Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 12
1.1 Введение 12
1.2 Деление на части заряженных пузырей в жидком гелии 14
1.3 Двумерный электронный газ 18
2 Ион молекулы водорода 21
2.1 Уровни энергии и волновые функции иона 21
2.2 Ион 34
2.3 Рассеяние света продуктами диссоциации молекулярного иона .38
2.4 Низкочастотная поляризуемость диссоциирующего иона и свободного протона 41
2.5 Диссоциирующий ион в резонансном поле 42
2.6 Возбуждение диссоциирующего иона 43
2.7 Спонтанное излучение диссоциирующего иона 45
2.8 Рассеяние света диссоциирующим ионом 47
2.9 Корреляции в свете, рассеянном диссоциирующим ионом 52
2.10 Корреляции в свете, рассеянном атомом водорода 53
3 Эволюция гауссова перепутанного состояния при параметрическом возбуждении 55
3.1 Введение 55
3.2 Квантовый гармонический осциллятор 56
3.3 Сжатые состояния 67
3.4 Возбуждение сжатых состояний 80
3.5 Эволюция гауссова перепутанного (сжатого) состояния при параметрическом возбуждении 87
3.6 Гауссово перепутанное состояние как решение уравнения Шредингера для двух осцилляторов при параметрическом возбуждении 89
3.7 Решение Флоке для системы уравнений 92
3.8 Реперные векторы 94
3.9 Матрицы Х(т) и г(т) 96
3.10. Матрица М(т) и ее детерминант 98
Заключение 101
Литература 102
- Деление на части заряженных пузырей в жидком гелии
- Низкочастотная поляризуемость диссоциирующего иона и свободного протона
- Корреляции в свете, рассеянном атомом водорода
- Гауссово перепутанное состояние как решение уравнения Шредингера для двух осцилляторов при параметрическом возбуждении
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время актуальная проблема - исследование свойств объектов, квантовомеханически разделенных на части. Особенно интересны подобные состояния в мезосистемах, то есть в объектах, промежуточных между микрообъектами такими, как атомы или молекулы, и макрообъектами такими, например, как измерительные приборы. Исследованию свойств объектов, квантовомеханически разделенных на части. Исследованию и наблюдению подобных объектов посвящены усилия нескольких исследовательских групп (Израиль, США). Исследователи обнаружили возможность, того, что частица может быть разделена на две или больше части, которые действуют, как если бы они были частями первоначальной частицы.
В этой работе исследованы квантовомеханически разделенные объекты, [1-5].т. е. в виду квантовые объекты, волновая функция которых разделена на две части. Мы рассмотрели продукты диссоциации молекулярного иона Н\ с волновой функцией электрона, разделенной между двумя кулоновскими центрами. Антисимметричное, состояние 2 />о-„(Рис. 2.9) при больших расстояниях между протонами с теоретической точки зрения является, вполне возможным и было бы интересно наблюдать его экспериментально. При этом фрагменты этого состояния, удаляясь, друг от друга, могут стать самостоятельными физическими сущностями.
Подобным же объектом является фотонное состояние поля, делящееся при параметрической генерации на двухфотонное состояние, вдвое меньшей частоты. Мы исследовали эволюцию состояния двухмодового поля в условиях параметрической генерации. В рамках теории возмущений найдено явное выражение для состояния двухмодового поля. Это открывает возможность для расчета коэффициента сжатия при параметрической генерации, а в дальнейшем и перспективу увеличения этого коэффициента.
Цель диссертационной работы
Целью настоящей диссертационной работы является выяснением возможности наблюдения оптическими (лазерными) средствами электронных состояний, квадрат модуля волновой функции которых имеет несколько максимумов.
Предполагается также исследовать эволюцию квантового состояния, э. м. поля (неклассического), возбуждаемого при параметрический генерации.
Научная новизна работы:
Впервые, исследовано рассеяние света на продуктах диссоциации иона Н+7 с учетом симметрии его состояния.
Впервые, сделаны аналитические расчеты, описывающие долговременную эволюцию квантового состояние э. м. поля, возбуждаемого при параметрической генерации.
Научная и практическая значимость работы
Во-первых, показано, что состояния, квадрат модуля волновой функции которых имеет, несколько максимумов могут наблюдаться оптическими средствами. Во-вторых, произведены аналитические расчеты, описывающие долговременную эволюцию квантового состояние э. м. поля, возбуждаемого при параметрической генерации.
Практическую значимость первой части диссертации трудно определить в настоящее время, так как исследование объектов с дробными зарядами только начинается. В общей форме можно сказать, что освоение методов работы (как экспериментальной, так и теоретической) с дробно заряженными объектами может изменить лицо электроники и, в частности, существенно повлиять на свойства электронных приборов, например, привести к улучшению их шумовых характеристик;
Вторая часть диссертации направлена, в конечном счете, на исследование параметрической генерации света, при которой возникают так называемые сжатые состояния, обладающие ценными практическими свойствами. Достижение высоких коэффициентов сжатия является самой актуальной задачей этого направления в настоящее время. Результаты, полученные во второй части диссертации, являются шагом в этом направлении.
Защищаемые положения
В первой части диссертации показано, что антисимметричное состояние диссоциирующего молекулярного иона tfj, способное образовываться при оптической диссоциации этого иона, может наблюдаться при корреляционных измерениях света, рассеянного этим объектом. Показано отличие корреляционных свойств света, рассеянного антисимметричным состоянием диссоциирующего иона HI, и света рассеянного комбинацией #+ + Я.
Во второй части диссертации исследована эволюция двухмодового поля при параметрической генерации. Защищаемым положением по этой части диссертации является конкретное выражение для матрицы, описывающей состояние поля в конце этой эволюции. Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: International Quantum Electronics Conference IQEC 2002 (Москва, Россия, 2002), 11th International Laser Physics Workshop (Bratislava, Slovak Republic) July 2002. 12th International Laser Physics Workshop (LPHYS'03), (Hamburg, Germany) August 2003.
Публикации
Основные результаты диссертационной работы изложены в двух печатных работах и в докладах на трех конференциях [1-5].
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем работы: 103 страниц, включая 22 рисунков. Библиография содержит 37 наименований.
Личный вклад
Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии.
Краткое содержание работы
Диссертация состоит из введения, третьих глав, заключения и списка цитируемой литературы.
В Первой главе диссертации, представляющей собой литературный обзор, рассмотрены особенности деления на части заряженных пузырей в жидком гелии. Электрон, введенный в гелий, формирует небольшой (мезоск- опический, диаметр =36А) заряженный пузырь, из которого исключены по существу все атомы гелия. Электрон в пузыре фактически находится в потенциальной яме, глубина которой составляет примерно 1еК[7]. Марис [6] рассмотрел возможность того, что в результате взаимодействия между элементарном и стенками пузыря, волновая функция электрона может быть разделена на две части, которые действуют, как если бы были части первоначальной частями. Он разработал подробно механику этого процесса для электрона, взаимодействующего с жидким гелием. При высоком давлении форма пузыря похожа на две сфреы и каждая из сфер содержит только одну половину электронной волновой функции..
Рассмотрены также работы Тсюи, Стормера, и Госсарда. Эти авторы обнаружили [9]» что квантовый эффект Холла может происходить при дробном значении //3(eJ/и). Потом Лафлин [11] нашел простое, точное решение Шредингерского уравнения для трех двумерных электронов в сильном магнитном поле, в предположении, что они используют един-ственнй уровень Ландау. Лафлин нашел, что межэлектронная периодичность имеет характеристические значения, не зависящие от формы взаимодействия, которые изменяются, скачками при увеличении давления, и что система имеет характерные энергии возбуждения приблизительно 0,03 е2 / а0, где а0 магнитная длина,
В этих работах все явления объяснены как некоторые коллективные эффекты. Однако исследовательская группа [12,13] из Израиля пошла дальше. Они сделали эксперименты, которые показали, что объект с зарядом 1/3 существует автономно.
Во Второй главе диссертации: нашей задачей в предлагаемой главе является применение квантовой механики к исследованию электронной структуры молекул. Молекулярный ион #2 является одной из простейших квантовомеханических систем. Для молекулярных исследований его роль подобна роли атома водорода в исследованиях атомов. Неудивительно поэтому, что исследованию иона # посвящено большое число работ [20]. Новый импульс эти исследования получили после создания источников мощных лазерных импульсов. Под действием таких импульсов ион Hj, может диссоциировать и ионизоваться. В настоящее время эти процессы уже неплохо исследованы; в частности, им посвящен прекрасный обзор [21].
В данной диссертации теоретически исследуется состояние фрагментов, на которые ион #2 распадается при диссоциации в результате воздействия на него короткого интенсивного лазерного импульса. Под действием такого импульса ион Я^ переходит в возбужденное (антисимметричное) отталкивательное состояние и расстояние между протонами начинает увеличиваться. За короткое время («ю-12сек) расстояние между протонами становится порядка длины волны X (»1мк) рассеиваемого излучения. По отношению к электронному состоянию иона процесс разлета его фрагментов можно считать адиабатическим. Это означает, в частности, что электронная волновая функция все это время, т.е. как при малых, так и при больших расстояниях между протонами остается антисимметричной. Такое состояние нельзя отождествлять с состоянием, когда имеется свободный протон и атом водорода. Для краткости такое состояние иона ниже называется диссоциирующим ионом (ДИ).
Далее исследувался вопрос, можно ли экспериментально определить, в каком из двух возможных состояний находится ион Я* после действия на него интенсивного лазерного импульса.
В третьей главе диссертации: Рассмотрена квантовая картина параметрического возбуждения двух электромагнитных мод. Показано, что гауссов волновой пакет, эволюционирующий в двумерном пространстве этих мод, является точным решением уравнения Шредингера. Найдены уравнения, определяющие развитие во времени его параметров. По теории возмущений найдены явные выражения для этих параметров при малом уровне параметрического возбуждения. Показано, что дисперсия суммы полей этих мод осциллирует с частотой накачки. При этом, в отличие от параметричесого возбуждения одной моды, как минимальная, так и максимальная дисперсии возрастают со временем. Возрастание минимальной дисперсии объясняет, повидимому, малые коэффициенты сжатия, достигаемые в экспериментах по параметрической генерации.
Сжатое состояние света является макроскопическим квантовым явлением, не имеющим классического аналога. Именно этим сжатое состояние света интересно. Сжатый свет имеет также большие перспективы практического применения.
Однако эти особенности сжатого света не могут существенно проявиться из-за малых коэффициентов сжатия, практически достигнутых к настоящему времени. Одним из основных методов возбуждения сжатых состояний является параметрическая генерация света. При этом остается нерешенным главный вопрос - почему при параметрической генерации не реализуются большие коэффициенты сжатия, хотя они не запрещены, например, по энергетическим соображениям.
В [36] показано, что из-за наличия потерь параметрический генератор является невырожденном, т.е. в нем параметрически возбуждается одновременно пара частот, сумма которых приближенно равна частоте накачки, а разнось лежит в пределах спектралной ширины параметрически возбуждаемого резонатора.
Показано также, и это - главное, что в невырожденном параметрическом генераторе физические явления происходят несколько иначе, чем в вырожденном. В частности, в невырожденном генераторе как максимальная, так и минимальная неопределенности поля возрастают со временем. В вырожденном же параметрическом генераторе максимальная неопределенность поля возрастает, в то время как минимальная неопределенность убывает [37]. Это, повидимому, объясняет малые коэффициенты сжатия в реальном параметрическом генераторе, так как из-за конечной спектральной ширины резонанса генерация в нем представляет собой сложную суперпозицию вырожденного и невырожденного режимов.
В [37] было показано, что в невырожденном параметрическом генераторе возбуждается гауссово перепутанное состояние. При этом был исследован случай, когда такое состояние возникает из вакуумного состояния. Однако представляет интерес исследовать эволюцию гауссова перепутанного состояния, когда оно возникает из произвольного подобного же состояние. Такие ситуации могут возникать при случайном изменении фазы источника накачки, что, как известно, составляет суть так называемой "диффузии фазы" и опрделяет спектральную ширину любого генератора излучения. Знание эволюции гауссова перепутанного состояния позволит в дальнейшем найти средний коэффициент сжатия, определяемый на практике.
В этой главе, работа состоит из нескольких частей. Сначала, исследуется решение уравнения Шредингера в форме гауссова волнового пакета. При этом показано, что такой волновой пакет точно удовлетворяет уравнению Шредингера, если его параметры удовлетворяют некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения нелинейны, но сводятся к линейным уравнениям с коэффициентами, периодически зависящими от времени, т.е. составляющим систему Флоке. Приближенное решение этой системы отыскивается с помощью теории возмущений. На основе этого решения находятся параметры гауссового волнового пакета, упомянутого выше. Дисперсия электрического поля, представляющего собой сумму электрических полей возбуждаемых мод, вычисляется посредством квантово механического усреднения по этому состоянию.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.
Деление на части заряженных пузырей в жидком гелии
В настоящий момент ситуация изменилась, в том отношении что физики могут исследовать мезообъекты, то есть объекты, промежуточные между микрообъектами такими, как атомы или молекулы, и макрообъектами такими, например, как измерительные приборы.
Как водородные состояния типа 2/?, так и инверсионные состояния в аммиаке неоднократно экспериментально наблюдались, и никаких сомнений в их существовании нет. Что же касается подобных состояний в мезосистемах, то наблюдение подобных состояний в них представляет собой актуальную научную задачу, которая ставит также ряд интересных теоретических проблем.
Одну из возможных мезосистем, упомянутых выше, представляют собой маленькие заряженные пузыри в жидком сверхтекучем гелии. Их изучение более 30 лет назад было начато А. И. Шалъниковым в Институте Физических Проблем в Москве. В настоящее время их изучение представляет собой хорошо развитое научное направление. В частности изучены деформационные колебания пузырей, возникающие в них под действием звуковых волн. Найдены деформационные резонансы и т.п. Обнаружены возбужденные электронные состояния в пузырях. Большой вклад [6] в развитие этого направления внес профессор. X. Марис из Брауновского Университета (США).
На больших расстояниях электрон притягивается к атому гелия; на коротких же расстояниях из-за принципа Паули он от атома гелия отталкивается. Как известно, сверхтекучий гелий не растворяет в себе никаких веществ за исключением Не. Это касается и введенных в гелий электронов. В конечном счете электрон, введенный в гелий, формирует небольшой (мезоскопический, диаметр =36А) заряженный пузырь, из которого исключены по существу все атомы гелия. Электрон в пузыре фактически находится в потенциальной яме, глубина которой составляет примерно 1 eV [7]. Энергия всего этого образования может быть представлена как сумма энергии Eti электрона, поверхностной энергии пузыря и объемной энергии создания этого пузыря. где а - поверхностная энергия гелия в единицу площади, Р - давление, т масса электрона, и R радиус пузыря.
Марис [6] теоретически рассмотрел возможность того, что в результате взаимодействия между элементарной частицей и стенками пузыря, частица может быть разделена на две или больше части, которые действуют, как если бы были части первоначальной частицы. Он разработал подробно механику этого процесса для электрона, взаимодействующего с жидким гелием. Известно, что, когда электрон введен в жидкий гелий, самая низкая энергетическая конфигурация - с электроном, находящимся в состоянии I s. Эти электронные пузыри изучались во многих экспериментах. На Рис. 1.2 энергия EIt пузыря, в котором электрон находится в is состоянии, дана как функция давления. Полная энергия пузыря вычислена, с учетом поверхностных и объемных членов в (1,2). Для каждого давления пузырь имеет равновесный радиус Rt/ Р) который минимизирует полную энергию. На том же рисунке показаны энергии Т1р nTZ2p сферических пузырей того же самого радиуса, но с электроном в более высоких энергетических состояние J р и 2 р, соответственно. Энергии, показанные в Рис. 1.2 рассчитаны для электрона, расположенного в сферическом пузыре с потенциалом V вне пузыря. Уитены также поправки на проникновение волновой функции в гелий. Эти поправки лищь немного уменьшают диаметр равновесного пузыря, до »35.8 А0 . Чтобы вычислить равновесную форму пузыря, содержащего электрон в возбужденном состоянии, необходимы следующие шаги. Принять некоторую форму для пузыря, решить уравнение Шредингера для электрона, когда потенциальная энергия, равна нулю внутри пузыря и равна V0 вне его. Затем форму пузыря следует изменить, с целью минимизировать полную энергию. Форма и полная энергия пузырей, содержащих электрон в возбужденном состоянии были рассчитаны предварительно Дювал и Силли [8]. Марис [6] рассмотрел только пузыри, форма которых имеет аксиальную симметрию. Таким образом волновая функция электрона внутри пузыря будет иметь определенное азимутальное квантовое число т, и может быть записана в виде где А( являются коэффициентами, которые необходимы, определить, P,m(fos в) связаны многочленими Лежандра, J,(kr) сферическая функция Бесселя, и k-igmE y2 / h. Как первый шаг вычисляется электронная энергия в пределе V0 - да, чтобы волновая функция ц/ обращалась в нуле на стенке пузрыря. Формы пузырей могут быть поняты качественно в терминах баланса между давлением, оказываемом электроном на стенку пузыря, поверхностным натяжением и давлением жидкости.
Низкочастотная поляризуемость диссоциирующего иона и свободного протона
Как видно из Рис. 2.1, процесс инверсии заключается в изменении знака у координаты ц и увеличении р на п. При таком увеличении угла р множитель exp (im p) умножается на — 1 в случае нечетного т и остается без изменения, если т четное. Таким образом, утверждение, что функция и является четной или нечетной относительно инверсии, означает четность или нечетность М как функции //. В частности, М будет четной функцией для состояний ag яи, 6gi . . . и нечетной для г„ ij, Sa, . . .. . Важность этих правил относительно зависимости волновой функции от угла и ее свойства быть или четной, или нечетной при инверсии вытекают из того, что эти правила справедливы для любой двухатомной молекулы с одинаковыми атомами, а не только для иона Щ. Однако, не всегда возможно разделение переменных в сфероидальных координатах. Теперь можено видить детальнее исследовать результаты расчетов для иона Щ. На Рис. 2.2 схематически показано положение низших уровней энергии для нашей задачи в зависимости от расстояния между ядрами. При этом в потенциальную энергию не включена энергия отталкивания ядер. В обозначениях, использованных на Рис. 2.2, уровни энергии каждого типа симметрии приведены в последовательности увеличения энергии при малых значениях. R без указания главных квантовых чисел в предельных случаях как при малых, так и при больших R, Относительно этих кривых можно сделать много замечаний, однако прежде всего можно отметимь, что при R -» 0 уровни сходятся к одному из следующих значений: -4, -4/22=-1, -4/ З2 = -0,444, -4 / 42 =-0,25 ридберг.... Это уровни энергии однократно ионизованного атома гелия. В самом деле, напомним, что один электрон, движущийся вокруг ядра с зарядом Z, обладает уровнями энергии — Z2 / п2 ридберг, где и — главное квантовое число. Совершенно ясно, почему имеат место эти предельные значения энергии. По мере того как ядра водорода приближаются друг к другу, их действие все более напоминает действие заряда в 2 единицы, так что задача должна становиться похожей на задачу о ионе гелия. Второе замечание состоит в том, что при R - оо уровни приближаются к одному из следующих значений: -1, -1/4, -1/9 ридберг, соответствющих уровням атома водорода,как и должны были бы ожидать. На рисунке указаны лишь те уравни, которые приближаются к значениям -1 -0.-1/4 ридберг, соответствующим значениям п = 1 и п = 2 для атома ,удаленного от иона. Теперь интересно проследить поведение различных уровней между этими двумя пределами. Можно видить, в частности, что кривая, соответствующая уровню 1 ag, соединяет наинизшее состояние объединенного атома (случай R = 0) и наинизшее состояние разделенных атомов (случай R = «э ). Однако имеется также кривая, отвечающая уровню ісг„, которая идет к наинизшему состоянию изолированных атомов, но исходит из состояния п = 2 объединенного атома. Каким образом можно понять этот факт? Ключ к его интерпретации может быть найден, если рассматривать не энергетические уровни, а волновые функции. На Рис. 2.3 представлены волновые функции состояний 1 crg и 1 ти для некоторых межъядерных расстояний. Чтобы изобразить волновые функции, иона, двигатсяь вдоль линии, соединяющей ядра, откладываем значения функции вдоль этой линии. Острые пики приходятся на положения, занимаемые ядрами. Поскольку волновые функции можно представить в виде произведения, эти простые графики позволяют п-олучить полную информацию о волновой функции. Действительно, можно россмотрить Рис. 2.1. В каждой точке на линии, соединяющей два ядра и лежащей между ядрами, га + гь=К, или Я =7. Параметр ju меняется линейно с гаУ принимая значения -/ при га=0 и / при ra=R. Следовательно, вдоль этой части пути волновая функция имеет вид L\t)M\p) и непосредственно описывает поведение функции М. (Поскольку можно дело с сг-состояниями, множитель ехр \}т р) равен / .) Таким образом, на Рис. 2.3, а для R =8 ат. ед. точка z = -4 (где z измеряет расстояние вдоль оси в атомных единицах а0; а0 -первый боровский радиус водорода) соответствует (л — -1, az = 4 соответствует // = / ; кривая между этими точками представляет M\ju). Вслед за этим рассмотрим область справа от правого ядра. Здесь ra-rb = R, или /І = /; в то время как га +гъ = R + 2 гъ, так что Л=1 +2 ra/ R и Л является линейной функцией z, меняющейся от 1 , для этог нода у правого ядра, до бесконечности при бесконечном расстоянии. Следовательно, вдоль этой части пути волновая функция имеет вид L{A)M{1 ) и непосредственно описывает поведение функции ЦЛ).
После этих пояснений рассмотрим свойства волновых функций, представленных на Рис. 2.3. Для больших значений R имеются два одинаковых пика, по одному в окрестности каждого ядра. Каждый из них соответствует волновой функции, описывающей Is-состояние атома водорода ехр (-г), умноженной на нормирующий множитель. Здесь г-расстояние, измеряемое от ядер в атомных единицах: гв— если для этого нода у левого ядра, гъ - у правого.
Корреляции в свете, рассеянном атомом водорода
Функции типа изображенных на Рис. 2.3 называются молекулярными орбиталями. Функции, подобные ехр (-га) и ехр ( гь) и представляющие атомные волновые функции, называются атомными орбиталями. Приближение, в котором молекулярные орбитали записываются в виде соотношений (2.3) и (2.4), т. е. в виде линейной комбинации атомных орбиталей, применяется весьма часто и сокращенно обозначается как ЛКАО (линейная комбинация атомных орбиталей). Эта аппроксимация дает точную волновую функцию для достаточно больших R, когда две атомные орбитали не перекрываются, однако становится неточной при меньших межъядерных расстояниях. Тем не менее и в этом случае ее еще нельзя считать совсем неудачной. На Рис. 2.4 изображены точные молекулярные орбитали и для сравнения приведена аппроксимация ЛКАО для случая R = 2 ат. ед. для двух наинизших состояний. Можно видить, что даже в этом случае аппроксимация является довольно хорошей.
Однако по мере того как R приближается к нулю, ЛКАО-аппрок-симация становится все более неприемлемой. Как видно из Рис. 2.3, д и є, при R- 0 молекулярная орбиталь / &g приближается к одиночному пику. Это соответствует волновой функции 1 s -состояния иона Не , которая равна ехр \-2 г) и экспоненциально спадает в два раза быстрее, чем функция ехр {-г), которая должна была бы получиться методом Л К АО. В связи с этим изменяется и нормировка. Возникает естественный вопрос: почему пик на Рис. 2.3, е в четыре раза выше пиков на Рис. 2.3, а ответ на этот вопрос. Пик для гелия располагается над сферической областью, радиус которой вдвое меньше радиуса, найденного для водорода, или соответственно объем ее меньше в восемь раз. Кроме того, в случае Рис. 2.3, а соответствующая волновая функция распределена на два объема, сосредоточенных каждый около одного из ядер, так что в действительности эта волновая функция располагается над объемом, в шестнадцать раз превышающим объем в случае Рис. 2.3, е. Нормировка заключается в том, что квадрат волновой функции интегрируется по объему и результат должен равняться единице. Отсюда в случае 2.3, е квадрат волновой функции должен быть в шестнадцать раз больше, чем в случае 2.3, а, или пик для волновой функции должен быть в четыре раза выше.
Таким образом, легко понять поведение функции, описывающей состояние 1 т gitpn R-+0 . Функция, отвечающая состоянию 7сгв, изменяется совершенно иначе, как это иллюстрируется на Рис. 2,3, д и е. Фактически она приближается к волновой функции 2 р- состояния иона Не соответствующей т = 0 , или, как принято обозначать, к 2 pa. Эта волновая функция записывается как г ехр [-rjcos 9, где в— угол между радиусом (в сферических координатах) и осью z . Для положительных значений z он равен нулю (в =0 ) и cos в = 1, в то время как для г отрицательных в = 180 и cos в - -1). Другими словами, поскольку г - z, вдоль оси функция 1 JU просто принимает вид zexp \ z)y для положительных Z и является продолжением этой функции для отрицательных 2. Отсюда можно понять, каким образом молекулярная орбиталь, представляемая при больших R комбинацией атомных Is- орбиталей атома водорода, может аппроксимировать 2 р -орбиталь гелия по мере приближения R к нулю.
На Рис, 2.2 показаны уровни энергии без учета энергии отталкивания ядер, равной 2 / R ридберг. На Рис. 2.5 изображены те же уровни, что и на Рис. 2.2, но с учетом сил отталкивания, можно видить, что уровень lcrg обладает минимумом энергии приблизительно при R 2 а0\ энергия в минимуме составляет около -1,2 ридберг, т. е. по мере сближения ядер из бесконечности энергия уменьшается. Иначе говоря, для разведения ядер от положения, соответствующего минимуму, до бесконечного расстояния необходимо произвести работу в количестве 0,2 ридберг. Эта величина известна под названием энергии диссоциации D. Таким образом, рассматриваемое электронное состояние стабильно и, как увидим позже, кривая на Рис. 2.5, представляющая энергию как функцию R, может рассматриваться как кривая потенциальной энергии для движения ядер. С другой стороны, состояние 1 ги характеризуется потенциалом отталкивания: энергия непрерывно уменьшается с увеличением расстояния между ядрами , Такое поведение энергетических кривых. Объясняется следующим образом (Рис. 2.2). Падение энергии уровня lcg от -/ до —4 ридберг при уменьшении R от бесконечности до нуля и обусловливает притяжение между атомами.
Гауссово перепутанное состояние как решение уравнения Шредингера для двух осцилляторов при параметрическом возбуждении
Одним из значительных событий в оптике за последние годы было экспериментальное наблюдение сжатых состояний света [25,26]. Хотя эти состояния теоретически были предсказаны уже давно, всю важность этого события можно понять, если вспомнить широко распространенную среди оптиков точку зрения, что учет квантового характера света дает лишь малые, шумовые поправки к тем явлениям, которые описываются неквантовыми уравнениями Максвелла. По существу, эта точка зрения является краеугольным камнем так называемой полуклассической теории, в которой вещество рассматривается на основе квантовых законов, а поле не квантовано, и которой столь многими успехами обязана лазерная и вообще нелинейная оптика. Теперь же после наблюдения сжатых состояний выясняется, что учет квантовой природы света приводит к качественно новым явлениям, подобным сжатым состояниям. Данная методическая заметка не является обзором работ в области сжатого света [27,28]. В ней основное внимание уделено; изложению физической картины сжатого света, его теоретическому описанию и, кратко, возможным применениям. Уделяя основное внимание этим вопросам, нам хотелось, чтобы читатель почувствовал, с одной стороны, простоту этого явления, а с другой — его довольно общий смысл. Действительно, все изложенное ниже касается состояний в основном квантовомеханического гармонического осциллятора и, естественно, справедливо по отношению к любому осциллятору, квантование которого сжатые состояния кроме оптики могут реализовыватся в таких отдаленных друг от друка областях как элементарные частицы (я -мезоны), акустика (фононы) и даже механика (механические колебания). Можно таким образом наблюдений не только сжатого света, но и сжатого звука). В принципе возможны даже сжатые состояния при колебаниях таких знакомых и даже обыденных объектов, как маятник или струда. Поэтому можно стремимть [37] выделить физическую суть явления сжатых состояний, освободив изложение от излишних технических и математических подробностей.
Гармонический осциллятор играет огромную роль в квантовой электродинамике. Роль эта обусловлена линейностью уравнений Максвелла,описы-вающих электромагнитное поле в вакууме. Благодаря это линейности электромагнитное поле в вакууме можно рассматривать как набор линейных или гармонических осцилляторов, например гаюскихволн. При этом электромагнитное поле сохраняет свои линейные свойства вплость до весьма высоких напряженностей, когда становятся заметными эффекты типа рассеяния светана свете, обусловленные рождением виртуальных электронно-позитронных пар. Современная лазерная техника показала, что в Современная лазерная техника показала, что в оптических резонаторах возможно возбуждение одного выделенного осциллятора поля — одной моды. В этом случае из-за взаимодействия поля с зеркалами резонатора область линейности осциллятора уже, чем в свободном простанстве, но все еще весьма велика. Так что область применимости теории гармонического осциллятора очене обширна.
Рассмотрим своводные колебания классического, неквантованного поля с помощью сехмы, изображенной на Рис. 3.1, удобной для перехода к квантовому случаю. На сехме изображена вероятность обнаружить то или иное значение поля в некоторый заданный момент времени, математически это вероятность(точнее, плотность вероятности) описывается величиной которую можно назвать квадратом модуля "классической" волновой функции. Фигурирующая в этом выражении -функция позволяет точно определенные величины классической теории описать языком вероятностей, свойственным квантовой механике. Действительно, в заданный момент времени t наблюдатель может обнаружить лишь одно значение поля, равное где, как и в (3,1), фигурируют всего три параметра, описывающие поле в классическом гармоническом осцилляторе: амплитуда Е0, фаза р, частота о. Таким образом распределение (3,1), изображенное на рис. 3.1, перемещается вправо — влево по гармойнческому закону с амплитудой Е0 и частотой а. \Н9 Г
Известно, что при переходе к квантовой механике классические величины, такие как координата и импульс, принимавшие определенное значение, теряют, счет определенность и описываются некоторыми распределениями Эти распределения математически описываются квадратом модуля волновой функции. Для дальнейшего важно распределение гауссова вида изображенное на том же Рис. 3.1, (кривая 2). Величина А — нормировочная константа; величина D — это то новое, что вносит квантовомеханическое описание. D — это дисперсия, т.е. среднеквадратичный разброс возможных значений электрического поля. Распределение (3,3) со временем перемещается, как и распределение (3,1), вправо — влево с амплитудой Е0 и частотой е . Если дисперсия D невелика, то ситуация не сильно отличается от классической.
Как в теории, так и в применениях важную роль играет так называемое когерентное состояние, при котором В этом состоянии как электрическое, так и магнитное поля имеют постоянные и малые неопределенности и поэтому когерентное состояние наиболее близко к классическому (3,1).
Скажем несколько слов о традиционной квантовомеханической интерпретации распределения (3,3). Считается, что при измерениях с осциллятором, находящимся в этом состоянии, может получиться любое значение поля. Однако если подобные измерения произвести со многими одинаково приготовленными осцилляторами, то результаты измерений реализуют распределение (3,3). Гораздо сложнее дело обстоит с повторными измерениями над одним объектом: это один из сложнейших вопросов интерпретации квантовой механики. На этом пути врядли можно продвинуться далеко, но, к счастью, существует возможность эти сложные вопросы оставить в стороне.
