектрометре Zomega «Mini-Z». Принципиальная схема работы этого спектрометра соответствует схеме приведённой выше установки. Полученных результаты, количественно и качественно хорошо соотносятся с результатами, полученными на установке в НИУ ИТМО, однако характеризовались меньшими шумами на временных зависимостях. К сожалению, измерения на этом спектрометре были проведены не для всех метаплёнок, поэтому при последующем обсуждении результатов эксперимента в основном используются данные, полученные на установке НИУ ИТМО.
Обработка полученных экспериментальных временных последовательностей напряжённости поля производилась методами Фурье-спектроскопии [137, 138], которая уже довольно длительное время широко применяется при исследованиях в инфракрасном диапазоне. В последнее время соответствующие методики нашли широкое применение при исследованиях в терагерцовом диапазоне длин волн [139].
Характерный вид полученных временных зависимостей на примере отклика пластинки из ситалла марки СТ-50-1 представлен на рис. 6.4а. Там же представлена и соответствующая опорная (референсная) зависимость для воздуха, т.е. в отсутствии образца.
На зависимостях хорошо различим основной пик и его эхо, вызванное первым переотражением сигнала в пластинке CdTe. Сдвиг эхо-сигнала на 24 пс обусловлен толщиной пластинки и её показателем преломления. Для избежания появления сильных интерференционных эффектов в частотном спектре при обработке следует часть временной зависимости до момента появления эха.
Как будет показано ниже, для определения спектров прохождения и эффективного показателя преломления следует одновременно производить обработку двух временных последовательностей: образца Esmpi(t) и соответствующего ему референса Eref(t), т.е. последовательности для лабораторного воздуха, полученной в отсутствии образца. Важным является то, что эти последовательности снимаются в одной серии измерений с одними и теми же параметрами установки. Для определения показателя преломления, при проведении манипуляций с временными зависимостями, необходимо не потерять информацию о времени распространения сигнала в образце At (см. рис. 6.4а), потому что она содержит фазовую информацию. Однако, в программе для обработки временных зависимостей, используемой вместе с установкой, эта информация терялась. Это привело к необходимости разработки собственной программы обработки экспериментальных данных, основные алгоритмы которой подробно описаны ниже.
Как известно [137], при проведении преобразования Фурье над синусоидальным сигналом конечной длительности кроме основного максимума в его
Необработанные временные зависимости для пластинки ситалла СТ-50-1 (сплошная линия) и соответствующая референсная зависимость для воздуха (пунктирная линия); (б) обрезанная и сдвинутая временная зависимость ситалла (сплошная линия) и функция аподизации Хаппа-Гензеля (штрих-пунктир); (в) аподизированная зависимость, готовая к преобразованию Фурье. частном спектре, который уже не будет являться ( -функцией, появляются боковые лепестки, в которые «утекает» часть мощности. Чтобы сгладить эти боковые лепестки и уменьшить «утечки» следует умножить исследуемую временную зависимость на функцию аподизации (весовая функция, оконная функция). Платой за использование функции аподизации является некоторое уширение спектральных линий, зависящее от вида используемой функции [140].
