Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Стационарное вращение плазмы в токамаке.
1.1. Общая структура уравнений МГД равновесия.
1.2. Тороидальное вращения плазмы в системах с почти круглыми магнитными поверхностями .
1.3. Минимизация сдвига магнитных поверхностей .
Глава 2 Бифуркация равновесия плазмы в токамаке .
2.1. Явление Внутреннего Транспортного Барьера (ВТБ), его основные свойства.
2.2. ВТБ как бифуркация равновесия.
2.3. Примеры бифуркационных решений УГШ .
Глава 3 Равновесие плазмы в токамаке с реверсивным током .
3.1. Интегральное следствие стационарных МГД уравнений (теорема вириала и ее аналоги).
3.2. Особенности равновесия с реверсивным током.
3.3. Нормальное равновесие с реверсивным током .
Заключение список
Литературы
- Тороидальное вращения плазмы в системах с почти круглыми магнитными поверхностями
- Минимизация сдвига магнитных поверхностей
- Примеры бифуркационных решений УГШ
- Нормальное равновесие с реверсивным током
Введение к работе
В данной диссертации представлено теоретическое исследование влияния неоднородного вращения плазмы в токамаке на равновесие. Подробно рассмотрены следующие вопросы: влияние тороидального вращения плазмы на смещение магнитных поверхностей, возможная связь равновесного вращения плазмы с явлением внутреннего транспортного барьера (ВТБ), роль вращения плазмы в получении режимов с реверсивным током.
Токамаки являются наиболее развитыми в настоящее время установками для магнитного удержания высокотемпературной плазмы. Они представляют собой тороидальные аксиально-симметричные системы с током, текущим по плазменному шнуру в тороидальном направлении. Основу теории удержания плазмы составляет теория равновесия, поскольку времена, за которые устанавливается (разрушается) равновесие, обычно малы по сравнению с временами удержания, и при отсутствии равновесия говорить о стационарном удержании не приходится.
В конце 1950-х - начале 1960-х годов была создана теория статического равновесия (со средней массовой скоростью v = 0), см., например, известные обзоры [1]- [5]. Эта теория отвечала на практические вопросы, давала четкие рекомендации, следование которым обеспечило определенный прогресс в исследованиях по удержанию плазмы в токамаках.
К 70-м годам прошлого века многие принципиальные задачи статического равновесия плазмы были уже решены, к этому же времени стало ясно, что для продвижения к термоядерным температурам необходим дополнительный (неомический) нагрев плазмы. Удобным мощным средством дополнительного нагрева служит инжекция пучков быстрых нейтральных атомов, при которой возможно внесение нескомпенсированно-го момента импульса в плазму, что приводит к ее вращению. Кроме то- го, в начале 80-х годов прошлого столетия был достигнут значительный прогресс в приближении к термоядерным параметрам, когда был открыт один из режимов улучшенного удержания, названный Н-модой. Немного позже стало ясно, что такие режимы зачастую сопровождаются макроскопическим вращением плазмы, которое в настоящее время диагностируется на многих современных установках. В современных крупных то-камаках плазма может вращаться как в тороидальном направлении (см., например, [6]), так и в полоидальном (см., например, [7]), причем величина скорости вращения может достигать значений звуковой скорости. Речь идет о стационарном (независящем от времени) вращении.
Когда возможность реализации режимов со стационарным вращением плазмы стала очевидной, появились первые работы, в которых анализировалось влияние вращения плазмы на равновесие в токамаке. Среди этих работ, в первую очередь, стоит отметить работу Машке [8], в которой рассматривалось влияние течений с малыми скоростями на равновесия при малом параметре /3 (величина /3 равна отношению давления плазмы к давлению магнитного поля, /3 ~ р/В2). Затем Грин и Цер-фельд [9] рассмотрели ту же задачу, но без ограничения на величины скорости и параметра ft, и аналогично Шафранову [10], по всей видимости, впервые редуцировали систему векторных стационарных магни-тогидродинамических (МГД) уравнений для случая аксиальной симметрии. Ограничение, которое было использовано при получении скалярных уравнений - это постоянство температуры всюду в шнуре токамака. Грин и Церфельд в этой же работе получили формулу, определяющую зависимость сдвига магнитных поверхностей от давления и от скорости течения плазмы, аналогичную формуле, полученной Шафрановым для статического равновесия [1]. Отметим, что указанное предположение о постоянстве температуры, не влияет на данную зависимость. В своей последующей работе Грин и Церфельд [11] рассмотрели влияние чисто тороидального вращения на сдвиг магнитных поверхностей и указали на влияние вращения плазмы на сдвиг магнитных поверхностей. В этой работе был сделан справедливый вывод о том, что спадающая от центра к периферии плотность кинетической энергии тороидального вращения увеличивает смещение магнитных поверхностей, и указано на то, что модифицированный вследствие вращения плазмы сдвиг магнитных поверхностей зависит, вообще говоря, и от ее градиента. Однако эта зависимость была оценена как несущественная. Несущественность эффекта влияния скорости вращения на сдвиг магнитных поверхностей, отмеченная Грином и Церфельдом, была связана с тем, что, как будет показано ниже, в указанной работе был рассмотрен лишь параболический профиль давления плазмы и заранее предписанный (не оптимальный) профиль скорости тороидального вращения плазмы, т. е. авторы не рассмотрели возможность использования свободы выбора профиля скорости тороидального вращения плазмы.
В предположении постоянства энтропии на магнитной поверхности редуцирование МГД уравнений для осесимметричной геометрии рассмотрел Хамеири [12].
Надо заметить, что работы 70-х - 80-х годов по равновесию с течениями плазмы опережали свое время. Опережение заключалось в том, что скорости потоков плазмы и их градиенты в эксперименте были незначительны, и до конца 80-х годов теория равновесия плазмы рассматривалась как статическая теория.
В 1987 году Кернер и Токуда вновь рассмотрели задачу о равновесии плазмы в токамаке со стационарными потоками, аналогично тому, как это было сделано в работе [12], создав численный код, учитывающий тороидальное вращение плазмы [13]. Дальнейшее развитие теория равновесия со стационарным вращением получила в 90-х годах. В то эта время теория развивалась в работах по созданию численных кодов и в работах по исследованию точных решений и особенностей стационарных течений. Среди наиболее известных численных кодов - код CLIO [14], код FINESS [15]. Код CLIO используется для определения сверхзвуковых течений на установке JET, a FINESS - для расчетов астрофизических и лабораторных плазменных конфигураций. Кроме того, относительно недавно был разработан код FLOW, моделирующий стационарные по-лоидальные и тороидальные течения, достигающие скоростей, сравнимых со скоростью звука [16]. В теоретической работе [17], исследующей переход от звуковых течений к сверхзвуковым в полоидальном направлении, использовался метод моментного разложения. В данной работе такие "экзотические" эффекты рассматриваться не будут; в основном будут рассмотрены эффекты связанные именно с неоднородностью (ши-ровостью) стационарной скорости плазмы в токамаке. В диссертации показывается, что наличие скорости вращения плазмы, изменяющейся на достаточно малом (по сравнению с изменением давления) масштабе или наличие профилированного должным образом вращения может приводить к нетривиальным эффектам даже в случае, когда абсолютное значение скорости не велико по отношению к скорости звука.
Кратко приведем основные положения статической теории равновесия. Основу данной теории составляет следующая система векторных уравнений: Vp = rotB х В, (1) divB = 0. (2)
Здесь и в дальнейшем используется Гауссова система единиц при следующей нормировке магнитного поля: В —> Ъ/у/4п, В - вектор индукции магнитного поля, р - давление плазмы.
Все величины в (1)-(2) следует рассматривать как функции точки пространства, / = /(г). Уравнение (1) обычно называют уравнением силового баланса.
При рассмотрении задачи о равновесии плазмы в токамаке делается традиционное предположение об аксиальной симметрии, которое означает, что в цилиндрической системе координат г, ф, z с центром, совпадающим с геометрическим центром токамака, все величины зависят только от двух переменных: /(г) = f(r,z), а тороидальный угол ф является при этом циклической переменой (дф = 0). Из этого предположения и из уравнения (2) следует общий вид магнитного поля
В г-. Щ х Чф + F(r, z)V
Третье следствие уравнения силового баланса (1) - это известное уравнение Грэда-Шафранова (УГШ):
Ш;1)+> = -*-" (6)
Уравнение (6) было получено в 1957 г. [10] и с тех пор является предметом пристального внимания физиков и математиков; обычно оно ре- шается для предписанных (заранее заданных) зависимостей (5) в некоторой области r,z Є Q,. Отметим, что помимо уравнения (6), полученного в предположении аксиальной симметрии, позже было получено аналогичное уравнение для задач с винтовой симметрией [18]. Общий случай произвольных двумерных (обладающих какой-либо симметрией) задач плазмостатики в криволинейных координатах рассмотрен в обзоре [19].
По определению (3), В Vifi = 0, поэтому поверхности равного по-лоидального ф = const потока называются магнитными поверхностями. В статической магнитной конфигурации, как следует из уравнения (5), магнитные поверхности совпадают с поверхностями постоянного давления. Основное предположение относительно топологии магнитных поверхностей в токамаке - это предположение об их вложенности. Самая внутренняя магнитная поверхность вырождается в замкнутую линию - магнитную ось. В конфигурации может быть несколько магнитных осей, вокруг которых образованы собственные системы вложенных торов. Эти области разделены сепаратрисными поверхностями. Для удержания плазмы желательно иметь конфигурацию с минимальным числом сепаратрис, так как выравнивание давления и температуры вдоль сепаратрисы приводит к увеличению эффективного поперечного выноса энергии из плазмы.
Как отмечалось ранее, в данной работе будет обсуждаться модель равновесия плазмы в токамаке при наличии стационарного вращения, поэтому кратко приведем модель, описывающую такое равновесие - равновесную одножидкостную магнитную гидродинамику (МГД), которая учитывает наиболее "грубые" закономерности поведения плазмы в терминах давления р, массовой скорости v и индукции магнитного поля В: div(pv) = 0 , (7) рЫ V)v + Чр = rotB х В , (8) rot[v x В] = 0. (9)
Уравнения (7)-(9) называют стационарными уравнениями идеальной одножидкостной МГД, поскольку в них не учтены процессы, зависящие от времени (dt = 0), а также диссипативные эффекты, которые связаны с вязкостью плазмы, конечной электропроводностью и т. п. К этим уравнениям следует добавить уравнение определяющее давление р, это будет сделано ниже. В данной диссертации рассматривается именно идеальная модель, вполне удовлетворяющая описанию многих физических процессов в высокотемпературной плазме. Отметим, что существует несколько МГД моделей. Условия применимости одножидкостной МГД модели хорошо известны (см., например, обзор [20]). Применимость уравнений (1)-(2) статического равновесия обсуждалась в ряде известных обзоров (см., например, [5], [21]). Обычно обсуждаемой возможностью пренебрежения массовой скоростью движения плазмы (т. е. перехода к статической модели), указанной в [5], является малость кинетической энергии направленного движения плазмы по сравнению с тепловой: pv2 <С р. Это условие вполне приемлимо при том, что характерный масштаб изменения кинетической энергии вращения плазмы соответствует масштабу изменения давления плазмы - малому радиусу плазменного шнура: pv2(r)/l ~ p/s, где I ~ s. В настоящей диссертации производится переоценка этого условия и утверждается, что условием пренебрежения скоростью плазменного вращения является малость величины |p(v- V)v| по сравнению с |Vp|, поскольку масштабы изменения величин давления и кинетической энергии движения могут быть различными.
В работе Грина и Церфельда [11] отмечено влияние как самой величины скорости, так и ее профиля на величину сдвига магнитных поверхностей, однако, сам эффект, указанный в этой работе оказался слабым; причины этого обсуждаются в гл.1. Утверждение о том, что влияние ско- рости на смещение магнитных поверхностей может быть значительным, сделано в работе [22]. Влияния скорости вращения на равновесие не является очевидным, и в недавней работе [23] утверждается, что этот эффект всегда пренебрежительно мал при значениях скорости меньшей звукового значения. В работе [25] влияние скорости на сдвиг магнитных поверхностей продемонстрировано на конкретных примерах. Эффект уменьшения смещения магнитных поверхностей был также продемонстрирован в работе [26] из анализа примера точного решения УГШ с учетом тороидального вращения. Таким образом, важным фактором в равновесии с вращением является появление новых, не являющихся пренебрежимо малыми при определенных профилях скорости вращения, поверхностных функций - "рычагов", которые дают дополнительную возможность управлять равновесием. В работах [22], [25] роль такого дополнительного рычага играет производная частоты тороидального вращения плазмы по метке магнитной поверхности (в общем случае стационарное вращение плазмы в токамаке характеризуется двумя поверхностными функциями).
Другой аспект нетривиального влияния скорости вращения плазмы на равновесие был продемонстрирован в работе автора [27], где рассмотрен вопрос о равновесии с так называемым реверсивным током [28]. В этой работе показано, что наличие профилированного надлежащим образом вращения плазмы приводит к тому, что равновесие со вложенными магнитными поверхностями при таком токе становится возможным, тогда как в отсутствие вращения - нет. Предыстория вопроса о существовании равновесий с обращенным током такова: в 2000-м году на установках JET [29] и JT-60 [30] были получены режимы с полым током (ток в центре равен нулю и нарастает к периферии шнура). После реализации режимов с полым током возник вопрос о существовании режимов с током, теку- щим в центре шнура в направлении, противоположном основному току плазмы. Как оказалось, равновесия со вложенными магнитными поверхностями и со спадающим всюду от центра токамака к периферии давлением и с таким током запрещены в рамках статической теории. В работе [27] показано, что наличие неоднородного тороидального вращения может кардинально изменить структуру равновесия - сделать возможным равновесие с реверсивным током.
Одна из причин, в результате которых полый ток привлекателен -устойчивость плазмы по отношению к баллонным модам, поэтому его наличие позволяет наиболее просто реализовать режимы с "улучшенным удержанием" плазмы. Основной прогресс по магнитному термоядерному синтезу в последние два десятилетия связан с получением режимов с улучшенным удержанием. К числу таких режимов помимо Я-моды и ее разновидностей относятся режимы с внутренними транспортными барьерами (ВТБ).
ВТБ - это формирование в объеме плазмы узкого (по малому радиусу) слоя с высокими значениями градиентов параметров плазмы (давления и/или плотности). Собственно термин "транспортный барьер" иллюстрирует следующую цепочку простых рассуждений. Обычно считают, что транспортные потоки линейно связаны с градиентами температуры и (или) плотности. Поэтому если в рассматриваемой зоне возникают большие градиенты этих величин, то сохранение потока свидетельствует о резком уменьшении соответствующих транспортных коэффициентов в указанной зоне, отсюда термин - "транспортный барьер". Следует отметить, что посылка о линейной зависимости потока от градиентов физических величин (т. е. посылка о том, что транспорт является диффузионным) отнюдь не является самоочевидной.
В экспериментах второй половины 1990-х ВТБ зачастую получаются путем скачкообразного перехода из одного состояния равновесия в другое [31, 32], демонстрирующего характерные признаки бифуркаций, в том числе, резкое изменение некоторых равновесных параметров (в частности, среднего давления плазмы), гистерезис и пр. Попыткам объяснения возможности перехода в режим с улучшенным удержанием, основы-ванным на бифуркационном поведении неоклассических транспортных коэффициентов, посвящен обзор [33]. В работе Л.М. Коврижных [34] задолго до открытия явления транспортных барьеров утверждалось, что бифуркационное поведение, в принципе, могут демонстрировать даже неоклассические транспортные коэффициенты, однако, как показано в недавней работе того же автора [35], бифуркация неоклассических коэффициентов переноса не имеет места.
Попыткам объяснения как Я-моды, так и ВТБ бифуркацией коэффициентов аномального переноса, посвящены работы [36] - [39].
Если, все-таки, предположить, что коэффициенты переноса испытывают бифуркацию, то изменения макроскопического состояния плазмы в результате изменения транспортных процессов должны, казалось бы, происходить за времена, сравнимые с временем жизни плазмы и/или с характерными временами диссипации (или источников/стоков), тогда как в реальных экспериментах они происходят значительно быстрее. Быстрое изменение макроскопического состояния плазмы означает уход от исходного состояния равновесия, в.результате чего нарушается баланс сил в уравнении (1) и возникает гидродинамическое движение плазмы, реализующееся, в том числе, в виде развитой турбулентности, которая может затем либо срелаксировать к какому-то новому равновесию, либо поддерживаться неустойчивостями в состоянии, которое можно назвать равновесием лишь "в среднем". Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы в этом слое. Долгоживущая плазменная конфигурация с ВТБ должна отвечать условиям равновесия, иначе такая конфигурация разрушилась бы за МГД времена. Поэтому в работах [40], [41] явления ВТБ трактуются с точки зрения МГД равновесия. В этих работах предложена концепция формирования транспортного барьера как бифуркации равновесного состояния, сопровождающейся макроскопическим вращением плазмы в зоне барьера. Как известно, бифуркационные переходы происходят при ограничении числа степеней свободы системы, предопределяя саму возможность скачкообразного перехода перехода и допустимые изменения параметров системы. В работе [41] в качестве дополнительного ограничения при переходе рассматривалось сохранение перекрестной спиральности, сам механизм бифуркации в работах [40], [41] не исследовался. Однако необходимо отметить, что возможность бифуркации равновесных состояний плазмы в токамаке не являются широко известными. Часто можно встретить утверждение о том, что плавное изменение за счет внешних факторов плазмы приводит к немедленному перераспределению текущих по ней токов и, как следствие, к столь же плавной эволюции равновесия. В противоположность этому в работах [42, 43] явно продемонстрирована бифуркация в рамках классической задачи о равновесии плазменного шнура с током на примере простого профиля тока, при котором задача может быть решена аналитически. Выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между различными решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Существенно, что неединственность решения задачи связана именно с нелинейностью рассматриваемого уравнения равновесия, а не с тороидальными эффек- тами - основной результат получен для цилиндрического шнура, а затем продемонстрирован и для тороидальных поправок.
Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы. В первой главе показывается, что профиль скорости вращения плазмы может оказывать существенное влияние на характеристики равновесия, в частности, на величину смещения магнитных поверхностей. В ней определяются используемые в дальнейшем понятия и демонстрируются отличия равновесий с течениями от статических.
В первом параграфе описаны уравнения идеального МГД равновесия стационарно вращающейся плазмы в тороидальной системе магнитного удержания и их следствия для случая аксиальной симметрии. Как и в случае статического равновесия (без макроскопического движения плазмы, v(i,r) = 0), векторное уравнение силового баланса эквивалентно трем скалярным уравнениям. Одно из уравнений - это аналог уравнения Грэда-Шафранова, два других устанавливают функциональные зависимости полоидального тока и давления от полоидального потока, которые в отличие от статического случая являются функциями двух переменных - потока магнитного поля ф и радиуса г в цилиндрической системе координат. Уравнение, определяющее характер зависимости давления от координаты г, легко интегрируется в случаях, когда хотя бы одна из трех функций является поверхностной: 1) плотность; 2) температура; 3) энтропия. Эти три зависимости фигурировали в том или ином виде в литературе и ранее. В частности, в [12] был рассмотрен случай, когда энтропия является поверхностной функцией; в весьма близкой форме эти уравнения были получены в [44]. В нашей работе [40] рассмотрены все три случая.
Во втором параграфе излагается техника моментного разложения уравнения равновесия тороидально вращающейся плазмы в соответствии с методом, изложенным в известном обзоре Захарова и Шафранова [5]. Равновесие с чисто тороидальным вращением описывается уравнением, схожим по форме с обычным уравнением Грэда-Шафранова. Единственное отличие состоит в том, что производная давления dp/йф должна быть заменена на частную производную (др/дф)г, поскольку величина давления, как и в общем случае вращения, является функцией двух переменных -фиг, тогда как в статике - только ф.
Уравнение Грэда-Шафранова с учетом тороидального вращения сначала переписывается в натуральных координатах (а, 9, ф), где а - метка магнитной поверхности: ф = ф(а), в - полоидальный угол, ф - тороидальный. Затем, вводя моменты описывающие форму магнитной поверхности - смещение и эллиптичность - получаем уравнения для их отыскания. Заметим, что уравнения, определяющие эллиптичность и более высокие моменты, имеют различную зависимость от скорости тороидального вращения. Эта зависимость определяется тем, какая из трех функций (плотность, температура или энтропия) выбрана в качестве поверхностной.
Регулируя скорость вращения плазмы в токамаке, можно управлять параметрами авновесия. Для демонстрации таких возможностей в третьем параграфе рассматривается связь величины смещения магнитных поверхностей с абсолютной величиной и профилем скорости вращения плазмы. Используя свободу в выборе профиля скорости (при том, что давление спадает от центра к периферии плазменного шнура) было показано, что величина смещения магнитных поверхностей может быть уменьшена.
Вторая глава посвящена вопросу бифуркации равновесия плазмы в токамаке и рассмотрению явления ВТБ с точки зрения теории равнове-
В первом параграфе второй главы рассматривается явление ВТБ и приводятся основные экспериментальные наблюдения, присущие этому явлению. Среди многочисленных теоретических моделей о возникновении ВТБ в настоящее время доминирует следующая концепция [45]: транспорт в токамаке - вообще говоря, аномальный; неоднородное вращение плазмы под действием электрического поля в зоне барьера приводит к декорреляции возмущений, снижению уровня турбулентности и, следовательно, - к уменьшению транспортных коэффициентов. В настоящей работе анализ механизма транспорта в зоне барьера не производится. Возникновение ВТБ как узкого слоя с высокими значениями градиентор параметров плазмы является непреложным эксперименталь-» ным фактом, причем ВТБ представляет собой долгоживущее образование. Это означает, что плазменная конфигурация с ВТБ должна отвечать условиям МГДравновесия, поскольку в противном случае быстрые МГД процессы разрушили бы ее за времена порядка алъфвеновских.
В диссертации рассмотрена возможность бифуркации термодинамических характеристик (например, температуры). Возникновение вращения при этом - следствие дисбаланса сил, приведшего к переходу. Во втором параграфе из сравнения двух состояний равновесия - до и после формирования барьера - устанавливается величина скачка давления на границе барьера в виде функционала, определяемого параметрами начальной и конечной конфигураций и скоростью вращения плазмы в зоне барьера [40], т. е. возникновение внутреннего транспортного барьера в плазме токамака трактуется как бифуркация равновесного состояния. Эта величина конкретизирована для токамака круглого сечения на примере установки Т-10. Переход из одного состояния в другое может носить бифуркационный характер лишь в том случае, когда эти параметры не произвольны, а связаны какими-то ограничениями; в противном случае будет наблюдаться непрерывная эволюция равновесия. Эти ограничения могут быть следствиями различных физических процессов, но, тем не менее, приводить к сходным макроскопическим результатам. В диссертации рассмотрен случай, когда стуктура магнитных поверхностей вне зоны барьера остается практически неизменной (фактически предполагается сохранение объема, заключенного внутри магнитной поверхности, и среднего квадрата полоидального магнитного поля на этой поверхности, а также интегрального сохранения магнитного потока). Дополнительная связь измеряемой на эксперименте скорости вращения плазмы с параметрами магнитной конфигурации находится из условия сохранения обобщенной завихренности, справедливой в рамках двужидкостной МГД. С использованием этих ограничений выражение для скачка давления конкретизировано применительно к установке Т-10. При этом учитывается, что в процессе формирования ВТБ на Т-10 плотность плазмы остается практически неизменной (поскольку дополнительный нагрев производится введением СВЧ-мощности на частоте электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР)), а вращение плазмы без внесения тороидального импульса происходит в полоидальном направлении.
Макроскопические следствия бифуркации равновесия, рассмотренные во втором параграфе второй главы, получены без обсуждения собственно механизма бифуркации, который может быть различен. Источник бифуркации - в нелинейности уравнения равновесия, что позволяет ожидать появления неединственных (множественных) решений даже в рамках статического равновесия. К примеру, физически разумным является представление о спонтанном изменении структуры магнитных поверхностей в зоне барьера - переход от равновесия с магнитными островами к вложенным поверхностям или наоборот. Такую идею одними из первых рассматривали Захаров, Смоляков и Субботин [46]. Глобальная перестройка равновесия, сопровождающаяся появлением дополнительных магнитных осей, была рассмотрена в работе Брушлинского и др. [47]. Однако бифуркация равновесия возможна и без нарушения структуры вложенных магнитных поверхностей (см. например, обзор Брушлинского [48]). Солано [49] предположила, что такая бифуркация может иметь место и при образовании ВТБ, однако соответствующих примеров ею построено не было. В третьем параграфе второй главы диссертации неединственность решения задачи о равновесии плазменного шнура показана аналитически в классической для уравнения Грэда-Шафранова постановке - при фиксированном полоидальном потоке магнитного поля на границе и при неизменных р(ф) и F(tp). В цилиндрическом приближении плотность тороидального тока является функцией магнитной поверхности. Рассмотрена модель со ступенчатым профилем плотности тока j = J2 + 3\0{ф — фс), где в - функция Хевисайда, J2 > 0. Величина скачка тока {j\ > 0) и его местоположение (фс) являются параметрами задачи. Показано, что количество решений может меняться в зависимости от значений этих параметров, т. е. выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Следует отметить, что теория бифуркаций для краевых задач практически не разработана, поскольку теория катастроф обычно имеет дело с асимптотическим поведением динамических систем, определяемым характером особенностей векторных полей на фазовых портретах этих систем [50].
На неединственный характер решений УГШ в литературе уже указывалось. Неединственности решений УГШ при фиксированном полой- дальном потоке магнитного поля на границе плазменного шнура (применительно не только к токамаку) встречались также в работах [51], [52] и обсуждались в обзорах [53], [48] при численных расчетах. Кроме того, в работе [54] для экспоненциально спадающего профиля давления численными расчетами были получены сходные множественные решения, где граничное значение ф как раз и является бифуркационным параметром. Кроме того, построенные в [54] решения ф(а) (и, соответственно, р(а)) могут не быть монотонными. В настоящей диссертации граничные условия фиксированы, и решения получены аналитически для ступенчатого профиля плотности тока, при помощи которого можно моделировать любой ход плотности тока. Показано, что бифуркационная кривая задачи имеет типичный для теории катастроф вид складки. Найденные бифуркационные решения уравнения равновесия обобщаются и на случай тороидальной геометрии; такие обобщения построены с использованием моментного представления магнитных поверхностей.
В третьей главе рассматривается вопрос о существовании нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током. Под термином "нормальное равновесие" понимается равновесие вокруг. единственной магнитной оси со вложенными магнитными поверхностями с регулярным магнитным полем и со спадающим всюду от центра плазменного шнура к периферии давлением. Реверсивный ток - это тороидальный ток, текущий в центральной части плазменного шнура в направлении, противоположном направлению интегрального тороидального тока. Г. Хаммет и др. [55], используя интегральное следствие статического уравнения равновесия (теорему вириала), показали, что нормального статического равновесия с реверсивным током не существует. Кроме того, авторы указанной работы выдвинули идеи об "альтернативных равновесиях", т. е. без вложенности магнитных поверхностей или с сингулярным магнитным полем. Примеры альтернативного равновесия с расщепленной магнитной осью были получены при численном моделировании [56], [57], а позднее и при аналитическом рассмотрении [58]. Однако поскольку вышеперечисленные работы относились лишь к случаю статического равновесия плазмы, вопрос о реализации нормальных равновесий с реверсивным током до конца решен не был. Целью третьей главы диссертации является демонстрация возможности создания нормального равновесия с реверсивным током в неоднородно вращающейся плазме. В первом параграфе приводится вывод обобщенной теоремы вириала на случай стационарных течений плазмы [40]. В этом случае, как показывается во втором параграфе, равновесия с учетом тороидального вращения плазмы не запрещены: даже чисто тороидальное вращение плазмы снимает вырождения статического уравнения и устраняет запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током [27].
В третьем параграфе такие равновесия предъявлены. Предложена асимптотическая процедура их отыскания (параметром разложения выбирается малая величина обратного аспектного отношения). Искомые равновесия строятся с помощью метода моментного разложения уравнения Грэда-Шафранова, учитывающего тороидальное вращения плазмы; данный метод подробно изложен в первой главе. Проблема решения моментных уравнений в случае реверсивного тока - та же, что и для статических равновесий [59]. Вследствие изменения знака тока внутри интервала, на котором ищется решение, в этих уравнениях появляется вторая особая точка. Действительно, поскольку ток меняет направление, то должна существовать магнитная поверхность с меткой а = ао, на которой тороидальный ток обращается в нуль, «/(ао) = 0, что, вообще говоря, приводит к сингулярности в моментных уравнениях, тогда как для вложенности магнитных поверхностей величина каждого момента должна быть ограничена. В диссертации предложена процедура получения регулярных ограниченных решений моментных уравнений для равновесий с реверсивным током. Идея подхода - в устранении особенностей рассматриваемых моментных уравнений за счет введения определенных ограничений на допустимые распределения равновесных характеристик. В частности, используется свобода выбора профиля скорости тороидального вращения плазмы.
При помощи этой процедуры аналитически и численно найдены смещение и эллиптичность магнитных поверхностей, отвечающие нормальному равновесию.
В Заключении кратко суммированы основные результаты диссертации.
Следующие положения автор выносит на защиту.
Утверждение о возможности эффективного управления сдвигом магнитных поверхностей посредством изменения профиля скорости стационарного тороидального вращения;
Представление о бифуркации равновесия при возникновении внутреннего транспортного барьера в токамаке;
Примеры бифуркационных решений уравнения Грэда-Шафранова при фиксированных профиле тока и граничных условиях как в цилиндрическом приближении, так ив тороидальном случае;
Утверждение о том, что неоднородное тороидальное вращение плазмы снимает запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током в рамках теоремы вириала;
Нахождение нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22], [40], [41], [42], [43], [27].
Тороидальное вращения плазмы в системах с почти круглыми магнитными поверхностями
Если, все-таки, предположить, что коэффициенты переноса испытывают бифуркацию, то изменения макроскопического состояния плазмы в результате изменения транспортных процессов должны, казалось бы, происходить за времена, сравнимые с временем жизни плазмы и/или с характерными временами диссипации (или источников/стоков), тогда как в реальных экспериментах они происходят значительно быстрее. Быстрое изменение макроскопического состояния плазмы означает уход от исходного состояния равновесия, в.результате чего нарушается баланс сил в уравнении (1) и возникает гидродинамическое движение плазмы, реализующееся, в том числе, в виде развитой турбулентности, которая может затем либо срелаксировать к какому-то новому равновесию, либо поддерживаться неустойчивостями в состоянии, которое можно назвать равновесием лишь "в среднем". Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы в этом слое. Долгоживущая плазменная конфигурация с ВТБ должна отвечать условиям равновесия, иначе такая конфигурация разрушилась бы за МГД времена. Поэтому в работах [40], [41] явления ВТБ трактуются с точки зрения МГД равновесия. В этих работах предложена концепция формирования транспортного барьера как бифуркации равновесного состояния, сопровождающейся макроскопическим вращением плазмы в зоне барьера. Как известно, бифуркационные переходы происходят при ограничении числа степеней свободы системы, предопределяя саму возможность скачкообразного перехода перехода и допустимые изменения параметров системы. В работе [41] в качестве дополнительного ограничения при переходе рассматривалось сохранение перекрестной спиральности, сам механизм бифуркации в работах [40], [41] не исследовался. Однако необходимо отметить, что возможность бифуркации равновесных состояний плазмы в токамаке не являются широко известными. Часто можно встретить утверждение о том, что плавное изменение за счет внешних факторов плазмы приводит к немедленному перераспределению текущих по ней токов и, как следствие, к столь же плавной эволюции равновесия. В противоположность этому в работах [42, 43] явно продемонстрирована бифуркация в рамках классической задачи о равновесии плазменного шнура с током на примере простого профиля тока, при котором задача может быть решена аналитически. Выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между различными решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Существенно, что неединственность решения задачи связана именно с нелинейностью рассматриваемого уравнения равновесия, а не с тороидальными эффектами - основной результат получен для цилиндрического шнура, а затем продемонстрирован и для тороидальных поправок.
Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы. В первой главе показывается, что профиль скорости вращения плазмы может оказывать существенное влияние на характеристики равновесия, в частности, на величину смещения магнитных поверхностей. В ней определяются используемые в дальнейшем понятия и демонстрируются отличия равновесий с течениями от статических.
В первом параграфе описаны уравнения идеального МГД равновесия стационарно вращающейся плазмы в тороидальной системе магнитного удержания и их следствия для случая аксиальной симметрии. Как и в случае статического равновесия (без макроскопического движения плазмы, v(i,r) = 0), векторное уравнение силового баланса эквивалентно трем скалярным уравнениям. Одно из уравнений - это аналог уравнения Грэда-Шафранова, два других устанавливают функциональные зависимости полоидального тока и давления от полоидального потока, которые в отличие от статического случая являются функциями двух переменных - потока магнитного поля ф и радиуса г в цилиндрической системе координат. Уравнение, определяющее характер зависимости давления от координаты г, легко интегрируется в случаях, когда хотя бы одна из трех функций является поверхностной: 1) плотность; 2) температура; 3) энтропия. Эти три зависимости фигурировали в том или ином виде в литературе и ранее. В частности, в [12] был рассмотрен случай, когда энтропия является поверхностной функцией; в весьма близкой форме эти уравнения были получены в [44]. В нашей работе [40] рассмотрены все три случая.
Минимизация сдвига магнитных поверхностей
В цилиндрическом приближении плотность тороидального тока является функцией магнитной поверхности. Рассмотрена модель со ступенчатым профилем плотности тока j = J2 + 3\0{ф — фс), где в - функция Хевисайда, J2 0. Величина скачка тока {j\ 0) и его местоположение (фс) являются параметрами задачи. Показано, что количество решений может меняться в зависимости от значений этих параметров, т. е. выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Следует отметить, что теория бифуркаций для краевых задач практически не разработана, поскольку теория катастроф обычно имеет дело с асимптотическим поведением динамических систем, определяемым характером особенностей векторных полей на фазовых портретах этих систем [50].
На неединственный характер решений УГШ в литературе уже указывалось. Неединственности решений УГШ при фиксированном полойдальном потоке магнитного поля на границе плазменного шнура (применительно не только к токамаку) встречались также в работах [51], [52] и обсуждались в обзорах [53], [48] при численных расчетах. Кроме того, в работе [54] для экспоненциально спадающего профиля давления численными расчетами были получены сходные множественные решения, где граничное значение ф как раз и является бифуркационным параметром. Кроме того, построенные в [54] решения ф(а) (и, соответственно, р(а)) могут не быть монотонными. В настоящей диссертации граничные условия фиксированы, и решения получены аналитически для ступенчатого профиля плотности тока, при помощи которого можно моделировать любой ход плотности тока. Показано, что бифуркационная кривая задачи имеет типичный для теории катастроф вид складки. Найденные бифуркационные решения уравнения равновесия обобщаются и на случай тороидальной геометрии; такие обобщения построены с использованием моментного представления магнитных поверхностей.
В третьей главе рассматривается вопрос о существовании нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током. Под термином "нормальное равновесие" понимается равновесие вокруг. единственной магнитной оси со вложенными магнитными поверхностями с регулярным магнитным полем и со спадающим всюду от центра плазменного шнура к периферии давлением. Реверсивный ток - это тороидальный ток, текущий в центральной части плазменного шнура в направлении, противоположном направлению интегрального тороидального тока. Г. Хаммет и др. [55], используя интегральное следствие статического уравнения равновесия (теорему вириала), показали, что нормального статического равновесия с реверсивным током не существует. Кроме того, авторы указанной работы выдвинули идеи об "альтернативных равновесиях", т. е. без вложенности магнитных поверхностей или с сингулярным магнитным полем. Примеры альтернативного равновесия с расщепленной магнитной осью были получены при численном моделировании [56], [57], а позднее и при аналитическом рассмотрении [58]. Однако поскольку вышеперечисленные работы относились лишь к случаю статического равновесия плазмы, вопрос о реализации нормальных равновесий с реверсивным током до конца решен не был. Целью третьей главы диссертации является демонстрация возможности создания нормального равновесия с реверсивным током в неоднородно вращающейся плазме. В первом параграфе приводится вывод обобщенной теоремы вириала на случай стационарных течений плазмы [40]. В этом случае, как показывается во втором параграфе, равновесия с учетом тороидального вращения плазмы не запрещены: даже чисто тороидальное вращение плазмы снимает вырождения статического уравнения и устраняет запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током [27].
Примеры бифуркационных решений УГШ
В последние полтора десятилетия прогресс в достигнутых параметрах плазмы, удерживаемой в магнитных термоядерных системах связан, в основном, с получением на установках токамак режимов с "улучшенным удержанием плазмы", к числу которых относятся, в первую очередь, Н-мода и ее разновидности, а также режимы с внутренними транспортными барьерами. Начиная с работы [65], режимы улучшенного удержания являются объектами тщательного экспериментального изучения и получены к настоящему времени практически на всех работающих тока-маках. Характерной особенностью этих режимов служит возникновение довольно узкого (локализованного по малому радиусу) слоя, в котором резко меняются основные параметры плазмы (температура Т и (или) концентрация частиц п). Этот слой, именуемый "зоной барьера", может быть расположен как на периферии плазменного шнура ("внешний барьер", типичный для Н-моды), так и внутри "горячей" области плазмы (собственно ВТБ) - см., например, рис. 2.1, заимствованный из работы [31]. Хотя физика возникновения барьеров обоих типов, по-видимому, весьма схожа, мы ограничимся рассмотрением явления ВТБ, чтобы избежать обсуждения возможной роли атомных процессов, которые нельзя сбрасывать со счетов при анализе периферийных эффектов. Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного радиального электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы - см. рис. 2.2.
В экспериментах на токамаках второй половины 1990-х годов формирование ВТБ на разных установках происходило по весьма схожему сценарию. В начале в токамаке зажигался разряд и достигалось стационарное (равновесное) состояние. Затем плазма подвергалась интенсивному локальному воздействию (например, инжекцией пучка быстрых нейтральных атомов или высокочастотному нагреву), и при определенных условиях происходил довольно быстрый переход в новое равновесное состояние с ВТБ. Метод воздействия мог быть различным и, в некоторой степени, параметры нового равновесия зависели от характера воздействия. Величина воздействия, приводящего к переходу в новое состояние равновесия с ВТБ, как правило, должна была быть больше некоторого порогового значения, которое определялось исходным состоянием и способом воздействия. В результате перехода в новое состояние в зоне барьера регистрировалось значительное электрическое поле, появление которого должно сопровождаться макроскопическим вращением плазмы в этой области. Однако более существенно, что такой переход реализуется далеко не из всякого исходного состояния; это, в частности, объясняет, почему феномен улучшенного удержания был обнаружен сравнительно недавно, хотя история магнитного термоядерного синтеза насчитывает около пятидесяти лет. Воздействие, приводящее к переходу в новое состояние равновесия с ВТБ, как правило, должно быть больше некоторого порогового значения, которое определяется исходным состоянием и способом воздействия. Эта ситуация весьма схожа с классическим примером бифуркации равновесия груза на упругом стержне с закрепленными концами (см. рис. 2.3), когда имеются только два фиксированных состояния равновесия (промежуточные отсутствуют), а переход из состояния 1 в состояние 2 или наоборот возможен лишь в результате внешнего воздействия в виде конечной деформации, изгибающей стержень.
Следует отметить, что идея трактовки возникновения барьеров как бифуркации равновесия плазмы, хотя и не является общепринятой, тем не менее, лежит "на поверхности" и уже обсуждалась в литературе. Однако вопрос о том, какие именно из многочисленных физических величин, характеризующих равновесие плазмы, испытывают бифуркацию, не закрыт до сих пор. Поскольку резкие изменения электрического потенциала в зонах барьеров, несомненно, имеют самое прямое отношение к рассматриваемому явлению, то, начиная с работ [36, 67], применительно к описанию L-Н-перехода рассматривается концепция о бифуркации радиального электрического поля (и, соответственно, скорости вращения плазмы). В работе [68] L-Н-переход объясняется уже в терминах энергетического времени жизни, вызванной специфической зависимостью коэффициента турбулентной теплопроводности от шира скорости полоидального вращения, которая предполагается неоклассической. Однако для объяснения явления ВТБ логика этих работ представляется не вполне пригодной. Во-первых, как известно, в "горячей" области плазменного шнура полоидальное вращение плазмы должно дрвольно быстро затухать за счет неоклассических эффектов вязкости. Во-вторых, недавние эксперименты по формированию ВТБ на установке Т-10 при помощи ЭЦР [69] демонстрируют, что после формирования ВТБ, когда профиль температуры уже приобрел характерный излом в зоне барьера (рис. 2.4а), величина электрического поля (а, значит, и скорость вращения плазмы) вновь уменьшается (кривая 3 на рис. 2.46). При этом барьер, судя по профилю температуры, сохраняется.
Нормальное равновесие с реверсивным током
Сопоставляя условия (3.17) и (3.18), получаем следующие локальные условия на функции р0 и Е 0: Рассмотрим теперь условие (3.16), которое является интегральным условием разрешимости уравнения (3.14) и содержит неизвестную функцию а (а). Так что, решая уравнение (3.14), нужно следить за выполнением (3.16). Схема одновременного решения (3.14) и (3.16) состоит в следующем. Функция а, входящая в условие (3.16), зависит от своего начального условия ао = а(0) - эллиптичности в центре (или от эллиптичности на границе #(1)). Если бы уравнение (3.14) удалось бы проинтегрировать, то вместо условия (3.16) мы получили бы некоторое алгебраическое уравнение относительно ао- В нашем же случае мы имеем некоторое неявное уравнение относительно этой величины: ї 2(а(ао), ао) = 0- Решаем уравнение (3.14), при этом используем граничные условия на а(а) и а (а) при а = 0. Вместо прямого задания эллипточности в центре, а(0), используем условие (3.16), перебирая различные значения а(0) = ао-Таким образом, мы решаем задачу об отыскании а(а) методом, аналогичным методу стрельбы - меняя ао, следим за выполнением условия (3.16). При найденном ао уравнение (3.14) будет иметь регулярное решение а{а). Теперь, следуя изложенному методу, построим пример нормального равновесия с реверсивным током. Используем для определенности следующую модель тока: Для того, чтобы обеспечить нормальное равновесие, функции р(а) и Е{а) должны удовлетворять условиям (3.19)-(3.21).
Давление выбирается в виде монотонно убывающей функции на промежутке (0,1) с нулевой производной в точке а$\ Кинетическая энергия тороидального вращения может быть нарастающей от центра шнура до нулевой магнитной поверхности, например в виде Показатель степени к выберем из условия (3.21): к = (п—2)(1—Оо)/(пао) п - произвольно, для определенности положим п — 5.7. А величина EQ выбирается из уравнения (3.19). Функции представлены р (а), Е{а) и J {а) представлены на рис.(3.2). Подставив эти функции в уравнение (3.13), находим смещение магнитных поверхностей, представленное на рис.3.3. Эллиптичность магнитной поверхности получим численно, решая уравнение (3.14) совместно с условием (3.16) и используя описанный выше алгоритм - перебирая значения эллиптичности в центре шнура. Заметим, что значение величины ао получилось примерно равным нулю. Зависимость эллиптичности магнитной поверхности а от метки а представлена на рис.3.3. Зная зависимости А(а), а(а) и J(a), можно построить сечения магнитных поверхностей и построить потоковую функцию ф(г, z) (см. рис.3.5), ее линии уровня изибражены на рис.3.4. Заметим, что от условия использования свободы в выборе эллиптичности в центре шнура (или на границе) можно отказаться. Тогда дополнительное условие (3.16) связанное с регулярностью решения уравнения (3.14) можно будет удовлетворить за счет выбора профиля Е. Тем самым мы получим дополнительное интегральное условие на функцию Е {а) подобно (3.19), а Е войдет в это уравнение с весом отличным от а2.
Поэтому новое условие и условие (3.19) будут совместимы, т.е. функция Е может удовлетворять, вообще говоря, бесконечному числу таких (с разными весами) интегральных условий. Уравнения для моментов более высокого порядка, имеют вид, аналогичный уравнениям, определяющим моменты низкого порядка (3.13), (3.14): Условиями регулярности будут аналогичные условиям низших моментов: Как и ранее, при любом і из уравнения (3.27) мы получим локальные условия (3.20) и (3.21) для давления р и плотности кинетической энергии тороидального вращения EQ. ЧТО касается решения уравнения (3.26), то тут возможны две ситуации: Фг(а) зависит от искомого момента или не зависит. Если зависит, то метод решения аналогичен описанному методу решения уравнения для эллиптичности, если нет, то мы получим дополнительное интегральное условие на функцию Е (а). Сделаем замечание относительно модели тороидального тока J (а). В рассмотреном случае у J2(a) был нуль второго порядка в точке ао- Пусть /2(а) имеет нуль более высокого порядка (для определенности п 2) при а = ао, тогда к условиям регулярности моментов следует добавить дополнительные условия
