Содержание к диссертации
Введение
1 Теория переноса интенсивности электромагнитных волн в средах с резонансной диссипацией 17
1.1 О проблемах феноменологического определения энергетических характеристик электромагнитных волн в диссипативных средах. Построение лучевого описания для волновых полей при учете диссипации 17
1.2 Поток энергии электромагнитных волн в анизотропных диссипативных средах с пространственной дисперсией 20
1.2.1 Стационарное волновое поле; поток энергии в диспергирующей среде 20
1.2.2 Сравнение модифицированного и стандартного выражений для потока энергии 23
1.2.3 Геометрическая оптика диспергирующих сред с диссипацией 27
1.3 Пространственно-временная динамика волновых полей в средах с резонансной диссипацией 29
1.3.1 Нестационарное волновое поле. Плотность и поток энергии. 29
1.3.2 Перенос интенсивности; групповая скорость 33
1.3.3 Примеры сред: ансамбль гармонических осцилляторов; магнитоактивная плазма (обыкновенная волна) 38
1.4 Об учете дифракции в рамках квазигеометрооптического описания 46
1.4.1 Обоснование корректности метода комплексного эйконала при учете кривизны лучевых трасс 47
2 Численный код для расчета распространения и поглощения ЭЦ-волн в крупномасштабной тороидальной термоядерной установке 52
2.1 Параметры плазмы (проект ITER) 52
2.2 Тензор диэлектрической проницаемости субрелятивистской (теплой) плазмы 55
2.3 Построение действительного лучевого гамильтониана; учет поглощения и граничные условия 61
2.4 Модель СВЧ пучка 66
2.5 Тестирование кода 71
3 Тангенциальная инжекция ЭЦ-волн в крупномасштабную тороидальную ловушку 80
3.1 Об использовании электронно-циклотронного нагрева для подавления тиринг-неустойчивости 80
3.2 Особенности поглощения ЭЦ волн в окрестности точки отражения при «вертикальном» вводе СВЧ мощности 83
3.3 Определение области энерговклада при тангенциальной инжекции 86
3.3.1 Оптимизация в рамках однолучевого приближения 90
3.3.2 Учет конечной ширины пучка 95
3.4 Некоторые сравнительные оценки ширины энерговклада при квазипоперечном распространении СВЧ мощности 98
Заключение 102
- Поток энергии электромагнитных волн в анизотропных диссипативных средах с пространственной дисперсией
- Об учете дифракции в рамках квазигеометрооптического описания
- Модель СВЧ пучка
- Определение области энерговклада при тангенциальной инжекции
Введение к работе
Электронно-циклотронный резонанс (ЭЦР) давно и успешно используется для формирования плазмы с требуемыми параметрами. В тороидальных магнитных ловушках, в частности, возможны разнообразные приложения ЭЦР [1, 2]: предыонизация, дополнительный нагрев, генерация безындукционного тока, различные варианты пассивной и активной диагностики [3]. Основной особенностью (и, соответственно, основным преимуществом) ЭЦ - схем является высокая пространственная локализация области резонансного взаимодействия излучения со средой. Эта особенность обусловлена не только относительно малой шириной «полосы» ЭЦР в субрелятивистской плазме1 тороидальных ловушек, но и относительно малой длиной волны излучения, позволяющей использовать квазиоптические системы ввода излучения в плазму. Широкое развитие экспериментов по взаимодействию ЭЦ-волн с плазмой обусловлено, прежде всего, прогрессом в области разработки и создания генераторов, линий передач и антенн соответствующего диапазона частот [4,5]. Кроме того, в последние годы интенсивно развивались и теоретические исследования различных аспектов распространения, поглощения и трансформации ЭЦ-волн в плазме (см. [1,6]).
Современное развитие плазменного эксперимента, в котором физическая интерпретация результатов практически невозможна без промежуточных модельных представлений, приводит к тому, что подготовка эксперимента требует детальной предварительной проработки с целью прогнозирования и оптимизации результатов. Апробация более или менее подробного «сценария» эксперимента на численной модели является в настоящее время необходимым элементом исследований. В этой связи всегда чрезвычайно актуальным является вопрос об адекватности той или иной модели для описания процессов в реальной плазме. Особенности ЭЦ - диапазона частот существенно определяют и специфику численного моделирования соответствующих процессов в тороидальной плазме. Малость длины волны излучения (несколько миллиметров при масштабах неоднородности параметров среды не менее десятков сантиметров) и квазиоптические системы хТ.н. «теплая» плазма с температурой не более 20-30 кэВ. ввода излучения в плазму «навязывают» геометрооптические и квазиоптические методы расчета волнового поля в магнитной ловушке [1]. Идеология геомет-рооптического описания распространения и поглощения ЭЦ - волн в плазме была довольно давно сформулирована в работе [7]. Такое описание состоит, во-первых, в построении геометрооптических лучевых трасс и, во-вторых, в расчете вдоль луча оптической толщины, определяющей выделение сверхвысокочастотной (СВЧ) мощности вдоль лучевой трубки, «привязанной» к данному опорному лучу. Довольно часто траектории геометрооптических лучей могут быть рассчитаны в рамках приближения «холодной» плазмы - т.е. прозрачной гиротропной среды без пространственной дисперсии [8]. Однако, в некоторых случаях для повышения точности расчетов необходимо учитывать влияние теплового движения плазмы, релятивистских эффектов и эффекта Доплера. Точность «холодных» расчетов в первую очередь недостаточна для адекватного описания нетривиальных режимов распространения излучения непосредственно в области ЭЦ резонанса [9, 10]. Поправки к тензору диэлектрической проницаемости плазмы, обусловленные конечностью отношения ларморовского радиуса к длине волны, доплеровской и релятивистской расстройками циклотронного резонанса, особенно важны при инжекции микроволновых пучков по касательной к магнитным поверхностям (в частности - при квазивертикальном вводе электронно-циклотронных волн в тороидальную установку [А1,А2,11]). В некоторых случаях расстояние между «холодной» и «горячей» лучевыми трассами в окрестности зоны электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР) может превосходить ширину резонансной линии. Строго говоря, даже сам по себе вывод о достаточности «холодного» приближения в том или ином случае можно сделать лишь на основании сопоставления с результатами теории, учитывающей влияние теплового движения на электродинамические характеристики плазмы в диапазоне частот ЭЦР. Таким образом, корректное описание эксперимента на современных установках программы управляемого термоядерного синтеза (УТС) предполагает рассмотрение тензора диэлектрической проницаемости, по крайней мере, в слаборелятивистском приближении [12-16]. Многочисленные исследования (как само по себе численное моделирование, так и сопоставление расчетов с конкретным экспериментом) показали, что учет тепловых и т. п. эффектов иногда необходим в расчетах рефракции, поглощения и распространения излучения даже для плазмы с температурой порядка 1 кэВ (см. [16,17] и цитируемую там литературу). Существует относительно простой феноменологический способ учета поправок к «холодному» приближению для субрелятивистской плазмы (т.н. приближение Мацукато [18,19]). Этот подход, однако, возможен лишь при поперечном распространении относительно магнитного поля необыкновенной ЭЦ волны с частотой, близкой к первой гармонике гирочастоты. В этом случае отличие от «холодного» показателя преломления определяется, в основном, релятивистским изменением массы электронов и может быть описано путем введения «эффективной» гирочастоты, зависящей от температуры плазмы. Кроме того, такая методика корректна для областей, в которых нерелятивистская гирочастота электронов меньше частоты излучения (т.е. когда тензор диэлектрической проницаемости плазмы эрмитов). Однако, для обыкновенной волны на первой гармонике и высших гармоник необыкновенной моды эффекты, обусловленные конечным отношением гирорадиуса тепловых частиц к длине волны, важны даже для строго поперечного распространения. Что касается относительного вклада доплеровских и релятивистских эффектов при непоперечном распространении, то в области наибольшего отличия от «холодного» показателя преломления они одного порядка. Это означает, что в данном случае учет тепловых эффектов в рамках известных «нерелятивистских» соотношений, включающих в себя функцию Крампа [20-22], также бесперспективен, как и использование приближения Мацукато. При «паритете» между релятивистской и доплеровской расстройками резонанса компоненты тензора диэлектрической проницаемости равновесной субрелятивистской плазмы для ЭЦ - волн описываются т. н. специальными функциями Шкаровского [23-25]. Важно отметить, что, как показано в [10], в отличие от приближения «холодной» плазмы, в этом диапазоне параметров «тепловая» компонента потока энергии волнового поля (см. [8, 26]) может существенно превосходить его «чисто электродинамическую» компоненту - вектор Пойнтинга. Специфика электродинамики ЭЦ-волн [1, 27, 28] при непродольном распространении относительно магнитного поля определяется тем парадоксальным фактом, что относительно слабое (т.е. малое на длине волны) поглощение волн может быть реализовано даже в том случае, когда эрмитовы и антиэрмитовы компоненты тензора диэлектрической проницаемости являются величинами одного порядка. Это обстоятельство связано с особенностями поляризации волнового поля при непродольном распространении: резонансная циркулярно-поляризованная составляющая электрического поля много меньше среднеквадратичной напряженности для обеих (обыкновенной и необыкновенной) нормальных волн. При этом учет теплового движения при определении тензора диэлектрической проницаемости приводит лишь к малым поправкам к «холодному» дисперсионному уравнению для ЭЦ-волн D(k,w,pi(r)) = 0 (здесь Pi(r) -совокупность зависящих от пространственных координат параметров среды). В этом случае в «тепловой» поправке к тензору диэлектрической проницаемости эрмитова и антиэрмитова компоненты, как правило, являются величинами одного порядка, поэтому производные соответствующих добавочных членов дисперсионного уравнения по волновому вектору и параметрам среды оказываются существенно комплексными величинами.
Проблема последовательной формулировки геометрической оптики ЭЦ-волн с учетом вышеперечисленных факторов тесно связана с одной из фундаментальных проблем электродинамики сплошных сред - определением энергетических характеристик волновых полей в диссипативных средах с пространственной дисперсией. В частности, именно в той области параметров, где неприменим стандартный подход к построению лучевых трасс, некорректно и использование стандартного выражения для потока энергии волнового поля [9, 28]. В данной диссертационной работе исследован процесс переноса интенсивности волн в гиротропной среде с резонансным поглощением и пространственной дисперсией. Полученные в рамках нашей работы результаты позволяют модифицировать стандартные лучевые уравнения и стандартное выражение для потока энергии, неприменимые в случае диссипативных сред. Хотя энергетические характеристики произвольного электромагнитного поля при наличии диссипации удается определить лишь на основе микроскопической модели, нам удалось однозначно ввести определяющий перенос интенсивности поток энергии в диссипативной среде (обобщенный поток энергии) в рамках макроскопической электродинамики для волнового поля, образованного набором нормальных волн среды. В отличие от стандартного потока энергии, обобщенный поток энергии зависит от производных векторов поляризации нормальных волн по волновому вектору и переходит в стандартный поток в случае, когда антиэрмитовы составляющие тензора диэлектрической проницаемости среды слабо влияют на поляризацию волны. Предложенная нами процедура построения лучевых трасс порождает лучи, сонаправленные модифицированному потоку энергии. В плане практических приложений развитой теории, в диссертации был разработан геометрооптический слаборелятивистский код. Расчет тензора диэлектрической проницаемости осуществляется через функции Шкаровского; разработана и отлажена схема аппроксимации данной системы спецфункций многочленами. Помимо расчета лучевых трасс данный код позволяет также рассчитывать и профиль вкладываемой в плазму при ЭЦ-нагреве мощности. С помощью разработанного кода в диссертации достаточно подробно рассмотрена схема ввода излучения по касательной к выбранной магнитной поверхности с целью максимальной локализации энерговклада [30-32]. Такая задача является весьма актуальной, например, в экспериментах по подавлению тиринг-моды (играющей существенную роль в срывах) как посредством модификации профиля температуры с помощью локального дополнительного нагрева, так и модификацией профиля тока с помощью его безындукционной генерации (см. [31,32] и цитируемую там литературу). Целью настоящей работы является, во-первых, обоснование и разработка модифицированного варианта геометрооптического описания, пригодного для сред с резонансной диссипацией и дисперсией и, во-вторых, использование такого кода для описания ЭЦР нагрева в крупномасштабной установке (ITER). Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Получены феноменологические выражения для потока мощности и плотности энергии в анизотропной диспергирующей среде с резонансной диссипацией. На основе этих выражений получено выражение для действительного гамильтониана геометрооптических лучей, корректно учитывающего влияние антиэрмитовой части тензора диэлектрической проницаемости на поведение лучевых трасс. Проанализированы особенности пространственно-временной динамики интенсивности волновых полей в области аномальной дисперсии для граничной и начальной задач.
2. Разработан и протестирован слаборелятивистский геометрооптический код.
3. Исследованы возможности оптимизации ввода СВЧ мощности по касательной к выбранной магнитной поверхности с целью обеспечить минимальную ширину энерговклада.
4. Проведено доказательство эквивалентности учета дифракционных эффектов методом комплексного эйконала и методом моментов параболического уравнения в случае криволинейных трасс волновых пучков в неоднородной среде.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации состоят в следующем:
1. Получены феноменологические выражения для плотности и потока волновой энергии в анизотропной диспергирующей среде с резонансной диссипацией. 2. Получено уравнение переноса интенсивности волнового поля в диссипативной среде в области аномальной дисперсии. Показано, что корректное определение коэффициентов этого уравнения зависит от постановки задачи (начальной или граничной); при этом отношение плотности потока энергии к плотности энергии существенно определяет решение уравнения переноса несмотря на то, что эта величина уже не может быть отождествлена со скоростью передачи сигнала.
3. Для случая криволинейных трасс квазиоптических пучков в неоднородной среде показано, что описание волновых пучков с помощью параболического уравнения и метод комплексного эйконала дают идентичные результаты.
4. Разработан и протестирован субрелятивистский геометрооптический код (в качестве среды рассматривалась плазма в тороидальной установке с параметрами ITER a [33]).
5. Исследованы возможности оптимизации схемы ввода излучения по касательной к магнитной поверхности.
Научная и практическая ценность. Научное значение диссертации определяется обобщением на случай диспергирующих сред с резонансной диссипацией геометрооптического описания поля и определений потока и плотности энергии. Введенный феноменологическим образом модифицированный вектор потока энергии однозначно определяет направление переноса интенсивности волнового поля в диссипативной среде; его направление совпадает с направлением лучевых трасс. В качестве практического приложения создан и протестирован оригинальный геометрооптический код. Код является универсальным для различных конфигураций удерживаемой плазмы и может найти широкое применение в численном моделировании ЭЦР экспериментов в установках различных типов.
Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах ИПФ РАН, на международных конференциях: «10th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating» (6-11 апреля 1997 г., Ameland), «1998 International Congress on Plasma Physics» combined with the «25th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics» (29 июня - 3 июля 1998 г., Прага), «26th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics» (14 - 18 июня 1999 г., Maastricht), 4th International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (1 - 8 августа 1999 г., Г.Н.Новгород), «IAEA, TCM on ECRH Physics and Technology for Fusion Devices and EC-11» (4-8 октября 1999 г., Oh-arai, Ibaraki (Japan)), «29th EPS Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion» (17 - 21 июня 2002 г., Monreux), «12th Joint Workshop on ЕСЕ and ECRH» (13 -16 мая 2002 г., Aix-en-Provence (France)), 5th International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (1-9 августа 2002 г., г. Н.Новгород); на Всероссийских Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС в 1997- 2002гг. Основные результаты диссертации опубликованы в реферируемых журналах (Физика плазмы, ЖЭТФ, Plasma Phys. and Control Fusion, Fusion engineering and Design - всего 6 публикаций) и в трудах вышеуказанных международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, одного приложения и списка литературы. Всего в работе 37 рисунков. Список литературы состоит из 69 наименований. Общий объем диссертации 121 страница.
Краткое содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы и кратко, по главам, изложено содержание диссертации.
Первая глава посвящена обобщению геометрооптического описания на случай сред с резонансной диссипацией. Рассмотрены энергетические соотношения как для стационарного, так и для нестационарного волнового поля в анизотропной среде с диссипацией и пространственной дисперсией. Показано, что если характер поляризации электромагнитных волн гарантирует их слабое затухание даже при соизмеримости эрмитовых и антиэрмитовых компонент тензора диэлектрической проницаемости ерт, то само по себе условие \є \ \є"\ не является препятствием для формулировки феноменологических (т.е. не опирающихся на модель среды) выражений для групповой скорости, плотности и потока энергии волн в диссипативных диспергирующих средах. Исследованы особенности пространственно-временной динамики волновых полей для эволюции во времени (начальная задача) и в пространстве (граничная задача).
В п. 1.2.2 обсуждаются ситуации, в которых модифицированное выражение для потока энергии SM существенно отличается от вышеупомянутого «стандартного» соотношения или, наоборот, в него переходит. Так, при исчезающе малой неэрмитовости тензора диэлектрической проницаемости оба выражения для потока волновой энергии эквивалентны. В диссипативной среде различие между стандартным и модифицированным выражениями имеют место, если антиэрмитовы компоненты влияют на поляризацию нормальных волн. Разница становится наиболее существенной в случае резкой зависимости поляризации от волнового вектора. Именно такая ситуация типична для ЭЦ волн вблизи резонанса -численный анализ показывает, что здесь направление распространения волновых пучков существенно отличается от направления стандартного потока энергии и, напротив, хорошо совпадает с направлением модифицированного потока [A3, А4]. Оказывается, что в качестве гамильтониана лучевых трасс, сонаправленных вектору модифицированного потока энергии, можно выбрать величину TZeX - реальную часть собственного числа тензора -Dpm. В разделе 1.3 рассматривается более общий случай нестационарного поля. В этом случае также можно воспользоваться процедурой разложения поля по нормальным волнам - п. 1.3.1.
В п. 1.3.2 рассматриваются особенности пространственно-временной динамики волнового поля в среде с резонансной диссипацией и, в частности, рассматривается вопрос применимости выражения (3) в областях с аномальной дисперсией, где величина veff может превышать скорость света или быть направленной против вектора потока энергии. Показано, что в данном случае эта величина является, в сущности, скоростью распространения образующей импульс интерференционной картины взаимодействия гармоник сигнала, а в качестве скорости распространения энергии (в некоторых случаях - скорости передачи информации) следует рассматривать «скорость сигнала» v - скорость распространения точки с постоянной амплитудой, которая не принимает нефизичных значений.
Чтобы избежать путаницы в терминологии, сделаем следующее замечание. Введенная соотношением (За) скорость распространения интерференционной картинки переходит в стандартную групповую скорость в случае прозрачной среды. Являясь важным параметром решения уравнения переноса, в диссипативной среде эта величина отнюдь не всегда имеет тот ясный физический смысл, который присущ ей в прозрачной среде. Для диссипативной среды эту величину, возможно, имело бы смысл называть «эффективной» или «интерференционной» скоростью (или как-то иначе). Однако, учитывая терминологию, используемую в этой связи в цитируемой в диссертации литературе2 [34, 45-48] и чтобы не вводить новых терминов, мы используем термин «групповая скорость» и в случае диссипативной.
В том числе, в известной монографии Бриллюэна [34]. среды. Полагаем, что сделанные в диссертации по этому поводу многочисленные пояснения позволят избежать возможного непонимания со стороны читателя, привыкшего к использованию этого термина в более узко определенном смысле (т.е. когда групповая скорость может быть отождествлена со скоростью передачи сигнала).
Для случая граничной задачи, рассматривая решение уравнения (3), удается показать, что в области применимости выражения (3) с учетом существенного влияния диссипации на дисперсию волны скорость сигнала всегда положительна3 и меньше скорости света даже для областей с аномальной дисперсией. Следовательно, выражение (3) корректно описывает распространение сигнала даже при (дКек/дсо)-1 с или (дПек/ди)-1 0.
В случае начальной задачи требование физичности скорости сигнала, напротив, налагает и ограничения на физически разумную групповую скорость. Знак групповой скорости прямо связан со знаком плотности волновой энергии W в уравнении баланса энергии, т.е. со знаком члена dTZeX/дш. Для начальной задачи отрицательная энергия приводит к неустойчивости сигнала, что для равновесной среды абсурдно. В случае граничной задачи смена знака групповой скорости (и, следовательно, знака величины W) не приводит к переходу в режим усиления, т.к. коэффициент пространственного поглощения вообще не зависит от знака величины W. Таким образом, требования «физической разумности» при определении энергетических характеристик волнового поля оказываются различными для начальной и граничной постановок задач; в случае начальной задачи отрицательная или превосходящая с групповая скорость в уравнении (3) свидетельствует о некорректности использования уравнения (3). Различие в области применимости уравнения (3) для начальной и граничной задач связано с соответствующим различием в определении «действительной» части дисперсионного соотношения: Иеи(к) или lZek(u).
В заключении п. 1.3.2 исследуются условия определенности решения волнового уравнения для случаев начальной и граничной задач. В частности, для среды с частотной дисперсией в случае начальной задачи зависимость є = є (и) проявляется в появлении множества ветвей на дисперсионной кривой и = ш(к). Соответственно, число начальных условий для однозначного выбора дисперсионной ветви определяется структурой зависимости є от частоты. С другой стороны, для граничной задачи (при отсутствии пространственной дисперсии) связь к = к(ш) (при задании поля и его пространственной производной на одной из границ) однозначна.
3 Здесь мы определяем знак скорости сигнала относительно направления потока энергии. В разделе 1.3.3 рассмотрены примеры конкретных сред. Так, для модельной среды из гармонических заряженных осцилляторов в случае начальной задачи групповая скорость всегда остается положительной и не превышает скорость света с даже вблизи резонанса, где для случая граничной задачи локализована область аномальной дисперсии с отрицательной групповой скоростью. Рассмотрена также и более сложная дисперсионная зависимость, характерная для поперечного распространения обыкновенной волны относительно магнитного поля вблизи ЭЦ резонанса.
В заключении раздела 1.3.3 в качестве иллюстрации к понятию скорости сигнала в диссипативной среде рассматривается задача о распространении гауссова пакета в среде гармонических осцилляторов в области аномальной дисперсии. Прямые расчеты показали, что при отрицательной групповой скорости максимум сигнала в точке наблюдения z действительно может быть получен до того, как он реализуется на границе слоя z = 0. Однако, соответствующее опережение возможно только на временах, много меньших длительности сигнала; при этом условие узости частотного спектра налагает на вторую производную интенсивности сигнала по времени требование непрерывности. При таких условиях «экстраполяция» экстремума сигнала в точке z обусловлена инерционностью диспергирующей среды и не несет новой информации. В качестве контрпримера рассмотрен также сигнал с разрывной второй производной - гауссов сигнал со «вставленным» посередине «плато». Показано, что несмотря на опережающий скорость света приход первого максимума сигнала, информация о переходе гауссова сигнала в режим плато распространяется со скоростью, меньшей скорости света.
В разделе 1.4 рассматривается расширение геометрической оптики (ГО) -метод комплексного эйконала, позволяющий включить в геометрооптическое описание также и эффекты дифракции. При этом волновой пучок по-прежнему аппроксимируется совокупностью элементарных лучей, распространяющихся по законам ГО (п. 1.4.1). Однако теперь волновой вектор считается комплексным, где мнимая часть Хт к содержит информацию о структуре поля пучка и не связана с поглощением. Это позволяет учесть влияние неоднородности волнового поля пучка на траектории лучей, т.е. включить в схему ГО явление дифракции.
Ранее вопрос об эквивалентности метода комплексного эйконала и «классической» методики, основанной на использовании параболического уравнения, рассматривался только для прямолинейного распространения пучков в вакууме (см. [35-37]). В п. 1.4.1 метод «квазигеометрооптического» описания (метод комплексного эйконала) сопоставляется с решением параболического уравнения для случая одновременного влияния дифракции и рефракции, обусловленной неоднородностью среды и кривизной трассы распространения пучка. Показано, что оба этих метода позволяют записать идентичные уравнения для параметров пучка на случай криволинейных трасс в неоднородной среде.
Вторая глава посвящена описанию геометрооптического кода, построенного на основе модифицированной геометрической оптики (учитывающей влияние пространственной дисперсии и диссипации) для конкретной модели.
В качестве такой среды рассматривалась плазма в крупномасштабной тороидальной установке с параметрами ITER a - п. 2.1. Особенностью токамачной плазмы является относительная простота описания плазменных параметров -все характеристики (температура, концентрация плазмы и пр.) зависят только от одной переменной р («метки») магнитных поверхностей. Другая особенность современных установок по удержанию плазмы - существенная необходимость учета релятивистских эффектов [14,16]. Простейшим примером является отклонение пучка от резонанса из-за тепловых и релятивистских эффектов, в то время как «холодное» описание дает прохождение лучей через резонанс и наличие поглощения (см., например, [16] и цитируемую там литературу). В п. 2.2 рассматривается тензор диэлектрической проницаемости в слаборелятивистском приближении [38]. Основной сложностью численного моделирования здесь является расчет специальных функций Шкаровского [23-25], входящих в тензор ерт. Различным методам аппроксимации и расчета этих функций посвящено Приложение А.
В разделе 1.2.3 показано, что в качестве действительного геометрооптического гамильтониана в среде с диссипацией следует выбирать действительную часть собственного числа дисперсионного тензора для рассматриваемой нормальной моды 7еА. При использовании тензора диэлектрической проницаемости «горячей» плазмы нахождение собственных значений дисперсионного тензора возможно лишь численно. При этом гамильтониан должен задаваться в виде табличной функции, и уравнения лучевых трасс получаются в результате соответствующего численного дифференцирования.
В разделе 2.4 рассмотрены особенности моделирования пучка совокупностью дискретных лучей.
В третьей главе возможности описанного во второй главе кода продемонстрированы на примере решения конкретной задачи. Была рассмотрена задача о высоколокализованном ЭЦР нагреве (с целью стабилизации тиринг-моды) вблизи магнитной поверхности с запасом устойчивости q = 2. В принципе, такая стабилизация может осуществляться как путем модификации профиля температуры с помощью локального дополнительного нагрева, либо модификацией профиля тока с помощью его безындукционной генерации. В обоих случаях основным требованием является необходимость обеспечить максимальную локализацию зоны энерговыделения при нагреве. Одно из возможных решений - ввод излучения по касательной к выбранной магнитной поверхности (поверхности q = 2) в области ЭЦ поглощения. В главе рассматривается возможность реализации такой схемы ввода (тангенциальной инжекции), оценивается ее эффективность по сравнению с другими способами ввода, приводятся оценки достижимой при этом ширины энерговклада. В разделе 3.1 представлена геометрия ввода излучения в схеме с тангенциальной инжекцией. В разделе 3.2 в качестве предварительной оценки на основе решения параболического уравнения рассмотрена схема вертикального ввода излучения по касательной к гирорезонансному слою. В разделе 3.3 рассматриваются детали реализации схемы тангенциальной инжекции. В разделе 3.3.1 приводятся результаты численных расчетов для схемы с тангенциальной инжекцией для пробного луча. Здесь показано, что оптимальной является такая геометрия ввода, когда направление распространения луча в точке касания магнитной поверхности близко к горизонтальному. Численный анализ показал, что наименьшей полуширины энерговклада (порядка сантиметра) можно достичь, выбирая точку касания г$ в нижней части магнитной поверхности. Учет конечной ширины пучка проводился в разделе 3.3.2. Здесь показано, что в принципе возможно достижение приемлемой в эксперименте ширины энерговклада (без дополнительной фокусировки пучка в область вблизи начала поглощения) за счет формирования каустики вблизи точки касания.
Поток энергии электромагнитных волн в анизотропных диссипативных средах с пространственной дисперсией
Пусть в однородной анизотропной среде с диссипацией и дисперсией возбуждено стационарное высокочастотное (ВЧ) волновое поле (здесь Е(г) - плавнонеоднородная комплексная амплитуда, причем зависимость Е(г) учитывает и возможное затухание волны). Условие «медленности» изменения амплитуды имеет вид Существование малого параметра требует достаточно слабого поглощения на длине волны и относительно узкого углового фурье-спектра волнового поля. Теорема (здесь j - комплексная амплитуда возбужденного в среде тока) еще не определяет явно направление переноса интенсивности волнового поля в среде, т.к. возможная зависимость тока j от пространственных производных ВЧ поля может приводить к появлению в (1-8) дополнительных дивергентных членов. В частности, в среде без диссипации при условии (1.7) из (1.8) следует [26,40] где вектор SH определен соотношением (1.5). Ситуация осложняется, если среда диссипативна, т.е. тензор диэлектрической проницаемости содержит как эрмитову, так и антиэрмитову компоненты. Во-первых, при зависимости антиэрмитова тензора от волнового вектора к, из (1.8), согласно [28], следует связь с дополнительными пространственными производными: Во-вторых, в анизотропной диссипативной среде даже и при отсутствии пространственной дисперсии (т.е. при q = 0) направление переноса интенсивности ВЧ поля может, в принципе, отличаться от направления вектора SH- Дело в том, что в анизотропной среде диссипативный член Q существенно зависит от поляризации ВЧ поля, а поляризация, в свою очередь, зависит от распределения интенсивности нелокальным образом, в частности - при условии (1.7) - поляризация может зависеть от производных интенсивности по пространственным координатам4 и порождать дополнительные дивергентные слагаемые в Q-члене. 4Простейший пример влияния распределения интенсивности на поляризацию волнового поля - это «вакуумный» плоскопараллельный пучок с ТМ поляризацией: чем уже пучок - тем существенней продольная составляющая электрического поля. Подставим теперь ВЧ поле (1.6) в виде композиции нормальных волн одного типа: Здесь A(fco + Ак) - собственное число тензора Г рт(&о + Ак), соответствующее выбранной нормальной моде; к = ко + Ак - волновой вектор, 5(Х) - функция Дирака, «выбирающая» значения к, удовлетворяющие дисперсионному уравнению; е(А) - соответствующий собственный вектор (в нормировке е2 = 1), являющийся вектором поляризации данной нормальной моды5 при А — 0, Ак - весовая функция спектрального распределения.
Принимая во внимание диктуемую условием (1.7) «узость» пространственного фурье-спектра (Ак С kQ), из соотношения (1.11) можно получить следующее выражение (см. также [41]): где е(к0) - единичный вектор поляризации (собственный вектор) для «центрального» значения волнового вектора к = fco, величина А(г) есть некоторая эффективная скалярная амплитуда поля6, определяемая соотношением Отметим, что второй член в правой части (1.12) описывает, в частности, возможное влияние диссипации на поляризацию нормальных мод анизотропной среды. Подставим разложение (1.12) в (1.10), представив скалярную комплексную амплитуду А(г) в виде А = /1/2ехр(г / ), где / - положительная действительная величина. В результате получаем: 5Формально тензор Dpm имеет три собственных числа Xi{k) и, соответственно, три собственных вектора ЄІ(\) (здесь г = 1,2,3). Выбирается номер г, соответствующий искомой нормальной волне при ХІ - 0. 8Условие (1.7) позволяют трактовать величину \А\2 как интенсивность, а величину argA - как фазу, определяющую «локальное» значение волнового вектора к(г) = fe0 + V(arg 4). При этом соотношение / -А2?г = J \E\2 iPr является точным. - модифицированное выражение для мощности потерь (учитывающее отличие «локального» значения волнового вектора от «центральной» величины fe0), (1.17) Подставив следующие из уравнений Максвелла связи - модифицированное выражение для потока энергии. Отметим, что итоговое соотношение (1-19) соответствует, вообще говоря, разложению по первым степеням малых параметров е и /х (соотношения (1.4) и (1.7)). В частности, именно в рамках этой точности можно использовать связи (1.18) для действительных величин к — ко. Также в рамках этой точности можно считать входящую в (1.15), (1.16) и (1.17) величину I интенсивностью поля: / = \Е\2. При этом, второй член в правой части (1.15) на первый взгляд является величиной порядка е(л. Однако, в средах с резонансной диссипацией производная малого «диссипативного слагаемого» e mD pep по волновому вектору к может оказаться достаточно большой величиной: малость параметра ц еще не гарантирует малости соответствующих производных. Важно также отметить следующее обстоятельство. Использование в выражениях (1.15), (1.16), (1-17) и (1.20) дифференцирования «комплексно сопряженных» векторов є (к) по аргументу к определено, строго говоря, только при пренебрежении мнимой частью к; это предположение также справедливо в рамках указанного разложения по малым параметрам. Выражение (1.20) отличается от стандартного потока энергии (1.5) тем, что в нем предполагается дифференцирование векторов поляризации по волновому вектору. В случае чисто эрмитовой диэлектрической проницаемости, когда модифицированный вектор потока энергии SM автоматически переходит в стандартный поток7 # Хотя в (1.20) формально фигурирует только эрмитова часть тензора Dpm, антиэрмитовы составляющие влияют на входящие в (1.20) вектора поляризации (это следует из соотношений (1.18)). Из (1.20) видно, что если диссипация достаточно слабо влияет на поляризацию ВЧ поля (т.е. условие (1.21) приближенно верно и при учете конечных величин єрт)і т0 ПРИ описании распространения волн можно пользоваться стандартным выражением для потока энергии (1.5) - этот результат получен также в [41] для кинетической модели магнитоактивной плазмы — при поперечном распространении обыкновенной и необыкновенной волн на первой и второй гармониках гирочастоты.
В общем же случае поправка к стандартной величине 5# имеет порядок где Хтк - коэффициент поглощения, 5к - характерный масштаб изменения зависимости er(A(fc)) в fc-пространстве, ег - резонансная8 (т.е. определяющая поглощение) составляющая вектора поляризации волны. Таким образом, соответствующая поправка важна, как и ожидалось, в области линии поглощения в случае резкой зависимости поляризации от волнового вектора. Именно такая ситуация типична для ЭЦ волн. В качестве иллюстрации рассмотрим рис. 1.2 (см. [A3, А5, А6, А7, А8, 9]). Здесь изображена зависимость угла распространения волны (при Те = 1 кэВ, (шре/ш)2 = 0.7) по отношению к нормали магнитного поля от частоты: прямая штрих-пунктирная линия отвечает приближению «холодной плазмы»; линия, состоящая из точек, изображает стандартный поток энергии (1.5); пунктирная линия - модифицированный поток энергии (1.20) и, наконец, сплошная линия - трассы лучей, рассчитанные на основе метода «групповых траекторий». Данный метод использовался в работе [9] для исследования распространения пучков в плоскослоистой среде. Волновое поле пучка раскладывалось по ВКБ-модам, удовлетворяющим условию (1.3): Компонента волнового вектора, поперечная направлению магнитного поля, к± находилась из решения дисперсионного уравнения (1.2). При этом, как показано в [9], лучевые траектории, рассчитанные на базе обычных уравнений геометрической оптики, совпадают с траекторией максимума пучка утах(х) (условно названной«групповой траекторией» по аналогии с понятием групповой скорости) и . определяемой выражением На рисунке 1.2 видно, что различие в направлениях стандартного потока энергии, модифицированного потока и реальных трасс пучков наиболее существенно вблизи зоны ЭЦ-резонанса, где вектора поляризации наиболее чувствительны к изменениям волнового вектора. Небольшие расхождения между направлением модифицированного потока и «групповой траекторией», особенно четко видные на графике для обыкновенной моды, обусловлены приближением малого поглощения 7efc ; Imfe, которое в этом случае (для О-моды) удовлетворяется лишь приближенно. Рассмотрим подробнее случай квазипоперечного распространения обыкновенной волны в бесстолкновительной магнитоактивной плазме.
Об учете дифракции в рамках квазигеометрооптического описания
Здесь мы рассмотрим еще одно из возможных расширений геометрической оптики - метод комплексного эйконала, позволяющий включить учет дифракционных эффектов в рамки геометрооптического описания. Эквивалентность метода комплексного эйконала и «классической» методики, основанной на использовании параболического уравнения доказывалась ранее [35-37] лишь для прямолинейного распространения пучков в вакууме. Мы рассмотрим (см. также [А10, А12]) соотношение «квазигеометрооптического» описания (метода комплексного эйконала) и традиционного параболического уравнения в случае одновременного влияния дифракции и рефракции, обусловленной неоднородностью среды и кривизной трассы распространения пучка. Здесь п = ck/uj - нормированный волновой вектор, п — тг — показатель преломления, є - диэлектрическая проницаемость. «Независимая» переменная т связана с длиной дуги вдоль луча соотношением dr = ds/y/ёо, где Єо - значение є на лучевой трассе. Введем привязанную к опорному лучу криволинейную систему координат (s,), где f - координата, перпендикулярная трассе опорного луча. Представим поле Е в виде Здесь є - вектор поляризации, є0 = s(s, = 0), к0 = и/с. Из уравнения Гельмгольца можно получить параболическое уравнение в следующем виде [50-52] которое имеет решение для Гауссова пучка с параболическим фазовым фронтом (здесь о(т) и R(r) -ширина пучка и радиус кривизны волнового фронта). Уравнение (1.83) удается свести к каноническим формам, решение которых существует в виде интегральных сверток. При этом для ширины гауссова пучка было получено соотношение [50,52] Использование метода лучей с комплексным волновым вектором связано с тем обстоятельством, что пространственная структура гауссова пучка (1.85) соответствует ВКБ-представлению при использовании комплексного эйконала Ф. В частности, из (1.85) и (1.87) следует: Уравнение для комплексного эйконала получается, как обычно, дифференцированием дисперсионного соотношения. По сравнению со стандартной схемой геомоптики в качестве начальных условий для эйконала Ф выбирается комплексная величина, соответствующая начальной структуре пучка.
Представим дисперсионное соотношение (1.81) в виде После двукратного дифференцирования (1.90) по получаем где индекс і пробегает значения f, s и по повторяющемуся индексу производится суммирование. Учитывая связи, которые следуют из определения волнового вектора (1.88) и уравнений для лучевых трасс (1.80) (здесь L e/\Ve\ — масштаб неоднородностей среды, /г — малый параметр), можно убедиться, что в правой части (1.92) можно оставить лишь первый (ответственный за дисперсию) и последний (дифракционный) члены ?2f2/ 92 и д2П/дп2-(дщ/д)2. Используя соотношение и разделяя мнимую и действительную части (1.92), получаем уравнения для радиуса кривизны волнового фронта и ширины гауссового пучка: Если далее воспользоваться связями то систему уравнений (1.94) можно существенно упростить. В частности, выражение для ширины пучка а(т) примет вид: Это то же выражение для ширины гауссового пучка (1.86), которое было получено в [50,52] на основе выкладок с использованием параболического уравнения. Таким образом, вывод об идентичности результатов, получаемых из параболического уравнения и из модифицированного лучевого описания обобщен на случай криволинейных трасс квазиоптических пучков в неоднородной среде. В данной главе рассмотрены энергетические соотношения для стационарного и нестационарного волнового поля в анизотропной среде с диссипацией и пространственной дисперсией. Показано, что если особенности поляризации электромагнитных волн гарантируют их слабое затухание даже при соизмеримости эрмитовых и антиэрмитовых компонент диэлектрического тензора, то само по себе условие е \е \ не является препятствием для феноменологического (т.е. не опирающегося на модель среды) расчета потока и плотности энергии. Получены выражения для модифицированных потока и плотности волновой энергии, позволяющие корректно учесть влияние антиэрмитовой компоненты диэлектрического тензора и ее «резких» (в резонансной области) производных по частоте и волновому вектору. При этом выражение для энергобаланса может быть представлено в традиционном дивергентном виде (но с модифицированной дивергентной частью и модифицированным выражением для источника). Полученное выражение для энергобаланса является обобщением стандартного уравнения на случай сильной зависимости поляризации волн от антиэрмитовой части диэлектрического тензора. Такая ситуация типична для распространения электронно-циклотронных волн в плазме. В обратном случае слабой зависимости поляризации от волнового вектора модифицированные выражения для потока и плотности энергии переходят в стандартные. Вместе с тем, феноменологически определенная плотность W и поток энергии S в среде с диссипацией не являются простой суммой энергии и потока энергии электромагнитного поля и механической энергии и потока энергии осцилляции среды. Детальный анализ в этом смысле возможен, конечно, только на базе конкретной микроскопической модели среды. В этой связи более содержательным является анализ уравнения для энергобаланса, рассматриваемого как уравнение для эволюции волновой интенсивности. Это уравнение корректно описывает распространение интенсивности даже в области аномальной дисперсии, где групповая скорость может превышать скорость света и становиться отрицательной. Вопрос распространения интенсивности отдельно рассматривался для случаев начальной и граничной задачи. Показано, что между этими случаями существует принципиальное различие. В частности, для граничной задачи существование отрицательной плотности волновой энергии W в области с аномальной дисперсией не приводит к физически некорректным результатам: скорость распространения сигнала остается при этом положительной и не превышает скорость света.
Для начальной задачи отрицательная феноменологическая плотность энергии W (в равновесной среде) свидетельствует о физической некорректности модели. Эта ситуация проиллюстрирована на примере решений дисперсионного уравнения для случаев начальной и граничной задачи - соответственно, комплексная частота при действительном волновом векторе ш(к) и комплексный волновой вектор при действительной частоте к(ш). Показано, что вследствие появления множества ветвей решения дисперсионного уравнения для начальной задачи решение к{и) и и{к) в диссипативной среде не переходят друг в друга однозначным образом. Это приводит к различию между групповыми скоростями и определениями плотности энергии W в обоих случаях. Достаточно сложная ситуация характерна для поперечного распространения обыкновенной волны в плазме на первой гармонике циклотронного резонанса. Граничная задача при этом аналогична случаю среды из гармонических осцилляторов, однако, для начальной задачи ш{к) решение характеризуется существованием множества мод. Для некоторых участков этих дисперсионных ветвей феноменологическое определение плотности энергии W оказывается некорректным. Специфика распространения сигнала в диссипативной среде с аномальной дисперсией проиллюстрирована на примере распространения гауссового пакета в среде из гармонических осцилляторов. Вопрос о модификации выражения для потока энергии в среде с поглощением оказался тесно связан с построением геометрической оптики таких сред. Показано, что направление модифицированного потока энергии д Tie Х/дк (в отличие от стандартного потока) действительно задает направление распространения интенсивности в среде с диссипацией. Таким образом, в качестве действительного ге-ометрооптического гамильтониана может выступать величина Не А - действительная часть собственного числа тензора дисперсии для рассматриваемой нормальной волны. Подчеркнем еще раз, что такой выбор гамильтониана отнюдь не означает отбрасывания антиэрмитовой компоненты тензора є, поскольку последняя учитывается при расчете величины Л и векторов поляризации. В заключении первой главы рассмотрено расширение обычного геометроопти-ческого описания, позволяющее учесть влияние дифракции - метод комплексного эйконала. Проведено обобщение обоснования корректности метода комплексного эйконала на случай криволинейных трасс квазиоптических пучков в неоднородной среде. Продемонстрирована идентичность результатов, получаемых при описании распространения пучка по криволинейной трассе в такой среде с помощью параболического уравнения и с использованием метода комплексного эйконала.
Модель СВЧ пучка
Микроволновое излучение в моделируемых экспериментах вводится в плазменный шнур в виде квазиоптического волнового пучка (широкого в масштабе длины волны). На входе в плазменную камеру такой пучок достаточно хорошо аппроксимируется гауссовой зависимостью от поперечной координаты f по отношению к оси z пучка: где d - полуширина пучка, R - радиус кривизны фазового фронта (R О соответствует выпуклому фазовому фронту, то есть дефокусируемому пучку, R О - вогнутому фронту и сфокусированному пучку). Мощность излучения на входе в плазму распределяется по закону: Часто для простейших тестовых задач рассмотрение пучка в целом может быть заменено описанием эволюции только центрального (опорного) луча. Например, при использовании слаборасходящихся пучков в больших тороидальных установках, когда сечение пучка много меньше размеров плазменной неоднородности, при расчетах процессов циклотронного поглощения бывает достаточно пользоваться однолучевым приближением. Напротив, в небольших системах, для которых поперечные размеры СВЧ пучка сопоставимы с масштабами неоднородности плазменного шнура, необходим более детальный расчет. Для учета рефракции волнового пучка в рамках геометрической оптики излучение, падающее на плазму, аппроксимируют дискретной совокупностью геомет-рооптических лучей, отстоящих друг от друга на расстояния, меньшие поперечного масштаба изменения поля. Моделирование пучка набором лучей осуществляется следующим образом. Рассмотрим опорный луч пучка и на достаточно большом расстоянии от входа в плазму построим плоскость, перпендикулярную опорному лучу. Построим в этой плоскости локальную декартову систему координат, как это показано на рис. 2.5. В механике такую плоскость называют плоскостью прицельных параметров [57]. Каждый луч, исходящий с этой плоскости, однозначно характеризуется координатами х, у — так называемые «апертурные координаты» -расстояния точек ввода луча от оси в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Зная апертурные координаты, можно однозначно задать положение и направление луча в пространстве. Действительно, каждый луч характеризуется некоей стартовой точкой на плоскости прицельных параметров с координатами (в декартовой системе) (х , Vdi zd) или (в цилиндрической системе) (rc,zc,(pc). Кроме того, каждый луч имеет направление (направление вектора к), определяемое углами в и ф (знак « » поставлен для того, чтобы отличать углы-направления от углов-координат точки ввода луча). Как уже отмечалось, координаты стартовой точки и углы-направления луча однозначно могут быть найдены по «апертурным координатам» луча.
Так в декартовой системе координат имеет место связь: где нулевым индексом обозначены координаты и углы-направления опорного луча, R - радиус кривизны пучка. В случае плоского фазового фронта R — оо и как следствие в = 90,ф = ф. Соответственно, в цилиндрической системе координат (связь между компонентами декартовой и цилиндрической координатной системы описана в п. 2.3 формулой (2.41)) можно получить для стартовой точки: Таким образом, выбор координат луча на плоскости прицельных параметров однозначно определяет координаты стартовой точки данного луча. Для пучка с круглым сечением на плоскости прицельных параметров вместо прямоугольной сетки (рис. 2.5) удобнее использовать сетку с концентрическими окружностями. Для этого на плоскости прицельных параметров построим полярную систему координат. Тогда в качестве апертурных координат будут выступать т\ и д (см. рис. 2.6). До сих пор мы рассматривали характеристики отдельных лучей, единственная связь которых состоит в привязке их пространственной ориентации к опорному лучу пучка. Вместе с тем, если дальше рассматривать моделирование пучка системой дискретных лучей, встает вопрос, каким образом при такой дискретизации можно рассчитать характеристики пучка в целом. Рассмотрим это на примере расчета энергетического вклада пучка в плазму в процессе ЭЦ поглощения. При этом, однако, будем учитывать следующее обстоятельство. Одной из наиболее интересных для экспериментального приложения особенностей ЭЦ нагрева является возможность контролируемым образом изменять профиль вкладываемой в плазму мощности. Это является важным моментом при оптимизации режимов нагрева плазмы, при создании токов увлечения, при коррекции профилей тока с целью стабилизации неустойчивостей и многих других задач, связанных с У ТС. Как следствие, основной интерес представляет не абсолютная величина поглощенной мощности, а ее пространственное распределение в объеме плазменного шнура. Поскольку энергия, поглощаемая частицами в плазме, в течение очень короткого времени «размазывается» по магнитной поверхности, то для того, чтобы охарактеризовать, насколько интенсивно осуществляется нагрев данного семейства близких магнитных поверхностей, следует рассматривать распределение поглощенной мощности не в обычном координатном пространстве, а в зависимости от введенного в п. 2.1 безразмерного параметра р («метки» магнитных поверхностей). Для того, чтобы ввести численную характеристику распределения эффективности нагрева по магнитным поверхностям, выпишем сначала выражение для поглощенной мощности, вкладываемой пучком в плазму и нормированной на полную мощность пучка. В наиболее простом и наглядном случае прямоугольной сетки эта мощность равна: где А% - поглощенная и РЕ - полная мощность пучка, Р(х,у) распределение мощности в плоскости прицельных параметров {x,y)i (с, у) = 1 — ехр(—т(х,$у)) - интегральный коэффициент поглощения и г - оптическая толщина, определяемая выражением где s - координата вдоль лучевой траектории и мнимая часть волнового вектора Imfc = k0Nc определяется формулой (2.36).
Для того, чтобы перейти к характеристике пространственного распределения поглощенной мощности нужно в формуле (2.45) заменить величину а = 1 — ехр(—г) на локальный коэффициент поглощения Производная dr/dp рассчитывалась по траектории каждого луча как где I - безразмерная лучевая переменная. Для того, чтобы перейти в формуле (2.45) от интегрирования по плоскости прицельных параметров к суммированию по дискретным точкам (лучам, стартующим с этой плоскости), разобьем всю плоскость прицельных параметров на узлы с равномерным шагом по х и у (то есть перейдем к набору дискретных лучей, со стартовой точкой в узлах этой сетки): Тогда в выражении (2.45) интеграл можно заменить суммой: где Рк,п — Ро ехр (—2 ( + уП) /d2) - мощность в отдельном луче, а величины fk,n = Pk,n/ Y2k п Рк,п можно определить как весовые коэффициенты по мощности г-го луча. Если сетка дискретных лучей представляет собой систему концентрических окружностей с разным радиусом г/, на каждой из которых равномерно выбрано в общем случае произвольное число лучей с угловым расстоянием 8д — для каждого r\i можно выбрать свой интервал Sdi (см. рис. 2.6). В этом случае в формуле (2.48) опять можно заменить интегрирование суммированием: n - число окружностей, ТПІ(І) - число ячеек, выбранное на г-й окружности. На практике выбор способа моделирования пучка совокупностью геометроопти-ческих лучей определяется потребностями конкретной задачи. Как в случае любого другого кода, для проверки достоверности получаемой информации, программа, основная схема построения которой рассмотрена в настоящей главе, должна быть протестирована по уже имеющимся результатам. В качестве такой сравнительной базы мы использовали аналитические выражения для коэффициентов поглощения Zm к и оценочные формулы для оптических толщин г из обзора [1,29]. В [29] на основе метода коэффициентов Эйнштейна была получена достаточно общая формула для коэффициента поглощения: где m - релятивистская масса электрона, u c - релятивистская гирочастота, Jn(b) -функция Бесселя от аргумента 6 = kxjP±/mu}c, 72 = 1/(1+К?), o-j = Kj cos д+Tj sin i9, ftj = Tj cos # — Kj sin -в, Kj и Tj - коэффициенты, характеризующие поляризацию j-Vi моды (iKj = Ejx/Ejy, iTj = EjZ/Ejy в системе координат с осью Zofc;- и осью XQ, лежащей в плоскости к, Но) и д — угол распространения волны по отношению к магнитному полю, р\\ - проекция импульса на направление магнитного поля, р±. = р2 — pi, f(p±,P\\) - произвольная функция распределения электронов.
Определение области энерговклада при тангенциальной инжекции
Вернемся к рассмотрению схемы ввода излучения по касательной к выбранной магнитной поверхности [А2, А16, А17, А18]. Оптимизация направления ввода лучей Рис. 3.4: Зависимость коэффициента отражения R от величины х — { е — с)/ ч Для 60/7 = 1. с целью минимизации объема прогреваемого слоя плазмы проводилась следующим образом. Первый этап — внутри плазменного объема выбираем точку релятивистской «отсечки» циклотронного резонанса го (которая одновременно является точкой касания луча с магнитной поверхностью), лежащую на поверхности Ф = Фconst- В этой точке находим начальные значения волнового вектора ко в результате решения системы нелинейных уравнений: Первое уравнение (3.8) соответствует тому, что его решение к(г) совпадает с зависимостью 7Zek(r) при решении дисперсионного уравнения (1.2). Соотношение (3.9) является условием распространения луча по касательной к магнитной поверхности const в точке г0 (здесь iV,$ - нормаль к выбранной магнитной поверхности Фconst в точке Го). Заметим, что более корректно было бы рассматривать в этом условии произведение групповой скорости и нормали. Однако, поскольку в плоскости полоидального сечения тора в силу малости полоидальной компоненты магнитного поля по сравнению с тороидальной компонентой угол между соответствующими проекциями групповой скорости и волнового вектора является малым (в наших условиях эта разница порядка 10 8 радиана), условие (3.9) является достаточно точным. Последнее уравнение (3.10) — условие релятивистской отсечки резонанса в слаборелятивистском приближении. Поскольку ответственной за поглощение является антиэрмитова часть диэлектрического тензора, то начало поглощения характеризуется появлением в тензоре диэлектрической проницаемости антиэрмитовой части, отличной от нуля. В случае слаборелятивистского тензора это эквивалентно условию появления мнимой части в функциях Шкаровского (см. приложение А и [24,25]). Следующий шаг — расчет траектории луча с начальными условиями (го, &о) ДО границы плазмы с вакуумом со стороны слабого магнитного поля. После прохождения границы в произвольной точке за границей фиксируются пространственное положение (координаты и импульсы) этого пробного луча (rVac, kvac). Далее производим старт луча из точки (rvac, kvac) обратно в плазму. При этом, помимо распространения луча, рассчитываем поглощение и находим полуширину энерговклада. В силу погрешностей определения начальных импульсов к0 и расчета самой траектории возврат происходил в некоторую малую окрестность исходной точки г0. Диаметр этой окрестности был менее миллиметра.
При этом относительная погрешность по потоковой координате составляла не более Ю-3. Дальнейшее повышение точности расчетов (ценой увеличения времени счета) позволит уменьшить эту погрешность, однако, в рамках нашей модели это не представляется принципиальным моментом. Рассматривая численную схему, следует сказать еще несколько слов об условии (3.10) (условии релятивистской отсечки). Выражение (3.10) накладывает связь на параметры w и JV. В результате можно предложить два варианта расчета схемы с тангенциальной инжекцией. В первом варианте, выбирая исходную точку Го, можно в соотношении ис(го)/и выбрать частоту и таким образом, чтобы условие (3.10) выполнялось для определенного, заранее выбранного, значения Щ. И наоборот, строго фиксированной (то есть не изменяемой в зависимости от выбора Го) частоте ш = ыо согласно (3.10) будут соответствовать заранее не известные JVj, определяемые выбором точки г0 и значением fc0- В дальнейшем, рассматривая результаты обоих вариантов, мы будем условно называть первый вариант «схемой с подбором частоты», а второй вариант — «схемой с фиксированной частотой». плоскости XOZ) лучевых траекторий с рассчитанными на них зависимостями U(p) (справа). Заметим, что уширение области энерговклада для более «вертикальных» трасс обусловлено большой протяженностью трассы вдоль оси OZ, что сопровождается увеличением толщины прогреваемого слоя магнитных поверхностей. Характерной полушириной функции U(p) (и, соответственно, характеристикой ширины энерговклада) является величина Для оценки эффективности схемы с тангенциальной инжекцией удобно выбрать некоторый критерий (верхнюю границу) для значения Д. При превышении этой границы будем считать энерговклад «широким». В качестве такой границы была выбрана величина Acrit = 0.005 ( 1 см), соответствующая рассчитанной в работе [31, 32] максимально допустимой полуширине профиля энерговклада, при которой возможна стабилизация тиринг моды посредством коррекции температурного профиля с помощью дополнительного локального ЭЦ-нагрева магнитных поверхностей,3 соответствующих запасу устойчивости q 2. Эффективный радиус поверхности q = 2 имеет значение р 0.7, а значение соответствующего магнитного потока Фconst — 2.85 Вб/рад. 3Данная схема стабилизации [31] предъявляет жесткие требования к локализации энерговклада. Перейдем к результатам численного моделирования. Вначале обратимся к случаю однолучевого приближения.
Рассмотрим результаты расчетов в схеме с подбором частоты (рис. 3.6). Будем выбирать точку касания TQ на различных магнитных поверхностях с параметром р в диапазоне от 0 до 1 таким образом, чтобы характерная полуширина профиля энерговклада Д принимала наименьшее из всех возможных значений (т.е. значений полуширины Д, получаемых при выборе любой другой точки, лежащей на данной магнитной поверхности, в качестве точки касания го). Как видно на рис. 3.6, для широкого диапазона значений N\\ практически для всего объема плазмы (вплоть до Ф 2 — в зависимости от значения N\\) тангенциальная инжекция действительно обеспечивает высокую локализацию энерговклада — характерные полуширины энерговклада меньше граничного значения ДСГІ - При этом для JVy pt = VT/C (ІУц в точке касания) отличия значений характерных полуширин энерговклада Д не существенны. Для больших Щ\ имеет место уширение энерговклада и соответствующий рост значений Д. Заметим, что большие значения Щ\ интересны тем, что с ростом ІУц повышается эффективность Для сравнения, в схеме стабилизации тиринг моды с помощью коррекции профиля тока посредством безындукционной генерации тока в условиях ЭЦ-резонанса допустимые значения полуширины энерговклада на порядок больше &сгц 0.03 ( б см). ЭЦ генерации безындукционного тока [60,62,63]. Для дальнейших расчетов выберем промежуточное значение JVj « (Зт- Некоторое увеличение значений А в области около магнитной оси (р = 0) обусловлено тем, что здесь пространственные размеры магнитных поверхностей становятся сравнимы с шириной области энерговыделения. Возрастание значений А при приближении к границе плазмы (р — 1) связано с уменьшением оптической толщины на периферии. Если область диссипации лежит на периферии плазменного шнура, где оптическая толщина мала (ттах 1? Ттах - максимальное значение оптической толщины (см. (3.11)) на данной траектории), то ширина энерговклада определяется широким пространственным распределением коэффициента поглощения dr{p)/dp Хтк (см. (3.11)). Наоборот, если поглощение начинается в области высоких температур (не слишком близко к границе плазменного шнура), то ттах 1 и ширина энерговклада А определяется тем, насколько быстро оптическая толщина достигнет величины т = 1.
