Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общая характеристика обратных задач. анализ применимости различных математических моделей и методов решения обратных задач прочности 15
1.1. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач 15
1.2. Математические модели и принятые допущения 24
1.3. Анализ численных методов 28
Применение метода интегрирующих матриц для разных математических моделей 33
1.4. Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА 39
Выбор метода 39
Методы оптимизации 43
1.5. Техника и средства проведения змерений 47
Замечания по выбору программы испытаний 49
ГЛАВА 2. Идентификация жесткостей с помощью одношаговых и итерационных алгоритмов 51
2.1. Решение задачи идентификации для кессона авиационного конструкции, находящейся в температурной поле 51
2.2. Восстановления диаграмм деформирования с учетом пластических деформаций
2.3. Уточнения жесткостных характеристик конструкции летательных аппаратов при ползучести 64
2.4. Применения функции Грина для анализа жесткости конструкций 72
Применение методов оптимизации для уточнения моделей упругости 75
ГЛАВА 3. Применение статистических методов к решению коэффициентных обратных задач 78
3.1. Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента 80
Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций 85
Примеры линейных преобразований случайных величин 85
3.2 Однофакторный дисперсионный анализ 87
3.3. Преобразование смешанных случайных процессов в стохастических системах с квазидетерминированными операторами 91
Теоретико-вероятностные основы функционального преобразования смешанных случайных явлений 93
Системы со случайными параметрами 95
Заключение 103
Список литературы
- Математические модели и принятые допущения
- Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА
- Восстановления диаграмм деформирования с учетом пластических деформаций
- Однофакторный дисперсионный анализ
Математические модели и принятые допущения
Отвлекаясь от конкретных примеров, рассмотрим произвольную количественную задачу (прямую или обратную), состоящую в нахождении некоторого решения по исходным данным. Первое решение обозначим через z и будем считать, что оно выбирается из некоторого множества Z (zeZ) элементов той или иной математической природы (векторы, функции и т.п.); второе обозначим через и, считая, что и е U некоторого другого множества. Тогда наша задача может быть записана в виде z = R[u), где R - некоторый «оператор», который можно понимать как алгоритм вычисления искомой величины z по данной и. Характер множеств Z и U, свойства оператора R зависят уже от конкретной постановки задачи. В конкретных задачах вводятся меры близости элементов из указанных множеств (расстояние между ними или метрика), и тогда последние называются метрическими пространствами.
В соответствии с понятием, введенным в начале XX века Ж. Адамаром, задача z = R(ii) называется корректно поставленной, если она удовлетворяет трем условиям: 1) при любом ueU ее решение существует; 2) решение единственно при каждом ueU; 3) решение устойчиво при малых вариациях и, т.е. достаточно малым изменениям величины и отвечают сколь угодно малые изменения величины z [107,109]. Если задача не удовлетворяет хотя бы одному из указанных условий, то она называется некорректно поставленной. Теперь очевидно, что обратные задачи как в рассмотренном, так и в других примерах, относятся к числу некорректно поставленных, поскольку
Аналогичные наблюдения относятся, очевидно, к любым задачам интерпретации, которые описываются уравнениями Фредгольма первого рода. в них может нарушиться любое из условий корректности. Возможная некорректность постановки обратных задач и является их математической особенностью и общей особенностью класса. Переходя к общей постановке, обозначим теперь через Z метрическое пространство искомых в обратной задаче характеристик объекта или процесса, а через U - пространство характеристик наблюдаемого явления (косвенных характеристик объекта). Пусть каждому z Z с помощью известного оператора А ставятся в соответствие ueU: и- Az. Тогда обратная задача формулируется в виде операторного уравнения: Az = u , zeZ, UEU. (1-1.9) Эта естественная постановка задачи интерпретации некорректна по следующим причинам. 1. По определению U свойства его элементов {и = Az) определяются свойствами Z и заданным оператором А. Погрешности, вносимые, например, измерениями, неуправляемы, так что возмущенный элемент и может и не принадлежать U. В этом случае уравнение Az = u, с которым приходится иметь дело на практике, попросту не имеет решений и носит чисто условный характер. 2. В обратных задачах оператор А обычно носит «интегральный» характер. Это значит, что его значения Az слабо чувствительны к возмущениям величины z. Поэтому, даже в условиях разрешимости уравнения, малым возмущениям величины и могут отвечать большие возмущения z, при этом характеристика объекта полностью искажается.
Для решения прочностных задач необходимо иметь соответствующие математические модели конструкций. Разные типы конструкций требуют описания соответствующими математическими моделями, с присущими каждой из них областью применения, особенностями. Проведению идентификации также предшествует анализ применимости к исследуемым конструкциям тех или иных математических моделей.
Вообще, математическая модель представляет лишь приближенное «идеализированное» описание рассматриваемого явления или процесса. Обычно она выражается в виде дифференциальных (интегральных) уравнений. Ставится вопрос о соответствии описания рассматриваемого процесса выбранной системой уравнений, либо, наоборот, о соответствии уравнений для описания изучаемого процесса, т.е., которая из математических моделей наилучшим образом соответствует рассчитываемой конструкции. Именно о соответствии различных математических моделей разным конструкциям и пойдет речь в этом параграфе.
Самой простой, скорее всего, может быть названа балочная модель. Она применяется там, где можно не учитывать депланацию поперечных сечений и поперечный сдвиг. Это конструкции, обладающие практически круглой формой поперечного сечения; наличие вырезов компенсируется, как правило, мощной окантовкой. С достаточной для расчетов точностью моделью балки может быть представлено, например, в целом крыло (оперение) самолета или планера.
Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА
Ввиду того, что решение по (1.4.10) как было подчеркнуть выше в ряде случаем может быть неустойчивым, возможно применение итерационных методов.
Наиболее универсальными оказываются итерационные методы решения обратных задач, основанные на методах оптимизации. При этом отказываются от решения обратной задачи, как таковой, и искомые величины определяются входе последовательного решения набора прямых задач На каждой итерации решается обыкновенная прямая задача, а получаемое решение каждый раз должно каким-то образом само указывать нам, насколько "далеко" ("близко") очередное приближение на данной итерации от искомого решения обратной задачи.
Экстремальные методы или методы оптимизации отличаются процедурами численного моделирования и поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой представления искомых величин. Каждый из перечисленных элементов влияет на эффективность решения обратной задачи прочности. Однако определяющим [105] является выбор процедуры минимизации, которая в алгоритмах выполняет функции организатора решения.
При решении задач идентификации используют как самые простые Ц методы поиска минимума, основанные на переборе с заданным шагом всех допустимых значений искомых параметров, так и очень сложные методы нелинейного математического программирования, позволяющие, в частности, эффективно решать задачи на условный минимум, характерные для постановок многих реальных задач прочности.
Применение быстродействующих процедур минимизации дает возможность задавать достаточно большое число искомых параметров для восстановления прочностных характеристик и привлекать к решению обратных задач прочности строгое математическое обеспечение.
С другой стороны, методы, ориентированные на минимизацию типа простого перебора, имеют свои преимущества: они экономичны, не требуют сложной вычислительной техники, могут быть реализованы в автоматизированных измерительных системах при натурном эксперименте.
В данной работе в качестве метода оптимизации использован метод выпуклого многогранника. Часто его называют симплексным методом, но во избежание путаницы с широко распространенным методом линейного программирования дали ему другое название. Метод оперирует набором из п + \ точек (х1,х2,...,хп+1) упорядочиваемых таким образом, чтобы для соответствующих значений минимизируемой функции выполнялись неравенства Fn Fn ... F2 F,.
Точки эти можно интерпретировать как вершины некоторого многогранника в п -мерном пространстве. Отсюда и название метода. На каждой итерации «текущий» многогранник заменяется «новым» таким образом, что наихудшая вершина, т.е. точка хл+1, отбрасывается и вместо нее в набор вводится некая «более подходящая» точка. Определим центр тяжести п лучших вершин: і п На текущей итерации расчет начинается с построения пробной точки хг = С + А(С-хп+1), где А 0, и вычисления значения Fr. Говорят, что хг является отражением точки хп+1, а число А называют коэффициентом отражения. Возможны три случая.
1. Fx Fr Fn, то есть хг не будет ни худшей, ни лучшей точкой в новом наборе. В данном случае хп+1 заменяется на хг. Рис. 1.4.2. 2. Fr Fx, то есть хг оказывается лучшей точкой в новом наборе. Направление отражения признается «удачным» и делается попытка «растянуть» многогранник в этом направлении (рис. 1.4.2). Для этого рассчитывается «продвинутая» точка хе = С + В (хг-С), где В 1 является коэффициентом растяжения. Если Fe Fr, растяжение увенчалось успехом, и тогда хп+1, естественно, заменяется на хе. В противном случае xn+i заменяется на хе.
3. Если Fn Fr, то делается заключение о том, что многогранник слишком велик и его надо сжать. Это осуществляется введением точки: xc = C + D (Хи+1-С), если F, F„+1 или xc = C + D ( r - С), если Fr F„+1, где D (0 Z) 1) - коэффициент сжатия. Если получилось, что Fc min {Fr, Fn+1}, считается цель сжатия достигнута, и тогда хп+1 заменяется на хс. В противном случае выполняется еще одно подобное «сжатие» многогранника. Помимо обычных итераций отражения, растяжения и сжатия рассматриваемый метод включает выполнение с определенной периодичностью итераций форсированной замены текущего многогранника правильным. Эти замены называют восстановлениями. При таких восстановлениях сохраняются только две лучшие вершины последнего многогранника. Расстояние между ними становится равным длине каждой из сторон вновь генерируемой правильной фигуры.
Известно несколько модификаций метода многогранника, улучшающих его базовый вариант. В оригинале точка сжатия выбирается на прямой, соединяющей две худшие точки текущего набора. Более естественным было бы пытаться приблизить ее к лучшей вершине. Это соображение приводит к следующей модификации п. 3 исходного алгоритма.
Восстановления диаграмм деформирования с учетом пластических деформаций
деформирования пятого ребра в сечении z = 0.20 м Как видно из Первые пять уровней нагрузок использовались для построения диаграмм деформирования обшивки, а последующие уровни, как для продолжения диаграмм обшивки, так и стрингеров. Восстановленные диаграммы представлены для седьмой панели обшивки в сечении (около свободном конце при z = 1.80 м) на рис.2.2.4., а для пятого ребра в сечении (около заделки при z = 0.20 м) на рис.2.2.5. Диаграмма приведенного примера предложенная методика построения диаграмм деформирования элементов показывает устойчивость счета и высокую точность.
Очевидно, что если бы в качестве исходных данных, были бы использованы результаты измерений, а не принятые вместо них теоретические значения деформаций и перемещений, то совпадения р восстановленной и заданной диаграмм мы бы не наблюдали, а результатом работы была бы новая диаграмма, учитывающая специфика работы элемента в составе кессона, на которую обращалось внимание в начале параграфе. В работе представлен алгоритм устойчивого счета, позволяющий уточнять ход диаграмм деформирование с учетом специфики работы конструкции.
Методы расчета тонкостенных конструкций летательных аппаратов на прочность во многом определяются выбранной расчетной схемой или моделью, а выбор расчетной схемы зависит от тех требований, которые представлены перёд расчетом с точки зрения точности и полноты исследования напряженного и деформированного состояния конструкции.
В зависимости от выбранной схемы, принятой при идеализации конструкции в целом или ее элементов, за жесткостные характеристики принимают величины EJ,GJkp,EF, коэффициенты жесткости или соответственно коэффициента влияния упругости. Рост скоростей и высоты полета летательных аппаратов, появление новых схем и компоновок требуют развития новых методов расчета и новых концепций, связанных с необходимостью учета температуры. При нагружении конструкции, работающей в условиях повышенной температуры, изменения деформации и напряжений во времени весьма существенны и не могут быть игнорируемы.
В жесткостных характеристиках, соответствующих изгибу и кручению EJ и GJkp, величины Е и G зависят от материала, величины напряжения и температуры, a J и Jkp связаны с геометрическими размерами, с местной потерей устойчивости и начальными деформациями.
Для материалов в условиях действия постоянного напряжения при повышенной температуре характерно развитие со временем необратимой деформации, получившей название ползучести. Ползучесть материала изучается в опытах на растяжение при постоянных напряжениях и температуре. Получаемая при таких экспериментах кривая, построенная после вычитания упругопластической деформации, соответствующей мгновенному нагружению, представляет собой зависимость деформации ползучести от времени (рис.2.3.1.).
Принято различать три стадии (участка) кривой ползучести: Участок АВ — неустановившаяся ползучесть с затухающей во времени скоростью, начала участка (точка А), имеет мгновенную деформацию єо(0), может быть чисто упругой, а может включать в себя мгновенную пластическую деформацию; Участок ВС — установившаяся ползучесть с постоянной скоростью; Участок CD — ползучесть с быстро нарастающей скоростью, заканчивающаяся статическим разрушением в точки D. Ряд авторов предложили описание первых двух участков кривых ползучести с помощью аналитических выражений; f(a,t) = BjCjn Г23П F(cT,t) = B2 Tn , t где функции f( J,t) и F(cr,t), характеризующие соответственно первую и вторую стадии ползучести, a Bl,ni,B2,n2 параметры, которые для данного материала являются функциями температуры. В настоящее время существуют три основные теории (гипотезы) ползучести: 1) Теория упрочнения Ф(єр,єр,ст) = 0) (2.3.2) где єр и є — пластическая деформация и скорость пластической деформации. 2) Теория течения 0(ep a,t) = O, (2.3.3) где t — длительность процесса ползучести, а (2.3.3) есть уравнение нелинейно-вязкого течения жидкости. 3) Теория старения Ф(єр,с7,і) = 0. (2.3.4) Здесь предполагается, что и и є связаны функциональной зависимостью, содержащей явно время.
В стадии установившейся ползучести, когда напряженное состояние не изменяется во времени, указанные теории приводят к одинаковым результатам.
Если используется зависимость (2.3.1), то распределение напряжений в стадии установившейся ползучести соответствует распределению напряжений при степенном законе пластичности. В настоящее время более полное соответствие с экспериментальными данными дает теория упрочнения.
Однако трудности математического характера ограничивают ее практическое использование. Значительно более простым оказывается применение теории старения, расчет по которой приводится к обычному расчету на пластичность при кривой деформирования, зависящей от времени (старение материала выражается в изменении кривой деформирования).
Для использования формулы (2.3.4) бывает удобно перестраивать первичные кривые ползучести в виде так называемых изохронных кривых [94]. Серия кривых ползучести при разных напряжениях представляет собою графическое изображение функциональной зависимости между тремя переменными т,є и /. При этом є и t откладываются по осям координат, величины сг служат пометками кривых. Очевидно, что этот график можно перестроить, можно принять за оси координат ось є и ось а, тогда значения времени t будут пометками изохронных кривых. Схема такой перестройки показана на рис.2.3.2.
При обработке большого опытного материала было обнаружено, что для многих материалов изохронные кривые и уравнение изохронных кривых может быть представлено следующим образом [94];
Однофакторный дисперсионный анализ
Ранее мы изучали преобразование числовых характеристик - математического ожидания и дисперсии. Из предыдущего также следует, что достаточно хорошо развиты методы анализа преобразования законов распределения случайных величин, когда характеристика системы детерминированная. Формула для плотности вероятности на выходе, т.е. р(у) получается особенно простой, если предположить, что функция у = /(х), связывающая вход с выходом, является монотонной. Тогда обратная функция X = ф{у) является однозначной и решение задачи определения плотности вероятности на выходе по известной плотности аргумента X связано с применением формул
Преобразование законов распределения гауссовских случайных процессов при их прохождении через линейные системы сводится к определению первых двух моментных функций. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса нелинейной системы базируются как правило на свойстве нормализации негауссовского случайного процесса. Явление нормализации связано с центральной предельной теоремой вероятности, согласно которой распределение суммы статически независимых «равновкладных» случайных величин стремится к гауссовскому, независимо от распределения каждого слагаемого. Однако, как показано в ряде работ [16, 39, 76, 118], даже в линейной системе может происходить денормализация выходного сигнала. Для систем с нелинейным поведением, а это, например, элемент конструкции с расслоениями, денормализация или ее степень должны учитываться. В противном случае упрощенные методы анализа, основанные на подгонке к хорошо исследованному нормальному распределению, могут привести к грубым и принципиально ошибочным результатам.
Данная вероятностная модель сигналов использована в следующем параграфе в рассматриваемых ниже методах распознавания. Помимо общности она обладает еще одним важным достоинством. Использование этой модели облегчает постановку задач распознавания и поиск путей решения не только для простых случаев классификации сигналов при известных распределениях и вероятностях, но и для значительно более сложных режимов обучения распознающих устройств.
О больших возможностях смесей вероятностных распределений в построении математических моделей случайных величин, процессов и полей говорится в работах В. Феллера [118] и ряда других авторов [16, 76, 101]. Называя такие распределения рандомизированными, В. Феллер отмечает, что рандомизация полезна для многих целей и в ряде случаев заменяет сложные вычисления и трудоемкий анализ.
Теоретико-вероятностные основы функционального преобразования смешанных случайных явлений Исторически понятие «смесь распределений» возникло при изучении совокупностей случайных явлений, полученных из двух или более множеств путем смешивания их элементов в некоторых пропорциях к общему числу элементов совокупности. Дадим более строгое определение [118]. Пусть F- параметрическое семейство L- мерных функций распределения F(x,g), которое определяется как F = \[?g{x,g):geG,xeRL} » (3-3-2) где g - г -мерный параметр. Пусть далее (p{g) - некоторая г -мерная функция плотности распределения случайного параметра, принимающего значения из G. Тогда L -мерная функция распределения F = \Fg{x,g)dcp{g) , (3.3.3) называется смесью распределения из F, p(g) - смешивающим (рандоми-зирующим) распределением. В тех случаях, когда функция распределения cp{g) непрерывна и дифференцируема, т.е. для всех х существует плотность вероятностей Выражение (3.3.3) определяет непрерывную смесь из F и может быть записано в виде интеграла Римана: F(x)-JFg(x,g) p(g)dg (3.3.4) G Если, кроме того, непрерывная и дифференцируемая по х функция распределения Fg (х, g) имеет производную, т.е. плотность вероятности то, дифференцируя выражение (3.3.4) по xl,...,xL , получим плотность вероятностей непрерывной смеси: ф)= \(pg(x,g)(p{g)dg , (3.3.5) где плотность вероятности из (p(g) случайного параметра g является смешивающей плотностью распределения вероятностей.
Похожие диссертации на Идентификация жесткостных характеристик конструкции ЛА с учетом физической нелинейности материала
