Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературных данных, методов исследование и прикладных программных пакетов 14
1.1 Анализ работ, посвященных исследованию эффекта трансформации мод в нерегулярных волноводных трактах 14
1.2 Обзор работ по электродинамическому анализу волноводов сложных сечений 27
Выводы 39
Глава 2. Применения метода поперечных сечений для расчетов модовых волноводных трансформаторов 40
2.1 Физическое обоснование эффекта трансформации мод при деформациях волноводного тракта 40
2.2 Применение метода поперечных сечений для анализа изогнутых волноводов 45
2.3 Расчет модового преобразования при изгибе круглого волновода 51
2.4 Применение метода поперечных сечений для анализа волноводов переменного сечения 57
2.5 Расчет модового преобразования при вариациях диаметра круглого волновода 61
Выводы 64
Глава 3. Расчет, оптимизация и моделирование модовых трансформаторов на изгибах и вариациях диаметра круглого гладкостенного волновода 65
3.1 Постановка задачи 65
3.2 Трансформаторы на изгибах круглого волновода 67
3.2.1 Трансформаторы волн типа Н - Е 71
3.2.2 Трансформаторы волн типа Е — Е 74
3.2.3 Трансформаторы волн типа Н — Н 77
3.3 Трансформаторы на вариациях диаметра круглого волновода 84
Выводы 90
Глава 4. Электродинамический анализ четырехгребневого прямоугольного волновода 91
4.1 Постановка задачи 91
4.2 Расчет критических волновых чисел в четырехгребневом прямоугольном волноводе 93
4.3 Методика графического моделирования на ЭВМ электро-магнитных полей в критическом режиме 103
4.4 Анализ модового состава и электромагнитных полей четырехгребневого прямоугольного волновода 105
4.5 Расчет волнового сопротивления квадратного четырехгреб невого волновода 121
Выводы 127
Заключение 129
Литература 132
- Анализ работ, посвященных исследованию эффекта трансформации мод в нерегулярных волноводных трактах
- Применение метода поперечных сечений для анализа волноводов переменного сечения
- Трансформаторы на вариациях диаметра круглого волновода
- Анализ модового состава и электромагнитных полей четырехгребневого прямоугольного волновода
Введение к работе
В современной технике сверхвысоких частот (СВЧ) важное место занимают элементы, содержащие сложные волноводные структуры. К таким структурам, в частности, можно отнести плавно деформированные нерегулярные волноводы (изгибы и плавное изменение поперечного сечения), и регулярные волноводы со сложной формой поперечного сечения (ВСС).
Нерегулярные волноводные элементы [1-42], поперечные размеры которых велики по сравнению с длиной волны, могут использоваться при создании модовых волноводных трансформаторов — устройств, предназначенных для трансформации распространяющихся мод волновода [43-67]. Для расчета изогнутых волноводных элементов и элементов с плавно изменяющимся поперечным сечением наиболее эффективным с точки зрения простоты алгоритмов и времени счета на ЭВМ является метод поперечных сечений (МПС) [24]. Развитию теории этого метода посвящено большое количество работ [16-24, 49, 76], тем не менее, для практической разработки конкретных модовых трансформаторов необходимо также создание алгоритмов построения оптимальной геометрии трансформирующей секции, удовлетворяющей ряду требований, таких как широкая полоса рабочего режима, минимальные потери и отражения, компактные размеры, высокая степень трансформации (более 98%). На сегодняшний момент геометрия трансформатора задается либо единой, как правило, периодической, аналитической функцией [47,49, 50, 52-54, 58], либо оптимизируемым набором дискетных точек с последующей их интерполяцией [62]. Однако, эти алгоритмы не отвечают всем предъявляемым требованиям. Так, первый подход ограничен количеством оптимизируемых параметров, создаваемые с его помощью трансформаторы отличаются большой протяженностью и узкополосностью. Второй подход позволяет создавать геометрии, вообще говоря, произвольной формы, однако в этом случае для достижения хороших результатов необходимы достаточно мелкий шаг разбиения и громоздкие алгоритмы аппроксимации (более 100 параметров). Синтез этих подходов позволит получить сложные геометрии деформации, оптимизируя сравнительно небольшое количество параметров, при этом
проектируемые модовые трансформаторы будут характеризоваться компактностью и широкополосностью.
При конструировании СВЧ устройств различного назначения предпочтение часто отдается ВСС, что объясняется рядом преимуществ перед другими линиями передачи [77-90]. Однако, эффективное селективное возбуждение волн, особенно высших, в ВСС зачастую представляет значительные трудности [12, 77, 78, 80]. Для решения такой задачи необходимо знать с высокой точностью значения критических волновых чисел и волновых сопротивлений возбуждаемых волн ВСС, а также распределение электромагнитных полей волн в сложном поперечном сечении волновода.
Особый интерес для разработчиков антенно-фидерных устройств представляет прямоугольный волновод с четырьмя металлическими гребнями, который широко используется в качестве излучающего элемента фазированных антенных решеток и позволяет образовывать периодические структуры сотового типа [91-99]. Наличие четырех внутренних гребней и аксиальная симметрия поля в волноводе приводят к тому, что электрические и магнитные поля основных и высших мод должны иметь структуры, сходные со структурами полей волн круглого волновода. Такое сходство открывает широкие возможности совместного применения круглых и прямоугольных 4-х гребневых волноводов при конструировании различных СВЧ элементов и узлов. Однако, полный электродинамический анализ модового состава прямоугольного 4-х гребневого волновода к настоящему времени в известной литературе отсутствует. Электродинамический анализ ВСС, поперечное сечение которых позволяет разбиение на простые частичные области, наиболее эффективно проводить методом частичных областей (МЧО) с учетом особенности электромагнитного поля на металлических ребрах [79-90].
Таким образом, разработка новых эффективных методик проектирования модовых трансформаторов на изгибах и плавных вариациях диаметра круглых волноводов и точный электродинамический анализ прямоугольных волноводов с четырьмя металлическими гребнями являются на сегодняшний момент актуальными проблемами и могут служить целью научного поиска.
Целью работы является разработка эффективных и универсальных методик, алгоритмов и программных средств для электродинамического расчета и оптимизации модовых волноводных трансформаторов на вариациях диаметра и изгибах круглых гладкостенных волноводов с использованием МПС» а также электродинамического анализа гребневых ВСС на основе прямоугольного четырехгребневого волновода с использованием МЧО с учетом особенности на ребре.
Для достижения данной цели предполагается решение основных задач:
разработка и реализация методики проектирования модовых трансформа
торов на вариациях диаметра и изгибах круглого волновода, включающей:
алгоритм задания геометрии деформации волновода: аналитическая периодическая функция, параметры которой должны оптимизироваться на каждом полупериоде;
многопараметрическую оптимизацию геометрии деформации для достижения требуемого модового преобразования;
разработка алгоритмов и программ расчета амплитудных коэффициентов распространяющихся мод при вариациях диаметра и изгибах круглых волноводов на основе МПС;
развитие методики, разработка алгоритмов и программы расчета компонент электромагнитных полей, критических волновых чисел и волнового сопротивления прямоугольного четырехгребневого волновода на основе МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре;
разработка программы моделирования и эффективной визуализации на ПЭВМ структуры электромагнитных полей различных типов Н- и Е-волн в поперечном сечении прямоугольного 4-х гребневого волновода и их сопоставление со структурами полей соответствующих мод круглого волновода.
Научная новизна диссертационной работы определяется поставленными задачами, методами их решения и впервые полученными результатами:
разработана новая методика построения оптимизируемой базовой функции
геометрии деформации для создания трансформаторов на круглых волно
водах, учитывающая периодичность и многопараметричность структуры;
на основе развития МПС разработана методика расчета и оптимизации широкого спектра модовых трансформаторов на вариациях диаметра и изгибах круглого волновода;
исследованы характерные зависимости амплитудных коэффициентов распространяющихся мод от геометрии деформации круглого волновода, показано, что для эффективной трансформации необходимо частичное возбуждение всего спектра распространяющихся мод волновода;
рассчитаны размеры и характеристики компактных трансформаторов мод на изгибах: Нп - Еш; Нп - Ноь Нц - Hjj; Eoj - Ел и вариациях диаметра: Hoi — Ног; Нц — Н]2 круглого волновода, обладающих широкополосностью.
на основе МЧО с учетом особенности на ребре разработан алгоритм и программа расчета компонент электромагнитных полей, критических волновых чисел и волнового сопротивления прямоугольного 4-х гребневого волновода;
разработана программа визуализации, проведено моделирование и изучены характерные свойства структур электромагнитных полей различных типов Н- и Е-волн в поперечном сечении квадратного четырехгребневого волновода, а также других гребневых ВСС, получаемых из него путем соответствующего выбора величины гребней;
установлено, сходство структуры электромагнитных полей основной и высших типов волн квадратного четырехгребневого и круглого волновода.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Она содержит 142 страницы текста, 43 рисунка, 17 таблиц и список использованных источников, включающий 152 наименования.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены ее цели и задачи, показана практическая значимость и научная новизна полученных результатов, сформулированы основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также представлено краткое содержание работы.
В первой главе, состоящей из двух частей, проведен обзор и краткий анализ существующих методов исследования сложных волноводных элементов, таких как нерегулярные волноводы с изгибом оси распространения или с плавным изменением поперечного сечения и регулярные гребневые ВСС.
Первая часть посвящена методам электродинамического анализа плавно деформированных волноводов. Установлено, что для быстрого и точного расчета таких структур наиболее эффективным является МПС, который к настоящему времени достаточно хорошо исследован теоретически и широко применяется для расчета простых деформаций (изгибы постоянного радиуса, плавный переход между волноводами разных поперечных сечений и т.д.). Однако, при создании модовых волноводных трансформаторов, представляющих собой сложно деформированные участки волновода, необходима также эффективная методика проектирования геометрии деформации. Показано, что существующие на сегодняшний момент алгоритмы не удовлетворяют многим критериям, предъявляемым к таким устройствам, и потому, применяются в достаточно узком круге задач. Вторая часть посвящена методам электродинамического анализа ВСС. Показана эффективность использования МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре для расчета параметров гребневых ВСС, позволяющих разбиение на простые частичные области.
Во второй главе дается качественное объяснение эффекта трансформации мод при изгибах и плавных вариациях диаметра круглых гладкостенных волноводов. Показано, что явление трансформации мод в изогнутых волноводах и волноводах переменного поперечного сечения может быть достаточно легко объяснено с позиции движения материальной точки по окружности и основных законов механики и теории распространения электромагнитных волн. Для точного электродинамического анализа круглых гладкостенных волноводов, изогнутых по дуге переменного радиуса кривизны, и круглых волноводов с плавными вариациями диаметра использован МПС. Проведен вывод системы дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей зависимость амплитудных коэффициентов распространяющихся мод от продольной координаты деформированного участка волновода. Получены в явном виде выражения для коэффициентов связи различных пар мод круглого волновода при изгибах и вариациях диаметра и исследованы их основные свойства. Анализ коэффициентов связи показал, что их величина для волн с противоположным направлением распространения значительно меньше, чем
для волн одинакового направления распространения, т.е. обратные волны возбуждаются в значительно меньшей степени и ими можно пренебречь [19].
Коэффициенты связи мод для изогнутого круглого волновода являются функциями радиуса кривизны, который, в свою очередь, пропорционален второй производной функции геометрии изгиба по продольной координате волновода, а коэффициенты связи мод при плавных вариациях диаметра круглого волновода являются функциями первой производной функции геометрии деформации по продольной координате. При распространении по изогнутому круглому волноводу, трансформация может происходить только между модами, азимутальные индексы которых отличаются на 1, а при распространении по волноводу с вариациями диаметра — только между модами с одинаковыми азимутальными индексами [24]. Показано, что при проектировании трансформаторов на вариациях диаметра круглого волновода, рекомендуется выбор интервала изменения диаметра таким образом, чтобы избежать появления критических сечений - сечений, отделяющих при данной частоте область распространения какой-либо волны от области, где она распространяться не может.
В третьей главе работы предложена новая методика проектирования геометрии модовых трансформаторов на изгибах и вариациях диаметра круглых волноводов - использована аналитическая функция, параметры которой могут оптимизироваться на каждом участке, где радиус кривизны один раз меняет свой знак. Для трансформаторов, оптимизированных в этой главе, использована синусоидальная функция, амплитуда и период которой оптимизировались на каждом полупериоде. В качестве критерия оптимизации использовано - уровень паразитных мод на выходе не более -20 дБ. Представлены расчетные данные (параметры геометрии и коэффициенты затухания распространяющихся волн на выходе различных трансформаторов мод круглого волновода), показывающие работоспособность, эффективность и надежность предлагаемой методики, а также ее алгоритмической и программной реализации. Приведены графики зависимостей амплитудных коэффициентов распространяющихся мод, иллюстрирующие преобразование волн в трансформаторах мод на изгибах круглого волновода (Ни -Еоь Нц—Ноь Нц-Щ; Eoi-Ец) и на вариациях диаметра круглых волноводов (Hoi-Н02; Нц—Н12).
Для проверки достоверности проводимых расчетов, а также для определения полосы пропускания трансформатора» дополнительно осуществлялось моделирование некоторых оптимизированных трансформаторов при помощи программы CST Microwave Studio, реализующей расчет прямыми сеточными методами. Основным недостатком такого класса программ, является очень длительное время счета (как показали проведенные в работе исследования - в тысячи раз медленнее, чем МПС) и высокие аппаратные требования, поэтому в задаче проектирования трансформатора они могут быть применены лишь на последнем этапе для полного анализа уже оптимизированного устройства. Получено хорошее согласование результатов оптимизации с результатами моделирования по уровню затухания мод на выходе трансформатора, а полученные в результате моделирования величины уровня затухания отраженных волн на входе подтверждают возможность пренебрежения ими в процессе оптимизации.
В четвертой главе проведено решение задачи расчета и анализа параметров прямоугольного четырехгребневого волновода. Расчет компонент электромагнитных полей и критических волновых чисел проводился МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре. Полученные в явном виде выражения для электромагнитных полей использовались для расчета волнового сопротивления.
Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, ядра которых содержат логарифмическую особенность, решены методом Галергагаа с базовыми функциями в виде взвешенных полиномов Гегенбауэра, вес которых определяется особенностью электромагнитного поля на соответствующих ребрах. Исследованы зависимости критических волновых чисел основной волны и волн высших типов прямоугольного и квадратного четырехгребневых волноводов от размеров гребней, определена полоса одномодового режима.
Изложена методика и представлены результаты работы программного комплекса визуализации электромагнитных полей в поперечном сечении гребневых ВСС. Визуализация картин электромагнитного поля квадратного 4-х гребневого волновода показывает, что, по сравнению с квадратным волноводом, металлические выступы сильно искажают структуру электромагнитного поля всех типов Н- и Е-волн и приводят к появлению дополнитель-
ных вариаций. Более того, наличие четырех одинаковых симметричных квадратных выступов сопровождается появлением аксиальной симметрии поля. В результате, электрические и магнитные поля волн имеют структуры сходные со структурами полей волн круглого волновода.
Из анализа картин электромагнитных полей квадратного 4-х гребневого волновода, установлено, что в случае симметричного возбуждения (по оси симметрии в поперечном сечении волновода) первая высшая мода может не возбуждаться, и в этом случае полоса рабочего режима существенно расширится, поскольку определяется вырожденными основными и второй высшей волнами.
Отметим, что разработанные в данной главе алгоритмы и составленные по ним программы расчета критических волновых чисел и построения электромагнитных полей могут успешно применяться для широкого круга ВСС, которые могут быть получены из прямоугольного волновода с четырьмя выступами (Г-, Н-, П-, Т-, крестообразный, одно- и двухжелобковый).
Получено в явном виде выражение для определения волнового сопротивления основной волны исследуемого типа волноводов. Установлено, что с увеличением размеров выступов волновое сопротивление монотонно убывает. Сравнение полученных результатов с результатами, существующими в известной литературе, показало совпадение с графической точностью.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в настоящей работе, намечены перспективы дальнейших научно-технических исследований.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Новая методика построения оптимизируемой геометрии модовых волно-водных трансформаторов, позволяющая создать сложно деформированные структуры, повысить эффективность трансформации и уменьшить длину проектируемого устройства.
Методика и алгоритмы расчета и многопараметрической компьютерной оптимизации модовых трансформаторов на вариациях диаметра и изгибах круглых волноводов на основе МПС.
Характерные зависимости амплитудных коэффициентов распространяющихся мод от геометрии деформации круглого волновода. Необходимость
частичного возбуждения всего спектра распространяющихся мод волновода для эффективной трансформации;
Геометрии, размеры и характеристики компактных модовых трансформаторов на изгибах: Ни - Еоь Нц -Нщ; Нц - Н2ь Ещ — Ец и вариациях диаметра: Hoi — Ног; Нц - Ніг круглого волновода, обладающих широкополосностью.
Методика, алгоритм и программа расчета компонент электромагнитных полей, критических волновых чисел и волнового сопротивления прямоугольного четырехгребневого волновода на основе МЧО с учетом особенности на ребре. Результаты исследования характерных зависимостей критических волновых чисел и волнового сопротивления от размеров гребней волновода.
Результаты моделирования и визуализации на ЭВМ структуры электромагнитных полей различных типов Н- и Е-волн в поперечном сечении квадратного четырехгребневого волновода. Сходство структуры электромагнитных полей основной и высших типов волн квадратного четырехгребневого волновода со структурами полей волн круглого волновода.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов определяется строгой постановкой решаемых задач, применением физических и математических моделей, правильно отражающих реальные технические объекты, использованием эффективных вычислительных методов. Контроль достоверности результатов осуществлялся теоретическими средствами - выполнением законов сохранения, анализом внутренних сходимостеи методов решения, контролем точности результатов, а также сравнением с результатами расчетов другими методами, с экспериментальными результатами и результатами других авторов.
Практическая значимость работы. В работе проведено решение задач практического проектирования модовых трансформаторов на изгибах и плавных вариациях диаметра круглых волноводов, на основе МПС реализованы программы расчета и оптимизации таких устройств. Разработанный алгоритм и программный комплекс составляет конкуренцию существующим дорогостоящим коммерческим программным продуктам, например CST Microwave Studio и др., реализующим прямые численные методы, и не менее дорогостоящей и длительной экспериментальной отработке. На основе МЧО
с учетом особенности электромагнитного поля на ребре создан программный комплекс электродинамического анализа гребневых ВСС на базе прямоугольного 4-х гребневого волновода, включающий программы расчета параметров (критических волновых чисел, компонент электромагнитных полей и волнового сопротивления) и программу моделирования и визуализации электромагнитных полей Н-волн и Е-волн в поперечном сечении волновода. Результаты работы включены в рабочие программы лекционных курсов и специальных практикумов, входящих в учебный план физического факультета РГУ и филиала кафедры ПЭКМ в Ростовском НИИ Радиосвязи. Тема диссертационной работы соответствует научному направлению «Электродинамический анализ элементов и устройств СВЧ диапазона», развиваемого в РГУ, и программе «Университеты России». Разработанные программные продукты могут быть успешно использованы как в разнообразных НИИ и КБ, так и на производстве, с целью их практического применения при создании СВЧ аппаратуры для радиотехнических, радиолокационных, радионавигационных комплексов и систем радиосвязи.
Апробация диссертационной работы. Основные результаты диссертации докладывались на седьмой Всероссийской Научной Конференции Сту-денов - Физиков и молодых ученых (Санкт-Петербург, апрель 2001 г.) - первое место в секции «Радиофизика»; Всероссийской и Международной конференциях «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (ИРЭМВ-2001 и ИРЭМВ-2003) (Таганрог, июнь 2001 г. и июнь 2003 г.); The fifth international Kharkov symposium on physics and engineering of millimeter and submillimeter waves (Kharkov, Ukraine, June 2004) — third prize of European Microwave Association; The international seminar on modern problems of computational electrodynamics (St. Petersburg, July 2004).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ. В том числе 4 статьи в журналах и 5 в сборниках трудов и тезисов докладов на научно-технических конференциях.
Анализ работ, посвященных исследованию эффекта трансформации мод в нерегулярных волноводных трактах
Для уменьшения потерь и предотвращения пробоя при работе с большими мощностями в сантиметровом и миллиметровом диапазоне длин волн часто приходится иметь дело с волноводами, поперечные размеры которых велики по сравнению с длиной волны. Такие волноводы, как известно, являются многомодовыми, поэтому, при различных деформациях поперечного сечения может происходить перераспределение энергии между распространяющимися модами. В результате появляется необходимость численной оценки этих эффектов при поворотах и изгибах волноводного тракта, при проектировании согласующих переходов и рупорных излучателей. Первые работы по созданию теории многомодовых нерегулярных волноводов были выполнены еще в 50-х годах прошлого столетия. Был предложен ряд методов, которые с незначительными модификациями и доработками успешно применяются и сегодня для решения этого класса задач.
Метод сшивания полей состоит в том, что поле в регулярной и нерегулярной частях волноводов представляется в виде суммы волн, которые могут существовать в обоих волноводах. Из требования непрерывности полей находится система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этих сумм. Однако метод ограничен условием, чтобы поле в нерегулярном волноводе имело достаточно простую структуру. Для прямолинейных волноводов круглого сечения он позволяет рассчитывать переход к конусу с малым углом раскрыва, или для прямоугольных волноводов к небольшому расширению. Этим методом в работе [1] были найдены коэффициенты отражения падающей волны от расширения прямоугольного волновода. Для круглого волновода метод сшивания применялся в [3], где были рассчитаны коэффициенты преобразования волны Hoi в волну 1. В волноводе, изогнутом по дуге окружности, можно ввести так называемые собственные волны и полное поле представить в виде суперпозиции таких собственных волн изогнутого волновода [24]. Используя это разложение, в [5] методом сшивания была решена задача о сочленении прямолинейного и изогнутого с постоянной кривизной волноводов прямоугольного сечения. В статьях [6] и [7] проводился расчет стыков нескольких регулярных волноводов различного поперечного сечения и анализировался эффект возбуждения паразитных волн.
Конформные отображения областей были широко использованы для расчета параметров плоских волноводов [8]. В этом методе сложная граница нерегулярного волновода переводится в две параллельные прямые. Волновое уравнение, описывающее поле в волноводе, при этом усложняется и приобретает такой вид, как если бы внутри этих параллельных прямых была расположена неоднородная среда. Вид этой неоднородности известным образом связан с функцией, осуществляющей конформное преобразование. Метод конформных преобразований требует использования сложного математического аппарата, что делает его практически применимым лишь для достаточно простых нерегулярностей. Так, например, уже для задачи о прямоугольном волноводе, одновременно расширяющимся в двух плоскостях, этот метод практически непригоден [24].
Несколько иной подход был использован в работе [5]. Введя систему координат, в которой стенки волновода совпадают с одной из координатных поверхностей, был рассмотрен изгиб волновода круглого сечения по окружности большого радиуса. В такой системе координат уравнения Максвелла приобретают дополнительные по сравнению с декартовой системой слагаемые, пропорциональные кривизне. Эти слагаемые имеют характер сторонних токов, созданных проходящей волной, и задача сводится к решению уравнений Максвелла с правой частью. Так были найдены собственные волны изогнутого волновода круглого сечения, и был сделан вывод о преобразовании в изгибе моды Ноі в моду Ец [24]. К этому же методу можно отнести и статью [2], в которой были найдены постоянные распространения собственных волн скрученного и изогнутого прямоугольных волноводов. Однако в работах [2, 5] не было произведено определение амплитуд всех рассеянных волн, поскольку это требовало дополнительных операций по сшиванию полей на границах изогнутого участка.
В работах [10, 11] этот метод получил дальнейшее развитие и был применен к решению более общих задач - изгиб волноводов по кривой двоякой кривизны с одновременным медленным изменением его поперечного сечения. Особенностью этих работ явилось использование регулярных способов решения неоднородных уравнений Максвелла, к которым сводится задача. Во введенной неортогональной криволинейной системе координат поверхность заданного волновода переводилась в поверхность цилиндра единичного радиуса. Решение уравнений Максвелла в этой системе производилось следующим способом: поле ищется в виде ряда по произведениям функции Бесселя на тригонометрические функции, и для коэффициентов этого разложения устанавливается система обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащая, в частности, метрические коэффициенты принятой системы координат.
Использованный в работе [11] способ расчета нерегулярности примыкает к другому методу - методу поперечных сечений. Основная идея этого метода состоит в том, что поле в каждом сечении нерегулярного участка представляется бесконечной суммой полей волн обоих направлений, которые могут распространяться в так называемом гипотетическом волноводе сравнения - в регулярном волноводе того же сечения и с тем же распределением электрической и магнитной проницаемости по сечению. Коэффициенты этого разложения являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Исследование нерегулярного волновода, т.е. фактическая трехмерная электродинамическая задача, сводится, таким образом, к двухмерной задаче о полях волн в регулярном волновое и к одномерной задаче - к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из решения этой системы определяются амплитуды волн, рассеянных нерегулярным участком. Основными величинами, характеризующими неоднородность, являются коэффициенты связи - коэффициенты в системе дифференциальных уравнений для амплитуд мод. Метод поперечных сечений дает явные выражения для коэффициентов связи для любой, в частности комбинированной нерегулярности [24],
Применение метода поперечных сечений для анализа волноводов переменного сечения
Волноводы со сложной формой поперечного сечения находят все более разнообразные применения при конструировании различных СВЧ устройств специального назначения. За последние два десятилетия развития волновод-ной техники внимание специалистов привлекли различные виды гребневых волноводов — П-, Н-, Г-, гантелеобразных, лунарных, секторных, треугольных и других сложных сечений, что объясняется рядом их преимуществ перед другими типами линий передачи. ВСС позволяют создавать элементы и узлы, отвечающие современным требованиям и превосходящие по своим параметрам их аналоги на прямоугольных и круглых волноводах. Например, П-волновод по сравнению с прямоугольным волноводом имеет меньшие размеры, более широкий рабочий диапазон частот, меньшие вес и габариты, более низкое значение характеристического сопротивления, меньшую дисперсию. Широко используется в качестве линий передачи, работающих в широком диапазоне частот, элементов фильтров СВЧ, возбудителей круговой поляризации, согласующих коаксиально-волноводных переходов [77-79], плавно-ступенчатых переходов. Они находят применение при создании широкополосных антенн с круговой поляризацией, волноводно-щелевых антенн, в качестве выводов энергии из СВЧ электронных приборов, щелевых, дырочных, шлейфовых направленных ответвителей и мостов [80], Н- и Е-тройников, циркуляторов и др. устройств [81, 82, 84]. Н-волноводы обладают теми же положительными свойствами, что и П-волноводы. В отличие от П-волноводов, имеющих одну плоскость симметрии, Н-волноводы имеют две плоскости симметрии. Наиболее подробно Н-волновод численно исследован в работах [86-89, 116]. Можно сделать вывод, что среди ВСС П- и Н-волноводы занимают ведущее место по уровшо изученности, количеству публикаций и практическому применению в микроволновой, измерительной технике и СВЧ энергетике.
Крестообразный волновод обладает более высокой критической частотой основного типа колебаний, чем соответствующий прямоугольный волновод, поэтому он чаще всего применяется в тех случаях, когда желательно увеличить размеры, не изменяя его критическую частоту, а именно - в диапазоне миллиметровых волн. Кроме того, эти волноводы позволяют передавать электромагнитные волны с двумя ортогональными поляризациями, что дает возможность использовать их в качестве излучающих элементов фазированных антенных решеток [91, 92]. Крестообразные волноводы обладают большей электрической прочностью по сравнению с П- и Н-волноводами, поэтому позволяют передавать по волноводному тракту большие мощности [117].
Они успешно применяются в качестве промежуточных элементов в конструкциях переходов с круглого волновода на прямоугольный волновод, при конструировании полосовых СВЧ фильтров [118].
Другим типом ВСС является прямоугольный волновод с четырьмя металлическими выступами, также обладающий рядом положительных свойств, однако не столь хорошо изученный, как, например, П- и Н-волноводы. Как и крестообразный волновод, квадратный четырехгребневый - частный случай прямоугольного волновода с четырьмя металлическим выступами - используется в качестве излучающих элементов фазированных антенных решеток (ФАР) и позволяет образовывать периодические структуры сотового типа. Большой интерес представляет четырехгребневая рупорная антенна с круговой поляризацией [93], работающая в трехкратной полосе частот. В работах [94-96] исследуются диапазонные свойства квадратных четырехгребневых волноводов. Показано, что введение четырех гребней в квадратный волновод приводит к сужению рабочей полосы частот, однако при создании условий» когда первая высшая мода не возбуждается или эффективно подавляется, оказывается что полоса одномодового режима, задаваемая второй высшей модой, может достигать 6:1. Наличие четырех внутренних гребней и аксиальная симметрия поля в волноводе приводят к тому, что электрические и магнитные поля основных и высших мод должны иметь структуры, сходные со структурами полей волн круглого волновода. Экспериментальное определение критических волновых чисел проводилось в [94] резонансным методом. Если резонатор представляет собой секцию четырехгребневого волновода, закороченную с двух сторон и имеющую отверстия связи, то фиксируемые резонансные пики будут соответствовать частотам отсечки различных мод волновода. Результаты численного исследования характеристик излучающих периодических структур на основе крестообразных и четырехгребневых (круглых и квадратных) волноводов приведены в статьях [91, 97-99].
Приведем ниже обзор основных методов теоретического расчета регулярных ВСС с учетом их исторического развития, достоинств, недостатков и практического применения.
Одним из методов определения критических частот и собственных волн регулярных волноводов со сложной формой поперечного сечения является метод, предложенный в работах [119]. Электродинамический анализ основан на сведении краевых задач к интегральным уравнениям Вольтерра 1-го либо 2-го рода в комплексной плоскости. Решение волнового уравнения, описывающего распределение продольной составляющей электрического или магнитного поля в поперечной плоскости волновода, представлено при помощи интегрального оператора Вольтерра. Критические частоты и структура электромагнитиых полей собственных волн электрического и магнитного типа определяются в результате решения полученных интегральных уравнений.
Метод решения интегрального уравнения основан на разбиении контура рассматриваемой области на N участков и полигональной аппроксимации искомой функции на каждом из них. В результате интегральное уравнение сводится к линейной системе алгебраических уравнений, имеющей треугольную матрицу с доминирующими ненулевыми элементами на главной диагонали. Алгоритм обращения треугольной матрицы легко реализуется на ЭВМ. Получены аналитические выражения для коэффициентов этой системы и трансцендентные уравнения, корнями которых являются критические частоты ВСС. Метод обладает высокой точностью и достаточной универсальностью, однако ввиду своей сложности применение его оправдано лишь в случае волноводов, поперечное сечение которых невозможно представить в виде простых частичных областей.
Трансформаторы на вариациях диаметра круглого волновода
В данной главе дается общее представление об эффекте трансформации распространяющихся мод в деформированных волноводных трактах. Показано, что на качественном уровне трансформацию мод в изгибе волновода можно объяснить с позиции механического движения точки по дуге окружности, приводится несколько примеров, наглядно иллюстрирующих этот эффект в круглом волноводе.
Для количественной оценки модовых трансформаций применен метод поперечных сечений, позволяющий определять амплитуды волн на выходе деформированного участка по амплитудам волн на входе. Проведен вывод системы дифференциальных уравнений первого порядка для определения амплитудных коэффициентов распространяющихся мод.
Применительно к круглым волноводам были получены в явном виде коэффициенты связи различных мод при изгибах и вариациях диаметра. Установлено, что форма геометрии деформации входит в коэффициенты связи для случая изгиба в виде радиуса кривизны оси распространения в данной точке, а для случая переменного диаметра - в виде первой производной функции изгиба по продольной координате в волноводе. Более того, если при изгибе радиус волновода остается постоянным, то для данной частоты в коэффициентах связи удается выделить постоянный сомножитель, не зависящий от геометрии изгиба.
Полученные в данной главе результаты позволяют: - проводить расчет степени преобразования различных распространяющихся мод при изгибах и плавных вариациях диаметра круглых волноводов по заданной геометрии деформации при условии, что описывающая ее функция дважды дифференцируема по продольной координате волновода. - решать обратную задачу расчета оптимальной геометрии деформации для эффективного преобразования распространяющихся мод при создании модовых волноводных трансформаторов. В этой главе на основе метода поперечных сечений проведен расчет и оптимизация геометрий модовых трансформаторов на изгибах и плавных вариациях диаметра круглых гладкостенных волноводов для следующих пар мод: Нц -Бої, Еоі -Ец, Нц - Ноі, Ни -Нгі, Нц -Ніг, Н — Н02 Предложен новый метод представления геометрии деформации, который позволил увеличить количество оптимизируемых параметров и, как следствие, создать более компактные трансформирующие переходы. Для проверки и детального анализа трансформаторов, оптимизированных на основе метода поперечных сечений, проведено моделирование при помощи программы CST Microwave Studio [107]. Получена высокая степень совпадения результатов.
Как было показано во второй главе, амплитудные коэффициенты мод, распространяющихся в изогнутом волноводе или волноводе плавно изменяющегося поперечного сечения, определяются из решения системы линейных дифференциальных уравнений (2.40). При этом для каждой конкретной задачи количество уравнений системы соответствует числу мод, непосредственно участвующих в трансформации. Так, в круглом волноводе эти моды определяются, во-первых, из условия возможности распространения волны в волноводе заданного диаметра на заданной частоте, во-вторых, из условий (2.30) и (2.62), соответственно для случая изгиба и переменного поперечного сечения и, в-третьих, из условия выбора волн по критерию поляризации -(2.31). При этом для случая изгиба волновода необходимо также учитывать, что каждая возбуждаемая мода может трансформироваться с учетом условия (2.30), т.е. имеют место так называемые вторичные трансформации.
Для решения системы дифференциальных уравнений (2.40) была составлена программа в среде MatLab [152], осуществляющая численное интегрирование методом Рунге-Кутта четвертого порядка. В качестве начального условия при падении на вход моды /» выступает вектор амплитудных коэффициентов - Aj (0) = 1, А (0) = 0, при т Ф j.
Величины амплитудных коэффициентов на выходе трансформатора зависят от значений соответствующих коэффициентов связи, входящих в уравнение (2.40), которые, в свою очередь, зависят от геометрии деформации. В результате, заданное преобразование может быть достигнуто за счет ее оптимизации.
Важно помнить, что резкие деформации волновода приводят к заметным отражениям падающей волны, а не достаточные - наоборот, к тому, что мода не полностью преобразуется и на выходе наблюдается суперпозиция входной и преобразованной моды. Как было установлено, во второй главе, в коэффициентах связи (2.41) - (2.43) для расчета изогнутого круглого волновода можно выделить часть, независящую от геометрии изгиба, расчет которой достаточно провести один раз и сохранить полученный результат. В случае плавных вариаций диаметра коэффициенты связи (2,63) - (2.65) необходимо полностью пересчитывать на каждом шаге оптимизации.
В качестве геометрии изгиба или вариации диаметра круглого волновода может выступать любая функция y(z), для которой существует соответственно вторая -y"(z) или первая -y {z) производная по z. При этом трансформатор должен быть компактным, а его геометрия - максимально простой. С одной стороны это облегчает его производство и применение, с другой - собственно процесс его моделирования.
Анализ модового состава и электромагнитных полей четырехгребневого прямоугольного волновода
Таким образом, на основе метода поперечных сечений, разработана методика, универсальный алгоритм и программа расчета и оптимизации модовых трансформаторов на изгибах и вариациях диаметра круглых волноводов. В качестве базовой геометрической функции изгиба и вариации диаметра была использована функция, параметры которой могут изменяться на каждом полупериоде. В результате удалось построить сложные геометрии трансформаторов, оптимизируя необходимое число параметров. Длина рассчитанных в данной главе трансформаторов составила от одного до трех периодов базовой функции, а их относительная длина L/a не превышала 30. Уровень затухания паразитных мод на выходе на центральной частоте не превышал -20 дБ.
Исследованы характерные зависимости амплитудных коэффициентов распространяющихся мод от геометрии деформации круглого волновода, показано, что для эффективной трансформации необходимо частичное возбуждение всего спектра распространяющихся мод волновода.
Проведено моделирование оптимизированных трансформаторов при помощи программы CST Microwave Studio. Получены картины распределения электромагнитного поля на длине трансформатора, а также величины уровня затухания распространяющихся мод на входе и выходе. Уровень затухания отраженных волн на входе лежит в среднем ниже -ЗО-И-0 дБ, что дает возможность не учитывать их в процессе оптимизации. Уровни затухания волн на выходе трансформатора находятся в хорошем соответствии с величинами, полученными методом поперечных сечений. Показано, что полоса пропускания трансформаторов на плавных нерегулярностях существенно зависит от количества и формы изгибов и составляет 10-ь20% на уровне -10 дБ, что значительно больше, чем у трансформаторов на резких изменениях поперечного сечения волноводов.
В данной главе на основе метода частичных областей с учетом особенности электромагнитного поля на ребре проводится расчет критических волновых чисел и компонент электромагнитного поля в прямоугольном волноводе с четырьмя металлическими выступами с воздушным заполнением. Исследована сходимость решений. Получены зависимости критических волновых чисел от размеров выступов. Построены картины компонент электрического и магнитного полей в поперечном сечении волновода для Н- и Е-волн квадратного четырехгребневого волновода. Рассчитаны волновые сопротивления четырехгребневого прямоугольного волновода и проведено сравнение с известными результатами.
Как следует из проведенного анализа литературы для расчета параметров четырехгребневых волноводов хорошо подходит метод частичных областей с учетом особенности электромагнитного поля на ребре. Он обладает высокой точностью, позволяет записать в явном виде выражения для компонент электромагнитных полей, а реализованные с помощью этого метода алгоритмы обладают высокой скоростью расчета.
Метод частичных областей с учетом особенности электромагнитного поля на ребре был эффективно использован для расчета таких волноводов сложного сечения как П-, Н-, Г-, Т-, О-, крестообразных, одно- и двухжелоб-ковых. Он позволил, путем соответствующего выбора функций, аппроксимирующих распределение электрического поля на линии сшивания, построить высокоэффективные алгоритмы решения и существенно повысить точность результатов [80-90].
Необычность поперечного сечения рассматриваемого в данной работе 4-х гребневого волновода не позволяет напрямую использовать результаты расчетов вышеуказанных типов волноводов, так как отсутствует возможность разбиения на простые Г-образные области, и, поэтому, требует в данном случае индивидуального подхода.
При постановки задачи о собственных волнах ВСС, поперечное сечение которых может быть представлено совокупностью прямоугольных частичных областей, можно воспользоваться соображениями симметрии и ограничится анализом только одной четвертой части поперечного сечения с изменяющимися граничными условиями типа электрической или магнитной стенки на контуре полученной области.
Рассматриваемая краевая задача - расчет критических волновых чисел и электромагнитных полей в ВСС с однородным диэлектрическим заполнением без учета потерь в металле и диэлектрике, заключается в определении решения двумерного волнового уравнения Гельмголыда в сложной области для составляющей электрического Щ =(0,0, /If) или магнитного П? = (0,0, Я ) векторов Герца:
