Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор литературы 13
1.1. Метаматериалы и метаплёнки 13
1.2. Области применения метаматериалов 16
1.3. Методы расчёта характеристик метаматериалов
1.3.1. Модель колебательного контура 21
1.3.2. Матрица поляризуемости 24
1.3.3. Расчёт свойств метаплёнок на основании поляризуемостей отдельных резонаторов 1.4. Ограничения, налагаемые на поляризуемости частиц 28
1.5. Выводы 29
Глава 2 Матрица поляризуемости субволновых резонаторов 31
2.1. Введение 31
2.2. Методика расчёта поляризуемостей
2.2.1. Общие уравнения 32
2.2.2. Электрический дипольный момент 34
2.2.3. Магнитный дипольный момент 36
2.2.4. Определение компонент матрицы поляризуемости
2.3. Численное решение задачи рассеяния методом конечных элементов в COMSOL Multiphysics 39
2.4. Дипольные поляризуемости сферических частиц 43
2.5. Дипольные поляризуемости П-образных частиц. Результаты численного расчёта и обсуждение
2.5.1. Распределение полей в резонансах 47
2.5.2. Спектры коэффициентов поляризуемости 50
2.5.3. Наклонное падение 53
2.6. Влияние вариации геометрических параметров на частотные за
висимости з
2.6.1. Зависимость резонансной длины волны от высоты резонатора 54
2.6.2. Зависимость резонансной длины волны от глубины ёмкостного зазора 56
2.7. Выводы по главе 2 57
Глава 3 Размерные зависимости поляризуемости 59
3.1. Введение 59
3.2. Спектры коэффициентов поляризуемости
3.2.1. Электрическая поляризуемость 66
3.2.2. Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости
3.3. Масштабные зависимости резонансных частот и добротности 70
3.4. Обсуждение 72
3.5. Выводы по главе 3 74
Глава 4 Модель расчёта коэффициентов прохождения и отражения бианизотропной метаплёнки 75
4.1. Введение 75
4.2. Аналитические соотношения 76
4.3. Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения 84
4.4. Выводы по главе 4 88
Глава 5 Влияние статистического разброса размеров частиц на характеристики метаплёнок 89
5.1. Введение 89
5.2. Образцы, установка и эксперимент 89
5.3. Сравнение эксперимента и теории 5.3.1. Аналитичиские выражения и расчёты 92
5.3.2. Результаты первоначального расчёта 94
5.3.3. Статистическое усреднение 95
5.3.4. Обсуждение 97
5.4. Выводы по главе 5 100
Глава 6 Экспериментальное и теоретическое исследование метап лёнок в терагерцовом диапазоне частот 101
6.1. Введение 101
6.2. Экспериментальные образцы 101
6.3. Экспериментальная установка 106
6.4. Обработка экспериментальных данных 108
6.5. Определение материальных параметров ситалла СТ-50-1 в терагерцовом диапазоне 112
6.6. Численное моделирование метаплёнок с использованием периодических граничных условий 115
6.7. Результаты и обсуждение
6.7.1. Сравнение результатов эксперимента и численного моделирования 118
6.7.2. Эффективные показатели преломления и поглощения ме-таплёнок 123
6.7.3. Проверка корректности результатов с помощью соотношений Крамерса-Кронига 124
6.8. Выводы по главе 6 127
Заключение 128
Список сокращений и условных обозначений 130
Литература
- Методы расчёта характеристик метаматериалов
- Электрический дипольный момент
- Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости
- Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения
Методы расчёта характеристик метаматериалов
Области применения метаматериалов и перспективы их использования обсуждались в монографиях [36-39]. Прежде всего это создание «левых» сред и материалов с магнитными свойствами в оптическом диапазоне, которое было обсуждено выше. Метаматериалы с такими свойствами необходимы для создания многообещающей «суперлинзы» [5], которая позволяет за счёт отрицательного показателя преломления обойти дифракционный предел и обеспечить идеальную фокусировку изображений исследуемого объекта. Результаты исследований в области создания суперлинз можно найти, например, в [40-43], где было достигнуто сверхразршение в ближнем поле. В этой связи также стоит упомянуть гиперлинзу [44], состоящую из чередующихся концентрических слоёв серебра (Ag) и оксида алюминия (Al2O3). О различии в механизмах работы различных типов суперлинз можно прочесть в [45].
Дополнительно следует упомянуть работы, направленные на создание сред со значениями диэлектрической и/или магнитной проницаемости близкими к нулю [46-48]. Подобные среды могут быть, в частности, использованы для подавления боковых лепестков и улучшения направленности антенн [49]. Ещё одной широко обсуждаемой и актуальной областью применения мета-материалов является создание маскирующих устройств и покрытий. В основе первоначальной идеи маскировки лежит принцип модуляции диэлектрической и магнитной проницаемостей неоднородной анизотропной среды, сквозь которую распространяется световой поток [50]. Таким образом, при распространении свет огибает скрываемый объект. Теория определения требуемого закона модуляции проницаемости носит название трансформационной оптики, и подробно рассмотрена в монографии [38].
В [1] было продемонстрировано первое экспериментально реализованное на этих принципах маскирующее устройство, которое скрывало цилиндр сантиметровых размеров от падающего на него электромагнитного излучения с частотой 8,5 ГГц. В [51] на основе тех же принципов было предложено устройство, работающее в инфракрасном диапазоне.
Ряд работ был выполнен в рамках концепции маскировки объектов, находящихся на какой-то поверхности. Идея, предложенная в [52], состоит в нанесении слоя с промодулированным показателем преломления поверх скрываемого объекта, находящегося на подложке. Свет, отражённый от такой структуры, не отличается от света, который был бы отражён от подложки без объекта. Рассмотренный тип маскирующего покрытия был реализован в работе [53] с помощью перфорации диэлектрика особым образом расположенными цилиндрическими отверстия. Недостатком рассмотренных концепций является то, что размеры маскирующего устройства сопоставимы или превосходят характерные размеры скрываемых объектов.
Ещё один способ маскировки основан на взаимодействии плазмонов с падающей волной, которое приводит к подавлению рассеянных волн [2]. Способ позволяет обеспечить маскировку объекта со всех направлений, при этом толщина маскирующего слоя меньше размеров скрываемого объекта. К недостаткам можно отнести то, что характеристики самого объекта влияют на конфигурацию маскирующего устройства и должны учитываться. Возможность реализации многослойных устройств, основанных на этой методике, и оперирующих на нескольких частотах обсуждалась в [54]. Экспериментальная реализация и её развитие были продемонстрированы соответственно работах [55,56] на примере цилиндра сантиметровых размеров, при рабочих частотах порядка 3 ГГц. Недостаток всех рассмотренных способов маскировки состоит в узкопо-лосности устройств, что обусловлено самой резонансной природой метаматери-алов. Кроме того, как показано в работе [57], если сечение рассеяния объекта уменьшено в каком-то диапазоне длин волн, то суммарное сечение рассеяния по всему спектру неминуемо увеличивается по сравнению со случаем не скрытого объекта.
Основной проблемой в большинстве областей применения метаматериалов является большое поглощение электромагнитной энергии, которое обусловлено использованием металлических резонаторов. Поглощение зачастую сводит на нет полезные эффекты, наблюдаемые в метаматериалах. Логичным путём компенсации потерь является введение сред с усилением. Соответствующее теоретические исследования и численные расчёты были проведены в работах [58,59]. В [60] была продемонстрирована компенсация потерь с помощью помещения металлических частиц в диэлектрик с красителем Родамин 6Ж и использования импульсной накачки. В недавней работе [61] была экспериментально реализована среда с отрицательным показателем преломления и компенсацией потерь. В двухслойной структуре типа сети были удалены методом травления слои алюминия, разделяющие разные слои золотой сетки, а также часть подложки, и затем получившиеся пустоты были заполнены активным веществом на основе красителя Rh800. Для наблюдения инверсной населённости активная среда сначала накачивалась первым импульсом лазера, второй импульс уже был пробный и при выборе правильного интервала времени между ним и накачкой, метаматериал демонстрировал полное отсутствие потерь в совокупности с отрицательным показателем преломления п = —1,6 на длине волны 740 нм.
Однако, большое поглощение из недостатка может превратиться в преимущество, если использовать метаматериалы для создания различных поглощающих устройств и фильтров, что особенно актуально для активно исследуемого в последнее время терагерцового диапазона [62-64]. В литературе представлены работы по созданию поляризационно нечувствительных абсорберов [65,66], и двухполосных поглотителей [67]. Метаматериалы также могут быть использованы для поглощения излучения, падающего под большими углами [68].
Ещё одной областью применения метаматериалов является создание хи-ральных (гиротропных) сред для управления поляризацией излучения. В [69] экспериментально исследуется метаматериал, у которого для одного направления вращения поляризации показатель преломления отрицателен, а для второго — положителен. В [70] рассмотрен трёхмерный метаматериал, состоящий из периодически расположенных коловратообразных резонаторов. Благодаря хи-ральности резонаторов был получен отрицательный показатель преломления. Также было достигнуто увеличение эффективности вращения плоскости поляризации при переходе от однослойной структуры к четырёхслойной. Широкополосный круговой поляризатор реализован в [71] на основе метаматериала, состоящего из периодически расположенных геликоид различных размеров.
Электрический дипольный момент
Для создания метаматериалов на волнах видимого, ИК и терагерцово-го диапазонов широко применяются П-образные металлические частицы. Они обладают значительными электрическими и магнитными поляризуемостями. Двумерные [7, 30] и трёхмерные [32] композитные структуры из таких частиц обладают необычными электродинамическими свойствами, в том числе значительной магнитной восприимчивостью на оптических частотах [30], и отрицательной рефракцией, при которой эффективная диэлектрическая и магнитная проницаемости отрицательны [102].
Существует ряд работ, в которых проводилось численное моделирование рассеяния электромагнитных волн на периодических решётках, составленных из П-частиц (напр. [7,32]). При этом электрический и магнитный дипольные моменты, которыми обладает отдельная частица, в явном виде не определялись. Вместе с тем, вычисление дипольных моментов и поляризуемостей отдельных частиц весьма желательно для понимания влияния различных факторов на свойства метаматериалов. При этом возможно упрощение методов их направленного конструирования. Кроме того, знание поляризуемостей отдельных частиц можно использовать для определения коэффициентов прохождения и отражения для метаплёнки. Как, например, это было проделано в работе [12] для частиц с диагональной матрицей поляризуемостью (см. главу 1). Кроме того, знание характеристик отдельных частиц существенно для таких приложений, как наноантенны и нанолазеры (см. напр. [77–79]).
В настоящей главе решение задачи рассеяния производится с помощью пакета программ COMSOL Multiphysics, который основан на использовании метода конечных элементов (FEM) в частотной области. Целью данной главы является расчёт дипольных моментов наночастиц произвольной формы и нахождение всех коэффициентов матрицы поляризуемости. 2.2. Методика расчёта поляризуемостей Разработанная в настоящей главе методика расчёта поляризуемостей состоит из нескольких шагов. Сначала, в пакете программ COMSOL Multiphysics численно решалась задача рассеяния плоской электромагнитной волны на частице. Результатом работы программы являлось пространственное распределение поля в частице и в некоторой области вблизи неё. По пространственному распределению рассеянного поля рассчитывались индуцированные в частице дипольные моменты.
Численный расчёт и вычисление дипольных моментов производился для шести различных направлений падения электромагнитной волны: в трёх случаях волновой вектор был сонаправлен с единичными векторами координатных осей (к tt е г, к tt е у, к tt е г), а в остальных трёх случаях волновой вектор был противонаправлен единичным векторам (к "fi е , к ti е , к "fi ez). Полученные шесть пар пространственных распределений полей Е{г) и Н{г) позволяли вычислить соответствующие электрические ри магнитные т дипольные моменты для каждого случая и по ним определить все компоненты матрицы поляризуемости.
Рассмотрим методику более подробно для случая рассеяния электромагнитной волны на субволновой частице, окружённой однородным диэлектриком. Запишем систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в проводящей среде: где Е и Н — векторы напряжённости электрического и магнитного поля, D и В — векторы индукции электрического и магнитного поля, 3? — объёмная плотность тока свободных зарядов в среде, р — объёмная плотность свободных зарядов в среде. В случае диэлектрической частицы 3 и р равны нулю. Решение системы уравнений Максвелла будем искать в виде гармонической электромагнитной волны:
Будем также считать, что материал частицы характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью є = є — і є" и единичной относительной магнитной проницаемостью, т.е. /І = 1. Тогда можно записать следующие материальные уравнения: При рассеянии электромагнитной волны на границе двух сред могут возникнуть, в зависимости от материала частицы, поверхностные заряды и токи. Соответственно, необходимо записать следующие условия сшивания нормальных и тангенциальных компонент полей на границе (см. рис. 2.1): поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела, К — поверхностная плотность тока, п — единичный вектор нормали, направленный из частицы в окружающий её диэлектрик. Верхний индекс (1) относится к полям в частице, индекс (2) — к полям в окружающем пространстве. Рис. 2.1: К заданию граничных условий: частица из вещества 1 в среде из вещества 2. Soft (л — Е ) = Ту + particle Vspacei (2.18) где rjparticie — поверхностная плотность связанных зарядов в частице, т]Ь се — плотность связанных зарядов на границе раздела со стороны вещества, окружающего частицу.
Таким образом, на границе раздела полная поверхностная плотность заряда складывается из поверхностной плотности свободных зарядов rjf, поверхностной плотности связанных зарядов частицы rf ticle и поверхностной плотности окружающего пространства rf,Lace, которые стремятся скомпенсировать друг друга:
Полный электрический дипольный момент частицы р складывается из момента, индуцированного зарядами внутри объёма частицы pv, и момента, индуцированного поверхностными зарядами ps. Выражение для расчёта электрического дипольного момента р тела произвольной формы выглядит следующим образом [89]:
Подставим в выражение (2.21) выражения для плотностей объёмных (2.17) и поверхностных (2.20) зарядов и запишем покомпонентно выражения для поверхностной и объёмной частей дипольного момента:
Индексы могут принимать три значения: ж, у или z, соответствующие декартовым компонентам векторов. При записи формул используется соглашение Эйнштейна о суммировании, т.е. если одна и та же буква в обозначении индекса встречается дважды, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс
Полный магнитный дипольный момент частицы складывается из двух частей: момента, индуцированного токами свободных зарядов внутри объёма частицы и токами смещения, и момента, индуцированного поверхностными токами на границе двух сред. Соответствующее выражение имеет следующий вид
Магнитная и магнитоэлектрическая поляризуемости
Расчёт поляризуемости по формулам теории Ми был выполнен с помощью программы, разработанной в диссертации А.В. Журавлева [107]. Сравнение результатов по теории Ми и численному моделированию был произведён для случая рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом шаре диаметром 60 нм. В качестве материала частиц были выбраны алюминий и золото, как материалы с наиболее высокими значениями плазменной частоты. Значения комплексной диэлектрической проницаемости, необходимые для задания модели, взяты из экспериментальной работы [109]. Частотные зависимости реальной части диэлектрической проницаемости, проводимости и толщины согласно данным из [109] для золота и алюминия представлены на рис. 2.4. Дополнительно приведены спектры для золота согласно работе [110], которая также широко используется в литературе.
Результаты сравнения расчётов по аналитическим формулам теории Ми и методами численного моделирования представлены на рис. 2.5. Расчёты показали согласие зависимостей поляризуемостей, вычисленных разными методами. Относительная погрешность моделирования не превышала 5%. Следует отметить, что при увеличении отношения радиуса частицы к длине волны её излучение в данном спектральном диапазоне перестаёт быть дипольным и использование формул (2.22), (2.23) и (2.28), (2.29) даёт погрешности порядка 20% Границы областей, где излучение частицы можно считать дипольным, можно Рис. 2.4: Частотные зависимости реальной (а) и мнимой (б) частей диэлектрической проницаемости и толщины скин слоя (в) золота и алюминия (эксперимент).
Сплошные линии — алюминий [109], пунктир — золото [109], точечные линии — золото [110] — точечная линия. определить с помощью графиков отношения мощности дипольного излучения к полной мощности излучения, рассчитанных в рамках теории Ми (см. рис. 2.6) [107]. Белые линии D(X) на рис. 2.6 соответствуют уровню в 95%. Для образцов меньших размеров (диаметр d D(X)) дипольное приближение можно считать примениным. На рис. 2.5 область, где справедливо дипольное приближение соответствует длине волны большей 500 нм.
На основании результатов моделирования можно сделать вывод о пригодности COMSOL Multiphysics для вычисления поляризуемостей резонаторов. Другие программные пакеты обеспечивают сопоставимые погрешности и скорости расчёта. COMSOL Multiphysics был выбран из-за более логично построенного и интуитивного интерфейса (на взгляд автора), удобных инструментов пост-процессинга и глубокой интеграции со средой MATLAB. Последнее позволило, путём написания ряда программ на MATLAB, параметризовать и автоматизировать процесс расчёта больших и ресурсоёмких моделей.
Аналогичный вывод можно сделать, рассматривая работу [111], в которой использовалась схема моделирования довольно близкая к использованной в настоящей работе и получено хорошее соответствие сечений рассеяния сферической частицы, полученных моделированием в COMSOL Multiphysics, с сечениями рассеяния рассчитанными по теории Ми. Рис. 2.5: Электрическая (а) и магнитная (б) дипольные поляризуемости сферических металлических наночастиц диаметром 60 нм. Синий цвет — расчёты для алюминиевой частицы, красный — для золотой. Непрерывные кривые - расчет в рамках теории Ми; Численное моделирование: точки — CST Microwave studio, треугольники — Comsol Multiphysics, кресты — Ansoft HFSS.
Применимость дипольного приближения для алюминиевого и золотого шаров в зависимости от диаметра. Градиентом обозначено отношение мощности дипольного излучения к полной мощности, рассеиваемой металлическими шарами в вакууме. Белая линия соответствует уровню в 95% [107]. 2.5. Дипольные поляризуемости П-образных частиц. Результаты численного расчёта и обсуждение
Разработанная методика и программы численного расчёта были применены для численного исследования электромагнитного отклика наноразмерных П-образных частиц. Основной, наиболее подробный цикл расчётов был выполнен для частиц из золота с длиной стороны / = 200 нм, высотой h = 25 нм, шириной зазора д = 60 нм и глубиной зазора и = 120 нм в оптическом диапазоне (длины волн от 300 до 2000 нм). Дисперсия комплексной диэлектрической проницаемости золота учитывалась в расчётах в соответствии с экспериментальными данными из [109].
В исследуемых металлических частицах имеет место резонансное возбуждение плазмонных колебаний. В П-образном резонаторе со стороной 200 нм ему соответствуют максимумы амплитуд дипольных моментов на длинах волн 550, 750, 875 и 1425 нм. Соответствующие этим длинам волн амплитудные распределения рассеянных электрических и магнитных полей представлены на рисунке 2.7, а спектральные зависимости компонент поляризуемости .
Распределение рассеянных полей (рис. 2.7а, б) и картина силовых линий (рис. 2.8) самой длинноволновой моды подтверждают, что осцилляции заряда происходят в плоскости резонатора. П-образный резонатор в этом случае уподобляется сосредоточенному колебательному LC-контуру, где роль индуктивного витка играет частица, а ёмкость образована зазором между ножек резонатора. Соответственно это LC-резонанс. Иногда используют другое название — магнитный резонанс [8,30,37], однако такое наименование является неудачным, поскольку, как показывают расчеты, в частице при этом имеется электрический дипольный момент, величина которого в сопоставимых единицах не меньше, чем у магнитного момента. Из распределения полей на рисунке рис. 2.7 также видно, что LC-мода характеризуется концентрацией электрического поля в ёмкостном зазоре, причём его максимальная амплитуда в резонансе почти в 60 раз
Результаты расчёта коэффициентов прохождения и отражения
В данной, заключительной, главе описан цикл создания и исследования метаплёнок терагерцового диапазона. Данный цикл базируется на результатах, изложенных в главах 2–5. Исследование метаплёнок терагерцового диапазона было выполнено в сотрудничестве с кафедрой фотоники и оптоинформатики НИУ ИТМО (СПб), и М.К. Ходзицким, в частности. Экспериментальные измерения образцов были проведены Я.В. Грачёвым.
Как уже отмечалось в литературном обзоре (глава 1), результаты создания и исследования метаплёнок для различных частотных диапазонов опубликованы в целом ряде работ, например: [6–8, 28–31, 63, 64, 114]. Однако некоторые аспекты этой деятельности не получили достаточного освещения. Кроме того, спектроскопические исследования в терагерцовой области имеют существенную специфику. Ввиду этого здесь последовательно изложены все этапы проведения эксперимента, от подготовительных расчётов, проектирования образцов и непосредственных измерений до обработки результатов, проверки их корректности и создания соответствующих программ.
Для экспериментальных измерений всего было изготовлено 3 образца, по 9 метаплёнок на каждом, с различными геометрическими параметрами резонансных частиц и периодом их расположения. Таким образом, всего было изготовлено 27 различных метаплёнок. Схематичный вид метаплёнки с обозначениями геометрических размеров, а также фотографии участков некоторых метаплё-нок представлены на рис. 6.1.
Схематичное представление части метаплёнки и обозначение размеров П-образных резонаторов (а) и фотографии участков метаплёнок с параметрами: / = 50 мкм (б), I = 100 мкм (в), I = 150 мкм (г).
Каждая отдельная метаплёнка занимала площадь 5x5 мм2. В качестве подложки использовался стеклокерамика ситалл марки СТ-50-1. Средняя толщина подложки для первого образца составляла 510 мкм, для второго — 550 мкм, а для третьего образца — 540 мкм. Методом ионно-вакуумного напыления на ситалл сначала наносился слой хрома толщиной 10 нм, который обеспечивал хорошую адгезию для слоя меди, который наносился на следующем технологическом этапе. Толщина слоя была различна и составляла от 10 до 16 мкм в зависимости от образца. Массивы резонаторов формировались лазерным гравёром LG 10F15 [129]. Разрешение гравёра составляло 2,5 мкм.
Первоначально в качестве подложки планировалось использовать стеклотекстолит FR-4 с показателем преломления npR-4 2,1. С учётом подложки из FR-4 проводились предварительные расчёты [17], целью которых было определить определение таких геометрических параметров резонаторов, что их основные резонансные частоты были бы распределены равномерно с шагом 0,1 ТГц в исследуемом диапазоне от 0,1 до 1 ТГц. Для этого были проведены расчёты коэффициентов прохождения и отражения метаплёнок со сторонами /: 100, 150, 200, 250, 300 и 350 мкм, и следующими пропорциями: глубина зазора и = 0,6/, ширина зазора д = 0,3/, период р = 1,5/. Высота считалось равной 15 мкм для всех метаплёнок. Методика проведения этих численных расчётов описана в параграфе 6.6. По результатам расчётов были определены соответствующие резонансные частоты, которые аппроксимировались линейной зависимостью Xres(l). По этой зависимости были определены геометрические параметры метаплёнок на образце №1, которые представлены в табл. 6.1.
Однако, при изготовлении образца выяснилось, что лазерный луч при гравировке не только испаряет слои металла, но и прожигает саму подложку из FR-4, что существенно изменило бы свойства исследуемых метаплёнок. В связи с этим подложка была заменена на ситалл марки СТ-50-1, который был более устойчив к лучу лазера. Проблемой было то, что показатель преломления ситалла был неизвестен в исследуемом диапазоне частот. Это не позволяло сразу провести новую серию расчётов, поэтому было решено не изменять геометрические параметры метаплёнок образца №1. Сам комплексный показатель преломления ситалла был определён в рамках описанных ниже экспериментов. Результаты соответствующих численных рассчётов представлены на рис. 6.2.
Образцы №2 и №3 были изготовлены для исследования влияния глубины зазора и периода расположения П-образных резонаторов на электромагнитные характеристики метаплёнки, а именно на спектры прохождения и эффективных комплексных показателей преломления.
