Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературных источников. Основные внутри- баковые элементы (ВБЭ) и заборные устройства (ЗУ) топливных отсеков 9
1.1 .Литературный обзор 9
1.1.1. Литературный обзор основных работ 9
1.1.2. Влияние физических и конструктивных факторов на колебания упругой оболочки с жидкостью 20
1.1.3. Методы исследования продольных колебаний упругого ЛА 26
1.1.4. Выводы литературного обзора 29
1.2. Внутрибаковые элементы ВБЭ 30
1.3. Заборные устройства 32
1.4. Диссипативные эффекты осесимметричных колебаний тонкостенной упругой конструкции, содержащей ВБЭ, ЗУ и жидкое топливо 34
1.5. Приведённый коэффициент гидравлического сопротивления топливного отсека 41
Выводы в главе 1 42
Глава 2. Малые движения упругих тонкостенных конструкций, содержающих ВБЭ и ЗУ с вытекающим жидким топливом 43
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Невозмущенное движение жидкости в топливном баке 43
2.3. Общая постановка задачи о малых колебаниях упругой конструкции с перфорированным днищем и жидким топливом 45
2.3.1. Постановка задачи для потенциала смещений 48
2.3.2. Закон изменения энергии 51
2.3.3. Формулировка парциальных задач 52
2.4. Малые колебания упругой обечайки с несжимаемой жидкостью и жёстким перфорированным днищем 53
2.4.1. Собственные колебания 53
2.4.2. Модельная задача для цилиндрической оболочки 54
2.4.3. Вспомогательная задача 56
2.4.4. Результаты исследования модельной задачи 59
2.4.5. Обсуждение результатов 61
2.5. Использование метода приведённых параметров 63
2.6. Оценка влияния перфорации жёсткого днища на собственные колебания упругой обечайки 65
2.7. Задача приведения 66
Выводы в главе 2 69
Глава 3. Продольные колебания жесткого отсека с упругим перфорированным днищем, частично заполненного несжимаемой жидкостью 70
3.1. Постановка задачи 70
3.2. Постановка задачи для определения потенциала смещений Хг 71
3.3. Определение потенциалов смещений 72
3.4. Уравнения возмущенного движения перфорированного днища с жидкостью 75
3.5. Собственные колебания 77
3.6. Численные результаты 82
3.7. Механические аналоги движений упругой конструкций с перфорированным днищем и жидкостью 88
3.7.1. Механический аналог свободных движений упругой системы жидкость - перфорированное днище 89
3.7.2. Механический аналог движений перфорированного днища с жидкостью при колебаниях по основному тону 94
3.7.3. Приближенный механический аналог свободных затухающих колебаний перфорированного днища с жидкостью 98
3.7.4. Приближенный механический аналог вынужденных колебаний топливного отсека с перфорированным днищем и жидкостью 101
Выводы в главе 3 105
Глава 4. Динамические и прочностные расчеты продольных колебаний упругого ЛА 107
4.1. Определение собственных частот колебаний корпуса ЛА с учетом демпфирующих свойств ВБЭ и ЗУ 107
4.2. Исследование вынужденных колебаний упругого ЛА 115
4.3. Исследование устойчивости продольных колебаний корпуса ЛА с ЖРД в линейной постановке 124
4.3.1. Уравнение корпуса изделия 125
4.3.2. Уравнение камеры сгорания 126
4.3.3. Насос-напорная магистраль-форсуночная головка 126
4.3.4. Расходная магистраль 127
4.4.Исследование потери устойчивости равновесия фермы крепления двигателя при продольных колебаниях ЛА 132
4.5. Влияние аэродинамического нагрева конструкций на динамические характеристики продольных колебаний ЛА 140
Глава 5. Экспериментальное подтверждение влияния перфорации днища на демпфирование колебаний упругого днища жидкостью 146
5.1. Цели и задачи эксперимента 146
5.2. Описание экспериментальной установки 146
5.3. Описание вибрационого измерительнного комплекса 148
5.3.1. Приборные стойки 149
5.3.2. Силовозбудители и датчики 150
5.3.3. Регистрирующая аппаратура 151
5.4. Проведение эксперимента 152
5.5. Анализ полученных результатов 153
Основные выводы 158
Список литературы
- Методы исследования продольных колебаний упругого ЛА
- Постановка задачи для определения потенциала смещений Хг
- Механические аналоги движений упругой конструкций с перфорированным днищем и жидкостью
- Исследование устойчивости продольных колебаний корпуса ЛА с ЖРД в линейной постановке
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Современное состояние авиационной, ракетной и космической техники характеризуются большим количеством запусков летательных аппаратов (ЛА), имеющих значительные конструктивные отличия, приводящие к изменению массовых и инерционных характеристик всего летательного аппарата. Подобная тенденция развития приводит к существенному увеличению действующих динамических нагрузок. Особенно опасными являются низко-частотные продольные колебания, связанные с продольными колебаниями тонкостенных топливных баков. В связи с этим в последнее время резко возросла роль прочностных и динамических расчетов на начальном этапе проектирования ЛАсЖРД.
Целью работы является разработка уточненной модели продольных колебаний упругой конструкции с жидкостью, способной на этапе проектирования ЛА, как объекта регулирования, осуществить ранее неиспользованные возможности в выборе элементов компоновочной схемы и их расположения для получения приемлимых динамических и прочностных характеристик в процессе управляемого движения проектируемого объекта.
Научная новизна. Разработаны уточненная математическая и механическая модели продольных осесимметричных колебаний упругого бака с жидкостью при наличии внутрибаковых элементов (ВБЭ), включая заборное устройство (ЗУ). Разработанные модели позволяют на начальном этапе проектирования оценить основные динамические параметры ЛА, такие как собственные частоты и декременты колебаний упругой конструкции с жидкостью. Предлагаемый механический аналог колебаний упругой конструкции с жидкостью предоставляет возможность проектировщикам выбрать конструктивные параметры элементов топливной системы при заданых параметрах ЖРД.
Практическая ценность данной работы заключается в разработке уточненного механического аналога колебаний упругого бака, имеющего заборное
7 устройство и жидкое топливо, а так же разработка программного комплекса, в котором определяются динамические и прочностные характеристики ЛА при продольных колебаниях на активном участке полета. Приведены результаты численных расчетов.
Результаты выполненных в диссертации исследований используются в учебном процессе кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» (СМ-1) МГТУ им. Баумана.
Достоверность полученных результатов следует из сравнения с известными аналитическими и численными решениями, полученными на основе других подходов.
Публикация и апробация работы. Содержание работы опубликовано в двух научных статьях и в материалах конференций. Результаты работы докладывались на второй Международной научной конференции "Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблеммы"(Москва 2006г), на Международной научной конференции, посвященной 90-летию В. И. Феодосьева, "Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы механики" СМ1 2006г, на Третьей международной конференции,"Ракетно-космическая техника: Фундаментальные и прикладные проблеммы " ноябрь 2007г, на Третьем международном научном симпозиуме // Передовые технические системы и технологии» (ПТСТ-2007) (Севастополь, Крым, Украина, 2007г).
Краткое содержание работы. В первой главе представлен литературный обзор современного состояния вопросов по проблеме продольных колебаний ЛА с ЖРД; рассмотрено влияние основных физических и конструктивных факторов на колебания проектируемого ЛА, имеющего тонкостенную упругую оболочку с жидкостью; обсуждены методы исследования продольных колебаний ЛА с ЖРД и влияние внутрибаковьгх элементов ВБЭ; рассмотрены диссипативные аспекты осесимметричных колебаний тонкостенной упругой конструкции, содержащей
8 ВБЭ, ЗУ и жидкое топливо, и введено понятие приведенного коэффициента гидравлического сопротивления топливного отсека - %пр.
Во второй главе приведена квазистационнарная постановка задачи о малых колебаниях упругих тонкостенных конструкций, содержающих ВБЭ и ЗУ с вытекающим жидким топливом; исследована модельная задача о собственных колебаниях круговой цилиндрической оболочки с жестким перфорированным днищем и частично заполненной несжимаемой жидкостью; приведены решения задач о собственных колебаниях сплошной и перфорированной сухих пластин методом конечных элементов.
В третьей главе диссертации исследовались продольные колебания жесткого отсека с упругим перфорированным днищем и частично заполненного несжимаемой жидкостью. Рассмотрены собственные колебания рассматриваемой механической системы, получены механические аналоги свободных и вынужденных колебательных движений.
В четвертой главе диссертации приведены динамические и прочностные расчеты продольных колебаний упругого ЛА. Определены собственные частоты колебаний корпуса упругого ЛА с учетом демпфирующих свойств ВБЭ и ЗУи рассмотрены вынужденные продольные колебания корпуса одноступенчатого упругого ЛА с ЖРД. Исследована устойчивость продольных колебаний ЛА с ЖРД в линейном приближении; исследовано влияние продольных колебаний упругого корпуса на устойчивость равновесия фермы крепления двигателя. Рассмотрено влияние аэродинамического нагрева конструкции на динамические характеристики продольных колебаний упругого корпуса.
В пятой главе приводится экспериментальное подтверждение влияния перфорированных пластин, установленных в жидкости вблизи упругого днища цилиндрической обечайки, на динамические характеристики совместных колебаний упругого днища с жидкостью.
Методы исследования продольных колебаний упругого ЛА
Среди различных подходов к решению задач о продольных колебаниях упругого ЛА с ЖРД и оболочки с жидкостью особое место занимают исследования динамического поведения этих систем на основе приближенных уравнений колебаний. Большинство задач динамики, связанных с исследованием продольных колебаний конструкций и их элементов (стержней,пластин, оболочек) сводится, как правило, к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений равновесия элемента, соответственно с одним или несколькими неизвестными.
Точное решение таких уравнений не представляет затруднений лишь в некоторых элементарных случаях. При решении реальных задач часто приходится сталкиваться с таким объемом вычислительных работ, что от точного решения отказываются, а во многих случаях точное решение задачи вообще невозможно, т.к. граничные условия или условия на контуре просто не выражаются в аналитической форме. Поэтому, как правило, при решении практических задач приходится прибегать к приближенным методам решения.
Приближенные методы решения задач могут быть разбиты на две основные группы:
1. Вариационные методы, которые дают приближенные аналитические выражения искомой функции .
2. Численные методы, которые дают значения искомой функции при тех или иных значениях аргумента.
Вариационный метод , основанный на отказе от предварительного выполнения краевого условия на смоченной поверхности оболочки, предложен Л. И. Балабухом [7]. В этом методе сначала задается потенциал смещений жидкости, затем через него определяется давление на оболочку и кинетическая энергия жидкости. После этого решается задача о колебаниях оболочки, нагруженной внутренним давлением. В работах А. А. Пожалостина [например 103] развит метод построения аналитических выражений для потенциала смещений жидкости в случае сложных полостей. Упругие свойства невесомой оболочки описываются по безмоментной теории. Для получения частотного уравнения применяется прием, предложенный Л. И. Балабухом [11].
Конечноразностный алгоритм применен к рассматриваемой задаче в работах А. М. Анисимова [3]. При таком подходе приходится удерживать большое число переменных для описания движений жидкости.
Метод расчета, представляющий собой модификацию метода Бубнова -Галеркина, предложен В. П. Шмаковым [125]. Потенциал смещений жидкости разыскивается в виде ряда, в коэффициенты которого входит неизвестный прогиб оболочки. В качестве координатных используется система ортогональных функций — решений уравнения Лапласа в цилиндрических или сферических координатах. К этим функциям с целью удовлетворения граничным условиям добавляются корректирующие функции. В работе [20] потенциал смещений жидкости представляется в виде обобщенного ряда Фурье по собственным функциям вспомогательной краевой задачи, аналогичной задаче о собственных колебаниях жидкости в твердых полостях ( так называемая задача с параметром в краевом условии, в данном случае на смоченной поверхности оболочки).
Метод, предложенный Р. Е. Лампером [67], основан на расширении возможностей варьирования элементов последовательности координатных функций в методе Ритца путем введения в нее нелинейного параметра. Метод может применяться для расчета баков сложных форм, поскольку используемая в нем система координатных функций не связана с формой конкретного бака. Условие на свободной поверхности жидкости выполняеься в среднем. При точном выполнении такого условия для адекватного описания деформирования оболочки в окрестности зеркала жидкости приходится учитывать особенность течения жидкости вблизи линии контакта зеркала жидкости и оболочки [15,70]. Это позволило расширить круг решаемых задач. Поскольку дополнительная функция метода Ритца конструируется из решения плоской задачи с особенностью, а используется в осесимметричной задаче, то такой прием корректен только в определенных рамках ( так, при заливках бака «под крышку» использование такого подхода не позволяет правильно описать движение жидкости и демпфирование оболочки).
Следует отметить, что предельные заливки являются сложными расчетными случаями практически для всех известных расчетных методик.
Метод расчета, не использующий точного условия потенциальности течения жидкости, предложен Ф. Н. Шклярчуком [115]. Радиальные перемещения жидкости выражаются через осевые с использованием уравнения неразрывности. Нормальный прогиб оболочки выражается через осевые перемещения жидкости, которые описаны в виде ряда и разыскиваются вариационным методом.
В работе В. Н. Антонова [4] применен метод суммарных представлений Г. Н. Положего. Уравнение Лапласа для жидкости в плоской области (после отделения окружной координаты) аппроксимируется конечноразностным аналогом. После выполнения краевых условий для потенцияла смещений получается формула суммарных представлений, в которую входит прогиб оболочки ( дискретный аналог).
К рассматриваемой задаче применялся и метод конечных элементов. При этом дискретизация на конечные элементы подвергается как область, занятая жидкостью, так и оболочки бака.
В работе В. Г. Григорьева [36] используется модель несжимаемой жидкости. Область, занятая жидкостью, разбивается на кольцевые элементы. Для описания оболочки используются элементы в виде усеченных конусов.
В работе Ф. Н. Шклярчука в качестве конечных элементов рассматриваются пояса оболочки с находящимися в них слоями жидкости. За обобщенные координаты элемента оболочки принимаются амплитудные значения перемещений и угла поворота на границах элемента. В работе [33] рассмотены более общие вопросы взаимодействия оболочки и жидкости. Итерационный метод решения задачи о собственных колебаниях сухой оболочки [119] применен к оболочкам с жидкостью [121].
Постановка задачи для определения потенциала смещений Хг
Введем неподвижную систему координат O x y z (см. рисЗ.1 ) и подвижную систему отсчета Oxyz с началом в середине невозмущенной свободной поверхности Г0. Введем также обобщенную координату иш -координату торцевого шпангоута, на который опирается пологая сферическая оболочка, образующая нижнее днище.
Продольные колебания упругого стержня с цилиндрическим отсеком, содержащим жидкость (основной тон): Рассмотрим возмущенное движение топливного бака с цилиндрическим отсеком, частично заполненным жидкостью, относительно системы координат O x y z в направлении оси О х . В постановке, немного отличной от данной в гл. 2, получим решение краевых задач, связанных с осесимметричными колебаниями жидкости в цилиндрическом отсеке с абсолютно жесткими стенками и упругим днищем в форме пологой сферической оболочки (рис. 3.1). Продольные деформации отсека при решении этих задач во внимание принимать не будем.
При постановке рассматриваемой задачи, основное допущение будет состоять в том, что пологость сферического днища является достаточной, чтобы пренебречь отличием направлений внешней нормали к поверхности днища от направления продольной оси бака и перенести граничные условия с поверхности днища на плоскость х = -Н (см. рис.3.1.). Введем также переносную силу инерции Фд = -тд иш, учитывающую перемещение днища как жёсткого целого. В результате уравнение колебаний перфорированного днища запишется в виде: DAAwd+—wd+PdSd—f = -(- )—\wd{r)rdr-p- f+ $ d ; (3.0)
Постановка задачи для определения потенциала смещений х2 Краевая задача (1.33) для определения потенциала смещений %2 в рассмативаемом случае приобретает следующий вид: %+!М+%=о, (3.1) дг г дг дх д%2 дп дХг = 0. Х2=0; хеГ0. (3.2) дГ on 3.3. Определение потенциалов смещений Для решения рассматриваемой задачи положим: %2=Ч + Ф2; Ч = иш(і)х+Ф1, где Ч7 - потенциал абсолютных смещений частиц жидкости, при смещении топливного отсека как твердого тела относительно системы координат O xyz ; потенциал смещений частиц жидкости при неподвижном торцевом шпангоуте, а Ф2 - потенциал смещений волновых движений жидкости при неподвижном днище и шпангоуте.
После постановки задач для потенциалов Ч/,Ф,., граничное условие для потенциалов Ф,, Ф2 на поверхности слива приобретает вид: -гг- —г + У - = 0 наЕ. (3.7) Используя метод разделения переменных и принимая во внимание граничные условия, решение для потенциала Ф2 запишем в виде: Ф2=&я(хШгШ ), С3-8) 1 Sh к х
В выражении для потенциала Ф2, ZJx)= в—, q„(t) - обобщенная К ch к„Н координата волновых движений жидкости, определенная на всей поверхности слива, при помощи соотношения: №.№ = %№№„, (3.8 ) q „(t) - обобщенная координата волновых движений жидкости в областях 01, преднадлежащих отверстиям перфорированной пластины, а сумма интегралов в правой части соотношения (3.8 ) оценивается как: гт - радиус і-ого отверстия Функции R„(r) является решениями уравнения Бесселя и могут быть записаны в виде: К{г) = ЩЛ (3.9) " Л(4) где п=к„г0;7 = —, а л(и = 1,2,...) - корни трансцендентного уравнения: JJ() = 0, или J ) = 0. (3.11) Функции Rn удовлетворяют условию ортогональности с весом г на отрезке [0,го] и ортогональностью с тем же весом к константе: )Rn{r)rdr = Q, )яп{г)К{г)гсІг=0гГпФт_ ; (3.12) при п=т Из свойств функций Rn и соотношения (3.11) вытекает, что случаю и = 0, при котором (Ra(r) = \,Z0(x) = x) отвечают движения жидкости с обобщенной координатой g0(t), и выражение для потенциала Ф2 принимает вид: Ф2= 70(0 +Е2Л К( 0 7,,(0 л=1
Перейдём к определению потенциала Ф . Для определения потенциала Ф, представим перемещение днища wd{r,t) в виде произведения: wd(r,t) = Y(r)u(t), и запишем решение для функции Ф, в виде: Ф иЮх+ ВМгЖхЫО, п—\ а чтобы потенциал Ф, удовлетворял условию на поверхности слива представим функцию У О) в виде: где b0 = \)г(г)Ыг;Ьп =\)Y{r)Rn(r)rdr . о о о о Подставив представление w(r,t) и Ф, в кинематическое условие (3.6) на поверхности слива имеем: Ъ.=\, В=— —. " cthknH Решение для потенциала Ф, принимает вид: Ф. =l\ k(r,/)«fr +4-Е—Г7 [)wd(r t)R„(r)rdr]Rn(r)Z:(x), го о о 1(Z„)(-H) о Shkx n n "V kShkH Для дальнейшего решения задачи о совместных колебаниях перфорированного днища и жидкости следуя [77], введем в рассмотрение полную систему функций Y(jir)(J = 1,2,...;0 г г0), замкнутую по отношению к w(r,f), удовлетворяющиую следующему условию нормировки: I 4fr(/y = l. (3.13) го о Таким образом, функция w(r,t) представляется следующим рядом Фурье — Бесселя: w0{r,t) = fJYJ Jr)u]{t), (3.14) где Uj(t) - обобщенная координата упругих колебаний перфорированного днища, сответствующая колебаниям жидкости при которых свободная поверхность перемещается паралельно самой себе. Потенциал смещений тогда может быть записан в виде: где Cjn - коэффициенты, определяемые из разложения функции Yj(r) в ряд по функциям R„(r):
Механические аналоги движений упругой конструкций с перфорированным днищем и жидкостью
Как было показано в предыдущих пунктах параметры механического аналога могут буть выбраны из сопоставления выражений для кинетической, потенциальной энергий, и диссипативной функции, а также из сравнения уравнений движения исходной гидродинамической системы и механического аналога. Если исходное уравнение движения оказывается достаточно сложным и сопоставляемый механический аналог оказывается неудобным для проектных расчетов, то определение параметров механического аналога можно произвести из условий приближенного равенства собственных частот и векторов, отвечающих одному из спектров рассматриваемой исходной гидромеханической задачи.
Анализ спектра частот исходной гидроупругой задачи о собственных колебаниях упругого перфорированного днища с жидкостью показывает, что сушествует два множества собственных чисел А1 и Л2. Спектр At состоит из множества комплексно-сопряженных чисел, которым отвечают формы колебаний перфорированного днища с жидкостью близкие к формам колебаний пластины при отсутствии перетекания жидкости. Движение упругого перфорированного днища с жидкостью в этом случае носит характер затухающих колебаний, коэффициент затухания которых определяется коэффициентом активного сопротивления у и другими физическими параметрами, характеризующими рассматриваемые движения днища с жидкостью. Спектр Л2 состоит из множества действительных чисел, которым отвечают быстро исчезающие апериодические движения перфорированного днища с жидкостью.
Для оценки влияния ВБЭ и ЗУ на затухающие колебательные движения перфорированного днища с жидкостью выделим из общего спектра собственных чисел исходной гидроупругой задачи спектр Л,, и сопоставим, отвечающий этому спектру механический аналог, состоящий из колеблющейся массы, невесомой пружины и демпфера с коэффициентом сопротивления //, связывающим силу, создаваемую демпфером, со скоростью перемещения соответствующего штока.
Для этого совместим точки А[,А[ с точкой Ау (см. рис3.9.) И ОСВОБОДИМСЯ от невесомого диска. Зафиксируем положение масс тНп (п=0,1) относительно массы тА1, а чтобы шток гидравлического демпфера получил движение при перемещений масс тА и тВп закрепим неподвижно основание демпфера, как показано нарис. 3.10.
Дифференциальное уравнение движения упрощенного механического аналога (Рис.3.10. ) принимает вид В заключение этого пункта составим выражение для диссипативной функции Ф, вызывающего диссипацию колебательных движений механического аналога. Используя известные зависимости, имеем:
Приближенный механический аналог вынужденных колебаний топливного отсека с перфорированным днищем и жидкостью
Рассмотрим топливный отсек, состоящий из цилиндрической тонкостенной упругой обечайки и перфорированного упругого днища, соединённых с жёстким шпангоутом. Обозначим через т суммарную массу метала топливного отсека, иш - перемещение отсека как жесткого целого в направлении оси ЛА. Пусть Р внешняя сила, приложена к топливному отсеку в месте расположения шпангоута и действующая в направлении продольной оси ЛА. Составим уравнение движения рассматриваемой механической системы, используя уравнение Лагранжа второго рода. Принимая во внимание выводы в главе II и результаты настоящей главы выражения для кинетической и потенциальной энергий определим не учитывая перетекания жидкости через перфорацию днища, а так же массу днища и обечайки при записи энергий упругих колебаний. T = \m ul+\p\V&) dQ, (3.64) где потенциал смещений ф = %х (х, t) + иш (t).x + фх, или в раскрытом виде # = Е ( + ")М0 (3.66) где z,=-—=J—, Aj(t) - обобщённая координата осесимметричных волновых движений поверхности обечайки, мДО - обобщённая координата осесимметричных волновых движений поверхности сферического днища.
В выражении для каждой из сумм в потенциале смещений ограничимся одним слагаемым (l = j = « = !). Подставив затем потенциал ф в выражение 102 кинетической энергии, учтём кинематические соотношения на поверхности обечайки и днища ( - = w0,— = wd) а также приближенное соотношение между дг дх обобщёнными координатами Л, (0 и и,(/). После вычисления интегралов, имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергий колебаний упругой конструкций по основному тону: Т = -(т0+тж)й2ш+тжйшй1+-Міойї; П = -кхи\, (3.67) где Мо = (і+ .+1 і2( 11-1)-), (3.68) „ Ед0 TT/R2 3 1 . _2 ,Е8Й „ С,4Ч 2»Г2 2ESA + v , лол i = я—-Щ— 777) + ("=Г + 0 )2 г02Л + лт02 —f . (3.69)
Полученные выражения для кинетической и потенциальной энергий П =—К{и\-Рщ подставим в уравнение Лагранжа второго рода, записанное в виде: d дТ дТ дП дФ » Яі=иш І2=иі (3.70) dt dqx dq-i dqx dqt где Ф - диссипативная функция колебаний перфорированного днища с жидкостью (3.57). В результате получим уравнение движения: (т+тжУиш+тжи1=Р9 (371) Ao(«i + 2Ей + Q?o"i) + тжК = 0» (3 -72) где Еі= Щ- ртж, Qf0= . Введем новую переменную: -щ, (3.73) 103 и перепишем уравнения (3.71),(3.72) в виде: (.т + тж)иш+т1и[ = Р9 (3.74) и\ + 2Ехй[ + а]0и[ + и ш=0, (3.75) ГДЄ = = Изе/(1 + -и. + _- _1Z( )2).
Уравнения (3.74), (3.75) позволяют ввести простой механический аналог. Для этого обозначим основную массу, с которой связана подвижная система координат Oxyz, через т0 и пусть дополнительная масса т\ соединены с основной массы т0 пружиной жесткостью Лг, и демпфером с коэффициентом сопротивления //,. Если при смещении массы /и0(т.е системы координат Oxyz) относительно неподвижной системы координат O x y z на расстояние um(t), масса т\ переместиться на расстояние хлхв подвижной системе отсчета Oxyz (см. рис.3.11), то кинетическая и потенциальная энергии, а также диссипативная функции запишутся в виде:
Исследование устойчивости продольных колебаний корпуса ЛА с ЖРД в линейной постановке
Продольные колебания корпуса ЛА вызывают отклонения давления в топливном отсеке, расходной магистрале и следовательно изменяют давление в камере сгорания, которое свою очередь приводит к изменению силы тяги ЖРД, а через корпус двигателя и ферму крепления двигателя вызывают колебания корпуса ЛА. Система оказывается замкнутой и может быть представлена в виде двух основных блоков — упругий корпус (УК) и система подачи с двигательной установкой (СПД) рис. 4.18.
Для исследования устойчивости продольных колебаний получим в этом пункте, следуя монографии [60], приближенные дифференциальные уравнения основных блоков при следующих допущениях: (1) при исследовании устойчивости будем полагать, что ТНА жестко соединён с камерой сгорания и коэффициенты формы собственных колебаний ТНА и ДУ одинаковы; (2) примем, что давление наддува в топливных баках при колебаниях корпуса ЛА остаётся неизмененым, а изменение давления на выходе из бака возникает только вследствии колебаний обечайки, днища бака и шпангоута, соединяющего днище с обечайкой ; (3) дополнительное влияние большей части жидкости на днище и обечайку будем учитывать используя механический аналог; (4) образованием волн на свободной поверхности жидкости в топливном баке будем пренебрегать; (5) будем считать, что определённую роль на продольную устойчивость оказывают колебания входного давления и расхода на насосе только того компонента, который имеет верхнее расположение бака и следовательно более длинную топливоподающую магистраль; (6) жидкость в баке и магистрали считаем несжимаемой; (7) частоты собственных продольных колебаний упругого корпуса с жидкостью не близки между собой.
Используя метод приведённых параметров в соответствии со сделанными допущениями имеем: о где qn - обобщённая координата продольных колебаний корпуса ЛА, Е„ , со„ коэффициент затухания и частота продольных колебаний по п -му тону корпуса ЛА, АРЭ, Арш - отклонения от невозмущённых значений эффективной силы тяги и давления на входе в насос, /пД - значение формы колебаний продольной оси корпуса ЛА в месте передачи эффективной силы тяги рис(4.19), FT — площадь трубопровода низкого давления, тт - приведённая масса корпуса ЛА при колебаниях по и-му тону. Подставляя (4.26) в (4.25), получим: Без учета запаздывания камера сгорания может быть представлена усилительным звеном с коэффициентом передачи Кк, Pk=Kkg-p-FT-Avk, (4.28) где &рк - отклонение потока в камере сгорания, а Кк =/? /FKp, /3 — удельный импульс давления в камере сгорания в невозмущённом состоянии, FKp -площадь критического сечения сопла.
Примем , что коэффициент усиления насоса равен 1 , т.е. Арш = Ар2Я , ДУ1И=ДУ2Я а короткая магистраль с форсуночной головкой может быть записана в виде уравнения : 127 где Км - коэффициент проводимости форсуночной головки, Км=— —, (4.30) УфР Ф а у/ф - коэффициент сопротивления форсунки, v - скорость струй компонента топлива на выходе из форсунки в невозмущённом состоянии. Считая, что Av2W,Av0,Avt - отклонения скоростей потока от их невозмущённых значений в напорной магистрали, форсунке и камере сгорания равны между собой и используя соотношение (4.28) перепишем уравнение (4.29) в виде: Ду1Я=Ув..Др1Я , (4.31) где Ym - (проводимость) двигателя, = " g- (4-32 ] + KkgpFT Соотношения (4.31), (4.29) позволяют рассматривать двигатель как усилительное звено:
