Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обратные задачи прочности и методы их решения 11
1.1 Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения 11
1.2 Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц 31
1.3 Математические модели и принятые допущения 37
1.4 Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА 48
Выбор метода .48
Методы оптимизации 51
1.5 Техника и средства проведения измерений 53
ГЛАВА 2. Идентификация жесткостеи и нагрузок путем непосредственного решения обратной задачи 57
2.1 Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям 57
2.2 Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов 61
2.3 Идентификация поля цилиндрических жесткостеи изотропных и ортотропных пластин 72
2.4 Использование регуляризации по Тихонову в решении задач идентификации жесткостных характеристик тонкостенной конструкции 84
ГЛАВА 3. Вдентификация авиационных конструкций и процессов нагружения экстремальными методами 88
3.1 Определение внешних силовых факторов 88
Балочная расчетная модель. Крыло планера СА-8Т 88 Модель тонкостенной конструкции Ю. Г. Одинокова 92
3.2 Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления 99
3.3 Идентификация жесткостных характеристик трехслойных и однослойных пластин (стержней) 103
ГЛАВА 4. Решение обратных задач прочности в вероятностной постановке 112
4.1 Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента 114
4.2 Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке 117
4.3 Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций и действующих на нее нагрузок 122
Примеры линейных преобразований случайных величин 123
Статистическое моделирование распределений (метод Монте Карло) 126
4.4 Однофакторный дисперсионный анализ 136
Приложение 140
Библиографический список
- Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц
- Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов
- Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления
- Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке
Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц
Отметим, что для корректных задач указанное предельное равенство выполняется автоматически (приближение из Zs ведет себя «регулярно» при 8 -» 0 ).
Задача о квазиминимизации и регуляризирующий алгоритм (оператор) для задач интерпретации. Возникает вопрос, как гарантировать указанный выбор, не зная заранее точного решения задачи. Математический анализ, основанный на теореме Тихонова [95], приводит к выводу, что для этого достаточно обеспечить принадлежность zs тому же компакту, которому принадлежит точное решение z операторного уравнения. Это предполагает использование некоторой, например, количественной информации об искомом решении, хотя бы и весьма общего характера.
Пусть Z - компакт и известно, что Z EZ . Тогда естественной является еле-дующая постановка задачи интерпретации на компакте Z : p0(Az,u) 8,zeZ , (1.1.13) при известных її и 8 ее естественно назвать задачей о квазиминимизации ра [95]. Всякое решение zs такой задачи удовлетворяет принципу регуляризации, а следовательно, является устойчивым приближением к искомому z. Решение заведомо существует, если условиям (1.1.13) удовлетворяет z. При конечном 8 решение (1.1.13) обладает свойством единственности, что, однако, не имеет теперь принципиального значения, как и при решении корректных задач с приближенными данными, где в качестве приближения может быть выбран любой элемент множества практической эквивалентности. Ввиду неединственности решения задачу иногда называют обобщенно-корректной [25].
С практической точки зрения однозначный выбор z5 разумеется важен, и он осуществляется с помощью того или иного алгоритма. Такой алгоритм (или оператор) называется регуляризирующим.
Важно отметить одну принципиальную особенность постановки задачи квазиминимизации в комплексе с поиском квазирешения. В такую постановку входит следующая разнородная информация об изучаемом явлении: а) его физико-математическая модель А; б) некоторые общие свойства искомого решения Z ; в) мера погрешности данных наблюдений 8. Если эти данные задаются независимо, то мыслима ситуация, когда р0 = inf p0(Az, її) 8 . Это может случиться, в частности, z если свойства решения, например, в виде количественных оценок отражены неудачно, так что z не принадлежит заранее выбранному компакту; то же произойдет в случае, если при заданной точности наблюдений {її, 8) выбрана слишком грубая модель для описания явлений. В таком случае поставленная задача оказывается, как говорят [95, 96], несостоятельной.
Очевидно, вопрос о состоятельности задачи связан с прогрессом измерительной техники: с повышением точности вычислений можно рассчитывать на восстановление более мелких деталей объекта и законов, управляющих его поведением. Решение этого вопроса не есть предмет собственно математики. В этой связи на уровне корректной постановки математической задачи решающее значение имеет тесный контакт с конструктором (технологом) в целях коррекции указанной выше входной информации.
С другой стороны, если решение на этот счет принято, то алгоритм поиска квазирешения может служить средством выверки состоятельности постановки: если оказывается, что р0 8, то решение принято неудачно и требуется продолжение дискуссии математика с конструктором (технологом).
Как было отмечено, выбор регуляризованного приближения из множества практической эквивалентности достаточно проводить на некотором компакте Z . Это относится ко всем типам задач. Компакт может быть выделен с помощью количественных ограничений типа неравенств на искомый элемент. В частности, в конечномерном евклидовом пространстве Еп компакт выделяется ограничением на норму элемента: I z I d(d 6). Аналогично этому в других пространствах Z компакт ным оказывается подмножество 2 с метрикой, «мажорирующей» (ограничивающей сверху) метрику в Z: z (zj, z2) (z,, z2) [95, 96].
Для того чтобы выделяемый с помощью указанных неравенств компакт можно было использовать в обобщенно-корректных постановках, необходимо, чтобы ему принадлежало точное решение z (в задачах интерпретации).
Следующее определение является фундаментальным. Неотрицательный функционал Cl(z), определенный на некотором подмножестве 2 множества Z, называется стабилизирующим функционалом (стабилизатором) для решения обратной задачи, если:
2) для всякого числа d О множество Zd 2, определяемое неравенством Q (z ) d, является компактным.
В обощенно-корректных постановках обычно Q(z ) = z L. Очевидно, построение конкретных стабилизаторов связано с использованием априорной количественно информации о точном решении (допустимых элементах): «сходство» с элементом конечномерного пространства небольшой размерности z J, сходство с функцией определенной степени гладкости ( Z \ р I и т.д. Такого типа стабилизаторы называют условными [95, 96]. Явное ограничение на значение стабилизатора (величина d) по-прежнему предполагает использование количественной (хотя и "интегральной") информации об искомом решении и лишь незначительно меняет прежние постановки.
Существенно другое: введение стабилизатора позволяет формулировать задачу о выборе из множества Zs элемента, «наиболее схожего» с точным решением (допустимым элементом) по некоторому качественному признаку.
Пусть известно, что искомый элемент принадлежит множеству 2, на котором определен стабилизатор Q(z ). Тогда можно искать zs по условию [95]: zs =arg inf Q.(Z),ZGZS. (1.1.14) В такой постановке zs (если он существует) заведомо при каждом 8 принад лежит некоторому компакту 2 в силу свойств стабилизатора. Единственность z, вообще говоря, не предполагается и не требуется: единственный элемент определяется выбранным алгоритмом минимизации. , то речь идет
Пусть 2 - подмножество непрерывных функций и Q(z )= z !; тогда задача (1.1.14) соответствует поиску наиболее "гладкого" элемента на множестве эквивалентности. Если 2 = Z = En, z(0) єЕп задан заранее и Q ( z ) = z -Z(0) о выборе из Zs элемента, наименее уклоняющегося от заданного z(0). В обоих случаях используется некоторая качественная информация об искомом решении (в частности, такую информацию может нести z(0)). Задача (1.1.14) отличается от предшествующих постановок тем, что в ней используется естественная, обычно имеющаяся, информация об искомом элементе: 2, її, д. Вопрос о выборе стабилизатора, вообще говоря, также является предметом согласования между математиком и конструктором (технологом).
Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов
Для решения прочностных задач необходимо иметь соответствующие математические модели конструкций. Проведению идентификации предшествует анализ применимости к исследуемым конструкциям тех или иных математических моделей.
Вообще, математическая модель представляет лишь приближенное «идеализированное» описание рассматриваемого явления или процесса. Обычно она выражается в виде дифференциальных (интегральных) уравнений. Ставится вопрос о соответствии описания рассматриваемого процесса выбранной системой уравнений, либо, наоборот, о соответствии уравнений для описания изучаемого процесса, т.е. которая из математических моделей наилучшим образом соответствует рассчитываемой конструкции. Именно о соответствии различных математических моделей разным конструкциям и пойдет речь в этом параграфе.
Самой простой, скорее всего, может быть названа балочная модель. Она применяется там, где можно не учитывать депланацию поперечных сечений и поперечный сдвиг. Это конструкции, обладающие практически круглой формой поперечного сечения; наличие вырезов компенсируется, как правило, мощной окантовкой. С достаточной для расчетов точностью моделью балки может быть представлено, например, в целом крыло (оперение) самолета или планера (Рис. 1.3.1). Уравнение вынужденных колебаний в одной плоскости участка такой конструкции имеет вид: а2Г д2у EJ дх1 дх -m = q(x,t), (1.3.1) где EJ = Ej{x) - изгибная жесткость балки; т = т(х) - распределенная масса балки; у - прогиб балки; q =ц{х,і) - поперечная нагрузка; t - время. В случае установившихся стационарных колебаний (1.3.1) приобретает вид: -mco2y = q(x), (1.3.2) dx dx2 где о — частота вынужденных колебаний. Для применения численного метода необходимо по длине балки 0 х I выбрать п расчетных сечений. Тогда, делая старшей вторую производную у", с помощью интегрирующих матриц можно получить следующий матричный аналог уравнения (1.3.2): {{Ejl-a 2[j2]4ml[jj){y"}={M}, (1.3.3) где \EJ] и \т] - диагональные матрицы соответствующих значений EJ и т расчетных сечениях; [J,] и [J2] - интегрирующие матрицы первого и второго типа [20, 21];{у"}и{м}- столбцы значений кривизны у" и изгибающего момента по сечениям.
Если в уравнениях (1.3.1) - (1.3.3) положить частоту со, равной нулю, получим обыкновенную задачу статики.
Для описания авиационных тонкостенных конструкций с продольным и поперечным набором (Рис. 1.3.2) используется теория Ю. Г. Одинокова [73, 74]. Она позволяет рассчитывать конструкции одно- и многосвязного поперечного сечения (про извольной формы), учитывать депланации, вызванные вырезами, нерегулярностью крепления и т.д. Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами имеет вид [73]: m/ty ta&fk + t.Jikfl + di U, (1-3.4) л=і k=i где EFt - жесткость на растяжение-сжатие і -го продольного ребра; aik, Аік - коэффициенты, зависящие от формы и жесткостей сечений (от значений модулей упругости Е в ребрах и модулей сдвига G в панелях); di - нагрузочные члены; fk - осевое перемещение к -го ребра; // - деформация к -го ребра; п - количество продольных ребер. Тонкостенная конструкция (Рис. 1.3.2) состоит из тонкой обшивки, подкрепленной жесткими ребрами в продольном направлении (стрингеры, полки лонжеронов) и в поперечном направлении (нервюры). Внутри контура имеются перегородки, параллельные образующей цилиндра (стенки лонжеронов), превращающие замкнутый двухсвязный контур поперечного сечения в многосвязный.
Нервюры достаточно жестки в своей плоскости и расположены близко одна к другой, так что представляется возможность принять допущение о неискажаемости формы поперечного сечения конструкции во время деформации.
Жесткость нервюры в аксиальном направлении, наоборот, предполагается весьма малой и, следовательно, не оказывающей заметного сопротивления перемещениям точек конструкции в направлении образующей цилиндра.
Обшивка предполагается тонкой и неспособной воспринимать нормальных напряжений по всему контуру, за исключением участков, примыкающих к ребрам. Ребра жесткости работают только на нормальные напряжения.
Таким образом, силовая схема конструкции будет состоять: из сетки ребер жесткости (с «присоединенными» к ним полосками обшивки), работающей на нормальные напряжения, и обшивки контура (в том числе и стенки лонжеронов), воспринимающей сдвиги.
Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления
Рассмотрим обратную задачу определения жесткостных параметров для элементов тонкостенной авиационной конструкции модели Ю. Г. Одинокова (Рис. 1.3.2), результатом решения которой будут являться диаграммы деформирования а-Б продольных ребер и т-у панелей обшивки. Проведение прочностных расчетов в авиастроении требует знания диаграмм деформирования, используемых в конструкции материалов. Часто эти диаграммы выбираются некоторыми «идеализированными»: диаграмма без упрочнения, с линейным упрочнением, диаграмма идеально-упругого материала и др. Расчет же конструкций на расчетно-разрушающие нагрузки требует знания истинных диаграмм, при которых напряжения и деформации связаны нелинейными зависимостями, то есть, в общем случае, данная задача является задачей определения переменных параметров упругости.
Обычно принимаемые в расчет диаграммы деформирования а-є и т-у получают путем исследования большого числа экспериментальных образцов, испытанных на простые виды нагрузок. Элементы же реальных тонкостенных конструкций как с точки зрения закрепления, так и нагружения, работают в более сложных условиях. Например, теоретически гладкая и однородная обшивка, как правило, имеет множество существенных для своей работы и трудно учитываемых особенностей: начальные неправильности, технологические напряжения, наличие отверстий, переменное по периметру опирание. Кроме того, могут быть различны технологии изготовления испытуемых образцов материала и реальных элементов конструкций, что, в конечном итоге, приводит к различию в их свойствах.
Таким образом, возникает вопрос о разработке некоторой методики построения диаграмм деформирования не для образцов, а для элементов реальных авиаконструкций8. В данном случае предлагается делать это по результатам наземного прочностного натурного эксперимента, когда испытывается летательный аппарат в целом [31, 88].
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (1.3.4) примем в том же виде: W//r = Ieft/ + S4 /t + , = й. (2-2.1) Решение прямой задачи всегда приводит к однозначному определению НДС
Или иначе, разработки методики уточнения переменных параметров упругости элементов реальной тонкостенной авиационной конструкции. конструкции: при известной модели «ОБЪЕКТА» и известному «ВХОДУ» (Рис. 1.1.1) -коэффициентам EF, а, А и нагрузке d, определяется «ВЫХОД» деформации / и перемещения / ребер, напряжения в ребрах а, сдвигающие усилия в обшивке q: q bXfi-f +l&X (2.2.2) /=,//, (2-2.3) где f.=f.- ах. - Ру{ - относительное перемещение і -го ребра; - относительный dX _ dY угол закручивания; cot - секториальная площадь г-и панели; а = ;/ = ; dz dz X = X(z), Y = Y(z) - прогибы оси конструкции по осям х я у соответственно. Необходимо решить обратную задачу: известна математическая модель (2.2.1) и известны из эксперимента деформации (перемещения) ребер. Определению подлежат неизвестные упруго-пластические характеристики: секущие модули ребер Es и панелей Gs (Рис. 2.2.1), входящие в коэффициенты системы9 (2.2.1).
Многочисленные наблюдения за поведением натурных конструкций в процессе нагружения показывают, что обшивка в панелях, работающая на сдвиг, теряет устойчивость, как правило, намного раньше продольных ребер. При этом бывают хорошо слышны хлопки (щелчки), издаваемые ей. Это может происходить при весьма малых уровнях, прикладываемых нагрузок: 20-г 30% от расчетно-разрушающей нагрузки.
Продольные же ребра теряют устойчивость (либо выходят за предел пропорциональности) при нагрузках, близких к эксплуатационным. Это позволяет сделать допущение о разделении задач построения диаграмм т-у обшивки и а - є продольных ребер. Поэтому будем далее считать, что при нагрузке меньше 67% от расчетно-разрушающей будет терять устойчивость только обшивка (Рис. 2.2.1а); при нагрузке больше 67%) будут деформироваться нелинейно и обшивка и продольные ребра жесткости (Рис. 2.2.1а и б)10. 9 В данном параграфе не рассматриваются особые случаи, требующие специальной регуляризации [98] сис темы (2.2.1). 10 В рамках модели Ю. Г. Одинокова обшивка работает только на сдвиг! Поэтому задача бифуркации, связан ная с потерей устойчивости обшивки в данном случае не рассматривается. Также не рассматривается и про цесс потери устойчивости стрингеров. X С ст с„х _ ft a=arctgG P=arctg t6 .»„/ / \ А. jr \a /У 50% 67% 90% у,% от расч.нагр. 50% 67% 90% Sj% от расч.нагр. а) диаграмма т-у б) диаграмма а-є
Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке
В [54] было получено НДС конструкции в предположении, что в сечении Z = 0 правая и левая половина конструкции в трех стрингерах 3, 7 и 10 не имеет крепления между собой, что приводит к существенному перераспределению усилий по элементам конструкции. Воспользуемся полученным решением прямой задачи как исходными данными для решения обратной. Но прежде, как и обычно, в точные значения деформаций ребер fl были внесены случайные погрешности в пределах ±5-Н0%, имитирующие погрешности проведения физического эксперимента.
В обратной задаче будем определять значения жесткостей всех стрингеров в сечении z = 0. Решать обратную задачу будем путем варьирования значений жесткостей ребер. Конечный результат представлен на Рис. 3.2.4. Как видно полученное решение полностью адекватно ситуации отсутствия закрепления стрингеров 3, 7 и 10 между собой в плоскости z = 0, т.е. в этом сечении у названных ребер значения жест-костей близки к нулю. Значения жесткостей остальных ребер при этом соответствовали своим номинальным значениям.
Подобного рода задачи по определению значений жесткостей ребер и панелей обшивки естественно отнести к задачам диагностики. Для этого достаточно к конструкции приложить некоторое тестовое воздействие и замерить ее деформации. Далее, по ним, на базе описанной оптимизационной задачи, необходимо решить обратную задачу прочности. Получение в расчетах величин, близких к нулю, говорит о наличии в этих местах отсутствия креплений, о пробое обшивки или перебитий стрингера, что похоже на ситуацию, которая имеет место в рассмотренном примере.
В авиастроении наряду с однослойными находят широкое распространение трехслойные конструкции. Рассмотрим задачу по определению цилиндрических жесткостей трехслойных пластин (Рис. 1.3.3), находящихся под действием поперечной нагрузки (Рис. 3.3.1).
С учетом допущений параграфа 3 первой главы в качестве основной модели выберем систему уравнений (1.2.8) приведенную к виду для однослойных пластин и оболочек, в которых неизвестной величиной будет значение приведенной цилиндрической жесткости D . Это позволяет использовать одну и ту же расчетную модель для идентификации как трехслойных, так и однослойных пластин, т.е. в данном случае будем определять некоторую величину эффективной жесткости, когда задача для неоднородной пластины заменяется задачей для однородной, но с «размазанными» (приведенными) характеристиками. Рассмотрим случай малых прогибов, т.е. линейную задачу. В этом случае второе уравнение системы (1.2.8) - уравнение равновесия - значительно упростится. В случае установившихся колебаний оно примет достаточно простой вид: D (х) V2 V 2W(x) - mo)2W(x) = q(x), (3.3.1) где D (х) - приведенное значение цилиндрической жесткости трехслойной пластины; W{x) - прогиб срединной плоскости пластины; со - частота вынужденных колебаний; т - погонная (распределенная) масса конструкции; q{x) — поперечная нагрузка. В данном параграфе будем рассматривать пластины, находящиеся в условиях цилиндрического изгиба, т.е. по сути трехслойные стержни, при разных условиях закрепления (Рис. 3.3.1).
Наличие дефекта в трехслойных конструкциях может приводить к существенному изменению напряженно-деформированного состояния вблизи дефекта. Такое возмущение носит явно выраженный локальный характер (Рис. 3.3.2). По мере удаления от зоны дефекта НДС конструкции достаточно быстро становится регулярным, возмущения, вызванные дефектами затухают [70].
Для слоеной конструкции дефекты в несущих слоях, заполнителе или клеевом соединении приводят к уменьшению ее жесткости. Под действием поперечной нагрузки у такой дефектной конструкции изменится картина прогибов (Рис. 3.3.3) и ее производных, например, кривизны (Рис. 3.3.4). Воспользуемся значениями функций прогибов W и вторых производных от прогибов W", известных, например, из эксперимента, для решения обратной задачи - восстановления значений цилиндрической жесткости трехслойной пластины. Х в случае жесткого защемления обоих концов. В этих формулах: / - длина стержня; Q(l) и М(/) - значения перерезывающей силы и изгибающего момента на конце стержня при х = I; W (О) - угол поворота сечения х = 0, в случае шарнирного опирання конструкции.
Для решения обратной задачи математически был проведен следующий численный эксперимент. Сначала была решена прямая задача. При этом жесткость стержня D была задана, как показано на Рис. 3.3.5 сплошной линией. Небольшой участок с меньшей жесткостью имитировал наличие в конструкции какого-либо дефекта: трещины, непроклея и т.п., что и вызвало в конечном итоге, именно в этом месте некоторое падение жесткости конструкции. При заданной поперечной нагрузке q (x) были получены точные значения функций прогибов W (х) срединной поверхности (Рис. 3.3.3) и второй производной от прогибов JV"(x) (Рис. 3.3.4). Далее в функции W и W" были внесены случайные погрешности, имитирующие неточности экспериментальных измерений: в функцию прогибов W вносились небольшие погрешности - в пределах ±1-т-2%; в функцию вторых производных - погрешности несколько большие - в пределах ±5 -г 10%. Далее эти величины, носящие случайные погрешности, как и обычно, принимались в качестве исходных данных для решения обратной задачи прочности.
