Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Выбор гамильтонианов сильной связи 11
1. Локальная плотность состояний 12
2. Гамильтонианы сильной связи для кристаллических полупроводников 18
3. Гамильтонианы сильной связи для кристаллических диэлектриков 29
4. Новый гамильтониан сильной связи 46
Глава 2. Метод кластера с решеткой Бете 63
1. Электронные состояния в Si. и Ga/ts 64
2. Электронные состояния в SL02 И S 80
3. Примеси и дефекты в твердых телах 91
Глава 3. Структуры полупроводник-диэлектрик 105
I. Идеальная граница раздела 106
2. Граница раздела с дефектами 117
3. Пространственное распределение дислокаций 125
Заключение 137
Литература 139
- Гамильтонианы сильной связи для кристаллических полупроводников
- Новый гамильтониан сильной связи
- Электронные состояния в SL02 И S
- Пространственное распределение дислокаций
Введение к работе
Структуры полупроводник-диэлектрик широко используются в современном полупроводниковом приборостроении, в планарной технологии и в интегральной электронике. Высокоомные диэлектрические слои со стабильными электрическими и химическими свойствами, имеющие низкую плотность локализованных электронных состояний на границе раздела с полупроводником, успешно используются для защиты полупроводниковых приборов, в качестве подзатворных диэлектриков ВДП транзисторов, а также и для создания масок при проведении избирательной диффузии примесей. К сожалению, выбор оптимальных пар в таких структурах и способов их изготовления часто осуществляется без строгого обоснования, поскольку теоретическое описание электронных состояний в структурах полупроводник-диэлектрик пока не отличается полнотой и точностью [і,2J .
Дело в том, что сравнительно легко решается проблема электронных состояний на идеальной границе раздела двух кристаллов с пространственным расположением атомов, характерным для каждого кристалла в отдельности. Однако в действительности имеется некоторая промежуточная фаза, обеспечивающая сравнительно плавный переход между полупроводником и диэлектриком. Так на границе раздела между кристаллическим Si. и аморфной Si. О* обычно присутствует слой Si.О*,
толщиной от 20 до 30 А, где X, изменяется от 0 до 2 при переходе от Ьі до Ьі(/ . Электронные состояния DlO^ могут сильно отличаться от тех, которые отвечают случаю идеальной границы раздела. Представление об идеальной границе не выдерживает критики еще и потому, что при приведении в контакт двух твердых тел пространственное расположение атомов вблизи границы раздела должно искажаться для достижения минимума полной энергии в структуре полупроводник-диэлектрик.
Электронные состояния в структурах полупроводник-диэлектрик лучше всего вычислять методом функций Грина, используя с этой целью подходящее уравнение Дайсона. В этой работе используются матричные функции Грина, определяемые простым обращением некоторых матриц, а не резольвентой дифференциального оператора. Применение этих функций Грина сильно упрощает описание различных сложных систем, в которых можно выделить некоторую простую модельную подсистему [ЗІ. В частности, удается рассмотреть такие задачи, как хемо-сорбция атома на поверхности твердого тела и примесь переходного металла в ковалентном полупроводнике типа кремния, а также те" задачи об электронных состояниях твердых фаз, в которых существенны локальные искажения кристаллической решетки.
Точный гамильтониан электронной системы твердого тела является сложным дифференциальным оператором, который нельзя представить суммой независимых одноэлектронных гамильтонианов из-за вклада межэлектронных взаимодействий. Пока нет метода точного описания этой системы и используются различные приближения. Все приближения основаны на вариационном принципе и используют пробную волновую функцию, представленную с помощью одноэлектронных волновых функций. Минимизация полной энергии по этим одноэлектронным волновым функциям ведет к системе одноэлектронных уравнений, решение которой позволяет численно определить сами одноэлектронные волновые функции. Такой подход справедлив для основного состояния многоэлектронной системы. В методе Хартри-Фока, например, пробная волновая функция записывается в виде слэтеровского детерминанта. Вариационное решение приводит к эффективным одноэлектронным уравнениям с гамильтонианами, которые содержат обменное взаимодействие электронов.
Поправки к хартри-фоковским решениям называются корреляционными. Их обычно учитывают методом конфигурационного взаимодействия. Имеются более строгие одноэлектронные приближения, когда волновая
функция основного состояния многоэлектронной системы твердого тела получается более удобными методами теории функционала электронной плотности [4], согласно которой энергия основного состояния может быть представлена универсальным функционалом электронной плотности с минимумом при корректной плотности многоэлектронной системы. Применение этого вариационного принципа показывает, что задача строго эквивалентна решению системы независимых одноэлектронных уравнений с гамильтонианом Хартри и эффективным обменно-корреляционным потенциалом. Но вид этого потенциала неизвестен. Обычно используется простейшее локальное приближение для этого потенциала, которое встречается в теории свободных электронов. В результате получается приближение локальной плотности.
В этой работе используется одноэлектронное приближение. Матрица одноэлектронного гамильтониана твердого тела может быть задана в различных базисах, но для систем с локализованным возмущением более удобны локализованные орбитали [б]. К числу таких орбиталей относятся обычные атомные орбитали, функции Ваннье, обобщенные функции Ваннье. Но этим перечислением не ограничивается весь класс локализованных орбиталей твердого тела. В эмпирических методах сильной связи обычно используются ортонормированные локализованные орбитали. Параметры электронного гамильтониана твердого тела в базисе этих орбиталей удается подобрать, используя некоторую информацию о твердом теле [б]. Тогда появляется возможность для разработки эффективной схемы расчета электронных состояний более сложных систем.
В качестве модельных подсистем в структурах полупроводник-диэлектрик можно использовать кристаллический полупроводник и аморфный диэлектрик. Гамильтониан сильной связи для кристаллических полупроводников описан в работах [7-9J. Применение этих гамильтонианов дает хорошие результаты для валентных зон, но зоны проводимости обнаруживают значительные отклонения от эмпирических данных. На-
илучшие результаты для зонной структуры кристаллических полупроводников получаются при использовании нового гамильтониана сильной связи Гю] , и этот гамильтониан будет использоваться в нашей работе. Гамильтониан сильной связи для кристаллической SiOg можно также восстановить из данных по ее зонной структуре, изучавшейся в работах [lI-I4J, но для его применения в задаче об электронных состояниях структуры полупроводник-диэлектрик нужно еще провести усреднение по всем атомным конфигурациям, которые встречаются в аморфном диэлектрике.
Задача об электронном спектре аморфного твердого тела относится к числу пока нерешенных проблем. Наибольшие успехи в качественном объяснении особенностей этих спектров были достигнуты для аморфных полупроводников IJ группы, в электронном гамильтониане сильной связи которых преобладают два параметра взаимодействия (в базисе sp -гибридизованных орбиталей). Такой гамильтониан, известный под названием гамильтониана Уэйра-Торпа Гі5,Іб], имеет очень интересные свойства [17-20] . В частности, задача о собственных состояниях гамильтониана Уэйра-Торпа может быть сведена к решению более простой задачи с помощью преобразования двухзонного гамильтониана в однозонный гамильтониан сильной связи. <К сожалению, гамильтониан Уэйра-Торпа совершенно непригоден для аморфных диэлектриков, в электронных гамильтонианах которых присутствует много параметров сравнимой величины.
Локальная плотность электронных состояний в нашей работе вычисляется методом атомного кластера с решеткой Бете [2I-25J. Как известно, решеткой Бете называют бесконечную сетку связанных узлов с одинаковым координационным числом без каких-либо колец из связей между узлами. Поскольку в твердых телах такие кольца из связей присутствуют, обычно выделяется некоторый кластер атомов и к его обо-
рванным связям "подключается" решетка Бете. Подключение решетки Бете к кластеру достигается применением так называемых "полей действия" .являющихся функциями комплексной энергии электрона и зависящих только от свойств решетки Бете. Поля действия в узлах гетерополярних полупроводников, конечно, различаются для атомов различной химической природы. Метод кластера с решеткой Бете может быть применен и для изучения электронной структуры твердых тел с различной координацией образующих их атомов.
Практическая реализация метода сильно упрощается, если в твердом теле существенны лишь взаимодействия между ближайшими атомами. Это налагает весьма жесткие ограничения на форму гамильтонианов сильной связи, которая зависит от выбора локализованных орбиталеи. Сильную локализацию этих орбиталеи можно обеспечить, если отказаться от обычно применяемого условия ортогональности базисных волновых функций. В работе вводятся новые локализованные орбитали и не-эрмитовская матрица электронного гамильтониана, которая используется для определения новой матричной функции Грина. Сравнение с обычно применяемыми обобщенными функциями Ваннье показывает, что в новой формулировке увеличивается число параметров для взаимодействий между ближайшими атомами, что в конечном итоге и определяет большую применимость метода кластера с решеткой Бете для изучения рассматриваемых структур.
Основной недостаток метода кластера с решеткой Бете легко выявляется при сравнении с данными другого метода, в котором используется разложение матричной функции Грина в непрерывную дробь [26-30]. Этот недостаток связан с появлением нефизических сингулярнос-тей в спектре электронной плотности состояний из-за ограничения области существенных взаимодействий ближайшими соседями. Аналогичные сингулярности, конечно, появляются и при использовании метода непрерывной дроби, но в этом методе не возникает трудностей при
расширении области взаимодействий. К сожалению, метод непрерывной дроби трудоемок при практической реализации, и пока нам не известны работы, в которых он применяется для вычисления локальной плотности электронных состояний в сравнительно сложной системе полупроводник-диэлектрик .
Методом кластера с решеткой Бете здесь рассматриваются локальные плотности электронных состояний в ковалентних полупроводниках Ьі. и Guns , в диэлектриках StOg и ді^Нц , а также в аморфных фазах этих полупроводников и диэлектриков. Как известно, в аморфных твердых телах сохраняется ближний порядок кристаллических твердых тел того же химического состава [зі] . Это обстоятельство придает особую перспективность методу кластера с решеткой Бете в исследованиях электронных состояний аморфных тел [32]. Метод кластера с решеткой Бете недавно с успехом привлекался для изучения многокомпонентных аморфных сплавов [зз] и аморфных фаз QjO^ [34] , причем полученные теоретические данные оказались в хорошем согласии с опытом по фотоэмиссионным спектрам этих твердых тел. Мы применили метод кластера с решеткой Бете для изучения структуры полупроводник-диэлектрик.
Конечной целью настоящей диссертации является вычисление локальной плотности электронных состояний в структурах полупроводник-диэлектрик с нейтральными примесями и дефектами, в том числе с вакансиями и с дислокациями. Для решения этой задачи используется метод кластера с решеткой Бете, применимость которого сперва проверяется на резких структурах полупроводник-диэлектрик, кристаллических и аморфных фазах полупроводников и диэлектриков. Поскольку этот метод особенно эффективен в исследованиях твердых тел, взаимодействия между атомами которых ограничены ближайшими соседями, возникла проблема выбора более или менее реалистического гамильто-
ниана сильной связи ( с учетом взаимодействий только между ближайшими соседями) . Матрица такого гамильтониана была задана в базисе новых локализованных орбиталей, которые линейно независимы, но не ортогональны друг другу. Эффективная матрица нового гамильтониана оказывается неэрмитовской в базисе обобщенных функций Ваннье. Поэтому возникла необходимость введения новой матричной функции Грина, по диагональным элементам которой определяется локальная плотность электронных состояний рассматриваемой системы. Поскольку в новой формулировке метода кластера с решеткой Бете встречаются дополнительные параметры взаимодействия для ближайших соседей, мы ожидаем количественное улучшение предсказаний этого метода.
Как известно, качество полупроводниковых приборов и интегральных схем на основе структур полупроводник-диэлектрик сильно зависит от дислокаций, возникающих под действием термических градиентов в виде отдельных линий или полос скольжения [Зб] . Скольжения, например, приводят к увеличению площади планарного р-п перехода и ухудшению его емкостных характеристик. Ухудшаются характеристики и других приборов.
Причина генерации дислокаций в структурах полупроводник-диэлектрик при их высокотемпературных обработках ясна [Зб]. Из-за разности коэффициентов термического расширения двух материалов в гетерофазной системе генерируются термические Напряжения, и если эти напряжения превышают предел текучести материала при заданной температуре, то они вызывают пластическую деформацию, которая полностью или частично снимает термоупругие напряжения. При этом в материал вводятся дислокации. Одновременно изменяется и макроскопическая форма образцов, что проявляется либо в простом изменении прогибов пластины, либо в ее короблении [37]. Существенно, что эти нежелательные эффекты высокотемпературных обработок структур полупроводник-диэлектрик проявились особенно-сильно при пере-
ходе на большие по радиусу пластины, требуемые при производстве больших интегральных схем.
Поскольку термоупругие напряжения распределяются неоднородно по пластине, следует ожидать некоторое пространственное распределение "термических" дислокаций в структурах полупроводник-диэлектрик. В нашей работе развита теория генерации таких дислокаций в круглой пластине, содержащей полупроводник с симметрично расположенными слоями диэлектрика равной толщины, которая находится в квазистационарном температурном поле с радиальным градиентом. Анализ полученных решений показывает, что опасной для генерации дислокаций оказывается центр вогнутой стороны и периферия выпуклой стороны. Показано, что генерация дислокаций затруднена в пластине, вырезанной по плоскости {юо}. К сожалению, случай покоробленных пластин нами не рассматривался из-за непреодолимых математических трудностей (см. близкие задачи в работах [38,39]).
-.II -
Гамильтонианы сильной связи для кристаллических полупроводников
Конечной целью настоящей диссертации является вычисление локальной плотности электронных состояний в структурах полупроводник-диэлектрик с нейтральными примесями и дефектами, в том числе с вакансиями и с дислокациями. Для решения этой задачи используется метод кластера с решеткой Бете, применимость которого сперва проверяется на резких структурах полупроводник-диэлектрик, кристаллических и аморфных фазах полупроводников и диэлектриков. Поскольку этот метод особенно эффективен в исследованиях твердых тел, взаимодействия между атомами которых ограничены ближайшими соседями, возникла проблема выбора более или менее реалистического гамильтониана сильной связи ( с учетом взаимодействий только между ближайшими соседями) . Матрица такого гамильтониана была задана в базисе новых локализованных орбиталей, которые линейно независимы, но не ортогональны друг другу. Эффективная матрица нового гамильтониана оказывается неэрмитовской в базисе обобщенных функций Ваннье. Поэтому возникла необходимость введения новой матричной функции Грина, по диагональным элементам которой определяется локальная плотность электронных состояний рассматриваемой системы. Поскольку в новой формулировке метода кластера с решеткой Бете встречаются дополнительные параметры взаимодействия для ближайших соседей, мы ожидаем количественное улучшение предсказаний этого метода.
Как известно, качество полупроводниковых приборов и интегральных схем на основе структур полупроводник-диэлектрик сильно зависит от дислокаций, возникающих под действием термических градиентов в виде отдельных линий или полос скольжения [Зб] . Скольжения, например, приводят к увеличению площади планарного р-п перехода и ухудшению его емкостных характеристик. Ухудшаются характеристики и других приборов.
Причина генерации дислокаций в структурах полупроводник-диэлектрик при их высокотемпературных обработках ясна [Зб]. Из-за разности коэффициентов термического расширения двух материалов в гетерофазной системе генерируются термические Напряжения, и если эти напряжения превышают предел текучести материала при заданной температуре, то они вызывают пластическую деформацию, которая полностью или частично снимает термоупругие напряжения. При этом в материал вводятся дислокации. Одновременно изменяется и макроскопическая форма образцов, что проявляется либо в простом изменении прогибов пластины, либо в ее короблении [37]. Существенно, что эти нежелательные эффекты высокотемпературных обработок структур полупроводник-диэлектрик проявились особенно-сильно при переходе на большие по радиусу пластины, требуемые при производстве больших интегральных схем.
Поскольку термоупругие напряжения распределяются неоднородно по пластине, следует ожидать некоторое пространственное распределение "термических" дислокаций в структурах полупроводник-диэлектрик. В нашей работе развита теория генерации таких дислокаций в круглой пластине, содержащей полупроводник с симметрично расположенными слоями диэлектрика равной толщины, которая находится в квазистационарном температурном поле с радиальным градиентом. Анализ полученных решений показывает, что опасной для генерации дислокаций оказывается центр вогнутой стороны и периферия выпуклой стороны. Показано, что генерация дислокаций затруднена в пластине, вырезанной по плоскости {юо}. К сожалению, случай покоробленных пластин нами не рассматривался из-за непреодолимых математических трудностей (см. близкие задачи в работах [38,39]).
Из-за ограниченных возможностей современной вычислительной техники пока не удается применить метод самосогласованных функций Грина для расчета электронного спектра структур полупроводник-диэлектрик. Мы воспользуемся методом матричной функции Грина [з] с параметризованным гамильтонианом сильной связи, определяемым заданием некоторой конечной матрицы в базисе локализованных орбита-лей. Вообще говоря, нужно различать сложные системы двух различных типов. К системам первого типа обычно относят такие сложные системы, для которых матрица потенциала возмущения имеет ту же размерность, что и матрица невозмуіценного гамильтониана модельной подсистемы. К системам второго типа тогда нужно отнести сложные системы, у которых матрица потенциала возмущения имеет больше столбцов и строк, чем матрица невозмущенного гамильтониана. Структуры полупроводник-диэлектрик относятся к сложным системам второго типа.
Электронный гамильтониан сложной системы можно найти в два этапа. Сперва требуется подобрать подходящий гамильтониан некоторой модельной подсистемы, например, кристаллического полупроводника или диэлектрика, обеспечив по возможности наиболее точное описание ее электронных свойств. С этой целью обычно подбирают параметры матрицы гамильтониана под эмпирические данные по зонной структуре, плотности электронных состояний и т.п. (Чаще всего применяется метод наименьших квадратов [40]). Затем используют определенные предположения об изменении параметров взаимодействия этого гамильтониана в сложной системе.
Новый гамильтониан сильной связи
Искомая блоховская волновая функция электрона в кристалле может быть представлена в виде разложения по группе базисных функций (так называемых блоховских сумм) в виде локализованных орбита-лей, домноженных на осциллирующий множитель ех.р(иПч) с волновым вектором 1 и вектором решетки Браве R . В кристаллах полупроводников и диэлектриков имеются группы разрешенных энергетических зон, отделенных друг от друга запрещенными зонами. Б каждой такой группе имеются рп различных блоховских функций фуІТ)» где V = I, 2,...,т нумерует перекрывающиеся зоны в каждой отдельной группе. Локализованные орбитали М Дг-Ю можно ввести для каждой -ой подзоны и для каждого вектора R с помощью выражения L5J где Н - число ячеек Вигнера-Зейтца, сумма включает все точки зоны Бриллюэна, а матрица Т(1с) должна быть несингулярна для любого т .
Здесь мы будем использовать локализованные орбитали в виде обобщенных функций Ваннье, которые удовлетворяют (1.29) с унитарной матрицей J \Ю , так что эти функции ортогональны для различных v и К . Обобщенные функции Ваннье преобразуются друг в друга по неприводимым зонным представлениям пространственной группы кристалла, которые напоминают хорошо известные копредставления теории групп для систем с обращением времени. Неприводимые зонные представления классифицируются заданием координаты центра симметрии Т в ячейке Вигнера-Зейтца и индекса Е неприводимого представления точечной группы Ь,- симметрии этого центра, которая является подгруппой пространственной группы кристалла.
Но любое зонное представление пространственной группы при фиксации волнового вектора переходит в представление группы волнового вектора, по которому преобразуется блоховская волновая функция. Поэтому, зная все возможные зонные неприводимые представления (тД) можно вычислить возможные непрерывные аккорды разрешенных зон в любой группе неперекрывающихся зон. Это означает, что для некоторой группы перекрывающихся зон числом п\ существует только m различных обобщенных функций Ваннье, локализованных в Т -ых центрах симметрии и имеющих точечную симметрию I -го неприводимого представления точечной группы этого центра. Анализ показывает, например, что правильный аккорд из восьми нижних разрешенных зон в кристаллах типа алмаза получается, если выбрать по четыре обобщенные функции Ваннье 5-й р-типа на каждый узел кристаллической решетки.
Количественные результаты для зонной структуры кристаллов зависят от применимости двух основных предположений \_б\. Первое из них является искусственным и заключается в пренебрежении взаимодействиями для удаленных соседей. Так в работе (_7j учитывались взаимодействия только между ближайшими атомами в кристаллах типа алмаза и цинковой обманки. Второе также неочевидно [_8,9j. Оно состоит в пренебрежении трехцентровыми матричными элементами гамильтониана, взятыми на обобщенных функциях Ваннье. Если используются оба эти предположения, то говорят об эмпирическом методе сильной связи для зонной структуры кристаллов, в котором параметры взаимодействия подбираются для наилучшего согласования теории и опыта по электронным свойствам кристаллов. К сожалению, часто не удается оценить допустимость этих основных предположений эмпирического метода сильной связи, поскольку экспериментальные данные по зонной структуре кристаллов ограничены сравнительно узким интервалом энергий.
Типичная матрица гамильтониана сильной связи в базисе обобщенных функций Ваннье s- и р-типа, локализованных в узлах решетки, приводится в таблице I для кристалла АВ типа цинковой обманки с учетом взаимодействий до вторых соседей включительно. Здесь использованы следующие обозначения для тригонометрических функций волнового вектора V =4(ХЧ Ю постоянная решетки кристалла Параметры взаимодействия f] из таблицы I выражаются следующим образом через интегралы Костера-Слэтера где т и Т - базисные векторы атомов в ячейке Вигнера-Зейтца. Всего имеется 23 параметра Pi , из них пять параметров f - Р относятся к взаимодействиям между ближайшими соседями:
Здесь числа в скобках указывают декартовы компоненты вектора (f-т - R) в единицах /2. , а буквы А и В указывают сорт атома в кристалле АВ. В кристалле типа алмаза А=В, а независимых параметров взаимодейст вия ґі остается только тринадцать.
Электронные состояния в SL02 И S
Твердые диэлектрики Si0_2 и Si встречаются во многих кристаллических структурах, которые различаются как типом решетки Браве, так и базисными векторами атомов в элементарных ячейках. Однако в большей или меньшей степени для всех этих кристаллических структур характерна почти тетраэдрическая координация атомов Si JJI-I4J . Эта координация имеет место и в кристаллическом кремнии. Поскольку энергетический спектр электронов твердого тела сильно зависит от ближнего порядка [_ 15-І9_], последствия этой тетраэдричес-кой координации и/ должны найти свое отражение и в электронных спектрах ощ и Щпц.
Эффекты тетраэдрической координации атомов в кристаллическом 0І лучше всего учитывать, используя в качестве локализованных ор-биталей так называемые sp -гибриды. Поэтому и для SiO и оі Іц целесообразно использовать эти гибриды в качестве орбиталей, локализованных на атомах Si . Отличие будет только в том, что если в кристаллическом Si гибриды различных атомов взаимодействуют непосредственно друг с другом, то в О1О2 и SIJIH ОНИ взаимодействуют не только между собой, но и с орбиталями "связующих единиц", которыми являются атомы 0 и N .На рис.2 показана схема взаимодействия одной связующей единицы с sp -гибридизованными орбиталями тетра-эдрически координированных атомов А и Б. Если найти такое преобра-зование, которое позволяет заменить взаимодействие sp -гибридов со связующими единицами эффективным взаимодействием между sp -ги бридами, то задача определения электронного спектра не будет ничем отличаться от той, которая уже была решена для тетра-эдрически координированных фаз типа алмаза.
Гамильтониан сильной связи кристаллического оі в базисе sp Физический смысл этих параметров легко установить с помощью рис.2 (внизу). Так - энергия изолированного .sp -гибрида, которую в гомеополярных полупроводниках можно принять равной нулю, отсчитывая от fjj энергии электронных состояний. Параметр V характеризует взаимодействие одного атома и представляет собой обычную энергию промотирования, применяемую в квантовой химии твердого тела, а У2 представляет собой энергию взаимодействия двух гибридов соседних атомов, которые направлены друг к другу. Численные значения У можно получить путем подгонки под электронный спектр кристалла. В точках высокой симметрии зоны Бриллюэна энергии электронных состояний выражаются через параметры V следующим образом:
Нужно заметить, что число независимых параметров взаимодействия уменьшается в двухцентровом приближении для матричных элементов гамильтониана сильной связи кристаллического иі , начиная со вторых соседей (число параметров R Для вторых соседей было равно 7, a Vk - только 4). Поэтому важно определить численные значения параметров с учетом удаленных соседей. На рис.3 показаны энергетические зоны Ь] и Ее , которые получены с помощью параметров У из таблицы 3. Вид этих зон неотличим от более строгих теоретичес Анализ данных таблицы 3 показывает, что наибольшими по величине являются два параметра в Ьі" (Vf и Va) Если только эти параметры учесть в гамильтониане сильной связи, то мы получаем модельный гамильтониан Уэйра-Торпа l5j, который использовался для описания эффектов топологического беспорядка в аморфных фазах тетраэдричес-ки координированных полупроводников. Б более реалистическом гамильтониане \_60j учитываются параметры V, ... 1/ - , относящиеся к взаимодействиям между первыми соседями. Это позволяет учесть не только топологический беспорядок тетраэдрически координированных полупроводников, но и качественный беспорядок, вызванный случайным распределением длин и углов связей, а также диэдральных углов. Из данных таблицы 3 следует, что гамильтонианы работ \j.5 и \_60j не очень пригодны в случае (де , где один из параметров взаимодействия для вторых соседей {]/Л оказывается по модулю больше, чем \]/л . Видно также, что взаимодействия между третьими соседями в кристаллических фазах (j; и Qe оказываются более сильными, чем некоторые взаимодействия между вторыми соседями.
Краткое описание кристаллических форм 5(0о имеется, например, в работе [52 Наивысшую симметрию оіОл имеет в структуре р-кристобалита с пространственной группой О/ . Эта структура . может быть изображена как растянутая решетка кристаллического ui , в центрах ковалентних связей которой находятся атомы 0 . Постоянная решетки структуры Я равна 13.53 ат.ед., а в ячейке Вигнера-Зейтца находятся две молекулы 01 , так что полное число валентных зон равно 16. Каждый атом А в р-кристобалите АХ2 окружен четырьмя атомами X в углах правильного тетраэдра, а каждый атом X -двумя атомами А, лежащими на прямой линии и проходящей через атом X (точечная симметрия узлов X в -кристобалите описывается группой]Lf) . Расстояние между ближайшими Si 0 равно d = 2.93 ат.ед., а между ближайшими 0-0 d&= 4.78 ат.ед. Угол связи А-Х-А в р-кристобалите равен ф = 120.
Пространственное распределение дислокаций
Можно легко показать, что электронные состояния двухкратно вырожденных зон на линии Л между точками Г и L и на линии Д между Г и X т.е. энергетические зоны /1 и Д? также не зависят от не-эрмитовских компонент матрицы М.ІЮ , так как они не зависят даже от гибридизации V UL) и /. (аі)= І \ № 2 ("U) локализованных состояний 2 и 4 на первых и вторых соседях. Однако электронные состояния невырожденных зон /1-і , "2 и Щ чувствительны к гибридизации 3 и t2 орбиталей, а поэтому именно здесь и проявляет себя основной эффект неэрмитовских компонент матрицы Нч .
Так, например, энергия электрона в нижней зоне проводимости /\ описывается выражением где с/ изменяется в пределах от 0 (точка г) до Ті (точка Xj . С помощью обычного дифференцирования легко показать, что положение дна этой зоны зависит от неэрмитовских компонент матрицы _ї(к) . Интересно, что для случая У%( і) = У2( ) = О дисперсия электрона в зоне зависит от средней гибридизации орбиталей &л и 12 на первых соседях, поскольку встречается только произведение Vf(зі) 1 (). Это означает, что отбор важнейших неэрмитовских компонент матрицы должен выполняться обоснованно для каждого кристалла определенного типа симметрии и для каждого кристаллографического класса. Каждый узел решетки кристалла АВ типа цинковой обманки также имеет симметрию точечной группы тетраэдра, а в каждой ячейке Виг-нера-Зейтца имеется два атома А и В. Выбирая по четыре орбитали v = аj , t 2)(. Д2у иІ22 на каждый узел решетки, опять получаем матрицу ])() размерностью 8x8. Эта матрица приводится полностью в таблице 5, где использованы обозначения (і.30) для функций волнового вектора, а параметры взаимодействия выражаются через обычные параметры следующим образом:С учетом взаимодействий до вторых соседей включительно матрица J)(K) имеет 21 независимый параметр, в то время как матрица Н (І) из таблицы I имела 23 независимых параметра. Сокращение числа независимых параметров является следствием большей локализации неортогональных локализованных орбиталеи в сравнении с ортогональными орбиталями типа обобщенных функций Ваннье. Интересно, что с учетом взаимодействий до первых соседей включительно матрица п№) имела 9 независимых параметров для кристалла типа цинковой обманки, тогда как матрица Жу) имеет II параметров. Это означает, что применение неэрмитовской матрицы Д) особенно целесообразно в тех случаях, когда учитываются только взаимодействия между ближ айши-ми соседями, так как в таких случаях появляется возможность уточнения электронного спектра системы за счет большего числа подгоночных параметров.
Численные значения всех параметров матрицы ])() для кристалла типа цинковой обманки можно получить только путем их подгонки под теоретические данные других авторов по зонной структуре этих кристаллов, используя метод наименьших квадратов. С этой целью были использованы зонные диаграммы из работы \_77j, которые вычислялись методом нелокального псевдопотенциала. Результаты подгонки приводятся в таблице 6 для кристаллов Gar и GAHS .
Зонная диаграмма GaAs приводится на рис.9, где сплошной линией показаны результаты диагонализации неэрмитовской матрицы ])(t) , пунктирными линиями - ее эрмитовской части ])(), а точками - данные работы [77J. Здесь же кружками показаны данные фотоэмиссионных измерений с разрешением по углам \?о\. Видно, что включение неэрмитовских компонент матрицы =!)№) улучшает описание нижней зоны проводимости В UAnS .
Плотность электронных состояний GAAS вычислялась методом случайных точек по собственным значениям эффективной матрицы J) ( с параметрами взаимодействия из таблицы 6. Полученные результаты показаны на рис.10, где сплошные линии относятся к неэрмитовской матрице J) () , а пунктирные линии - к ее эрмитовскому блоку.
