Содержание к диссертации
Введение
1. Метод расчета оболочек при динамической упруго-пластической деформации 22
1.1. Объект исследования. Система обозначений . 22
1.2. Геометрические соотношения 24
1.3. Физические соотношения 25
1.4. Вариационная формулировка задачи 28
1.5. Граничные условия 39
2. Алгоритм расчета деформирования цилиндрической оболочки при неосесимметнчном динамичесюм натрушений 42
2.1. К выбору способа аппроксимации решения 42
2.2. Разделение переменных 43
2.3. Решение уравнений совместности деформаций . 46
2.4. Система разрешающих соотношений 50
2.5. Схема алгоритма. Особенности его реализации.. 54
3. Расчет цилиндрических оболочек при динамическом приложении внешнего давления 59
3.1. Форма эпюры и закон изменения давления 59
3.2. Динамическое поведение и исчерпание несущей способности оболочки 62
3.3. "Ветровая" эпюра давления 71
3.3.1. Квазистатическое нагружение 72
3.3.2. Динамическое нагружение 74
3.3.3. Высокоскоростное нагружение 81
3.4. Достоверность результатов 86
4. Динамическое наіружение с асимптотическими линиями искажения 89
4.1. Давление, распределенное по полосе 89
4.2. Открытая оболочка при равномерном давлении ... 94
4.2.1. Свободные продольные кромки 94
4.2.2. Свободное опирание продольных кромок.. 98
4.2.3. Неподвижный шарнир и жеоткое защемление 102
4.2.4. Сопоставление различных типов опирання
Заключение 103
Литература 105
Приложение 119
- Вариационная формулировка задачи
- Решение уравнений совместности деформаций
- Динамическое поведение и исчерпание несущей способности оболочки
- Открытая оболочка при равномерном давлении
Введение к работе
Исследование поведения тонкостенных оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружении имеет первостепенное значение для авиационной и космической техники, машиностроения и других передовых отраслей техники, где требования высокого весового совершенства и надежности конструкции являются определяющими. К настоящему времени в области статической прочности и устойчивости накоплен большой теоретический И ЭКСП6 риментальный материал, созданы методы достоверной оценки несущей способности летательных аппаратов в целом и отдельных их узлов. В то же время в области исследования поведения аэрокосмических конструкций при динамическом нагружении, несмотря на интенсивные исследования, проводимые в последние годы, имеется еще много невыясненных вопросов и нерешенных проблем.
В подавляющем большинстве задачи расчета несущей способности и устойчивости тонкостенных оболочек при динамическом нагружении внешним давлением - одним из основных видов нагруже-ния летательных аппаратов - связаны с задачами нестационарной аэрогидроупругости тонкостенных конструкций / 33,34,43 /. Такие задачи возникают также при воздействии на оболочечные элементы корпуса из проводящих материалов сильных электромагнитных полей, мощного светового излучения при аварийных режимах эксплуатации космических и летательных аппаратов. Эффекты взаимодействия импульса электромагнитного поля или луча лазера с оболочкой, заключающиеся в том, что оболочка испытывает нагру-жение типа импульсного неравномерно распределенного по поверхности давления, также представляют большой практический интерес / 78 /. Несущая способность оболочечной конструкции типа элементов корпуса летательного аппарата во многих случаях определяется резким формоизменением, что овязывается с потерей устойчивости систем. Между тем, при импульсном нагружении традиционная статическая постановка задачи устойчивости теряет смысл, так как при кратковременном действии нагрузки не наблюдается исчезновение исходной либо возникновение новой, а происходит развитие начальной формы изгиба» Поэтому обычно здесь устойчивость понимают как достижение некоторой характерной величиной условного критического значения. Многочисленные критерии устойчивости при динамическом нагружении в случае импульсной нагрузки различаются выбором характерной величины.
Потеря устойчивости при динамическом нагружении монотонно-возрастающим давлением связывается обычно с достижением предела сопротивляемости конструкции деформированию, признаком чего служит бурное нарастание прогибов и деформаций. Давление потери устойчивости обычно выше, а при больших скоростях нагружения во много раз выше статического давления выпучивания, однако в этих задачах основной интерес представляет не сама величина давления потери несущей способности, а время от начала действия нагрузки до достижения предела сопротивляемости. Кроме практических приложений, изучение поведения оболочек при монотонно-возрастающем внешнем давлении позволяет исследовать формирование полей перемещений и скоростей, развитие которых определяет динамическую неустойчивость при импульсном нагружении.
Внимание исследователей к проблеме устойчивости при динамическом нагружении было привлечено работой М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского / 64 /, в которой было установлено, что формы динамичеокой потери устойчивости отличаются от форм статического выпучивания и им соответствуют более высокие гармоники волно образования. Систематическое изучение устойчивости цилиндрических оболочек при динамическом нагружении равномерным внешним давлением было начато работами В,Л, Агамирова и А.С. Вольмира / 3 / в теоретическом плане и А.С. Вольмира и В.Е. Минеева / 35 / - в экспериментальном. В этих и последовавших за ними работах / 54,92,95,124 /, обзор которых приведен в работе / 2 /, была дана постановка задачи, предложена методика решения и получены численные результаты решения ряда конкретных задач. Существенной особенностью задач динамической устойчивости цилиндрических оболочек при равномерном внешнем давлении, значительно упрощающей их решение, является возможность представления форм движения в простом аналитическом виде. Сложилась такая общая схема: в рамках какого-либо варианта теории оболочек искомые функции аппроксимируют по пространственным координатам и с помощью метода Бубнова-Галеркина или Ритца приходят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для амплитуд осесимметричных и учтенных в рассмотрении неосесимметрич-ных слагаемых. Учитывают каким-либо образом начальные несовершенства геометрии оболочки и распределения нагрузки,задаются законом изменения давления во времени, интегрируют полученную систему численно и по качественному характеру поведения решения судят о поведении системы. Было установлено существование трех характерных этапов движения. На первом этапе развитие получает осесимметричная форма, при этом могут происходить малые колебания возле исходного положения равновесия, затем, на втором этапе, происходит резкий рост определенной неосесимметрич-ной составляющей решения и далее, на третьем этапе, происходят нелинейные колебания с большими амплитудами по этой форме. Потерю устойчивости при динамическом нагружении связывают с резким возрастанием амплитуды неосесимметричной компоненты.
Указанная схема решения для различных типов изменения нагрузки во времени применялась в сочетании с различными математическими моделями, опиоывавэщими изменение картины деформирования (взаимодействие осесимметричной и неосесимметричной составляющих) и характер работы материала.
Например, в основополагающей работе Б.Л. Агамирова и А.С. Вольмира / 3 / при исследовании нагружения шарнирно опертой по торцам оболочки монотонно возрастающим по линейному закону во времени внешним давлением использовалась нелинейная теория пологих оболочек в смешаной форме, пренебрегалооь инерцией движения в тангенциальных направлениях и осесимметричного движения, удерживалась лишь одна неосесимметричная гармоника в разложении формы изгиба, номер наиболее интенсивно возрастающей гармоники определялся перебором. В работе / 54 / в той же постановке, но при учете инерции осесимметричного движения, рассмотрено нагружение прямоугольным импульсом давления и линейно монотонно возрастающим давлением. Отмечено, что инерцией осесимметричного движения при монотонной нагрузке можно пренебречь, воли до момента потери устойчивости конструкция совершила несколько полных колебаний с частотой, отвечающей низшему тону колебаний по осесимметричной форме. В работах указанного направления была установлена незначительность влияния тангенциальной инерции / 83 /, рассмотрены законы возрастания давления при монотонном нагружении, отличные от линейного / 92, 107 /, исследовано влияние на поведение оболочки при импульсном нагружении величины начальных несовершенств, линейного затухания и числа учитываемых неосесимметричных гармоник / 104, 105,106 /. Изучалось также влияние переменности толщины оболочки / 8 /, вида граничных условий / 14,15,16,17 /, присоединенных масс / 49 /, жидкости / 77,87 /. Общий подход распространялся на подкрепленные / 73 /, ортотропные / 36,96 / и трехслойные / 39,40 / оболочки. Использовались также модели оболочек, учитывающие инерцию вращения и сдвиг (типа Тимошенко) / 41,42, 80
Цикл работ советских и зарубежных авторов посвящен исследованию поведения оболочек при мгновенном (импульсном) нагруже-нии. Исследовалось поведение оболочки при комбинированном нагру-жении статическим и импульсным, убывающим по экспоненциальному закону, внешним давлением / 95 /. Факт неустойчивости определялся по резкому возрастанию прогиба. Аналогичное исследование для прямоугольного импульса проведено в работе/ 124 /. Обширная информация о влиянии формы импульса внешнего давления и геометрических параметров оболочки приведена в работах / 45,46 /• Момент потери устойчивости фиксировался по резкому возрастанию максимального прогиба, т.е. за критическую принималась нагрузка, при которой наблюдается наибольшая скорость нарастания прогиба по любой из рассматриваемых гармоник (или появление пластических деформаций). Авторами отмечалось, что при уменьшении длительности импульса до некоторой величины устойчивость определяется лишь величиной импульса и не зависит от его формы. При исследовании монотонного нагружения линейно возрастающим давлением было установлено, что учет нескольких, близких к главной, гармоник снижает критическую нагрузку по сравнению с одночленным приближением на 5-25 %. В работах / 47,66,67 / была исследована бесконечно длинная оболочка (кольцо) под действием мгновенного импульса. В качестве несовершенств, инициирующих взаимодействие между осесимметричной и неосесимметричны-ми гармониками разложения прогиба, использовались малые неравномерности в распределении начальной скорости. В последующих работах метод был распространен на оболочки конечной длины путем использования аппроксимаций по продольной координате / 118/, получены обобщения на случай ступенчатой нагрузки / 19,102,117/ и внезапно приложенной нагрузки, уменьшающейся по экспоненциальному закону / 109 /. Отметим также работы / 115Діб /, в которых с помощью метода возмущений в геометрически нелинейной постановке исследуется динамическая устойчивость свободно опертой цилиндрической оболочки с малыми неправильностями при ступенчатом во времени нагружении внешним давлением. В них получена асимптотическая формула для критической динамической силы в зависимости от начальных неправильностей, а также приведено выражение, связывающее динамическое критическое давление и статическое давление выпучивания, которое не зависит от амплитуды неправильностей.
Наряду с теоретическими работами по поведению цилиндрической оболочки, нагруженной однородным динамическим внешним давлением, проводились экспериментальные исследования, целью которых была опытная проверка теоретических результатов и экспериментальное изучение вопросов, теоретическая трактовка которых пока затруднительна. В целом экспериментальные исследования подтвердили качественные выводы, а во многих случаях и количественные результаты теоретических расчетов и положенных в их основу предположений. Однако, как правило, в экспериментах использовалось нагружение оболочки волной давления в жидкости, а уровень и характер распределения начальных несовершенств не контролировался. Эти два фактора - влияние на поведение оболочки нагружающей среды и неопределенность уровня и формы начальных несовершенств - затрудняют сопоставление теоретических и экспериментальных результатов. Большой экспериментальный материал подытожен в работе / 76 /. Здесь в развитие работы / 35 / описан об 10
ширный цикл экспериментов по нагружению гладких оболочек линейно нарастающим давлением (потеря устойчивости, выражавшаяся в бурном нарастании прогибов, происходила на восходящей ветви изменения давления во времени). Исследовалось влияние скорости нагружения, предварительного статического осевого сжатия и специально задаваемых несовершенств в виде вмятины по форме выпучивания. Результаты аналогичных экспериментов при нагружении импульсом давления описаны в работах / 28,58,74 /. В этих работах исследовалось влияние скорооти нагружения, геометрических и жесткостных параметров оболочки, характера закреплений.
Рассмотренные выше теоретические работы были посвящены упругому динамическому выпучиванию оболочки, когда резкий рост характерных параметров, с которым связана потеря устойчивости при динамическом нагружении, происходил в упругой области или же за критические принимались нагрузки начала пластического течения (характерной в этом смысле является работа /46 /). Однако, если критические динамические нагрузки связывать со снижением несущей способности, как это предложено в работе А.К. Перцева / 88 /, то необходим учет пластических деформаций, т.к. для тонкостенных оболочек снижение несущей способности обусловливается остаточными деформациями, возникающими в процессе нагружения.
При решении задач неупругого динамического деформирования конструкций возникает вопрос о выборе подходящей (с точки зрения учета характерных особенностей задачи и использования доступных средств теоретического и численного анализа) теории пластичности и учете влияния скорости деформаций в рамках этой теории. Известно, что при увеличении скорости деформирования динамический предел текучести ряда материалов может существенно повышаться / 63,86 /. Поведение оболочки в динамике характеризуется переменной скоростью деформирования, что требует учета истории изменения скорости деформирования. Учет этих факторов может быть в принципе осуществлен в теориях, развитых на основе дислокационных представлений, обзор которых приведен в работе / 24 /, Однако исследования в этом направлении далеки от завершения, и в настоящее время нет зависимостей между напряжениями и деформациями при динамическом нагружении, приближающихся по удобству использования в практических расчетах к зависимостям при статическом нагружении. Кроме того, полученные в опытах диаграммы 6-Е одноосного растяжения или Х- Т для кручения, по которым определяются параметры теории пластичности, приведены для постоянных скороотей деформирования. Поэтому получили распространение приближенные подходы к учету скоростей деформации. Например, теоретическая диаграмма деформирования задается с помощью характерных параметров (предела текучести, модуля упрочнения и т.д.), а эти параметры считаются зависящими от скорости деформации и определяются по удобным аппроксимирующим выражениям (для таких материалов, как мягкая сталь и титановые сплавы, обладающих резкой чувствительностью к скорости деформаций, подобного рода выражения приведены в работе / 93 /). Другой подход, применимый к материалам с не слишком сильной чувствительностью к скорости деформации основан на том, что, начиная с некоторой скорости деформирования (Є Є ), вое опытные диаграммы поведения материала практически совпадают. Поэтому при больших скоростях деформации в расчетах используют единую "предельную" диаграмму. Типичными представителями этой группы материалов являются алюминиевые сплавы (ДІ6Т и др.) / 25,86 /. Высокопрочные стали и магниевые сплавы, как показывают опыты / 125 /, в широком диапазоне скоростей деформаций нечувствительны к ним. Некоторые методические указания по аналитической записи закона упруго-пластического деформирования с учетом влияния скорости деформаций содержатся в работе / 100 А
Впервые пластическое выпучивание бесконечной цилиндрической оболочки (кольца) под действием равномерного радиального импульса рассмотрели Abrahams»on и Qroodier в 1962 г. / 108 /. В работе исследовалооь выпучивание на фоне развитого осесимметричного пластического движения с доминирующими кольцевыми сжимающими напряжениями в процессе выпучивания. В связи с этим принималась жестко-пластическая модель с линейным упрочнением для материала оболочки, использовалась гипотеза продолжающегося нагруженйя, вследствие которой приращение кривизны оболочки при изгибе было связано с изгибающим моментом через касательный модуль, т.е. разгрузка и влияние скорости деформации не учитывались и считалось, что все геометрические параметры и свойства материала не изменяются в процессе деформирования. Использовались линейные уравнения устойчивости, в начальный момент задавалось почти равномерное распределение радиальной скорости. Движение считалось оконченным, когда вся первоначальная кинетическая энергия переходила в работу пластической деформации. Для этого момента времени определялись остаточные прогибы. Число волн выпучивания определялось из условия наибольшего возрастания в процессе движения амплитуды соответствующей гармоники разложения функции формы в ряд Фурье. Предотавленная теория качественно соответствовала экспериментальным данным, хотя давала завышенные оценки для номера главной гармоники, описывающей форму выпучивания. Простота этой теории сделала ее удобной для оценочных расчетов оболочек средней толщины ( /и 0 20 30). Без отказа от основных допущений, и о сохранением простоты конечных результатов она была улучшена / 72 / за счет учета изменения среднего радиуса и толщины оболочки в процессе движения.
В другом крайнем случае, изученном в работе / 66 /, оболочка считалась настолько тонкой ( /L 400 500), что выпучивание начиналось задолго до достижения мембранными напряжениями предела текучести. Тогда для определения номера наиболее растущей гармоники можно использовать анализ в упругой области (сведение к уравнению Матье и рассмотрение зон неустойчивости / 47 /), а при рассмотрении движения по неустойчивой гармонике пренебрегать мембранными напряжениями по сравнению о изгибными и считать, что образуются регулярно расположенные по окружности пластические шарниры, число которых равно удвоенному номеру гармоники. Обзор первых работ по пластичеокому выпучиванию при радиальном импульсе содержится в работе / III /. В рамках подхода / 108 / была учтена длина оболочки / 27 / и результаты распространены на вязкопластические оболочки / 122 /.
Промежуточный случай между работами / 108 / и / 66 / труден тем, что нельзя выделить доминирующее состояние кольцевого сжатия либо изгиба и приходится решать задачу упругопластиче-ского деформирования, принимая во внимание распределение зон пластичности по толщине оболочки. При этом приходится использовать физические соотношения, выраженные в нехарактерных для теории оболочек терминах напряжений, деформаций и скоростей в данной точке оболочки. С помощью некоторых допущений иногда удается записать эти соотношения в терминах усилий, моментов, деформаций, изменений кривизн срединной поверхности и их скоростей /29,30 /• Дальнейшее упрощение связано с предположением о том, что пластическое течение или разгрузка начинается одновременно во всех точках сечения, причем моменты времени определяются по началу пластического течения или разгрузки для точки сечения, лежащей в срединной поверхности оболочки. Как показывает опыт многочисленных расчетов, такое допущение также дает хорошие результаты / 81 /. В работе / 25 / проведено экспериментальное и теоретическое исследование поведения оболо-чек ( /L 100 300) при задании радиальной начальной скорости. Получено хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных для числа волн, образующихся при выпучивании, и остаточных прогибов при разных значениях начальной скорости. В работах / 11,12 / исследуется устойчивость цилиндрической оболочки при импульсном яагружении равномерным внешним давлением треугольной" формы, здесь постановка задачи / 108 / уточнена путем учета1 уп- • ругой деформации, разгрузки и сложного нагружения. Учитывалась одна неооеоимметричная гармоника в разложении прогиба, в качестве физического закона использовалась теория течения с линейным трансляцибнным упрочнением. За критерий устойчивости принималось увеличение амплитуды главной гармоники по сравнению с начальным прогибом в 1000 раз.
Проведенный обзор показывает, как многообразны аспекты задачи о динамическом поведении оболочек и многочисленны подходы к ее решению. К настоящему времени для осесимметричного натруже-яия выявлены основные особенности задачи, установлен механизм потери устойчивости, предложены критерии для определения несущей способности конструкций, разработаны методики численного расчета как в упругой, так и в упругопластической областях;достигнуто удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными. К сожалению, непосредственное использование полученных результатов для решения задачи о неосесимметричном нагружении оказывается весьма затруднительным, так как характер развития деформированного состояния, а, следовательно, и адекватной математической модели, и критерии оценки несущей способности существенно меняют .
Вопросы статической устойчивости оболочки, нагруженной неоднородным по окружности внешним давлением, достаточно полно освещены / 7,53 / на примере полосовых и плавно меняющихся нагрузок с различной степенью неоднородности. Показано, что в зависимости от степени неоднородности могут реализоваться различные типы деформирования, дана их классификация, установлена и изучена переотройка формы оболочки в процессе нагружения, колебательный характер зависимости критических нагрузок от параметра неоднородности. Отмечено, что с ростом неоднородности давления уже на ранних стадиях нагружения проявляется нелинейный характер изгиба оболочки.
Характер упругого деформирования цилиндрических оболочек при малых уровнях неоднородности динамического давления изучался в ряде работ с использованием линейной теории оболочек. В работе / 103 /, где рассматривалось нагружение бесконечной оболочки внезапно приложенным неоднородным давлением, убывающим"до нуля по линейному закону, распределенным по полуволне косинуса на половине окружности,отмечено, что изгибные напряжения составляют незначительную часть мембранных. Эта же задача была уточнена / 98 / и перенесена на случай двухслойной оболочки /22 /. В работах / 113,123 / исследовано поведение шарнирно опертой оболочки под давлением импульса давления, равномерно распределенного по небольшой части поверхности; рассмотрены различные временные законы изменения давления. Приведены данные специально поставленного эксперимента, которые находятся в удовлетворительном соответствии с расчетом.
В работах / 101,120,121 / рассматривалось действие плоской волны давления (давление за фронтом волны меняется по ступенчатому закону) на шарнирно опертую оболочку, описываемую уравнениями Флюгге. Учтена как радиальная, так и тангенциальная инерция; изучено влияние на реакцию оболочки скорости движения волны давления. В работах / 89,97 / проведен расчет линейного деформирования оболочки вращения на динамические и тепловые нагрузки при распределении давления по окружности по закону косинуса. В квазилинейной постановке подход / 47 / был распространен на произвольное по окружности распределение начальных скоростей / 68 /, Рассматривалась бесконечная оболочка, нагруженная мгновенным импульсом, распределенным на половине окружности по параболе. Считалось, что "ответственной" за возбуждение неосесимметричных форм изгиба является осесимметричная форма. Как обычно, из анализа зон неустойчивости уравнений Матье определялись неустойчивые неосесимметричные гармоники , учитывающиеся далее при расчете нелинейной реакции. Ясно, что такой подход может дать приемлемые результаты лишь для достаточно плавно изменяющихся по окружности импульсов. Исследование устойчивости цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении, заданном выражением
проведено в работе / 75 /. В качестве критической величины выбран параметр максимальной окружной изгибной деформации. Аналогичные исследования выполнены в работах / 82,112,114 /.
Столь же немногочисленны и экспериментальные работы / 9, 4,50,51,57,90,100 /, посвященные исследованию поведения упруго-пластических цилиндрических оболочек при динамическом нагруже-нии неоднородным давлением. Пока получено лишь качественное соответствие результатам расчетов.
Результаты экспериментов по исследованию напряженно-дефор "мированного состояния конструкций при действии ударных волн и г других динамических нагрузок обобщены А.В. Кармишиным, Э.Д.Скур-латовым, В.Г. Старцевым и В.А. Фельдштейном в книге / 81 /. Ими рассматривались задачи экспериментального исследования поведения пластин, арок, цилиндрических панелей, замкнутых оболочек при продольном и боковом набегании ударной волны, многократном динамическом нагружении, нагружеяии по части поверхности.
Анализ названных выше исследований позволяет сделать вывод о недостаточной изученности вопроса о поведении цилиндрической оболочки при динамическом неоднородном нагружении - отсутствует последовательный анализ влияния степени неравномерности, скорости нагружения раздельно и в их взаимосвязи, не разработаны вопросы выбора и формулировки различных критериев несущей способности в рассматриваемом случав.
В осуществленных исследованиях не затрагивается вопрос о поведении конструкции в процессе динамического деформирования. Это объясняется, по-видимому, тем, что проведение подобных расчетов в рамках существующих алгоритмов (с применением методов конечных разностей, конечных элементов) становится длительным и дорогостоящим в силу необходимости высокого порядка аппроксимации разрешающих функций. Дополнительные вычислительные трудности вносит необходимость решать задачу в упругопластической постановке. Между тем, рассматривая конкретный класс задач, можно воспользоваться априорным знанием поведения системы и; использовать его при создании математической модели системы и соответствующего алгоритма. Такой подход при исследовании статического нелинейного неосесимметричного деформирования оказался весьма плодотворным / 85 /.
Все вышесказанное позволяет сформулировать цели настоящей работы: а) создание математической модели и эффективного алгорит- ма расчета, позволяющего провести оценку несущей способности
элементов корпусов летательных аппаратов при неоднородном дина мическом нагружении;
б) формулировка критериев несущей способности, учитывающих особенности рассматриваемых конструкций, и их сравнительный анализ;
в) качественный и количественный анализ физически и геометрически нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при динамическом неоднородном нагружении;
г) оценка влияния степени неоднородности и скорости нагружения на поведение цилиндрических оболочек.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии, приложения,
В первой главе приведена постановка задачи о нелинейном деформировании цилиндрической оболочки под действием динамического внешнего давления. В качестве исходных приняты геометрически нелинейные соотношения, для описания упругопластичеокого поведения материала используется деформационная теория пластичности. Далее рассмотрена вариационная формулировка задачи, получен функционал, из условия стационарности которого следуют геометрические, физические соотношения, уравнения движения и соотношения метода дополнительных деформаций. Уравнения движения и совместности деформаций, следующие из условия стационарности предложенного функционала, записаны в смешанной форме, удобной для численного построения решения задачи.
Во второй главе отыскивается приближенное решение поставленной задачи как точки стационарности функционала, аналогично методу Л.В. Канторовича. В результате применения процедуры разделения переменных, построенной с априорным учетом свойств напряженно-деформированного состояния по окружной координате и малой изменяемости состояния по продольной координате, получается разрешающая система уравнений, описывающих нелинейную начально-краевую задачу. Для нахождения численного решения указанной задачи применяется метод прямых. Описывается общий алгоритм расчета деформирования цилиндрической оболочки при динамическом нагружении.
С помощью разработанного алгоритма в третьей главе исследуется упругопластическое поведение круговых замкнутых цилиндрических оболочек при динамическом приложении неравномерного по окружности (плавная эпюра вида Q- Qc (0,5+ 0,5 coscj y ) внешнего давления.Рассматриваются существующие критерии работоспособности оболочечных конструкций при динамическом нагружении, приведено их сравнение на примере расчета цилиндрической оболочки под действием быстро нарастающего во времени давления. Проанализированы особенности поведения оболочек при неоднородном динамическом внешнем давлении.
В четвертой главе приведены результаты исследования упру-гопластического поведения конструкций при динамическом нагружении с асимптотическими линиями искажения. Отмечены особенности деформирования конструкции в зависимости от величины угла на-гружения (или угла раствора, если рассматривается открытая оболочка), типа опирання продольных кромок и скорости нарастания нагрузки.
В заключение формулируются основные результаты и выводы диссертационной работы.
В приложении представлены документы, подтверждающие практическую ценность работы.
Таким образом, научная новизна настоящей работы состоит в следующем: - впервые с помощью разработанного алгоритма проведен последовательный качественный и количественный анализ поведения одлиядрической оболочки, моделирующей элементы корпуса летательного аппарата при неосесимметричной деформации с учетом динамичности нагружения и реальных свойств материала;
- оценено влияние скорости нагружения и изменяемости напряженно-деформированного состояния оболочки на несущую способность конструкции;
- установлены особенности поведения неосесимметричных конструкций в зависимости от скорости нагружения - явление перестройки форм изгиба в процессе нагружения при малых скоростях деформирования и фиксирование формы изгиба в начальные моменты времени при высокоскоростном нагружении;
- предложены критерии несущей способности, отражающие качественный характер поведения системы.
Основное содержание диссертации было доложено на УІ Всесоюзном семинаре по комплексам программ математической физики (Новосибирок-Днепропетровск, 1979 г.),на Симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980 г,), на итоговых научных конференциях Днепропетровского госуниверситета в 1979-1983 гг., на межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" под руководством академика АН УССР В.И. Мос-саковского (Днепропетровск, 1983 г.).
По материалам диссертации имеются 4 публикации / 6,69, 70,71 /.
Результаты диссертационной работы внедрены и используются в расчетной практике Центрального научно-исследовательского института химии и механики (г. Москва). Разработанный алгоритм используется при проведении научно-исследовательских работ в Проблемной научно-исследовательской лаборатории прочности и на 21
дежности конструкций Днепропетровского госуниверситета.
Автор искренне благодарен научным руководителям работы, доктору технических наук, профессору Льву Вячеславовичу Андрееву и кандидату технических наук, старшему научному сотруднику Наталье Ильиничне 0бодан за постоянное внимание к работе и большую помощь.
Вариационная формулировка задачи
Решение задачи упругости при заданных внешних нагрузках и дополнительных деформациях Є- , определяемых по формуле (1.10), совпадает с решением задачи деформационной теории пластичности. Суть метода дополнительных деформаций состоит в следующем. За начальное приближение принимаем В. =0, т.е. решаем уп а) ругую задачу, откуда находим деформации Є;.- и интенсивности деформаций Є- . Определив по кривой деформирования новые значения б; s -f (є? ) и новый секущий модуль Ес = Q /р{ ) находим по формуле (1.10) дополнительные деформации первого приближения Дополнительные деформации п -го приближения Є/. можно определить через деформации 6-"" , найденные из реше о ния упругой задачи предыдущего приближения с дополнительными деформациями &[ п , тогда схема итерационного процесса Постановка исходной нелинейной задачи как вариационной, т.е. задачи об отыскании точки стационарности некоторого функционала, имеет ряд существенных преимуществ. Из условий стационарности так называемых полных / 62 / функционалов следуют все основные соотношения теории оболочек - физические, кинематические и равновесия,и все функции, входящие в функционал, являются независимыми, а соответствующие конечные или дифференциальные соотношения, их связывающие, получаются из функционала как его уравнения Эйлера. Предварительное выполнение части указанных соотношений преобразует полный функционал в частный; обратный переход выполняется с помощью метода множителей Лагранжа. В основу последующих рассуждений положим функционал Лагранжа полной энергии и оболочки Слагаемые / и А функционала записаны в предположении о преимущественно поперечном характере движения оболочки и о наличии в составе внешних нагрузок только нормального давления. Предположение о возможности пренебрежения тангенциальной инерцией движения основано на выводах известных исследований / 54,83,115 /, указывающих на малооть соответствующих слагаемых по сравнению с удержанным членом 7"
Исключение из рассмотрения касательных компонент поверхностной нагрузки оправдано тем, что в практически важнейшем случае действия на корпус летательного аппарата газовой среды нагрузка является следящей за нормалью к поверхности оболочки. Слагаемое /J при отсутствии пластических добавок Є с: совпадает с известным выражением для потенциальной энергии деформации упругой оболочки / 79 /, при учете предварительного выполнения геометрических соотношений. Покажем, что соотношение (І.І2) представляет собой частный функционал рассматриваемой задачи при условии предварительного выполнения геометрических (связь деформаций с перемещениями) и физических (связь напряжений с деформациями, соотношения метода дополнительных деформаций) соотношений. В частности, таким дополнительным условием является задание диаграммы деформирования (1.9). Пусть в процессе итерационного уточнения упругопластичес кого состояния оболочки дополнительные деформации п -го прибли-жения Єс: оказываются известными. В этом случае функционал L - L (и/ (Ж) овпадает с выражением для энергии упругой оболочки с заданными дополнительными деформациями - дисторсиями е поля деформаций. Тогда, согласно принципу Гамильтона, равновесному состоянию оболочки соответствует стационарное значение Лагранжиана (I.I2): Из условия стационарности (I.I3) функционала (I.I2) при соответствующих дополнительных условиях можно получить все разрешающие уравнения и граничные условия нелинейной начально-краевой задачи для цилиндрической оболочки на п-ом шаге итерационного процесса метода дополнительных деформаций. Присоединим геометрические соотношения и выражение, представляющее собой связь между дополнительными деформациями и достигнутыми за ( п -I) шагов полными деформациями, к функционалу (I.I2) с помощью метода множителей Лагранжа, исключив их из числа предварительных. Получающаяся при этом вариационная задача эквивалентна исходной. Составляя уравнения Эйлера для всех функций функционала, определяем неизвестные множители. Окончательно получим: Функционал j является полным на п -ом шаге в пространстве полных и дополнительных деформаций, перемещений и напряжений. Независимо варьируемыми функциями здесь являются все неизвест ные функции задачи: Связь с(бі) не следует из функционала, но не нарушает его полноты, т.к. ЕС(ЄП ) - функция известных на /г -ом ша В условиях упругого деформирования дополнительные деформации отсутствуют: у = Щ - Tj a =0, Ес-Е и функционал (I.I4) совпадает с функционалом Ху-Вашицу / I /. Проварьи-руем функционал (I.I4), пользуясь связью (1.3). После введения обозначений Приравнивая нулю выражения, стоящие при независимых вариациях &х , 8эе , &Ti , S/44 , Sw , 8е/ , ... в области V и на границе f , получим физичеокие соотношения: Тогда из условия стационарности функционала Э будут следовать соотношения метода дополнительных деформаций (I.II), физические и геометрические соотношения в виде (I.I), (1.2), (I.I7), (I.I8) и уравнения движения и совместности деформаций цилиндрических оболочек в смешанной форме: При отсутствии пластических деформаций члены, заключенные в квадратные скобки, в этих уравнениях обращаются в ноль, и тогда уравнения движения (1,24) и совместности деформаций (1,25) совпадают с известными для динамического деформирования в упругой области / 32 /. Дополняя уравнения (1.24), (1.25) выражениями для величин х , у , ЇЇ , Ъёх , си , ЗЄ через основные функции W и Ф , получаем полную систему уравнений. Предварительно отметим, что из равенств (І.І7) при замене усилий на их выражения через функцию напряжений (1.23) получаются следующие выражения для деформаций в срединной поверхности: Подставляя эти выражения в равенства (1.3), получаем Задача нелинейного деформирования оболочки сводится к построению и исследованию решения системы (1.24), (1.25) при соответствующих начальных и граничных условиях. Начальные условия сводятся к заданию в начальный момент І = 0 перемещений и скоростей точек координатной поверхности
Решение уравнений совместности деформаций
Изменяя параметры ,р ,И,$, ои , можно получить типы нагрузок, различные по степени неравномерности и интенсивности. В частности, при /п = 1, а ЛГ,Ь=0 получаем эпюру давления "ветрового"; типа (рис. 3.1а) - плавно очерченную кривую с максимумом в точке U = 0; параметр М при этом определяет степень неравномерности эпюры: от осесимметричного ( [U = 0) случая до сильной (при немалых М ) локализации. Во втором случае имеем нагружение давлением по полосе в пределах центрального угла (f 0 (рис. 3.16). Известно, что в зависимости от продолжительности процесса нагружения г можно классифицировать типы деформирования: 1) квазистатический ( S= &i), 2) динамический ( S- г), 3) импульсный (S= $з ) Такая классификация обычно связывается с временем собственных колебаний конструкции по низшему тону с - первому типу соот-ветствует т » г , второму - г г и третьему - Т L Аналогично можно связать скорость процесса нагружения S с d собственной частотой колебаний по низшему тону Од при -р-г (0; 0,1) имеем квазистатическое нагружение,- (0,1; 10) -динамическое и при г- (10; 10 ) - импульсное нагружение. Изменение параметра позволяет моделировать широкий диапазон реальных видов нагружения (см.рис. 3.2): квазистатическое, внезапное приложение давления, неограниченно продолжающееся нагружение, импульс давления треугольной формы (при конечных значениях t ). Приведенные здесь расчеты, где это не оговорено особо, выполнены для стальных (Х18Н9Тн) оболочек радиуса R = 10 см ( Е = 2«Ю6 кГ/см2, / = 7 #8 КГ3 кГ/см3). Данные расчетов представлены в параметрах: IV = ) vV - норма функции прогиба оболочки, обезраз-меренного отнесением к толщине h ; ТГ - параметр времени, обезразмеренный таким образом, что в случае продолжающегося нагружения значению - I соответствует интенсивность давления, равная критическому осесиммет-ричному давлению при статическом нагружении / 31 /: Во всех расчетах принято шарнирное опирание торцев оболочки. Исследование поведения оболочек при действии статического неосесимметричного давления /7,53 / обнаружило ряд особенностей по сравнению с осесимметричным нагружением.
В этом случае напряженно-деформированное состояние является сильно изгибным, развивается нелинейно, начиная с малых уровней нагрузки, потеря устойчивости (достижение предельной точки либо точки бифуркации) происходит при нагрузках как выше, так и ниже классического значения для осеоимметричного нагружения и зависимость критичеоких нагрузок от степени неоднородности носит немонотонный характер. Исчерпание неоущей способности при статическом яагружении оболочки связано, как правило, именно с потерей устойчивости, которая, что следует из экспериментальных и теоретических исследований, проявляется в резком переходе конструкции к новой развитой изгибной форме. При динамическом яагружении появление новых силовых факторов - сил инерции - приводит к новым качественным особенностям поведения системы, отличным от тех, которые характерны для статического яагружения. Главное отличие состоит в однозначности продолжения решения по времени в любой момент движения.
Это обусловливает трудность формулировки критериев несущей способности оболочечных конструкций, неизбежность привлечения физических и инженерных соображений. Следует отметить, что при осесимметричном динамическом яагружении значения критического времени, определяемые по различным критериям, оказываются близкими. Опираясь на представления, развитые в основном в исследованиях осесимметричного деформирования оболочек при динамическом нагружении, выделим характерные группы критериев несущей способности и попытаемся сформулировать их аналоги для неосе-симметричного случая. К первой группе отнесем критерии, связывающие исчерпание несущей способности конструкции о неограниченным ростом характерных параметров движения: 1) прогиба ( И/ ах- ); 2) скорости развития прогиба ( \А/тЛ9 = ). При неосеоимметричном деформировании оказывается, как правило, невозможным связать значение Wrnajc о фиксированной точкой поверхности. На рис. 3.3 приведены формы изгиба цилиндрической оболочки ( у = 2; / = 200) при нагрузке для моментов времени т = 4,066 КГ си Г2 = 8.945 КГ4 с. Картина изгиба трансформируется в процессе нагружения и в данной точке большей нагрузке может соответствовать меньший прогиб. Для существенно неоднородного состояния естественно перейти к интегральным характеристикам, а именно, к энергетическим. Безграничный рост прогибов оболочки сопровождается устремлением в бесконечность энергии деформации Неограниченное возрастание прогибов неизбежно приводит к появлению таких деформаций и углов поворота нормали к поверхности оболочки, что условия применимости общепринятых расчетных моделей заведомо нарушаются. Очевидным путем согласования расчетных схем с требованиями инженерной практики здесь явилось введение конечных ограничений на некоторые характерные параметры напряженно-деформированного состояния оболочки. Ко второй группе критериев отнесем ограничение максимального прогиба оболочки предельно допустимой величиной В силу инженерного характера этих ограничений их следует, по-видимому, переносить на неоднородные состояния без изменений, выполняя просмотр всего поля прогибов (деформаций) конструкции и выделяя область, наиболее опасную в рассматриваемом смысле. Эти и подобные им критерии относятся к критериям работоспособности / 20 / конструкций и прямо зависят от конкретных числовых значений, диктуемых инженерной практикой. Обобщение полученных данных на класс конструкций или даже диапазон параметров оказывается затруднительным и требует больших объемов повторных расчетов. Поэтому желательно использование более общих критериев, связывающих несущую способность конструкции с характерными особенностями динамического деформирования. Такие критерии условно отнесем к третьей группе.
Динамическое поведение и исчерпание несущей способности оболочки
В силу инженерного характера этих ограничений их следует, по-видимому, переносить на неоднородные состояния без изменений, выполняя просмотр всего поля прогибов (деформаций) конструкции и выделяя область, наиболее опасную в рассматриваемом смысле. Эти и подобные им критерии относятся к критериям работоспособности / 20 / конструкций и прямо зависят от конкретных числовых значений, диктуемых инженерной практикой. Обобщение полученных данных на класс конструкций или даже диапазон параметров оказывается затруднительным и требует больших объемов повторных расчетов. Поэтому желательно использование более общих критериев, связывающих несущую способность конструкции с характерными особенностями динамического деформирования. Такие критерии условно отнесем к третьей группе. Известен критерий / 48 /, связывающий начало "неустойчивой" фазы движения с наступлением такого состояния конструкции, при котором изменение параметров напряженно-деформированного состояния происходит без изменения поля ускорений системы Выполнению условия 5) отвечает нетривиальное решение задачи на собственные значения, аналогичной бифуркационной задаче для статического случая. Практическая реализация такого подхода в рамках физически и геометрически нелинейной модели конструкции резко увеличивает объем алгоритма и вычислительные затраты. В задачах нестационарного деформирования / 37 / используется также критерий изменения знака ускорения характерной точки В случае динамического нагружения конструкции результирующее движение системы содержит как монотонную, так и колебательную составляющие, выполнение условия 6) может происходить многократно, не сопровождаясь какими-либо качественными изменениями напряженно-деформированного состояния» Запишем уравнение движения (1.24) в виде который возможен при известном поле функций уоилий.
Здесь W - вектор перемещений: ; Я - вектор реакции внутренних усилий; Ц - вектор поверхностных сил. Рассмотрим функционал потенциальной энергии внутренних сил для поля перемещений ІД/4 8 IV ( 6 - малый скалярный пара-метр, W удовлетворяет соответствующим линейным однородным граничным условиям): где - первая и вторая вариации функционала соответственно. R(w) имеет вид;уравнений равновесия элемента оболочки ; Если состояние, описанное вектором перемещений W явля- ется равновесным, то это положение устойчиво, если для всех WfO выполняется неравенство / 67 / и неустойчиво для некоторого W , если Итак, момент времени называется критическим, если в этот момент движения выполняется равенство Отсвда получаем / 67 /, что нахождение критического момента времени сводится к фиксации такого соотояния, когда уравнение нейтрального равновесия имеет нетривиальное решение. Это совпадает с формулировкой критерия 5), предложенного в работе / 48 /. Для динамических задач направление приращения поля деформаций однозначно определяется полем скоростей, это позволяет выбирать возможные перемещения W в виде Учитывая, что получаем, что реализация проверки условия (3.2) сводится к нахождению момента времени, когда величина переходит через ноль. На рис. 3.4 приведены результаты расчета цилиндрической оболочки ( = 2, %= 200, /М = Ю при = 2-104 1 и S = 2 10 c-J-)t иллюстрирующие различные критерии. Знаком (о) отмечен момент времени, когда появляются пластические деформации. В случав неосесиммвтричного натружения различные критерии дают сильно различающиеся оценки для значения критического времени. Анализируя результаты расчетов, приведенные на рис. 3.9, 3.II, 3.12, 3.15, отмечаем, что для высокоскоростного яагруже ния критерий 4) ограничивает область работоспособности конструк » ции, хотя значения W , IV и т.д. еще далеки от критических в соответствии с остальными критериями. Иначе дело обстоит в случае нарастания нагрузки со средней скоростью. Здесь момент появления пластических деформаций не является критическим, о работоспособности конструкции еще можно судить по выполнению других критериев. Приведенные в дальнейшем результаты базируются на критериях 4) и К , при этом контролируется выполнение остальных критериев. Результаты, полученные при исследовании поведения конструкции в случае нагружения бесконечной длительности, являются оценкой сверху для деформирования цилиндрической оболочки под монотонно возрастающим внешним давлением с ограниченным временем действия (рис. 3.5). Общий закон изменения давления с "ветровой" эпюрой, моделирующий плавные распределения давления по окружной координате, принят в виде Рассмотрены три диапазона скоростей нагружения При малых скоростях нагружения ( = &4 ) картина поведения оболочки подобна статической вплоть до достижения критического состояния, где начинается резкий рост прогибов. Диаграмма такого типа приведена на рис. 3.6 ( %= 2, %. = 200» о(.= р = 0,5, (И = I, g = 20 с "1). Траектория W(r) СОСТОИТ ИЗ двух протяженных линейных участков - докритического I и восходящего 3, сопряженных малым участком 2 со значительной кривизной.Динамическая критическая нагрузка составляет 1,18 йп , в то время как решение неосесимметричной задачи в статической постановке дает rj 1,12 Пп . Формы изгиба I и 3 совпадают с соответствующими докритической и за-критической формами задачи статики, зависимость (2 ( ) близка к статической. Напряженно-деформированное состояние сохраняется упругим во воем диапазоне изменения параметра М . Известные особенности поведения оболочек при статическом / 65 / ( &- 0 ) ветровом нагружении сохраняются и при квазис.татическом деформировании
Открытая оболочка при равномерном давлении
На напряженно-деформированное состояние цилиндрических открытых оболочек при равномерном нагружении влияют, кроме параметров тонкоотенности и длины, тип опирання кромок и ширина угла раствора. Рассмотрим последовательно нелинейное деформирование цилиндрических панелей (угол раствора СР0 )» нагруженных динамическим равномерным внешним давлением при различных условиях закрепления прямолинейных кромок: 1) свободный край; 2) шарнирно подвижное опирание; 3) шарнирно неподвижное опирание; 4) защемление. Оболочечная конструкция со свободной кромкой оказывается весьма податливой по отношению к поперечному давлению, особенно в зонах, прилегающих к краям. В квазистатическом случае панель испытывает сильный изгиб у краев уже при низких уровнях нагруз ки. Нелинейность деформирования проявляется в непропорциональ ной зависимости прогибов от нагрузки и в перестройке формы из гиба.
Критические нагрузки оказываются довольно низкими: (0,1 0,8) &п / 7 /. Для очень узких панелей потеря устойчивости вообще не наблюдается, а при больших углах раствора решающим фактором становится влияние свободных краев. Малая жесткость панелей отчетливо проявляется при динами ческом яагружении - критические нагрузки в этом случае падают по сравнению с замкнутой оболочкой еще сильнее (в 10-20 раз). Решающим фактором в поведении панели оказывается не ширина ее, а наличие свободных кромок, приводящее к значительному окружному изгибу. Траектории движения панелей с различными углами раствора (рис.4.5 ; 7 =2; %=I00; Sa = 2 Ю оГ ) близки друг к другу. Сопоставление критических нагрузок для квазистатического случая (рис. 4.6) и случая, представленного выше на рис. 4.5, показывает, что, несмотря на высокую ( g2 = 2 10 с"1) скорость нагружения, критическое давление остается на уровне квазистатических значений. Немонотонный характер зависимости ( $) здесь сохраняется, однако размах кривой уменьшен: Т -- (0,3 + 0,5)
Вследствие податливости конструкции формы ее окружного изгиба хотя и не повторяют случай статического нагружения, но все же более разнообразны,чем для замкнутой оболочки. Серия форм начального изгиба ( = 0Д- ) и развитых ( f = 0,9 ) форм приведена на рис. 4.7. С увеличением скорости нарастания нагрузки немонотонность зависимости 1?( ф уменьшается, и при высокоскоростном яагружении (как и в случае полосового приложения нагрузки к замкнутой оболочке) отмечается практическая независимость величины критической нагрузки от ширины панели. Однако уровень критических нагрузок снижен по сравнению с замкнутой оболочкой вследствие малой жесткости системы.
Случай закрепления, когда продольные кромки шарнирно под относится к слабому закреплению, стеснение деформации невелико. Однако заметно выражена нелинейность докритического поведения панели. Максимальные прогибы развиваются в центре панели. Характер деформирования, как и в случае свободных продольных кромок, монотонный. В квазистатическом случае нагружения панели с шарнирно подвижными продольными кромками критические нагрузки лежат в диапазоне (0,35-Ю,8)- ап . По мере увеличения скорости нагружения повышаются уровни критических нагрузок (рис.4.8Х однако сохраняется тенденция к: монотонности зависимости Z ((Sj), осцилляция сглаживается. При высокоскоростном нагружении критические нагрузки для панелей, у которых продольные кромки шарнирно подвижны, остаются практически одинаковыми для различных углов раствора панели, однако уровень их по сравнению с замкнутыми оболочками снижен и составляет « 0,4СЬ
