Содержание к диссертации
Введение
1. Оптимальные формы оболочек. уравнения мервдианов без ызгибных оболочек вращения. устойчивость оболочек вращения (обзор литературы) 9
1.1. Формы оболочек, деформирующихся без изгиба под действием заданной внешней нагрузки 9
1.2. Уравнения меридианов безызгибных оболочек вращения 12
1.3. Устойчивость оболочек вращения 20
2. Представление мервдианов безызгибных оболочек враще ния точными и приближенными аналитическими выражени ями 23
2.1. Представление меридианов эллиптическими интегралами 23
2.2. Представление меридианов степенными рядами 30
3. Уравнения устойчивости безызгибных оболочек вращения 49
3.1. Основные допущения, принятые в теории устойчивости оболочек 49
3.2. Компоненты деформации срединной поверхности оболочек 50
3.3. Энергетический (вариационный) критерий устойчивости 51
3.4. Вывод уравнений устойчивости безызгибных оболочек вращения 53
4. Анализ результатов 71
4.1. Определение верхних критических давлений без ызгибных оболочек вращения 71
4.2. Скорости сходимости процесса вычислений крити ческих давлений для оболочек-полугофров ( уС в = 0,01) 83
4.3. Скорости сходимости решений для оболочек-полугофров с -rr=0,0614-rO,36(j/= 0,OOS;0,015,0,02). 88
4.4. Скорости сходимости решений для оболочек-гофров (-^ = О,Of І О,OOSi 0,015; 0,02) 88
4.5. Анализ результатов числовых расчетов устойчивости оболочек-полугофров А^ = 0,Ol) 101
4.6. Анализ результатов числовых расчетов устойчивости оболочек-полугофров с -^-Л= 0,06 74 -* 0,36.. 111
4.7. Анализ результатов числовых расчетов устойчивости оболочек-гофров (& - 0,01) 111
4.8. Анализ результатов числовых расчетов устойчивости оболочек-гофров с АГ- 0,0674 + 0,36
(-^=0,005,0,015-,0,02) 113
4.9. Устойчивость оболочек-шпаций, выделенных шпан гоутами из безызгибных оболочек 121
Заключение 135
Литература 137
Приложение 143
- Уравнения меридианов безызгибных оболочек вращения
- Представление меридианов степенными рядами
- Компоненты деформации срединной поверхности оболочек
- Скорости сходимости процесса вычислений крити ческих давлений для оболочек-полугофров ( уС в = 0,01)
Уравнения меридианов безызгибных оболочек вращения
За последние 70 лет, начиная с классических работ Цолли [бо] , Мизеса [57J , Лоренца ]_56J » Тимошенко [45J по устойчивости сферической и цилиндрической оболочек, опубликовано тысячи статей, монографий, учебников по устойчивости этих оболочек. В последнее время поток работ по изучению устойчивости частных видов оболочек вращения продолжает увеличиваться. Достаточно указать на известные работы [8, 9, 13, 14 J , в которых систематизированы и обобщены теоретические и экспериментальные исследования по локальной и общей устойчивости "в малом" и "в большом" цилиндрических, сферических, конических, а также составных оболочек при различных видах нагрузок и типах граничных условий. Это освобождает нас от необходимости составлять обзор литературы по устойчивости таких оболочек. Поэтому ниже упоминаются лишь невошедшие в вышеуказанные работы источники, посвященные устойчи 21 вости судовых оболочек вращения с переменными радиусами меридиана. Таких работ еще очень мало [23, 34, 37, 38 ] .И переменность радиуса меридиана фигурирует в них лишь в общих зависимостях, фактические же вычисления выполнены лишь для цилиндров и конусов - наиболее часто встречающихся в оболочечных составных конструкциях. Даже для сегментов торовых оболочек, которые тоже иногда включаются в составные конструкции, нет доведенных до числа решений. Устойчивость же упомянутых выше в пп.Х.1 и 1.2 оболочек оптимальных форм еще совсем не рассматривалась.
В.В.Осиповой и В.Е.Спиро [37J задача об устойчивости оболочек вращения, свободно опертых на жесткие поперечные диафрагмы, плоскость которых перпендикулярна оси вращения, решается в рамках теории Новожилова - Гольденвейзера. Используется статический критерий устойчивости. Решение получено методом парциальных
Ш откликов Даны результаты расчетов верхних критических давлений только цилиндрических, конических оболочек, а также оболочек, состоящих из комбинаций цилиндрических и конических.
В [38] ими же решена задача об устойчивости "в малом" оболочек вращения, подкрепленных упругими шпангоутами, плоскость которых нормальна к оси вращения. Результаты получены также для оболочек вращения традиционных форм.
В.С.Корнеев [23J с помощью метода конечных элементов решил ряд сложных задач об устойчивости и изгибе ортотропных оболочек вращения: подкрепленных конических, оболочек, состоящих из цилиндра и конуса, оболочек с малой положительной и отрицательной гауссовой кривизной, нагруженных равномерным давлением. Причем в некоторых случаях учитывалось моментное напряженное состояние в докритической стадии.
Авторы I 341 с помощью метода конечных элементов решили несколько задач по устойчивости оболочек также традиционных форм.
Таким образом, полученное в настоящей работе решение задачи об устойчивости безызгибных оболочек вращения из работы [15, I7J можно считать, по-видимому, и вообще первым доведенным до числа решением задачи об устойчивости оболочек вращения с существенно переменными радиусами главных кривизн. Выражение (ІЛ7), определяющее формы меридианов оболочек вращения, требует численного интегрирования. В _I5j указано» что интеграл в элементарных функциях не выражается. Однако, как показано в j_50J , этот интеграл все-таки приводится к сумме двух эллиптических почти для всех оболочек из [15 J .
Интеграл (I.I7) заменой переменной U QCV подстановкой вместо постоянных С., Cz их значений из (2.18), выраженных через главные радиусы f = /х,/б= # $ Г= RT. 1е & (рис.2.1) и введением безразмерной величины i)= Rf/f сводится к Один из корней уравнения есть U = OCf/ г- 1 так как все рассматриваемые меридианы
Представление меридианов степенными рядами
Приведенные выше в виде интеграла (I.17) формы меридианов безызгибных оболочек вращения выражены в функции координаты SC . Проводить же исследования напряженно-деформированного состояния, устойчивости, колебаний незамкнутых в вершине оболочек, считая
ZC аргументом, затруднительно, ибо малым изменениям ОС соответствуют большие изменения гр и, кроме того, одному и тому же значению SO могут отвечать на протяжении одного гофра два значения -Р . Удобнее получать решения, когда переменные параметры оболочки вращения выражены как функции координаты р , отсчитываемой вдоль оси вращения. Ниже приводятся приближенные выражения этих функций [50 J .
Считая в (I.I7) координату SC из интервала [O /j функцией гР и разлагая ее в степенной ряд можно с помощью уравнения
вытекающего из (I.I7), получить искомую зависимость ZC( fj , Следует заметить, что QC( f) раскладывается в ряд (2.27) по четным степеням f , так как форма меридиана, лежащего в плоскости QC7rf , симметрична относительно оси ? .
Здесь удобнее перейти к безразмерным величинам Коэффициенты разложения параметров . , . по степеням jC , точные значения которых определены зависимое Коэффициенты у8/ оцредеяются из уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях f после подстановки (2.27) в (2.35). 5 результате выведены следующие выражения для коэффициентов Sj :
Остальные коэффициенты выражаются через предыдущие и коэффициенты oty с помощью формул типа
Коэффициенты разложения параметров — , получаются аналогично: безразмерные ряды Коэффициенты разложений с индексом J /2 из-за громоздкости здесь не приводятся, хотя фактически в работе они использовались.
Значения использованных коэффициентов приводятся в табл.2.2.
Отметим, что число М удержанных в рядах типа (2.29) связано с номером J - У\/ последнего из них зависимостью 5 табл.2.3 для трех оболочек-полугофров даны точные и вычисленные с помощью рядов значения радиусов поперечного сечения /х = ОС » кривизны у 7) радиусов D в точках макси мального сужения оболочки при f =-h
По данным табл.2.4 видно, что,во-первых, чем меньше отклоняется форма безызгибной оболочки от описанного вокруг последней цилиндра, тем точнее замена рядом (2.29) аналитического выражения, определяющего ординаты меридианов; во-вторых, при значениях р 1 погрешность приближенного выражения практически равна нулю даже не при всех удержанных членах, указанных в табл.2.2.
График на рис.2.2 показывает погрешность V(X ) значения ЗСщХп в сечении максимального сужения оболочки в зависимости от числа удержанных в ряду (2.29) членов Графики же на рис.2.2, 2.4 - погрешность V ( / ) значений $ » /D тоже в сечении максимального сужения при замене рядами (2.35) и (2.39) точных значений, определяемых по (І.І4).
Из табл.2.3 и графиков на рис.2.2-2.4 хорошо видно, что чем больше отклоняется от цилиндра незамкнутая в вершине безыз-гибная оболочка, тем больше членов приходится удерживать в рядах для данных параметров, чтобы не превысить пятипроцентную погрешность.
Приведенные выше данные позволяют дать некоторые практические рекомендации: для представления рядами (с 5%-ной погрешностью) радиуса поперечного сечения и других параметров оболочек-полугофров в зависимости от величины относительного сужения - L/ необходимо удерживать следующее число членов Гч :
Компоненты деформации срединной поверхности оболочек
В соответствии с допущением 4 из п.3.1 в ортогональной криволинейной системе координат компоненты деформации и углы поворота деформированной срединной поверхности оболочки записываются следующим образом [iO - 12, 20, 30, 44, 47, 5з] :
Устойчивость оболочек, как и других конструкций, изучают двумя методами: динамическим и методом нейтрального равновесия.
Динамический метод незаменим при исследовании устойчивости неконсервативных систем. При исследовании же устойчивости консервативных систем можно надежно использовать статический метод нейтрального равновесия.
Метод нейтрального равновесия имеет дифференциальную и энергетическую (вариационную) формы.
Полная система линейных дифференциальных уравнений устойчи вости оболочек произвольной формы давно получена [з2, 46j . Однако в ряде случаев интегрирование этой системы из-за математических трудностей становится просто невозможным. В этих случаях применяется энергетический критерий, который можно записать в нескольких видах I 4 J. Ниже приводится вариационное уравнение устойчивости оболочки произвольной формы в том виде, в каком оно было фактически использовано в настоящей диссертации [г, 4, 29] : - мембранная и цилиндрическая жесткости; Vt7U,W - вариации или возмущения - дополнительные к исход ному безмоментному состоянию перемещения срединной поверхности оболочки; 8 (JO ЪР Ъ Т " компоненты дополнительной дефор Q а мации и соответствующие ей углы Т Т 5 " Цвпные усилия исходного безмоментного состояния
Напряженное состояние безызгибных оболочек вращения, обнаруженных В.И.іуревичем и В.С.Калининым I 15, 17 J , определяется просто. Уже исследовано и напряженное состояние этих оболочек вблизи линий соединения их с другими видами оболочек. Однако устойчивость безызгибных оболочек еще совсем не изучалась.
Настоящая работа является первым шагом в этом направлении. В ней исследуется устойчивость в малом частей незамкнутых в вершине безызгибных оболочек вращения, имеющих вид полного гофра и его половины (рис.1.3, 2.1), а также более коротких оболочек-шпаций.
Во всех случаях внешняя нагрузка - всестороннее равномерное давление р , граничные условия на круговых краях - граничные условия Навье ( 71- IV- /f - г/ -О ). Эти условия являются не только классическими, но и наиболее близкими к реальным условиям на торцах рассматриваемой изолированно оболочки враще ния, опирающейся на переборки или шпангоуты. Во всяком случае, в методике расчета гладких круговых цилиндрических оболочек на всестороннее внешнее давление Г55 J также приняты граничные условия Навье. Критическая нагрузка при общей потере устойчивости подкрепленной поперечным набором круговой цилиндрической оболочки, подверженной воздействию всесторонней нагрузки, определяется по формуле В.В.Новожилова [55 , соответствующей также граничным условиям Навье.
Постановка данной задачи подобна классической задаче Мизеса об устойчивости цилиндрической оболочки, свободно опертой на торцах на жесткие диафрагмы. Поэтому результаты для безызгибных оболочек сравниваются с результатами, подсчитанными по второй формуле Мизеса для описанных и вписанных цилиндрических оболочек радиусов Г и Г— А Г
Выведем систему уравнений устойчивости безызгибных оболочек вращения, причем в двух системах координат (рис.2.1, 3.1, 3.2), поскольку каждая из этих систем имеет свой оптимальный диапазон применения.
На рис.3.1 в качестве координат выбраны Л » (f ( А -координата, отсчитываемая вдоль меридиана, (/ - угловая координата в окружном направлении). Из рис.3.I видно, что ОІЛг= КССфЪу следовательно, параметры Ляме Af— » L = = ft = ft y&iflQ . Выражение для компонентов деформаций, углов поворотов, главных радиусов кривизны срединной поверхности, определяемые в общем случае по формулам (3.1), (2.16), в данной системе координат примут вид Г10 - 12, 20, 30, 44, 47, 53 :
Скорости сходимости процесса вычислений крити ческих давлений для оболочек-полугофров ( уС в = 0,01)
При вычислении критических давлений ft для оболочек, параметры которых jrC $i/Rl) приведены в табл.2.1, удерживалось такое количество членов в рядах для перемещений U , V , КГ , при котором h последующего приближения отличается от предыдущего не более, чем на Для оболочек, близких к цилиндру, т.е. с малым сужением - - 0,0154,оказалось достаточным удержать один член в каждой из сумм (3.12). Для оболочек с большим сужением -4г( г= 0,0674 0,8335 ) в рядах для перемещений приходилось удерживать от трех до семи членов. Определители становятся, соответственно, девятого и двадцать первого порядков. Критические давления для всех оболочек из табл.2.I вычислены в координатах -d , (р , в том числе, и для ранее рассчитанных в системе координат т , (/ . На графиках, приведенных на рис.4.2, 4.3, показана зависимость критических давлений р от числа удерживаемых в рядах U. , V , UT членов М. для оболочек с 4г О ( /р) 0) . Из графиков хорошо видно, что, чем больше величина сужения в середине гофра, тем медленнее скорость сходимости решений (тем больше членов приходится удерживать в рядах для перемещений), и, А Г" наоборот, чем меньше величина сужения - (чем больше соотношение R /D )« тем быстрее сходимость решений (тем меньше членов приходится удерживать в рядах У. , V , ЪС для получения необходимой точности). Для очень близких к цилиндру оболочек результаты первого и второго приближений, как это видно из графиков на рис.4.2, не отличаются. Для оболочек с большим /f-( /.7 0,5 ) в суммах (3.12) удерживается по семь членов, чтобы погрешность между последующим и предыдущим результатами не превосходила принятой. Отметим, что, чем больше величина / » тем значительнее отличаются критические давления ТТ первого и по-следнего приближений. Это же характерно и для оболочек с - - О (рис.4.4), у которых с увеличением І тг сходимость также медленнее, и,наоборот, скорость сходимости увеличивается с уменьшением J АГ оболочки-полугофра с AfY=OJ5 (А/ - 0,СН) Скорости сходимости решений для вышеназванных оболочек показаны на графиках рис.4.5, 4.6, 4.7. Заметим, что, чем тоньше оболочка, тем медленнее сходимость решений при прочих одинаковых условиях, и, наоборот, чем толще оболочка, тем быстрее сходимость результатов. Для оболочек с - « 0,015; 0,02 критические давления предыдущего и последнего приближения практически не отличаются: разница составляет десятые доли процента, что намного меньше принятой пятипроцентной погрешности. Следует заметить, также, что значения р с увеличением А/ увеличиваются При определении критических давлений для оболочек-полугофров верхний предел в интегралах системы (3.18) равен - / 2 Прежде, чем переходить к обсуждению скорости сходимости решений для оболочек-гофров, обратим внимание на особенность, заключающуюся в следующем: при граничных условиях Навье, как это уже было показано, формы потери устойчивости описываются совокупностью тригонометрических функций (3.22), (3.23), которые при любом /72 являются либо симметричными, либо кососимметричными функциями относительно середины &- - одного полного гофра. Остальные параметры оболочки f (л), CO-LG, tfiSy І/о ґ) входящие в систему (3.17), изменяются также по симметричным или кососимметричным относительно середины оболочки-гофра зависимостям, в силу того, что оболочка-гофр симметрична относительно сво оболочек-полугофров ( Л/ -Qt02 , либо COL . Эта простая особенность позволяет заметно упростить задачу определения критических давлений для оболочек-гофров. Система уравнений устойчивости (3.17) распадается на две независимые системы. В коэффициентах при А т.п. » Омл » Стп первой системы входят лишь нечетные номера /77 , М (Тії =2пг і , K 2kf і , где /77, hi = I, 2, ... ) и формы выпучивания по ZV при этом будут симметричными относительно середины оболочки. В коэффициенты же при А/п -Л » Дт» Л » Є/п л другой системы входят только четные номера /77 , К (/7? =2/71 , к = 2 И. ), и формы потери устойчивости коеосишетричны по ZCX относительно середины оболочки-гофра. Первая система в соответствии со сказанным (из (3.22) берутся гармоники только с нечетными номерами) составлена с использованием рядов Во второй системе (в (3.22) учитываются гармоники только с четными номерами) использованы ряды Заметим, что для оболочки-полугофра решения задавались с удержанием всех гармоник: Бели сравнить (4.8) и (4.9), то можно заметить, что решения для оболочек-по іугофров и оболочек-гофров, теряющих устойчивость по кососимметричным формам, с точностью до постоянных коэффициентов совпадают. Иными словами, кососимметричные формы выпучивания оболочек-гофров являются собственными формами и оболочек-полугофров. Результаты числовых расчетов для двух случаев, естественно, полностью совпали. На рис.4.8, 4.9 показаны скорости сходимости решений для оболочек с относительным сужением -QL у. о , JL =0,01, те Ґ Ґ ряющих устойчивость по симметричным формам, аналогичный график для оболочек с - Г с О приведен на рис.4.10. Ґ Скорости сходимости для нескольких безызгибных оболочек-гофров с различными - также проанализированы и в виде графиков показаны на рис.4.11-4.13. Рис.4.II соответствует оболочкам с толщиной = 0,005; рис.4.12 - с « 0,015 и рис.4.13 - с -2. = 0,02. Ґ Практическая сходимость решений для всех оболочек достигается при таком же числе М членов, удержанных в рядах для U » V , ЪО , что и для оболочек-полугофров. При этом связаны зависимостями:
