Содержание к диссертации
Введение
1. Описание линий и поверхностей
1.1. Геометрическое представление сложных поверхностей 10
1.2. Численные методы решения систем нелинейных уравнений, используемых при построении моделей кривых и поверхностей ...21
1.3. Числовое программное управление; кинематика формообразования на фрезерных станках с ЧПУ 24
1.4. Представление траектории обработки детали на фрезерном станке с ЧПУ 27
Выводы по главе 32
2. Описание движений на станках с чпу при многокоординатной обработке векторными функциями в параметрах станочных систем
2.1. Движения при трёхкоординатной обработке 34
2.2. Движение при многокоординатной обработке 43
2.3. Эллипсоид вращения, выраженный в параметрах станочных систем. 52
2.4. Дифференциальные характеристики 54
2.5. Аппроксимация поверхности двойной кривизны участками винтовой линии на эллипсоиде вращения 73
2.6. Решение системы уравнений по отысканию параметров эллипсоидов методом Хука- Дживса 79
Выводы по главе. 85
3. Винтовая интерполяция при многокоординатной обработке сферических поверхностей
3.1. Перемещение инструмента при многокоординатной обработке в случае произвольного движения 86
3.2. Определение касательной, нормали и бинормали к сферической поверхности 87
3.3. Варианты интерполяции при обработке сферических поверхностей 92
3.4. Технологические особенности использования схемы фрезерования по винтовой линии 107
3.5. Сравнительный расчёт пути, пройденного фрезой при обработке сферической поверхности построчно 114
Выводы по главе 119
Заключение 121
Литература 123
Приложения 133
- Численные методы решения систем нелинейных уравнений, используемых при построении моделей кривых и поверхностей
- Движение при многокоординатной обработке
- Аппроксимация поверхности двойной кривизны участками винтовой линии на эллипсоиде вращения
- Определение касательной, нормали и бинормали к сферической поверхности
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность. В настоящее время в авиационном машиностроении, при производстве космической техники, в судостроении, при изготовлении сложной бытовой техники широко используются детали, имеющие поверхности сложной формы.
Формообразование сложных поверхностей - весьма серьёзная инженерная: проблема, вызванная многоплановостью задач по обеспечению высокой производительности обработки и достижению заданного её качества и точности формообразованных поверхностей. Решение такого рода технологических задач основывается на накопленном промышленностью богатейшем опыте разработки оправдавших себя на практике способов, устройств, инструментов и других средств формообразования деталей, имеющих сложные поверхности (резанием, поверхностными пластическим деформированием, электрофизическим, электрохимическими и другими методами обработки). Однако, используемые способы формообразования поверхностей изделий сложной формы далеко не оптимальны. Это является следствием того, что до настоящего времени нет однозначного ответа на вопрос, например, о мгновенном относительном перемещении детали и инструмента при обработке методом построчной обработки на металлорежущих станках с числовым программным управлением. Имеющиеся по данному вопросу рекомендации противоречивы, неоднозначны, допускают значительную степень субъективизма и произвольности при принятии решений. Так, имеющиеся наиболее теоретические проработанные рекомендации перемещать инструмент вдоль линии кривизны на поверхности детали, верны только для тех случаев обработки, когда формообразующий участок исходной инструментальной кривой поверхности является локальным участком уплощения или омбилическим локальным участком, а также, когда главные нормальные секущие плоскости формообразуемой поверхности детали и формообразующей исходной инструментальной поверхности в точке их касания совпадают друг с другом [57]. Во всех остальных случаях это принципиально неверно, поскольку требованию перемещать инструмент в направлении, ортогональном главному нормальному сечению формообразуемой поверхности детали, в общем случае всегда можно противопоставить альтернативное требование осуществлять движение детали и инструмента в направлении, ортогональном • главному нормальному сечению формообразующей исходной инструментальной поверхности.
Обработка деталей, имеющих сложные поверхности является многоплановой проблемой ещё и потому, что состоит из большого количества задач, успешное решение которых обеспечивает повышение производительности, улучшения качества поверхности при обработке на станках с ЧПУ. Сложность проблемы также состоит в том, что имеется много математических методов описания сложных поверхностей, которые рассматривают поверхность только с точки зрения аппроксимации ее какими-либо зависимостями. Этот вопрос имеет множество решений и предложений и относится к чисто математически задачам. Но, как известно, получение аналитических зависимостей: при описании поверхностей сложной формы недостаточно для их изготовления на металлорежущем оборудовании, поскольку необходимо организовать (запрограммировать) движения при их формообразовании, которые, как правило, носят прямолинейный характер.
В процессе обработки сложных поверхностей изделий приходится решать большое количество технологических задач, связанных с написанием программ для станков с ЧПУ. Решение таких задач в значительной степени усложняется при обработке поверхностей сложного профиля, требующих, например, пятикоординатной обработки.
Как правило, обработка сложных поверхностей производится построчно, если поверхность не имеет значительных пространственных изменений направления нормали в каждой рассматриваемой точке обработки. При этом обработка может производиться трехкоординатным методом. В случае использования этого метода обработки, режущий инструмент, в качестве которого используются копировальные фрезы, движется по плоской кривой в рассматриваемом сечении строки. При этом одна координата перемещения инструмента фиксируется, а профилирование происходит в результате движения инструмента по двум другим координатам.
Если поверхность имеет значительные пространственные изменения направления нормали в каждой рассматриваемой точке,- то такая поверхность может обрабатываться только на пятикоординатном оборудовании. Это объясняется тем, что при построчной обработке таких поверхностей линия профилирования является пространственной кривой.
Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка научных основ геометрической модели и метода описания движений исполнительных механизмов при обработке деталей, имеющих поверхности сложной формы на многокоординатных станках с ЧПУ. Для достижения цели необходимо было решить следующие научные задачи: разработать геометрическую модель движений при многокоординатной обработке; на базе созданной геометрической модели разработать аналитическую модель описания сложной поверхности векторными функциями в параметрах станочных систем; разработать методику численного решения созданной аналитической модели; кроме того, решалась практическая задача применения разработанного метода для описания движений при многокоординатной обработке сферической поверхности. Методы исследований. В работе, при аналитических разработках использовались основные положения векторной алгебры, дифференциальной геометрии, теории матриц, аналитической геометрии, математического анализа. Проверка теоретических разработок осуществлялась путём машинного моделирования и сравнительных испытаний на станке с ЧПУ.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующие научную новизну:
разработан метод описания движения инструмента формообразовании деталей сложного профиля на многокоординатных станках с ЧПУ, с использованием векторных функций, выраженных в т параметрах станочных систем;
разработан метод интерполяции сложных поверхностей участками винтовой линии на эллипсоиде вращения;
получены функции дифференциальных характеристик винтовой линии на эллипсоиде вращения;
разработан метод движений инструмента при формообразовании сферических поверхностей, заключающийся в интерполяции винтовой линии;
получена векторная функция для описания движений при • трёхкоординатной-обработке;
показано, что использование дифференциальных характеристик позволяет раскладывать вектор скорости перемещения инструмента при многокоординатной обработке на составляющие по координатам.
Положения, выносимые на защиту:
метод описания движения инструмента при многокоординатной обработке поверхностей векторными функциями, выраженными в параметрах станочных систем;
метод интерполяции сложных поверхностей винтовой линией, полученной на эллипсоиде вращения;
Метод интерполяции винтовой линии, выраженной в параметрах станочных систем по сферической поверхности:
Практическая ценность заключается в том, что предложенный методі описания движений инструмента при многокоординатной обработке поверхностей, имеющих сложную скульптурную форму, позволяет на стадии технологической подготовки производства, а именно при проектировании технологического процесса обработки,, сформировать рациональную траекторию движения? инструмента при обработке деталей на фрезерных станках с ЧПУ.
Кроме того, предложенный метод может быть использован при многокоординатной обработке деталей сложного профиля и на других металлорежущих станках, например шлифовальных, имеющих конструкцию, аналогичную конструкции фрезерного станка.
Реализация работы. Разработана прикладная программа определения параметров участка винтовой линии на эллипсоиде вращения; на. основе разработанного метода интерполяции сложных поверхностей участками винтовой линии на эллипсоиде вращения разработана прикладная программа определения координат опорных точек при обработке сферической поверхности на многокоординатном оборудовании.
Апробация работы. Результаты научных исследований докладывались на международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса», ОГИС, 2003 г., и на международной научно-практической конференции «Проблемы совершенствования качественной подготовки специалистов высшей квалификации», ОГИС, 2004 г.
Публикации. По тематике исследований опубликовано 8 печатных работ.
Структура и объём работы. Работа содержит введение, три главы, список литературы из 91 наименования. Основной текст изложен на 123 страницах, содержит 38 рисунков. В конце глав имеются выводы, а в конце работы - основные результаты и выводы по работе в целом.
Численные методы решения систем нелинейных уравнений, используемых при построении моделей кривых и поверхностей
Использование приближённых методов описания сложных геометрических объектов приводит к построению сложной математической модели, для реализации которой необходимо одновременно решить систему п уравнений с п неизвестными вида где функции ft не обязательно линейно зависят от переменных Xj. Для этого случая не существует математической теории, позволяющей в общем виде решить вопрос о существовании и числе решений системы (1.9): их может не быть совсем, можно иметь одно, несколько или бесконечное множество (счётное или несчётное).
Ещё одна важная особенность системы нелинейных уравнений состоит в том, что для их решения нельзя применять прямой метод последовательного исключения переменных. В результате, все разработанные методы решения являются итерационными: начиная с произвольного начального вектора х =(: ,.-- ) или с полученного каким либо образом приближённого решения x = (xv ...,хп), и позволяют последовательно приближаться к решению системы (1.9) с помощью итерационной процедуры вида где г = 0,1,.... Последовательность полученных на каждом шаге векторов х1, Xі, ...,хг, хг+\... должна сходиться к пределу х, который удовлетворяет соотношению
Итерационный оператор Н определяется таким образом, чтобы вектор х был решением системы (1.9).
Наиболее общим методом решения нелинейных систем является метод Ньютона. Его принцип основан на линеаризации задачи и заменен решения нелинейной системы (1.9) на последовательность решений линейных систем (чаще всего прямыми методами). Рассмотрим последовательность действий для одной итерации (получение xr+1). где є - заданная точность. К преимуществам метода Ньютона относятся удивительная практическая эффективность и квадратичная сходимость вблизи решения. Основной недостаток состоит в повторных вычислениях на каждом шаге якобиана F (xr). На основе стандартного метода Ньютона разработано большое число вариантов.
В методе Ньютона с якобианом из конечных разностей вместо составляющих якобиан производных берутся их приближённые значения в точке xr.
При использовании упрощённого метода Ньютона якобиан вычисляют только время от времени.
Квазиньютоновские методы, подробно описанные в работе [46], основными из которых являются методы Брента и Брауна на каждом шаге решают линейную систему, строки которой определяются последовательным образом.
В методах Ньютона с линейной итерацией вместо прямого метода решения линейной системы на каждом шаге итерации её решают также итерационными методами, т.е. организуются два итерационных процесса (один в другом). Идея состоит в том, чтобы извлечь выигрыш из ограничения внутренней итерации небольшим числом шагов (А: = 1, 2 или 3), что приводит к приближённому решению линейной системы, но уменьшает стоимость каждого шага основного итерационного процесса.
Для решения системы (1.9) можно также использовать итерационные методы, которые являются по существу обобщением на нелинейный случай известных методов решения системы линейных уравнений, метод Якоби, метод Гаусса - Зейделя и метод релаксации. В каждом из этих трёх методов имеется двойной итерационный процесс: внутри каждого шага основной итерации решается нелинейное уравнение с помощью итерационного метода Ньютона, поэтому можно отметить общий характер всех трёх итерационных w методов. В отличие от методов Ньютона данные методы чаще всего сходятся медленно (если вообще сходятся).
Эти и другие методы решения системы нелинейных уравнений, такие как, метод деления отрезка пополам, метод наискорейшего градиентного спуска подробно изложены в работах [12, 16, 23, 45, 49, 63].
Любое решение, полученное численными методами, описанными выше является приближённым, т.е. содержит некоторую погрешность. Кроме того, численные методы решения системы нелинейных уравнений сами являются приближёнными, и существует, так называемая, погрешность метода.
Таким образом, выбор метода нахождения решения для каждой конкретной задачи, является сам по себе задачей, которую приходится решать программистам и разработчикам.
К численному методу, кроме требования достижения заданной точности, предъявляется ряд других требований. Предпочтение отдаётся методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньше памяти ЭВМ и, наконец, является логически более простым, что способствует более быстрой его реализации на ЭВМ. Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, ,г поэтому при выборе численного метода приходится соблюдать некий компромисс между ними. Числовое программное управление; кинематика формообразования на фрезерных станках с ЧПУ При проектировании технологического процесса [1, 13, 17] необходимо учитывать, кроме самой геометрии детали еще и способы ее получения, метод обработки, движение инструмента в процессе # обработки [22, 29], а также другую технологическую информацию. Это в свою очередь усложняет постановку и решение задач технологического проектирования и увеличивает количество данных. Важным при технологическом проектировании является то, что модель формообразования должна учитывать как можно больше технологических особенностей. В частности, в моделях описания процесса формообразования на станках с ЧПУ должна присутствовать информация о движении инструмента, о связи с режимами резания, об ограничениях и т.д. Технологии обработки на станках с ЧПУ уделяется
Движение при многокоординатной обработке
В зависимости от кинематической схемы реализации пятикоординатной обработки на конкретном станке с ЧПУ, движение по каждой координате при формообразовании будет зависеть от этой схемы и от условия прохождения нормали через профилирующий участок фрезы. В процессе пятикоординатной обработки, нормаль, проведённая к поверхности, должна проходить также нормально к профилирующему участку фрезы и может проходить как через ось фрезы, так и составлять с нею некоторый угол (рис. 2.5). В первом случае движение инструмента связано с разворотом фрезерной головки и с обязательным поворотом нормали таким образом, чтобы она совпадала с осью инструмента. Во втором; случае угол поворота головки может быть фактически произвольным. Это приводит к тому, что не все участки фрезы в данный момент времени участвуют в профилировании. Рассмотрим движения, совершаемые при пятикоординатной обработке для кинематической схемы, когда станок имеет следующие управляемые координаты: X, Y, Z, а также угловые перемещения А, В шпиндельной головки относительно оси OY и поворотного стола, (рис. 2.6). Рассмотрим схему реализации обработки, когда нормаль в рассматриваемой точке проходит через центр профильного участка фрезы, а также проходит через оси фрезы, и, следовательно, по оси шпинделя станка. Так как деталь, с которой связана система координат XOYZ, вращается вместе со столом, то при повороте стола она совершает разворот по отношению к системе координат станка. Следовательно, для расчета координат X, Y необходимо пользоваться преобразованиями координат на плоскости при одновременном переносе системы координат детали. Условимся, что для достижения такой схемы необходимо установить нормаль в рассматриваемой точке таким образом, чтобы она находилась в плоскости, параллельной плоскости вращения поворотной головки станка, или параллельной плоскости XOY. Далее следует развернуть головку на соответствующий угол нормали, а затем переместить стол по осям ОХи OY, а шпиндельную головку по оси OZ до момента касания фрезой обрабатываемой поверхности в точке профилирования. Разворот стола осуществляется до такого положения, когда составляющая Ny нормали должна равняться нулю, а составляющая N единичного вектора нормали должна быть максимальной. Это условие диктуется тем, что нормаль должна быть развернута таким образом, чтобы она находилась в плоскости XOZ станка, поскольку ранее было принято условие, что нормаль должна проходить через ось фрезерной головки. Отсюда, угол поворота В стола определится из схемы, приведенной на рис. 2.7, и может быть подсчитан по формуле После поворота стола необходим поворот фрезерной головки на угол А (рис. 2.9). При этом, как было условлено выше, нормаль, проведённая в точку профилирования, должна проходить через ось шпинделя поворотной головки станка. В этом случае угол поворота головки станка определится по формуле где N - максимальное значение проекции единичного вектора нормали в рассматриваемой точке после первого поворота стола. Поворот фрезерной головки вызывает необходимость линейных перемещений в системе координат станка где С - расстояние от оси поворота фрезерной головки до точки профилирования, включая радиус сферы фрезы (рис. 2.8.)
Выше было описано определение движений исполнительных, органов станка при условии, когда нормаль, восстановленная из рассматриваемой точки поверхности, проходит через ось фрезерной головки и через центр профилирующего участка фрезы.
При условии, если нормаль должна проходить через центр профилирующего участка фрезы, то движения исполнительных органов станка зависят только от размеров сферической части профилирующего участка фрезы. При этом условии прохождение нормали через центр профилирующего участка можно достичь только за счет линейных перемещений, как это имело место при трехкоординатной обработке.
Если в первом случае профилирующей точкой на фрезе с радиусным участком была точка А, находящаяся на оси фрезы (рис. 2.5), то во втором случае профилирующая точка В может располагаться на всей профилирующей поверхности. В этом случае ось инструмента составит некоторый угол а с проекцией нормали N в рассматриваемой точке на плоскость XOZ в станочной системе координат.
Исходя из принятой координации, изображенной на рис. 2.7, условие профилирования запишется уравнением: где гст - вектор, описывающий поворотный стол (постоянно закреплен на столе фрезерного станка); гг - постоянные координаты центра вращения фрезерной головки относительно нулевого положения станка; гд координаты точек поверхности детали относительно координат поворотного стола; гСф- координаты центра профилирующего участка фрезы; гф - радиус-вектор, описывающий центр профильного участка фрезы в системе координат центра вращения головки.
Аппроксимация поверхности двойной кривизны участками винтовой линии на эллипсоиде вращения
Использование векторной функции винтовой линии на эллипсоиде вращения, выраженной в параметрах станочных систем, имеет ряд достоинств по сравнению с заданием геометрии в канонической форме. Так, при других случаях задания, движение можно задавать только по координатной сетке от /-той точки к /+7-ой или от у-той к j+1. Кроме этого, необходимо задавать направление движения. В нашем случае направление движения задаётся самой векторной функцией. И само движение может осуществляться не только как указывалось выше, но и к (і+1, і+1,к+1)-ой точке. На рис 2.25 приведена схема аппроксимации пространственной кривой участками винтовых линий, проведенных на эллипсоиде вращения.
Для первого и второго эллипсоидов величины большого и малого радиусов будут различными. Между точками А и В проведена пространственная кривая, которая представляет собой винтовую линию на эллипсоиде вращения с координатами, определяющими положение этого эллипсоида в центре глобальной системы координат детали.
Произведение а Fx выражают расстояние между этими точками в системе координат детали и расстояние, определяющее эти точки на оси эллипсоида.
Кривая, соединяющая точки А и В, является винтовой линией на эллипсоиде вращения. В окрестностях рассматриваемых точек наблюдается различная кривизна по перпендикулярным направлениям. За счёт изменения радиусов и параметров а и F можно изменять расстояние между точками а также положение этого участка в пространстве. В результате, аппроксимация сложной скульптурной поверхности, заданной координатами точек, сводится к проведению между соседними точками участка винтовой линии эллипсоида вращения.
Задача аппроксимации, таким образом, сводится к отысканию величин радиусов эллипсоидов участков винтовой линии на эллипсоидах, а также положений этих эллипсоидов в системе координат детали. В случае определения участков винтовых линий на эллипсоидах движение инструмента между точками может определяться по найденным функциям. Отличительной особенностью аппроксимации винтовыми на эллипсоидах является то, что такие кривые являются пространственными кривыми с различными кривизнами по направлениям, а также то, что, возможно движение от точки (/, j) непосредственно к точке (/ +1 j j +1). Кроме тоговозможен переход от выпуклых участков к участкам, имеющим вогнутость,.
Для решения задачи нахождения участков винтовых линий на эллипсоидах необходимо найти касательные в точках сопряжения кривых. Для этого выбираются три соседние точки, между которыми проводятся векторы і ! и г2 в направлениях от точки к точке. Плоская схема определения касательной в рассматриваемой точке А приведена на рис.2.26.
Далее векторы г и г2 нормируются, для определения тем самым направляющих косинусов каждого вектора к осям координат. Для первого вектора они вычисляются по формулам По направляющим косинусам вектора, входящего в точку В и вектора, выходящего из точки В определяются углы наклона векторов в рассматриваемой точке:
Найденные средние значения углов наклона входящего и выходящего векторов задают значения направляющих косинусов касательных на винтовых линиях участков эллипсоидов, проведенных в рассматриваемой точке. Другими словами, для нахождения винтовой линии на эллипсоиде вращения, соединяющей две точки, необходимым условием является приравнивание единичных векторов касательных в точках на эллипсоиде вращения к средним значениям единичных векторов, найденных по формулам (2.56).
Таким образом, задача по нахождению участков винтовых линий на эллипсоиде сводится к отысканию таких параметров как a, F, R и Rx эллипсоида вращения, при которых в одной и той же координации значения средних углов наклона двух векторов в рассматриваемой точке, должны быть равны углам координат заданных точек и условия равенства углов касательных винтовой линии на эллипсоиде в крайних точках средним значениям углов наклона входящего и выходящего векторов в рассматриваемых точках, что обеспечивает плавность сопряжения участков эллипсоидов.
Система нелинейных уравнений для нахождения пяти неизвестных величин, которые определяют участок винтовой линии на эллипсоиде, должна состоять из пяти уравнений. В первую очередь в обеих точках необходим учет касательных по параметрическим направлениям F и а. Для этого, продифференцировав эллипсоид вращения, получим По направлению F необходимо продифференцировать окружность, выраженную в параметрах станочных систем
В результате получим Касательные к осям ОХ и ОУ, проведенные в обеих точках к окружностям в сечениях эллипсоида вращения в обоих случаях не зависит от радиуса сечения. Аналогично могут быть получены уравнения для касательных по направлениям в точке В.
Таким образом, приходим к системе уравнений с пятью неизвестными (2.61). Величины Тх(Л) и ТхС#) должны равняться значениям касательных, вычисленных по средним значениям углов наклона входящего и выходящего векторов в точках А и В (рис. 2.26). Из значений касательных в точках А и В
Определение касательной, нормали и бинормали к сферической поверхности
На рисунках (3.1) и (3.2) приводятся примеры готовых изделий, для изготовления которых необходимо формообразование сферических поверхностей.
При обработке сферической поверхности на фрезерных станках может быть осуществлена линейная интерполяция. В результате движение может осуществляться по касательной, вычисленной в рассматриваемой точке сферической поверхности, описанной векторными функциями в параметрах станочных систем.
Для этого необходимо рассмотреть дифференциальные характеристики винтовой линии на сферической поверхности.
Как уже упоминалось, при обработке сложных поверхностей, движение осуществляется по строчкам. При этом одна координата фиксируется, а обработка ведется по двум координатам по плоской кривой. Интерполяция производится методом оценочной функции по прямой или по дуге окружности [67]. Обработка по третьей координате производится аналогично на дискретных участках. Такая схема обработки приводит к значительному числу кадров программы. При линейной или круговой интерполяции, хотя движение осуществляется по двум координатам, фактически, в тот или иной момент времени движение производится только по одной координате с отслеживанием момента, переключения движения на другую координату. Критерием оценки момента "переключения движения с одной координаты на. другую является величина погрешности обработки.
В работе [76] рассматривается круговая интерполяция в пространстве. Однако, не ясно, рассматриваются ли параллельные единичные векторы нормали в разных точках или они не параллельны? Если единичные векторы нормали не параллельны, то использование круговой интерполяции между рассматриваемыми точками не правомерно, поскольку единичные векторы нормали в разных точках поверхности могут не лежать в одной плоскости, а находиться в пересекающихся плоскостях. Отсюда траектория перемещения от точки к точке является не плоской кривой (дугой окружности), а пространственной кривой. С этой точки зрения в большей степени подходит винтовая линия, которая представляет собой пространственную кривую.
При плоской интерполяции по двум координатам движение осуществляется попеременно то по одной, то по другой координате в случае использования метода оценочной функции. Если движение происходит по трем координатам, то направление движения становится неопределенным, вернее становится неопределенным закон управления подачи движений от выбранной координаты к одной из других [8]. Очевидно, в этом случае следует рассматривать не плоские кривые, которые имеют место при обработке по строкам, когда одна координата фиксируется, а пространственные кривые. Это следует объяснять тем, что при рассмотрении пространственной кривой дифференциальные характеристики, а именно единичные векторы, раскладываются на три координаты.
В связи с чем, в работе рассматривается процесс обработки сферической поверхности по пространственной винтовой линии, нанесённой на эту поверхность. Винтовая линия на сферической поверхности, выраженная в параметрах станочных систем запишется где а,, аг, аг - величины перемещений по оси OX,OY,OZ",. соответственно, за единицу угла поворота круговой вектор-функции. Знак «минус» по оси OZ связан с принятой системой координат.
В отличие от обработки сферической поверхности по строчкам, обработка по винтовой требует организации движений по трём координатам. Это наглядно видно из формулы (3.16). При обработке, в случае движения по трём координатам, необходимо условие переключения значений движений по каждой из трёх координат. И здесь следует выбирать такую оценочную функцию, с помощью которой такое переключение, возможно было бы отследить. Величины аі,а2,а3 необходимо вычислять в моменты достижения максимального отклонения от заданной величины погрешности обработки формы. Для осуществления согласованных движений по трём координатам, в рассматриваемой точке вычисляются дифференциальные характеристики винтовой эквидистантной поверхности: N,T,B.
