Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Неустойчивости плазмы в скрещенных полях 24
1.1. Линейная теория устойчивости плазш в скрещенных полях (обзор) 24
1.2. Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы в скрещенных аксиальном магнитном и сильном радиальном электрическом полях 29
1.3. Сравнение с экспериментом 33
ГЛАВА 2. Нелинейная теория взаимодействия заряженных частиц со спиральной потенциальной волной в условиях черенковского и циклотронных резонансов 35
2.1. Точные интегралы уравнений движения 35
2.2. Уравнения дрейфового движения частицы в однородном магнитном поле под действием электрического поля спиральной потенциальной волны 39
2.3. Интегралы уравнений дрейфового движения 47
2.4. Интегрирование дрейфовых уравнений по времени 53
2.5. Картины фазовых траекторий частицы в случае малых Kz 61
2.6. Дрейфовое движение частицы в скрещенных полях и электрическом поле спиральной потенциальной волны 72
2.7. Некоторые вопросы удержания резонансных частиц в объеме плазмы 78
2.8. Уравнения для поперечной энергии и поперечного импульса частицы 81
2.9. Сравнение результатов дрейфовой теории взаимодействия частиц с волнами с результатами экспериментов 83
ГЛАВА 3. Взаимодействие гравитйрующей частицы с бегущей по азимуту волной гравитационного потенциала в условиях коротационного резонанса 91
3.1. Модель галактики 93
3.2. Уравнения дрейфового движения 94
3.3. Потенциал эллипсоидального ядра 100
3.4. Интегрирование уравнений дрейфового движения по времени 103
3.5. Картины дрейфовых траекторий в галактической плоскости 105
3.6. Сравнение с наблюдениями 123
Заключение 125
Литература
- Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы в скрещенных аксиальном магнитном и сильном радиальном электрическом полях
- Сравнение с экспериментом
- Уравнения дрейфового движения частицы в однородном магнитном поле под действием электрического поля спиральной потенциальной волны
- Интегрирование уравнений дрейфового движения по времени
Введение к работе
Проблема взаимодействия частиц с волнами является фундаментальной для многих разделов физики. Такие задачи возникают в физике плазмы и ее многочисленных приложениях, электронике СВЧ, физике уокорителей заряженных частиц. В них рассматривается взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными волнами. Аналогичные задачи встречаются в астрофизике, где рассматривается взаимодействие гравитирующих частиц (или гравитирующей жидкости) с волнами гравитационного потенциала.
Задача о взаимодействии заряженных частиц с электромагнитными волнами рассматривалась во многих работах главным образом в связи с приложениями физики ускорителей, электроники СВЧ и физики плазмы.
Как известно [і], задача о движении релятивистской заряженной частицы в поле плоской и, в частности, плоокой монохроматической волны имеет точное аналитическое решение.
Движение релятивистокой заряженной частицы в поле плоокой монохроматической волны, распространяющейся в вакууме и ореде вдоль внешнего магнитного поля [2-9] и под углом к нему [то], рассматривалось в связи с задачей ускорения частиц в лабораторных и космических условиях.
Взаимодействие плоской монохроматической волны малой амплитуды, распространяющейся под углом к внешнему магнитному полю, о частицами плазмы в условиях черенковского и циклотронных резонансов, рассмотренное в работах [ll-14], играет важную роль в различных явлениях в физике плазмы. Это и нелинейное затухание Ландау с учетом захвата частиц продольной волной [15-17], и нелинейная стадия пучково-плазменной не-
устойчивости как в отсутствие [17], так и при наличии магнитного поля [18-20 и др.], и нелинейный циклотронный резонанс на полуцелых гармониках [21], и авторезонансное ускорение ионов в однородном [22,25], неоднородном (ом.[24-2б] и приведенные там ссылки) и нестационарном [27] магнитном поле, и скрещенных полях [28] и др.
При исследовании этого взаимодействия эффективным оказывается использование метода усреднения [29,30]. С его помощью удается существенно упростить точные уравнения движения, не поддающиеся в общем случае аналитическому решению, найти ряд интегралов для усредненных величин, определить качественную картину движения частицы на фазовой плоскости, и в некоторых случаях аналитически найти зависимость усредненных величин от времени.
Близкие вопросы рассматриваются в электронике СВЧ [зі-37] при исследовании нелинейной стадии усиления и генерации волн в приборах 0- и М-типов, в гирорезонансных и других приборах. Существенными особенностями этих исследований является то, что рассмотрение взаимодейотвия электронов проводится, во-первых, не с плоскими волнами (в приборах 0- и М-типов это поверхностные волны в замедляющих структурах, которые при сильном замедлении являются потенциальными, в гироре80нан-сных приборах это объемные или резонаторные моды ТЕ и ТМ типов, фазовая скорость которых больше скорости света) и, во-вторых, при условии, что ларморовский радиус частицы (электрона) мал по сравнению с характерным поперечным к внешнему магнитному полю масштабом изменения поля волны. Последнее условие существенно используется и при выводе усредненных уравнений движения [35-37], и при их анализе.
- б -
Рассмотрение взаимодействия частиц не с плоскими эле; тромагнитными волнами проводилось также и в связи с задача: физики плазмы и ускорителей. Тан, задача о нелинейном взаи действии заряженной частицы (с произвольным ларморовским pi диусом) с поверхностной волной, распространяющейся вдоль плоской границы плазмы, была рассмотрена в работе [38]. От ние процесса ускорения релятивистских частиц поверхностной волной в диафрагмированном волноводе содержится, например, [39-41]. Здесь рассмотрение проводилось в предположении ш лости ларморовского радиуса частиц.
Во многих задачах физики плазмы необходимо исследова: взаимодействие заряженных частиц с потенциальными (электро-статическими) волнами в плазменном цилиндре. (Исследова' нию различных дисперсионных характеристик плазменных волноводов посвящена монография [42]). Такие волны могут возбуждаться как антенными устройствами [43] , так и в результате развития неустойчивостей, например, пучковых [44-47], цинлі тронных [48] или других неустойчивостей плазмы в магнитном поле и в скрещенных полях [49,50] . Их возбуждение на самої деле происходило во многих экспериментах, в которых плазма имела форму цилиндра: в прямых разрядах и плазменно-пучкові системах [51-54] , в разрядах о осциллирующими электронам (см.,например, [55-65] ), в магнетронном диоде [бб-67] , плазмохимичесних установках [б8], в 1 - машинах [54,69-' в установках для термоядерного синтеза [73], в ускорителя: [39-41,47] , в приборах СВЧ. Возбуждение колебаний сопрово: дается нагревом (ускорением) и аномальным переносом резонаї сных частиц [48,70,7lJ , что может привести к перераспредел< нию плотности плазмы по радиусу [70], появлению эффекта се-
парации ионов разных сортов [54,60J и других эффектов.
Следует подчеркнуть, что условие малости ларморовского радиуса в задачах физики плазмы в отличие от задач электроники СВЧ и физики ускорителей выполняется не всегда. Оно, например, не выполняется при взаимодействии частицы с мелкомасштабными волнами |<хр >1 (где Кх - поперечная составляющая волнового вектора, 0 - ларморовокий радиус частицы),в случае, когда величина ларморовского радиуса сравнима с диаметром самого волновода P~Q . Последний случай реализуется, например, для ионов плазмы, находящейся в сильном радиальном электрическом поле [61,62,74,75]. Кроме того, даже если ларморовокий радиус мал в начале взаимодействия, то в процессе его он может возрасти настолько, что условие малости перестанет выполняться [?і]. В таких случаях для количественного описания взаимодействия необходим учет конечности ларморовского радиуса.
Таким образом, теория взаимодействия частиц, имеющих конечный ларморовокий радиус, представляет несомненный практический интерес.
В настоящей диссертационной работе проводится теоретическое исследование нелинейного взаимодействия нерелятивистских заряженных частиц с произвольным ларморовокий радиусом, со спиральными потенциальными волнами малой амплитуды в условиях черенковского и циклотронных резонансов (глава 2). Частными случаями таких волн могут быть волны, бегущие только по азимуту или только вдоль оси цилиндра.
Рассматриваются также некоторые вопросы возбуждения потенциальных ионных циклотронных волн в плазме, находящейся в скрещенных продольном магнитном и радиальном электрическом
полях в результате развития неустойчивоотей (глава I). Основной целью здесь является объяснение тех особенностей спектра ионных циклотронных колебаний, обнаруженных и исследованных в экспериментах [55-60] в разряде Пеннинга, которые не нашли теоретического объяснения в предыдущих работах [76,77]. К этим особенностям относятся следующие:
само существование в скрещенных полях колебаний с частотами, близкими к ионным циклотронными % ПсО^ , П sf,2,3,...; Цк = бВ0/Мс - циклотронная частота);
присутствие в спектре только колебаний с четными азимутальными волновыми числами Ш = -2п ;
большие, судя по результатам измерений [бб], величины инкрементов У (дц ;
4-) пороговый характер возбуждения колебаний.
В силу трудности измерения электрического поля в разряде, его величина оставалась неизвестной. Предпринимавшиеся ранее попытки объяснения этих особенностей спектра [76,77] , основанные на предположении о слабом статическом радиальном поле С0~ Zcl = 9 о0 Z /4Мс предсказывали наличие в опектре колебаний как с четными, так и с нечетными значениями азимутального числа Ш . Кроме того, найденные инкременты нарастания этих колебаний У , обусловленные относительным движением электронов и ионов, были малыми.
С целью объяснения особенностей спектра было сделано предположение о наличии в области, где развиваются колебания (внутри цилиндрического анода), сильного статического радиального электрического поля Е0 ^tcl [78]. При этом предположении найден опектр низкочастотных колебаний сд ^< Я. ~ =(^/2УсОві -4еЕ0/ Mt/ і который имеет те же оообеннооти, что и колебания, наблюдаемые в эксперименте.
Возбуждение ионных циклотронных колебаний в заведомо сильном радиальном электрическом поле наблюдалось в экспериментах [62,67] , при этом спектр обладал указанными выше особенностями. Численные оценки показывают, что эти колебания могут быть обусловлены рассмотренной неустойчивостью вращающейся плазмы в оильном радиальном электрическом поле [78].
Решение задачи о движении нерелятивистской заряженной частицы в электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды и однородном магнитном поле в условиях черен-ковского и циклотронных резонансов [79] дано в главе 2. Как уже указывалось, взаимодействие частицы с волнами исследова-лооь с одной стороны при более общих допущениях, чем это сделано в настоящей работе (рассматривалась релятивистская частица и ее взаимодействие с непотенциальными волнами), но с другой стороны при ограничениях на величину ларморовского радиуса - он полагалоя малым по сравнению о поперечным к магнитному полю масштабом неоднородности поля волны [35-38]. Развитая в работе методика позволяет иооледовать взаимодействие частицы о волной при произвольной величине ларморовского радиуса частицы. Эта методика без изменения может быть перенесена на случай взаимодействия частиц с электромагнитными (непотенциальными) волнами в плазменных или вакуумных цилиндрических волноводах.
С помощью теоремы сложения Графа для цилиндрических функций [80] и метода усреднения [29,30] получены уравнения дрейфового движения для цилиндрических координат ведущего центра частицы (R,8 ), а танже ларморовского радиуса Р , фазы частицы на ларморовокой окружности !/ , и резонансной фазы ф , в которых стоящие в правых частях силы также выражены через эти переменные. При выводе уравнений было исполь-
зовано только предположение о том, что взаимодействие происходит в цилиндрическом волноводе, ограниченном металлическим кожухом. Это предположение не является принципиальным и при необходимости от него можно отказаться. (В главе 3 выведены аналогичные уравнения без использования этого предположения). В остальном, полученные уравнения справедливы при произвольной зависимости потенциала волны от радиуса и фазы.
Найдены три первых интеграла системы дрейфовых уравнений. (В недавно вышедшей работе |83] с помощью такой же методики независимо от нас получены усредненные уравнения движения слаборелятивистского электрона с произвольной величиной ларморовского радиуса в поле бегущей по азимуту электромагнитной волны ТЕ-типа и найден один интеграл этих уравнений, который в нерелятивистском пределе совпадает с соответствующим интегралом, полученным нами). С их помощью в случае монохроматической волны найдены в квадратурах решения этих уравнений. Установлено, что в поле монохроматической волны, зависимость которой от радиуса выражается функцией Бесселя, движение частицы на плоскости Rp происходит по участку траектории, заключенному внутри ячейки, в которой она находилась в начальный момент. В рассматриваемом случае ячейки имеют форму прямоугольников. Максимально возможные перемещения частицы на плоскости Rp имеют место, когда волна распространяется перпендикулярно к магнитному полю ( К^^О ), а ее частота равна или кратна циклотронной частоте частицы.
Для этой же волны при уоловии Кг^О построены картины фазовых траекторий на плоскости Кф . Для того, чтобы выполнить это построение, в приложениях введены вспомогательные функции и исследовано их поведение вдоль дрейфовых траекторий на плоскости Wp . С помощью этих функций установлено само
- II -
существование, а также определены координаты точек экстремума, минимакса, перегиба гамильтониана Н [R,(p), в которых находятся особые точки дрейфовых уравнений и построены зависимости H(R,bt)npH различных величинах расстройки резонанса. С их помощью построены картины фазовых траекторий и, таким образом, получено полное решение задачи о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле и электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды в условиях черен-ковского и циклотронных резонансов.
Сравнение полученных картин с картинами фазовых траекторий в поле плоской потенциальной монохроматической волны [й-] (см.также [Зб] ) показывает во-первых, большее разнообразие картин в рассмотренном нами случае и, во-вторых, их большую сложность, обусловленную сосуществованием на фазовой плоскости большего числа особых точек.
Результаты, полученные для частицы, движущейся в однородном магнитном поле, обобщены на случай движения частицы в скрещенных полях, когда наряду с магнитным присутствует еще и радиальное электрическое поле, зависимость потенциала которого от радиуса близка к квадратичной [8I,82J. Этот случай представляет практический интерес, поснольку такое распределение потенциала реализуется в определенных режимах работы различных установок со скрещенными полями [бі,62,67,74,75].
Известно, что при возбуждении ионных циклотронных колебаний в объеме плазмы одновременно о нагревом происходит и перенос резонансных частиц по радиуоу. (Этим двум процессам соответствует дрейф частиц на плоскости Rp ). При этом встает вопрос об удержании резонансных частиц в объеме плазмы и о величине потерь частиц на отенке. В этой связи на плоскости Кр определена линия, соответствующая положению стенки, и
найдена граница ячейки при произвольной зависимости потенциала монохроматической волны от радиуоа. Последнее сделано для случая аксиально-симметричной волны ( m = 0 ) и волны, воздействующей на частицу в условиях резонанса ГП + 2п - О-
Получены выражения для энергии частицы ± и обобщенного импульса Рф через переменные К и 0 и составлены дрейфовые уравнения для скорости изменения во времени этих интегралов движения частицы, обусловленного волной.
Полученные в главе 2 теоретические результаты позволяют объяснить некоторые эффекты, наблюдавшиеся в двух группах экспериментов, в которых имело место нелинейное взаимодействие резонансных частиц с потенциальными ионными циклотронными волнами.
В первой группе [71] возбуждение аксиально-симметричных ( m=0 ) ионных циклотронных колебаний в плазме GL -машины, находящейся в однородном магнитном поле ( статическое радиальное электрическое поле отсутствовало), приводило к нагреву резонансных ионов и появлению азимутального пучка ионов, находящихся в состоянии R~p . Согласно полученным результатам появление именно таких ионов как раз и следует ожидать в результате взаимодействия с такими волнами. Более того, максимальное значение параметров К и Р частиц пучка хорошо согласуется с предсказываемым теоретически численным значением положения границы ячейки на плоскости Rp
Во второй группе экспериментов [35І в разряде с осциллирующими электронами плазма находилась в скрещенных радиальном электричеоком и продольном магнитном полях. При возбуждении ионных циклотронных колебаний с четными азимутальными волновыми числами m наблюдался эффект пространственного разделения ионов разных сортов, вылетающих в торец установки вдоль
- ІЗ -
магнитного поля [бо]. Эффект состоял в том, что поток ионов, циклотронная частота которых близка к частоте возбужденных колебаний, обнаруживает резкий и узкий максимум на определенном радиусе, тогда как в отоутотвие колебаний этот поток является гладкой убывающей функцией радиуса.
Проведенное теоретическое исследование процесса взаимодействия частицы с волной позволяет понять саму возможность эффективного воздействия такой низкочастотной волны на частицу, движущуюся в скрещенных полях, за относительно малые времена o)g^T 1 ( Т - время нахождения иона в разряде) и предложить следующее объяснение эффекта разделения. Ионы, родившиеся в сильном радиальном электрическом поле, совершают бы-отрые радиальные колебания, проходя вблизи оси системы. В отсутствие колебаний азимутальное движение практически отсутствует. Такому движению соответствует состояние с К~р Ионы, которые выбрасываются из разряда в момент нахождения в точке поворота этого колебательного движения, будут двигаться вдоль магнитного поля и ооздавать наблюдаемый поток ионов.
При возбуждении колебаний ионы в поле волны приобретают угловой момент (азимутальную скорость) и после выброса в торец системы (даже если выброс происходит в точке поворота радиального колебательного движения ) будут двигаться под углом к магнитному полю. Двигаться вдоль магнитного поля омо-гут только ионы, которые при взаимодействии с волной не приобрели углового момента. Это могут быть только ионы, родившиеся вблизи особых точек на фазовой плоскости Rep или вблизи границы ячейки на плоскости RD . Вблизи оостояния R ~р , в котором рождаются ионы, особые точки и граница ячейки могут иметься только на какой-то определенной траектории в плоско-
-ЗД-оти кр (причем для разных масс это разные траектории). На радиусе, соответствующем ей, и будет наблюдаться поток ионов вдоль магнитного поля. Для ионов с близкими массами радиусы, на которых идут их потоки, будут близкими, но разными. Это и даст эффект пространственного разделения ионов разных сортов.
Следует отметить, что реальное распределение электрического поля в разряде намного сложнее, чем это предполагается в настоящей работе. Это монет существенно усложнить рисуемую картину процесса разделения ионов по массам.
Проведенные недавно эксперименты Гбі] в разряде о осциллирующими электронами выявили факт резкого увеличения углового момента ионов при возбуждении ионных циклотронных колебаний. Причем ионы в результате взаимодействия о волной приобретают как положительный, так и отрицательный момент. Эти факты находятся в полном согласии с теоретическими результатами главы Z.
Как уже указывалось, взаимодействие частиц (вообще вещества) с волнами рассматривается и в ряде астрофизических задач. Здесь исследуют взаимодейотвие гравитирующих частиц с волнами гравитационного потенциала. Под последней имеется в виду переменный во времени гравитационный потенциал Ф , обусловленный источниками - гравитирующими массами вещества,удовлетворяющий уравнению Пуассона
A# = 4;jrGp.
Переменность потенциала может быть обусловлена вращением аксиально несимметричной системы, например, системы двойных звезд или аксиально несимметричного тела. В этом случае частота вращения волны потенциала совпадает с частотой вращения тел (тела), составляющих систему. Движение пробной ча-
стицы малой массы в гравитационном поле такой системы исследуется в ограниченной задаче трех тел [84-86].
В бесстолнновительных оистемах, состоящих из большого числа гравитирующих частиц, возможно возбуждение коллективных мод колебаний аналогично тому, как это происходит в бесстолкновительной плазме при развитии неустойчивости [49,50, 87] . В этом случае волна потенциала порождается волной плотности частиц, обусловленной возмущением их функции распределения, и одновременно сама порождает ее.
Аналогия волн в таких гравитирующих системах с волнами в бесстолкновительной плазме обусловлена, во-первых, бесстол-кновительным характером взаимодействия гравитирующих частиц и, во«вторых, одинаковой зависимостью от расстояния силы взаимодействия заряженных (закон Кулона) и гравитирующих (закон Ньютона) частиц |_87_|
Примером систем с большим числом чаотиц, в которых могут возбуждаться коллективные моды колебаний, служат галактики. Их устойчивость по отношению к возбуждению малых колебаний стала исследоваться методами теории плазмы лишь в 60-х годах. Выяснилось, что аксиально оимметричные системы оказываются часто неустойчивыми по отношению к возмущениям, бегущим по азимуту и превращающим фигуру типа двухооного эллипсоида во вращающийся трехосный эллипсоид. Гравитационный потенциал такой системы имеет аксиально несимметричную часть, зависимость которой от координат и времени имеет вид волны, бегущей по азимуту. Взаимодействие пробной частицы, движущейся по окружности в экваториальной плоскости галактики, с такими волнами исследуется в главе 3.
Решение этой задачи представляет интерес в овязи с проблемой спиральной структуры галактик - важнейшей проблемой
внегалактической астрономии [87-90J . Теория этого явления должна объяснить два основных момента: I) почему некоторые галактики имеют отчетливо выраженный спиральный узор, простирающийся иногда по всему диоку галактики (проблема существования) и 2) почему этот узор существует на протяжении многих оборотов галактики, несмотря на разрушающее действие дифференциального вращения (проблема выживания) Гвв] .
Имеются две конкурирующие возможности для объяснения природы спиральных рукавов в галактиках: либо они представляют собой "материальные" образования, движущиеся в каждой точке с локальной скоростью вращения галактики, либо спиральные рукава суть волны плотности, вращающиеся твердотельно, независимо от дифференциального вращения галактики [87].
В настоящее время наибольшее развитие получила волновая гипотеза |_87-90]. Вместе с тем были попытки развития представлений о спиральных рукавах как о "материальных" образованиях. Наблюдательной основой такого подхода можно считать работу [рі], в которой на основе морфологического анализа спиральных узоров колоссального числа галактик из Паломарско-го атласа неба сделан вывод о том, что "спиральные узоры возникают посредством каких-то течений внутри диска" [90]. В доказательство были приведены многочисленные примеры галактик, форма спиральных узоров в которых не укладывается в рамки существующих морфологических классификаций [88] и на объяснение проиохождения которых ни волновая, ни какая другая теория не претендует. Между тем, нет основания считать эти узоры какими-то "особенными" в силу многочисленности отряда этих галактик. Кроме того, имеется плавный переход от этих узоров к обычным спиральным узорам. Этот факт может означать, что спиральные узоры разных морфологических типов образуются под
действием какого-то одного механизма [92J.
Если образование спиралей на самом деле происходит под действием каких-то течений в диске, то в рамках такого подхода возникают два вопроса:
Почему линии тока этих течений столь неоднородно заполнены веществом (газом и молодыми звездами, образовавшимися из газа), так что в ветвях плотность газа на порядок больше плотности между ветвями [88]. Этот вопрос представляет собой переформулировку в рамках "материального" подхода проблемы существования спирального узора.
Какова форма линий тока вещества в галактической плоскости и чем она обусловлена.
В настоящей работе исследуются картины течений вещества, вращающегося в экваториальной плоскости галактики [95J, т.е. рассматривается второй вопрос. Первый вопрос не затрагивается.
Интерес ко второму вопросу обусловлен тем, что форма течений определяет форму спиральных ветвей и, соответственно, принадлежность галактик к тому или иному морфологическому типу.
В качестве модели рассматривается галактика, в центре которой расположено вращающееся аксиально-несимметричное образование, имеющее форму трехооного эллипсоида. Обычно его называют бароподобной структурой. Для краткооти мы будем называть его ядром. Остальные подоиотемы звезд галактики, расположенные снаружи ядра, считаем аксиально симметричными.
Такая форма ядра обусловлена волной конечной амплитуды, бегущей по азимуту, и превращающей аксиально симметричное распределение плотности центральных областей галактики в аксиально несимметричное. Возбуждение такой волны можно рас-
сматривать как проявление неустойчивости центральных областей галактики, причем частота вращения волны может не совпадать с частотой обращения вокруг центра галактики отдельных частиц-звезд, составляющих ядро [87J.
Основанием к выбору именно такой модели для исследования течений вещества в спиральных галактиках может служить тот наблюдательный фант, что примерно у 2/3 спиральных галактик в центре наблюдается бароподобная структура [92 J .
Рассмотрение проводится в области, где частоту обращения пробной частицы вокруг центра галактики можно считать близкой к частоте обращения ядра. Здесь частица движется в условиях черенковокого (норотационного) резонанса о волной потенциала, обусловленной вращающимся акоиально несимметричным ядром. Предполагается также, что аксиальная асимметрия ядра слабая.
При выполнении этих двух условий для опиоания движения частицы в экваториальной плоскости оказываетоя возможным применить методику, которая была развита в главе 2 при исследовании движения заряженной частицы в скрещенных полях и электрическом поле бегущей по азимуту волны.
Следует отметить, что исследование траекторий движения частиц в поле аксиально несимметричных фигур применительно к галактикам проводится достаточно интенсивно, начиная о работ [93,94] как аналитическими, так и чиоленными методами. В указанных работах, видимо, впервые было отмечено сходство сепаратрис на найденных там картинах траекторий с ветвями спиральных галактик типа
В настоящей работе движение частицы исследуется аналитически методами качественной теории дифференциальных уравнений.
В связи со сказанным выше основное внимание уделено определению формы сепаратрис.
Получены уравнения дрейфового движения частицы в экваториальной плоскости галактики. В качестве невозмущенной траектории частицы выбирается эллипс и, в чаотнооти, круг. Найдены интегралы этих уравнений, аналогичные найденным в главе 2.
Определена аксиально несимметричная часть гравитационного потенциала галактики, обусловленная ядром. Предполагается, что ядро имеет форму трехосного эллипсоида с близкими по величине главными полуосями, лежащими в экваториальной плоскости. Плотность вещества внутри эллипсоида предполагается близкой к однородной. В этом случае волна потенциала, бегущая по азимуту, является монохроматической, и дрейфовые уравнения удается проинтегрировать по времени.
Для движения частицы близкого к круговому определены координаты особых точек дрейфовых уравнений (точек либрации) и типы зависимостей от радиуса гамильтониана частицы в зависимости от знака и величины отклонения аксиально симметричной чаоти гравитационного потенциалаФ0(^] от центробежного СО 1 /2 , а также от частоты вращения ядра с<3 . по этим зависимостям построены картины дрейфовых траекторий, совокупность которых дает в дрейфовом приближении полное решение задачи о близком к круговому движении частицы в экваториальной плоскости рассматриваемой галактики. Возможно, некоторые из полученных картин траекторий не реализуются из-за несовместимости в самосогласованной модели галактики выбранных значений частоты вращения ядра, распределения маоо и величины аксиальной асимметрии ядра.
Сравнение формы спирального узора некоторых типов галактик с сепаратрисами на полученных картинах обнаруживает имеющееся в некоторых случаях их хорошее сходство. Это свидетельствует в пользу того, что выбранная модель правильно отражает кинематические особенности по крайней мере некоторых типов спиральных галактик, содержащих в центре баропо-добную структуру, а также о том, что возникновение спирального узора в них на самом деле может быть обусловлено течениями внутри диска.
Материал диссертации расположен в следующем порядке.
Ионные циклотронные неустойчивости плазмы в окрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях расоматриваются в главе I. Найден спектр колебаний, имеющий те же особенности (прежде всего четность азимутальных волновых чиоел), что и наблюдаемый в экспериментах [55-6IJ.
В главе 2 исследуется дрейфовое движение заряженной частицы в электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды и однородном магнитном поле (или окрещенных радиальном электрическом и продольном магнитном полях) в условиях черенковского или циклотронного резонанса. Получены уравнения дрейфового движения, найдены их интегралы, с помощью которых для монохроматической волны эти уравнения проинтегрированы по времени. С помощью найденных решений проанализированы свойства движений. Построены картины фазовых траекторий. Проведено сравнение полученных результатов с результатами экспериментов.
В главе 3 рассмотрено дрейфовое движение пробной частицы в экваториальной плосности галактики, в центре которой расположена вращающаяся бароподобная структура (ядро), в ус-
ловиях черенковского (коротационного) резонанса. Получены уравнения дрейфового движения, их интегралы, определен потенциал аксиально несимметричной части ядра и найдены решения уравнений дрейфового движения. Построены картины дрейфовых траекторий при различных распределениях масс, величине аксиальной асимметрии ядра и частоте его вращения, В своей совокупности эти картины дают в дрейфовом приближении полное решение задачи.
Проведено сравнение полученных картин со спиральными узорами некоторых типов галактик и продемонстрировано их сходство.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
В приложениях введены вспомогательные функции, необходимые для построения фазовых траекторий заряженной частицы, и определено их поведение на плоскости KD вдоль дрейфовой траектории. Проведено также графическое построение зависимости гамильтониана частицы от радиуса при различных величинах расстройки резонанса и малом значении продольного волнового вектора К 2 .
Основные положения, выносимые на защиту.
І. В скрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях, когда частота радиальных колебаний иона значительно превышает циклотронную частоту, а траектория не имеет ничего общего с ларморовеной окружностью, возможно возникновение неустойчивых колебаний, частота которых равна или кратна циклотронной частоте, а азимутальные волновые числа отрицательные и четные. Этот результат позволяет объяснить наиболее существенные особенности ионной циклотронной
неустойчивости плазмы в скрещенных полях, обнаруженной экспериментально ранее.
Методика и вывод уравнений дрейфового движения заряженной частицы с произвольной величиной ларморовского радиуса в электрическом поле спиральной потенциальной волны в условиях черенковского или циклотронного резонанса и обобщение этих уравнений на случай скрещенных полей.
Отыскание первых интегралов уравнений дрейфового движения и их аналитическое решение в случае монохроматической волны. Анализ свойств дрейфового движения.
Построение картин фазовых траекторий частиц с произвольным ларморовским радиусом в поле волны, бегущей по азимуту.
Объяснение с помощью результатов, указанных в п.п. 3,4, эксперимента [7IJ, в котором имело место нелинейное взаимодействие ионов с аксиально симметричными ионными циклотронными колебаниями. Появление модулированного во времени пучка ионов, вращающегося вокруг оси системы, образованного частицами, находящимися в состоянии R«rp , объясняется на основе развитой в диссертационной работе теории дрейфового движения заряженной частицы под действием ионной циклотронной волны. Максимальные значения к и р частиц пучка совпадают с предсказываемым теоретически значением координаты границы ячейки.
Возможность пространственного разделения ионов разных сортов при возбуждении ионных циклотронных колебаний.
Вывод и анализ уравнений дрейфового движения частицы в экваториальной плоскости галактики с вращающимся бароподоб-ным ядром. Определение полной совокупности картин дрейфовых траекторий частиц, совершающих близкое к круговому движение
в экваториальной плоскости такой галактики в условиях черен-ковского (коротационного) резонанса, в зависимости от частоты вращения ядра, величины его аксиальной асимметрии и распределения масс в галактике.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [78,79,81,82,95] и докладывались на
Ш Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой" (Алма-Ата), 1982 г.;
Всесоюзной конференции "Структура галактик и звездообразование" (Киев,1983);
На научных семинарах
отдела плазменных явлений ФИАН СССР им.П.Н.Лебедева;
отдела ВЧ нагрева и теории плазмы и отдела теоретической физики ХФТИ АН УССР;
Государственного Астрономического института им. П.К.Штернберга;
лаборатории плазменной астрофизики Абастумансной астрофизической обсерватории АН ГССР.
Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы в скрещенных аксиальном магнитном и сильном радиальном электрическом полях
Основные положения, выносимые на защиту.
1. В скрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях, когда частота радиальных колебаний иона значительно превышает циклотронную частоту, а траектория не имеет ничего общего с ларморовеной окружностью, возможно возникновение неустойчивых колебаний, частота которых равна или кратна циклотронной частоте, а азимутальные волновые числа отрицательные и четные. Этот результат позволяет объяснить наиболее существенные особенности ионной циклотронной неустойчивости плазмы в скрещенных полях, обнаруженной экспериментально ранее.
2. Методика и вывод уравнений дрейфового движения заряженной частицы с произвольной величиной ларморовского радиуса в электрическом поле спиральной потенциальной волны в условиях черенковского или циклотронного резонанса и обобщение этих уравнений на случай скрещенных полей.
3. Отыскание первых интегралов уравнений дрейфового движения и их аналитическое решение в случае монохроматической волны. Анализ свойств дрейфового движения.
4. Построение картин фазовых траекторий частиц с произвольным ларморовским радиусом в поле волны, бегущей по азимуту.
5. Объяснение с помощью результатов, указанных в п.п. 3,4, эксперимента [7IJ, в котором имело место нелинейное взаимодействие ионов с аксиально симметричными ионными циклотронными колебаниями. Появление модулированного во времени пучка ионов, вращающегося вокруг оси системы, образованного частицами, находящимися в состоянии R«rp , объясняется на основе развитой в диссертационной работе теории дрейфового движения заряженной частицы под действием ионной циклотронной волны. Максимальные значения к и р частиц пучка совпадают с предсказываемым теоретически значением координаты границы ячейки.
6. Возможность пространственного разделения ионов разных сортов при возбуждении ионных циклотронных колебаний.
7. Вывод и анализ уравнений дрейфового движения частицы в экваториальной плоскости галактики с вращающимся бароподоб-ным ядром. Определение полной совокупности картин дрейфовых траекторий частиц, совершающих близкое к круговому движение в экваториальной плоскости такой галактики в условиях черен-ковского (коротационного) резонанса, в зависимости от частоты вращения ядра, величины его аксиальной асимметрии и распределения масс в галактике.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [78,79,81,82,95] и докладывались на Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой" (Алма-Ата), 1982 г.; - Всесоюзной конференции "Структура галактик и звездообразование" (Киев,1983); На научных семинарах - отдела плазменных явлений ФИАН СССР им.П.Н.Лебедева; - отдела ВЧ нагрева и теории плазмы и отдела теоретической физики ХФТИ АН УССР; - Государственного Астрономического института им. П.К.Штернберга; - лаборатории плазменной астрофизики Абастумансной астрофизической обсерватории АН ГССР.
Разряды в скрещенных полях, в частности разряды типа Пен-нинга, представляют собой сильно неравновесную систему, в которой возможно возбуждение самых разнообразных колебаний от высоких гармоник электронной циклотронной частоты до МГД и дрейфовых волн. В настоящем разделе дан обзор различных не-устойчивостей вращающейся плазмы в скрещенных полях, основанный главным образом на работах [76,77j. Особое внимание уделено ионным циклотронным колебаниям, которые были обнаружены и детально исследованы A.M.Рожковым с сотрудниками в разряде Пеннинга и других разрядах [55-59,66,67].
Реальная равновесная конфигурация плазмы в таких разрядах чрезвычайно сложна. Конечность размеров в направлении магнитного поля и наличие цилиндрических электродов, расположенных на конечном радиусе, приводит к тому, что в достаточно плотной плазме, когда существенны эффекты экранировки полей частицами плазмы, картина распределения электрического поля оказывается существенно отличающейся от вакуумной. Кроме того, самый способ создания плазмы, когда ионизация нейтралей электронами происходит в сильном электрическом поле, приводит к формированию сильно неравновесных функций распределения ионов и электронов, вид которых существенно определяется распределением электрического потенциала в разряде.
Сравнение с экспериментом
Рассмотренная выше циклотронная неустойчивость плазмы в сильном радиальном электрическом поле Е0 ЕС позволяет объяснить характерные особенности ионных циклотронных колебаний, наблюдаемых в экспериментах [55-59]: а) возбуждаются только моды с четными отрицательными значениями азимутального волнового числа Л ; б) циклотронные колебания возбуждаются в достаточно сильных полях В0 (при фиксированных значениях других пара метров) ; в) при увеличении Е0 (и фиксированных других парамет рах) ионная циклотронная неустойчивость сменяется высокоча стотной.
Приведем численный пример, соответствующий режимам экспериментов [55-59] , в которых наблюдались циклотронные колебания большой амплитуды са)%о) и ГП = -2 . Парамет ._9 -3 ры плазмы и внешних полей были следующими: П чО СМ ,
Что касается величины напряженности электрического поля Е0 в этих экспериментах, то строго говоря прямых измерений его величины внутри анода, где развиваются колебания, нет, а по распределению потенциала в зазоре между анодом и катодом можно судить, что характерное его значение составляет EQ 0 &/см . Рабочий газ -воздух, Щi 2-10 Г , радиус локализации колебаний7 2СМ ,
В связи со сложностью измерения элентрического поля внутри анода в ячейке Пеннинга были проведены эксперименты Гб7, ІООІ по возбуждению ионных циклотронных колебаний в плазме магнетронного диода, холодный катод которого был выполнен в виде спирали и был прозрачен для ионов, тан что они могли свободно совершать радиальные колебания. Введение зонда в такой разряд в меньшей степени возмущало распределение потенциала, поскольку потенциалы анода и катода были фиксированы.
Между анодом и катодом прикладывалась разность потен причем, как показали зондовые измерения, зависимость потен циала от радиуса была близка к квадратичной, аСо/ - близ ка к постоянной. При такие значения явля ются заведомо сильными
В широком диапазоне изменения параметров в плазме наблюдались колебания с частотами, близкими н гармоникам циклотронной частоты ионов молекулярного азота, и четными отрицательными волновыми чиоламиКП=-2п. Сдвиг фазы колебаний вдоль магнитного поля отсутствовал.
Численные оценки, аналогичные приведенным выше, показывают, что эти циклотронные колебания могут быть обусловлены неустойчивостью, рассмотренной в предыдущем разделе.
В настоящей главе рассматривается движение отдельной заряженной частицы под действием внешних статических полей и электрического поля распространяющейся по спирали потенциальной волны. Внешними статическими полями являются однородное магнитное поле о0 (ось Oz координатной системы направлена вдоль D0 ) и ортогональное к нему электрическое поле Е0 . Относительно Е0 будем предполагать, что начало координат можно выбрать так, что потенциал этого поля Ф0 является функцией только расстояния 1 от оси Oz т.е. Ф0 = Ф0(). В задачах, рассматриваемых в этой главе, присутствуют либо оба поля одновременно, либо какое-нибудь одно из них.
Волну будем очитать бегущей по азимуту (f (вращающей-ся) или/и вдоль оси Oz . Потенциал такой волны Ф в выбранной системе координат имеет вид Здесь п » кг - азимутальное и аксиальное волновые числа, сО -частота волны, - фаза. Отыщем вначале точные интегралы движения частицы в указанных статических полях и поле волны, не предполагая малости амплитуды волны и наличия резонанса между волной и частицей.
Уравнения дрейфового движения частицы в однородном магнитном поле под действием электрического поля спиральной потенциальной волны
Кроме того, будем предполагать, что частота волны в системе отсчета, движущейся вдоль магнитного поля со скороотью частицы, близка к циклотронной частоте частицы или ее гармонике т.е. рассматриваем главный резонанс. Именно при выполнении условия резонанса осуществляется наиболее эффективное взаимодействие частицы с волной, так что волна даже малой амплитуды за достаточно большое время в состоянии значительно изменить энергию частицы, ее импульс и другие характеристики частицы.
Введенные переменные К »9 » Р » , "Z оказываются чрезвычайно удобными для отыскания приближенных решений, т.к. в отсутствие волны они не изменяются. При наличии волны малой амплитуды уравнения (2.28) содержат в правых частях малые быстро и медленно осциллирующие слагаемые и могут быть исследованы методом усреднения (29,30) . Оставляя только медленно осциллирующие слагаемые и отбрасывая быстро осциллирующие (т.е. проводя усреднение) в первом приближении по амплитуде волны получаем следующую систему уравнений для усредненных Здесь и ниже черта усреднения опускается для краткости. Уравнение для усредненной координаты Z имеет вид (2.28), т.е. такой же, как и для точной координаты с тем только отличием, что фигурирующая в правой части скорость 1 является теперь усредненной.
Уравнения (2.31), (2.33), (2.35) и (2.37) для R , р ф образуют замкнутую оистему, которую будем анализирова в дальнейшем. Уравнения (2.32), (2.34) для можн рассматривать отдельно. Их решения определяются решением указанной системы уравнений.
При таком резонансе(u)-k2lJz )/гП -&)g , т.е. в системе отсчета, движущейся вдоль магнитного поля со скоростью частицы, направление и величина азимутальной фазовой скорости волны совпадают с направлением и скоростью ларморовского вращения частицы.
Отметим, что при черенновском резонансе (п = 0 ) уравнения дрейфового движения (2.31), (2.35), (2.37), ( а при резонансе ГП+П=0 уравнения (2.33), (2.35), (2.37) ) в поле спиральной монохроматической волны с зависимостью потенциала Ф от 1 видает(jUm,i Q.) формально совпадают при за-менеС J (U QW PO (а ПРИ резонансе гп+п = 0 при замене С J (и . i)- cp0 ) о полученными в работах [14,18,20,21] уравнениями дрейфового движения частицы в поле плоской монохроматической волны, распространяющейся под углом к магнитному полю в условиях резонанса од ъ кг1Тг + inoOg .
Условие применимости полученных дрейфовых уравнений состоит в том, чтобы изменение координат К ,8 , $ ,Цг за период усреднения было малым. Эти требования сводятся к выполнению неравенства
Согласно (2.41) проекция траектории дрейфового движения в фазовом пространстве на плоскость Н представля ет (см.рис.2.1) эллипс (3) или гиперболу (І) в зависимости от знака п(т+п) Цифрой 2 на рис.2.1 обозначена асимптота ги пербол. Эта величина отрицательна в случае, когда азимуталь ная фазовая скорость волны в системе отсчета, движущейся вдоль магнитного поля со скоростью близкой к скорости частицы (а)-к2іУ/т , направлена в сторону ларморовсного вращения частицы и не превышает ее 5 , ано мальный эффект Допплера). В противном случае величина П(ГЛ + П) положительна.
Интегрирование уравнений дрейфового движения по времени
Итак, в дрейфовом приближении оказывается возможным аналитически найти решения уравнений дрейфового движения в поле монохроматической спиральной потенциальной волны и тем самым получить полное решение задачи о движении заряженной частицы в поле такой волны. Это решение позволяет, в частности, определить максимально возможную и фактическую величину изменения параметров, характеризующих состояние частицы, период колебаний частицы на фазовой плоскости.
Так, или достаточно малых, амплитуды колебаний ларморовского радиуса Zip и ларморовокого центра ДЙ максимальны и не зависят от амплитуды электрического поля волны, а определяются характером его зависимости от радиуса 1 , азимутальным числом 171 и кратностью резонанса
Амплитуда этих осцилляции значительна для низших радиальных мод ( 1л1 ): В случае высших радиальных мод ( l»1 ) (этот случай соответствует задаче о взаимодействии частицы с плоской волной [14, 18,20,2l] они значительно меньше При увеличении и фиксированной амплитуде волны значения лр и AR уменьшаются.
Что касается поведения частицы в фазовом пространстве во времени, то на отдельных траекториях (сепаратриоах) время достижения особой точки, где K=p=tp=і)г=0,бесконечно велико. Частицы совершают апериодическое движение по сепаратрисам, асимптотически приближаясь к этой особой точке при t - оо . На остальных траекториях движение периодично.
Практический интерес представляет не только зависимость координат частицы в фазовом пространстве от времени, но и форма дрейфовых траекторий. В частности, в магнетроне эти траектории дадут представление о форме язычков (спиц) и, следовательно, о распределении пространственного заряда.
Построим картины фазовых траекторий частицы в поле волны вида (2.62). Воспользуемся для этого интегралами дрейфового движения (2.41) и (2ЛЗ).
Как уже указывалось, при черенковском резонансе сд)« kzt(n=0) уравнения для R , Vz f ф (2.31),(2.35), (2.37) в поле спиральной монохроматической волны с амплитудой Ст и азимутальным волновым числом ГП формально совпадают с уравнениями для р , 1 , в поле плоской монохроматической волны с амплитудой С и частотой СО а(П(л36+к214 . Поэтому фазовые картины траекторий частицы на плоскости Кф будут такими же, как и фазовые картины на пло-скостиО в поле плоской волны с соответствующей амплитудой, построенные в работе [і ].
Такое же совпадение имеет место при резонансе т+П = 0 для картин траекторий на плоскости ру в поле спиральной волны с амплитудой С и картин траекторий на плоскости Ру в по-ле плоской волны с амплитудой С 4 (Мтіл"] Поэтому нет необходимости строить картины траекторий для указанных резонан-сов.
Эти особые точки расположены при таких и0 , в которых траектория на фазовой плоскости D p , характеризуемая константой Cj , пересекает границы ячеек (2.64-) (см.также рис.2.1). Эта серия особых точек существует при условии 13)] (т (Ь, С1)I
В приложениях исследовано поведение функции т№,Сі (приложение 2), для чего введена вспомогательная функция (ДЬ,С,J (приложение I) и определены типы зависимостей Кчч ,Щ для различных Ї (приложение 3). Картины фазовых траекторий, соответствующие приведенным там зависимостям F(b,C1( LjC} представлены на рис.2.3 - 2.8. Жирными линиями на них обозначены траектории, проходящие через особые точки-сепаратрисы.
В части ячейки (І.І), расположенной ниже линии =0 , фазовые картины на траектории, проходящей через угол ячейки (т (о, CJ при этом имеет вид иап на рис. П 2Л -П 2.6) представлены на рис.2.6. При П-1 : 1) на траекториях с f (Ь,С ) вида "б" (рис. П 2.4) фазовые картины представлены на рис.2.7; 2) на траекториях с т(Ь,С/ вида "в", "г" фазовая картина представлена на рис.2.7 а; 3) на траекториях с f (b,Cj) вида "д" фазовые картины для D І+грІ представлены на рис. 2.6 а, для В- ТгрІ - на рис. 2.8 а, б, для 1 = 0 - на рис. 2.6 г;
