Введение к работе
Актуальность работы. Классическая теория колебаний и волн, ставшая основой совремеїшои науки о нелинейных явлениях в динамических системах различной природы, главным образом оперировала с дифференциальными уравнениями. Однако, в последние десятилетия в этой области знаний не менее широко представлены системы с дискретным временем — точечные отображения. Это связано с их эффективностью для описания сильно нелинейных явлений и приспособленностью аппарата разностных уравнений к исследованию па ЭВМ. К настоящему времени сформировался ряд эталонных отображений, моделирующих нелинейные феномены; в частности, благодаря отображениям, были обнаружены и детально исследованы количественные закономерности различных сценариев перехода к хаосу, развиты понятия универсальности и скейлинга, известные ранее в физике фазовых переходов и квантовой теории поля [Неймарк Ю.И., Шарковский А.Н., Feigenbaum M.J., HirschJ.E., Ни В., Rudnick J.]. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек или решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволило существенно продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать их колебательные состояния [Kaneko К., KapralR., Crutchfield J.P., Кузнецов СП.]. Решетки связанных отображений широко используются и для моделирования распределенных систем [Kaneko К., Deissler R.J.].
Так как для описания динамики большинства нелинейных систем необходимо введение нескольких параметров, особый интерес представляют многопараметрические дискретные модели. Многопараметрические отображения позволяют исследовать бифуркационные ситуации в пространстве нескольких управляющих параметров, с их помощью, например, удалось обнаружить и зписать отличные от фейгенбаумовского типы критического поведения много-іараметрических нелинейных систем [MacKay R.S., Chang S., Кузнецов А.П., Кузнецов СП.].
Интерес к отображениям определяется не только запросами науки, но и гакими методическими достоинствами, как наглядность графического представления и анализа дискретных моделей малой размерности, скорость числен-гого исследования многомерных и многопараметрических объектов (цепочек, эешеток). Эти особенности дискретных моделей позволяют использовать их в 'реальном масштабе времени" в учебных аудиториях, не требующих оборудо-
вання мощной вычислительной техникой. Причем на настоящем этапе достаточно раннего внедрения нелинейных представлений в образование (фундаментальное, экологическое, экономическое) существует потребность в библиотеке подобных моделей, а также в развитии методов их конструирования.
Несмотря на то, что зрелость той или иной отрасли науки во многом определяется числом дедуктивных, построенных на основе общих принципов моделей, в настоящее время имеет место повышение интереса к эмпирическим моделям. В частности, к восстановлению уравнений по экспериментальным наблюдаемым (временным рядам). Решая задачу прогноза поведения во времени, с помощью такого подхода предсказывают динамику системы по отсчетам в "прошлом". В русле этой актуальной проблемы лежит рассматриваемая в работе задача построения по экспериментальным данным модели совокупности характерных движений системы.
Формальная математическая конструкция становится моделью лишь после ее наполнения конкретным содержанием. Поэтому, разработка подхода к моделированию должна вестись на некоторой базе. Хорошим "полигоном" для развития методов дискретного моделирования в сочетании с экспериментальным исследованием нелинейных явлений оказываются неавтономные радиофизические системы. Они имеют удобные для анализа характерные временные масштабы, эти системы широко используются в технике, и имеется хорошо развитая инструментальная база для экспериментов. Именно радиофизические системы стали эталонными при экспериментальном изучении бифуркационных явлений и свойств регулярных и хаотических предельных множеств. Такие объекты, как генератор на туннельном диоде [Кияшко СВ., Пиковский А.С., Рабинович М.И.], периодически возбуждаемая LR-диод цепь [Linsay P.S.], генератор с инерционной нелинейностью [Анищенко B.C., Астахов В.В.], кольцевые генераторы с фильтрами низкого порядка [Дмитриев А.С], системы Чуа [Chua L.O., Zhong G.Q., Ayrom F.] послужили экспериментальной базой при исследовании динамического хаоса низкой размерности. Радиофизические объекты хорошо зарекомендовали себя и при изучении нелинейной динамики различных комплексов, конструируемых из базовых элементов со сложным поведением: цепочек [Анищенко B.C., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И.], сетей [Некоркин В.И., Пономаренко В.П., Шалфеев В.Д.], а также распределенных систем [КисловВЛ., Трубецков Д.И.]. Точечные отображения органически приспособлены для описания объектов, находящихся под внешним перио-
дичсским воздействием, в силу того, что и те, и другие обладают свойством инвариантности относительно дискретной группы симметрии. Из всего класса неавтономных систем в работе рассматриваются нелинейные резонаторы, причем их поведение исследуется, главным образом, в окрестности резонанса. Резонансные системы чрезвычайно широко распространены в природе. В области нелинейного резонанса для них характерно существование типичной для осцилляторов бистабштьности, изучению которой в работе уделяется особое внимание. В качестве базового объекта исследования выбран колебательный контур с диодом, широко используемый во многих устройствах (параметрических генераторах, перестраиваемых фильтрах, умножителях и делителях частоты). Цель диссертационной работы состоит в
построении дискретных нелинейных моделей, отражающих в широкой области параметров сложную динамику диссипативных осцилляторных систем, совершающих вынужденные колебания около положения равновесия, и их апробировании на примере LR-диод цепи;
экспериментальном и теоретическом исследовании с помощью модельных отображений колебательных явлений в связанных нелинейных осцилляторах.
Методы исследований. Для достижения поставленных лелей используется подход, типичный для теории колебаний и волн: выбирается базовая система, отражающая основные закономерности поведения объекта. Затем проводится усложнение базовой модели и создается модель следующего уровня сложности — ансамбль связанных базовых элементов. В качестве базовой системы используется сконструированное одномерное многопараметрическое отображение, качественно описывающее поведение бистабильного в области нелинейного резонанса неизохронного осциллятора. Исследования проводятся методами численного и физического экспериментов и частично аналитически.
Научная новизна. В работе впервые:
предложена и исследована простая дискретная многопараметрическая модель, отражающая сложную динамику неизохронного диссипативного осциллятора при периодическом внешнем воздействии в области существования и эволюции к хаосу субгармонических колебаний;
экспериментально и численно исследовано явление мультистабилъности в системе двух диссипативно связанных колебательных контуров с нелинейной емкостью в области параметров, соответствующей существованию в изолированных контурах бистабильности, и описаны несинфазные режимы,
при которых колебания в связанных системах происходят на основе различных бистабильных состояний;
- аналитически обнаружено и численно исследовано существование несин
фазных режимов колебаний при сильной связи двух идентичных подсистем,
демонстрирующих удвоения периода, проведено сопоставление результатов
со случаем слабой связи;
— экспериментально в широкой области параметров неавтономной LR-диод
цепи на пороге перехода к хаосу проведено измерение константы, характе
ризующей средний перепад между соседними уровнями субгармоник в спек
тре мощности, и проведен анализ полученных результатов на основе числен
ных исследований спектров одномерных отображений.
Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных и экспериментальных данных, хорошим качественным соответствием результатов численных и физических экспериментов, совпадением результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов.
Научная значимость результатов определяется степенью их общности. В частности, результаты, полученные в экспериментах с периодически возбуждаемыми нелинейными цепями, справедливы для широкого класса систем, инвариантных относительно дискретной группы симметрии, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, для класса диссипативных неавтономных осцилляторов с различными видами нелинейности. Это подтверждается проведенными в работе численными исследованиями модельных уравнений и сопоставлением с известными теоретическими данными. Исследованная в работе ситуация бистабильности в области нелинейного резонанса типична для осцилляторных систем различной природы.
Практическая значимость. Изучены сильно нелинейные колебательные состояния и построены карты динамических режимов конкретных радиофизических систем, являющихся составными частями ряда практически важных устройств (нелинейные колебательные контуры широко используются, например, в качестве перестраиваемых фильтров, параметрических генераторов, умножителей и делителей частоты). Полученные результаты позволяют прогнозировать колебательные состояния реальных систем и их эволюцию с изменением параметров, что делает исследование и интерпретацию сложной динамики нелинейных систем осмысленным и не столь трудоемким. Для целей обра^ ботки информации могут оказаться полезными результаты исследований муль
тистабилыюсти в многомерных цепях с диодами. Предложенные модели вынужденных колебаний неизохронных осцилляторов удобно использовать в учебных целях.
Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских работ, проводимых по планам ИРЭ РАН, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №93-02-16171, №96-02-16755) и фонда INTAS (гранты 93-2492, 93-2492—ext). Результаты работы и комплексы авторских программ использовались в курсе "Математическое моделирование" для студентов кафедры электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы. Работа содержит 194 страницы, включая 44 страницы иллюстраций и 22 страницы списка литературы из 226 наименований.
