Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы и анализ методов электродинамического анализа распространения электромагнитных волн в неоднородных диэлектрических волноводах 16
1.1. Применение дифракционных решеток 16
1.1.1. Применение дифракционных решеток в интегральной оптике 16
1.1.2. Применение волоконных брэгговских решеток 19
1.2. Обзор методов электродинамического анализа распространения электромагнитных волн в неоднородных планарных и цилиндрических диэлектрических волноводах 27
1.2.1. Прямые численные методы 28
1.2.2. Полуаналитические методы 37
1.2.3. Приближенные и комбинированные методы 38
1.2.4. Методы электродинамического анализа bandgap структур 42
Выводы 47
Глава 2. Электродинамический анализ неоднородн остей в многослойных планарных диэлектрических волноводах 48
2.1. Интегральные уравнения и их решение для планарных структур с металлической решеткой на диэлектрическом волноводе 49
2.2. Функция Грина для многослойной планарной периодической структуры 53
2.3. Исследования внутренней сходимости решения для планарного диэлектрического волновода с металлической дифракционной решеткой 59
2.4. Интегральные уравнения и их решение для планарных структур с диэлектрической дифракционной решеткой 65
2.4.1. Решение интегральных уравнений для Н-волны 67
2.4.2. Решение интегральных уравнений для Е-волны 70
2.5. Исследование внутренней сходимости решения для планарного диэлектрического волновода с диэлектрической дифракционной решеткой 71
2.6. Приближенное решение интегральных уравнений методом импедансных граничных условий 15
2.7. Исследование внутренней сходимости решения для метода импедансных граничных условий 85
Выводы 98
Глава 3. Электродинамический анализ неоднородностей в многослойных цилиндрических диэлектрических волноводах 101
3.1. Функция Грина для периодической цилиндрической структуры 103
3.2. Сведение задачи к решению интегральных уравнений 107
3.3. Решение интегральных уравнений 114
3.4. Результаты численного моделирования для осесимметричных волн 120
3.4.1. Сравнение результатов, полученных строгим и приближенным методами 120
3.4.2. Исследования внутренней сходимости решения 123
3.5. Результаты численного моделирования для осенесимметричных волн 128
Выводы 134
Глава 4. Практическое использование разработанных методов и анализ полученных результатов 136
4.1. Исследования планарного диэлектрического волновода с металлодиэлектрическими включениями 137
4.2. Исследование диэлектрических включений в планарный диэлектрический волновод 145
4.3. Исследование диэлектрических включений в цилиндрические диэлектрические волноводы 153
Выводы 159
Заключение 161
Литература 163
- Обзор методов электродинамического анализа распространения электромагнитных волн в неоднородных планарных и цилиндрических диэлектрических волноводах
- Функция Грина для многослойной планарной периодической структуры
- Исследование внутренней сходимости решения для планарного диэлектрического волновода с диэлектрической дифракционной решеткой
- Решение интегральных уравнений
Введение к работе
Электродинамический анализ распространения и дифракции электромагнитных волн в диэлектрических волноводах (ДВ), имеющих в своей структуре неоднородности, представляет большой научный и прикладной интерес. В качестве неоднородностей могут выступать периодические системы, частным случаем которых являются дифракционные решетки (ДР). Применение ДВ с ДР в своей структуре актуально для сетей связи любого уровня и может в значительной степени повысить их пропускную способность и скорость передачи. ДР находят все большее применение в аппаратуре ввода/вывода, значительно повышая ее надежность. Использование ДР в качестве избирательных элементов в оптических отражателях и устройствах обращения волновых фронтов позволит в будущем сделать существенный шаг к созданию полностью оптических сетей. Применение решеток в качестве конструктивных элементов в лазерах разных типов и оптических усилителях позволяет уже в настоящее время значительно улучшить характеристики сетей связи с использованием волоконно-оптических линий связи (ВОЛС). Все чаще брэгговские решетки используются в качестве датчиков и в системах безопасности. В последнее время широкое применение при проектировании различных устройств, используемых в телекоммуникациях, находят диэлектрические структуры с собственной запрещенной (энергетической) зоной (bandgap структуры), которые интересны из-за своих сильно выраженных дисперсионных и частотно-селективных свойств.
В связи с вышеизложенным вопросы электродинамического анализа неоднородностей в многослойных ДВ являются весьма актуальными.
Ряд противоречивых требований, предъявляемых к исследуемым структурам, и их разнообразие привели к созданию большого числа методов электродинамического анализа данных структур. Однако проведенный анализ литературных источников показал, что существующие методы не отвечают в полной мере следующему набору требований: они должны быть быстродействующими; позволять получать аналитическое решение поставленной задачи; позволять исследовать сложные диэлектрические неоднородности; проводить оценку погрешности результатов и при этом не требовать значительных машинных ресурсов.
Наиболее универсальными являются прямые численные методы. При их применении минимальны ограничения, накладываемые на геометрию исследуемой структуры. К прямым численным методам можно отнести следующие методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Рунге-Кутта. Недостатком прямых численных методов является то, что при их использовании затруднено решение задачи дифракции на неоднородностях, так как необходимо моделировать граничные условия (ГУ) для бесконечных слоев. Существующие алгоритмы требуют больших аппаратных и временных затрат.
Более эффективны при численной реализации численно-аналитические методы. В отличие от прямых численных методов, для которых сразу получается окончательное матричное уравнение, в численно-аналитических методах предварительно проводится ряд аналитических преобразований. Получающиеся в результате решения матричные уравнения имеют обычно лучшую внутреннюю сходимость, более физически наглядны, позволяют провести оценку погрешности результатов.
Кроме прямых численных и полуаналитических методов можно выделить так называемые приближенные и комбинированные методы. Отличительной особенностью данной группы методов является то, что при создании электродинамической модели делаются предварительные допущения и приближения, уменьшающие точность решения, но позволяющие упростить модель. Полученная модель решается с помощью прямых численных или полуаналитических методов, или их комбинации. К приближенным относятся: метод геометрической оптики, метод распространения луча, решения с использованием теории связанных волн. Таким образом, мы считаем, что наиболее перспективным для электродинамического анализа неоднородностей в ДВ является использование численно-аналитических методов, основанных на решении интегральных уравнений (ИУ). Наиболее распространены ИУ трех типов: диаграммные, поверхностные и объемные. Метод диаграммных уравнений (МДУ) характеризуется весьма высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, позволяет для некоторого множества значений параметров задачи получать явные аналитические решения, обладающие высокой достоверностью, однако, в случае, когда рассейватель является неоднородным диэлектриком, использование МДУ достаточно затруднено. Для записи как поверхностных, так и объемных ИУ (соответственно ПИУ и ОИУ) используется функция Грина (ФГ). ОИУ обладают рядом преимуществ: они более простые, неоднородность и нелинейность диэлектрика не усложняют существенно решение (что невозможно учесть в случае ПИУ), в результате решения непосредственно находится электрическое поле в диэлектрике. ОИУ для двумерных задач переходят в ПИУ, в которых интегрирование ведется по поперечному сечению неоднородности. Однако применение метода ОИУ для электродинамического анализа неоднородностей в многослойных ДВ связано с рядом проблем, решению которых и посвящена эта работа.
Работы по диссертации проводились в рамках программы РГУПС "Фундаментальные и поисковые научно-исследовательские работы", темы: "Оптимальное использование оптических линий в сетях оперативной технологической связи" (2002 г.) и "Разработка методов и алгоритмов для исследования неоднородностей в оптических волокнах" (2003 г.).
Целью работы является разработка эффективных и универсальных методик, алгоритмов и программных средств для теоретического исследования радиофизических свойств многослойных планарных и цилиндрических ДВ с металлическими и диэлектрическими неоднородностями.
Для достижения данной цели предполагается решить следующие основные задачи:
1. Разработать строгий численно-аналитический метод электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн в многослойных планарных и цилиндрических ДВ, содержащих в своей структуре металлические и диэлектрические неоднородности.
2. Обосновать возможность применения и применить метод импедансных граничных условий (ИГУ) для электродинамического анализа неоднородностей в многослойных планарных и цилиндрических ДВ.
3. Исследовать физические свойства неоднородных многослойных цилиндрических и планарных ДВ, в том числе их частотно-селективные свойства.
Научная новизна
1. На основе метода ОИУ развит метод электродинамического анализа неоднородн остей в многослойных оптических планарных и цилиндрических ДВ. Для эффективности метода использована функция Грина, максимально полно описывающая исследуемую структуру.
2. Разработан вычислительный алгоритм нахождения функции Грина для многослойных цилиндрических и планарных ДВ.
3. Предложен метод регуляризации ПИУ, основанный на выделении и аналитическом преобразовании особой части ядра ПИУ.
4. С помощью приближенного решения понижена размерность строгих ОИУ, в результате получено одномерное ИУ Фредгольма второго рода. Выведено выражение для импеданса диэлектрических неоднородностей, обеспечивающее более высокую точность расчета, чем известное выражение импеданса. Разработан численно-аналитический метод решения этих уравнений.
5. Исследована дифракция волн на конечной металлической ДР и на некоторых неоднородностях в оптических планарных и цилиндрических ДВ.
Показано существование окон прозрачности и непрозрачности, возможность использования нелинейных решеток для генерации второй частотной гармоники и возможность достижения большого излучения из волновода с введенной неоднородностью при малом коэффициенте отражения, что можно использовать в цепях контроля состояния оптических устройств.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Развитие численно-аналитического метода решения ОИУ и его применение для электродинамического анализа диэлектрических неодпородностей в многослойных планарных и цилиндрических ДВ.
2. Приближенный метод решения, позволяющий понизить размерность ОИУ. Уточненное выражение для импеданса сложных диэлектрических неоднородностсй, обеспечивающее более высокую точность расчета, чем известное выражение импеданса.
3. Результаты электродинамического анализа, алгоритмы расчета, пакеты прикладных программ для металлических и диэлектрических полосковых неоднородностсй.
4. Новые физические закономерности, установленные при электродинамическом анализе устройств на базе планарных и цилиндрических ДВ с неоднородностями, полученные на основе развитых и разработанных в работе методов и алгоритмов (существование окон прозрачности и непрозрачности в периодических структурах, возможность получения большого коэффициента излучения из волновода с введенной неоднородностью при малом коэффициенте отражения, выполнение условия фазового синхронизма частотных гармоник в нелинейных решетках и т.д.).
Практическая значимость полученных в диссертации результатов определяется разработанными автором алгоритмами и методикой электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн в многослойных неоднородных планарных и цилиндрических ДВ, позволяющими значительно сократить временные
• затраты при проектировании частотно-селективных устройств, в состав которых входят ДР, а также при анализе неоднородностей в ДВ. Практическую ценность проведенных исследований повышает программное обеспечение, созданное на базе предложенных алгоритмов.
Практическую значимость работы подтверждают акты внедрения.
Реализация результатов работы
Разработанные методики и программные комплексы применялись в ЗЛО "Учебно-методический центр при Санкт-Петербургском государственном университете телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича" при создании лабораторных стендов и программного обеспечения по моделированию и проектированию оптических элементов.
Некоторые научные и практические результаты диссертации включены в рабочие программы лекционных курсов и специальных практикумов, входящих в учебный план специальности 210700 "Автоматика, телемеханика и связь на железы од орожном транспорте" в РГУПС.
Акты внедрения и использования научных результатов прилагаются к диссертации.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов определяется строгой постановкой решаемых задач, применением физических и математических моделей, правильно отражающих реальные технические объекты, использованиехМ эффективных вычислительных методов. Контроль за достоверностью результатов осуществляется теоретическими средствами - выполнением законов сохранения, анализом сходимостей методов решения, контролем точности результатов, сравнением с результатами расчетов другими методами.
Апробация диссертационной работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: • 6-я международная научно-практическая конференция "Информационные технологии на железнодорожном транспорте "Инфотранс-2001", Сочи, Россия, МПС, 2001 г.
• IX международная научная конференция "Mathematical methods in electromagnetic theory "MMET-2002", Киев, Украина, IEEE АР, МТТ and ED Societies URSI, 10-13 сентября 2002 г.
• Научно-теоретические конференции профессорско-преподавательского состава "Транспорт 2002","Транспорт 2003", Ростов-на-Дону, Россия, РГУПС, 2002, 2003 г.г.
• 1-я межведомственная научно-практическая конференция «Телекоммуникационные технологии на транспорте России «Телекомтранс-2003»», Сочи, Россия, МПС России, Минтранс России, 2003 г.
• Международная научная конференция "Излучение и рассеяние ЭМВ", ИРЭМВ-2003 Таганрог, Россия, 16-20 июня 2003 г.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе; 6 статей и 6 тезисов докладов на международных и всероссийских конференциях.
Структура и объем диссертационной работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Она содержит 179 страниц текста, 41 рисунок, 57 таблиц и список использованных источников, включающий 169 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены ее цели и задачи, показана практическая значимость и научная новизна полученных результатов, сформулированы основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также представлено краткое содержание работы.
В первой главе состоящей из двух частей, проведен обзор и краткий анализ применения планарных и цилиндрических ДВ с неоднородпостями, а также структур с собственной запрещенной (энергетической) зоной. Показано, что подобные структуры получают все большее распространение как в телекоммуникациях (интегральная оптика, сети связи на базе ВОЛС), так и в других отраслях.
Во второй части первой главы проведен анализ существующих методов электродинамического анализа неоднородностей в ДВ и их практической реализации. На основании проведенных исследований был сделан вывод о перспективности использования для электродинамического анализа неоднородных ДВ метода ОИУ.
Во второй глапе представлена методика электродинамического анализа планарных оптических ДВ с металлической и диэлектрической ДР, расположенными на одной из границ раздела сред. Для обоих случаев решены задача на нахождение собственных волн в бесконечной решетке и задача дифракции на решетке конечной длины. Получено выражение ФГ для планарной периодической структуры и разработан алгоритм ее численного нахождения. Предложено и обосновано использование метода ИГУ с уточненным выражением импеданса для электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн в многослойных планарных ДВ с диэлектрической ДР па одной из границ раздела сред. На основании предложенных алгоритмов создано программное обеспечение, с помощью которого проведено численное сравнение строгой теории и предлагаемых алгоритмов. Также проведен анализ внутренней сходимости решения для предлагаемых методов и даны рекомендации по практическому использованию предлагаемых алгоритмов для расчета реальных структур.
В третьей главе решена задача на нахождение собственных волн в многослойных цилиндрических оптических ДВ с ДР на одной из границ раздела сред. Получено выражение ФГ для цилиндрической периодической структуры и разработан вычислительный алгоритм для ее нахождения. Предложено и обосновано использование метода ИГУ для электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн в неоднородных цилиндрических оптических ДВ. На основании разработанных алгоритмов созданы программные пакеты, с помощью которых проведено сравнение результатов расчета коэффициента замедления в многослойных неоднородных цилиндрических ДВ по строгой электромагнитной теории и с помощью метода ИГУ. Обоснованность применения методов электродинамического анализа распространения и дифракции осесимметричных и осенесимметричных волн в многослойных неоднородных цилиндрических оптических ДВ подтверждена расчетом конкретных примеров.
В четвертой главе разработанные методы и алгоритмы применены для теоретического анализа физических свойств многослойных планарных и цилиндрических ДВ с неоднородностями.
Исследованы дисперсионные характеристики собственных волн в планарных и цилиндрических металлических и диэлектрических ДР. Показано существование окон прозрачности и непрозрачности, и влияние параметров ДР и ДВ на их расположение и ширину.
Показана возможность выполнения условия фазового синхронизма частотных гармоник в нелинейных решетках.
Исследована дифракция электромагнитных волн планарного ДВ на сложных металлических и диэлектрических неоднородпостях. Показана возможность достижения большого излучения из волновода с введенной диэлектрической неоднородностью при малом коэффициенте отражения.
Проведенные расчеты показывают, что метод ИГУ позволяет получать достоверные не только качественные, но и количественные зависимости.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертации.
Составлен библиографический список.
Акты реализации результатов диссертационной работы прилагаются.
Обзор методов электродинамического анализа распространения электромагнитных волн в неоднородных планарных и цилиндрических диэлектрических волноводах
Ряд противоречивых требований, предъявляемых к исследуемым структурам, и их разнообразие используемых структур, привели к созданию большого числа методов электродинамического анализа данных структур. Наиболее универсальными являются прямые численные методы. При их применении минимальны ограничения, накладываемые на геометрию исследуемой структуры. Границы их использования, в основном, определяются параметрами существующих ЭВМ. К прямым численным методам можно отнести следующие методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Рунге-Кутта. Более эффективны при численной реализации численно-аналитические методы. В отличие от прямых численных методов, для которых сразу получается окончательное матричное уравнение, в численно-аналитических методах предварительно проводится ряд аналитических преобразований. Получающиеся в результате решения матричные уравнения имеют обычно лучшую внутреннюю сходимость, более физически наглядны, позволяют провести оценку погрешности результатов. Полуаналитические методы представлены, в частности, методами, основанными на решении ИУ. Кроме прямых численных и полуаналитических методов можно выделить так называемые приближенные и комбинированные методы. Отличительной особенностью данной группы методов является то, что при создании электродинамической модели делаются предварительные допущения и приближения, уменьшающие точность решения, но позволяющие упростить модель. Полученная модель решается с помощью прямых численных или полуаналитических методов, или их комбинации. К приближенным относятся: метод геометрической оптики, метод распространения луча, решения с использованием теории связанных волн.
В последнее время особое место при электродинамическом анализе оптических структур занимают структуры с собственной запрещенной (энергетической) зоной (bandgap структуры), которые интересны из-за своих сильно выраженных дисперсионных и частотно-селективных свойств. Эти структуры находят широкое применение при проектировании фильтров, мультиплексоров, микрорезанаторов, переключателей и других устройств, используемых в телекоммуникациях. Поэтому обзор методов математического моделирования bandgap структур выделен отдельно. Некоторые из методов используемых для электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн в неоднородных ДВ и bandgap структурах представлены ниже. одним из самых популярных методов численного решения задач электродинамики. МКР представляет собой универсальный инструмент, который можно успешно использовать практически во всех задачах электродинамики, требующих численного решения. Наиболее эффективно использование МКР в задачах, где необходим анализ нестационарных процессов в неоднородном анизотропном пространстве для объектов с произвольной формой границ. Частотные характеристики исследуемого объекта могут быть получены с помощью дискретного преобразования Фурье или путем задания квазигармонического источника и выполнения расчетов до выхода на установившийся режим. В своей классической постановке МКР основан на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Узлы сеток электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другу на половину шага дискретизации по каждой из переменных во времени и пространстве. Конечно-разностные уравнения позволяют определять значения электрического и магнитного полей в данный момент времени на основании известных значений в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура разворачивает решение во времени от начала отсчета с заданным шагом.
Определенную сложность при исследовании разнообразных электромагнитных явлений с помощью МКР представляет учет искусственных граничных условий (ГУ) при переходе от анализируемой области к свободному пространству. Обычно ГУ вводятся приближенно — либо на основе конечно-разностных формул, связывающих поля на границе анализируемой области, либо путем введения в модель слоев поглощающих материалов, в том числе и с границами специальной формы. При этом появляется погрешность, обусловленная принципиальным отличием локально поставленных ГУ от строгих, которые должны быть необходимо нелокальными, и характеризуемая коэффициентом отражения от границы между анализируемой областью и свободным пространством. МКР предполагает использование эквидистантных ортогональных сеток. Эффективность метода можно повысить за счет применения нелинейных или иеортогональных сеток. МКР и его программная реализация в сочетании с достижениями вычислительной техники, обладая высокой точностью и быстродействием, делают этот способ предпочтительным для решения задач рассеяния волн на электрически больших трехмерных структурах. Известно множество работ, посвященных различным аспектам МКР, улучшению формулировок ГУ и анализу возникающих погрешностей. Например, использование обобщенной схемы Дугласа в МКР с использованием прямоугольной и цилиндрической систем координат позволяет повысить эффективность и точность анализа распространения оптических импульсов в пластинчатых и кругообразно симметричных волноводах [75]. В работе [76] представлена новая 5- и 7-миточечная сеточная конечно-разностная схема аппроксимации оператора второй производной. Использование в схеме метода линий позволяет одинаково хорошо моделировать как поглощающие диэлектрики, так и металлические слои. Большое внимание уделяется модификации «классического» МКР. В [77] новая эффективная методика моделирования поведения оптических импульсов в однородной среде, металлических и диэлектрических волноводах разрабатывается и проверяется с использованием как линейных диспергирующих, так и линейных недиспергирующих примеров, результаты для которых известны предварительно. Наблюдается превосходная точность результатов. Предлагаемый метод был успешно использован для моделирования двухмерных Y-соединителей. Двухмерный итеративный МКР трансформируется для моделирования осесимметричного трехмерного (квазитрехмерного) преобразования длимы волны с нелинеипостями второго порядка при условии почти полного согласования фаз [78]. Исследования показали, что различия между
Функция Грина для многослойной планарной периодической структуры
Электромагнитное поле в периодической структуре может быть разложено в ряд Флоке по пространственным гармоникам [152]. Поэтому ФГ для брэгговской металлодиэлектрической или диэлектрической ДР с периодом по оси х равным 2d (рис. 2.2), имеет вид: - для задачи о собственных волнах где Д, - искомая постоянная распространения волны в решетке; - для задачи дифракции на неоднородностях Рис. 2.2. Диэлектрическая решетка с периодом 2d Полагая, что источник расположен в N-ом слое (индекс р и аргумент /3 опускаем, зависимость от времени - exp(icot)), функцию g для N + \-слойной структуры, параллельной оси л:, представим в виде где i4tf±l - неизвестные коэффициенты; Вп - координата верхней грани п -го слоя. Толщина слоя: hn=Bn- Вп_х. Функцию (у), удовлетворяющую условию 4 (8 .,)-1, определим ниже. Для того чтобы на границе раздела сред тангенциальные составляющие электромагнитного поля были непрерывны необходимо выполнение двух Таким образом, неизвестные коэффициенты AN±l определены при условии, что известно значение функции (fijy.j). Определим эту функцию.
При Af 2 для определения (у) получим рекуррентную формулу. Решение однородного уравнения Гельмгольца в л-ом слое (и = ЛГ-1,...,2) ищем в виде: а в первом полубесконечном слое: где Dn = xV(Bn ) неизвестные коэффициенты при п N — 1, a DN-] = 1. Полученное решение удовлетворяет условию непрерывности УІу), потребуем выполнения ГУ ,4 (Яя_і ) = 6.-1 ,.-1 (ВяЧ), п = N \, „., 2. При я = # -1,...,3: Полагая Z?„ = ЛҐ„ і при = 2,3,..., -2, из (2.2.8) находим Х2, а из (2.2.7) при л = 3,..JV-2- всеХя. Из(2.2.7) при n-N-\ определим Z),. Частный случай N= 2. 4 = [r3shy2(52 -У)+у2сЬу2(В2 -/)]/Д, источник в третьей области, то Ряд (2.2.1) для ФГ из-за плохой сходимости невозможно использовать для проведения численных расчетов. Улучшим сходимость этого ряда. Выделим особую часть в ФГ. Из формулы (2.2.4) следует, что при 1 1 - да Члены ряда (2.2.9) убывают при л - оо как 1/V. Поэтому для численного суммирования с погрешностью не более 1% в (2.2.9) достаточно учесть все распространяющиеся пространственные гармоники и не более 20 затухающих гармоник. Для задачи дифракции на неоднородностях ФГ представим в виде интеграла Фурье 2л Функция g(y,y\fi) та же, что и в ряде Флоке (2.2.1). Выделим в ФГ особую часть (т.е. имеющую особенность вида G&Gs(r)= lnr при г - 0) 2я" Особая часть ФГ С?Дл:,л; ,у,_у )=0, если точки истока и наблюдения не принадлежат одновременно Мой области (рис. 2.2.1), в противном случае Регулярная часть ФГ (не имеющая особенности при г — 0) определяется формулой (2.2.10), в которой в случае, когда точки истока и наблюдения принадлежат одновременно iV-ой области, нужно заменить функцию g {у, у ,0) на функцию Функция г{у у\0)кconst/ръ при /? — оо.
Поэтому интеграл (2.2.10) легко находится численно при [#,,,,од), где кт -к єїтт. , єгшх-максимальное значение из всех диэлектрических проницаемостеи слоев диэлектрика. При [/? [0, ] функция g{y,y\(3) имеет конечное число полюсов f3-±ryi v = 1,2,...,Р на действительной оси плоскости комплексной переменной /3. Полюса соответствуют постоянным распространения волн плоского диэлектрического волновода. При интегрировании в (2.2.10) полюса P rv нужно обходить сверху, а /?= -rv - снизу (рис. 2.3). Функцию Gr(x,x ,y,y ) находим численно. Используем косинус интеграл Фурье (2.2.10). Интервал интегрирования [0,оо) разбиваем на 3 интервала: [0,km], [km,U], [Us x ), где t/ тах(дг—JC ,у — )» 1. В силу быстрого убывания функции gr{y,y\P) при /?- оо интегралом по последнему интервалу можно пренебречь. На [„,/] подынтегральное выражение (2.2.10) особенностей не имеет, интеграл находится численно. На [0,Л:т] подынтегральное выражение имеет полюса p=rv. Поэтому преобразуем интеграл [153]
Исследование внутренней сходимости решения для планарного диэлектрического волновода с диэлектрической дифракционной решеткой
Для расчета изображенной на рис 2.5 ДР в ИУ (2.4.1-2.4.3) нужно подставить полученную в предыдущих разделах ФГ и положить є+ є, є_ = Eft либо є_ = є, є+ EN . Рекомендуется в качестве є+ выбиратьдиэлектрическую проницаемость ячейки ДР с наименьшими электрическими размерами. Задача нахождения собственных волн в ДР - задача на собственные значения. В ИУ (2.4.1-2.4.3) нужно положить внешнее поле равным нулю. Решения ИУ сводится описанными в предыдущем разделе методами к решению систем однородных линейных алгебраических уравнений. Собственные числа (постоянные распространения ДР) - нули определителей этих систем. Полученные численно-аналитические решения имеют быструю внутреннюю сходимость. Некоторые результаты исследования внутренней сходимости метода ИУ (т.е. зависимость решения от числа квадратурных узлов М по оси л: и у) приведены в таблицах 2.5Л—2.5.4. В таблицах 2.5.1, 2.5,2 рассчитан коэффициент замедления п = j30/k основной Н-волны в ДР (2.4.1) для двух самых неблагоприятных для метода ИУ случаев - ширина зубца равна периоду ДР (табл. 2.5.1) и ширина выреза равна периоду ДР (табл. 2,5.2). ДР изображены на рис 2.6. Точные значения, полученные численным решением дисперсионных уравнений для соответствующих плоских трехслойных волноводов, равны соответственно 1,80967 и 1,63977. Таким образом, даже для предельного случая метод имеет быструю внутреннюю сходимость.
Для расчетов реальных решеток с погрешностью менее 0,1% достаточно полагать МХшУ=2+3. Результаты расчета одной и той же ДР, полученные двумя способами, представлены в табл. 2.5.3. Разработанный метод и программы позволяют рассчитывать ДР с зубцами (вырезами) не только прямоугольной формы (рис. 2.5, 2.6). И в этом случае метод имеет быструю внутреннюю сходимость. Это иллюстрирует табл. 2.5.4, где приведены результаты для одной и той же ДР (рис. 2.7) , рассчитанной двумя способами: а) ДР - волновод высотой Ь2 /2 =0,6 и 2=4,0 с треугольными зубцами высотой j/2f/=0,5 и =4,0; б) ДР Внутренняя сходимость решения для Е-волны в ДР (ИУ (2.4.2, 2.4.3)) аналогична сходимость решения для Н-волны. Внутренняя сходимость дифракционной задачи аналогична внутренней сходимости задачи на собственные значения. Применение импедансных граничных условий (ИГУ) к расчету структур с тонкими диэлектрическими слоями значительно упрощает решения краевых задач [159]. В основе метода лежит представление неоднородностей в виде тонких импедансных полос. Получению ИГУ и их применению к решению конкретных электродинамических задач посвящено большое количество работ [160-162]. В частности, в [162] с помощью ИГУ решена задача об отражении электромагнитной волны от импедансной решетки. Основным недостатком метода ИГУ для диэлектрических структур является ограниченная область применения. Теоретически они справедливы для слоев с толщиной много меньше длины волны в слое. На практике они дают удовлетворительную точность при толщине меньше длины волны.
Область применения можно увеличить, модернизировав вид ИГУ [163]. Точность метода ИГУ может быть оценена только путем сравнения с экспериментом или с расчетами по строгой электродинамической модели. Рассмотрим многослойный планарный ДВ, на одной из границ раздела сред в ДВ расположена диэлектрическая ДР. Размеры полосок решетки и их число произвольные. При бесконечном числе полосок (рис. 2.9) исследуется спектр собственных волн в решетке. При конечном - дифракция волны ДВ на ограниченной решетке. Интегральные уравнения для метода ИГУ получены при приближенном решении строгих ИУ (2.4.1 - 2.4.3) [106,110]. Рассмотрим решение (2.4.1) для одной неоднородности. Переход к большему числу очевиден. Найдем приближенное решение ИУ (2.4.1) для прямоугольной неоднородности. Полагаем, что где Е(х ) - неизвестная функция:
Решение интегральных уравнений
Для решения системы интегральных уравнений (3.3.1) применим смешанный метод: 1-е уравнение {у = 1) решается методом коллокации, а 2-е уравнение (у = 2) решается методом Галеркина. Регуляризируем первое уравнение в (3.3.1). Для этого преобразуем первый интеграл. Введем функцию J(z ): Jx{z )- j(z )(M2 z z , затем выделим особую часть ядра: Неизвестную функцию J2{z) разложим в ряд по взвешенным полиномам Чебышева второго рода Um где X2 - неизвестные коэффициенты, Подставим (3,3.3), (3.3.5) в (3.3.1) при v =\; затем потребуем удовлетворения этого уравнения в точках z = z„ (см. (3.3.4)). Обозначим Ххп =j{zm). В результате получим hi(zn -z )=g]2(zn -z ) ang(i(zn -z ) - непрерывная функция. В результате получим (интеграл с функцией g0(z„-zf) берется аналитически): Интеграл находим численно по квадратуре наивысшей точности [150] (3.3.8) Перейдем к решению уравнения (3.3.1) при v =2. Первый интеграл заменяем квадратурой, как в интеграле (3.3.3). Во второй интеграл подставляем ряд (3.3.5). Полученное уравнение проектируем на Un{z). Получим СЛАУ, аналогичную (3.3.6), в которой нужно положить v =2. Матричные элементы Ans находим аналогично Ans. В результате получим следующие формулы для вычисления матричных элементов: (3.3.11) Функция g22(z-z ) имеет логарифмическую особенность при z- z . Выделим ее: где gl(z-z ) = g22(z-z )—a22g0(z-z ) - непрерывная функция, коэффициент a22 =—J определим ниже. После подстановки (3.3.12) в (3.3.11) и интегрирования получим О, при n&s или п = 5 = 0; ,22 _ j22 ж tn M,+\ (3.3.15) При Мъ n + s квадратура (3.3.15) дает точный результат. Таким образом, мы получили СЛАУ (3.3.6) при v -1,2 с матричными элементами, определяемые формулами (3.3.7)-(3.3.10), (3.3.13)-(3.3.15).
Нули определителя СЛАУ - искомые постоянные распространения волн в решетке. Рассмотрим теперь особенности численного вычисления ядра ИУ. Функции gst(z-z ) ( ,/ = 1,2), как уже отмечалось выше, имеют особенность как z -» z . Целью данного раздела является выделение в явном виде особой части и разработка метода вычисления этих функций. Характер особенности функций gst определяется асимптотикой функций / (0), ГЧР), ГЧР), ГЧР)- при - оо. Поэтому определим вначале эту асимптотику. Эти асимптотики используем для улучшения сходимости рядов, через которые выражаются gst (z - z ). Улучшение сходимости рядов приводит к выделению особой части gst. Таким образом, в настоящем разделе разработан метод электродинамического анализа распространения собственных волн в ЦДР и отражения электромагнитных волн от многослойных ДР для гибридных волн (векторная краевая задача). Для упрощения задачи используется модифицированный метод ИГУ. Для расчета ДР используется численно-аналитическое решение ИУ. В основе решения - выделение и аналитическое преобразование особой части ядра ИУ. Основные преимущества разработанного метода решения ИУ — универсальность и простота численной реализации. В данном разделе представлено сравнение результатов расчета коэффициента замедления полученных программных пакетов, основанных на строгом методе и методе ИГУ, а также анализ сходимости решения ИУ. Сравнение результатов расчета коэффициента замедления, полученных с помощью строгого метода и метода ИГУ показано на примере трехслойной структуры (Ns=3), Неоднородности (выступы) расположены на втором слое (Nn=2). Третий слой - воздух ( =1,0). Количество неоднородностей на период N=1; полупериод (/=0,5. Остальные параметры структуры: е[=3,0; 2=2,0; =3,0; Г]=1,0; г2 2,0. Параметры для строгой программы расчета: Л/г =2; М/=2. Параметры для приближенной программы расчета: число узлов коллокации Л/] =8; число базисных функций М2-5; число квадратурных узлов Мг-\ 1 (М2 -М2 +М4); Мл-6\ число членов в ряде при нахождении ядра ИУ Ng=5. В табл. 3.4.1 и 3.4.2 показано влияние значения полуширины пластины в ДР на расхождение между строгим методом (1-ый вариант) и приближенным методом ИГУ с уточненным значением импеданса (2.6.2) (2-ой вариант) при полутолщине неоднородности Л=0,01 и А=0,\ соответственно. В табл. 3.4.3 и 3.4.4 приведены результаты расчетов коэффициентов замедления для описанной выше структуры для //2 /=0,25 с разными значениями є и є1 при 4=0,01 и Л=0,1 соответственно.
