Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Методы моделирования и восстановления поверхностей 11
1.1 Анализ методов 11
1.2 Разработка и анализ метода сеток для задания точечного базиса поверхности 14
1.3 Анализ методов моделирования поверхностей с использованием полиномов 29
1.4 Сотовая сетка и ее параметры 34
1.5 Метод описания границ восстановления поверхностей 36
1.6 Декомпозиционные и вариационные методы моделирования поверхностей 42
1.7 Анализ точности восстановления поверхности 48
Глава 2 Анализ геометрической модели измерения поверхностей сложной формы 49
2.1 Виды координатно-измерительных машин, их возможности и ограничения, накладываемые принципом их действия 49
2.2 Выбор системы координат заготовки и ее связь с системами координат детали и ким 57
2.3 Особенности измерения заготовок и деталей, имеющих поверхности вращения 67
Глава 3 Расчет точности восстановления поверхностей 72
3.1 Постановка задачи численного эксперимента 72
3.2 Критерий точности для оценки результатов численного эксперимента 74
3.3 Обоснование выбора тестовой поверхности 82
3.4 Выбор участка тестовой поверхности и ее параметров 86
3.5 Зависимость точности восстановления поверхности от количества узлов сетки 87
3.6 Изменение геометрических параметров тестовой поверхности 90
3.7 Учет отклонений тестовой поверхности от ее математической модели и учет погрешностей измерения 92
3.8 Проверка гипотезы для модифицированной тестовой поверхности 98
3.9 Проверка гипотезы для других поверхностей 106
Заключение 111
Список литературы 111
- Разработка и анализ метода сеток для задания точечного базиса поверхности
- Декомпозиционные и вариационные методы моделирования поверхностей
- Выбор системы координат заготовки и ее связь с системами координат детали и ким
- Зависимость точности восстановления поверхности от количества узлов сетки
Введение к работе
Актуальность темы
Одним из перспективных путей развития современного машиностроения является реализация сквозного проектирования, изготовления и контроля изделий с помощью автоматизированных систем класса CAD/CAM/CAE. Такие системы обеспечивают значительное сокращение сроков выполнения работ, повышение их качества и конкурентоспособности. Возможность интеграции применяемых программных продуктов в одну информационную среду позволяет быстро вносить изменения при проектировании, конструировании, изготовлении, контроле и испытаниях продукции. Результаты обмера являются также основой для изготовления деталей такими методами быстрого прототипирования, как стереолитография, объемная печать и др.
Для измерения деталей сложной формы применяются координатно-измерительные машины. Контроль таких деталей, как лопатки компрессоров и турбин, целесообразно проводить на лазерных измерительных машинах. По принципу действия они представляют собой трехмерные сканеры, а результатом измерения является набор отсканированных фрагментов, например, сечений профиля пера лопаток.
Возможности современной координатно-измерительной и
вычислительной техники позволяют получить при обмере деталей координаты тысяч точек. Однако анализ результатов измерений по этим точкам нередко выявляет как наличие избыточной информации, так и недостаток сведений о важных элементах геометрии изделия. Такое положение особенно характерно при проведении обмеров с помощью лазерных систем, что вызвано ограничениями, связанными с применяемыми методами измерения и расчета.
5 Существующие методы обработки результатов обмера поверхности
имеют свои области применения, ограниченные действием различных
факторов, связанных не только со свойствами измеряемых поверхностей и
средств измерения, но и с уровнем привлечения современных достижений
прикладной геометрии для комплексного решения задач сквозного
проектирования и контроля деталей.
Своя специфика свойственна и обмеру в процессе контроля изготавливаемых деталей, ограниченных поверхностями сложной формы. Большинство исследований посвящено решению задачи восстановления формы поверхностей, координаты точек которых неизвестны. При этом вне поля зрения исследователей зачастую остаются проблемы, возникающие при восстановлении поверхностей по результатам обмера вновь изготавливаемых деталей и их заготовок.
Так, в обзоре [120] приводится описание принципа действия лазерных систем, методов восстановления поверхностей по координатам измеренных точек и порядка их обработки, но отмечается малое количество теоретических работ в данной области.
Значительная часть вопросов, возникающих при геометрическом моделировании задач восстановления обмеренных поверхностей, связана с повышением их точности с учетом экономии вычислительных ресурсов. В настоящее время повышаются требования к поверхностям сложных деталей, в том числе таких, как лопатки компрессоров и турбин авиадвигателей, а на промышленных предприятиях внедряются современные координатно-измерительные машины. Обмер деталей путем сканирования широко применяется на практике в современном производстве. Именно поэтому совершенствование методов решения задач восстановления поверхностей является актуальным.
Объектом исследования является процесс формирования поверхности по точечному базису, полученному при ее обмере, с обеспечением максимальной точности в условиях ограниченного количества исходных точек.
Предметом исследования является обоснование вида и формы оптимальной расстановки абсцисс и ординат точек, используемых для формирования точечного базиса при восстановлении поверхностей.
Цель работы и задачи исследования
Цель диссертационных исследований состоит в разработке метода, методик и алгоритмов измерения, обработки результатов сканирования и анализа геометрических параметров сложных технических поверхностей.
Поставленная цель достигается решением следующих теоретических и прикладных задач:
Провести геометрический анализ результатов измерения деталей сложной формы и их заготовок, имеющих малые припуски.
Провести анализ существующих методов обработки результатов измерений и выявить области их применения, а также связанные с ними ограничения.
Синтезировать метод обмера деталей на лазерных координатно-измерительных машинах с повышением точности последующего восстановления их поверхностей.
Разработать методику оценки точности восстановления поверхностей по результатам обмера деталей, содержащих эти поверхности.
Разработать рекомендации для промышленности по проведению обмера и обработке полученных результатов для деталей сложной формы.
7 Методы исследования
Для решения поставленных задач в исследовании использовалась
совокупность методов: теоретических, эмпирических и математических.
Теоретико- методологической базой настоящего исследования являются труды
исследователей по проблемам прикладной и аналитической геометрии,
символьной алгебры, методам геометрического и имитационного
моделирования, компьютерной графики, принципам и методам
математической статистики и других смежных наук.
Научная новизна
В процессе решения поставленных задач получены следующие новые
^ научные результаты:
Разработана модель сотовой сетки и метод определения координат произвольной точки поверхности по координатам узловых точек сетки.
Предложен способ описания границ поверхностей, заданных точечным базисом на сотовой сетке.
Выдвинута и подтверждена гипотеза о точности восстановления поверхностей, представленных дискретным каркасом и точечным базисом, на сотовой и прямоугольной сетках.
Разработана модель лазерной координатно-измерительной машины, имитирующая получение точечного базиса при обмере поверхностей, с целью проверки выдвинутой гипотезы.
5. Осуществлена постановка задачи численного эксперимента по проверке
і. гипотезы: выбрана область задания сравниваемых поверхностей,
определено расположение их узловых точек, назначен метод расчета, применяемый для восстановления поверхностей.
Ч*
6. Предложен общий критерий оценки точности восстановления поверхностей
* по различным видам сеток.
Дано обоснование выбора тестовой поверхности для проведения численного эксперимента.
Выявлено влияние на точность восстановления поверхности таких факторов, как:
изменение параметров сетки;
изменение параметров тестовой поверхности;
-> погрешности изготовления, приводящие к отклонению тестовой
поверхности от ее математической модели;
погрешности измерения;
9. Определены направления дальнейших исследований по развитию
^ результатов, полученных в данной работе.
* Практическая значимость
Среди прикладных проблем использования компьютерной техники большое
значение отводится теоретическим и экспериментальным предпосылкам
построения на их базе промышленных систем измерения. Целью создания
таких систем является получение и обработка информации для контроля
качества измеряемых деталей на предмет соответствия измеряемых
поверхностей их теоретическим моделям. Особенно остро эта задача стоит
применительно к изделиям, содержащим поверхности сложной формы. Такие
поверхности обычно имеют место в изделиях базовых отраслей
промышленности, а именно машино- и приборостроения, в особенности, их
*> высокотехнологичных областей, одной из которых является
авиадвигателестроение. Одной из задач, решаемых при этом, является
построение методики измерения деталей сложной формы, обработки и анализа
^ результатов измерения. Повышение точности восстановления поверхностей
позволяет провести оптимизацию величины и распределения припуска по
^ обрабатываемым поверхностям.
Практическая значимость результатов данной работы, базирующихся на использовании сотовой сетки, заключается в том, что разработанные метод, методики и алгоритмы могут быть использованы при проведении обмеров и восстановления поверхностей деталей сложной формы с повышенной точностью. Это позволит снизить припуски, а вместе с ними — массу и материалоемкость сложных деталей. Кроме того, открывается возможность принимать решения о годности заготовок в случаях, когда ранее это было невозможно ввиду влияния погрешности восстановления их поверхностей.
Апробация и публикации
(% Основные положения диссертации заслушаны, обсуждены и одобрены:
на заседании секции «Начертательная геометрия графика и САПР» при Доме ученых им. М. Горького РАН (Санкт-Петербург, 20 апреля 2004 г.) — доклад «Применение метода сеток для восстановления дискретно заданных поверхностей по результатам их измерения».
на первой научно-технической конференции «Климовские чтения -2004» (Санкт-Петербург, ФГУП «Завод имени В.Я.Климова» -дочернее предприятие ФГУП «РСК «МиГ» 20-21 сентября 2004 г.).
на аспирантском семинаре кафедры прикладной геометрии Московского авиационного института (Государственного технического университета) 7 апреля 2005 г.
По теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований, еще 2 научные работы приняты к публикации.
10 Результаты, выносимые на защиту:
принцип аппроксимации поверхности, точечный базис которой представлен в виде сетки, имеющей ячейки шестиугольной формы (сотовой);
представление исходного точечного базиса поверхности в виде сотовой сетки;
метод описания границ поверхностей, восстанавливаемых с помощью сетки такого типа;
методика проведения численного эксперимента и критерий оценки точности аппроксимации поверхности с помощью сеток различных типов;
исследование влияния изменения количества узлов сетки и параметров измеряемой поверхности на точность ее восстановления.
Реализация результатов работы
Результаты работы использованы при проведении обмера поверхностей деталей сложной формы и их оптимальной аппроксимации на Федеральном государственном унитарном предприятии «Завод имени В.Я.Климова» -дочернем предприятии ФГУП «РСК «МиГ». Внедрен принцип обмера на координатно-измерительных машинах (КИМ) с измерением координат в узловых точках сотовой сетки и восстановлением по ним координат измеряемых поверхностей.
Объем и структура диссертации.
Диссертация изложена на 124 стр. машинописного текста и состоит из введения, 3 глав, выводов, списка литературы. Работа иллюстрирована 11 таблицами и 42 рисунками. Указатель литературы содержит 91 отечественный и 30 иностранных источников. Приложение к диссертации изложено на 24 стр. машинописного текста, иллюстрировано 2 таблицами и 3 рисунками.
Разработка и анализ метода сеток для задания точечного базиса поверхности
При моделировании поверхности сетку можно рассматривать как каркас, натянутый на ее точечный базис. Пересечение каркасных линий дает, в общем случае, ячейки треугольной и четырехугольной формы [61]. Для различных способов построения сеток характерны и различные виды составляющих их элементов. Именно аппроксимация описывающей поверхность искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных путем интерполяции в некоторых точках области— узлах, и составляет сущность метода сеток. Совокупность узлов, соединенных определенным методом, образует сетку, которая, в свою очередь, и является дискретной моделью области определения искомой функции.
Однако, для построения сеток годится не всякое расположение узлов. В частности, в одномерном случае узлы не должны совпадать, в двумерном — не лежать на одной прямой, а при интерполяции многочленом требуется, чтобы узлы не лежали на кривой второго порядка [39]. Такие условия, в общем случае, весьма сложны для проверки. Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Узлы из нее следует выбирать определенным образом.
Самой распространенной и одной из самых простых является сетка с ячейками прямоугольной формы.
На прямоугольной равномерной сетке можно проводить последовательную интерполяцию [39], выбрав прямоугольник из к-т узлов, в который попадает искомая точка, и провести лагранжеву интерполяцию сначала по строкам, а затем по столбцам. Тогда, зная значения функции в узлах Zij=z(Xi, yj), можно аппроксимировать ее по следующей формуле, аналогичной одномерной формуле Лагранжа: Метод прост в реализации на ЭВМ и требует минимальных затрат памяти.
Однако последовательная интерполяция приводит к необходимости использования интерполирующих многочленов высокой степени. Поэтому, хотя теоретически по каждой переменной можно брать свое число узлов, в машиностроительных САПР обычно используют схему, в которой каждая ячейка образована всего лишь четырьмя узловыми точками. Восстановление производят по этим точкам, считая их соединенными отрезками прямых. Билинейная поверхность, восстановленная для каждой ячейки, в этом случае представляет собой косую плоскость (гиперболический параболоид) и описывается квадратичным многочленом вида:
Вырожденная билинейная поверхность, заданная тремя узлами, принимает плоскую форму. Треугольной интерполяции соответствует многочлен минимальной степени. Подробный анализ методов упрощения сетки, состоящей из треугольных элементов, приведен в [121].
Модификация сетки предусматривает следующие этапы: удаление вершин, граней или треугольников; образование групп (кластеризация) вершин; выделение компланарных областей вершин; построение новой сетки по редуцированным исходным данным с использованием различных алгоритмов, как традиционных, так и предлагаемых различными авторами.
Для представления поверхностей часто оказывается удобным воспользоваться триангуляцией (рис. 1.1).
Пусть F — компактная поверхность. Топологическим треугольником Т называется часть поверхности F, для которой установлен гомеоморфизм (р: А—+Т. Образы сторон треугольника А называются сторонами треугольника Т, а образы вершин — его вершинами. Конечный набор треугольников Th... Тк на компактной поверхности F образует ее триангуляцию, если выполнены следующие условия [5]: 1) треугольники Тъ... Тк покрывают поверхность F. 2.) пересечение любых двух треугольников пусто или является их общей вершиной или стороной.
Разбивка поверхности на выпуклые треугольники и составляет сущность построения триангуляционной сетки или триангуляции Делоне [29]. Этот метод является традиционным [86], [50]. Если поверхность задана точечным базисом, для ее восстановления часто производят построение триангуляционной сетки, пример которой показан на рис. 1.2 (носовая часть фюзеляжа самолета).
Существует множество различных алгоритмов триангуляции. Так, в [ПО], [121] описано применение сетки Делоне для построения ее по редуцированным данным. Здесь из первоначально построенной сетки выделяются группы треугольных элементов. В качестве критериев выбора группы используют величины углов треугольника (из двух возможных треугольников, которые можно построить по четырем точкам — вершинам, выбирается треугольник, более близкий к равностороннему), количество (в процентах) редуцированных треугольников, а также допустимый размер треугольников.
Декомпозиционные и вариационные методы моделирования поверхностей
Теория моделирования поверхностей при проектировании деталей турбин, а также такого технологического оснащения как штампы и других машиностроительных деталей сложной формы, в частности, в автомобилестроении, развивается в двух конкурирующих направлениях. Оба из них имеют право на существование [73]. Первое связано с моделированием поверхностей крупными аналитическими участками, второе — с максимальным упрощением моделирующих функций и аппарата. их построения.
В развитии прикладной геометрии поверхностей таких деталей большой вклад внесли ученые школы, сформировавшейся в МАИ: И.И. Котов [43], [44], A.M. Тевлин [79], [80], В.А.Бусыгин, К.М. Наджаров [60], Г.С. Иванов [38], А.Д. Тузов [30], В.А. Зубков [37], В.И. Якунин [89], [90], [91] и др.
Восстановление измеренных поверхностей по предварительно обработанному массиву точек предполагает выделение (декомпозицию) участков поверхностей, их аппроксимацию с помощью поверхностей-примитивов, например, плоскостей, цилиндров, конусов, сфер с дальнейшим анализом и группировкой. Именно решению этой задачи и посвящено большинство публикаций [116], [92]. Декомпозиционные методы упрощают вычислительный аппарат, но приводят к кусочно-аналитическим моделям.
Поверхность разбивается при- этом на множество фрагментов с разными аналитическими описаниями.
Вариационные методы позволяют представить достаточно большую часть поверхности одним уравнением в виде полинома высокой степени. Основоположником такого подхода является И.И. Котов [42], [45]. Его идеи легли также в основу работ Е.А. Стародетко [72], [73].
Аналитические модели являются самыми компактными и представлены различными видами уравнений (алгебраическими, дифференциальными, трансцендентными и др.).
Некоторые частные случаи таких поверхностей изучены, а их свойства описаны. Еще в 1826 г. Н.Х. Абель показал неразрешимость уравнений, начиная с пятого порядка, в радикалах, следовательно, для моделирования следует использовать поверхности третьего и четвертого порядков. Так, классификация сингулярных кубических поверхностей была сделана Л. Шлефли и А. Кэли [46], [100], [101]. Позже эта классификация была пересмотрена, с точки зрения современной теории сингулярности, Брюсом и Уоллом. Геометрия сингулярных кубических поверхностей была подробно исследована Г. Салмоном с алгебраической точки зрения, а Р. Штурмом и С. Джуэлом — с геометрической точки зрения. Были изучены также некоторые классы поверхностей четвертого порядка: поверхности Я. Штейнера, Э. Гурса и другие. Одна из поверхностей 4-го порядка, которая наиболее изучена,— классический тор. Среди современных работ, анализирующих свойства поверхностей, описываемых алгебраическими уравнениями высшего порядка, являются труды научной школы д.т.н., профессора В.М.Дегтярева [48], [99], [100], [101]. На текущий момент всеобъемлющей классификации поверхностей выше второго порядка не существует, но в работах представителей этой школы приведены частичная классификация и библиотека таких поверхностей [46], [47].
Последовательность заполнения библиотеки построена по принципу возрастания порядка поверхностей neN от первого до высших. В библиотеке представлены уравнения поверхностей (конкретные значения коэффициентов уравнений), относительные центры симметрии которых помещены в начало системы координат. Дан пример заполнения таблицы для поверхности первого порядка (плоскости) и приведены алгебраические уравнения по четвертый порядок включительно. В библиотеке используются записи всех коэффициентов алгебраических уравнений общего вида, где для каждого п соответствует определенная последовательность записи т (целое число) коэффициентов уравнения.
Порядок определяется лексикографической формой записи последовательности коэффициентов в алгебраическом уравнении [99]. Возрастание номеров коэффициентов идет в записи справа налево от нуля по мере возрастания порядка уравнения. Коэффициенты имеют вещественные знаковые значения в десятичной форме представления чисел. Уравнения низших порядков включены в уравнения высших порядков.
Многообразию значений коэффициентов алгебраического уравнения, которое определяет геометрическую форму поверхности, ее масштабирование, ориентацию и размещение в пространственной системе координат, соответствуют типы и виды алгебраических поверхностей.
Тип поверхности определен условиями, при которых численные значения коэффициентов уравнения определяют ее неповторимую геометрическую форму.
Выбор системы координат заготовки и ее связь с системами координат детали и ким
При обмере заготовки заданной детали по сечениям, анализе и использовании полученных результатов возникают проблемы, связанные с тем, что: измеряемая заготовка в процессе обработки содержит припуски и не может быть получена из математической модели детали эквидистантным добавлением припуска по всем поверхностям; припуски в каждом сечении заготовки разные и не являются эквидистантными; чертежи детали содержат допуски на смещение и разворот сечений друг относительно друга, и требуется определить возможность получения детали из данной заготовки с учетом этих допусков; по условиям обработки желательно производить снятие припусков неравномерно, и при оптимизации обработки следует учесть эту неравномерность по технологическим критериям.
Например, выпуклую поверхность («спинку» лопатки) обрабатывать легче, чем вогнутую («корыто»), поэтому предпочтительней снимать припуск именно со спинки, обеспечив, разумеется, все конструктивные технические требования.
С технологическими аспектами производства тесно связана и задача определения оптимального положения заготовки относительно детали, обрабатываемой из этой заготовки [75]. Чем больше допускаемые погрешности установки, тем большие припуски закладываются на механическую обработку, что, в свою очередь, ведет к увеличению затрат труда и материалов. Это порождает проблему создания формализованных процедур установки и ее составляющей части — базирования заготовки с минимальными погрешностями.
Последняя включает два аспекта проблемы базирования [23]: 1) нахождение «требуемого положения» для каждой конкретной заготовки, т. е. определение в выбранной системе координат положения, в которое ее необходимо привести в процессе базирования; 2) собственно базирование, т. е. процесс непосредственного приведения заготовки в уже найденное «требуемое положение».
Второй аспект проблемы тесно связан с конкретными условиями производства, с размерами, весом и формой заготовки. В настоящее время существует множество разработок, направленных на создание различного рода приспособлений для базирования в наиболее типичных ситуациях. Меньше внимания уделено задаче, связанной с определением «индивидуального требуемого» положения каждой конкретной заготовки, что предполагает построение сложных математических моделей распределения припуска, представленных в виде некоторых оптимизационных задач с негладкими целевыми функциями [75], [78].
Особенно ответственной и трудной она является при моделировании процесса базирования применительно к первой механической обработке, когда приходится вести установку заготовок по «черным» базам, при отсутствии обработанных поверхностей и при наличии значительных отклонений формы и расположения.
Существующие до недавнего времени рекомендации по выбору технологических баз, определяющих положение заготовки и позволяющие добиться при этом наименьшей погрешности, основаны на использовании профессионального опыта и интуиции специалиста и трудно формализуемы.
Необходимость исследования указанной проблемы возникла с появлением деталей сложной формы, например, деталей, образующих проточные части в турбостроении, а также таких изделий атомного машиностроения, как корпуса реакторов, парогенераторов, крупногабаритные эллиптические днища и крышки и т. д., а также измерительной аппаратуры и устройств, позволяющих проводить координатные измерения непосредственно на рабочем месте.
Проблема базирования для механической обработки теснейшим образом переплетается с проблемой распределения припуска по обрабатываемым поверхностям конкретной заготовки. Не менее тесная связь существует и между проблемой контроля геометрии черновых поверхностей заготовки, подлежащих обработке (или формы заготовки в целом), и предполагаемым распределением припуска посредством ее базирования. Использование для анализа черновых поверхностей заготовки традиционных методов на основе базовых поверхностей (средних или прилегающих), рекомендуемых нормативными документами [24], не всегда позволяет правильно ответить на вопрос о том, можно ли из заготовки после механической обработки получить деталь требуемых размеров, и может случиться так, что годная для обработки заготовка будет объявлена бракованной. Это объясняется тем, что при разработке большинства рекомендаций по использованию различных базовых поверхностей не учитывались специфические особенности контроля геометрии поверхностей заготовок, подлежащих обработке. В свою очередь, контроль не может быть эффективным без учета предполагаемого распределения припуска.
Таким образом, при механической обработке заготовок проблемы базирования, распределения припуска и предварительного контроля их формы для определения годности необходимо рассматривать в комплексе как единую технологическую проблему, главной составляющей которой является распределение припуска по обрабатываемым поверхностям для каждой конкретной заготовки.
Фактически припуск — переменная величина [40], [10], обладающая случайной природой. Учитывая это, Сысоевым Ю.С. [75] предлагается перевести известные понятия, связанные с припуском, в плоскость функциональных зависимостей, а также ввести новые понятия, что, с одной стороны, дает возможность формализовать задачу априорного распределения припуска и устранить разночтения при использовании этого важного определения, а с другой, приводит к новым подходам как в теории базирования, так и при рассмотрении метрологических аспектов контроля не только геометрии поверхностей заготовок, но и формы заготовок в целом.
Для приближенного вычисления значений целевой функции в оптимизационной задаче используют традиционно применяемый при координатных измерениях способ дискретизации поверхности. Например, вместо поверхности предлагается использовать некоторую ее конечную є-сеть [41].
Зависимость точности восстановления поверхности от количества узлов сетки
В ходе работы исследовано влияние изменения геометрических параметров тора на точность восстановления поверхности путем варьирования радиусов вращения центра эллипса R и полуосей а, Ъ. Значения критериев точности для тестовых поверхностей сведены в таблицу 2. Из приведенных данных следует, что с уменьшением кривизны точность увеличивается, а с ее увеличением— точность уменьшается для обоих видов сетки. В то же время, соотношение между порядком погрешности для каждого вида сетки остается практически неизменным.
Характер поверхностей и величины отклонения аппроксимированных поверхностей от тестовых для характерных случаев приведены на рисунках 3.7 и 3.8, откуда видно, что точность восстановления более чувствительна к изменениям размера а, чем R. Следовательно, близость области определения к центру эллипса оказывает меньшее влияние на точность, чем размер полуоси эллипса, лежащей в горизонтальной плоскости. При этом точность восстановления не зависит от размера второй полуоси эллипса Ъ при конечном соотношении —, которое соответствует реальным деталям и было а смоделировано в ходе численного эксперимента. Это становится очевидным, если переписать формулу для описания участка тестовой поверхности в виде
В рамках исследования изучалось и влияние погрешности измерения на точность восстановления поверхности. Для этого к значению функции, описывающей поверхность, добавлялась случайная составляющая, распределенная по нормальному закону. В условиях данного эксперимента принята случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией а= 0.01. На рис. 3.9 условно показано изменение вида восстановленной поверхности в этом случае.
Характерно, что для той же области и того же тора (с радиусом вращения центра эллипса, равным 0,5 и полуосями эллипса 0,4 и 0.2) получены результаты, мало отличающиеся от восстановления поверхности без учета погрешности. Практически не изменился и характер отклонений. Эксперимент включал в себя восстановление 20 поверхностей, различающихся случайной составляющей, и их обработку.
Сравнение результатов со средними значениями принятого критерия, полученными в ходе восстановления этих поверхностей, моделирует погрешность измерения, а сравнение со средним значением критерия для математической модели поверхности без отклонений моделирует тестовую поверхность, имеющую погрешность изготовления (отклонения от математической модели). Расчет проводился для критериев S nS (табл. 3).
