Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор и анализ существующих геометричесбсих моделей технологических процессов намотки и выкладки 39
1.1 Геометрическая модель процесса намотки 41
1.2 Расчет угла геодезического отклонения 45
1.3 Условие прилегания ленты к поверхности 48
1.4 Вычислительные формулы для параметров, характеризующих технологический процесс намотки 52
Выводы к главе 1 63
2 Разработка математического аппарата для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки 64
2.1 Описание класса, рассматриваемых поверхностей 66
2.2 Явное представление кубического сплайна в виде линейной
комбинации В - сплайнов для различных граничных условий 67
2.3 Методология введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической 79
2.4 О еще одном способе построения функций U(t,5), V(t,5) сколь угодно близких к un(t,5), vn(t,5) 99
2.5 Построение функции TVw для количественного определения числа лент, накрывающих произвольную точку поверхности 105
Выводы к главе 2 111
3 Технологические процессы намотки и выкладки и их геометрическое моделирование 112
3.1 Геометрическая модель укладки ленты из однонаправленных волокон на поверхность оправки 112
3.2 Вычислительные формулы для параметров, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки 116
3.3 О некоторых особенностях моделирования укладки ленты на технологическую оправку 122
3.4 Намотка по геодезической линии 124
3.5 Намотка по кривой откоса 132
3.6 О выборе начальных условий для построения кривой намотки 145
3.7 Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку.: 151
3.8 Геометрическое моделирование технологического процесса выкладки 154
3.9 Определение закона изменения ширины ленты при намотке ровницей 156
Выводы к главе 3 160
4 Методологияединообразного описания поверхностей технологических оправок, применяемых в процессах намотки и выкладки 161
4.1 Методика моделирования поверхностей по точечному каркасу сечений с использованием кубических В — сплайнов 162
4.2 Аппроксимация поверхностей технологических оправок поверхностями определяемыми точечными каркасами сечений 170
4.3 Конструирование технологической части оправки 179
Выводы к главе 4 185
5 Геометрическое моделирование многослойной намотки и выкладки 186
5.1 Существующая модель учета толщины ленты. Ее анализ и модификация 186
5.2 Геометрическое моделирование многослойной намотки 189
5.3 Многослойная выкладка 199
Выводы к главе 5 203
6 Компьютерное моделирование технологических процессов намотки и выкладки 204
6.1 Программа GMWinding 204
6.2 Программа GMSpread 212
Выводы к главе 6 217
7 Геометрическое и компьютерное моделирование намотки лонжерона стабилизатора вертолета и выкладки вентиляторной лопатки 219
7.1 Проектирование и изготовление вентиляторной лопатки для перспективного двигателя нового поколения 219
7.2 Намотка лонжерона стабилизатора вертолета 240
Выводы к главе 7 257
Заключение 258
Список литературы 262
Приложение А 285
- Вычислительные формулы для параметров, характеризующих технологический процесс намотки
- Методология введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической
- О некоторых особенностях моделирования укладки ленты на технологическую оправку
- Аппроксимация поверхностей технологических оправок поверхностями определяемыми точечными каркасами сечений
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Совершенствование и разработка новых конструкций, применяемых в авиастроении, ракетно-космической технике, энергетике, машиностроении и других отраслях промышленности, в значительной мере связаны с использованием композиционных материалов. Композиционные материалы обладают свойствами и особенностями, отличающимися от свойств традиционных конструкционных материалов и в совокупности открывающими широкие возможности как для совершенствования существующих, так и для разработки новых конструкций и технологических процессов.
Композиционные материалы обеспечивают оптимальные физико-механические характеристики: легкость, прочность, антикоррозийность, кислотостойкость. Эти материалы представляют собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов. Среди таких компонентов можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики, и матрицу или связующее, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Удельная прочность композиционных материалов в 4-5 раз превышает удельную прочность стали, алюминиевых и титановых сплавов. Композиционные материалы характеризуются также низкой теплопроводностью, высокой термостойкостью, хорошими технологическими, электроизоляционными, антикоррозийными свойствами и сравнительно малым удельным весом. Все это демонстрирует преимущества физико-механических свойств конструкционных материалов из композиционных материалов перед металлическими. Другими важными преимуществами технологии изготовления конструкций из композиционных материалов являются простота достижения аэродинамических свойств и заданного теоретического контура внешнего обвода летательного аппарата, возможность получать монолитные конструкции без швов и скреплений. Все вышеперечисленное делает актуальной задачу применения композиционных материалов в авиастроении.
В настоящее время одним из самых совершенных методов изготовления высокопрочных армированных оболочек из композиционных материалов является технологический процесс намотки непрерывными волокнами в направлении действия силы, осуществляемый с помощью специальных многокоординатных намоточных станков с числовым программным управлением. В этом методе лента, образованная системой нитей или сформированная из тканей, пропитывается полимерным связующим и подается на вращающуюся оправку, имеющую конфигурацию внутренней поверхности изделия. После получения необходимой толщины и структуры оболочки производится полимеризация, окончательное отверждение связующего. Оправка может быть удалена или использована как часть конструкции. В родственном намотке процессе автоматизированной выкладки, осуществляемом также на станках с числовым программным управлением, на поверхность оправки, как правило, с помощью прижимных устройств укладывается достаточно широкая лента, составленная из однонаправленных
волокон, нитей, куски которой отрезаются с помощью специального устройства до или после укладки.
Намоточный процесс имеет ряд особенностей. Точность процесса намотки и получение оболочки, удовлетворяющей требуемым геометрическим и прочностным характеристикам, прежде всего, зависят от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на поверхность оправки и создания на раскладчике ленты намоточного станка нужного натяжения. Поэтому для разработки управляющих программ для намоточных станков требуется наличие полной математической модели, описывающей процесс укладки лент на поверхность оправки с соблюдением целого комплекса условий.
До появления геометрической модели В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И. Якунина, Н.Н. Беляковой рассматривались поверхности вращения и нитевые модели, в которых не учитывалась реальная структура ленты. Сейчас существует теория намотки нитью поверхностей вращения. Помимо геометрической модели укладки нити на поверхность вращения, в этой теории существуют правила перехода от кривой на поверхности к непосредственному движению нитераскладывающего механизма станка, существуют способы выбора начальных условий для геодезической кривой, определяющей рисунок укладки, так, чтобы укладка нити на поверхность была бы равномерной. Для поверхностей вращения существует программный комплекс CADWIN, реализующий алгоритм расчета траекторий намотки.
Следует отметить, что сейчас гораздо чаще методом намотки изготавливаются конструкции, не являющиеся поверхностями вращения. Поэтому стали появляться попытки приспособить результаты, полученные для поверхностей вращения на случай оправок произвольной формы. В работах В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И. Якунина, Н.Н. Беляковой, Т.В. Аюшеева была разработана геометрическая модель процесса намотки, учитывающая реальную структуру ленты, а в работах Т.В. Аюшеева рассмотрено так же применение систем технического зрения к повышению точности реализации процесса намотки. Модель обладает рядом существенных недостатков и ограничений. Она предназначена для анализа схемы укладки ленты постоянной ширины (препрега) по заданной кривой на поверхности. В ее рамках не учитывалась толщина ленты, расчет параметров, характеризующих схему укладки ленты, крайне затруднителен из-за того, что параметрическое представление кривых, по которым укладываются нити ленты, не могут быть найдены точно. Компьютерная реализация данной модели затруднительна из-за того, что поверхности всегда задавались различными способами. Для расчета характеристик схемы укладки необходима поверхность класса С . Поэтому, если оправка состояла из нескольких частей, которые определялись различными параметрическими представлениями, то необходимо, во-первых, гладко склеить эти части (методов гладкого склеивания поверхностей в модели не было предусмотрено), во-вторых, каким-то образом согласовать параметризацию на разных кусках. Помимо всего перечисленного, модель не приспособлена к анализу схемы укладки ленты (и моделированию укладки) переменной ширины (ровницы). С такой укладкой мы сталкиваемся, когда нити собираются в ленту непосредственно перед укладкой (метод "мокрой" намотки)
и ширину ленты можно изменять за счет различной ориентации нитераскладывающего механизма. Этой возможностью пользуются для устранения нахлестов лент.
Из сказанного вытекает, что проблема геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является по-прежнему актуальной. Важно отметить, что моделирование процессов намотки и выкладки решает не только технологические задачи, но и дает ответ о возможности реализации спроектированной конструкции по рассчитанной схеме армирования и возможности получения требуемых ее функциональных характеристик.
На основании анализа многочисленных научных и прикладных отечественных и зарубежных публикаций определены объект, предмет, цель и поставлены теоретические и прикладные задачи диссертационного исследования.
Объектом диссертационного исследования является теория геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с полимерной матрицей.
Предметом диссертационного исследования является математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки сложных конструкций из волокнистых композиционных материалов, на базе которого возможно создание обобщенных геометрических моделей указанных процессов, получения численного анализа схемы армирования, решения различных задач оптимизации, возникающих при укладке ленты.
Целью диссертационной работы является разработка комплексного подхода к решению проблемы повышения качества и эффективности изготовления сложных конструкций из композиционных материалов на основе применения обобщенных геометрических моделей технологических процессов намотки и выкладки.
Теоретические и прикладные задачи исследований. К ним отнесены задачи, решение которых позволяет достичь и показать практическую полезность поставленной цели:
разработать новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами, который позволяет создать обобщенную геометрическую модель указанных процессов, и предоставляет практические удобные инструменты для анализа и коррекции схемы армирования:
о найти разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения, для различных краевых условий; о дать конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное,
конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в
С к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и
ее криволинейные координаты; о разработать численный метод нахождения значения функции, которая
в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту
точку; о сформулировать и дать конструктивное доказательство теоремы о
возможности единообразного описания поверхностей
технологических оправок класса С , являющихся поверхностями
зависимых сечений;
разработать теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, которые обобщают существующие теоретические результаты по геометрическому моделированию технологического процесса намотки;
разработать теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где будет учтено изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;
разработать методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;
формализовать проблему выбора закона изменения ширины ленты, с целью уменьшения зон нахлестов лент и предложить численный алгоритм решения этой проблемы;
описать закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;
разработать на базе построенных геометрических моделей и методик компьютерную модель процессов намотки и выкладки, позволяющую дать качественный анализ выбираемой схемы укладки ленты, решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, получать закон движения нитераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты.
Методы исследования. Поставленные в работе теоретические задачи решаются методами дифференциальной и вычислительной геометрий. Применяется аппарат математического анализа, теория дифференциальных уравнений, теория матриц, теория уравнений в конечных разностях, методы функционального анализа, методы вычислительной математики. Для построения компьютерной модели использовалось программное обеспечение MathCad v. 11 компании РТС и среда программирования MVC 6.0 (Microsoft Visual C+ + версия 6.0).
Научная новизна работы:
найдено разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно заданным коэффициентами разложения для различных краевых условий;
дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям:
функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;
разработан численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;
дано конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С , являющихся поверхностями зависимых сечений;
разработаны теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, обобщающие существующие разработки по моделированию процесса намотки;
разработаны методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;
формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты, из соображений уменьшения зон нахлестов лент и предложен численный алгоритм решения этой проблемы;
разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, в которых учитывается изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;
описан закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;
разработаны компьютерные модели процессов намотки и выкладки сложных конструкций из композиционных материалов, в рамках которых можно получить детальный анализ схемы армирования на предмет возможности получения конструкции по данной схеме методом намотки или выкладки.
Ценность основных научных результатов. Ценность диссертации определяется научной новизной полученных результатов. Новизна научных результатов заключается в разработке нового математического аппарата предназначенного для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, предоставляющего простой и эффективный инструментарий для решения разнообразных проблем, возникающих при анализе и коррекции схем армирования.
Практическая полезность результатов исследований. Разработанные в диссертации геометрические модели технологических процессов намотки и выкладки, а также разработанные на базе этих моделей компьютерные модели указанных процессов позволяют детально исследовать схемы армирования, получать законы движения исполнительных механизмов станков с числовым программным управлением. Разработанные методики расчета параметров, характеризующих схему армирования, позволяют предопределять возможность получения изделия методом намотки или выкладки по данной схеме и корректировать эту схему для достижения такой возможности. Все это
позволяет существенно снизить затраты при создании опытных образцов конструкций за счет отработки схемы армирования с использованием компьютерной модели, вследствие экономии дорогостоящих композиционных материалов. Разработанный математический аппарат позволяет ставить и решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, например, в рамках компьютерной модели решается задача выбора закона изменения ширины ленты, из условия уменьшения зон нахлестов лент.
Реализация результатов работы. Математическая модель технологического процесса выкладки и методики построения поверхностей оправок были использованы для анализа схемы армирования при изготовлении методом выкладки лопатки перспективного двигателя нового поколения в ОАО «НИАТ». Математическая модель намотки и методики расчета параметров, характеризующих процесс намотки, были внедрены на ОАО «Туполев». Методика моделирования поверхностей по точечному каркасу сечений была внедрена на предприятии ОАО «ОКБ Сухого».
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике, Нижний Новгород, 1997 год;
Конференции в Зеленограде: «Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики», 1995 год;
Конференции в Улан-Уде «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования», 1996 год;
Научно-методический семинар по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике: «Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации», 1997 год;
V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», 2008 год.
II Всероссийской научно-практической студенческой школе-семинаре «Компьютерный инжиринг в промышленности и вузах», посвященной 80-летию МАИ, г. Кременки, «Вятичи», 20-21 ноября, 2009 год.
Публикации. Результаты теоретических и прикладных исследований были опубликованы в 16 научных статьях из перечня ВАК и одной монографии.
На защиту выносятся следующие результаты:
конструктивное доказательство теоремы о возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической, для которой функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание;
теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами;
конструктивное доказательство возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений;
численный метод нахождения значения функции, определяющей в каждой точке поверхности число лент, накрывающих эту точку;
методология анализа схемы укладки ленты на поверхность оправки и численный метод выбора закона изменения ширины ленты, обеспечивающий уменьшение зон нахлестов ленты в процессе ее укладки на поверхность;
компьютерные модели технологических процессов намотки и выкладки
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка используемой литературы и двух приложений. Работа содержит 332 страницы из них 48 страниц приложений, 73 рисунка, 10 таблиц и 219 наименований используемых литературных источников.
Вычислительные формулы для параметров, характеризующих технологический процесс намотки
Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке нового математического аппарата предназначенного для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, предоставляющего простой и эффективный инструментарий для решения разнообразных проблем, возникающих при анализе и коррекции схем армирования. В работе получены следующие новые результаты: 1. Найдено разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно заданным коэффициентами разложения для различных краевых условий; 2. Дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С2 к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты; 3. Разработан численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку; 4. Дано конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С , являющихся поверхностями зависимых сечений; 5. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, обобщающие существующие разработки по моделированию процесса намотки; 6. Разработаны методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности; 7. Формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты, из соображений уменьшения зон нахлестов лент и предложен численный алгоритм решения этой проблемы; 8. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, в которых учитывается изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты; 9. Описан закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитьшающий ее реальное расположение на поверхности; 10. Разработаны компьютерные модели процессов намотки и выкладки сложных конструкций из композиционных материалов, в рамках которых можно получить детальный анализ схемы армирования на предмет возможности получения конструкции по данной схеме методом намотки или выкладки. Практическая ценность. Разработанные в диссертации геометрические модели технологических процессов намотки и выкладки, а также разработанные на базе этих моделей компьютерные модели указанных процессов позволяют детально исследовать схемы армирования, получать законы движения исполнительных механизмов станков с числовым программным управлением. Разработанные методики расчета параметров, характеризующих схему армирования, позволяют предопределять возможность получения изделия методом намотки или выкладки по данной схеме и корректировать эту схему для достижения такой возможности. Все это позволяет существенно снизить затраты при создании опытных образцов конструкций за счет отработки схемы армирования с использованием компьютерной модели, вследствие экономии дорогостоящих композиционных материалов. Разработанный математический аппарат позволяет ставить и решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, например, в рамках компьютерной модели решается задача выбора закона изменения ширины ленты, из условия уменьшения зон нахлестов лент. Реализация работы. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, были внедрены на некоторых предприятиях авиационной промышленности в виде методов моделирования поверхностей, применяемых в процессах намотки и выкладки, а так же методов расчета параметров эти процессов. Разработанные компьютерные модели были включены в системы автоматизированной подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ на этих предприятиях Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике, Нижний Новгород, 1997 год [25]; Конференции в Зеленограде: «Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики», 1995 год [105]; Конференции в Улан-Уде «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования», 1996 год [106]; Научно-методический семинар по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике: «Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации», 1997 год [107]; V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», 2008 год [24]. II Всероссийской научно-практической студенческой школе-семинаре «Компьютерный инжиринг в промышленности и вузах», посвященной 80-летию МАИ, г. Кременки, «Вятичи», 20-21 ноября, 2009 год [23]. Публикации. Результаты теоретических и прикладных исследований бьши опубликованы в 16 научных статьях из перечня ВАК и одной монографии. На защиту выносятся: конструктивное доказательство теоремы о возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической, для которой функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание; теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами; конструктивное доказательство возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений; численный метод нахождения значения функции, определяющей в каждой точке поверхности число лент, накрывающих эту точку; методология анализа схемы укладки ленты на поверхность оправки и численный метод выбора закона изменения ширины ленты, обеспечивающий уменьшение зон нахлестов ленты в процессе ее укладки на поверхность; компьютерные модели технологических процессов намотки и выкладки Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 332 М.П.С. состоит из введения, семи глав, заключения, списка используемых источников из 219 наименований и двух приложений объемом 48 страниц. В работе содержится 73 рисунков и 10 таблиц.
Методология введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической
В главе 1 была рассмотрена существующая математическая модель намотки, наиболее точно описывающая процесс укладки ленты, учитывающая изменения геометрических характеристик различных волокон, нитей ленты в ее поперечном сечении при укладке на поверхность оправки. Были указаны недостатки этой модели и представлен другой взгляд на процессы намотки и выкладки. Этот новый взгляд состоит в следующем. Так как лента представляет собой прямоугольник, а в процессе ее укладки на поверхность, мы каждой точке ленты ставим в соответствие точку поверхности, то описать укладку ленты на поверхность оправки можно с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство R3. Образом прямоугольника при таком отображении является множество точек ленты на поверхности оправки [30]. В главе 2 был разработан математический аппарат для того, чтобы указанное отображение можно было выписать. В данной главе мьыгрименим результаты; полученные в главе 2, к построению новой геометрической модели укладки ленты из однонаправленных волокон на поверхность технологической оправки, которая обобщит известные геометрические модели процесса намотки [26].
Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz и поверхность X класса С задана параметрическим представлением Эта кривая будет определять нам схему укладки ленты. Например, по кривой у мы укладываем среднюю нить ленты (можно укладьшать крайнюю нить ленты). Как было показано в главе 2, на поверхности существует система координат u = t,v = S, для которой функции U(t,S), V(t,S) связи этих координат и криволинейных координат на поверхности допускают явное задание; определены на прямоугольнике \_ o iJx[—d/2;d/2], принадлежат С2(К) и нормы Ц -Н Ц , 11 КПСР(ЛГ) Р = 0 1 2 можно сделать меньше любого, наперед заданного числа (здесь, как и раньше, un{t,8), vn(t,S) - функции связи полугеодезических координат и криволинейных). Заметим, что число d определит нам допустимую ширину ленты. Применим теперь разработанную методику к построению геометрической модели укладки ленты на технологическую оправку. Определим отображение W: К — R следующим равенством [30]: Следовательно, кривая, с параметрическим представлением w(t,S), ґ e[r0;rj], путем выбора функций U(t,8), V(t,5), может быть сделана сколь угодно близкой к геодезической параллели кривой намотки, соответствующей выбранному значению 5. Поэтому в новой модели, мы будем считать, что нить ленты, находящаяся на расстоянии \5\, 8 є \-d 12,d 12] от средней нити, укладывается на поверхность по кривой, определяемой вектор функцией w(t,S), tєГ0;ґЛ. Таким образом, разработана геометрическая модель укладки ленты на оправку, в которой лента представляется образом прямоугольника при отображении W . Естественно на практике удобней работать с функцией, которую можно явно выписать, а не с геодезическими параллелями. Как отмечалось во введении, намотка может осуществляться препрегом, ширина которого практически постоянна (метод «сухой» намотки), а может осуществляться, так называемой, ровницей. С таким методом намотки мы сталкиваемся, когда лента собирается из нитей непосредственно перед укладкой на поверхность (метод «мокрой» намотки). В этом случае ширину ленты нельзя считать фиксированной, так как она может изменяться в процессе намотки путем поворота раскладывающей головки. Этим можно пользоваться для изменения зон нахлестов ленты. Предложенная выше модель ленты на поверхности годится для лент постоянной ширины (препрегов), но небольшая 114 ее модификация даст возможность моделировать и ровницу. Рассмотрим эту модификацию. Схему укладки ровницы будем, по-прежнему, задавать с помощью кривой (31) на поверхности . Моделировать укладку ровницы мы будем с помощью вектор - функции [35] где неотрицательные на отрезке U"o ij функции сгДг) и cr2(t) задают закон изменения ширины ленты. При этом 0 dmb Tj(r) + T2(t) d, Очевидно, что гомеоморфизм задает преобразование прямоугольника К =[r0;rj]x[-fi? /2;d /2] на замкнутую область Ка. Поэтому положение ленты на оправке можно представить и как образ множества К при отображении W.K— К , определенном следующим образом: Итак, в нашей геометрической модели укладки ровницы на технологическую оправку мы моделируем укладку нитей ленты по кривым w(t,s) = r(UoH(t,s),VoH(t,s)),te[t0;tl]. При 5=±с//2, мы получаем кривые, по которым укладываются крайние нити ленты. Заметим, что, если т,(t) = т2(t) = с//2, є[ґ0 -ак; + ак], то Н тождественное преобразование. Следовательно, мы получим геометрическую модель укладки препрега, представленную выше. Задать закон изменения ширины ленты можно в компьютерной модели процесса намотки исходя из тех соображений, чтобы уменьшить зоны нахлеста лент. Данный параграф посвящен получению вычислительных формул для параметров, характеризующих схему укладки ленты, при моделировании технологического процесса намотки с помощью гладкого отображения [32]. Представляемые методики годятся как для укладки препрега, так и для укладки ровницы. При намотке ровницей под функциями U, V будем понимать функции Uoff, Voff. И в том и другом случае будем считать их определенными на прямоугольнике К = Гг0;гЛ х \-d 12,d 12]. Равновесность положения нити на поверхности оправки характеризуется тангенсом угла 0 геодезического отклонения. Пусть // - коэффициент трения скольжения материала нити о материал поверхности. Тогда для равновесности нити [135] ленты в точках кривой, по которой укладывается нить, должно выполняться неравенство . Как было сказано выше, в нашей геометрической модели укладки ленты на оправку, нить ленты укладывается на поверхность по кривой, определяемой вектор — функцией W\t,S), tє t0 ,tl .
О некоторых особенностях моделирования укладки ленты на технологическую оправку
На сегодняшнее время существует хорошо развитая математическая модель процесса намотки, для случая, когда поверхность технологической оправки представляет собой поверхность вращения [58]. В рамках этой модели существуют способы выбора начальных условий для кривой, определяющей рисунок укладки ленты, так, чтобы лента при своей укладке ложилась на поверхность равномерно. Для произвольных поверхностей таких условий не существует и, задав начальные условия для кривой намотки, предсказать заранее, как лента ляжет на поверхность не возможно. Укладку ленты можно увидеть только непосредственно на станке, либо в компьютерной модели процесса намотки.
В данном параграфе будут даны некоторые рекомендации к тому, как можно выбрать начальные условия для кривой намотки, чтобы ленты прилегала к поверхности оправки, была равновесна на поверхности и укладывалась на поверхность «равномерно». Последнее означает, что будет сделано все возмоишое, чтобы исключить ситуации, когда на поверхности появляются участки с большим количеством слоев ленты и участки, где лента отсутствует или ее мало по сравнению с другими участками поверхности. Так как понятно, что «не равномерность» укладки ленты приводит к уменьшению прочности изделия.
Заметим, что при укладке ленты по геодезической линии, автоматически обеспечивается равновесность средней нити ленты, так как она укладывается по геодезической линии, а тангенс угла геодезического отклонения в каждой точке геодезической линии равен нулю. Из построения функции намотки, следует, что функция tg(t,5) непрерывна на своей области определения К = [t0;tl]x[-d I2;d /2]. Поэтому всегда можно выбрать ширину ленты так, что неравенство 2g(, 5j // будет выполнено для всех (t,S)eK. Аналогичные рассуждения можно провести для относительных удлинений волокон ленты. Функция е(,) непрерывна на К, поэтому, если относительное удлинение среднего волокна s(t,0) = 0 удовлетворяет условию 0 е0 тах, то последнее неравенство будет выполнено для всех нитей, находящихся от средней нити не дальше некоторого расстояния, которое и определит нам ширину ленты. Итак, если кривая намотки является геодезической линией, то всегда можно выбрать ширину ленты, чтобы все нити ленты были равновесны и прилегали к поверхности. Пусть d ширина ленты и поверхность оправки Z класса С задана параметрическим представлением (30). Как было отмечено в 3.4, для однозначного задания геодезической линии на такой поверхности достаточно указать точку на поверхности, из которой мы будем строить геодезическую и направление, по которому геодезическая выходит из этой точки. Задать точку на поверхности равносильно заданию пары параметров (и; )- Направление мы будем задавать с помощью угла а, который геодезическая линия образует с и -линией поверхности, соответствующей значению параметра v. Выберем на отрезках I a{,bx J, І з2;Ь2 J равномерные сетки Итак, по предлагаемому алгоритму выбора схемы укладки, мы процесс намотки разбиваем на несколько этапов. На каждом этапе укладываем ленты заданной длины L так, чтобы она закрыла как можно больше ячеек на поверхности. Причем, когда закрыты все ячейки, то выбор начальных условий для кривой намотки осуществляется из условия, чтобы новая лента закрывала те ячейки, которые закрыты малым количеством слоев на предыдущих этапах. По описанному алгоритму мы на каждом шаге контролируем равномерность укладки ленты. Для полноты изложения осталось указать метод минимизации рассмотренной выше функции. Минимизировать мы ее будем методом покоординатного спуска [52]. Пусть намотка осуществляется по геодезическим линиям. Тогда, начальные условия для кривой намотки определяются вектором X = {u,v,a), где u,v определяют точку на поверхности, а а - это угол, образуемый геодезической с и — линией поверхности. Зададим начальное приближение uQ = al;vQ = a2; а0=0 и два параметра метода Ає(0;і) и 3.7 Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку В этом параграфе мы опишем закон движения раскладчика ленты по заданному рисунку укладки ровницы в системе координат неподвижной относительно оправки [21]. Этот закон будет учитывать ширину ленты, в отличие от законов, полученных в работе [71]. Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz, неподвижная относительно поверхности оправки. Мы найдем закон движения раскладчика относительно этой системы. Положение раскладывающей головки в пространстве в системе Oxyz будем описывать радиус-вектором гх(г) одной из крайних точек А этой головки, а ее ориентацию в пространстве вектором p(t), с началом в выбранной точке А и концом в другой крайней точке головки. При этом р(г) = const р (рисунок 23). Обозначим А, — расстояние от точки А до точки схода крайней нити ленты, например, определяемой вектор - функцией w{t,d 12), ґєГг0;ґ,1, с поверхности оправки. Это значение мы зафиксируем. Аналогично, пусть А2(г) - расстояние от другой крайней точки раскладчика до точки схода второй крайней нити с поверхности. Его мы будем находить. Очевидно, имеют место равенства:
Аппроксимация поверхностей технологических оправок поверхностями определяемыми точечными каркасами сечений
При изготовлении конструкций методом намотки, поверхности оправок, как правило, состоят из нескольких изделий. Эти поверхности изделий составляют конструктивную часть оправки. Кроме конструктивной части, оправка содержит технологическую часть. Технологическая часть поверхности оправки может состоять из частей, состыковывающих поверхности разных изделий, из поверхностей законцовок и из переходных поверхностей между изделиями и законцовками. Назначение законцовок состоит в реализации поворота ленты для обеспечения непрерывности процесса намотки. Технологическая часть в итоге отрезается и не используется в изделии. Таким образом, одним из важнейших этапов моделирования процессов намотки и выкладки является создание математической модели поверхности технологической оправки, на которую осуществляется намотка или выкладка. От точности модели, описывающей поверхность оправки, во многом зависит качество управляющих программ и точность реализации процессов.
Как было отмечено в главе 1, при моделировании укладки ленты на поверхность оправки требуется знать первые и вторые частные производные вектор-функции, определяющей поверхность. Следовательно, моделировать необходимо дважды непрерывно дифференцируемые поверхности. Естественно предпочтительнее всего явное аналитическое задание поверхности в параметрическом виде, позволяющее без труда находить нужные дифференциальные характеристики этой поверхности. Так как конечной целью геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является компьютерная модель, реализующая эти геометрические модели, то задавая поверхности различными способами, мы приходим к большим трудностям в создании компьютерной модели. Так как, во-первых, технологическую и конструктивную части необходимо гладко состыковать, чтобы в итоге получить поверхность класса С2, во-вторых, на разных кусках поверхности необходимо согласовать параметризацию, иначе будут наблюдаться эффекты, отмеченные в главе 1. Наконец при реализации многослойной намотки и выкладки мы приходим к необходимости модифицировать поверхность. Если разные части поверхности заданы различными параметрическими представлениями, мы приходим к проблеме модификации каждой части, а, значит, отсутствует единый алгоритм перестройки поверхности.
Из всего вышесказанного следует, что для реализации компьютерной модели процессов намотки и выкладки необходимо разработать методологию единообразного задания поверхностей класса С . Решению этой проблемы и посвящена данная глава.
Одним из самых распространенных способов задания поверхности изделия является ее задание дискретным точечным каркасом, который получается снятием координат контрольных точек в некоторой фиксированной системе координат, расположенных в сечениях, идущих вдоль некоторой строительной оси. Для моделирования процесса намотки или выкладки требуется построить на основе этого точечного каркаса дважды непрерывно дифференцируемую поверхность методом, который обеспечивал бы относительно высокую скорость вычисления дифференциальных характеристик поверхности. Одним из самых эффективных, таких методов является метод построения поверхности на основе нормализованных сплайнов, который мы и будем применять в нашем случае. Особым преимуществом пользуются кубические сплайны, так как по сравнению с полиномами более высоких степеней здесь практически исключены большие осцилляции между соседними узлами. Итак, пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz и задано множество точек Координаты вектора ff (и) - это кубические сплайны, удовлетворяющие граничным условиям вида (20). При каждом фиксированном значении параметра и мы получаем множество точек (?;. :/ = 0,l,...,/rj, где OQl = /}(#). Выберем на отрезке \c\d\ сетку Av: c = v0 vl ... vk=d и дополним ее узлами.
