Содержание к диссертации
Введение
1. Влияние релятивистского характера движения электро нов в Ш поле на колебательные свойства плазмы 18
1.1. Параметрический резонанс в изотропной электронной плазме 18
1.2. Параметрический резонанс в магнитоактивной элект ронной плазме 25
1.3. Потенциальные колебания плазмы в сильном СЩ элект рическом поле 30
1.4. Неустойчивость электронной плазмы в поле циркулярно поляризованной электромагнитной волны 39
2. Параметрическое возбуждение продольных колебаний поперечно-продольным полем 54
2.1. Неустойчивость магнитоактивной плазмы в поперечно продольном поле, генерируемом Ш волной 54
2.2. Возбуждение продольных колебаний поперечно-продоль ным полем, генерируемым двумя СВЧ волнами 63
3. Нелинейное взаимодействие Ш и НЧ волн в плазме 76
3.1. Упрощённые основные уравнения 76
3.2. Расцепление продольных и поперечных волн 88
3.3. Модуляционная неустойчивость и стационарные уединённые волны 94
3.4. Критерий существования коллапса продольных волн 105
3.5. Доказательство положительности ГЭсЬф 111
3.6. Автомодельные коллапсирущие решения для продольныхволн 113
4. "Нестационарная"сила ВЧ давления и её влияние на нелинейные процессы в плазме 118
4.1. "Нестационарная" сила БЧ давления,обусловленная продольной ВЧ волной 118
4.2. Влияние "нестационарной" пондеромоторной силы на нелинейную динамику Ш поперечных волн, распростра няющихся вдоль магнитного поля 126
4.3. Вшяние "нестационатной" пондеромоторной силы на нелинейные электронно-циклотронные волны. 134
5. Излучение ионно-звуковых волн ленгшровским солитоном. 138
5.1. излучение ионно-звуковых волн ускоренно движущим ся леншюровским солитоном 138
5.2. Излучение ионно-звуковых волн "пульсирующим" ленгморовским солитоном 153
Заключение 164
- Параметрический резонанс в магнитоактивной элект ронной плазме
- Возбуждение продольных колебаний поперечно-продоль ным полем, генерируемым двумя СВЧ волнами
- Модуляционная неустойчивость и стационарные уединённые волны
- Вшяние "нестационатной" пондеромоторной силы на нелинейные электронно-циклотронные волны.
Введение к работе
Самой характерной чертой плазмы, как системы со многими колебательными степенями свободы, является нелинейная природа протекающих в ней процессов. Согласно существующим в настоящее время представлениям, именно нелинейные волновые явления определяют динамику плазмы и её макроскопические характеристики - диффузию, электропроводность, теплопроводность и т.д.
Свойства волн в линейном приближении, когда волны можно считать не взаимодействующими между собой, подробно изучены [і - 5]. В настоящее время ведутся интенсивные исследования нелинейных свойств плазмы. Причиной такого интереса является то обстоятельство, что выводы нелинейной теории плазмы уже находят широкое применение в объяснении экспериментальных результатов по удержанию и нагреву плазмы, распространению радиоволн и в ряде астрофизических задач [б - Ю].
Состояние плазмы, динамика волнового движения в ней существенным образом зависят от способа приготовления плазмы и от величины подводимой к плазме мощности. Для нагрева плазмы до термоядерных температур используются настолько мощные источники энергии, что под их воздействием в плазме возбуждается широкий спектр нерегулярных колебаний - плазма переходит в турбулентное состояние. В плазме с высоким уровнем нерегулярных колебаний на первый план выступают коллективные явления [ II]. Так, при протекании сильного электрического тока через горячую плазму аномальное сопротивление определяется низкочастотной (Ш) турбулентностью, а за поглощение энергии электронного пучка или внешнего электромагнитного излучения в основном ответственна ленгмюровская турбулентность.
Помимо турбулентного состояния, существует широкий класс нелинейных регулярных процессов в плазме, в которых взаимодействие между частицами и коллективными возбуждениями - волнами приводит к таким своеобразным явлениям, как, например, эхо в плазме, нелинейное затухание Ландау, генерация нелинейных слабодиспергирущих волн, самосжатие и самофокусировка волновых пакетов [П].
В подобных случаях в отличие от развитого турбулентного состояния, когда возбуждён широкий спектр волн, динамика плазмы определяется поведением одной нелинейной колебательной моды, которой в линейном приближении соответствует максимальный для данных условий инкремент. Бели надкритичность неустойчивости невелика (что осуществляется при умеренных энергиях, подводимых к плазме), то развитие неустойчивости переводит плазму в своеобразное ламинарное состояние - в плазме устанавливается одна определённая волна конечной амплитуды. Такое регулярное состояние плазмы часто называют одномодовым состоянием. Сдномодовое состояние легче всего можно реализовать в ограниченной плазме, когда волны в плазме характеризуются дискретным спектром.
В настоящее время регулярные нелинейные волны интенсивно изучаются в самых разных областях физики: гидродинамике, радиофизике, оптике, физике плазмы и т.д. В каждой из этих областей имеются свои специфические методы исследования, свои результаты. Однако можно указать на ряд закономерностей качественного характера, которые являются следствием общей теории нелинейных волн и в разных областях физики описываются лишь в различных терминах. Например, известно, что дисперсия - зависимость фазовой скорости волны от волнового числа - приводит к расплыванию волнового пакета, в то время как нелинейность обычно приводит к его укручению, т.е. эти два эффекта в определённом смысле противодействуют друг другу. При взаимном уравновешивании этих эффектов становится возможным образование т.н. стационарных нелинейных волн, которые рас - 6 пространяются с постоянной скоростью без изменения своего профиля. Этот процесс является довольно общим и может иметь место в любых диспергирующих средах.
Хотя к настоящему времени теория регулярных нелинейных волн ещё далека от своего завершения, в ряде её направлений уже достигнута определённая ясность. Следует особо отметить результаты анализа некоторых предельных случаев, когда удаётся проследить за асимптотическим поведением решений [12 - 21].
Использование современных методов ввода энергии в плазму (мошг ные лазеры, сильноточные электронные пучки) потребовало формирования ряца новых физических представлений об эффективности коллективного поглощения энергии плазмой. В частности, в плазме могут возбугвдаться такие сильные когерентные колебания, которые не удаётся описать в рамках теории слабой турбулентности.
Воздействие мощного электромагнитного излучения на плазму приводит к изменению её дисперсионных свойств и к развитию в плазме нового типа неустойчивости, называемой параметрической. Параметрическое іззаимодействие мощного электромагнитного поля с плазмой и обусловленный им параметрический резонанс впервые рассматривались в работах [22, 23]. Многочисленные результаты, полученные в области параметрической неустойчивости плазмы, подробно изложены в монографии [24]. Физическая природа параметрической неустойчивости в плазме состоит в следующем: в поле накачки скорости частиц плазмы осциллируют. Из-за различия масс электронов и ионов их относительная скорость также осциллирует. Состояние системы, в которой имеется осциллирующий параметр, как хорошо известно из механики, неустойчиво: при выполнении определённых резонансных условий в системе резко нарастают собственные колебания. В отличие от параметрического резонанса в сосредоточенных системах, в диспергирующей среде условие резонанса, помимо сохранения частоты, требует и сохранения волнового вектора волны накачки, что эквивалентно сохранению импульса системы.
Шраме трич ее кие эффекты при взаимодействии высокочастотного (Ш) электромагнитного поля с плазмой экспериментально наблюдались в работах [25 - 27]. Были обнаружены аномальное увеличение поглощения Ш поля и возбуждение внешней электромагнитной волной ленгмюровских и ионно-звуковых волн.
Ясно, что для оценки эффективности поглощения энергии плазмой за счёт параметрических процессов необходимо исследовать нелинейную стадию их развития. С этой целью в качестве исходного приближения было использовано приближение трёх взаимодействующих волн, что вполне естественно, так как при относительно слабой накачке параметрической неустойчивости соответствует трёхволновой процесс - распад волны накачки на два собственных колебания плазмы [28, 29]. Вообще говоря, возмущения, на которые распадается исходная волна, сами оказываются параметрически неустойчивыми, и в конечном счёте плазма должна перейти в турбулентное состояние. Таким образом, развитие представления о параметрическом взаимодействии внешнего излучения с плазмой привело к разработке теории параметрической ленгмюровской турбулентности [24, ЗО, Зі].
В сильных полях накачки могут оказаться существенными и эффекты, обусловленные нелинейностью движения одиночного электрона в переменном поле - релятивистской зависимостью массы электрона от скорости [з, 32]. Достигнутые к настоящему времени успехи лазерной техники позволяют получать такие электромагнитные поля, в которых электроны могут приобрести релятивистские скорости. В космическом пространстве источником таких сильных полей может служить электромагнитное излучение космических объектов (ядер галак - 8 тик, радиогалактик, квазаров и др.). Поэтому назрела необходимость систематического исследования влияния релятивистского эффекта, обусловленного большой упорядоченной скоростьюэлектронов в поле ВЧ электромагнитной волны, на коллективные процессы в плазме. Этот вопрос может оказаться важным как с точки зрения проблемы лазерного УТС, так и для решения ряда астрофизических задач.
Релятивистский характер движения электронов во внешнем переменном поле приводит к тому, что один из основных параметров, ха-рактеризущих колебательные свойства плазмы, а именно масса электрона, осциллирует во времени (так как осциллирует скорость электрона, приобретаемая им в поле накачки). При соблюдении определённых резонансных условий осцилляция массы электрона может привести к раскачке как потенциальных, так и непотенциальных собственных колебаний плазмы ГЗЗ, 34І. Следует отметить, что релятивистская параметрическая неустойчивость может иметь место и в чисто электронной плазме, где ионы покоятся, и их роль сводится лишь к коміенсащи равновесного объемного заряда. Можно указать и другие условия, когда в возбуждении волн релятивистский эффект играет решащую роль. Так например, собственные волны распространяющиеся в направлении, перпендикулярном направлению электрической напряженности поля накачки, могут быть возбуждены за счёт релятивистского параметрического резонанса.
Влияние релятивистского эффекта можно проследить и на нелинейной стадии динамики волн в плазме. В работе [35] показано, что релятивистское движение электрона может привести к образованию б ее столки овит ельных ударных волн. В [34, 36, 37] исследовались самомодуляция и самофокусировка электромагнитных волн в электронной плазме,, В работах [38, 3Sf] изучено влияние зависимости массы электрона от амплитуды волны накачки на характер распространения
- 9 электрозвуковых волн в плазме. Показано, что если сила Ш давления превышает силу газокинетического давления, то уединённая волна имеет характер волны сжатия.
Нелинейную динамику волн проще всего удаётся описать, если частоты собственных колебаний плазмы сильно различаются. Например, в изотропной плазме частоты ленгмюровских волн, а также поперечных электромагнитных волн намного превышают частоту НЧ ион-но-звуковых: волн. В подобных задачах естественно выделять два масштаба времени, соответствующих периодам Щ и НЧ движений плазмы. Это позволяет перейти к усреднённым по периоду ВЧ поля уравнениям и отцепить друг от друга уравнения для ВЧ и НЧ движений плазмы. Полученные таким образом уравнения позволяют с единой точки зрения рассмотреть ряд нелинейных процессов самовоздействия и взаимодействия волн в плазме.
Нелинейная связь НЧ движения плазмы с ВЧ волновым движением осуществляется с помощью усреднённой по периоду ВЧ поля силы ВЧ давления. Эта сила, часто называемая повдеромоторнои, играет роль вынуждающей силы для медленного движения, и поэтому развитие нелинейных процессов в плазме весьма существенно зависит от структуры этой силы.
Задаче нахождения усреднённых по времени общих выражений для тензора напряжений и повдеромоторнои силы, действующих на диспергирующую среду в Щ поле, посвящено большое количество работ [40 - 44j. В работе [43] выражение для повдеромоторнои силы получено с помощью феноменологического вывода общего выражения для усреднённого по периоду ВЧ поля тензора натяжений электромагнитного поля. В работе [41] выражения для повдеромоторнои силы получены из рассмотрения движения отдельных заряженных частиц в неоднородном FI поле.
Заметим, что усреднённая пондеромоторная сила, фигурирующая в электродинамике, ииеет механический аналог. При рассмотрении движения частицы, находящейся в постоянном по времени потенциальном поле и подвергакщейся, кроме того, воздействию быстропеременной силы, также удаётся ввести усреднённую по периоду ВЧ движения силу, влияющую на медленное движение частицы [44].
В указанных выше работах усреднённая пондеромоторная сила пропорциональна градиенту амплитуды Ш поля, и ВЧ поле подразумевается стационарным (его амплитуда считается постоянной во времени).
С другой стороны, эффекты нестационарности амплитуды ВЧ поля могут играть важную роль при исследовании нелинейной связи ВЧ и НЧ движений плазмы. В работе [45] на основе общего феноменологического подхода получено выражение для пондеромоторной силы в поперечном поле для прозрачной жидкой диспергирующей среды (в частности, для плазмы) с учётом медленной зависимости от времени амплитуды ВЧ поля. В общем случае это выражение содержит производную по времени от амплитуды ВЧ поля, которая может играть существенную роль, например, в магнитоактивной плазме [4б].
В случае продольных Ш волн выражение для нестационарной пондеромоторной силы получено в [47].
Подводимая к плазме энергия (в виде лазерного излучения или электронного пучка)поглощается благодаря возбуждению ленгмюров-ских колебаний и их последующему затуханию. Поэтому при не малых уровнях энергии решение задачи о её поглощении сводится к построению теории сильной ленгмюровской турбулентности. Возбуждённые до определённого уровня ленгмгоровские колебания взаимодействуют с частицами, и благодаря этому их спектры (распределение энергии по волновым числам) изменяются со временем. Спектр ленгмюровских колебаний имеет нераспадный характер, и врамках теории слабой лен - и гмюровской турбулентности основными нелинейными процессами являются распад с рождением ионно-звуковых волн, а в изотермической плазме, где температуры электронов и ионов равны - индуцированное рассеяние на ионах. В элементарных актах, соответствущих каждому из этих процессов, рассеяние плазмона происходит почти упруго -основная часть его энергии сохраняется. Существенно уменьшается лишь импульс плазмона. В результате происходит перекачка энергии плазмонов по спектру волновых чисел в длинноволновую область, где линейное затухание волн мало [48J. другими словами, энергия ленгмюровских волн почти без потерь перекачивается в область исчезаю-ще малых волновых чисел - образуется т.н. "конденсат" слабозатухающих ленгмюровских колебаний. Если накачка энергии продолжается, то энергия в конденсате со временем будет расти, и плотность энергии длинноволновых плазмонов может достичь значений, при которых описание процесса выходит за рамки слабой турбулентности.
В работах ГбО, 5ІІ удалось экспериментально обнаружить выдавливание каверны плотности ленгмкровскими колебаниями, возбуждаемыми в точке плазменного резонанса электромагнитным полем.
Исследование нелинейной стадии модуляционной неустойчивости, выполненное в работе 52], показало, что каверна неустойчива: собираясь в области локализации каверны, ленгмюровское поле своим давлением ещё больше уменьшает плотность плазмы и углубляет каверну. Одновременно происходит уменьшение размеров каверны. За конечный промежуток времени размеры каверны достигают столь малых масштабов, при которых затухание Ландау на электронах становится существенным. Такое охлопывание каверны, названное "коллапсом" ленгмюровских волн, представляется основным механизмом диссипации энергии, накопленной в ленгмюровском конденсате. Коллапсирущие каверны ленгмюровских колебаний могут играть фундаментальную роль в теории сильной ленгмюровской турбулентности. Согласно идеям работы [52], развитое турбулентное состояние плазмы можно представить в виде ансамбля случайным образом расположенных каверн, взаимодействующих между собой и с частицами плазмы.
Ввиду математической сложности коллапс ленгмюровских волн аналитически удаётся описать только для одной каверны и лишь в некоторых специальных случаях ГбЗ - 55J. Несмотря на большое количество работ по изучению этого интересного явления, вопросы временного режима развития коллапса, его размерности обсуждаются до настоящего времени Г 56, 57І.
Непосредственное экспериментальное обнаружение и изучение динамики коллапса связано с большими трудностями вследствие малости размеров и времени жизни каверн.
В настоящее время локализованные образования солитонного типа представляют большой интерес для физики плазмы как с фундаментальной, так и с практической точек зрения. С фундаментальной стороны этот интерес вызван тем, что изучение свойств солитона как образования характерного для нелинейных систем, может облегчить правильное понимание сложных процессов, протекающих в этих системах. С практической точки зрения теория солитонов может сыграть важную роль, например, в проблеме УТС. На некоторой стадии трансформации внешней энергии, подводимой к плазме с целью её нагрева, внешняя накачка может породщ?ь локализованные электромагнитные поля, которые сходны с солитоноподобными структурами. Эти нелинейные об - 14 -разования могут сильно взаимодействовать с частицами плазмы, что повлияет вв. макроскопические свойства среда (пространственные распределения плотности, температуры). Солитон может служить удобной моделью для изучения взаимодействия заряженных частиц с локализованными сгустками поля. Динамика взаимодействия солитонов с заряженными частицами рассмотрена в работах б0, 61]. Формирование ленгмюровских солитонов Б плазме экспериментально наблюдалось в работах [62 - 64].
Солитон по определению должен представлять собой устойчивое образование [20, 65"]. Однако в физике плазмы солитонное решение является частным решением приближённых нелинейных уравнений, что подразумевает возможность существования каналов потери энергии солитоном. Поэтому основным вопросом теории солитонов в физике плазмы является вопрос их устойчивости и изучение влияния различных внешних факторов на устойчивость солитонов.
В настоящем Введении не представляется возможным охватить всю проблему нелинейных процессов в плазме и дать в полном объеме обзор огромной литературы на эту тему. Здесь выделены только те вопросы и задачи, которые имеют непосредственное отношение к содержанию диссертации. Дополнительный обзор литературы по теме ведётся параллельно с изложением содержания диссертации.
Диссертация содержит пять глав. План диссертации следущий: В Главе I изложена последовательная теория параметрической неустойчивости, обусловленной релятивистской осцилляцией массы электронов во внешнем сильном ВЧ поле. В §1.1 изложена теория релятивистского параметрического резонанса в изотропной плазме с учётом кинетических эффектов. В §1.2 рассмотрен ралятивистский параметрический резонанс в магнитоактивной плазме в гидродинамическом приближении. Теория потенциальных колебаний плазмы в сильном СВЧ поле, частота которого больше собственных частот плазмы, изложена в §1.3. В §1.4 рассмотрена неустойчивость как изотропной, так и магнитоактивной плазмы в поле сильной циркулярно поляризованной волны. При этом учитывается релятивистская зависимость массы электрона от его скорости. В случае изотропной плазмы приняты во внимание также тепловой эффект и стожновения электронов в модельном представлении.
Іаспространение сильной поперечной линейно поляризованной Ш волны в плазме всегда сопровождается возникновением продольной составляющей поля. Изложению теории неустойчивости плазмы, обусловленной этой продольной составляющей, посвящена Глава 2. В §2.1 рассмотрена параметрическая неустойчивость магнитоактивной плазмы относительно раскачки потенциальных колебаний, распространявшихся вдоль направления распространения внешней Ш волны. В §2.2 исследована параметрическая неустойчивость продольных волн в изотропной плазме, помещённой в поле двух СВЧ волн накачки.
Глава 3 посвящена изложению некоторых аспектов теории нелинейного взаимодействия ВЧ и Ж волн в плазме. В §3.1 сформулированы основные упрощённые уравнения, описывающие Ш и НЧ движения плазмы. На основе этих уравнений получены все последущие результаты. В §3.2 обсуждается возможность расцепления продольных и поперечных волн, что облегчает анализ исследуемых нелинейных явлений. В §3.3 рассмотрено влияние релятивистской зависимости массы электрона от его скорости на модуляционную неустойчивость монохроматической Ш волны. Здесь же исследована природа уединённых волн в плазме при учёте релятивистского эффекта. В §3.4 и §3.5 дан вывод критерия существования коллапса продольных волн на основе законов сохранения. В §3.6 построено автомодельное решение для коллапса продольных волн и проведён его анализ. Показано, что в приближении, когда продольное ВЧ поле можно отцепить от поперечного, в автомодельном режиме коллапс имеет двумерный характер.
В Главе 4 изложена теория нестационарной пондеромоторной силы, которая пропорциональна производной по времени от маплитуды ВЧ поля. В §4.1 получено выражение для нестационарной усреднённой силы давления в случае, когда ВЧ волна является продольной. В следующих двух параграфах этой главы приведены два примера, иллюстрирующие важность учёта нестационарной пондеромоторной силы. При этом пондеромоторная сила предполагается обусловленной поперечной ВЧ волной. В §4.2 проведён анализ влияния нестационарной пондеромоторной силы на динамику ВЧ поперечных волн в случае, когда эти волны распространяются вдоль постоянного внешнего магнитного поля и их частота не слишком близка к циклотронной частоте электронов. Б §4.3 исследуется влияние нестационарной пондеромоторнои силы на нелинейную динамику электронно-циклотронных волн.
В Главе 5 построена теория излучения ионно-звуковых волн ленг-мюровскими солитонами. Исследуемый эффект является ещё одним явлением, уподоблящим солитон частице. В §5.1 исследуется излучение ионно-звуковых волн солитоном,который движется с ускорением. Ускорение обусловлено неоднородностью плазмы. Одним из интересных решений нелинейного уравнения Шрёдингера является решение которому соответствует такое двухсолитонное связанное состояние, когда центр локализации ВЧ поля покоится, а профиль его локализации пульсирует. Такое связанное состояние мы назвали "пульсирующим" солитоном. В §5.2 изложена теория излучения ионно-звуковых волн таким пульсирующим солитоном.
Параметрический резонанс в магнитоактивной элект ронной плазме
Колебательные свойства плазмы,помещённой во внешнее магнитное поле, становятся более сложными и многообразными, появляется большое число разнообразных как высокочастотных, так и низкочастотных ветвей колебаний. Мы ограничимся рассмотрением влияния релятивист- ского осцилляторного движения электронов во внешнем переменном электрическом поле на продольные электронные колебания холодной магнитоактивной плазмы [75]. Бак и выше, будем считать невозмущённое состояние плазмы однородным. Представим внешнее переменное электрическое поле в виде имея в виду в дальнейшем рассмотреть два случая по отдельности: Еох=0 и Еог = О . Ваправление внешнего постоянного магнитного поля выберем за ось z » В0 (о, О, B0V Для описания потенциальных колебаний холодной электронной плазмы воспользуемся уравнениями одно-жидкостной гидродинамики: При учёте релятивистских эффектов в линеаризованных уравнениях ограничимся первыми двумя членами разложения по степеням V/c2 Тогда для определения невозмущённой скорости электронов можно использовать решение нерелятивистского уравнения движения: Используя малость величины /c2 і » легко составить уравнение для неравновесной части плотности электронов 4 (1%= = Пео+пЛ. Для Фурье-амплитуд величины получим уравнение и элементы штрицы1Длг1 определяются перемножением следующих матриц: Здесь под параметром п. в матрицах правой стороны равенства подразумевается значение индекса п. - соответствущего эяемен- Уравнение (І.І8) по форме сходно с уравнением (І.І2). Повторяя выкладаи, проведённые при решении уравнения (І.І2), можно найти частоту сог и инкремент Jf продольных колебаний в случае параметрического резонанса ю0 = wr . Собственную частоту продольных колебаний юг следует определить из уравнения В формуле (I.I9) было учтено равенство ф 0 0 = ФА0 О- Есж Еох - О , то инкремент принимает значение Волны, распространяющиеся поперёк магнитного поля, Ка = О f наиболее быстро нарастают при XI е» toPe . Если Еог - О , то инкремент волн с Кь = О (или Ку-0) в этом случае равен В [76 ] получено выражение для инкремента продольных волн в ма- гнитоактивной плазме при параметрическом взаимодействии плазмы с внешним переменным электрическим полем.
Релятивистские эффекты при этом не учитывались. В резонансном явлении, рассмотренном в [7б], определяющую роль играет колебательное движение ионов: в пределе т.с- оо инкремент параметрической раскачки колеба- ний стремится к нулю. В условиях, при которых справедлива формула (1.20),вычисленный в [76 ] инкремент принимает значение Из сравнения (1.20) и (I.2I) следует, что при выполнении уело- инкремент (1.20) больше инкремента (I.2I). Таким образом, в определённых условиях параметрическая раскачка продольных волн в маг-нитоактивной плазме так же, как это было в случае изотропной плазмы, может быть обусловлена релятивистскими эффектами. 1.3 Потенциальные колебания плазмы в сильном СВЧ электрическом поле При частотах внешнего переменного электрического поля, намного превышающих; собственные частоты плазмы, раскачка плазменных коле- баний не имеет места. Однако, релятивистский характер движения электронов во внешнем переменном поле существенно меняет дисперсионные свойства плазмы. Уменьшается частота ионной ветви потенциальных колебаний. Фазовая скорость ионно-звуковой волны приближается к ионной тепловой скорости, что приводит к увеличению затухания волны на ионном компоненте плазмы. Для общности задачи не будем ограничивать направление распространения рассматриваемых волн. В этом случае, как указано в [ЗЗ], выделить чисто продольные колебания удаётся при условии сос юре» » кс , которое будем предполагать выполненным. Шссмотрение влияния сильного СВЧ электрического поля на продольные колебания начнём со случая плазмы без внешнего магнитного поля [77]. С помощью (1.2) и (1.3) уравнение, описывающее потенциальные колебания плазмы, можно привести к виду: где Ku , Pu и кх , px - продольные и поперечные к направлению внешнего электрического поля составляющие волнового вектора и импульса, величины , р 0 (4-) определяются выражениями Шдексы oC , p указывают на принадлежность величин к электронному или ионному компонентам плазмы, U, в = е, і . Так как мы полагаем частоту внешнего поля ы0 намного большей рассматриваемых собственных частот колебаний плазмы ш , то искомую функцию можно представить в виде где С"Ц?ы - усреднённая по периоду внешнего Ш поля функция " ы » а V её быстропеременная часть. Оценки, проведённые в гидродинамическом приближении, показывают, что отношение у//\# ТГ Поэтому для описания сравнительно медленных движений плазмы можно пользоваться функцией / „Л В дальнейшем мы будем интересоваться случаем, когда движение электронов во внешнем поле можно считать релятивистСКИРЛ, 1р0 те с » а движение ионов - нерелятивистским, Р0 « m і с . Усреднённое по промежутку времени 2 /ы0 уравнение (1.22) имеет вид: 1 ( (у) и ( )" полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Используя обычные метода кинетического изучения собственных колебаний плазмы [24], из уравнения (1,23) получим дисперсионное соотношение где В нерелятивистском пределе уравнение (1.25) совпадает с уравнением, полученным в работе [_23J. В релятивистском случае, когда Ро те с » уравнение (1.25) отличается от ранее известного наличием множителей , е2 в определении характерных электронных параметров плазмы. Согласно (1.24), при Р0»гг?с величины г С10 ,Я 9 и р. равны; Величина р . может меняться в большом интервале значений. Так, при _ Из формул (1.26), (1.28) следует, что в релятивистском случае эффективная ленгмюровская частота оОе и эффективная тепловая скорость электронов 11те уменьшаются.
Отметим, что в релятивистском пределе, когда Р0 »гоес » соотношение (л 0 » w для электронной ветви колебаний не выполняется. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением Ш колебаний плазмы. В условиях, когда фазовая скорость собственных колебаний плазмы намного больше тепловых скоростей частиц, и)»кЦ , из урате . внения (1.25) получим следующие выражения для частоты и декремента ионной ветви колебаний: Существо ваше колебаний (1.29) возможно только при наличии внешнего переменного электрического поля. В релятивистском слу-чае, когда \ Pei[«i , в поглощении колебательной энергии этой волны основную роль могут играть ИОНЫ, НО/у і. Дяя Ш колебаний плазмы, KU »W»KV , ИЗ уравнения (1.25) получим следующие выражения для частоты и декремента: В пределе длин волн, удовлетворяющих условию к г"ое —— «і и при ІРЄІ\ - і- из формулы (І.ЗІ) получим спектр,соответствующий ионно-звуковым колебаниям: Отметим, что в релятивистском случае ионно-звуковые колебания могут наблюдаться и при длинах волн порядка дебаеЕского радиуса. Условие к rDe / е sVg Г і может выполняться и при К rUe І . Согласно (1.28), (1.33), в релятивистском пределе частота ион-но-звуковых колебаний уменьшается. Это приводит к изменению относительной доли затухания ионно-звуковых волн на электронном и ионном компонентах плазмы. Если в отсутствие внешнего электрического поля энергия ионно-звуковых волн в основном поглощается электронами, то при наличии внешнего электрического поля в релятивистском случае энергия, отбираемая от волны ионами, может быть больше энер- гии, отбираемой электронами, действительно, при - ІО —— Ре. ос і О из формулы (1.32) для ионно-звуковых волн получим Полученные выводы справедливы и для случая плазмы во внешнем постоянном магнитном поле J78J. Использую метод расчёта, развитый выше, для продольных колебаний магштоактивной плазмы получим следующее дисперсионное соотношение : aX С2) функция Бесселя мнимого аргумента. Остальные величины, входящие в (1.34), определяются с помощью выражений (1.24),(1.26) и (1.27).
Возбуждение продольных колебаний поперечно-продоль ным полем, генерируемым двумя СВЧ волнами
Согласно предыдущему параграфу, последовательный учёт неоднородности Ж полей указывает на то, что в определённых условиях продольная составлящая поля накачки в плазме может играть определяющую роль в параметрическом усилении собственных волн. При этом инкремент максимален для собственных волн, волновой вектор которых направлен вдоль направления распространения ВЧ полей. Рассмотрим вопрос устойчивости плазмы в поле двух СВЧ волн, частоты которых больше собственных частот плазмы. Мы будем считать, что СВЧ волны распространяются параллельно или антипарал-лельно друг другу, а также, что напряженность одной из СВЧ волн намного меньше напряженности другой СВЧ волны: Е2=эе Б1 , эс« { . Слабая волна Eg приводит к параметрической связи и раскачке собственных продольных волн, закон дисперсии которых определяется сильным СВЧ полем Ек [вб]. Подобная задача обсуждалась в работе [S7j. Поля накачки в ней предполагались пространственно однородными, поэтому эффект влия- ния продольной сотавлящей поля накачки на параметрическое возбуждение волн не рассматривался. В отличие от работы [ J ш ис следуем устойчивость плазмы в продольно-поперечном поле постоянной амплитуды. Соответствующим выбором СЩ частот легко можно удовлетворить резонансным условиям. Если разностная частота _ равна одной из удвоенных собственных частот плазмы в поле Є і (соответствующих ВЧ и БЧ ветвям колебаний), то инкремент неустой-чивости, обусловленной продольным полем накачки, мал, Vca и эффект в основном определяется поперечной составляющей поля накачки. Однако если и_ равна сумме высокой и низкой собственных частот плазмы, то вклад продольного поля накачки увеличивается. Поскольку частоты СШ полей значительно превосходят ленгмюров-скую частоту, то поля не скинируются и могут проникать в плазму на большую глубину. Это обстоятельство указывает на возможность использования найденного эффекта для усиления собственных продольных волн при объемном нагреве плазмы. Мы будем рассматривать изотропную плазму. Распространение элер:-тромагнитных волн в плазме можно описывать системой уравнений (2.1), (2.2), в которых следует положить В0 — . При описании невозмущённого состояния пренебрежём силой гидродинамического давления, так как фазовые скорости волн накачки считаем большими по сравнению с тепловыми скоростями частиц плазмы.
Тогда для не-возмущённой плазмы, аналогично (2.7)-(2.9), получим систему При получении (2.25),(2.26) мы предположили также, что V0iJ =.0 . В отсутствие внешнего постоянного магнитного поля это предположение не нарушает общности задачи. Уравнение (2.25) является линейным, поэтому для скорости спра-г ведлив принцип суперпозиции. Уравнение (2.26) указывает на возможность генерации продольного поля поперечным. Решение системы (2.26),(2.25) можно искать в виде Связь скоростей VL , va с соответствукщими амплитудами электрических напряженностей СМ полей определяется соотношениями Подставляя выражения (2.27) в (2.25), найдём, что u , KL и оо2 , Ка связаны обычными дисперсионными соотношениями Так как частоты поперечных СВЧ полей намного больше электронной ленгмюровской частоты, то ij2 К 2с . В этом случае амплитуды Wn , определяющие продольное движение, равны: а для амплитуды скорости осцилляции на разностной частоте имеем Если две СШ волны направлены параллельно друг другу (Кі?Ка 0), то парамет]э ft = —- . В случае антипараллельного распространения ( К 0, 1 9 0 ) у - -jj- . Минимальное значение, которое может принять величина Є(и -) , определяется из условия При нарушении этого условия соотношение (2.6) не выполняется и отклонение плотности электронов пео от постоянного значения нельзя считать малым. В работах Г 88, 89І рассматривается задача генерации вынуаден-ных продольных волн на разностной частоте - двумя лазерными лучами. При условии точного резонанса u _ ojpe , как и следовало ожидать, амплитуда осцилляции на разностной частоте растёт линейно со временем. Насыщение роста амплитуда наступает из-за расстройки резонанса вследствие нелинейного эффекта. (Еасстройка оказывается порядка 1 2/с2 ). В рассматриваемой нами задаче разностная частота далека от резонансного значения,( --соре» )е t я продольное поле, возникающее при взаимодействии двух поперечных СШ волн с плазмой, имеет постоянную амплитуду. Это вынужденное продольное поле наряду с поперечным полем EL2 может привести к раскачке собственных продольных волн плазмы. Перейдём к исследованию устойчивости плазмы относительно малых отклонений от найденного выше невозмущёныого состояния.
Малые воз- мущения будем считать потенциальными, Е = - "ф «Не ограничивая общности задачи, предположим, что все величины, характеризующие малые отклонения, зависят только от координат х, . Уравнения, описывающие возмущённое состояние плазмы, после линеаризации можно привести к виду Отметим, что при выводе первых двух уравнений системы (2.31) была учтена сила Лоренца, обусловленная магнитной составляющей СВЗ волн, и принято во внимание тепловое движение электронов. Ваше ниє системы (2.31) можно искать в виде Аналитические вычисления удаётся провести до конца при следующих предположениях. 1) Ограничимся исследованием устойчивости плазмы в случае с п и Тогда основной вклад дают Фурье-амплитуды 2) Будем предполагать, что К КА , кя . Заметим, что можно рассмотреть и область длин волн, для которых К « Kit к2 . Одна- ко, как показывают шчисления, инкремент таких волн мал, порядка В этих условиях резонансная связь между взаимодействующими волнами, кроме уже известного параметрического эффекта [87 , осуществляется только через продольную скорость (2.29) на разностной частоте u _ . Если считать амплитуду скорости осциллятор-ного движения на этой частоте w0 настолько малой, что 2 / « 1 , и одно из СВД полей намного слабее другого, то немалыми оказываются лишь амплитуды g с индексами п. = о, ± і. Из условия разрешимости системы уравнений для амплитуд по- лучим следующее дисперсионное соотношение: где 3 00 - функция Бесселя целого порядка, а 5 .0 0" вклад частиц сорта с в диэлектрическую проницаемость плазмы: Еаспадное дисперсионное уравнение (2.32) справедливо при выполнении неравенства Представляя 3 0) в виде = (56 + 8 ( « 5 ), решение уравнения (2.32) будем искать как w w +i f ( «и» ). В отсутствие второго СВЧ поля ( 9с = О ) в плазме существуют как ВЧ, так и НЧ волны с частотами ю = ю : Дэкременга этих волн определяются выражениями венств к vTl«w « к vTe . Следует отметить, что частота столкновений электронов 0е , вообще говоря, зависит от напряженнос-тей "Ё , 9 з полей накачки [81J, но так как ое« і , то влиянием поля Б2 на процесс столкновений можно пренебречь. Из уравнения (2.32) следует, что продольная составляющая полей накачки в случае, когда со_ = 2 to , даёт пренебрежимо малый вклад ( эс у (Л ).
Модуляционная неустойчивость и стационарные уединённые волны
При исследовании нелинейных волн основным усреднённым нелинейным эффектом является зависимость частоты от амплитуды волны. Локализованный в пространстве пакет ВЧ волн выталкивает плазму из области локализации Г41,118]. При малых амплитудах, когда можно ограничиться первой неисчезающей поправкой, такая вариация плот-нос ти пропорциональна Н \ . Вседствие развития нелинейных про- цессов плотность плазмы в области локализации может понизиться настолько, что ленгмюровская частота, зависящая от плотности, приобретает вид где toK - частота линейной волны. Учёт релятивистской зависимости массы электрона от амплитуды уже в первом приближении по мало-му параметру ve-/c2 приводит к появлению отрицательной добавки -Р \Е (р о) к ленгмюровской частоте; Следовательно, релятивистский эффект способствует модуляционной неустойчивости нелинейных волн, облегчая выполнение условия Лайт-хилла [пэ]: Заметим, что если возмущением плотности можно пренебречь, то релятивистский эффект может оказаться определяющим в развитии модул одно нн ой н еу ст ойчиво ст и. Проследим более подробно за влиянием релятивистского эффекта на динамику нелинейных процессов в плазме в одномерном случае, когда продольные и поперечные поля можно считать независимыми. Цусть вектор напряженности продольного поля направлен вдоль оси н (.=.(0,0, Е?)), и все искомые величины зависят от одной координаты 2 . Подставляя (3.44),(3.45) в (3.65) и учитывая нарушение условия квазинейтральности (3.50) в НЧ движении плазмы, а также (3.27),(3.51) и (3.63), из (3.61) получим: В дальнейшем штрихи у новых переменных будем опускать. Уравнение (3.79), а также уравнение для НЧ волнового движения при малых возмущениях плотности, согласно (3.48)-(3.50), можно представить в виде: Для плоских волн, уравнение (3.81) следует заменить уравнением Повторяя вычисления, аналогичные проведённым для продольных волн, можно составить уравнение для поперечного электромагнитного поля Et=(E x Е о) Для поперечных волн удобно ввести следующие безразмерные переменные: где сг=: - для линейно поляризованной электромагнитной волны и о- = і для циркулярно поляризованной волны. Как и в случае продольных волн, в дальнейшем штрихи у безразмерных величин будем опускать. Уравнение для медленно меняющейся амплитуды поперечной плоской волны вида (3.83) в обозначениях (3.85) формально совпадает с уравнением (3.84). Однако для поперечных волн и параметр У имеет другое значение.
Для линейно поляризованной поперечной волны а для циркулярно поляризованной волны Наличие второго члена в (3.86) обусловлено ВЧ модуляцией плотности электронов на второй гармонже электромагнитной волны. Модуляция вызвана силой ВЧ давления в уравнении (3.39) для быстрого движения электронов _37,I20j. динамику плазмы в Ш поле будем исследовать в одномерном случае на основе уравнений (3.81),(3.82), которые справедливы как для продольных, так и для поперечных волн раздельно. Система уравнений (3.80L), (3.82) имеет интегралы движения: Таким осіразом, уравнения сохраняют стандартную форму и при учёте релятивистского характера быстрого движения электронов, что позволяет применить обычные методы их исследования. Как следует из (3.86), релятивистская нелинейность больше гидродинамической электронной нелинейности, еслиК0с . досмотрим устойчивость монохроматической Ш волны с постоянной амплитудой [ 121,122J. Предположим, что Принимая во внимание нелинейный сдвиг частоты, после линеаризации в одномерном случае получим дисперсионное соотношение: Будем решать уравнение (3.90) отдельно для продольных и поперечных волн. I) Для продольных волн (3.90) в размерных обозначениях принимает вид: Для волн со.» соре гД к0 к вклад релятивистского эффекта (член 2 W ) в (3.91) мал, и для инкремента получаем выражение, найденное в 52]. Взли a = wPe rD к0 к + ьп (ба « u pe rDe Ко к ) и к rD - 1 а также то продольные волны всегда неустойчивы относительно НЧ модуляции. Инкремент неустойчивости равен Из (3.92) видно, что эта неустойчивость обусловлена релятивистс- ким эффектом и имеет место для больших длин волн, K0r — и для амплитуд, удовлетворяющих условию 2) Для поперечных электромагнитных волн из (3.90) имеем уравнение : e2l 52 где WІ ms a _" . Для циркулярно поляризованной волны Г= і , а для линейно поляризованной Будем вычислять инкременты модуляционной неустойчивости в тех случаях, когда важен учёт релятивистского эффекта. Если к « к0 , то для квазиоптической ветви колебании а. =. кс —2— + sa (j a « кс —i— ) инкремент неустойчивости равен: В отличие от результатов работы [іОЗ],как следует из (3.94), неустойчивость имеет место и в том случае, когда Ч vs . Максимальное значение инкремента достигается при К = к , где Величина максимального инкремента равна: Следует отметить, что выражение (3.95) в случае чисто электронной плазмы (mj - со ) принимает вид, полученный впервые в [34], В важном случае больших длин волн, когда к0 « к , при выполнении условий инкремент равен В условиях (3,96) это значение инкремента больше, чем максимальный инкремент, найденный в работе [93] (см. формулу (10) этой работы). Если выполнено условие то, согласно (3.93), вкладом ионов можно пренебречь, и определяющую роль в неустойчивости играют ВЧ модуляция плотности электронов на второй гармонике поперечной электромагнитной волны [37,121 ] и релятивистская зависимость массы электрона от ВЧ поля. Бак известно, неустойчивость волн по отношению к самосжатию может стабилизироваться дифракционным расплыванием волнового пакета, и возмущение поля может распространяться в плазме в виде локализованных стацинарных уединённых волн 59]. Влияние релятивистского характера движения электронов в Ж поле на нелинейные процессы в плазме рассматривалось в работах [35, I23-I27J, где были исследованы области существования нелинейных волн.
Было показано, что релятивистский характер движения электронов может привести к образованию уединённых волн. Шми ниже будет показано, что релятивистский эффект меняет природу уединённых волн (солитонов) в плазме, а именно, уединённая волна может иметь характер сжатия, и она может распространяться со сверхзвуковой скоростью [38,121,128]. В работе [39] было обращено внимание на необходимость учёта нарушения квазинейтральности плазмы в НЧ движении для солитонов с большими, релятивистскими амплитудами. Такие солитоны отличаются по форме от обычных со- литонов и имеют дискретный спектр скоростей, В условиях квазинейтральности в плазме могут существовать лишь солитоны малой амплитуды, в которых осцилляторная скорость электронов значительно меньше скорости света ( ve « с ), что мы здесь всюду и предполагаем выполненным. Іассмотрим стационарные решения системы уравнений (3.82),(3.84). Будем искать решения в виде Исчезающие на бесконечности решения (Ej- 0, — + оо) можно представить в виде i Ясно, что решения (3.99) справедливы при выполнении условия ЕЬли(у+к0) І (дозвуковой режим), то релятивистским зффек- том можно пренебречь. Если же У+Ко) L или, в размерной форме, то уединённая волна распространяется со сверхзвуковой скоростью и имеет характер волны сжатия. (Здесь - численный коэффициент порядка единицы, \Л - групповая скорость Ш волн.) Физическую картину, объясняющую возможность существования солит она сжатия, можно представить следующим образом. Подставляя решения (3.99) в уравнение движения для ионов (3.49), получим: Правая часть этого уравнения определяет полную силу давления, действующую на ионный компонент плазмы: первый член в скобках (3.102) соответствует силе Щ давления, а второй - гидродинамическому давлению. Если выполнено условие (3.100), то сила полного давления направлена из области локализации ВЧ поля наружу. В области переднего фронта (по направлению движения уединённой волны) частицы плазмы преобретают скорость, направленную в сторону распространения волны - происходит "сгребание" плазмы давлением ВЧ поля. Так как скорость уединённой волны больше скорости частиц,V»U , то волна обгоняет частицы. В области заднего фронта уединённой волны частицы тормозятся, и за волной имеем невозмущённую плазму (U-»o ,\ - о при - -оо ). Таким образом, эффект сгребания плазмы Щ давлением приводит к повышению плотности частиц плазмы в возмущённой области пространства. В дозвуковом режиме,(V+ Ко) 1 , сила ВЧ давления меньше силы гидродинамического давления (случай, рассмотренный в [12,ICE, 103]), и полная сила давления направлена внутрь области локализации ВЧ поля.
Вшяние "нестационатной" пондеромоторной силы на нелинейные электронно-циклотронные волны.
Электронно-циклотронные волны (ЭЦВ) вызывают в последнее время большой интерес в связи с известными проблемами нагрева и ускорения плазмы [l73,I74]. Линейная теория ЭЦВ достаточно подробно разработана [3,17б]. С другой стороны, в современных экспериментах по циклотронному нагреву плазмы используются источники электромагнитных волн довольно большой мощности. Для таких волн нелинейные эффекты уже могут играть существенную роль. В этом параграфе мы рассмотрим нелинейные волны в области циклотронного резонанса, т.е. в области частот, для которых выполняется неравенство, обратное (4.35). В этой области сильное влияние может оказывать релятивистский эффект, связанный с изменением массы электрона в поле ВЧ волны. Поэтому мы этот эффект будем учитывать [176]. В пренебрежении тепловым движением электронов закон дисперсии ЭЦВ имеет вид: где К - волновой вектор, направленный вдоль оси z ( В0Ц? ) Неравенства (4.59) являются условиями слабого затухания ЭЦВ в плазме. С учётом замен (4.34) метод восстановления нелинейного уравнения по спектру, согласно (4.58), приводит к следующему уравнению для комплексной амплитуды Е _ ЭЦВ: где тео и а о - масса покоя и невозмущённая ПЛОТНОСТЬ электронов, baL - НЧ возмущение плотности, гое- изменение массы электрона из-за релятивистской зависимости его массы от скорости (см. формулу (1.4)). Отметим, что второй член в правой части уравнения (4.60) может стать порядка третьего члена в левой части. Однако, как будет показано ниже, при условии релятивистская нелинейность будет больше стрикционной. Взли релятивистский эффект учесть в первом неисчезающем приближении, то из уравнения движения электронов в ВЧ поле получим: Представим амплитуду ВЧ волны в виде Е. = Єе (ко»4-, где L - характерный пространственный масштаб изменения Е ). Тогда в системе, движущейся с групповой скоростью VQ = ІРЄ. Li из (4.60) можно получить уравнение для Е в виде с Третий член в (4.62) возникает из-за учёта релятивистского движения электронов. Уравнение для bnL с учётом нестационарной пондеромоторной силы согласно (4.32) имеет вид: В области циклотронного резонанса второй член в правой части уравнения (4.63) будет больше первого. А из условия (4.59) следует, что Vg » Vs (т.е. возможно только сверхзвуковое движение). Это уравнение при1є -Е0 С Е0( \ЕС - поле волны на бесконечности) можно свести к уравнению Кортевега - де Вриза с отрицательным параметром дисперсии.
В этом случае возмущение распадается на ряд с слит онов и расплывающийся волновой пакет [І2І. При \Е -1Е0 Е0 солитонное решение уравнения (4.65) представляет собой "яму" на фоне стационарной ЕОЛНЫ С амплитудой l ol : Из (4.65) следует, что в случае, когда релятивистская нелинейность больше стрикционной, и она играет основную роль в динамике ЗЦВ. Отметим также, что при больших групповых скоростях ( VQ —- » » - ) нестационарная пондеромоторная сила превышает стационар-ную в два раза, поэтому она и определяет вариацию плотности плазмы, выражение для которой представлено в виде (4.64). В настоящее время солитон является одним из самых интенсивно изучаемых объектов в теории нелинейных волн. Свидетельством тому может служить обширная литература, опубликованная за последние годы в виде отдельных статей (как теоретических, так и экспериментальных) [17,18,20,61 - 65,177 - 200] и монографий [lS,20l] . Такой интерес к солитону обусловлен его значением для понимания нелинейной динамики в самых разных областях физики. Понятие солитона всё чаще используется в исследованиях нелинейных волн на воде, в плазме, в твёрдом теле, в сверхцроводниках, в электрических линиях передачи. Всё чаще обсуждается возможность применения электромагнитных солитонов для обработки и кодирования информации. В физике плазмы солитон является частным решением уравнений ленгмюровской турбулентности, существующим в определённой области значений параметров [202]. С другой стороны, из всех возможных решений солитон имеет наименьшую энергию. Это обстоятельство позволяет сформулировать гипотезу о том, что ленгмюровская турбулен--тность представляет собой "газ" солитонов, взаимодействующих между собой, с ионно-звуковыми волнами и с частицами плазмы [59,203 -212]. Самой характерной чертой солитона, играющей основную роль в его определении, является следующее: после взаимодействия солитоны, подобно частицам, сохраняют свою индивидуальность. Однако, как справедливо указано в [65] "...в разработке полностью приемлемого определения, солитона отдельные аспекты проблемы устойчивости наверняка играют немалую роль." Нелинейное уравнение Шрёдингера(НУШ) описывает нелинейное взаимодействие ВЧ ленгмюровских и Щ ионно-звуковых волн в приближении, когда полностью пренебрегается инерцией ионов. Как показано в [20], в этом приближении солитон устойчив. Однако если инерцию ионов принять во внимание, то уже в первом приближении получим, что ускоренно движущийся солитон теряет энергию на излучение ионно-звуковых волн, что может повлиять на его устойчивость [213]. В рассматриваемой в этом параграфе задаче ускорение солитона обусловлено неоднородностью плазмы [214]. Ограничимся рассмотрением одномерной задачи.
Аналогично тому, как это было сделано в третьей главе, нелинейную динамику плазмы будем описывать с помощью временной огибающей Е напряженности электрического поля ленгмюровских колебаний и НЧ вариации плотности плазмы Ьп .В неоднородной плазме систему уравнений для определения этих величин представим в виде: где величина п.(х) характеризует профиль неоднородности невозмущённой плазмы и представляет собой неоднородное отклонение плотности от n„ . фи получении уравнения (5.2) мы пренебрегли дрейфом плазмы, обусловленным неоднородностью, считая дрейфовую скорость малой по сравнению со скоростью ионного звука Vs и скоростью перемещения области локализации ленгмюровских колебаний. В дальнейшем п(х) будем считать малым, n(x) n0 , что позволяет упростить уравнение (5.2). С помощью преобразований, аналогичных (3.80), систему (5.1),(5.2) можно представить в следующем безразмерном виде (для удобства сохраним старые обозначения для безразмерных величин): Решение уравнения (5.3) ищем в виде: где и tf - действительные величины, X() - координаты центра локализации ленгмюровских колебаний. Зависимость от времени координаты Х(Ч) будет определена в дальнейшем. Из-за неоднородности плазмы эта зависимость оказывается нелинейной. В выражении для Зп выделим ту часть возмущения плотности, которая сосредоточена в области локализации ленгмюровских колебаний: где "х = CL2L . Величина bns будет характеризовать возмущение плотности ионным звуком вне с слит она. Так как мы интересуемся излучением солитона, то естественно предположить, что скорость источника излучения - солитона намного меньше скорости звука: Тогда легко удовлетворить и соотношению (или, в размерной форме, X л ( « V5 ). Это условие означает, что и изменение скорости солитона за время прохождения ионным звуком расстояния порядка ширины солитона A t мало по сравнению с ионно-звуковой скоростью. Мы не будем интересоваться обратным влиянием излучения на солитон. Поэтому предположим, что возмущение солитона ионным звуком невелико, Тогда с помощью (5.5) - (5.9) из уравнений (5.3),(5.4) получим: Из уравнения (5.12) явно следует, что излучать может только солитон, движущийся с ускорением. Б работе [214 (см. также [215 ] ) найдена оригинальная замена переменных, сводящая БУШ для неоднородной плазмы к уравнению для однородной плазмы. Здесь мы покажем, что к аналогичному результату можно прийти более наглядным путём [21з].
