Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 15
1.1 Методы производства фотонных кристаллов 15
1.2 Примеры фотонных кристаллов 17
1.3 Изучение формирования запрещенной зоны на примере одномерных фотонных кристаллов 20
1.4 Зонная структура двумерных диэлектрических фотонных кристаллов 29
1.5 Формирование зонной структуры в двумерных металлических фотонных кристаллов 32
1.6 Зонная структура трехмерных диэлектрических фотонных кристаллов на примере гранецентрированной и алмазной решеток 34
1.7 Зонная структура и спектры прохождения отражения и поглощения трехмерных металлических фотонных кристаллов 39
1.8 Спектр поглощения и излучения металлического трехмерного фотонных кристаллов типа «поленница» 42
Глава 2. Методы моделирования фотонных кристаллов 44
2.1 Метод конечных разностей во временной области (Finite - Difference Time — Domain, FDTD) 44
2.2 Явная схема дискретизации Йи (схема дискретизации с перешагиванием) 45
2.3 Моделирование источника электромагнитного поля (модель "жесткого источника") 49
2.4 Моделирование источника электромагнитного поля методом полного и рассеянного поля (total — field/scattered - field method) 51
2.5 Поглощающие граничные условия (Perfectly Matched Layer) 54
2.6 Задача на собственные значения. Моделирование периодических граничных условий в рамках алгоритма FDTD 60
2.7 Методы расчета полей на искривленных поверхностях 62
2.8 Схема моделирования спектров фотонных кристаллов с периодическими граничными условиями при нормальном падении волны 67
2.9 Моделирование наклонного падения электромагнитной волны для периодических структур 68
2.10 Сравнение расчета спектра методом FDTD с точным аналитическим решением. Границы применимости алгоритма FDTD 73
2.11 Метод разложения по плоским волнам (Plane Wave Expansion Method) 75
2.11.1 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для случая Ё - поляризованной электромагнитной волны 79
2.11.2 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для случая Й - поляризованной электромагнитной волны 80
2.11.3 Задача на собственные значения в трехмерном случае 81
2.12 Метод LKK.R (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера) 82
Глава 3. Моделирование двумерных сверхпроводящих фотонных кристаллов с помощью метода разложения по плоским волнам 87
3.1 Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего фотонного кристалла в модели Казимира-Гортера методом разложения по плоским волнам 87
3.1.1 Выводы 92
Глава 4. Расчет зонной структуры трехмерного металлического фотонного кристалла типа «поленница» методом FDTD eigen value для расчета собственных значений 92
4.1 Описание модели расчета 92
4.2 Техника моделирования 93
4.3 Результаты расчета 95
4.4 Выводы 98
Глава 5. Формирование спектра поглощения металло-диэлектрических трехмерных фотонных кристаллов 99
5.1 Описание исследуемого фотонного кристалла 99
5.2 Результаты расчетов. Анализ сравнения спектров, полученных с помощью методов FDTD и LKKR 101
5.3 Анализ природы спектров фотонных кристаллов 106
5.4 Связь спектров поглощения с пространственным распределением интенсивности полей внутри фотонных кристаллов 109
5.5 Выводы 113
Глава 6. Оптический аналог эффекта Бормана в фотонных кристаллах 114
6.1 Введение 114
6.2 Описание исследуемой структуры 115
6.3 Зависимость спектров отражения и поглощения от угла падения волны 116
6.4 Пространственное распределение амплитуды энергии электромагнитного поля
в фотонном кристалле. Аналог эффекта Бормана 118
6.5 Выводы 122
7 Заключение 123
8 Список литературы 126
- Изучение формирования запрещенной зоны на примере одномерных фотонных кристаллов
- Моделирование источника электромагнитного поля методом полного и рассеянного поля (total — field/scattered - field method)
- Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего фотонного кристалла в модели Казимира-Гортера методом разложения по плоским волнам
- Связь спектров поглощения с пространственным распределением интенсивности полей внутри фотонных кристаллов
Введение к работе
Фотонные кристаллы (ФК, англ. - photonic crystals) представляют собой структуры, как правило, искусственные, с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью, т.е.:
(* + *(/)) = (*) (1)
Здесь *(/) - вектор узла решетки. Уже в 1972 г. в работе В.П. Быкова [1] было показано на примере одномерных периодических структур, что периодические структуры позволяют управлять спонтанным излучением, внедренных в матрицу структуры молекул и атомов. В рамках одномерной модели им был проведен расчет, показавший, что спонтанное излучение может быть существенно подавлено в некотором диапазоне длин волн.
Начиная с работы Э. Яблоновича [2] в 1986 г. и Джона [3], ФК стали одним из наиболее исследуемых объектов в современной физике наноструктур.
В зависимости от числа компонент в векторе зе(/) в формуле (1) различают одно-, двух- и трехмерные ФК (Рис. 1).
периодичность периодичность периодичность
водном в двух в трех
направлении направлениях направлениях
Рис. 1 Типы фотонных кристаллов.
Распространение излучения внутри ФК благодаря свойству периодичности становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. Аналогия между квантово -
механическим поведением электронов в обычных кристаллах и фотонов в ФК имеет строгое математическое обоснование. Именно: уравнения Максвелла после несложных преобразований могут быть представлены в виде, формально идентичном уравнению Шредингера для волновой функции электрона.
Таким образом, электромагнитные волны в ФК имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычном кристалле. Именно эта аналогия, на которую для трехмерных ФК обратил внимание Э. Яблонович [2], и стала источником многих идей в развитии оптики ФК. Отметим, что вышеуказанная аналогия - неполная:
Собственные функции для фотонного кристалла - векторные, а не скалярные, как для электронов, и поэтому, в частности, фотонные щели могут зависеть от поляризации поля;
Лишь для простых частотных зависимостей диэлектрической функции материалов, составляющих фотонный кристалл, уравнения, определяющие спектр фотонного кристалла, сводится к уравнению, типа Шредингера. Однако, как легко показать, эти уравнения в любом случае имеют вид уравнений Матье:
Из приведенного сравнения видно, что в обоих случаях, как для движения электрона в периодическом потенциале решетки, так и для фотона в фотонном кристалле, задача сводится к нахождению собственных значений уравнения вида:
АХ = ВХ.
Итак, при определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели,
аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В
зависимости от свойств ФК (материала элементов, их размера и постоянной
решетки) могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны
(photonic band gap, PBG), для которых распространение излучения невозможно в независимости от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп - зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях.
Кроме того, оказалось, что расчеты процессов распространения электромагнитных волн в ФК, могут быть осуществлены с помощью компьютерного моделирования со значительно более высокой степенью точности, чем соответствующие задачи для электронов в кристалле. Связано это, прежде всего с конкретными методами моделирования ФК (речь о которых подробно пойдет ниже), которые являются практически неприменимыми для расчета электронных кристаллов. Причина состоит в одном из фундаментальных различий между фотонами и электронами — электроны обладают сильным взаимодействием между собой. Поэтому «электронные» задачи, как правило, требуют учета многоэлектронных эффектов, сильно увеличивающих размерность задачи, что заставляет часто использовать не достаточно точные приближения, в то время как в ФК, состоящем из элементов с пренебрежимо малым нелинейно-оптическим откликом, данная трудность практически отсутствует.
Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения (например, для управления квантово-электродинамическими процессами), так и для многочисленных приложений, что обуславливает актуальность настоящей работы. На основе ФК могут быть созданы: высокочастотные фильтры и волноводы с высокими коэффициентами передачи, [4],[5],[6],[7],[8],[9]; разнообразные типы антенн [10],[11],[12],[13],[14],[15],[16], в том числе высоко направленных, обладающих превосходной селективностью; "суперпризмы", осуществляющие фокусировку электромагнитного излучения [17],[18],[19],[20]; высокоэффективные излучающие устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением [21],[22],[23],[24],[25],[26],[27] ,[28],[29].
Данная диссертация является продолжением работ, направленных на исследование свойств ФК. Основным объектом исследования являются металлические, металло-диэлектрические и сверхпроводящие фотонные кристаллы.
Цель диссертационной работы:
1. Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК
методом разложения по плоским волнам в модели Казимира-Гортера; выявление
зависимости положения и ширины запрещенной зоны от температуры
сверхпроводника.
2. Расчет зонной структуры трехмерного металлического ФК,
представляющего собой «поленницу» - периодическую систему скрещенных под
прямым углом металлических прямоугольных параллелепипедов методом
конечных разностей для решения задачи на собственные значения (FDTD — eigen
value) в модели Друде-Лоренца. Установление зависимости положения границы
запрещенной фотонной зоны от геометрических параметров системы. Выявление
"правил дизайна" - оптимальных геометрических параметров, при которых
фотонная щель расположена в инфракрасной области спектра.
Исследование спектров, зонных структур, а также их связи с пространственным распределением полей в металло-диэлектрическом ФК, представляющем собой слои прямого металлического гранецентрированного опала, помещенного в диэлектрическую матрицу. Выявление влияния диэлектрического окружения на формирование спектра поглощения.
Обнаружение нового эффекта, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет спектров прохождения, отражения и поглощения при наклонном падении s-поляризованной электромагнитной волны на ФК слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR), представляющий собой опал с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металло-диэлектрические шарики. Исследование зависимости коэффициента поглощения от угла падения электромагнитной волны; расчет картины пространственного распределения энергии в каждом из слоев ФК методом конечных разностей (FDTD) и анализ связи указанного распределения с коэффициентом поглощения.
Итак, предметом диссертации служит численное моделирование и исследование зонных структур, плотности состояний, а также спектров прохождения отражения и поглощения для различных видов двумерных и
трехмерных фотонных кристаллов, наряду с этим мы рассчитываем, где это необходимо, пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемых структур.
Рассмотрим теперь некоторые особенности методов исследования. В качестве них здесь выступают численные методы моделирования, подробному описанию каждого из которых посвящена вторая глава настоящей работы, а именно: метод конечных разностей (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), метод разложения no плоским волнам (Plane' Wave Expansion Method), а также слоевой метод LKKR (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера).
Метод конечных разностей для решения уравнений Максвелла, зависящих от времени (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), представляет собой численную процедуру, в рамках которой производится прямое интегрирование этих уравнений. Это самый общий и вместе с тем самый громоздкий метод расчета свойств фотонных кристаллов, требующий больших временных и компьютерных ресурсов. Метод FDTD основан на численной дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Сетки для электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другу во времени и пространстве на половину шага дискретизации по каждой из пространственных переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют рассчитать электрические и магнитные поля в данный момент времени на основании известных значений полей в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура дает эволюционные решения для каждой из компонент электромагнитного поля во времени от начала отсчета с заданным шагом. В рамках FDTD численно моделируется электромагнитная- волна, которая, распространяясь в вычислительном объеме, падает на исследуемую структуру. Амплитуда прошедшей и отраженной волны записывается на детекторах в зависимости от времени. Нормируя ее на падающий импульс, усреднив по положению детекторов и взяв преобразование Фурье от этого отношения можно получить интересующие нас спектры отражения прохождения и поглощения. Отметим, что в рамках метода конечных разностей может быть произведен расчет зонных спектров
фотонных кристаллов, а также смоделированы все процессы по рассеянию электромагнитных волн.
Слоевой метод LKKR (от англ. layered Korringa-Kohn-Rostoker method) основан на теории многократного рассеяния электромагнитных волн и предназначен для вычисления спектральных характеристик структур с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью (например, фотонных кристаллов). В рамках этого алгоритма рассматривается трехмерная периодическая структура, имеющая бесконечные размеры в двух измерениях (напр. X и Y) и обладающая конечной толщиной в третьем измерении (Z). В Z-измерении производится разбиение структуры на слои, каждый из которых представляет собой двумерную решетку. Разложение электрического и магнитного полей, входящих в уравнения Максвелла, проводится следующим образом: 1) на первом этапе решается задача рассеяния плоской электромагнитной волны на одной сфере, при этом производится разложение волны по векторным сферическим функциям с учетом граничных условий на поверхности сферы; 2) учитывается двумерная кристаллическая симметрия слоя. Получающаяся матрица (матрица перехода).преобразует электромагнитное поле слева (до) слоя в поле справа (после) слоя. Вышеописанная процедура повторяется для каждого следующего слоя, и результирующая матрица преобразует электромагнитное поле слева (до) структуры в поле справа (после) структуры (дополнительно может быть учтено; что фотонный кристалл погружен в диэлектрический слой конечной толщины). И, наконец, вычисление потока энергии отраженного (прошедшего) поля слева (справа)1 от структуры дает коэффициенты прохождения, отражения и поглощения. Отметим, что по сравнению с методом FDTD слоевой метод LKKR является гораздо менее ресурсоемким, однако накладывает ряд ограничений. В частности он позволяет моделировать структуры, содержащие лишь сферические и цилиндрические рассеиватели в трехмерном и двумерных случаях, соответственно. Кроме того, с помощью него оказывается невозможным получить пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемой структуры.
Метод разложения по плоским волнам , является одним из основных методов расчета зонной структуры и собственных мод ФК. Данный метод основан на трансляционной симметрии фотонного кристалла, что позволяет свести стационарные уравнения Максвелла к системе алгебраических уравнений. В рамках данного метода диэлектрическая проницаемость, являющаяся функцией периодической, раскладывается в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье могут быть получены интегрированием по всей площади элементарной ячейки фотонного кристалла. Компоненты электромагнитного поля также раскладываются в ряд Фурье. Подставляя указанные разложения в волновое уравнение можно получить задачу на собственные значения, решив эту задачу с помощью диагонализации соответствующей матрицы. Таким образом, для каждого значения блоховского вектора К будет получен набор собственных частот со(к), каждая из которых является непрерывной функцией от К и образует отдельную дисперсионную кривую. Если блоховский вектор в ячейке обратной решетки будет меняться по контуру в первой зоне Бриллюэна содержащему все точки симметрии для данной решетки, полученная зависимость а>(к) даст нам искомую зонную структуру ФК. Метод разложения по плоским волнам является наименее ресурсоемким по сравнению с двумя вышеописанными методиками, однако накладывает еще целый ряд ограничений (подробно см. главу 2). Например, с помощью него невозможен расчет зонных структур трехмерных металлических фотонных кристаллов. Кроме того, данный метод оперирует лишь с бесконечными периодическими структурами и с помощью него нельзя осуществить расчет спектров отражения пропускания и поглощения.
Достоверность результатов компьютерного моделирования с
применением вышеописанных методов обеспечивается системой многократных
проверок работы кодов. Для метода конечных разностей FDTD выполнены
сравнение спектров отражения и прохождения, получаемых для однородной
диэлектрической пластины с эквивалентными результатами, полученными
аналитически по формулам Френеля. Также работа алгоритма проверена путем
сравнения результатов FDTD с аналитическим решением Ми для одиночной
сферы. Верификация слоевого метода Корринга-Кона-Ростокера (LKKR)
проведена путем аналогичного сравнения. Отметим, что оба метода демонстрируют высокую степень согласия с аналитическими решениями. Наряду с этим был осуществлен ряд проверок совместной работы этих кодов для расчета эквивалентных более сложных структур, представляющих собой непосредственно ФК. Результаты расчетов соответствующих спектров полученных этими двумя независимыми методами показывают хорошую степень согласия друг с другом. Проведена также серия расчетов направленных на сравнение работы кодов с экспериментальными статьями. Здесь также получена высокая степень соответствия результатов. Достоверность работы алгоритма разложения по плоски волнам (PWEM) также сравнивалась с работой двух вышеуказанных алгоритмов. Положение запрещенных зон для ФК по соответствующим направлениям совпадает с соответствующими провалами в прохождении (максимумами в отражении) полученными методами FDTD и LKKR. Кроме того, работа этого метода была согласована с более ранними теоретическими работами. Рассмотрим теперь новые научные результаты, полученные в рамках данной* диссертации :
1. Впервые методом разложения по плоским волнам получена зонная структура
двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера.
Исследована зависимость ширины и положения запрещенных зон от температуры
сверхпроводника.
Проведена оптимизация структуры, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Выявлены оптимальные геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем ИК диапазоне.
Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению (111) и помещенных в диэлектрическую матрицу. Показано влияние диэлектрического окружения на спектры поглощения. Впервые найдена связь пространственного распределения энергии электромагнитного поля внутри ФК и структуры соответствующих спектров поглощения. Установлено, что рассмотренный ФК может быть
использован в качестве источника света с высокой селективностью, благодаря низкому коэффициенту поглощения в области фотонной щели, лежащей в ИК диапазоне.
4. Установлена резкая зависимость коэффициента поглощения от угла падения для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Впервые показано, как происходит перестройка пространственного распределения амплитуды энергии электромагнитного поля в зависимости от угла падения волны. Предсказан новый эффект, являющийся оптическим аналогом эффекта Бормана известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет показал, что по аналогии с классическим эффектом Бормана, наблюдаемым в обычных кристаллах, в ФК имеется схожий эффект. При наличии острой зависимости поглощения от угла падения волны найдено, что в максимуме поглощения, наблюдаются острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев локализованы в основном между узлами решетки ФК. Положения, выносимые на защиту:
Исследована зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Показано, что, меняя лондоновскую глубину проникновения для различных температур, можно влиять на фотонный зонный спектр. Так при температуре Т = 85К край полной нижней запрещенной зоны соответствует частоте / = 0.95THz. Верхняя щель лежит в диапазоне 1.45THz < / < 1.64 THz. При уменьшении температуры до Т=10К, край нижней запрещенной зоны смещается в высокочастотную область / = I THz. Край верхней щели также сдвигается в высокочастотную область: 1.45THz < / < 1.68 THz.
Установлена зависимость положения границы запрещенной фотонной зоны от геометрических параметров системы, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Проведено построение зонной структуры для
четырех различных геометрических параметров: расстояние между брусками-1500 шп, толщина - 750 nm, высота - 500 nm и уменьшенных пропорционально в
2, 3.3 и 5 раз, соответственно. Обнаружена полная запрещенная зона, лежащая в
инфракрасном диапазоне, с краем, находящимся на длине волны 2560 нм.
Показано практически пропорциональное изменение ширины фотонной щели при
указанном изменении геометрических параметров решетки. Оптимальные
геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем
ИК диапазоне следующие: расстояние между брусками - 450nm, толщина -
225nm, высота - 150nm. В этом случае край запрещенной зоны соответствует
длине волны в 770шп.
3. Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого
гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных
перпендикулярно кристаллографическому направлению (111). Период решетки: а
= 500 нм (расстояние между соседними сферами: г-аІУІ2), отношение объема
металла к объему ФК: / = 1%. Рассмотрено два случая: в первом из них
металлические шарики (находящиеся в узлах гранецентрированной решетки)
были погружены в диэлектрическую пластинку с smedia = 12, во втором -
металлические шарики помещались в центрах сферических полостей обратного
опала с плотноупакованной структурой и диэлектрической проницаемостью
среды „,«/,„ =12. Показано, что важную роль в формировании спектра
поглощения без сферических полостей играет диэлектрик, в который погружены
металлические шарики со структурой опала. В случае присутствия сферических
полостей формирование спектра поглощения во многом обусловлено зонной
структурой обратного диэлектрического опала. Построение методом FDTD
пространственного распределения энергии электромагнитного поля показало, что
в случае присутствия сферических полостей длина волны, при которой
поглощение практически обращается в ноль, отвечает минимум интенсивности
поля на металлических шариках. При отсутствии воздушных сферических
полостей, максимум поглощения отвечает локализации максимумов
интенсивности поля на металлических (поглощающих) шариках.
4. Предсказан новый эффект, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. С помощью численного моделирования слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR) вычислены спектры прохождения, отражения и поглощения для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Исследовано изменение спектров прохождения, отражения и поглощения для электромагнитной волны при увеличении количества слоев фотонного кристалла. Установлено, что пяти слоев достаточно для того, чтобы характерные особенности спектра фотонного кристалла, связанные с брэгговским переотражением, проявились в спектре в области средних (300-800 нм) длин волн. Исследована зависимость коэффициента поглощения ФК от угла падения электромагнитной волны на поверхность кристалла. Обнаружена область значений длин волн X и углов наклона к нормали
0, при которых поглощение резко изменяется при небольшом изменении
параметров. Конечноразностным методом решения уравнений Максвелла во
временной форме (FDTD) построено распределение интенсивности
электрического поля внутри каждого из пяти слоев ФК для углов падения 23 и
30 на длине волны 455 нм. Показано, что в максимуме поглощения, наблюдаются
острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на
поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме
поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев
локализованы в основном между узлами решетки ФК. Этот эффект может
служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской
спектроскопии.
Практическая значимость работы:
1. Предложен новый тип сверхпроводящего ФК, поглощение для которого
отсутствует в диапазоне частот, лежащем ниже сверхпроводящей щели. Показано,
что с помощью такого типа ФК имеется возможность управления его
сверхпроводящей щелью, а, следовательно, и электромагнитными свойствами (в
частности, фотонной щелью) с помощью температуры и внешних магнитных
полей. Подобный тип ФК может быть успешно применен в терагерцовом диапазоне в качестве высокочастотного фильтра.
2. Для ФК типа «поленница» определены правила дизайна (оптимальные
геометрические параметры), позволяющие получить фотонную щель во всем
инфракрасном диапазоне, что позволяет использовать такую структуру в качестве
высокоэффективного источника света.
Выявлено влияние диэлектрической матрицы на спектр поглощения помещенного в нее металлического гранецентрированного опала. Установленная зависимость позволяет управлять поглощением рассматриваемой структуры, а также оптимизировать излучение в видимом диапазоне спектра.
Предсказан новый эффект, являющийся оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеноскопии. Рассчитанная резкая зависимость поглощения от угла падения волны может позволить использовать структуры типа опала в качестве оптических переключателей, а также оптического фильтра, чувствительного к углу падения волны.
По результатам диссертационного исследования опубликованы 5 научных работ в ведущих российских и зарубежных журналах, 3 из которых входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК (см. стр. 129). Сделано 8 докладов на российских и международных конференциях.
Изучение формирования запрещенной зоны на примере одномерных фотонных кристаллов
Метод разложения по плоским волнам , является одним из основных методов расчета зонной структуры и собственных мод ФК. Данный метод основан на трансляционной симметрии фотонного кристалла, что позволяет свести стационарные уравнения Максвелла к системе алгебраических уравнений. В рамках данного метода диэлектрическая проницаемость, являющаяся функцией периодической, раскладывается в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье могут быть получены интегрированием по всей площади элементарной ячейки фотонного кристалла. Компоненты электромагнитного поля также раскладываются в ряд Фурье. Подставляя указанные разложения в волновое уравнение можно получить задачу на собственные значения, решив эту задачу с помощью диагонализации соответствующей матрицы. Таким образом, для каждого значения блоховского вектора К будет получен набор собственных частот со(к), каждая из которых является непрерывной функцией от К и образует отдельную дисперсионную кривую. Если блоховский вектор в ячейке обратной решетки будет меняться по контуру в первой зоне Бриллюэна содержащему все точки симметрии для данной решетки, полученная зависимость а (к) даст нам искомую зонную структуру ФК. Метод разложения по плоским волнам является наименее ресурсоемким по сравнению с двумя вышеописанными методиками, однако накладывает еще целый ряд ограничений (подробно см. главу 2). Например, с помощью него невозможен расчет зонных структур трехмерных металлических фотонных кристаллов. Кроме того, данный метод оперирует лишь с бесконечными периодическими структурами и с помощью него нельзя осуществить расчет спектров отражения пропускания и поглощения.
Достоверность результатов компьютерного моделирования с применением вышеописанных методов обеспечивается системой многократных проверок работы кодов. Для метода конечных разностей FDTD выполнены сравнение спектров отражения и прохождения, получаемых для однородной диэлектрической пластины с эквивалентными результатами, полученными аналитически по формулам Френеля. Также работа алгоритма проверена путем сравнения результатов FDTD с аналитическим решением Ми для одиночной сферы. Верификация слоевого метода Корринга-Кона-Ростокера (LKKR) проведена путем аналогичного сравнения. Отметим, что оба метода демонстрируют высокую степень согласия с аналитическими решениями. Наряду с этим был осуществлен ряд проверок совместной работы этих кодов для расчета эквивалентных более сложных структур, представляющих собой непосредственно ФК. Результаты расчетов соответствующих спектров полученных этими двумя независимыми методами показывают хорошую степень согласия друг с другом. Проведена также серия расчетов направленных на сравнение работы кодов с экспериментальными статьями. Здесь также получена высокая степень соответствия результатов. Достоверность работы алгоритма разложения по плоски волнам (PWEM) также сравнивалась с работой двух вышеуказанных алгоритмов. Положение запрещенных зон для ФК по соответствующим направлениям совпадает с соответствующими провалами в прохождении (максимумами в отражении) полученными методами FDTD и LKKR. Кроме того, работа этого метода была согласована с более ранними теоретическими работами. Рассмотрим теперь новые научные результаты, полученные в рамках данной диссертации : 1. Впервые методом разложения по плоским волнам получена зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Исследована зависимость ширины и положения запрещенных зон от температуры сверхпроводника. 2. Проведена оптимизация структуры, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Выявлены оптимальные геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем ИК диапазоне.
Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению (111) и помещенных в диэлектрическую матрицу. Показано влияние диэлектрического окружения на спектры поглощения. Впервые найдена связь пространственного распределения энергии электромагнитного поля внутри ФК и структуры соответствующих спектров поглощения. Установлено, что рассмотренный ФК может быть использован в качестве источника света с высокой селективностью, благодаря низкому коэффициенту поглощения в области фотонной щели, лежащей в ИК диапазоне.
Установлена резкая зависимость коэффициента поглощения от угла падения для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Впервые показано, как происходит перестройка пространственного распределения амплитуды энергии электромагнитного поля в зависимости от угла падения волны. Предсказан новый эффект, являющийся оптическим аналогом эффекта Бормана известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет показал, что по аналогии с классическим эффектом Бормана, наблюдаемым в обычных кристаллах, в ФК имеется схожий эффект. При наличии острой зависимости поглощения от угла падения волны найдено, что в максимуме поглощения, наблюдаются острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев локализованы в основном между узлами решетки ФК.
Моделирование источника электромагнитного поля методом полного и рассеянного поля (total — field/scattered - field method)
Из (19) следует, что применительно к периодической структуре низкочастотные моды поля концентрируются преимущественно в слоях с большим показателем диэлектрической проницаемости, в то время как высокочастотные по большей части - в слоях с меньшей диэлектрической проницаемостью.
Таким образом, зонная структура на Рис. 8 может быть разделена условно на две части. Нижняя часть (ниже щели) отвечает модам поля, сконцентрированным в диэлектрических слоях, верхняя часть — модам поля, локализованным в воздушных зазорах. Основываясь на этом рассуждении, принято ветви ниже щели называть диэлектрическими (англ. - dielectric band), а выше щели - воздушными (англ. - air band).
Заметим, что ситуация аналогична электронной зонной структуре полупроводников. В них зона проводимости (англ. - conduction band) и валентная зона (англ. - valence band) разделены энергетической щелью. В заключение рассмотрения формирования зонной структуры в ФК отметим, что в одномерном случае запрещенная зона формируется при любом, даже самом малом диэлектрическом контрасте между слоями, т.е. любом отношении их диэлектрических проницаемостей.
Как уже ранее отмечалось первая работа, в которой проводилось исследование влияния периодических структур (термина фотонный кристалл тогда еще не существовало) на спонтанное излучение внедренных в них молекул и атомов, была выполнена В.П. Быковым [1]. Видимо, на тот момент, его работа была сделана слишком рано, когда почва для развития этого направления еще не была подготовлена и должного интереса в научных кругах не вызвала. Связано это в основном с двумя аспектами. Во-первых, на тот момент не существовало развитых методик, описанных выше для изготовления ФК. Во-вторых, как позднее будет показано, методы моделирования ФК требуют по большей части существенных компьютерных ресурсов. Точное аналитическое решение для зонного спектра, расчета плотности состояний, а также спектров отражения прохождения и поглощения может быть найдено лишь для очень ограниченного круга задач (в основном это задачи, связанные с одномерными ФК). Как уже ранее отмечалось, интерес к этому направлению был проявлен, начиная с работы Э. Яблоновича [2] в 1986 г. и Джона [3].
После 1986 г. ситуация в течение нескольких лет ситуация кардинально не менялась. Как можно было бы предположить, вала работ по данной тематике не последовало. Однако броский термин "Фотонный Кристалл" сыграл свою роль. По меткому выражению А. Пуанкаре: "Достаточно изобрести новое слово, и оно станет творцом".
Первый ФК был создан Э. Яблоновичем и сотрудниками в Массачусетском Университете в 1990г. Вернее сказать не фотонный, а микроволновой кристалл, т.к. первоначально он мог быть использован лишь как высокочастотный фильтр микроволнового диапазона. Собран он был вручную, состоял из металлических стержней и был размером с бильярдный шар. Этот год можно считать точкой отсчета, после которой последовало экспоненциальное нарастание количества работ по данной тематике. Соответственно, первые работы относились к изучению ФК, работающих, преимущественно, в сантиметровом диапазоне. Отметим, что первый двумерный ФК для оптического (а вернее сказать ближнего инфракрасного) диапазона длин волн был изготовлен лишь в 1996 г. Томасом Краусом [47].
Перейдем теперь к рассмотрению основных результатов моделирования ФК. Мы не будем останавливаться на результатах работ, посвященных исследованиям ФК в сантиметровом диапазоне, а перейдем сразу к рассмотрению ФК, работающих в ближнем инфракрасном и видимом диапазонах. Итак, в первых теоретических работах изучались фотонные кристаллы, получаемые из непоглощающих и бездисперсионных материалов.
В первых работах объектом пристального исследования стали двумерные ФК [48],[49],[50],[51],[52],[52],[53]. Существует множество модификаций двумерных ФК, рассматриваемых в указанных работах. Пример такой структуры изображен на Рис. 10 и представляет собой квадратную решетку бесконечных по длине не перекрывающихся цилиндров, имеющих круглое сечение. Один из реальных примеров такой структуры представлен на Рис. 3.
Рис. 10 демонстрирует два случая нормального падения плоской волны на двумерный ФК. Под рисунком представлены случаи различных поляризаций: а) ТМ-поляризация (вектор напряженности электрического поля совпадает с осями цилиндров), б) ТЕ-поляризация (вектор напряженности магнитного поля совпадает с осями цилиндров).
Рассмотрим работу [48], в которой исследуется инверсный двумерный ФК, состоящий из воздушных цилиндров, образующих треугольную решетку и находящихся в диэлектрике с є = 13 (как уже отмечалось, такая диэлектрическая проницаемость характерна, например, для кремния). Один из реальных примеров такой структуры представлен на правой части Рис. 3. Из Рис. 11 можно сделать вывод, что рассматриваемая структура обладает полной запрещенной зоны для обеих поляризаций, однако в случае ТМ-поляризации запрещенная зона оказывается более узкой.
Проведем теперь расчет для прямого случая. На Рис. 12 представлена зонная структура квадратной решетки, состоящей из диэлектрических цилиндров с є = 9 в воздухе. Из Рис. 12 следует, что подобная геометрия ФК обладает полной запрещенной зоной для ТМ - поляризации. Однако в отличие от инверсного случая полная запрещенная зона для ТЕ - поляризованной волны вообще не образуется.
Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего фотонного кристалла в модели Казимира-Гортера методом разложения по плоским волнам
Кроме того, можно показать, что в алгоритме метода конечных разностей учет непрерывности нормальных компонент магнитного и тангенциальных компонент электрического поля выполняется автоматически (см., например, [64]).
Итак, имеется система уравнений Максвелла (31), описывающая поведение электромагнитного поля, как в свободном пространстве, так и в веществе. Вещество может моделироваться как бездиссипативное, с чисто действительной частью диэлектрической проницаемости, так и поглощающее, с мнимой частью отличной от нуля.
Однако если мы решим систему (31) в каком либо ограниченном объеме пространства, то обнаружим, что амплитуды любой из компонент электромагнитного поля равны нулю, т.к. в начале рассмотрения мы ограничились случаем отсутствия источников электромагнитного поля. Для решения конкретных физических задач, а именно, изучения распространения электромагнитных волн необходимо ввести в рассмотрение источник электромагнитного поля.
В методе конечных разностей существует несколько возможных алгоритмов для введения в рассмотрение источника электромагнитного поля. Первая из них -самая очевидная — это концепция так называемого "жесткого источника" (англ. "hard source"). Она реализуется простым присвоением функции желаемой формы определенным компонентам электромагнитного поля. Например, если мы имеем одномерную сетку Ии в направлении оси х, то формирования синусоидальной волны в произвольной точке этой оси is мы можем добиться, положив
Здесь Е0 - амплитуда, а /0 - частота этой волны. Понятно, что если мы хотим получить строго монохроматическую волну с нулевой шириной спектральной линии, то число шагов по времени — п должно быть бесконечно велико. На практике такая волна используется достаточно редко, в основном для изучения распределения поля в пространстве на фиксированной частоте. Гораздо чаще используется волна, ограниченная в пространстве по времени, для моделирования оптических свойств в микроволновом спектральном диапазоне. Такую волну можно получить, положив, например: Здесь Т - величина, определяющая спектр такой волны и ее длительность по времени. Рассмотрим пример: Положим Т = 50At, и шаг по пространству 5nm. Тогда шаг по времени, вычисленный из критерия стабильности (27) есть А = 4.1695е"18 с. На Рис. 22 и представлены форма такой волны и ее спектр, соответственно. Из рисунков видно, что такая волна генерируется в течение приблизительно 300 временных шагов и хорошо покрывает спектральный диапазон от 250 до 4000 нанометров. Меняя величину Т можно влиять на длительность импульса и его спектральный диапазон.
Если теперь на пути такой волны поставить какую-либо произвольную структуру (если это только, конечно, не достаточно толстый слой металла или идеальный проводник), то часть волны пройдет, а часть отразится. Записав зависимость прошедшего и отраженного сигнала от времени, нормируя его на падающий импульс и взяв фурье-преобразование от этого отношения можно получить соответствующие спектры отражения и пропускания. Отметим, что в данном подходе используется линейность уравнений Максвелла (т.е. мы не рассматриваем нелинейные среды, в которых происходит трансформация исходных частот):
Однако для моделирования реального эксперимента реализация подобного алгоритма является практически невозможной. Дело в том, что мы присвоили? в точке генерации волны is компонентам поля функцию сигнала, зависящую от времени. Из левой ласти Рис. 22 видно, что с течением времени (после, например, трехсотого шага) значение этой функции становится равным нулю. Таким образом; в точке is физические свойства пространства- становятся эквивалентными свойствам идеального проводника, т.к. величина компоненты электрического поля Е. на всех последующих шагах в этой точке будет равна нулю (что соответствует по определению свойствам- идеального проводника). Отметим, что поля в этой точке из-за применения условия (35) уже не смогут принять какого-либо значения, кроме нулевого, по истечению времени равного времени полной генерации импульса.
Поэтому моделирование реального физического отражения волны уходящей в бесконечность после отражения на рассматриваемой» структуре в такой интерпретации источника- поля- невозможно. В точке /, возникает отраженный сигнал в направлении структуры (эквивалентный полному отражению электромагнитной волны от идеального проводника), который невозможно потом будет отделить от сигнала реально отраженного от исследуемой структуры. Таким образом, мы не сможем получить независимых спектров отраженного и прошедшего сигнала.
Связь спектров поглощения с пространственным распределением интенсивности полей внутри фотонных кристаллов
Наряду с получением спектров отражения пропускания и поглощения электромагнитных волн, с помощью метода конечных разностей можно получить для периодических структур и зависимость частоты излучения от блоховского вектора со{к), т.е. решение задачи на собственные значения. Для этого выбирают вычислительный объем, равный объему элементарной ячейки бесконечного кристалла [77].
Для расчета полей внутри вычислительного объема задается источник излучения - "осциллятор", помещенный внутрь ячейки, амплитуда которого зависит от времени, например, по закону (16). Спектр излучения должен содержать диапазон частот, дисперсионные зависимости внутри которого мы хотим получить. Источник может быть помещен в нижний левый угол ячейки. Для записи полей используется "детектор" - точка, в которой производится запись полей с течением времени. Учитывая место расположения источника излучения, детектор может быть помещен в верхний правый угол. Источник и детектор должны находиться, по возможности, далеко друг от друга и не попадать внутрь элемента фотонного кристалла. Во избежание сложности, подробно описанной в параграфе 2, связанной с введением в рассмотрение "жесткого источника", можно поступить следующим образом. Именно: искусственно ограничить выполнение условия (35) в точке испускания волны временем, достаточным для полной генерации импульса. Тогда после прохождения всего импульса эта точка ничем не будет отличаться от остальных узлов сетки Йи.
После того, как задан источник электромагнитного поля, необходимо произвести расчет полей во всем вычислительном объеме согласно (31) и (32). После вычисления полей внутри рассматриваемого объема необходимо наложить периодические граничные условия для компонент электрического и магнитного поля на границе элементарной ячейки фотонного кристалла, учитывающие блоховский вид решений:
Здесь к - волновой вектор в первой зоне Бриллюэна, а - вектор трансляции прямой решетки. Соотношения (61) выделяют вклады в распространяющееся электромагнитное поле отдельных мод с фиксированным значением волнового вектора. Таким образом, взяв фурье-преобразование от временной истории сигнала, записанной на детекторе, можно вычислить резонансные (собственные) частоты в зависимости от волнового вектора, который изменяется по основным симметричным направлениям исследуемой структуры, т.е. рассчитать искомую зонную структуру. Периодические граничные условия могут быть также применены и к задаче на определение коэффициентов поглощения отражения и пропускания. Данные условия позволяют рассматривать только одну элементарную ячейку в направлении, перпендикулярном распространяющейся волне, что делает их использование очень выгодным с точки зрения компьютерных ресурсов. Наряду с этим, они позволяют избежать искажения волны на границе вычислительного объема, возникающего, в случае если структура в указанном направлении является конечной.
Поскольку FDTD представляет собой сеточный метод, одним из существенных факторов, определяющих его точность при моделировании физических систем, является аккуратность воспроизведения геометрических свойств исследуемой системы. В ходе моделирования микроструктур, состоящих из множества наночастиц, нередко возникает ситуация, когда степень дискретизации достаточна для описания оптических свойств системы в некотором заданном диапазоне частот электромагнитного излучения, однако сами наночастицы на данной сетке могут быть представлены только очень грубо. При этом дальнейшее измельчение сетки представляется крайне невыгодным, так как из-за этого резко возрастают объемы памяти и время, необходимые для моделирования. В этом случае возникает проблема суб-пиксельного (т.е. производящегося с точностью, превышающей точность самой вычислительной сетки) сглаживания для более точного описания геометрии наночастиц. В непосредственной близости от границы двух сред уравнения Максвелла должны решаться с учетом граничных условий для векторов Ё и Й. Любая искривленная поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом «лестничного приближения». Дело в том, что так как мы используем ортогональную сетку, то тела на нее отображаются с искажениями на границах. В случае тела, например, шарообразной формы, его граница будет захватывать разные части соседних ячеек Йи. В результате граница тела в рамках рассматриваемой сетки будет иметь ступенчатую форму. Рассмотрим возможные решения указанной проблемы, рассмотренной в [78].
Для решения данной проблемы были предложены различные методы. Первая группа методов основана на изменении способа дискретизации уравнений Максвелла так, чтобы сетка максимально соответствовала рассматриваемой геометрии. Например, один из таких методов заключается в увеличении разрешения сетки в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой (т.е. в использовании сетки с переменным пространственным шагом) [79]. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами [80]. Более радикальным шагом является введение нерегулярной неортогональной сетки, которая полностью согласовывалась бы с рассматриваемой геометрией [81]. Такая сетка автоматически генерируется программой, которая следит за расстановкой всех тел в пространстве. Общим недостатком таких методов является увеличение объема требуемой памяти и порой существенное снижение производительности.
