Содержание к диссертации
Введение
2 Циклотронные особенности в спектрах рентгеновских пульсаров . 15
2.1 Введение 15
2.2 Спектр излучения системы электронов в сопутствующеіі системе отсчета 17
2.3 Расчет наблюдаемого спектра циклотронной особенности 20
2.4 Обсуждение 25
2.5 Заключение 33
3 Излучение нейтрино при коллапсе сверхмассивной звезды . 35
3.1 Постановка задачи 35
3.2 Расчет спектра излучения в сопутствующей системе отсчета 36
3.3 Расчет спектра излучения в сопутствующей системе отсчета 39
3.4 Распространение нейтрино от звезды к наблюдателю 43
3.5 Применение модели для расчета коллапса реальной звезды 48
3.6 Заключение 51
- Спектр излучения системы электронов в сопутствующеіі системе отсчета
- Расчет наблюдаемого спектра циклотронной особенности
- Расчет спектра излучения в сопутствующей системе отсчета
- Распространение нейтрино от звезды к наблюдателю
Введение к работе
1.1 Общая характеристика работы.
1.1.1 Актуальность проблемы.
Циклотронная линия в спектре рентгеновского пульсара была впервые оэнару-жена у объекта Her Х-1 в 1977 году ([6]). В последнее время появились сообщения о наблюдениях старших циклотронных гармоник в спектрах нескольких рентгеновских пульсаров в двойных системах (4U0115+63 ([35]); Vela Х-1 ([36]); 4U1907+09 ([38], [39]); А0535+26 ([40])). Две циклотронные гармоники наблюдались также у источника IE 2259+586 ([41]), однако природа этого объекта не до конца ясна, и здесь он обсуждаться не будет. В спектре 4U0115+63 наблюдаются как минимум три гармоники ([42], [43]). Для этого источника наличие старших циклотронных гармоник, по-видимому, надежно установлено. Для остальных объектов ситуация менее определенна, т.к. у них наблюдается лишь слабая вторая гармоника. Однако даже эти первые наблюдения очень интересны, т.к. они, возможно, позволят разрешить многие проблемы теории излучения рентгеновских пульсаров. В данной работе рассматриваются физические условия, при которых в спектре пульсаров формируются высшие циклотронные гармоники. Оказывается, что для таких источников можно довольно легко снять целый ряд вопросов строения излучающей области, которые до сих пор оставались довольно туманными. Ограничимся здесь лишь их перечислением; они будут подробно рассмотрены в обсуждении.
Во-первых, для многих рентгеновских пульсаров до сих пор открыт вэпрос о том, являются ли циклотронные особенности в их спектре линиями поглощения или излучения. Как будет показано ниже, как минимум у одного из четырех вышеназванных источников (конечно, если в их спектрах действительно присутствуют гармоники высших порядков) линии являются, скорее всего, эмис-
сионными.
Во-вторых, не до конца ясно также, какое распределение по скоростям имеют электроны, излучающие циклотронную линию. Можно, по-видимому, утверждать, что движение электронов поперек поля является относительно медленным, слаборелятивистским (или вообще нерелятивистским). В противном случае циклотронная линия имел бы характерный синхротронный вид, т.е. содержала бы множество гармоник, вместе образующих квазинепрерывный спектр. В действительности видна, как правило, только одна, основная гармоника (исключения перечислены выше, но и у этих источников скорости поперечного движения невелики). Не так ясен вопрос о скорости движения электронов вдоль поля. Обычно считается, что она также невелика, т.е. заметно меньше с. Вполне возможно, однако, что распределение электронов по скоростям сильно анизотропно, так, что поперек магнитного поля их скорость является слаборэляти-вистской, а вдоль — ультрарелятивистской. В статье ([1]) был проанализирован спектр рентгеновского пульсара Her Х-1, и было показано, что есть достаточно оснований предполагать, что электроны, формирующие циклотронную линию в его спектре, являются ультрарелятивистскими с очень анизотропным распределением, таким, что их движение вдоль магнитного поля является ультрарелятивистским, а поперек — практически нерелятивистским. Однако, если наблюдается только одна циклотронная гармоника (как у Her Х-1), исчерпывающая проверка этого предположения только на основании анализа спектра, по-видимому, невозможна, и требует привлечения дополнительных соображений (анализ зависимости спектра от фазы пульсара и.т.д.). Совсем иная ситуация возникает, если наблюдаются несколько гармоник. Как показано в данной работе, в этом случае циклотронное излучение ультрарелятивистских анизотропных электронов имеет очень специфический вид. В частности, гармоники разных порядков становятся неэквидистантными. Это позволяет по спектру линии однозначно определить, является ли движение излучающих электронов вдоль поля ультрарелятивистским, или нет.
Задача о нейтринном импульсе, возникающем при сферически симметричном коллапсе сверхмассивной звезды в черную дыру, неоднократно рассматривалась в научной литературе, однако, несмотря на обилие публикаций, ее нельзя назвать полностью решенной. Как правило, в литературе рассматриваются либо очень простые модели этого явления, позволяющие, однако, провести решение точно (как в ([44])), либо весьма детальные модели, но при этом используются некоторые приближенные методы расчета, или пренебрегается некоторыми физически важными эффектами. Например, в ([50]) распростра-
нешіе нейтрино считается мгновенным, а влияние гравитационных сил на этот процесс не учитывается. Подобный подход нельзя назвать физически оправданным. При коллапсе сверхмассивной звезды температура вещества монотонно растет но мере коллапса; соответственно растет и светимость вещества в сопутствующей системе отсчета, достигая наибольших значений на последних стадиях коллапса. Спадание интенсивности излучения в конце коллапса обусловлено исключительно влиянием гравитационных явлений: красного смещения и гравитационного замедления времени. Таким образом, форма кривой блеска определяется противоборством двух конкурирующих процессов: увеличения блеска
звезды вследствие ее нагрева и уменьшения блеска вследствие гравитационных
г„ эффектов. Кроме того, характерное время коллапса — сравнимо со временем,
с затрачиваемым нейтрино па прохождение радиуса звезды. В таких условиях
пренебрежение гравитационными эффектами и временем распространения нейтрино совершенно иеоправдано. В работе ([48]) рассматривались обычные (не сверхмассивные) звезды. Расчет был проведен с учетом всех эффектов общей теории относительности, а распространение нейтрино внутри звезды рассматривалось в Эддингтоновском приближении. В случае сверхмассивной звезды Эддингтоновское приближение заведомо неприменимо.
Целью данной работы было построение такой модели излучения нейтрино сверхмассивной звездой, которая, с одной стороны, позволила бы найти возможно более точное решение задачи с учетом всех эффектов ОТО, а, с другой стороны, достаточно хорошо описывала бы реальную систему. Кривая блеска и спектры, полученные с ее помощью обладают всеми основными свойствами, присущими кривым блеска и спектрам реальных коллапсирующих сверхмассивных звезд, а простота модели позволяет лучше понять зависимость параметров нейтринного импульса от параметров задачи. Как показано в работе, при введении ряда естественных ограничений на параметры задачи ее решение может быть получено в квадратурах.
1.1.2 Основные результаты
В работе рассмотрены свойства циклотронного излучения, создаваемого электронами с сильно анизотропным распределением по скоростям. Показано, что в случае, когда движение электронов вдоль поля является ультрарелятивистским, а поперек - нерелятивистским, спектр приобретает весьма характерный вид; в частности, гармоники разных порядков становятся неэквидистантными. Выясняется, что эти особенности характерны для наблюдаемых спектров рентгеновских пульсаров.Это позволяет предположить, что электроны, формирую-
щие циклотронную особенность в спектрах рентгеновских пульсаров, являются ультрарелятивистскими с сильно анизотропным распределением. Существует еще целый ряд более косвенных теоретических соображений, свидетельствующих об этом. В случае, если циклотронная особенность в спектрах рентгеновских пульсаров действительно формируется ультрарелятивистскими электронами, заметно изменяются оценки величины магнитных полей этих астрономических объектов, а также ряда других физических параметров.
При получение кривой блеска и спектра нейтринного импульса, который возникает при сферически симметричном коллапсе сверхмассивной звезды, ставилась задача ввести такие предположения о характере коллапса, которые, с одной стороны, были бы физически обоснованными, и, с другой стороны, позволили бы получить точное аналитическое решение, учитывающее эффекты общей теории относительности. Оказалось, что при введении ряда упрощающих предположений задача имеет аналитическое решение в квадратурах, причем при произвольной зависимости интенсивности излучения нейтрино от температуры и плотности вещества. В результате были получены кривые блеска коллапсиру-ющей звезды при различных значениях ее массы и начального радиуса, а также спектры нейтрино в разные моменты времени.
1.1.3 Научная новизна.
Рассчитан спектр циклотронного излучения (с учетом старших гармоник), создаваемого электронами с сильно анизотропным распределением по скоростям, таким, что движение электронов вдоль поля является ультрарелятивистским, а поперек — нерелятивистским. Показано, что в этом случае спектр приобретает весьма характерный вид; в частности, гармоники разных порядков становятся неэквидистантными.
Проанализированы физические свойства и экспериментальные спектры четырех рентгеновских пульсаров, у которых наблюдались старшие циклотронные гармоники, и показано, что, по крайней мере, у одного из них циклотронные особенности могут быть только линиями эмиссии. Кроме того, наблюдаемые гармоники неэквидистантны, и вообще обладают рядом особенностей, свойственных излучению сильно анизотропных ультрарелятивистских электронов. Существует еще целый ряд более косвенных теоретических соображений, свидетельствующих о том, что электроны, формирующие циклотронную особенность в спектрах рентгеновских пульсаров, действительно являются ультрарелятивистскими с сильно анизотропным распределением. В этом случае заметно изменяются оценки величины магнитных полей рентгеновских пульсаров (ко-
торые обычно делаются исходя из энергии циклотронной линии); а также ряда других физических параметров этих астрономических объектов.
Рассмотрено формирование нейтринного импульса, излучаемого при релятивистском коллапсе сферической свсрхмассивной звезды. Показано, что при свободном коллапсе тела однородной плотности, в отсутствие вращения и при условии свободного вылета нейтрино задача решается аналитически в квадратурах. Расчитана кривая блеска коллапсирующей звезды, а также спэктры излучаемых нейтрино в различные моменты времени.
1.1.4 Практическая ценность работы.
Разработанные и примененные в диссертации методы могут быть применены при изучении и интерпретации спектров рентгеновских пульсаров, содержащих несколько циклотронных гармоник. Это позволит уточнить величину их магнитного и снять многие вопросы строения и эволюции этих астрономических объектов. Разработка новых аналитических методов решения задачи об излучении нейтрино при коллапсе сверхмассивных звезд позволит продвинуться в построении полной теоретической модели этого явления, что является в настоящее время весьма актуальной задачей в связи с бурным развитием методов наблюдения нейтрино. Результаты работы можно рекомендовать к использованию в ИКИ РАН, Государственном Астрономическом институте им. Штернберга, Ленинградском государственном университете, ЛФТИ РАН.
1.1.5 Публикации.
Основные результаты работы достаточно полно отражены в публикациях ([1]), (И), (|3]), ([4]),([5]).
1.1.6 Апробация результатов работы.
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обзужда-лись на:
Второй Гамовской Конференции, 1999 г., г.Одесса
Конференции Российского Гравитационного общества, 1999 г., г. Владимир
Конференции "Нейтронные звезды-1999", 1999 г., г.Санкт-Петербург
Конференции "Нейтронные звезды-2001", 2001 г., г.Санкт-Петербург
Конференции "Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра", 2031 г., г. Москва.
1.1.7 Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, и двух глав и списка цитируемой литературы.
Работа изложена на 64 страницах и включает 7 рисунков. Список цитированной
литературы включает 74 источника.
Список сокращений:
ОТО — общая теория относительности,
СО - система отсчета.
1.2 Некоторые предварительные замечания и обзор литературы.
Данная работа посвящена двум важным разделам теории излучения компактных астрономических объектов: исследованию физических процессов образования циклотронных особенностей в спектрах рентгеновских пульсаров и изучению свойств нейтринного импульса, возникающего при коллапсе сверхмассивной звезды. Обе эти задачи стали весьма актуальными в последнее время в связи с развитием наблюдательных возможностей в рентгеновском и нейтринном диапазонах.
Первое сообщение ([б]) о наблюдении циклотронной особенности в спектре рентгеновского пульсара было опубликовано в 1977 г. (линия была обнаружена у источника Her Х-1). Теоретически процесс образования подобной особенности рассматривался и ранее (см.([7]),([8])). С тех пор было выполнено огромное количество теоретических работ, посвященных этой тематике. Все их можно условно разделить на две группы: работы, в которых в основном рассматривались свойства элементарных циклотронных процессов, происходящих в активной зоне рентгеновского пульсара, с учетом всех квантовомеханических эффектов; и работы, в которых основной упор делался на интерпретацию наблюдаемых особенностей в спектрах рентгеновских пульсаров.
К первому типу можно, например, отнести статью ([9]), в которой элементарные процессы были рассмотрены весьма подробно. Интересное рассмотрение вероятностей переходов между различными уровнями Ландау было сделано в ([10]). В работе ([11]) рассматривался перенос излучения в магнитосфере; пульсара с учетом конечных размеров излучающей области, были детально рассмотрены процессы взаимодействия фотонов и сильно замагниченной плазмы. Авторы статьи ([12]) рассмотрели влияние температуры плазмы, находящейся в сильном магнитном поле, на происходящие в ней циклотронные процессы. По их оценкам, особенности, наблюдающиеся в спектрах рентгеновских пульсаров,
являются скорее эмиссионными. В работе ([13]) было рассчитано формирование циклотронной линии с учетом влияния различной поляризации фотонов. В ([14]) был рассчитан спектр циклотронной особенности для различной геометрии излучающей области с учетом зависимости сечения циклотронного рассеяния от угла. Была получена теоретическая зависимость спектра циклотронной особенности от фазы пульсара. Расчет спектра циклотронной особенности, сформированной слоем, распределение температуры в котором определяется Комптоновским нагревом, был сделан в статье ([15]). И, наконец, классическое рассмотрение циклотронных и синхротрониых процессов в плазме было сделано в серии работ сотрудников ЛФТИ им. Иоффе (см., например ([16]),([17])). В этих работах было проведено полное исследование процессов излучения и поглощения фотонов в плазме, находящейся в сильном магнитном поле, для произвольной функции распределения излучающих частиц. В том числе рассмотрен случай, когда это распределение является релятивистским.
Теоретической интерпретации результатов наблюдений циклотронных особенностей также посвящена обширная литература. Среди ранних работ можно назвать, например, ([18]). В ней анализировались различные возможности формирования циклотронных особенностей, и в качестве наиболее вероятного механизма их формирования было предложено резонансное Комптоиовское рассеяние. В работе ([19]) был методом Монте-Карло рассчитан спектр фотонов, прошедший через слой горячей замагничешгой плазмы. При этом учитывалась зависимость сечения рассеяния от направления, а также эффекты релятивистского сдвига линий и переизлучение. Рассматривались изменения выходящего излучения под действием резонансного и нерезопансного Комптоновского рассеяния. Было получено, что в спектре возникает завал на энергиях, меньших резонансной, а параметры спектра сильно зависят от угла. Самое мягкое излучение выходит вдоль магнитного поля; жесткая компонента излучаете*: более изотропно. В работе ([20]) была сделана попытка применить модель излучения рентгеновского пульсара, предложенную в ([18]), для объяснения наблюдаемой корреляции между изменениями светимости пульсара и энергии циклотронной линии. Это объяснение не представляется убедительным, так как оно требует очень высокой температуры подложки горячего пятна нейтронной звезды (порядка 35КэВ), что значительно превышает Эддингтоновский предел. Серьёзный анализ физических механизмов образования излучения рентгеновских пульсаров был проделан в ряде работ В.В. Железнякова ([21],[22]). В статье ([22]) некоторые результаты квантовой теории гиромагнитных процессов были применены для объяснения свойств спектров рентгеновских пульсаров. Были
получены коэффициенты поглощения и излучения плазмы в случае, когда электроны имеют так называемое двойное Максвелловское распределение, то есть распределение по каждой компоненте скорости в отдельности является Макс-велловским, по с различными температурами вдоль и поперек мапштного поля. В статье ([23]) рассматривалось влияние искривления траекторий фотонов гравитационным полем на зависимость спектра рентгеновского пульсара от фазы. Влияние нелинейных эффектов на гиромагнитные процессы и спектр циклотронной особенности было рассмотрено в ([24]). В статье ([25]) была прел ложе-па и весьма детально рассмотрена следующая модель формирования спектра рентгеновского пульсара. Аккреционная колонка является оптически толстой в циклотронной линии и оптически топкой по нерезонансному Комптоновскому рассеянию. Фотон, излученный в основании колонки, поднимается вдоль неё до тех пор, пока его частота не совпадет с локальной циклотронной (с учетом Доплеровского сдвига). В этом месте фотон рассеивается, в результаті} чего большинство фотонов возвращаются к звезде, причем часть из них покидают колонку и нагревают поверхность звезды вокруг горячего пятна. Слишком жесткие или слишком мягкие фотоны (с частотой, существенно отличающейся от циклотронной) не испытывают взаимодействия в колонке, и выходят свободно. Нагретая поверхность нейтронной звезды вокруг горячего пятна испускает мягкий спектр, создавая избыток мягких фотонов в спектре пульсара. В модели даже было учтено затмение этого мягкого излучения аккреционной колонкой. В результате в статье были получены зависимости спектра пульсара о г угла наблюдения. Оказалось, что в предложенной модели жесткое излучение имеет карандашную диаграмму направленности, то есть выходит в основном вдоль магнитного поля. Мягкая компонента, напротив, имеет веерную диаграмму и излучается перпендикулярно полю. На основании этого авторы предсказывают, что импульсы мягкого излучения рентгеновского пульсара сдвинуты по фазе на четверть периода относительно жестких. Любопытный способ интерпретации спектра, содержащего две циклотронные линии, предложен в ([26]). Обычно такие линии рассматриваются как первая и вторая циклотронные гармоники. Авторы статьи, однако, предполагают, что обе линии являются гармониками первого порядка, но формируются на разных участках аккреционной колонки. В работе рассматривается следующая модель колонки: вначале аккрецирующее вещество испытывает почти свободное падение, вблизи поверхности нейтронной звезды возникает ударная волна, под которой располагается слой горячей плазмы. При этом, как считают авторы статьи, циклотронная линия с большей частотой возникает в слое с горячей плазмой и соответствует нормальной
циклотронной частоте ujjj = , а вторая линия формируется в аккреционном
потоке и испытывает Доплеров сдвиг в сторону меньших энергий. В принципе, такая модель вполне разумна. Однако обнаружение третьей циклотронной гармоники в спектре источника 4U0115+63 делает подобную интерпретацию довольно сомнительной. Очень интересная серия работ ([27],[28],[29],[30],[31]), посвященная вопросам формирования циклотронных особенностей в спектрах рентгеновских пульсаров и гамма-всплесков, была сделана группой американских астрофизиков (М. Isenberg, D.Q. Lamb, Е.Е Salpeter, J.C.L. Wang, I.M. Wasserman). В этих работах анализируется образование гиромагнитных особенностей при прохождении излучения через слой холодной плазмы, где оно испытывает резонансное Комптоновское рассеяние. В статье ([30]) этот процесс рассмотрен полуаналитически, в ([31]) — численно, с помощью метода Монте-Карло. Особенный интерес в этих работах представляет учет резонансного Ра-мановского рассеяния. Дело в том, что в последнее время обнаружено несколько рентгеновских пульсаров, в спектрах которых наблюдаются циклотронные гармоники старших порядков, причем в всех случаях вторая гармоника (если рассматривать циклотронные особенности как абсорбционные) оказывается интенсивнее первой. Этот факт выглядит несколько странно, если учесть, что резонансное сечение рассеяния фотона первой гармоники почти на два порядка больше, чем второй. Вышеназванные авторы объясняют данное противоречие влиянием Раманова рассеяния. В тех физических условиях, которые присутствуют в аккреционной колонке, переход электрона со второго уровня Ландау на нулевой по каналу (2 —> 0) маловероятен. Гораздо более вероятен переход (2 —> 1 —> 0). Это приводит к тому, что фотон с частотой n-ой (п > 1) циклотронной гармоники, рассеиваясь, распадается на п фотонов первой гароники. В результате интенсивность первой циклотронной гармоники (если она абсорбционная) существенно уменьшается. Подобное объяснение соотношения интенсив-ностей первой и второй гармоник представляется наиболее последовательным в рамках абсорбционной модели. Ниже (на стр. 27) будет предложена критика такого подхода.
В спектре этого источника А0535+26 наблюдаются две циклотронные линии (па ~ 55 КэВ и 110 КэВ), однако первая из них столь слаба, что в некоторых экспериментальных работах ее существование оспаривается ([55]). В работе ([32]) проанализировано образование циклотронной особенности в спектре этого источника с учетом Раманова рассеяния. Оказалось, что интерпретация экспериментального спектра встречает трудности. Исходный спектр содержит слишком мало фотонов второй гармоники, чтобы они, рассеявшись, заметно "замы-
ли"первую. Как указано в статье, получить спектр, аналогичный наблюдаемому, в принципе, возможно, но для этого приходится вводить предположения о диаграмме направленности пульсара, противоречащие результатам наблюдений. Поэтому авторы оспаривают существование линии с энергией ~ 55 КэВ, а особенность на 110 КэВ считают гармоникой первого порядка.
В работе ([33]) было весьма подробно рассмотрено образование циклотронной особенности в результате резонансного Комптоповского рассеяния в намагниченной плазме с малой плотностью. Рассматривались различные варианты геометрии плазменного слоя (плоско-параллельный слой, цилиндр). Авторы задавали начальное распределение фотонов и исследовали его изменение по мере рассеяния в плазме. Расчет велся по методу Монте-Карло; при этом учитывалось рождение фотонов в результате Раманова рассеяния, искривление траекторий частиц гравитационным полем и.т.д. Оказалось, что итоговый спектр циклотронной особенности сильно зависит от угла, причем даже в том случае, если начальное распределение задано изотропным.
Обсудим теперь главные экспериментальные результаты, относящиеся к наблюдениям циклотронных особенностей в спектрах рентгеновских пульсаров, и предлагаемые в литературе способы их теоретической интерпретации. Кг,к уже говорилось выше, циклотронная линия в спектре рентгеновского пульсара была впервые обнаружены в 1977 г ([6]). В этой работе сообщалось об эмиссионной,
довольно узкой ( ~ 0.2) линии с энергией ~ 53 КэВ; была обнаружена и
вторая гармоника с энергией ~ 110 КэВ, по ее существование позже не подтвердилось. В настоящее время известно около двух десятков рентгеновских пульсаров, в спектрах которых с той или иной степенью уверенности обнаружены циклотронные особенности (см. обзор ([35]), статью ([56]) и.т.д.). До сих пор не вполне ясен вопрос о том, являются ли эти эти особенности эмиссионными или абсорбционными. В первых работах линии считались эмиссионными; впоследствие, однако подобная интерпретация была поставлена под сомнение (см., например ([18]),([29])), и в настоящее время более популярна гипотеза о том, что циклотронные особенности образуются вследствие резонансного Комптоповского рассеяния выходящего излучения холодной плазмой аккреционной колонки, то есть являются абсорбционными, однако и такая точка зрения встречает трудности. Эксперимент не позволяет однозначно ответить на вопрос о природе циклотронной особенности, поэтому для его прояснения приходится привлекать теоретические рассуждения. Как будет показано ниже, по крайней мере, у некоторых пульсаров циклотронные линии являются эмиссионными. В литературе неоднократно ([67],[34]) сообщалось о переменности энергии
циклотронной особенности, причем ее изменения коррелируют с колебаниями светимости пульсара. По-видимому, этот эффект действительно имеет место. В последней работе ([34]), посвященной данному вопросу, сообщается о том, что в пределах нескольких наблюдений циклотронная линия в спектре пульсара Her Х-1 оставалась стабильной с точностью в несколько процентов, однако за период с 1991 по 1993 год она изменилась с 34 до 41 КэВ.
Для понимания природы циклотронных особенностей особенно интересны случаи, когда спектр рентгеновского пульсара содержит циклотронные гармоники нескольких порядков. На настоящий момент таких источников известно, как минимум, четыре: 4U0115+63 ([35]), Vela Х-1 ([36]), 4U1907+09 ([38], [39]), А0535+26 ([40])1. В спектре 4U0115+63 наблюдаются как минимум три гармоники ([42], [43]). Для этого источника наличие старших циклотронных гармоник, по-видимому, надежно установлено. Для остальных объектов ситуация менее определенна, т.к. у них наблюдается лишь слабая вторая гармоника. Однако даже эти первые наблюдения очень интересны, т.к. они, возможно, позволят разрешить многие проблемы теории излучения рентгеновских пульсаров. В данной работе рассматриваются физические условия, при которых в спектре пульсаров формируются высшие циклотронные гармоники. Оказывается, что для таких источников можно довольно легко спять целый ряд вопросов строения излучающей области, которые до сих пор оставались довольно туманными.
Задача о нейтринном импульсе, возникающем при сферически симметричном коллапсе сверхмассивной звезды в черную дыру, неоднократно рассматривалась в научной литературе. Первые работы по данной теме были сделаны почти сорок лет назад. В статье ([44]) была рассчитана кривая блеска холла-псирующей невращающейся звезды в предположении, что звезда прозрачна, а источник фотонов находится в ее центре. В результате, в частности, была получена следующая асимптотическая зависимость светимости коллапсара от
времени:
/ 2ct\
1 ос ехр I I
В работе ([45]) было показано, что в общем случае (если присутствуют неради-алыю распространяющиеся фотоны, что в практических условиях почти всегда верно) асимптотическая зависимость полной светимости звезды от времени имеет вид:
'Здесь приведены ссылки только на хронологически первые публикации для каждого источника
В статье ([46]) распространение фотонов вне невращающейся звезды было рассмотрено весьма детально. Для поздних стадий коллапса было получено распределение яркости по видимому диску и зависимость спектра звезды от Бремени. Результаты численных расчетов кривой блеска и спектра коллапсирующей невращающейся звезды были представлены в ряде работ S.Shapiro ([47],[48]). В обеих работах расчет распространения фотонов внутри звезды проводился в диффузионном приближении, но с учетом эффектов общей теории относительности. В работе ([47]) было детально рассмотрено и распространение фотонов к удаленному наблюдателю. Оценки параметров спектра и полной интенсивности нейтринного импульса, возникающего при коллапсе сверхмассивной звезды , были сделаны в статье ([49]). Была проанализирована возможность регистрации такого импульса современными наблюдательными средствами, а также оценен общий фон нейтрино, возникший в результате взрывов сверхмассивных звезд. В работе ([50]) был проделан релятивистский гидродинамический расчет процесса коллапса невращающейся сверхмассивной звезды, и были получены профили температуры и плотности вещества внутри звезды в различные моменты времени. Однако расчет распространения нейтрино в данной оаботе велся по весьма упрощенной схеме, фактически предполагалось, что нейтрино распространяются мгновенно. При этом всеми эффектами общей теории относительности пренебрегалось.
Таким образом, несмотря на обилие публикаций, задачу о нейтринном импульсе, возникающем при коллапсе сверхмассивной звезды, нельзя назвать полностью решенной. Как правило, в литературе рассматриваются либо очень простые модели этого явления, позволяющие, однако, провести решение точно (как в ([44])), либо весьма детальные модели, но при этом используются некоторые приближенные методы расчета, или препебрегается некоторыми физически важными эффектами.
Целью данной работы было построение такой модели излучения нейтрино сверхмассивиой звездой, которая, с одной стороны, позволила бы найти возможно более точное решение задачи с учетом всех эффектов ОТО, а, с другой стороны, достаточно хорошо описывала бы реальную систему. Кривая блеска и спектры, полученные с ее помощью будут обладать всеми основными свойствами, присущими кривым блеска и спектрам реальных коллапсирующих сверхмассивных звезд, а простота модели позволит лучше понять зависимость параметров нейтринного импульса от параметров задачи.
Спектр излучения системы электронов в сопутствующеіі системе отсчета
Рассчитаем магнито-тормозное излучение помещенных в постоянное магнитное поле электронов с сильно анизотропным распределением, у которых проекции скорости на направление магнитного поля (обозначим их V) одинаковы, причем движение электронов вдоль магнитного поля является ультрарелятивистским (о поперечном распределении будет сказано ниже). Перейдем в систему отсчета, движущуюся вдоль магнитного поля с постоянной скоростью V. В дальнейшем, хотя она и не полностью сопутствует электронам, будем называть ее сопутствующей, а неподвижную систему отсчета — лабораторной. В сопутствующей СО электроны имеют только поперечную компоненту скорости v. В рассматриваемой нами модели принято, что и с, а распределение по скоростям имеет ВРІД т.е. нерелятивистское двухмерное Максвелловское с температурой Т, причем Г С 77?ес2. Сначала найдем поле излучения в сопутствующей СРІСТЄМЄ обсчета, а затем, сделав преобразование Лоренца, получим распределение излучения в лабораторной системе отсчета. Согласно ([51]), в иерелятивистском случае излучение каждой гармоники происходит на одной определенной частоте а интенсивность излучения Ріа п-ой гармонике для одной частицы, движущейся со скоростью и с поперек магнитного поля Н, дается формулой: (2.3) где в — угол между вектором напряженнострі магіпітного поля PI направлением на наблюдателя, J и J — функция Бесселя и ее производная, а штрих над величинами означает, что они измерены в сопутствующей системе отсчета. 2Нужно подчеркнуть, что здесь, как и в формуле (2.31), v — это не компонента скорости частицы в лабораторной СО, перпендикулярная магнитному полю, а полная скорость, но в сопутствующей СО. Под интенсивностью здесь и ниже понимается количество энергии, излучаемой системой в единицу телесного угла за единицу времени. В окрестности пуля можно разложить функцию Бесселя в ряд Маклорена, и, если величина n—cosO . не слишком велика, можно оставить только первый этого ряда. После несложных преобразований, учитывая, что в этом приближении (1 — Н 1, мы получаем следующее асимптотическое разложение: чтобы получить полную интенсивность излучения N частиц, распределенных согласно (2.1), нужно проинтегрировать (2.4) по всему распределению: ,2 Поделив результат интегрирования па N, получим интенсивность излучения одной частицы, усредненную по частицам: Видно, что lim / = сю, если в ф —.
Конечно, это связано с ограниченной при п— оо 2 менимостыо асимптотических разложений функции Бесселя, использованных в (2.4). Выражение (2.6) представляет собой, в сущности, нулевое приближение для интенсивности. Учтя следующие члены разложений, условие применимости выражения (2.6) можно записать в виде: Для больших поперечных температур соотношение (2.6) дает заметно завышенные значения, а при становится неприменимым. Как уже отмечалось выше, интенсивности излучения в лабораторной и сопутствующей системах отсчета связаны обычным преобразованием Лоренца. Сопутствующая система движется относительно лабораторной со скоростью V. Введем несколько обозначений іЗ. с с С помощью ([51]) нетрудно выписать следующие соотношения: где (іо и do - элемент телесного угла в лабораторной системе отсчета и соответствующий ему элемент в сопутствующей системе отсчета. Согласно ([51]), нетрудно получить закон преобразования интенсивности из сопутствующей системы отсчета в лабораторную: Важно отметить, что формула (2.17) справедлива только при Со Є [0;2п7о;#]. Это связано с тем, что в1 Є [0;7г], и, поэтому, sin0 Є [0; 1]. Так как частота излучения зависит от угла взаимно однозначно, мы можем вместо угла использовать в качестве переменной направления частоту. Подставив в соотношение (2.14) выражение (2.G) для интенсивности Гп, заменив в нем sin б1 согласно (2.17), и учтя, что, согласно (2.10) д = j , окончг.тельно пи) и получаем: Это соотношение дает нам формулу для интенсивности излучения одной частицы на п-ой гармонике, в которой зависимость интенсивности от направления выражена через частоту света, испускаемого в этом направлении. Найдем теперь спектр излучения, который измерит наблюдатель, бесконечно удаленный от звезды. Как известно (см., например, ([52])), магнитотормозное излучение ультрарелятивистских частиц является весьма остронаправленным. Оно практически полностью идет в узкий (угол раствора порядка -) конус вдоль направления скорости частицы, т.е., в нашем случае, вдоль магнитного поля. Поэтому в каждый конкретный момент времени вклад в излучение, приходящее к бесконечно удаленному наблюдателю, дает, вообще говоря, не вся излучающая область, а лишь очень малый ее участок, на котором магнитное поле направлено прямо на наблюдателя. Его линейный размер порядка R-, где R, - радиус звезды. Будем считать, что в пределах этого участка электроны распределены равномерно с поверхностной плотностью р и имеют одинаковую функцию распре деления вида (2.1), а магнитное поле постоянно и направлено перпендикулярно поверхности звезды. Разобьем поверхность звезды на полосы ширины Rdp, симметричные относительно прямой, соединяющей центр нейтронной звезды с наблюдателем. Здесь ср - угол между прямыми, соединяющими центр звезды с наблюдателем и с рассматриваемой точкой ее поверхности, т.е., ло сути дела, "широта"этой ТОЧКРІ. Рассмотрим одну из полос. Ее площадь равна 27ГІ?2 sin ipdop, а излучающих электронов на ней Выше было принято, что магнитное поле везде перпендикулярно поверхности звезды, поэтому угол между нормалью к поверхности и направлением на наблюдателя равен углу между напряженностью магнитного поля и направлением на наблюдателя. Из геометрических соображений очевидно: Частота, на которой излучает полоска, задается формулой (2.15), в которой в можно заменить на р:
Расчет наблюдаемого спектра циклотронной особенности
Это соотношение дает нам формулу для интенсивности излучения одной частицы на п-ой гармонике, в которой зависимость интенсивности от направления выражена через частоту света, испускаемого в этом направлении. Найдем теперь спектр излучения, который измерит наблюдатель, бесконечно удаленный от звезды. Как известно (см., например, ([52])), магнитотормозное излучение ультрарелятивистских частиц является весьма остронаправленным. Оно практически полностью идет в узкий (угол раствора порядка -) конус вдоль направления скорости частицы, т.е., в нашем случае, вдоль магнитного поля. Поэтому в каждый конкретный момент времени вклад в излучение, приходящее к бесконечно удаленному наблюдателю, дает, вообще говоря, не вся излучающая область, а лишь очень малый ее участок, на котором магнитное поле направлено прямо на наблюдателя. Его линейный размер порядка R-, где R, - радиус звезды. Будем считать, что в пределах этого участка электроны распределены равномерно с поверхностной плотностью р и имеют одинаковую функцию распре деления вида (2.1), а магнитное поле постоянно и направлено перпендикулярно поверхности звезды. Разобьем поверхность звезды на полосы ширины Rdp, симметричные относительно прямой, соединяющей центр нейтронной звезды с наблюдателем. Здесь ср - угол между прямыми, соединяющими центр звезды с наблюдателем и с рассматриваемой точкой ее поверхности, т.е., ло сути дела, "широта"этой ТОЧКРІ. Рассмотрим одну из полос. Ее площадь равна 27ГІ?2 sin ipdop, а излучающих электронов на ней Выше было принято, что магнитное поле везде перпендикулярно поверхности звезды, поэтому угол между нормалью к поверхности и направлением на наблюдателя равен углу между напряженностью магнитного поля и направлением на наблюдателя. Из геометрических соображений очевидно: Частота, на которой излучает полоска, задается формулой (2.15), в которой в можно Угол ср, однако, не совсем постоянен на рассматриваемой полосе, а меняется на величину dip; поэтому и излучение полосы не монохроматично, а покрывает некоторый интервал частот dco. Вычислим ширину этого интервала. Продифференцировав (2.21) по ip, при 7 1 получим: Таким образом, рассматриваемая полоса дает вклад в общий спектр излучающей области в интервале частот [и — dco;u}], где со и dcv задаются соотношениями (2.21), (2.22). Более того, нетрудно сообразить, что этот участок общего спектра создается исключительно электронами, принадлежащими рассматриваемой полосе.
Из формулы (2.22) получается соотношение: Подставив его в (2.19), получим формулу для числа dq излучающих частиц в рассматриваемой полосе: Пусть телесный угол, под которым наблюдатель виден с поверхности нейтронной звезды, равен do. Тогда полная энергия, получаемая наблюдателем от рассматриваемой полоски за время dt, равна где / — интенсивность излучения одной частицы. Подставив сюда выражение (2.24) для dq, используя (2.10), и разделив обе части равенства на dcododt, получим выражение для спектральной плотности потока энергии звезды Р„, т.е. для количества энергии, излучаемой звездой в единичный интервал частот, в единицу телесного угла, за единицу времени: Поделив полученное выражение на HLO, перейдем от спектральной плотности потока энергии Рп к спектральной плотности потока частиц Qn. При этом введем безразмерную частоту Подставив в (2.25) формулу (2.18) для интенсивности циклотронного излучения одной частицы, и заметив, что где А— постоянная тонкой структуры, окончательно получаем: п2п Итак, мы получили формулу, задающую количество фотонов n-ой гармоники, излучаемое звездой в некоторый момент времени в единичный интервал частот в единичный телесный угол за единицу времени, то есть, фактически, мгновенный наблюдательный спектр пульсара. В случае, когда физические условия одинаковы на всей поверхности пятна, он совпадает с усредненным по времени спектром пульсара, с точностью до коэффициента, равного доле времени, в течении которого видно горячее пятно. Т. к. преобразование (2.17) верно при Со Є [0;2п], то и формула (2.27) справедлива при Физически это связано с тем, что, согласно формуле (2.10), частота фотогов при преобразовании от сопутствующей СО к лабораторной не может увеличиться более чем в 27 раз, а в сопутствующей СО они все имеют частоту шп = пшц-Поэтому в лабораторном спектре гармоники не могут присутствовать фотоны с частотами, превышающими 2гупшд. Именно с этим ограничением связан резкий "обрыв"в спектре первой гармоники. При получении формулы (2.27), как и везде в дальнейшем, мы пренебрегаем гравитационным красным смещением. Однако в случае, когда оно относительно невелико (радиус звезды R не слишком близок к гравитационному гд ), его легко учесть, если вместо приведенной частоты, задаваемой формулой (2.26), подставить величину В дальнейшем, однако, мы в основном будем пользоваться формулой (2.27). Сложив гармоники нескольких порядков, начиная с первого, и учтя ограничение (2.28), получим окончательный спектр циклотронной особенности. В дальнейшем при построении спектров везде учитываются только первые четыре циклотронные гармоники, а линии более высоких порядков отбрасываются. Примем, что расстояние до пульсара равно г = 3, 5 Крс, радиус нейтронной звезды R = 10 км (что примерно соответствует значению этих параметров для объекта 4U0115+63), а поверхностная плотность излучающих частиц 101G cm"2.
Значение параметра hjujfj положим равным 10 КэВ, что также приблизительно соответствует энергии первой гармоники, наблюдаемой и спектре 4U0115+63 на 20 КэВ. На рис. 1 представлено распределение фотонов по энергиям, которое увидит наблюдатель па Земле, при поперечной температуре излучающих электронов Т = 20 КэВ. Видно, что гармоники очень широки, они буквально "наплывают" одна на другую. Кроме того, они совершенно неэквидистантны, в частности, максимум второй гармоники практически совпадает с максимумом первой. Первая гармоника имеет второй максимум при ш 0, который несколько слабее основного, т.к. на последний накладываются еще старшие гармоники. Как правило, однако, изображают зависимость от частоты не числа фотонов, а их суммарной энергии. На рис. 2 представлен вид этой зависимости для той же поперечной температуры Т — 20 КэВ. Для того, чтобы получить формулу, описывающую такой спектр, нужно выражение (2.27) умножить иг, Тіш. В результате максимумы гармоник сдвигаются, и, в частности, максимум второй гармоники уже не совпадает с максимумом первой, он как бы обособился. Исчез и максимум на ш 0. Однако спектр по-прежнему будет неэквидистантным с очень широкими, наплывающими друг на друга гармониками. Все эти эффекты имеют простое цесс излучения фотонов в сопутствующей СО. Выясним сначала, какие из излученных фотонов попадут к удаленному наблюдателю. Очевидно, что это те частицы, которые в лабораторной СО движутся от звезды, т.е. для них в .
Согласно формуле (2.10), в сопутствующей СО это соответствует углам 0 # 7г — і)5 Таким образом, к наблюдателю попадают практически все фотоны, за исключением тех, которые в сопутствующей СО излучены прямо к звезде. Как уже отмечалось выше, в сопутствующей СО все фотоны, относящиеся к одной и той же гармонике, имеют одинаковую энергию. Однако коэффициент, на который умножается частота фотона при переходе от сопутствующей СО к лабораторной, неодинаков, и сильно зависит от угла в . С помощью формулы (2.10) нетрудно выяснить, что частота квантов, испущенных прямо на наблюдателя (в 0), увеличивается в 27 раз; частота квантов, испущенных перпендикулярно направлению на наблюдателя (в сопутствующей СО, в тг/2), увеличивается в j раз, а частота квантов, испущенных под углом в -- тт — -, уменьшается в 7 Раз- Это, конечно, приводит к сильному уширешпо линий. Но, кроме того, это приводит и к их неэквидистантности. Дело в том, что (как нетрудно убедиться с помощью (2.6)) большинство фотонов, принадлежащих первой гармонике, излучаются под углами в 0, поэтому их частота увеличивается в 27 раз, и максимум первой гармоники приходится на 2 шп. Напротив, большинство фотонов, принадлежащих гармоникам, начиная со второй, излучается перпендикулярно направлению на наблюдателя [в 7г/2), а частиц с 9 0 практически нет (см. рис. 3). Частота этих фотонов увеличивается только в 7 раз, поэтому максимумы старших гармоник расположены на частотах
Расчет спектра излучения в сопутствующей системе отсчета
Итак, в данной работе введен ряд упрощающих расчеты предположений о физических параметрах коллапса. Прежде всего, звезда считается невращающейся, а распределение вещества — однородным во все моменты времени. Кроме того, полностью пренебрегается влиянием давления на движение вещества, т.е. динамика коллапса предполагается такой же, как у пылевого шара; вместе с тем считается, что в результате сжатия вещество нагревается по степенному закону. Пренебрежение давлением является довольно грубым в начале коллапса, однако на этой стадии температура вещества еще невелика, и нейтрино излучается немного. По мере приближении звезды к гравитационному радиусу гд влияние давления стремится к пулю, и им вполне можно пренебречь. Как указано в ([51]), внутри однородного пылевого шара можно ввести сопутствующую синхронную систему отсчета, причем в этой системе отсчета обычное трехмерное пространство везде одинаковую кривизну, зависящую только от времени. Характер этой кривизны (положительная, отрицательная, нулевая) в процессе коллапса не изменяется, и однозначно задается начальными условиями (начальная плотность, начальная скорость коллапса). Мы, однако, будем считать, кривизну трехмерного пространства внутри шара нулевой. Как будет показано ниже, это предположение существенно упрощает расчеты, однако накладывает некоторые ограничения на задание начальных условий коллапса. Пусть начальный радиус звезды равен хйх.
Согласно ([51]), метрика внутри пылевого шара может быть записана в виде: Здесь тсоі - параметр задачи, определяемый ниже, "пространственные "координаты (11,(,0 аналогичны обычным сферическим координатам в трехмерном пространстве. Коэффициент а играет роль масштабного фактора: для того, чтобы найти физическое расстояние между двумя точками в метрике (3.1), нужно "координатное расстояние"(вычисленное в координатах (R, С )) умножить на а. В частности, расстояние от точки с радиальной координатой R до центра звезды равно: Система координат (г, R, , ) является сопутствующей. Это означает, что каждый элемент коллапсирующего вещества имеет некоторые фиксированные R, ( и , не меняющиеся со временем. В этом смысле координаты (R, (", ) можно назвать Лагранжевыми. Следует отметить полную аналогию между рассматриваемым здесь решением для коллапсирующего пылевого шара и решением Фридмана для плоской вселенной, заполненной однородной пылевой материей, метрика которой полностью совпадает с (3.1). Поэтому внутреннее пространство исследуемого нами пылевого шара можно рассматривать как часть Фридмановской вселенной; движение нейтрино в пределах шара происходит абсолютно также, как во вселенной Фридмана. В сопутствующей системе радиальная координата Rs поверхности не меняется, и в любой момент времени г тсоі она равна своему начальному значению Кроме того, с помощью ([51]) нетрудно получить следующее соотношение: Здесь к - гравитационная постоянная, є - плотность вещества звезды в собственной системе отсчета. Проинтегрировав е по всему объёму коллапсирующего шара, получим полную массу покоя вещества звезды. Возникает вопрос о том, как эта величина соотносится с полной массой звезды, которую измерит удаленный неподвижный наблюдатель. Последняя состоит из массы покоя вещества и суммы его кинетической и потенциальной энергии. Как уже отмечалось, мы рассматриваем коллапс пылевого шара, при котором внутри него трехмерная кривизна пространства равна нулю. В этом случае движение пылевой материи к центру является свободным падением, причем с нулевой скоростью на бесконечности. Как известно, при таком падении сумма кинетической и потенциальной энергии вещества равна нулю. Поэтому масса звезды равна массе покоя ее вещества, т.е.: Отсюда, с учетом однородности вещества звезды: Примем момент времени т = 0 за начальный.
Тогда ао = 1 и Задав начальный радиус звезды ж50, мы из (3.10) определяем параметр коллапса тсо[. Задача о коллапсе однородного шара с плоским внутренним пространством имеет два независимых параметра: Лагранжев радиус поверхности Rs и массу звезды. Величина тсо/ — т0 однозначно задается заданием этих двух параметров, поэтому изменение г0 приводит лишь к сдвигу начала отсчета времени. В случае произвольной трехмерной кривизны мы можем произвольно задавать массу звезды, ее начальный радиус и начальную скорость коллапса. Если же мы рассматриваем коллапс с нулевой кривизной, этого сделать уже нельзя, и начальная скорость коллапса при конечном начальном радиусе всегда отлична от нуля. Она автоматически определяется из условия нулевой кривизны и оказывается равной скорости свободного падения из бесконечности для радиуса xs0. В дальнейшем начальный радиус звезды мы будем для краткости обозначать просто х0. Примем, что в сопутствующей системе отсчета каждый элемент вещества излучает нейтрино изотропно, а интенсивность этого процесса и спектр излучаемых нейтрино зависят от температуры вещества и его плотности. В данной работе динамика коллапса, соответствует движению пылевидной материи. В условиях известного закона для изменения плотности, определяемого параметрами М и Rs, изменение температуры в сжимающемся веществе находится из решения уравнения энергии при заданной начальной энтропии, и используя известную скорость нейтринного излучения как функцию температуры и плотности. Ниже для получения аналитического решения используется более упрощенный подход, когда зависимость температуры от времени аппроксимируется степенной зависимостью температуры от плотности. В данной задаче изменение плотности вещества є(т) определяется, согласно (3.4), (3.7), одной функцией а(т). Для нахождения наблюдаемых кривой блеска и спектра нейтрино нужно решить вначале; задачу о распространении нейтринного сигнала, возникающего внутри однородного коллапсирующего тела заданной массы М, к наблюдателю. Примем, что в собственной системе отсчета за интервал собственного времени dr в элементе физического2 объёма dV в элементе физического фазового пространства d3p рождается нейтрино, где f(a, q) — некоторая функция, вид которой будет конкретизирован ниже. Введем функцию распределения нейтрино N, так что величина Nd3pdV задает количество нейтрино в элементе физического объёма dV в элементе физического фазового пространства d3p. )3 В сферически симметричном случае, при условии, что в сопутствующей системе отсчета излучение нейтрино происходит изотропно, N зависит только от четырех величин: радиальной координаты R,
Распространение нейтрино от звезды к наблюдателю
Рассмотрим теперь вопрос о движении нейтрино вне звезды. Согласно ([69]), гравитационное поле здесь является Шварцшильдовым, т.е. имеет метрику: Функция N распределения нейтрино в таком поле при наличии сферической симметрии зависит от четырех величин: угла в между траекторией нейтрино и направлением от центра звезды, энергии нейтрино w, радиуса г и времени t. Найти её можно, решив кинетическое уравнение; граничное условие для него нужно получить из (3.33). Выясним, как связаны физические величины, измеренные на поверхности звезды во Фридмановской и Шварцшильдовой системах отсчета. Как известно, локальные наблюдатели Шварцшильдовой системы отсчета неподвижны, а локальные наблюдатели Фридмановской системы отсчета движутся вместе с веществом. Поэтому физические величины, измеренные этими наблюдателями, оказавшимися в некоторый момент времени в одной и той же точке на поверхности звезды, будут связаны обычным преобразованием Лоренца. Скорость, определяющая это преобразование, равна физической скорости поверхности звезды, измеренной локальным Шварцшильдовым наблюдателем. Согласно ([69]), она равна: где h — текущий Шварцшильдов радиус звезды. Длина окружности поверхности звезды во Фридмановской системе отсчета равна 2ттх, в Шварцшильдовой 2ith. Так как поперечные размеры не меняются при Лоренцевом преобразовании, 2тгх — 2nh, то есть х = h. Таким образом, Шварцшильдов радиус звезды равен х. В частности, формулу (3.35) можно переписать как: Как показано в ([51]), физическая функция распределения частиц (см. примечание на с. 39) инвариантна относительно преобразования Лоренца.
Поэтому для того, чтобы пересчитать функцию (3.33) в Шварцшильдову систему отсчета, нужно просто выразить входящие в неё переменные (r/,cosi9) через величины5 (ws,cos6s) Шварцшильдовой системы отсчета с помощью Лоренцевого преобразования со скоростью, определяемой формулой (3.36). Используя ([51]), легко выписать: Таким образом, мы нашли физическую функцию распределения нейтрино на поверхности звезды в Шварцшильдовой системе отсчета. Для полного задания граничного условия нужно еще определить закон движения этой поверхности. Согласно ([69]), уравнение свободного радиального падения тела в Шварцшиль-довом поле, такого, что скорость тела на бесконечности равна нулю (как было указано выше, именно так движется поверхность рассматриваемого пылевого шара), имеет вид: Здесь D — постоянная интегрирования. Задавая ее, мы определяем начало отсчета времени в Шварцшильдовой системе отсчета. Положив ее равной нулю, получим: Эта формула и задает закон движения поверхности звезды. Таким образом, мы полностью задали граничные условия для кинетического уравнения в Шварцшильдовой метрике. В работе ([45]) получено кинетическое уравнение для такого поля, и показано, что в этом случае интегралы движения имеют вид: Первая из этих величин задает прицельное расстояние в поле Шварцшильда; вторая определяет "красное смещение "при движении нейтрино в таком поле. Третий интеграл, по сути, является временем испускания нейтрино поверхностью звезды. Нам, однако, будет удобнее использовать вместо времени излучения нейтрино радиус звезды х в этот момент. Эти величины, очевидно, однозначно зависят друг от друга согласно (3.41): Выразим теперь величины cos и ws, входящие в выражение (3.39), через интегралы движения Q, р и х. Для этого в формулы (3.42)-(3.44) подставим значения переменных, соответствующие поверхности звезды (в частности, надо положить г = х).
Получается: Подставим полученные выражения в формулу (3.39) для функции распределения нейтрино на поверхности звезды: Так как пространство вне звезды не содержит источников нейтрино, функция распределения постоянна вдоль характеристик. Поэтому полученное выражение задает распределение нейтрино в произвольной точке вне звезды. Однако, в конечном итоге, нас интересуют параметры нейтринного импульса, которые измерит бесконечно удаленный от коллапсирующей звезды наблюдатель. Пусть расстояние от наблюдателя до звезды равно d (d 1). Таким образом, нас будет интересовать поведение интегралов (3.42)-(3.44) при г = d, то есть г 1. Первые два интеграла ((3.42) и(3.43)) принимают вид: Как уже отмечалось, вместо интеграла из системы (3.42)-(3.44) мы используем ; эти величины однозначно зависят друг от друга согласно (3.45). Подставим это соотношение в (3.44) и выразим время t достижения нейтрино радіуса г через х и р. Последний интеграл в этом выражении сходится при d — со. Поэтому верхний предел в нем естественно положить равным бесконечности. Видно, однако, что исходный интеграл выражения (3.55) расходится. Чтобы выяснить физический смысл этого, подставим соотношение (3.55) в исходную формулу (3.54):
