Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Распространение неравновесных фоюнов при совместном действии рассеяния на дефектах и трехколонного ангавюнизма (обзор литературы). 16
ГЛАВА II. Роль продольных длинноволновых фононов в.нелокальной теплопроводюсти 21
2.1 Постановка задачи 23
2.2 Полуколичественный анализ кинетического уравнения 30
2.3 Учет точного вида столкновительных членов 41
2.4 Роль ангармонических процессов более высокого порядка 43
ГЛАВА Нераспространение нераспадных та-фоюнов 46
3.1 Кинетическое уравнение, замкнутое на нераспадных модах 47
3.2 Длинноволновые фононы; автомодельная функция Грина .52
3.3 Диффузия нераспадных фононов в изотропной модели 61
ГЛАВА ІV. Интерпретация экспериментов по распространению фононов 73
4.1 Времена рассеяния в 74
4.2 Обсуждение экспериментов 77
Выводы 85
Литература 8
- Полуколичественный анализ кинетического уравнения
- Роль ангармонических процессов более высокого порядка
- Длинноволновые фононы; автомодельная функция Грина
- Обсуждение экспериментов
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время широко распространены эксперименты по изучению поведения фононных неравновесностей, возбуждаемых в образцах полупроводников и диэлектриков различными способами. Например, путем нагрева металлической пленки напыленной на образец импульсом тока, либо действием лазерного луча непосредственно на образец. В экспериментах проводящихся при низких температурах основными механизмами взаимодействия неравновесных фононов являются трехфононное взаимодействие, а также рассеяние на статических дефектах.
Поведение продольных и поперечных акустических фононов в трехфононных столкновениях существенно различно из-за запретов, налагаемых законами сохранения энергии и импульса на некоторые типы взаимодействий.
В задачах, где рассматривается механизм распространения фононов в полупроводниках и диэлектриках, обусловленный совместным действием рассеяния на дефектах и трехфононным энгармонизмом, можно выделить две ситуации, когда наличие разных ветвей спектра фононов влияет на их кинетику: во-первых, это перенос тепла в "грязных" кристаллах, где тепловые фононы 1гсо - Т сильнее рассеиваются на статических дефектах, чем друг на друге. В этом случае поток тепла определяется подтепловыми фононами с где CJ - частота, порядок величины которой имеют фононы, дающие основной вклад в поток энергии. Известен механизм распространения фононов в достаточно "грязных" кристаллах, когда даже на уровне ГІU) рассеяние на дефектах доминирует над фонон -фононным взаимодействием и,где за счет рассеяния на дефектах с
конверсией мод продольные фононы с частотой 60 , для которых взаимодействие с тепловыми фононами запрещено, достаточно быстро превращаются в поперечные, для которых это взаимодейст-вие разрешено. Тогда кинетическое уранение для фононов СО можно заменить на уранение диффузии и считать, что все фононы относятся к одной ветви, причем такой, что фононы могут рассеиваться на тепловых фононах. В результате теплопроводность получается нелокальной (поток энергии в данной точке.определяется распределением температуры во всем пространстве).
Представляет интерес изучение нелокальной теплопроводности в йолее чистых кристаллах, где «ононы СО могут распростра-няться не диффузионно, а баллистическими где нужно учитывать разный характер фонон-фононных процессов для продольных и поперечных подтепловых фононов.
Эта задача рассматривалась и раньше. Но во всех случаях предполагалось, что теплопроводность А может быть выражена через ( Г) , где Ї" - время релаксации "пробного" фонона за счет рассеяния на дефектах и фонон-фононного рассеяния, а усреднение ведется по планковскому распределению. Интеграл по 60 , дающий < Ї" ) , расходится при СО — О , поэтому он обрезается на частотах, где.длина свободного пробега VT порядка размеров образца L. В результате получается теплопроводность Х- , зависящая от L .
Такую процедуру нельзя признать безупречной, в частности
потому, что выражение Х- через < ^Г У с учетом фонон -
фононных столкновений из кинетического уравнения не следует.
Между тем при другом виде усреднения, например при замене
(^СУ ~~* ^^ ~* У , расходимость исчезает. Это указывает
на то, что желательно вычислить Л , не прибегая к априорной схеме усреднения, а исходя из кинетического уравнения. Следует также отметить, что ранее не учитывалось рассеяние на дефектах с конверсией мод. Между тем такие процессы, превращащие друг в друга подтешювые фононы, которые ведут себя по разному при фонон - фононных взаимодействиях, весьма существенны.
Вторая ситуация, когда необходим учет поляризации фононов, возникает при распространении надтепловых фононов с в условиях, когда числа заполнения фононов И. (CJ)«jf и, следовательно, единственными ангармоническими процессами являются спонтанные распады, разрешенные законами сохранения лишь для некоторых мод.
В настоящее время нет сомнений в том, что распространение неравновесных фононов, рождающихся при остывании и рекомбинации электрон-дырочной плазмы полупроводника, а также при инжекции из "горячих" металлических излучателей, сопровождается распадом фононов. Такое распространение фононов рассматривалось ранее, при этом использовалась изотропная модель с единственной фонон-ной ветвью, естественно распадной. Между тем,вгреальных кристаллах имеются нераспадные моды, обычно относящиеся к наиболее низкой ветви спектра. Это обстоятельство не играет особой роли в тех случаях, когда при упругом рассеянии на дефектах происходит быстрое превращение нераспадных мод в распадные и числа заполнения этих мод уравниваются.
Однако, в очень чистых кристаллах возможна ситуация, когда распад происходит чаще, чем упругое рассеяние; в этом случае фононы будут скапливаться в нераспадных модах и модель с единственной фононной ветвью неприменима.
В последнее время были проделаны эксперименты, в которых изучались распространение и времена жизни высокочастотных не-распадных фононов в чистых образцах (jQ. r\S и других кристаллах. Интерпретация этих экспериментов представляется неудовлетворительной. Это послужило дополнительным стимулом для изучения распространения надтепловых фононов в кристаллах при указанной выше ситуации.
Цель настоящей работы - исследование влияния наличия различных ветвей фононного спектра на кинетику неравновесных подтеп-ловых фононов в "грязных" кристаллах (кристаллах с достаточно большой концентрацией статических дефектов) и надтепловых неравновесных фононов в чистых кристаллах полупроводников и диэлектриков при низких температурах.
При этом ставились следующие задачи:
Исследование нелокальной теплопроводности, исходя из кинетического уравнения и с учетом конверсии мод при рассеянии фононов на дефектах в кристаллах, где тепловые фононы сильнее рассеиваются на статических дефектах^ чем друг на друге.
Изучение распространения надтепловых фононов в кристаллах, где спонтанный распад тех мод, для которых он разрешен законами сохранения, происходит быстрее, чем упругое рассеяние на дефектах.
Дать объяснение экспериментов по распространению высокочастотных фононов в GaAs на основе развитой теории.
Согласно поставленной задаче к защите выдвигаются следующие основные натчные положения:
В кристаллах полупроводников и диэлектриков с большим содержанием статических дефектов при низких температурах теплопроводность нелокальна (поток энергии в данной точке определяется распределением температуры во всем пространстве).
При определенных концентрациях дефектов и размерах области фононной неравновесности наличие разных ветвей спектра влияет сильно на характер теплопроводности.
Область температуры и концентрации дефектов, где справедливо выражение теплопроводности
концентрация дефектов, L, - макроскопический размер, например: размер фононной неравновесности) примыкает со стороны низких температур не к области казимировской теплопроводности, как это считалось ранее, а к области, где справедлив закон теплопроводности % - Lг s і
Распространение надтепловых фононов ) в кристаллах, где спонтанный распад тех мод, для которых он разрешен законами сохранения, происходит быстрее, чем упругое рассеяние на дефектах, описывается кинетическим уравнением, для которого имеет место автомодельное решение.
Зависимость времени распространения фононной неравновесности от расстояния в кристаллах, где спонтанный распад распадных мод доминирует над рассеянием на дефектах, имеет линейный характер.
Если число нераспадных мод заметно превышает число распадных, то распространение неравновесных надтепловых фононов описывается уравнением диффузии, что, однако, не нарушает линейной зависимости времени распространения неравновесности от расстояния.
9 Научная новизна. Впервые:
Развита теория нелокальной теплопроводности в кристаллах, где тепловые фононы сильнее рассеиваются на статических дефектах, чем друг на друге, исходя из кинетических уравнений и с учетом конверсии мод при рассеянии фононов на дефектах.
Проведен анализ области значений параметров L/Vt0 и & = То/ЯГо для кристаллов, теплопроводность которых определяется совместным действием рассеяния фононов на дефектах и трехфононным взаимодействием. ( [_, - размер области фононної неравновесности, S - параметр, определяющий чистоту кристалла, Т0 и ЧГ0 время фонон-фононных взаимодействий
и рассеяния на дефектах для тепловых фононов).
3. Развита теория распространения надтепловых фононов
в кристаллах, где спонтанный распад тех мод, для которых он разрешен законами сохранения, происходит быстрее, чем упругое рассеяние на дефектах.
4. Теория распространения надтепловых фононов в кристаллах, где
спонтанный распад мод доминирует над рассеянием на дефектах,
рассмотрена для случая, когда число нераспадных мод заметно
превышает число распадных.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем:
I. Классификация областей значений параметров д'^^о/^о ( L - размер области фононной неравновесности, Т'о - время фонон-фононных взаимодействий для тепловых фононов, ^о - время рассеяния на дефектах тепловых фононов) для кристаллов, где теплонроводность определяется совместным действием рассеяния фононов на дефектах и трехфононным ангармониз-
мом, может быть использована в экспериментах по переносу тепла в полупроводниках и диэлектриках при низких температурах.
Построенная теория распространения высокочастотных фононов применима для объяснения экспериментов проводимых над чистыми кристаллами, где спонтанный распад мод, для которых он разрешен законами сохранения, происходит быстрее, чем упругое рассеяние на дефектах.
Дан критический анализ интерпретации экспериментов по распространению фононов в (jCL nS и показано, что результаты этих экспериментов естественным образом объясняются развитой теорией.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы.
В первой главе дан краткий обзор литературы, посвященной переносу тепла фононами в кристаллах, определяемому рассеянием фононов на статических дефектах и трехфононным энгармонизмом, а также литературы, в которой рассмотрено распространение над-тепловых ( П. U ^> 1о ) неравновесных фононов с малыми числами заполнения ( fl(cj)« 1 ).
Во второй главе изучается перенос тепла в "грязных" крис
таллах, где тепловые фононы п СО ~ I сильнее рассеива
ются на статических дефектах, чем друг на друге. Теплопровод
ность А вычисляется, не прибегая к априорной схеме ус
реднения Ї" - времени релаксации "пробного" фонона за счет
рассеяния на дефектах и фонон- фононного рассеяния, а исходя
из кинетического уравнения с учетом конверсии мод при рассея
нии фононов на дефектах.
Рассматривается неограниченный кристалл при низкой темпера-
туре, так что единственный механизм диссипации импульса фоно-нов - рассеяние на дефектах. Считается, что отклонение кристалла от термодинамически равновесного (с температурой |0 ) невелико и может быть описано локальной температурой
Малость отклонения от термодинамическиго равновесия означает, что распределение фононов имеет вид:
где 6 Ylg - мало. Здесь Q - импульс фонона, G -
его поляризация, ҐІТ - планковское распределение
фононов с температурой | . Предполагается,что поток
энергии Vv переносится подтепловыми фононами П. (л) «, 10 .
Для решения кинетических уравнений с учетом допущенных предпо
ложений проводится анализ плоскости параметров L/V^o
и ддя того, чтобы понять,в какой области
параметров существенны те или иные столкновительные и дрейфовые члены.
Плоскость параметров L/\/T0 и &
Полуколичественный анализ кинетического уравнения
Чтобы понять, в какой области параметров существенны те или иные столкновительные и дрейфовые члены, поступим следующим образом. В качестве Qf выберем (2.II) и пренебрежем всеми угловыми зависимостями коэффициентов CL и о в(2.5)и (2.II), Тогда из системы (2.4) можно выразить 5їІ линейно через Q / и изотропные части поправок 5" Jfld Получим систему линейных уравнений для 572 , откуда получаются выражения для S И через 8" I . Подставив их в вышеупомянутые выражения &ҐІ через и , получим окончательно STi , пропорциональные Зная, можно вычислить потоки \ и найти фононы каких частот и поляризаций переносят энергию, проверив тем самым неравенство (2.16). Зная потоки, можно найти характерное время процесса t и проверить неравенства (2.15) и (2.17). Как показывает такой анализ, одновременное выполнение неравенств (2.15) и (2.16) полагает определенное ограничение на L к . Его удобно изобразить в плоскости параметров [_, /\I Q и 5"= / t0 (см. рис.2 в Гі] ). Вид области, где выполняются неравенства (2.15) и (2.16), зависит от того, сколь эффективны фонон-фонон-ные процессы для продольных фононов. В изотропной модели, которой соответствует искомая область ограничена не равенствами
Она расположена на рисі справа от жирных линий. В кубических кристаллах, которым соответствует, и где фонон -фононные процессы для продольных фононов сильнее, область, где существенны подтепловые фононы, меньше (область справа от жирных линий на рис. 2). Она ограничена неравенствами
Тонкими линиями на рис. I и 2 показано разбиение на области, в которых существенны разные члены кинетического уравнения и в которых теплопроводность д имеет разную зависимость от К . Как в изотропной модели, так и для кубического кристалла имеются три области, из.которых область I совпадает с областью, изученной в работе [ Ij . В области I продольные и поперечные фононы дают одинаковый вклад в поток, причем актуальные частоты таковы, что этих частот т.е. диффузионная длина за время поглощения "термостатом" тепловых фононов порядка размеров области возбуждения. Иерархия времен для актуальных частот
Коэффициент теплопроводности где Ci - численный коэффициент порядка единицы, JC0 CJt0 V - "номинальная" теплопроводность и = к V С0 Результат (2,24) совпадает с полученным в работе [i J , где рассматривалась одна фононная ветвь со свойствами поперечных фононов. Это неудивительно, ибо самым быстрым процессом в области I является рассеяние на дефектах, перемешивающее не только направления распространения, но и поляризации. Продольные фононы в области I релаксируют к равновесию за счет конверсии в поперечные при рассеянии на дефектах. Поэтому член Q. фактически можно отбросить, и его выбор в виде (2.ІІ), а не (2.9), роли не играет. Что касается угловой зависимости коэффициентов CL и S , то как мы покажем ниже (на примере других областей) она влияет только на величину коэффициента Qі
В областях II и III, т.е. в более чистых кристаллах, поток определяется только продольными фононами, для которых легче разрушить квазиравновесное распределение, ибо для них процессы энгармонизма слабее. Поперечные фононы в областях II и III можно считать квазиравновесными, т.е;
Поперечные фононы образуют для продольных фононов термостат; между системой продольных фононов и системой поперечных фононов есть два механизма взаимодействия - рассеяние на дефектах с конверсией мод и фонон-фононные взаимодействия, В области II энергию переносят продольные фононы с длиной пробега на примесях порядка макроскопических размеров
При этом так что взаимодействие продольных фононов с термостатом попе -речных фононов происходит за счет конверсии мод при рассеянии на дефектах. Поэтому, как и в области I, слагаемое Q можно отбросить и разница между изотропной средой и кубическим кристаллом исчерпывается несущественными угловыми зависимостями коэффициентов OL и в Теплопроводность определяется выражением где концентрация дефектов; от \ теплопроводность (2,28) не зависит.
В областях I и II, после того как мы пренебрегли всеми угловыми зависимостями коэффициентов Q_ в (2.5) и при отбрасывании члена Qg , система кинетических уравнений для и будет иметь вид:
Роль ангармонических процессов более высокого порядка
В настоящее время нет сомнений в том, что распространение неравновесных фононов, рождащихся при остывании и рекомбинации электрон-дырочной плазмы полупроводника, а также при инжекции из "горячих" металлических излучателей, сопровождается распадом фононов [2,27,28j.
Такое распространение фононов впервые было рассмотрено в ра ботах [І30-32] , где использовалась изотропная модель с единст венной фононной ветвью, естественно распадной. Между тем, в ре альных кристаллах имеются нераспадные моды, обычно относящиеся к наиболее низкой ТА-ветви спектра. Это обстоятельство не игра ет особой роли, в тех случаях, когда при упругом рассеянии на дефектах происходит быстрое превращение нераспадных мод в рас падные, и числа запонения этих мод уравниваются. Однако, в очень чистых кристаллах возможна ситуация, когда распад происходит чаще, чем упругое рассеяние; в этом случае фононы будут скапли авться в нераспадных модах, и модель, использованная в [30-32 J неприменима. Именно такой случай будет рассматриваться в настоящей главе
Итак, изучается распространение надтепловых фононов в кристаллах, где спонтанный распад тех мод, для которых он разрешен законами сохранения, происходит быстрее, чем упругое рассеяние на дефектах; в этих условиях энергия возбуждения сосредоточена в нераспадных модах. Выведено кинетическое уравнение, описывающее распространение нераспадных фононов; кроме упругого рассеяния оно содержит эффективный распад, происходящий при упругом рассеянии с конверсией нераспадной моды в распадную. В длинноволновой области спектра это уравнение приводит к линейной зависимости времени распространения фононной неравновесности t от расстояния Г , причем скорость Г/і меньше скорости звука, ветви G ; V - групповая скорость, j и J столкновительные члены; ответственные за ангармонические трех-фононные процессы (распад и слияние) и за упругое рассеяние на точечных дефектах. Ниже предполагается, что числа заполнения интересующих нас неравновесных фононов малы, /Z « і , а их частоты выше температуры, описывающей равновесные фононы, (л)У \0/1і В этих УСЛОВИЯХ можно пренебречь рассеянием неравновесных фононов на равновесных, а для неравновесных фононов можно учитывать только спонтанные распады, пренебрегая слиянием фононов и индуцированными распадами [31,32 J . В дальнейшем числа заполнения распадных мод обозначаются ЇІеСЦ) нераспадных - \lt () ; выбор индексов С ж t связан с тем, что в изотропной модели распадными являются моды продольной ветви, в нераспадной - моды поперечных ветвей.
Для упругого рассеяния на дефектах J( t) = -n(q)/ C ( l) + fy(q) , (3.5) где X - время упругого рассеяния, а приходный член Здесь интегрирование охватывает все моды: и распадные, и нерас-падные, вероятность \J содержит множитель 8 ((Оу CJ ) Сделаем теперь предположение, что для распадных мод распад - самый быстрый процесс, иначе говоря Т«Ъ t, Г/V , (3.7) где t и Г - характерные масштабы временной и пространственной неоднородности, В этих условиях фононы накапливаются в нераспадных модах, и, как будет видно Ylh » Пг . (3.8) Будем считать, что нераспадных мод не меньше, чем распадных, т.е. в актуальной области частот 9t(v) 9е( + ), (з.9) где 9t и 9е - плотности состояний нераспадных и распадных мод: ?e(u)) = $dq5(co i -со), ,М (Ц-а ).(з.іо) е ь Интеграл, определяющий f » имеет смысл аналогичный (3.4), с той только разницей, что интегрирование идет по области 1Л. - той части зоны Бриллюэна, где моды ветви G нераспадны
Длинноволновые фононы; автомодельная функция Грина
Интегрируя по Г и СО так, как это делалось в [зі J , можно убедиться, что t(t) не зависит от t только, если о = 8 , а верхний предел в (3.50) можно заменить на бесконечность; последнее приводит к требованию Параметр о можно найти и иначе [Зі] - рассмотривая полный поток энергии через сферу радиуса Г со и потребовать, чтобы этот поток не зависел от Г » здесь и 5 элемент поверхности сферы. Выражение для потока может быть преобразовано к следующему виду
Интегрируя сначала по t , а затем по СО , можно проверить, что Q (г) не зависит от Г только, если о( = & и Г» VTСи)) . Множитель Л определяется энергией источника с. Если нормировать функции f„ условием І65Г J о получается о э , со JfjH«f.» (3.55) V3[- ][n 6J4]3 (3.56) величины в квадратных скобках фактически от СО не зависят. Таким образом, в области о; «со, t»$(u), г y vr (со) (3.57) имеет место автомодельное решение для функции Грина GeGMr,t)=№Ml f, ?) (3-58) с автомодельными переменными (3.41) и нормировкой согласно (3.55) и (3.56). Это решение не зависит от частоты источника СО , а только от его полной энергии. Поэтому, если источник размазать по спектру в неком интервале частот Л СО — СО , то решение (3.58) и область его применимости (3.57) не изменятся. Иначе говоря, после нескольких эффективных распадов система забывает об источнике все, кроме его полной энергии.
Покажем теперь, что автомодельное распределение (3.58) соответствует линейному по времени расширению фононной неравновесности. В области (3.57) верхний предел в (3.50) можно положить СО = ; перейдя к интегрированию по ty , найдем
Отсюда видно, что с течением времени распределение плотности энергии преобразуется подобным образом, причем характерный пространственный масштаб растет со временем линейно. Точно так же ведет себя и плотность потока энергии.
Важно подчеркнуть, что автомодельное решение и вытекающий из него линейный характер расширения неравновесности имеют место независимо от соотношения между временами упругого рас-сеяния и эффективного распада Ї" и Т - важно только что они одинаково зависят от частоты. Если распад и рассеяние зависят от частоты по разному, как это предполагалось в работах [зо - 32J , то автомодельное решение существует только в тех случаях, когда можно пренебречь рассеянием (квазибаллистика) или, когда рассеяние происходит значительно чаще, чем распад (квазидиффузия).
Весьма существенным является вопрос - содержит ли система уравнений для автомодельных функций -f малые параметры. Видно, что все величины, входящие в эту систему, связаны толь 61 ко с угловыми и поляризационными зависимостями спектра и веро ятностей рассеяния. Если считать, что от таких величин малые параметры не возникают, то тогда функции f& , \ f / и Ф тоже не содержат малых параметров. В этих условиях можно утверждать, что при линейном расширении фононной нерав новесности соответствующая скорость Г/ t порядка скорос ти звука V . Однако, в действительности во многих случа ях в области низких частот число нераспадных мод заметно пре вышает число распадных: 9, У) Qp (см. 3.3). В этом случае Ї" « Г , т.е. упругое рассеяние нераспаднсто фо нона с конверсией в распадныи происходит значительно реже, чем без конверсии. Иначе говоря, эффективный распад происходит реже чем упругое рассеяние. В этом случае можно от уравнения (3.20) перейти к уравнению диффузии для функции
Важно подчеркнуть, однако, что переход к уравнению диффузии не нарушит линейного преобразования пространственного масштаба, произойдет только уменьшение скорости расширения фононной неравновесности Г/t . Чтобы не загромождать изложение несущественными усложнениями, мы рассмотрим эту ситуацию в изотропной модели.
Диффузия нераспадных Фононов в ИЗОТРОПНОЙ модели. В изотропной модели все продольные моды \_ /\ распадные, все поперечные ТА - нераспадные. Мы будем также считать, что вероятности рассеяния не зависят от направлений фононных им 62 пульсов, а только от поляризаций, В этих условиях T(q) = T .(cj) (3.62) Т—L %) = Т ТМ, (з.бз) причем из принципа детального равновесия следует, что Т } - ЛШ . (3.64) Для всех частот СО , где существует ТА-ветвь, отноше ние (3.64) мало; й длинноволновой области оно есть S-f /Z S L — Оу1 , в коротковолновой области оно еще меньше. Поскольку рассеяние внутри ТА-ветви происходит чаще чем рассеяние с конверсией \ (\ — Lfi , т.е. чаще чем эффек тивный распад, вместо уранения (3.20) можно рассматривать уравнение квазидиффузии Гзі] для изотропной части распределе ния .
Обсуждение экспериментов
В работах [2,4,5 считается, что коротковолновые ТА-фононы частотой около 1,7 ТГц и длиной волны около 8А распространяются в Qd HS без рассеяния на изотопах на длины порядка нескольких мм. Поскольку обычные оценки длины пробега по формуле типа (3.83) дают значительно меньшие значения, было высказано предположение [8] , что эти фононы, лежащие близко к краю зоны, на изотопах рассеиваются слабо, ибо амплитуда колебаний единственного изотопа - (j(2 равна нулю для мод на краю зоны. Однако, если такое правило отбора и имеет место, вряд ли оно работает для всех четырех направлений О , в которых наблюдался эффект "баллистического распространения коротковолновых ТА-фононов" в том числе и для направления [211J с не очень высокой симметрией. Далее, если такое правило отбора существует, то оно справедливо или для легкого атома, или для тяжелого. Между тем в uCLnS изотоп является легким атомом, где "эффект баллистического распространения" тоже наблюдался, изотопы индия и галлия - атомы тяжелые. Сказанное подтверждают и расчеты амплитуд колебаний, выполненные в 9 . На краю зоны в направлении [НО] относительная амплитуда колебаний галлия отнюдь не мала.
Согласно расчетам [9] для Q / [iiOj имеем 6?а т) Q6 Используя это значение и (4.10), получаем Тт-» і = 0,3 мкс, что при групповой скорости VT =0,8 10 см/с соответ-ствует длине пробега 0,3 мм. Вычисляя г т- т » надо учесть дисперсию ТА-фононов. Оценивая плотность состояний (на две ветви) по изотропной модели, имеем где Цт " волновой вектор, VT - групповая скорость.
Полагая, согласно находим Тт- т = 3 не, что дает длину пробега 3 мкм. Такое же значение получается, если использовать взвешенную плотность состояний, найденную в [э] .
Сделанные оценки означают, что баллистическое распространение ТА-фононов 1,7 ТГц на расстояния порядка нескольких мм исключается. Поэтому мы считаем, что линейную связь между расстоянием до детектора и временем прихода сигнала следует объяснять не баллистическим распространением, а своеобразием рассеяния, приводящим к существованию автомодельного решения (3.42) и вытекающим из него линейным законом распространения фононной неравновесности (3.59). Малое значение скорости Г/t по сравнению со скоростью звука объясняется тем, что упругое рассеяние происходит чаще, чем эффективный распад; при этом автомодельное распространение соответствует квазидиффузному режиму, что согласно (3.86) приводит к уменьшенной скорости распространения S .В uCLnS S = 0,58 І05см/с, что весьма близко к измеренной в [2] скорости распространения максимума сигнала Vpeak - »78 10 см/с.
В качестве источника можно рассматривать первичные ТА-фоно-ны с СО =1,7 ТГц, поэтому автомодельное решение (3.85) справедливо при СО « 1,7 ТГц, t » 0,3 мкс, Г » 0,2 мм. С другой стороны из (3.96) следует, что на детектор при Г = 2 мм приходят фононы с СО 0,9 ТГц. Таким образом условия применимости автомодельного решения для описания сигнала детектора выполняются неплохо. В области 0,9 ТГц дисперсия ТА-фононов невелика, что оправдывает использование длинноволнового описания. Найдем теперь времена рассеяния в актуальной области 0,9 ТГц.
