Корреляционные модели аномального переноса для структурной плазменной и гидродинамической турбулентности Бакунин, Олег Геннадьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Турбулентный перенос ионов в плазме токамака в низкочастотном пределе 92

1.1 Влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов в плазме токамака 92

1.2 Перенормировка малого перколяционного параметра в «градиентных» системах 98

1.3 Эффекты влияния малой дрейфовой скорости 101

1.4 Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке 107

1.5 Низкочастотные режимы и корреляционные масштабы в перколяционном пределе 112

1.6 Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении 116

1.7 Сравнение перколяционного коэффициента турбулентной диффузии с неоклассическим 122

Итоги главы I 126

Глава II. Перенос скаляра и инкременты стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада 127

2.1 Эволюция корреляционных масштабов и перколяционные параметры 127

2.2 Двумерная гидродинамическая турбулентность и обратный каскад 132

2.3 Турбулентная диффузия скаляра в течениях в области обратного каскада энергии 140

2.4 Стохастическая неустойчивость как декорреляционный механизм и перенос скаляра в турбулентных течениях 148

2.5 Инкремент стохастической неустойчивости в перколяционном пределе 156

2.6 Стохастическая неустойчивость и обратный каскад 164

2.7 Инкремент стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях 168 Итоги главы II 173

Глава III. Перенос скаляра в системе случайных дрейфовых течений и скейлинги аномальной диффузии 174

3.1. Супердиффузионный перенос скаляра в системе случайных шировых потоков 174

3.2 Обобщение модели случайных потоков и аномальный переносскаляра 181

3.3 Выбор режимов турбулентного переноса на основе принципа доминирования быстрой моды 185

3.4 «Изотропизация» как метод перенормировки выражения для эффективной турбулентной диффузии 188

3.5 Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков 193

3.6 Нелокальное уравнение в дробных производных для описания переноса скаляра в поле случайных шировых течений 195

3.7 Спектр корреляционной функции скорости и супердиффузионные режимы переноса скаляра в поле случайных шировых течений 198

3.8 Функция памяти и перенормиронные квазилинейные уравнения переноса в дробных производных 201

3.9 Корреляционные эффекты и перенос в многомасштабном случайном потоке в перколяционном пределе 204

3.10 Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе 217

Итоги главы III 222

Глава IV. Функции распределения надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака и нелокальные эффекты 223

4.1 Искажение хвоста функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле 223

4.2 Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака 235

4.3 Функциональное уравнение для распределения по скоростям слабо-столкновительных частиц 240

Итоги главы IV 248

V. Заключение и основные результаты 249

Список публикаций автора по теме диссертации 253

Список литературы

• Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке
• Двумерная гидродинамическая турбулентность и обратный каскад
• Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков
• Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе

Введение к работе

Актуальность темы

Проблема термоизоляции плазмы в термоядерных исследованиях занимает центральное место. Несмотря на значительный прогресс в исследованиях по этой проблеме, достигнутый за более чем полувековой период, в этой области все еще существуют серьезные задачи, которые необходимо решить. Повышенные потери частиц и тепла в системах с магнитным удержанием способны значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в проектируемом в рамках проекта ИТЭР токамаке. Развитие работ по управляемому термоядерному синтезу показало, что плазма проявляет повышенную способность к преодолению магнитной изоляции. На начальном этапе исследований считалось, что удастся построить термоядерный реактор, не особенно вникая в физическую сущность происходящих в нем явлений. Неудачи в достижении этой цели чисто техническими средствами привели к осознанию необходимости углубленного исследования физической сущности явлений, связанных с аномальным характером переноса частиц и тепла. На сегодняшний день, считается общепризнанным, что причиной аномального переноса является вызванная многочисленными неустойчивостями турбулентность плазмы. Несмотря на то, что линейная теория неустойчивостей хорошо предсказывает условия раскачки колебаний и их характерные частоты и инкременты, турбулентное состояние плазмы с широким спектром колебаний требует создания принципиально новой нелинейной теории. Сложности создания теории сильной турбулентности плазмы в токамаке связаны как с математической сложностью, так и с недостаточностью имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных. Кроме того, для получения коэффициентов переноса необходимо развить методы, позволяющие учесть эффекты длинных корреляций и нелокальности, присущие сильно турбулентному состоянию высокотемпературной плазмы в токамаке.

Турбулентный перенос - это фундаментальное физическое явление, имеющее колоссальное практическое значение не только для физики высокотемпературной плазмы, но и для таких важных областей как астрофизика, физика атмосферы и океана. Многолетние интенсивные исследования в этой области все еще не привели к созданию полного физико-математического описания турбулентного переноса. С одной стороны, это открывает широкий простор для исследователей, а с другой, создает серьезные трудности при решении конкретных задач. Действительно, явления переноса в турбулентных течениях крайне редко удается описать посредством классических диффузионных моделей. Главной причиной этого является чрезвычайная сложность неупорядоченных движений, возникающих в турбулентных потоках. Неупорядоченность поля течения, когда скорости жидких частиц являются случайными (т.е. не контролируются макроскопическими свойствами потока), приводит к необходимости широкого использования корреляционных моделей и концепции скейлинга. Развитое турбулентное течение порождается иерархической совокупностью вихрей, где самые крупные из вихревых образований имеют размеры, сравнимые с размером рассматриваемой области, а мелкие вихри имеют «вязкостные» масштабы. В таких условиях выбор характерной корреляционной длины и времени корреляции, определяющих перенос турбулентным потоком частиц, не является тривиальным. Здесь необходимо принять во внимание как корреляционные характеристики поля скорости течения, так и его «топологические» особенности, которые не всегда напрямую связаны с мелкомасштабными движениями. Кроме того, при описании процессов турбулентного переноса требуется учесть такие «конкурирующие» факторы, как затравочная (молекулярная) диффузия, пересоединение линий тока, стохастическая неустойчивость и другие.

Аналогичные проблемы возникают в физике плазмы при рассмотрении движения заряженных частиц в стохастическом магнитном поле и в физике твердого тела при описании переноса в аморфных полупроводниках, и во многих других системах, где закон, описывающий диффузию, существенно отличается от классического. Несмотря на значительный прогресс в понимании аномального переноса, многие аспекты ставших уже классическими работ в этой области остаются актуальными. Так, уже на первой стадии исследования процессов турбулентной диффузии предлагалось использовать корреляционные функции, модификацию классического диффузионного уравнения, методы перенормировки и др. Представить эволюцию всех этих научных концепций в данной работе не представляется возможным. Автор сосредоточил свое внимание на идеях скейлинга, которые являются важным и достаточно универсальным инструментом, используемым как теоретиками, так и экспериментаторами. Именно подход, в основе которого лежат скейлинговые представления, позволяет достаточно быстро разобраться в постановках задач и проблемах, имеющихся в различных современных областях физики, связанных с исследованием турбулентности. Прошло более 70 лет со времени публикации основополагающих работ Колмогорова и Обухова, посвященных скейлинговому описанию развитой турбулентности. Тем не менее, фундаментальный вопрос о характере взаимодействия вихрей в турбулентном потоке остается открытым.

Важно отметить, что при описании аномального переноса в плазме подобные проблемы возникли уже в конце 40-х годов прошлого века. Так, в 1949 году Бом выдвинул гипотезу о том, что перенос зарядов плазмы может, в основном, определяться не парными столкновениями частиц, а переменными электрическими полями коллективного происхождения. Предложенная им формула для коэффициента турбулентной диффузии стала общеупотребительной как мера аномальности. Заметим, что простота формулы Бома, а также тот факт, что в ее основу не был положен конкретный физический механизм переноса, создавали иллюзию ее универсальности. Здесь, также как и в скейлинге Колмогорова, электрическое поле «выпадало» из окончательного выражения, аналогично тому, как при рассмотрении каскада в теории гидродинамической турбулентности характерное время нелинейного взаимодействия вихрей удалось описать простой размерностной оценкой. В дальнейшем, эксперименты на токамаках и стеллараторах показали, что энергетическое время удержания плазмы оказывается слишком малым, чтобы его можно было описать неоклассическими формулами. Поэтому возникла необходимость использовать концепцию скейлинга для того, чтобы предсказывать характер удержания. Такие скейлинги были предложены Горбуновым, Мирновым и Стрелковым в 70 году и Арцимовичем в 1971 году. Сознавая трудности строгого теоретического описания турбулентного переноса в высокотемпературной плазме, Арцимович назвал свой скейлинг «псевдоклассическим». В этот же период начал разрабатывать методы описания сильно-турбулентной плазмы Кадомцев, работы которого сыграли важную роль для понимания базовых механизмов аномального переноса, связанного с низкочастотной структурной турбулентностью.

Для объяснения нелокального переноса в высокотемпературной замагниченой плазме была привлечена концепция самоорганизации, которая позволила применить скейлинговые зависимости, используемые в теории фазовых переходов. Идея о самоорганизации плазмы в токамаке нашла свое выражение в представлении о самосогласованных профилях и активно развивалась в Институте Курчатова Кадомцевым, Днестровским, Разумовой и др.

Фактически, скейлинг, по-прежнему, остается главным инструментом анализа плазменной и гидродинамической турбулентности. Естественно, при описании явлений переноса в условиях сильной турбулентности мы сталкиваемся с теми же проблемами.

Возникающие при больших числах Рейнольдса или Кубо когерентные структуры значительно осложняют описание эффективного переноса. Методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию. В отсутствие универсального метода анализа эффектов переноса в структурной турбулентности естественно сосредоточить внимание на современных теоретических подходах, выбирая в качестве основы конкретный вид вихревых (когерентных) структур, формирующих рассматриваемый класс турбулентных течений. Это позволяет получить новые скейлинги для эффективных коэффициентов аномальной диффузии, которые могут быть использованы при анализе имеющихся экспериментальных данных и при проектировании новых установок с магнитным удержанием горячей плазмы.

Цель работы

Целью диссертационной работы является:

1. Выявить основные механизмы, ответственные за формирование перколяционных линий тока. Использовать полученные результаты для описания сильно-турбулентных режимов переноса ионов в токамаке с учетом тороидального дрейфа.

2. Разработать новый метод перенормировки малого параметра перколяционной модели, учитывающий эволюцию стохастического слоя, связанного с перколяционными эвипотенциалями турбулентного поля.

3. Получить новые скейлинги для описания турбулентной диффузии в задачах, где пересоединение линий тока в двумерных течениях вызвано обратным каскадом.

4. Определить скейлинг для описания гамильтоновой диффузии, связанной с процессами пересоединения эквипотенциалей.

5. Рассмотреть эффекты стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада.

6. Рассмотреть систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Получить скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос частиц скаляра, с показателем, характеризующим корреляционные свойства ширового течения.

7. Использовать возможности теории аномального переноса и теоретико- вероятностный подход для описания функции распределения надтепловых электронов по скоростям. Проанализировать эффекты нелокальности, связанные с рассмотрением функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.

Связь с государственными научно-техническими программами

Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-технических работ ИФТ НИЦ "Курчатовский институт" по направлению: «термоядерный синтез» в соответствии с Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения», подпрограмма "УТС и плазменные процессы" 1996-2000 годы; Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы; Федеральной целевой программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы».

Научная новизна

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем.

7. 1. Впервые получен скейлинг для описания турбулентной диффузии ионов в плазме токамака, где учтено как влияние тороидального дрейфа, так и низкочастотной дрейфовой турбулентности в перколяционном пределе.

   2. Сформулирован новый подход к построению условий перенормировки малого параметра теории континуальной перколяции, основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов, характеризующих эквипотенциали двумерной турбулентности.

   3. Впервые получен скейлинг для вычисления коэффициентов турбулентной диффузии в течениях, где пересоединение эквипотенциалей вызвано обратным каскадом энергии.

   4. Исследовано влияние обратного каскада на инкремент стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в перколяционном пределе.

   5. Получено новое нелокальное уравнение в дробных производных, описывающее систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями.

   6. Найден новый скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос скаляра в системе случайных шировых потоков, с показателем, характеризующим корреляционные свойства рассматриваемого течения.

   7. На основе кинетического уравнения в форме Фоккера-Планка исследованы нелокальные эффекты, связанные с переносом надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.

   8. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения баллистически движущихся частиц по скоростям.

   Научная и практическая ценность

   Результаты работы могут быть использованы для описания турбулентного переноса в плазме токамака. Предложенные модели переноса имеют общефизический характер. Это позволяет применять предложенные методы и результаты для анализа широкого круга проблем, связанных с процессами аномального переноса в условиях сильной турбулентности. В работе показано, что коэффициенты переноса частиц в условиях структурной турбулентности радикально отличаются от квазилинейных оценок. Эти отличия позволяют адекватно описать аномальную диффузию в сильно турбулентной плазме. Так, предложенная автором новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе хорошо согласуется с результатами независимого численного эксперимента и предсказывает значительное усиление переноса ионов по сравнению с неоклассическим. Наряду с задачами описания переноса частиц в плазме, важную роль играют проблемы описания переноса скаляра мезомасштабными атмосферными и океаническими потоками. Предложенные в диссертации скейлинги могут быть использованы для анализа турбулентного переноса частиц скаляра в задачах физики атмосферы и океана. Вопросы, связанные с поведением надтепловых электронов актуальны для описания потоков частиц и тепла в плазме токамака, а также для геофизических и астрофизических исследований, где важную роль играют декорреляционные механизмы, связанные с присутствием стохастического магнитного поля.

   Основные положения, выносимые на защиту

   На защиту выносятся следующие, содержащие научную новизну, результаты: 1. Получена новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе на основе теории континуальной перколяции.

   7. 8. 1. Сформулирован и апробирован новый метод получения перколяционных параметров, основанный на балансе характерных корреляционных масштабов. Получен новый скейлинг для описания переноса частиц скаляра в двумерных турбулентных течениях с обратным каскадом.

         2. Получено новое нелокальное уравнение, описывающее перенос скаляра в системе случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Найден скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос, с показателем, характеризующим корреляционные свойства поля скорости системы случайных шировых потоков.

         3. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения надтепловых электронов по скоростям. Проанализированы частные случаи в задачах с известными корреляционными свойствами.

         Личный вклад автора

         Все результаты диссертации получены автором лично или с его определяющим участием. Из 22 работ, опубликованных автором по теме диссертации в реферируемых научных журналах, только 3 работы имеют соавторов. В этих 3-х работах автор непосредственно участвовал в постановке задачи, формулировке выводов и самостоятельно провел все вычисления. За цикл работ по теме диссертации «Корреляционные модели аномального переноса для структурной турбулентности» автору была присуждена премия имени И.В. Курчатова за лучшую работу в области научных исследований в 2011 году.

         Достоверность и апробация работы

         Основные результаты диссертации и диссертация в целом докладывались на Теоретическом семинаре под руководством В. Д. Шафранова в Институте Курчатова и на следующих международных конференциях:

         7. 8. 3. 1. The International Conference, Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2009

                  2. International IUTAM Symposium on Applied Mechanics Moscow, Russia,

                  3-8 August 2007

                  7. 8. 3. 3. 8-th International Conference on Complexity, Oxford, UK, 1-9 September 2006

                           4. 10-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent

                           Mixing, Paris, France, 17-21 July 2006

                           7. 8. 3. 5. XV International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science, 25-27 December 2006

                                    6. International Conference on Boitzmann Equations and Fluidodynamic Limits, Trieste, Italy12-17 June 2006

                                    7. Coherent Structures in Atmosphere and Ocean, Boulder, Colorado, National Center Atmospheric research, 11-14 July 2005

                                    8. Random media and Stochastic Differential equations, California, Los Angeles, University of Southern California, 14 -18 June 2005

                                    9. KCASC Seminar, "Fractality ideas and long-range correlations in turbulent

                                    transport", Kansas Center for Advanced Scientific Computing, USA, 18 March 2005

                                    7. 8. 3. 10. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Natural, Clare College Cambridge, 13-17 August 2004

                                             11. International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science, 20-21 December 2004

                                             12. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Brussels, Belgium, 9-13 July 2004

                                             13. The International Conference MSS-04, Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2004

                                             14. Turbulence and transport seminar. Department of Aeronautics, Imperial College, London 28 July 2004

                                             15. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK, 19-23 July 2004

                                             16. UKAEA, Culham laboratory, Theoretical seminar, 15 July 2004

                                             17. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg, 7-11 July 2003 ECA Vol. 27A, P-2.116

                                             18. TEC Theory and Chaos meeting 11 May 2004.

                                             19. 1-st International Workshop on Stochasticity in Fusion Edge Plasmas SEP

                                             6-8 October 2003

                                             7. 8. 3. 20. 10-th European Fusion Theory Conference 8-10 September 2003

                                                      21. TEC Theory and Chaos meeting 9 June 2003

                                                      22. Burning Plasma Conference, Italy, Turin, Villa Gualino, 23-25 April 2003

                                                      23. German-Polish Conference on Plasma Diagnostics for Fusion and Applications, Germany, Greifswald, 4-6 September 2002

                                                      24. International Symposium on Discharges and electrical insulation in vacuum, EIT De Tours, France June 30-July 5, 2002

                                                      25. Diagnostics of non-equilibrium high pressure plasmas APP Spring Meeting,

                                                      Bad Honnef, Germany 18-21 February 2001

                                                      7. 8. 3. 26. International Conference on Levy processes and stable laws, University of Warwick England 2-6 April 2001

                                                               27. The Ninth European Fusion Theory Conference, Elsinore, Denmark 17-19 October 2001

                                                               28. International Conference on Dynamical Networks in Complex Systems, University of Kiel, Germany July 2000.

                                                               29. 2-nd IEEE International Vacuum Electronics Conference Noordwijk, The Netherlands April, 2000

                                                               Публикации

                                                               Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе, из которых 22 в ведущих реферируемых иностранных и отечественных журналах из списка ВАК. Автор опубликовал две монографии по теме диссертации в издательстве Шпрингер (Springer) и обзор в Вопросах Теории Плазмы т.24 (Reviews of Plasma Physics). Список публикаций приведен в конце автореферата.

                                                               Структура и объем диссертации

                                                               Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке

                                                               Здесь " А / /I - малый перколяционный параметр, d - характерный пространственный корреляционный масштаб, Рт - доля пространства, занятого длинными перколяционными эквипотенциалями и Т - характерное корреляционное время, связанное с движением частиц вдоль эквипотенциалей. В разделе 1.2 проанализированы методы перенормировки в «градиентных» системах на основе теории перколяции. Рассмотрено условие, связывающее малый перколяционный параметр Є , с параметром, характеризующим амплитуду возмущений Ud ud і / \1+" / \3/7 V oy v V , є =

                                                               Перколяционный показатель V/ = 4/3. В разделе 1.3 показано как проявляются эффекты малой дрейфовой скорости при рассмотрении поля течения в перколяционном пределе. Рассмотрена иерархия характерных пространственных масштабов и связанная с ней иерархия масштабов скорости. Раздел 1.4 посвящен анализу квазилинейного приближения для описания эффектов нестационарности в двумерных турбулентных течениях в перколяционном пределе. Показано, что квазилинейная модель не дает корректного описания проблемы, поскольку не учитывает эффектов, связанных с перестройкой эквипотенциалей дрейфового гамильтониана. В разделе 1.5 рассмотрен низкочастотный предел перколяционнои модели турбулентного переноса ионов в плазме токамака. Характерная частота этих возмущений дается формулой: к, -сТ со — eB0Ln п Здесь Ln = —— _ характерный размер, kf/ =1/ qR } kL—\lp где q запас устойчивости, А - ларморовский радиус ионов, R - большой радиус токамака, 50кГц ІЗОкГц. Предложено новое условие перенормировки малого параметра = [yd / V0,d)) в задачах, где одновременно присутствует как дрейф, так и низкочастотные колебания 1 (и 3(l+v) 3(v+l) d ( 1 ї Є vKj \Ku j Оно опирается на одновременное использование двух безразмерных комплексов. Так, параметр UyVo описывает влияние дрейфовой скорости на поле турбулентности, в то время как число Кубо, v Vo сФк± Ла В0со характеризует эффекты нестационарности, связанные с пересоединением эквипотенциалей. Показано существенное отличие нового выражения от классического результата Тругмана, не учитывающего влияние внешней частоты возмущений. Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении представлены в разделе 1.6. Получен новый скейлинг для коэффициента турбулентной диффузии в низкочастотном пределе:

                                                               Здесь Ud - скорость тороидального дрейфа в токамаке, СО - характерная частота турбулентных пульсаций, о - амплитуда турбулентных пульсаций скорости и Л - характерный масштаб вихревых структур. Перколяционный показатель V = 4 / 3. Здесь же рассмотрена соответствующая модели иерархия временных масштабов и пределы применимости использованного подхода. Приведены оценки величин, характеризующих перенос ионов в токамаке в условиях развития низкочастотных дрейфовых колебаний. Представленные здесь оценки величин подтверждают применимость предложенного скейлинга для описания влияния турбулентности на неоклассический перенос Ud Ln V2Ti Ln Здесь Pi - ларморовский радиус ионов, СОВІ . циклотронная частота ионов и ТІ - тепловая скорость ионов. Показано, что предложенная автором новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе eff v J очень хорошо согласуется с результатами независимого численного эксперимента. В разделе 1.7 проведено сравнение полученного коэффициента эффективной турбулентной диффузии ионов в токамаке с неоклассическим значением. Рассматривая сильно турбулентные режимы, предполагаем Ки 5 . Полученное нами выражение для эффективного коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке Deff « D Plato ( R V1 1 \L» J \Ku j 5D Plato предсказывает превышение неоклассического переноса в режиме плато Dplat0 в 5 раз за счет влияния низкочастотной дрейфовой турбулентности. В режиме Пфирша-Шлютера получена оценка De « Dps. Эти результаты хорошо согласуются с данными экспериментов по измерениям коэффициентов переноса ионов в различных токамаках. посвящена исследованию турбулентного переноса скаляра в двумерных гидродинамических и магнитогидродинамических (МГД) течениях в присутствии обратного каскада в рамках перколяционной модели. В разделе 2.1 рассмотрен новый метод получения малого перколяционного параметра , основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов в форме баланса между корреляционным масштабом, определяемым шириной стохастического слоя , и длиной перемешивания, связанной с проходимым частицами скаляра расстоянием вдоль перколяционной линии тока, О (і)осЯ{Ь/Я )llDh oc(V0t)UD\ Здесь о - корреляционное время, А - ширина стохастического слоя, L -длина перколяционной линии тока, VQ . амплитуда турбулентных пульсаций скорости в двумерном случайном течении и Я - характерный масштаб

                                                               Двумерная гидродинамическая турбулентность и обратный каскад

                                                               Так, Саттон [60] уже на первом этапе исследования корреляционных свойств турбулентности предложил простую степенную аппроксимацию (скейлинг) 1+-? С Yac с(0=Гс где То - характерное время. Эта формула значительно отличается от экспоненциальной зависимости C(t) = VQ2 exp которая чаще других применяется при оценке корреляционных эффектов и широко используется в теоретико-вероятностных моделях случайных блужданий (см. Рис. 1). Экспоненциальная форма представления корреляционной функции хорошо зарекомендовала себя при описании переноса в условиях слабой турбулентности.

                                                               При анализе процессов переноса в условиях сильной структурной турбулентности методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию [54-58, 61]. Так, например, классическое определение коэффициента турбулентной диффузии Тэйлора приводит к оценке DT(V0) V02, в то время как результаты экспериментов указывают на другой характер зависимости [1, 3, 4, 9, 10] DT KV0\ где 1 СС 0. Конкретные значения а конечно зависят от характера исследуемого турбулентного течения. Рис. 1 Схематическое изображение лагранжевой автокорреляционной функции скорости C\t) = {V{0)V{tfj Здесь Г COR - характерное лагранжево корреляционное время.

                                                               С другой стороны, имеется много примеров турбулентных течений, в которых перенос имеет не диффузионный характер [54, 55]. Это не удивительно, поскольку в структурной турбулентности мы имеем дело с крупномасштабными вихревыми образованиями, дрейфовыми (зональными) течениями и пр., что приводит к «замедлению» или «ускорению» процессов переноса. Так, рассматривая перенос скаляра, мы должны учесть эффекты захвата частиц вихревыми структурами, имеющими замкнутые линии тока. Наличие конвективных течений напротив способствует усилению переноса частиц скаляра. Простую интерпретацию эффектов недиффузионности можно получить, используя затухающую степенным образом корреляционную функцию, C(t) ос Гас , что автоматически приводит к аномальному переносу [34, 35, 62-64], R2(t)ocD{t)oct2-ac, где R2(t) - среднеквадратичное смещение блуждающей в турбулентном поле частицы. Приведенные здесь оценки дают лишь поверхностное представление о возникающих в теории турбулентного переноса проблемах. Развитию и применению новых моделей описания турбулентного переноса в условиях структурной гидродинамической и плазменной турбулентности и посвящена настоящая диссертация.

                                                               Специфика магнитной конфигурации установок с магнитным удержанием плазмы приводит к появлению областей со стохастическим магнитным полем в окрестности рациональных магнитных поверхностей. В первых работах [65, 66], посвященных описанию влияния стохастического магнитного поля на процессы переноса частиц, использовались квазилинейные идеи [67, 68], позволяющие свести задачу к корреляционному представлению Тэйлора, рассмотренному в предыдущем разделе. Анализ диффузии в квазилинейном пределе основывался на уравнении, описывающем блуждание силовых линий, drL(z,t) _ - В b = — « bn Во Здесь малое случайное поле B = (Bx,BY,0) наложено на большое постоянное поле В = (0,0,В0), направленное по оси z, а bQ - характерный относительный масштаб возмущений. Такое представление аналогично уравнению движения пробной (лагранжевой) частицы в поле турбулентного течения. Тогда, для коэффициента поперечной диффузии силовых линий магнитного поля, после осреднения, получаем квазилинейную формулу, аналогичную формуле Тейлора: где Lz - продольный корреляционный масштаб стохастического магнитного поля. В работе [65] было дано определение продольной корреляционной длины:

                                                               С точки зрения удержания плазмы в токамаке нас интересует влияние областей со стохастическим магнитным полем на перенос частиц и тепла. Установление связи между коэффициентом магнитной диффузии силовых линий Dm и коэффициентом диффузии частиц в заплетенном магнитном поле является сложной задачей. Однако существует достаточно простая модель, предложенная Гетманцевым [69] еще в 1962 году для диффузии космических лучей в галактическом магнитном поле. Если представить, что частицы могут двигаться только вдоль первоначально выбранной силовой линии, то смещение в перпендикулярном направлении будет одинаковым в данной точке для силовых линий и частиц (частицы «нанизаны как бусинки» на силовые линии). Тогда, в случае диффузионного механизма смещения частиц вдоль блуждающих силовых линий, Lz « 2D0t у с коэффициентом диффузии DQ} получаем оценку для поперечного смещения частиц существенно отличающуюся от классической диффузионной: \_ R±2(t) 2DmLz 2Dm JlD t ос f2 . Такой тип диффузии получил название «компаунд» диффузии или «double» диффузии. Этот пример показывает как учет анизотропии, связанной со стохастическим магнитным полем приводит к реализации аномального (недиффузионного) режима переноса заряженных частиц. В данном конкретном случае мы имеем дело с субдиффузией I R±2(t)cct2 «t , где t » TCOR . Важной особенностью при описании турбулентного переноса частиц является необходимость учета нескольких конкурирующих факторов. Так, зачастую рассмотренный субдиффузионный механизм поведения разрушается либо нестационарностью магнитного поля, либо экспоненциальным разбеганием близких силовых линий [70-72].

                                                               Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков

                                                               Исследование двумерной и квази-двумерной турбулентности актуально в связи с изучением переноса в задачах физики плазмы, астрофизики, а также проблем описания турбулентной диффузии скаляра в физике атмосферы и океана [6-16]. В этом разделе мы кратко рассмотрим особенности энергетического спектра двумерной турбулентности, поскольку статистические свойства двумерной турбулентности отличаются от трехмерной колмогоровской модели наличием обратного каскада энергии. Именно обратный каскад является механизмом, формирующим крупномасштабные вихревые структуры.

                                                               Принципиальным отличием уравнений, характеризующих двумерные несжимаемые течения, является отсутствие члена, описывающего растяжение вихрей. Эта существенная потеря рассматривается многими исследователями как основание для признания двумерных моделей чрезмерно упрощенными. Тем не менее, с помощью двумерной турбулентности описываются такие важные геофизические явления как тропические циклоны, крупномасштабные движения атмосферы, морские течения и др. [10, 14, 15].

                                                               Чтобы показать возникновение обратного каскада в двумерных турбулентных течениях необходимо рассмотреть вопрос о существовании интегралов движения [10, 21, 39, 40]. С формальной точки зрения, при анализе спектров двумерной турбулентности необходимо учесть, что в двумерных течениях несжимаемой невязкой жидкости сохраняется не только кинетическая энергия элемента жидкости V (2.2.1) но и вихрь скорости СОу гї , а также его квадрат, половина которого v 2 называется энстрофией:

                                                               При условии стремления вязкости к нулю VF — 0, жидкая частица переносит завихренность без изменений, и любая функция становится интегралом движения в рассматриваемом приближении. Мы видим, что двумерное течение в невязком пределе обладает бесконечным набором интегралов движения, что является важнейшим фактором при поиске аналитических решений. Среди этих интегралов особое место занимает энстрофия ilv= — . (2.2.10) Рассмотрим уравнение эволюции энстрофии при двумерном течении в общем случае [10, 21,39, 40] dt dO 2 F] v v w w = vF J v(o)v Vco)dw -vF\ (V&v У dw = (2.2.11) = -vFj(Va y)2dw 134 Заметим, что мы получаем выражение, аналогичное уравнению для эволюции энергии E\t), Отличия в эволюции двумерной турбулентности от эволюции трехмерной следуют из совместного анализа уравнений, описывающих эволюцию дЕ (2.2.12) = -2 vF Qv = -єк dt -є, V Va)v = -v, dt (2.2.13) Важно заметить, что при любых ограниченных начальных значениях / и \v) величина энстрофии yv) может только уменьшаться со временем. Тогда при VF —» О получим к — 0} так что при больших числах Рейнольдса кинетическая энергия будет приблизительно постоянной, и каскадный перенос энергии от малых к большим волновым числам будет запрещен. Следовательно, при нулевой вязкости энстрофия есть величина постоянная, а при конечной вязкости энстрофия может только убывать со временем. Это объясняет, почему в двумерном потоке блокирован механизм растяжения вихревых трубок, который обеспечивает эффективный рост энстрофии в трехмерном турбулентном течении [10, 21, 39, 40].

                                                               В то же время, каскадный перенос энстрофии от малых волновых чисел большим волновым числам и соответствующий ненулевой предел величины спектральная плотность энергии к\к) будет определяться обоими параметрами к и єа. Следовательно, возникает новый характерный масштаб длины:

                                                               Если предположить, что на одном из концов инерционного интервала спектра существенен только параметр к, а на другом - только а, то на первом из этих концов будет -const, (2.2.17) и спектр энергии будет удовлетворять обычному закону пяти третей, а на втором конце получим 0 ( О ( Г/3. (2-2.18) После вычислений, для спектра энергии получится закон обратного куба [10, 21,39,40] Е(к)=СаЄк-\ (2.2.19) где Са - некоторая числовая постоянная. Закон обратного куба впервые обнаружен при исследовании спектров крупномасштабных метеорологических полей. Его объяснение как следствия спектрального переноса энстрофии впервые было дано Крейчнаном [111], а затем также Бэтчелором [112], изложившим такое объяснение вместе с результатом предварительных численных экспериментов по эволюции двумерной турбулентности. Качественно, структура спектра двумерной турбулентности показана на рис. 2.2.1, где изображены оба инерционных интервала и направления переноса по спектру энергии и энстрофии.

                                                               Мы видим, что появление второй сохраняющейся величины меняет и характер каскадных процессов в турбулентности. В двумерном турбулентном потоке имеются две важные сохраняющиеся величины, переносимые от одних масштабов к другим, и процессы переноса определяются теперь скоростью диссипации энергии &к и скоростью диссипации энстрофии Є а . Если энергия и энстрофия вносятся в поток на некотором промежуточном масштабе kj 5 далеком от диссипативного масштаба, то они обе должны вовлекаться в каскадный процесс. Связь спектральных плотностей энергии и энстрофии запрещает одновременный перенос обеих величин к мелким масштабам. Поэтому, при свободной эволюции потока средние спектральные потоки энергии и энстрофии должны будут иметь направление к противоположным концам спектра: к малым масштабам направлен поток энстрофии, а к большим - поток энергии.

                                                               Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе

                                                               Отсутствие строгих физических подходов для обоснования этих результатов создает серьезные трудности и стимулирует поиск упрощенных моделей, позволяющих анализировать экспериментальные данные на основе редуцированных моделей переноса скаляра в турбулентных гидродинамических течениях с известными корреляционными свойствами случайных потоков. Простую интерпретацию аномального характера переноса с показателями Херста Н ф\12 можно получить, используя затухающую степенным образом корреляционную функцию, С(і)ссГас. (3.1.4) Использование определения Тэйлора для коэффициента турбулентной диффузии приводит к скейлингу аномального переноса [34, 35, 62-64], R2(t)«:D(t)vzt2-ac, (3.1.5) где R (/) - среднеквадратичное смещение блуждающей в турбулентном поле частицы.

                                                               Нетривиальный характер задач теории турбулентного переноса приводит к необходимости использования все более изощренных способов описания физических процессов. Именно поэтому теоретики проявляют интерес к довольно сложным теоретико-вероятностным моделям, в которых используются понятия о вероятности возврата частицы в исходную точку, о числе возвратов, о числе посещенных узлов и др. Корсин [77], возможно, был первым, кто предложил использовать вероятность возврата для описания турбулентной диффузии. Он сформулировал несколько вероятностных задач, связанных с исследованием турбулентного переноса [77]. Многие из проблем, перечисленных в этой замечательной статье, актуальны до сих пор.

                                                               Здесь мы проанализируем аномальную диффузию частиц в системе случайных шировых потоков, где характер переноса тесно связан с корреляционными свойствами течения. Дрейзин и Дыхне [124] предложили физически ясную модель для такого типа течений, в которой эффекты возврата частиц играют важную роль. Рассмотрим случайные флуктуации скорости, создающие узкие конвективные потоки шириной 1о и имеющие скорость о , которые, в целом, образуют систему случайно направленных плоско-параллельных течений. Эти случайные течения (см. Рис. 3.1.3) воздействуют в поперечном направлении на диффундирующую, с коэффициентом молекулярной диффузии Do, частицу.

                                                               Здесь AL - поперечное смещение частицы скаляра за время t и -«а, -относительная доля нескомпенсированных в среднем пульсаций скорости случайных потоков 5N.

                                                               Схематическое изображение случайного ширового плоско-параллельного течения Дрейзина-Дыхне. Это стационарное течение состоит из случайным образом направленных параллельных потоков несжимаемой жидкости. Ширина каждого из потоков а0. Характерная амплитуда пульсаций скорости о. Молекулярная диффузия частиц скаляра характеризуется коэффициентом диффузии D0. ) это число пересеченных частицей шировых потоков за время ее продольного (диффузионного) движения. Мы можем пренебречь диффузионным смещением частицы в поперечном направлении в сравнении с ее конвективным переносом. Тогда, оценив с использованием «гауссовой статистики» величину флуктуации как 5N{t) 4W , (3.1.11) получаем формулу коэффициента диффузии [124] DlcF2/o-\l _ (3-1-12) или 4(0 Djcct312 . (3.1.13) Сравнивая полученный скейлинг с определением показателя Херста R [t] ос t , получаем для рассматриваемого супердиффузионного режима переноса частиц системой случайных шировых течений: Я = 4 2- (ЗЛЛ4) Предложенный Дрейзиным и Дыхне скейлинг необходимо подтвердить более подробным рассмотрением корреляционных эффектов. Рассмотрим корреляционную функцию скорости случайных шировых течений в форме: C(tx,t2)= j (Vx(0)K(z))p(z t2 -Qdz (ЗЛЛ5) —oo Используем плотность вероятности в форме функции Гаусса: 179 Р = ТТ-7ГТ. 7Т77ехР ( z1 (3.1.16) Здесь Vx (z) - скорость потока в точке z. Этот представление в точности соответствует идее Корсина о диффузионной природе «декорреляций», но с учетом анизотропии модели. Однако главным звеном описания аномального характера диффузии стало использование гипотезы о значительной роли «возвратов», поскольку в рассмотренном определении корреляционной функции условие z — О соответствует возврату в начальную точку. Тогда, в этом приближении мы получаем выражение для корреляционной функции в форме скейлинга [124]:

                                                               Похожие диссертации на Корреляционные модели аномального переноса для структурной плазменной и гидродинамической турбулентности

                                                               

                                                               Аномальный перенос и мелкомасштабная турбулентность в токамакеВершков, Владимир Александрович

                                                               Исследование процессов переноса в плазме токамака на основе смешанной модели баланса энергии и частицТарасян, Карен Надерович

                                                               Спектральный перенос энергии турбулентности в круглой затопленной струеХребтов, Михаил Юрьевич

                                                               

                                                               Исследование статистических моделей турбулентности и турбулентного переноса ренормгрупповыми методамиГольдин Павел Борисович

                                                               

                                                               Разработка модели турбулентности и исследование особенностей моделирования течения и шума струй со скачками уплотнения на основе методов RANS и LESЧепрасов Сергей Александрович

                                                               

                                                               Численное моделирование высокоскоростных турбулентных течений на основе двух и трехпараметрических моделей турбулентностиЛарина Елена Владимировна

                                                               

                                                               Полуэмпирическая модель турбулентности для описания высокоскоростных слоев смешения и струй, не основанная на гипотезе БуссинескаТрошин Алексей Игоревич

                                                               

                                                               Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности для расчета внутренних течений несжимаемой вязкой жидкостиЧистов, Алексей Леонидович

                                                               

                                                               Каскадные модели спиральной турбулентностиШестаков Александр Владимирович

                                                               Учет сжимаемой жидкости в теории развитой турбулентности и в модели магнитной гидродинамики методом квантово-полевой ренормализационной группыВолченков, Дмитрий Юрьевич