Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор исследований в области геометрического и компьютерного моделирования формообразования технических поверхностей. определение цели и постановка задач исследований 20
1.1 Основные задачи моделирования формообразования линий и поверхностей 20
1.2 Методы моделирования дискриминанты семейства линий и поверхностей 22
Глава 2. Особенности отображения поверхности на плоскость при ее ортогональном проецировании 43
2.1 Отображение ортогональным проецированием двумерной поверхности, заданной уравнением в неявном виде .44
2.2 Отображение ортогональным проецированием двумерной поверхности, заданной параметрическими уравнениями 54
Глава 3. Вспомогательные поверхности при моделировании формообразования технических поверхностей средствами компьютерной графики 112
3.1 Поверхности, образованные семейством кривых, связанных с окружностью, катящейся по прямой линии .113
3.2 Поверхности, образованные семейством кривых, связанных с окружностью, катящейся по другой окружности 133
Глава 4. Компьютерное твердотельное моделирование изделий с периодическими профилями 164
4.1 Твердотельное моделирование формообразования изделия рейкой .167
4.2 Твердотельное моделирование формообразования цилиндрического изделия с периодическими профилями 178
Глава 5. Геометрическое и компьютерное твердотельное моделирование формообразования поверхностей класса винтовых 205
5.1 Создание твердотельной модели формообразующего элемента с поверхностью класса винтовых 205
5.2 Моделирование сопряженных винтовой поверхности и поверхности вращения 209
Глава 6. Геометрическое и компьютерное моделирование формообразования винтовых поверхностей с точечным касанием аналитическими и численными методами .239
6.1 Аналитическое и численное формообразование цилиндрической поверхности 239
6.2 Аналитическое формообразование винтовой поверхности 247
Глава 7. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей .255
7.1 Геометрическое моделирование сложнофасонного объема припуска .257
7.2 Компьютерное твердотельное моделирование сложнофасонного объема припуска .263
Основные результаты диссертационного исследования и выводы 275
Заключение .276
Список литературы 278
Список иллюстративного материала 302
Список сокращений 313
Приложения 314
- Методы моделирования дискриминанты семейства линий и поверхностей
- Отображение ортогональным проецированием двумерной поверхности, заданной параметрическими уравнениями
- Поверхности, образованные семейством кривых, связанных с окружностью, катящейся по другой окружности
- Твердотельное моделирование формообразования цилиндрического изделия с периодическими профилями
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Процесс формообразования технических поверхностей представляет собой взаимодействие инструмента (формообразующего элемента) и детали (формообразуемого элемента или заготовки) в их относительных движениях. При моделировании процесса формообразования в качестве модели получаемой поверхности может служить дискриминанта (в состав которой входит огибающая) семейства, образованного движением поверхности формообразующего элемента относительно заготовки.
Из теории сопряженных поверхностей известно, что поверхность заготовки, после ее обработки формообразующим элементом, будет состоять только из огибающей семейства поверхностей при выполнении определенных условий. Однако огибающая семейства поверхностей не всегда совпадает с реальной поверхностью, полученной после ее обработки. Это может быть связано с наличием подрезов, переходных кривых на отдельных участках профиля или по каким-либо иным причинам. Поэтому наряду с разработкой математической модели огибающей, в процессе формообразования целесообразно установление модели реальной поверхности - обволакивающей. Для получения моделей огибающей и обволакивающей используются различные группы методов, не имеющих единой методологии их формообразования.
Производство изделий в ряде отраслей машиностроения связано с технологическими процессами формообразования геометрически сложных рабочих поверхностей деталей. К таким деталям относятся шнеки, роторы винтовых насосов, зубчатые колеса, инструменты бурильных установок, рабочие колеса турбин, компрессоров и насосов, крыльчатки вентиляторов и компрессоров, металлорежущий инструмент и множество других деталей. Назначение условий размерной обработки таких деталей вызывает необходимость решения множества технологических и конструкторских задач, связанных с геометрическим положением обрабатываемых поверхностей, формообразующих инструментов и их взаимного перемещения. При этом важная роль отводится исследованию геометрии формообразования при проектировании режущего инструмента.
Усовершенствование металлорежущих инструментов, интенсивное развитие систем их автоматизированного проектирования требует дальнейшего развития методов формообразования сопряженных поверхностей. Все это обуславливает необходимость разработки единой методологии исследования процессов формообразования технических поверхностей, использующей
4 аналитические, численные методы, а также методы, связанные с применением геометрического и компьютерного моделирования.
Из анализа поставленной проблемы следуют объект и предмет исследования.
Объектом диссертационного исследования является геометрическое и компьютерное моделирование формообразования поверхностей и тел.
Предметом диссертационного исследования является математический аппарат и методология геометрического и компьютерного полигонального и твердотельного моделирования формообразования технических поверхностей.
Цель и задачи диссертационного исследования. Цель - разработка теоретических основ методологии геометрического и компьютерного моделирования формообразования технических поверхностей.
Достижение цели исследования требует решения следующих теоретических и прикладных задач:
исследовать криминанту и дискриминанту двумерной поверхности и трехмерной гиперповерхности при их ортогональном отображении на координатную плоскость (гиперплоскость); по результатам исследования установить новые геометрические закономерности в расположении точек криминант поверхностей (гиперповерхностей) относительно координатных плоскостей (гиперплоскостей), содержащих координатную ось, задающую направление проецирования;
получить математические модели огибающих семейств конгруэнтных линий и поверхностей для различных способов их задания на основе установленных новых закономерностей;
обобщить методы геометрического моделирования взаимоогибаемых поверхностей, не требующие получения уравнения связи параметров, на основе установленных закономерностей;
разработать геометрические модели новых вспомогательных поверхностей и провести исследование их отображений на координатную плоскость; разработать методологию полигонального компьютерного моделирования этих поверхностей;
разработать алгоритмы компьютерного твердотельного моделирования удаляемых слоев припуска при формообразовании тел с получением их количественных параметров и качественных характеристик;
разработать алгоритмы и на их основе прикладные программы геометрического и компьютерного твердотельного имитационного моделирования формообразования поверхностей класса винтовых; показать,
5 что получаемые модели позволят выявить возможные отклонения их от пробного экземпляра по технологическим причинам;
обосновать применение разработанной методологии для моделирования
формообразования сложных технических поверхностей, позволяющей
повысить технико-экономическую эффективность изготовления изделий.
Научная новизна работы состоит в том что:
доказаны необходимые и достаточные условия существования криминанты и дискриминанты двумерной поверхности и трехмерной гиперповерхности при их ортогональном отображении на координатную плоскость (гиперплоскость), что позволило установить новые геометрические закономерности в расположении точек криминанты; полученные результаты использованы для разработки основ методологии геометрического и компьютерного моделирования формообразования технических поверхностей с единых позиций;
получены математические модели огибающих семейств конгруэнтных линий и поверхностей на основе установленных новых геометрических закономерностей;
обобщены методы геометрического моделирования взаимоогибаемых поверхностей, не требующие получения уравнения связи параметров поверхности и семейства, на основе установленных геометрических закономерностей формообразования;
получены геометрические модели новых вспомогательных поверхностей на основе отображения конгруэнтных линий и поверхностей в пространство размерности на единицу большей, чем размерность пространства, в котором заданы эти многообразия; в таком отображении каждая кривая семейства размещается на слое, соответствующем значению параметра семейства;
разработана методология полигонального компьютерного моделирования вспомогательных поверхностей, позволяющая исследовать влияние параметров установки формообразующего элемента относительно заготовки на форму искомого профиля;
разработаны алгоритмы твердотельного моделирования формообразования деталей с периодическими профилями, обрабатываемых по методу огибания, и поверхностей класса винтовых. Эти алгоритмы позволяют решать прямую и обратную задачи формообразования с возможностью выполнения редактирования получаемых моделей;
разработаны алгоритмы моделирования удаляемых слоев припуска в
процессе формообразования с получением количественных параметров и
качественных характеристик; результаты моделирования позволяют назначать
оптимальные параметры подачи и количества проходов.
Теоретическая и практическая значимость. В ходе проведенного анализа известных работ были выявлены три основные объекта формообразования - дискриминанта, обволакивающая поверхность и срезаемые слои, которые необходимы при решении задач моделирования формообразования технических поверхностей. Проведенные исследования криминанты двух и трехмерных поверхностей позволили получить новые результаты, на основе которых разработана единая методология геометрического и компьютерного моделирования объектов формообразования, использующая графоаналитические, аналитические и численные методы анализа основных объектов формообразования, а также возможности современной компьютерной графики.
Полученные вспомогательные поверхности эффективны при исследовании влияния параметров установки формообразующего элемента относительно заготовки на форму искомого профиля применительно к моделированию изделий с периодическими профилями.
Практическая значимость заключается в применениях теоретических результатов, полученных при моделировании формообразования поверхностей средствами компьютерной графики, а именно:
обобщены алгоритмы геометрического моделирования взаимоогибаемых поверхностей с использованием численных методов, не требующие получения уравнения связи параметров поверхности и семейства, на основе исследования новых геометрических закономерностей формообразования;
созданы полигональные модели новых геометрических объектов -вспомогательных поверхностей, позволяющие исследовать влияние параметров установки формообразующего элемента относительно заготовки на форму искомого профиля, при этом модели имеют и аналитическую реализацию;
разработаны алгоритмы компьютерного твердотельного моделирования процессов формообразования, позволяющие получать обволакивающую (реальную) поверхность обрабатываемого изделия;
разработаны алгоритмы компьютерного твердотельного моделирования удаляемых слоев припуска в процессе формообразования тел с получением
7 количественных параметров и качественных характеристик, что позволяет назначать оптимальные параметры подачи и количество проходов;
разработанные алгоритмы моделирования формообразования реализованы в среде AutoCAD с использованием языков программирования AutoLISP, DCL (Dialog Control Language).
Основные технические решения защищены авторскими свидетельствами СССР на изобретения, а разработанные программные продукты зарегистрированы во ВНТИЦ Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки Российской Федерации.
Результаты теоретических исследований диссертационной работы внедрены или приняты к внедрению в виде методических материалов, содержащих алгоритмы и программы профилирования реечного, дискового и червячного инструментов, на предприятиях г. Омска: ПО «Полет» филиала ФГУП «ГКНПЦ им. М. В. Хруничева»; «НПЦ газотурбостроения «Салют» (филиал «ОМО им. П. И. Баранова» ФГУП «НПЦ газотурбостроения «Салют»), ОАО «Сибирские приборы и системы».
Результаты научных исследований внедрены в учебный процесс при чтении лекций и проведении практических занятий на факультете повышения квалификации при Омском государственном техническом университете для преподавателей высших учебных заведений г. Омска и линейных вузов Российской Федерации.
Достоверность результатов. В качестве основного в диссертационной работе принят метод геометрического и компьютерного моделирования формообразования поверхностей, основанный на установленных дифференциальных свойствах особенностей отображения ортогональным проецированием двумерных поверхностей и трехмерных гиперповерхностей на координатную плоскость (гиперплоскость). Основу методологии исследования этих свойств составили: методы аналитической геометрии плоскости и пространства (труды П.С. Александрова, М.М. Постникова, А.В. Погорелова, В.А. Ильина), методы дифференциальной геометрии плоскости и пространства (труды П.К. Рашевского, СП. Финикова, А.В. Погорелова, В. Бляшке), теория огибающих (труды В.А. Залгаллера и других ученых), теория особенностей дифференцируемых отображений (труды В.И. Арнольда и его учеников, Н. Whitney, R. Thorn), методы кинематической геометрии плоскости и пространства (труды Я. Л Геронимуса, А. П. Котельникова, А. Ф. Николаева). Для реализации разработанных алгоритмов использованы современные CAD-
8 системы, выполняющие полигональное и твердотельное моделирование, и адаптированные для них языки программирования.
Проведенные исследования криминанты двумерной поверхности и трехмерной гиперповерхности позволили получить новые результаты, достоверность которых иллюстрируется многочисленными примерами как в виде геометрических, так и полигональных моделей.
Новые вспомогательные поверхности, полученные на основе семейств линий, связанные с подвижной окружностью или прямой, целесообразно использовать в прикладных задачах, использующих метод центроидного огибания. Для них разработаны геометрические и полигональные модели, дополняющие друг друга и подтверждающие достоверность полученных результатов.
Для задач формообразования, в которых используется твердотельное компьютерное моделирование, разработано соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение. Его работоспособность иллюстрируется примерами формообразования поверхностей и твердотельными моделями срезаемых слоев.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались при публикациях в научных журналах, сборниках трудов и выступлениях на российских и международных конференциях: на научно-методической конференции «Перспективы развития машинной графики в преподавании графических дисциплин» (г. Одесса, октябрь 1982); на международной конференции «Тпе7ш International Conference on Engineering Computer Graphics and Descriptive Geometry» (18-22 July 1996, Cracow, Poland); на международной конференции «Сучасні проблеми геометричного моделирования» (Украина, Харьков, 1998); на 4-й Международной научно-технической конференции, посвященной 60-летию ОмГТУ (г. Омск, 12-14.11.2002); на международной конференции «The 10th International Conference on geometry and Graphics» (Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - august); на 2-м Международном технологическом конгрессе (Омск, ОмГТУ, 2003); на 7-й Международной конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Мелитополь, Украина, 2003); на международной конференции «Proceedings of the Eleventh International Conference on Geometry and Graphics» (August 1-5, 2004, Gdut, Guangzhou, China); на международной конференции «International Conference of Engineering Education Silesian University of Technology» (Gliwice, Poland, 2005); на 111-м международном технологическом конгрессе (г. Омск, 7-10 июня, 2005); на VI международной научно-технической конференции, посвященной
9 65-летию ОмГТУ (13-15 ноября 2007); на Второй украинско-российской научно-практической конференции (г. Харьков, 24-27 апреля 2007 г.); на Всероссийской научно-технической конференции (г. Улан-Удэ, 2009 г.); на Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора Муханова Ивана Ивановича (г. Новосибирск, 16-17 октября 2009 г.); на 64-й научно-методической конференции ГОУ «СибАДИ» в рамках юбилейного международного конгресса «Креативные подходы в образовательной, научной и производственной деятельности» (г. Омск, ноябрь 2010 г.); на III Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (г. Новосибирск, 2011г.); на международной научно-методической конференции «Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий», посвященной 20-летию Независимости Республики Казахстан (Казахстан, г. Алматы, 16-17 ноября 2011 г.); на Всероссийской 65-й научно-технической конференции ФГБОУ ВПО «СибАДИ» (с международным участием) (г. Омск, СибАДИ, ноябрь, 2011). Положения, выносимые на защиту:
методология определения криминанты и дискриминанты двумерной поверхности и трехмерной гиперповерхности относительно координатной плоскости (гиперплоскости), а также полученные на ее основе математические модели огибающих семейств конгруэнтных линий и поверхностей;
метод профилирования взаимоогибаемых поверхностей, не требующий получения уравнения связи параметров поверхности и семейства, разработанный на основе установленных новых геометрических закономерностей формообразования;
модели новых геометрических объектов - вспомогательных поверхностей и методология их полигонального компьютерного моделирования, позволяющая устанавливать влияние параметров установки формообразующего элемента относительно заготовки на форму искомого профиля,
обобщенный алгоритм имитационного компьютерного твердотельного моделирования формообразования деталей с периодическими профилями, обрабатываемых по методу огибания;
методология моделирования удаляемых слоев припуска в процессе моделирования формообразования;
алгоритмы и программы имитационного компьютерного твердотельного моделирования формообразования поверхностей класса винтовых и сложных поверхностей.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в более 50 опубликованных работах, из которых 35 принадлежат лично автору, 17 работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК, одна монография, 5 авторских свидетельств СССР.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, 7 глав, основных результатов и выводов, заключения и приложений. Общий объем работы составляет 362 страницы, включая 167 рисунков, 2 таблицы, библиографический список из 232 наименований на 23 страницах, приложений.
Методы моделирования дискриминанты семейства линий и поверхностей
Особенности и возможности аналитических методов зависят от расчетных схем, положенных в основу математического моделирования сопряженных поверхностей. Построение расчетной схемы определяется принятыми авторами допущениями и используемыми свойствами сопряженных поверхностей, а также возможностями и особенностями используемого математического аппарата. Аналитические методы профилирования основаны на положениях общей теории сопряженных поверхностей [12, 38, 39, 46, 47], теории винтовых поверхностей [87], дифференциальной геометрии [16,175, 176] и теории зубчатых зацеплений [85].
Впервые после работ Л. Эйлера [50] и Г. Монжа [120] исследование пространственных зацеплений начал французский ученый Т. Оливье [218], предложивший для расчета пространственных зацеплений способ огибающих поверхностей. В дальнейшем этот способ был использован русским ученым Х.И. Гохманом для разработки аналитической теории зацеплений, в основу которой он положил две теоремы, названные им «способами отыскания сопряженных поверхностей по Оливье» [34]. В своей работе Х.И. Гохман рассмотрел исследование различных зацеплений, в том числе пространственных зацеплений с линейным и точечным касанием.
Дальнейшее развитие методика Х.И. Гохмана получила в работе Н.И. Колчина [66, 67], который при выводе расчетных зависимостей определял положение звеньев через угловые скорости и линейные перемещения, а не через угловые скорости и время, как это использовалось Х.И. Гохманом. Эта же методика успешно развивалась в работах И.А. Фрайфельда [178, 179] и Ю.В. Цвиса [183, 184] в приложении к профилированию зуборезного инструмента. Методика Х.И. Гохмана - Н.И. Колчина в отличие от метода дифференциальной геометрии [175], существенно упрощает определение огибающей поверхности, хотя и остается достаточно громоздкой, т.к. приходится использовать прямые и обратные формулы преобразования координат.
С целью дальнейшего упрощения получения расчетных зависимостей исследователями разрабатываются и другие направления. Так при использовании метода нормалей уравнение зацепления записывается в виде двух равенств, отражающих условие прохождения нормали к сопряженным поверхностям в точках их контакта через две оси вращения, сопряженные с винтом относительного движения. Этот метод получил широкое применение в работах И.Д. Златопольского [53], Н.И. Колчина [66], Ф.Л.Литвина [216], А.Ф. Николаева [123], К.М. Писманика [133] и других авторов. Отличие реализаций этого метода заключается в использовании различной трактовки теории винта [61, 129] и др. При сложении и разложении движений определенные упрощения достигаются за счет использования диаграммы винта, предложенной П. Кормаком и развитой А.Ф. Николаевым [123]. Определение параметров составляющих движений может выполняться графически [62], аналитически, с помощью приборов [141], а также путем составления вычислительных алгоритмов [143] на основе графических и аналитических операций, разработанных И.И.Котовым [74] и С.А.Фроловым [180]. Дальнейшее исследование диаграммы винта как плоскостного аналога цилиндроида Болла, позволило Г.Н. Кирсанову [61] расширить применение ее на различные случаи сложения и разложения движений. В работах А.Н. Подкорытова предлагается интересный подход к конструированию сопряженных винтовых нелинейчатых поверхностей путем аппроксимации их семействами геликоидов на основе использования диаграммы винта.
Одним из наиболее эффективных путей снижения трудоемкости подготовительного этапа является использование «точечных» методов [80, 81, 82]. В работе излагается теория, которая позволяет решать задачи формообразования для реечных, дисковых и червячных инструментов при обработке цилиндрических, винтовых поверхностей и поверхностей вращения. Она основывается на расчетах, использующих первое условие формообразования – в каждой точке касания сопряженных поверхностей имеется общая для этих поверхностей касательная плоскость.
Исходными данными для расчета, кроме параметров установки, являются параметры базовых точек профиля детали. В этой методике параметрами являются: полярные координаты точек профиля, угол между касательной к профилю в его некоторой точке и радиус-вектором этой точки, а также радиусы кривизны в точках профиля поверхности.
В случае если при исходном задании используются другие параметры, то их значения должны быть выведены в каждом отдельном случае в зависимости от параметров, которыми задан этот профиль, что в определенной степени повышает трудоемкость подготовительного этапа решения задач профилирования.
Отображение ортогональным проецированием двумерной поверхности, заданной параметрическими уравнениями
Пусть исследуемая поверхность задана параметрическими уравнениями (2.17) Или в векторной форме (2.18) Будем рассматривать отображение такой поверхности, как и в предыдущей задаче, ортогональным проецированием на координатную плоскость XY. В точках криминантной линии касательные плоскости к поверхности параллельны координатной оси Z, что записывается в виде (2.19) или (2.20) Уравнение (2.19) или (2.20) устанавливает связь параметров u, v и совместно с уравнениями (2.17) определяют криминантную линию поверхности. Эти уравнения можно рассматривать как уравнения в прямоугольных координатах U V некоторой кривой l, принадлежащей параметрической области F(u,v). Тогда криминантная линия l/ получается отображением кривой l на поверхность (2.17), т. е. , где F задается уравнениями (2.20). Исследованию подлежат криминантная линия поверхности, ее дискриминанта, а также сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям XZ и YZ. Если , и в окрестности точки функция (2.20) имеет непрерывные частные производные первого порядка по x, y, z, то уравнение разрешимо в виде функции (2.21)
Подставив (2.21) в (2.20), получим тождество . Из которого следует или . (2.22) После подстановки (2.21) в (2.17) получим уравнение криминантной линии поверхности относительно координатной плоскости XY (2.23) Касательной к линии (2.23) в некоторой точке К(x0,y0,z0) будет прямая вида . В этом уравнении координаты направляющего вектора касательной определяются из выражений (2.24) Из анализа координат (2.24) можно сделать следующие выводы: 1) касательная к криминантной линии поверхности занимает общее положение и проецируется в касательную к дискриминанте, если . (2.25) Такие точки являются точками линии складки. Ими и исчерпывается дискриминанта поверхности; 2) касательная к криминантной линии перпендикулярна координатной плоскости XY (“вертикальна”), если . (2.26) В этом случае регулярной точке на криминантной линии поверхности соответствует точка возврата на дискриминанте. Такая точка является точкой сборки. В качестве примера на рисунке 2.6 приведена поверхность (2.17) (гиперболический параболоид), заданная уравнением [13] (2.27) Тогда уравнение связи параметров (2.20) будет (2.28) Графиком уравнения (2.28) является прямая линия в декартовых координатах UV. После подстановки (2.28) в (2.27), получим x=2u, y=u2, z=0. (2.29)
Откуда следует, что прямая (2.28), полученная в системе координат UV, отображается в параболу, принадлежащую гиперболическому параболоиду и расположенную в плоскости XY декартовой системы координат OXYZ. Следовательно, прямая линия (2.28) отображается в параболу на гиперболическом параболоиде (рисунок 2.7). В рассматриваемом случае криминанта и дискриминанта поверхности при ее проецировании вдоль оси Z совпадают.
Тогда, после подстановки полученных выражений в зависимость (2.30), полная кривизна поверхности в точках ее криминантной линии будет Анализируя полученное выражение, можно установить следующее: ) если , то гауссова кривизна в точках контурной линии поверхности отрицательна и точка на поверхности является гиперболической; ) если r(u,v) C2, то соответствующая точка поверхности параболическая; ) если то точка особая как на исходной кривой, так и на поверхности, а также на ее очерке; ) если , то соответствующая точка поверхности – эллиптическая. Для рассматриваемой поверхности (2.27) числитель в выражении полной кривизны поверхности равен минус 4, а, следовательно, точки криминантной линии – гиперболические (рисунок 2.6.).
Касательное пространство к заданной поверхности (2.17) в ее некоторой точке состоит из однопараметрического множества касательных к кривым этой поверхности в заданной точке. Выделим ту из них, которая параллельна оси Z. Эта прямая t будет касаться плоских кривых, полученных в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным, содержащим ось Z. Но такое свойство отражает необходимое условие существования условного экстремума функций, определяющих рассматриваемые кривые. Если выделить на поверхности сечение плоскостью y=a (а – некоторое вещественное число), то параллельность t оси Z выражает необходимое условие существования условного экстремума функции , (2.31) а параметры u и v связаны зависимостью, определяемой вторым уравнением системы (2.17), в котором y=a. Для определения необходимых и достаточных условий существования условного экстремума функции (2.31) используем метод неопределенных коэффициентов Лагранжа. В этом случае функция Лагранжа будет иметь вид . (2.32) Система уравнений, из решения которой следует искать точки условного экстремума, будет (2.33) Выразив из первого уравнения системы (2.33) l (2.34) и подставив его во второе уравнение системы, получим Подставив в полученную зависимость выражения для производных с учетом, что поверхность задана уравнениями (2.27), получим Отсюда следует, что сечения поверхности гиперболического параболоида плоскостями Y=ai имеют точки как условного минимума так и максимума, совпадающие с точками контурной линии при проецировании вдоль оси z. Это следует и из рисунка 2.8. Если условие связи наложить на координату x и определить условный экстремум координаты y, т.е. , то второй дифференциал будет где После подстановки соответствующих зависимостей для производных, получим Из полученного равенства следует, что сечения рассматриваемой поверхности плоскостями x=ai имеют только точки условного максимума, что следует и из рисунка 2.9. Таким образом кривые, получаемые в пересечении рассматриваемой поверхности плоскостями, параллельными плоскостям XZ или YZ, являются гладкими, если выполнены условия . Такие кривые имеют экстремальные точки, совпадающие с точками криминанты поверхности, в случае выполнения равенства (2.20), но для A0 или B0. Точки таких кривых называют точками складки при проецировании по направлению оси Z. Точки поверхности, удовлетворяющие условиям (2.26) являются точками сборки проецирования по Z - направлению. Точке складки соответствует регулярная точка на очерке поверхности, а точке сборки – особая точка. В то же время точка сборки на поверхности, является ее регулярной точкой.
Плоскость касается поверхности и параллельна оси Z при условии u=0. В декартовой системе координат UV этому условию соответствует координатная ось V. После подстановки u=0 в уравнение поверхности, получим , что соответствует координатной оси X в декартовой системе координат XYZ. Таким образом, координатная ось V, являющаяся графиком зависимости параметров поверхности, отображается в координатную ось X в системе координат XYZ (рисунок 2.10). Ось X есть дискриминанта рассматриваемой поверхности относительно координатной плоскости XY.
В рассматриваемом примере криминанта поверхности совпадает с ее дискриминантой, которая находится в пересечении координатных плоскостей XZ и XY (рисунок 2.11).
Полученные результаты позволяют предложить методику расчета точек криминантной линии поверхности, заданной параметрическими уравнениями, не требующей получения соответствующих дифференциальных уравнений, а использующей вычислительные методы. В этом случае выполняется расчет экстремума, например, координаты y при наложении связи на координату x, а независимой переменной является один из параметров поверхности.
Исследованию подлежит отображение этой поверхности ортогональным проецированием на координатную гиперплоскость XYZ. По аналогии с отображением двумерной поверхности будем называть это отображение этой поверхности на координатную гиперплоскость дискриминантным множеством функции (2.37) [52], а соответствующую ему двумерную поверхность в четырехмерном пространстве – криминантой на заданной гиперповерхности относительно рассматриваемой гиперплоскости. В точках криминанты касательные гиперплоскости к гиперповерхности параллельны координатной оси T, что записывается в виде (2.38) Будем рассматривать уравнение (2.38) как уравнение еще одной гиперповерхности (дополнительной). Пересечение гиперповерхностей (2.37) и (2.38) определяют двумерную поверхность, которая и является криминантным множеством гиперповерхности (2.37) на гиперплоскости XYZ. Эта двумерная поверхность принадлежит гиперповерхности (2.37).
Поверхности, образованные семейством кривых, связанных с окружностью, катящейся по другой окружности
Задаче на определение огибающей семейства кривых, полученных в результате качения одной начальной окружности по другой, соответствует задача профилирование круглого долбяка по заданному профилю колеса. По этой же схеме может быть решена и обратная задача профилирования. Формообразование зубчатых колес круглыми долбяками по методу обкатки основано на воспроизведении зацепления пары зубчатых колес. Одним компонентом такого зацепления является зубчатое колесо, а другим – круглый долбяк. В зависимости от расположения поверхностей вершин и впадин зубьев колес передачи бывают внешнего зацепления (оба колеса имеют внешние зубья), и передачи внутреннего зацепления (одно из колес имеет внешние зубья, а второе – внутренние).
При нарезании цилиндрических колес с прямыми зубьями как внутреннего так и внешнего зацепления долбяку и заготовке сообщают одинаковые движения – вращательные. Различие заключается в направлении вращения. Так при нарезании зубчатых колес внешнего зацепления у долбяка и заготовки направления вращения противоположны, а внутреннего зацепления – одинаковы.
Для моделирования формообразования поверхности детали инструментом важными являются их относительные движения и безразлично как они реализованы на станке. Такие относительные движения детали и инструмента называются кинематической схемой формообразования. В предлагаемых решениях относительные движения задаются либо с использованием формул преобразования координат (глава 2), либо совокупностью команд САПР при твердотельном моделировании формообразования (глава 4). В относительном движении окружность n1 перекатывается без скольжения по окружности n2 . В результате профиль m поворачивается вокруг неподвижной точки Ovp на угол 1 и вокруг подвижной точки O на угол 2. Эти углы связаны зависимостью (3.14) Тогда уравнения перехода из системы координат 0XY в систему координат XvpYvp имеют вид (3.15) где A=R1 +R2. Эти уравнения, совместно с уравнениями (3.13), задают семейство кривых в неподвижной системе координат. Такое семейство можно рассматривать как график отображения линий уровня некоторой поверхности на координатную плоскость XvpYvp. Уравнения этой поверхности в параметрической форме, с учетом (3.16), будут (3.16) где , а p – константа большая нуля. Запишем в системе координат 0vpXvpYvpZvp (ось Zvp совместно с осями Xvp и Yvp образуют правую систему координат) уравнение цилиндрической винтовой поверхности (ЦВП) , образованной винтовым движением кривой (3.13): (3.17) где , а Сравнивая системы уравнений (3.16) и (3.17), получим (3.18)
Рассматривая переход от ЦВП () к поверхности , как результат геометрического преобразования, нетрудно заметить, что система (3.18) описывает нелинейное преобразование. Эта система задает отображение цилиндрической винтовой поверхности во вспомогательную поверхность , которую можно назвать квазивинтовой поверхностью (КВП) (рисунок 3.14). В рассматриваемом преобразовании ось ЦВП отображается в цилиндрическую винтовую линию. Ее уравнение имеет вид (3.19)
Полученное уравнение поверхности может быть использовано для качественного анализа зависимости между параметрами t и средствами систем компьютерного моделирования. Так на рисунке 3.16 показаны графики двух поверхностей, заданных для случая, когда исходная кривая состоит из двух кусков – отрезка и дуги окружности с общей касательной в точке стыка. Эти поверхности рассечены плоскостями нулевого уровня, что задает графики связи параметров t и . Полученные линии сечения наглядно иллюстрируют наличие двух решений уравнения (3.22) для обоих участков исходной кривой. Причем, если на первом участке диапазоны изменения параметров t и для двух решений примерно одинаковы, то для второго участка – существенно отличаются. Эти графики позволяют получить и примерные количественные значения параметров t и . Кроме того, компьютерные системы позволяют проанализировать изменение формы и размеров этих графиков как дискретно, так и в режиме анимации при изменении радиусов центроид.
Уравнение (3.22) устанавливает связь криволинейных координат t и 1, а совместно с уравнениями (3.16) выделяют криминантную линию на КВП. Для исследования влияния радиуса R1 на зависимость параметров t и используется уравнение поверхности (3.23). Соответствующие графики показаны на рисунке 3.18. Из их анализа можно сделать следующие выводы: а) для R1 = 30 и R1 = 60 в формообразовании огибающей участвуют лишь небольшие участки как отрезка, так и дуги окружности исходной кривой; б) оптимальным значением радиуса R1 является величина 50 мм. Для установления более точного значения величины R1 нужны дополнительные исследования.
Сравнивая графики кривых, отражающих связь параметров t и на рисунках 3.17 и 3.18, можно констатировать их совпадение. Это значит, что имеется возможность выбора способа представления такой зависимости. При необходимости оба варианта получения таких графиков могут быть использованы для перепроверки.
Твердотельное моделирование формообразования цилиндрического изделия с периодическими профилями
Второй инструмент, формообразование которого рассматривается ниже –долбяк. Моделью такого формообразуемого элемента является цилиндрическое тело с периодическими профилями. Его профиль является огибающей семейства профилей формообразующего элемента (например, профиль зуба колеса). Это семейство образуется в результате качения окружности формообразующего элемента по окружности формообразуемого элемента. Если эти окружности, касаясь, находятся вне друг друга, то такое зацепление является внешним, а если одна из них находится внутри другой, то – внутренним.
Пусть с окружностью радиуса R2 связан исходный профиль формообразующего элемента, а с окружностью радиуса R1 связана заготовка (рисунок 4.15). Тогда в процессе качения окружности радиуса R2 по окружности радиуса R1 , первая из них поворачивается вокруг точки 02 на угол 2 и вокруг точки 01 на угол 1. Эти два вращательных движения определяют кинематическую схему компьютерного моделирования процесса формообразования цилиндрических тел с периодическими профилями. Исходными данными для формообразования являются твердотельные модели, полученные на основе профиля формообразующего элемента и заготовки, а также параметры их установки относительно друг друга. Каждая из моделей задается в своей системе координат. Параметры установки определяются некоторыми технологическими параметрами, а также возможным их относительным смещением. Если же модель формообразующего элемента сформирована на основе контура рейки с использованием твердотельного моделирования, то она и является исходной. При необходимости эта модель может быть скорректирована. Кинематическая схема моделирования формообразования профиля в заготовке реализуется в соответствии со следующим алгоритмом: 1) формообразующий элемент поворачивается вокруг оси, проходящей через точку и перпендикулярной торцовой плоскости тела на угол (рисунок 4.15) (приращение угла для задания множества формообразующих элементов задается конструктором); 2) формообразующий элемент в новом положении поворачивается вокруг своей оси на угол .
После задания границ изменения параметра 1, а также величины его приращения 1, выполняется моделирование процесса формообразования. Взаимодействие твердотельных моделей инструмента и заготовки осуществляется на основе использования булевых операций. Пример моделирования приведен на рисунке 4.16. Полученная боковая поверхность зуба является обволакивающей поверхностью. Она будет приближаться к огибающей поверхности с уменьшением параметра 2, при выполнении условий формообразования.
Как и в предыдущей задаче, полученная твердотельная модель может быть как результатом формообразования, так и исходными данными для решения обратной задачи. Необходимость решения обратной задачи может возникнуть после анализа полученной модели. Анализ включает не только геометрию модели, но и геометрию срезаемых слоев и удаляемых объемов. Целесообразность решения такой задачи очевидна при корректировке полученного профиля из технологических требований. В этом случае формообразующей моделью является полученная модель, а для формообразования создается цилиндрическая заготовка. Кинематическая схема формообразования аналогична схеме, использованной при решении прямой задачи. По аналогии с предыдущей задачей разработаны программы, позволяющие получать не только модель инструмента или изделия, но и твердотельные модели срезаемых слоев. На рисунке 4.17 показаны не только модели изделия и инструмента в процессе формообразования, но и твердотельные модели срезаемых слоев. Фрагмент такого моделирования в увеличенном масштабе представлен на рисунке 4.18. Он дает общее представление о конфигурации инструмента вместе со срезаемыми слоями.
Полное представление о геометрии срезаемых слоев, а также их объемов, можно получить из анализа их твердотельных моделей, представленных на рисунках 4.19 и 4.20. Приведем некоторые из выводов, которые можно сделать из этих рисунков: 1) срезаемые слои одной впадины состоят в основном из одного фрагмента и реже – двух; 2) срезаемые слои, формируемые за один двойной ход производящего тела, состоят из двух-четырех фрагментов, которые принадлежат двум-трем впадинам; 3) режущие кромки производящего тела нагружены неравномерно. Полученные твердотельные модели срезаемых слоев позволили получить их некоторые количественные характеристики. На рисунках 4.21 и 4.22 показаны диаграммы изменения удаляемых объемов за один двойной ход производящего тела при формообразовании как одной впадины между профилями, так и нескольких. Из них следует, что во времени режущие кромки загружены неравномерно. При этом минимальные и максимальные значения удаляемых объемов при формообразовании производящим телом за один двойной ход отличаются примерно в 2 раза.
В данном разделе рассматриваются две задачи формообразования зубчатых изделий, находящихся во внутреннем зацеплении. В обеих задачах формообразующее тело ограничено отсеком цилиндрической поверхности с периодическими профилями. Отличие заключается в кинематической схеме формообразования. В первой задаче формообразующий профиль связан с внутренней окружностью (меньшей), катящейся без скольжения по наружной окружности (большей). Во второй задаче формообразующий профиль связан с наружной окружностью, совершающей качение по внутренней окружности. В первой задаче тело формообразующего элемента может быть получено как на основе рейки, так и смоделировано исходя из иных условий. Эти задачи могут быть как самостоятельными, так и выполняться с целью проверки полученных результатов или с целью проведения возможной корректировки как параметров установки, так и формы профиля полученной модели.
Пусть с окружностью радиуса R2 связано тело заготовки, а с окружностью радиуса R1 – модель формообразующего элемента (тело с периодическими профилями) (рисунок 4.23). Тогда в процессе качения окружности радиуса R1 по окружности радиуса R2 , первая из них поворачивается вокруг точки 0заг на угол 1 и вокруг точки 0д на угол 2. Эти два вращательных движения являются основой для кинематической схемы компьютерного моделирования процесса формообразования изделия с периодическими профилями. Исходными данными для формообразования являются твердотельные модели, полученные на основе профиля формообразующего элемента и заготовки, а также параметры их установки относительно друг друга. Каждая из моделей задается в своей системе координат. Параметры установки определяются модулем некоторыми технологическими, а также возможным их относительным смещением.
Похожие диссертации на Методология геометрического и компьютерного моделирования формообразования технических поверхностей
