Содержание к диссертации
Введение
Многократное рассеяние коротких волн на системе статистически независимых рассеивателей 29
I. Распространение волнового поля и его квадратичных величин в свободном пространстве 30
1.1. Уравнения Максвелла, Гельмгольца, параболическое и приближение прямых лучей 30
1.2. Распространение функции когерентности и функции Вигнера в свободном пространстве 35
2. Рассеяние волнового поля на отдельном рассеивателе.. 44
2.1. Общие соотношения 46
2.2. Тенеобразущее и преломленное поле при рассеянии волн на больших рассеивателях 51
3. Общие соотношения теории многократного рассеяния... 59
3.1. Операторные соотношения 59
3.2. Тенеобразущее и преломленное поле при многократном рассеянии 62
4. Среднее поле 67
4.1. Многократное рассеяние на малых рассеивателях.. 69
4.2. Многократное рассеяние на больших рассеивателях 76
4.3. Уравнение Дайсона в оптике рассеивающих сред..
Средние квадратичные величины поля 85
5.1. Средняя лучевая интенсивность при многократном рассеянии на малых рассеивателях 86
5.2. Средняя лучевая интенсивность в приближении геометрической оптики 91
5.3. Функция когерентности, функция Вигнера и средняя лучевая интенсивность при многократном рассеянии волн на больших рассеивателях 94
5.4. Уравнение Бете-Солпитера в оптике рассеивающих сред 101
Основные результаты IX
ГЛАВА II Многократное рассеяние коротких волн на системе коррелированных рассеивателей ... 108
I. Прохождение волн через монослой коррелированных рассеивателей НО
1.1. Корреляционные функции статистической механики ПО
1.2. Оптические характеристики рассеивающей среды в приближении однократного рассеяния волн 114
1.3. Прохождение волн через монослой больших коррелированных рассеивателей. 118
1.4. Графическое представление задачи рассеяния
волн на монослое больших рассеивателей 121
1.5. Оптические характеристики монослоя больших коррелированных рассеивателей. 126
1.6. Экспериментальные измерения оптических характеристик монослоя больших рассеивателей 134
2. Многократное рассеяние волн в протяженных средах с коррелированными рассеивателями 140
2.1. Многократное рассеяние на больших рассеивателях 140
2.2. Оптические характеристики сред со слабыми корреляциями рассеивателей 146
2.3. Модель распространения излучения в средах с большой плотностью упаковки 149
Основные результаты 151
ГЛАВА III Статистика полей и спеклов при многократном рассеянии волн на дискретных рассеивателях 153
I. Статистика волнового поля при распространении в системе больших оптически мягких рассеивателей 154
1.1. Статистика комплексной фазы 155
1.2. Статистика поля и интенсивности 157
2. Статистика волнового поля при распространении в системе больших оптически жестких рассеивателей 160
2.1. Статистика тенеобразующего поля 161
2.2. Корреляционная функция поля системы изотропных источников и флуктуации преломленного поля ... 163
2.3. Модель флуктуации оптических сигналов в средах с большими оптически жесткими рассеивателями.. 166
3. Гауссовы поля при однократном рассеянии волн на системе дискретных рассеивателей 169
3.1. Статистика комплексных полей 170
3.2. Статистика рассеянного поля 171
3.3. Статистические характеристики гауссовых полей. 178
4. 0 статистике интенсивности при некогерентном одно кратном рассеянии 182
5. Статистика поля при многократном рассеянии излучения посредством сферических волн. 184
5.1. Операторное уравнение для четвертого момента поля 185
5.2. Индекс мерцаний при многократном рассеянии сферических волн 188
5.3. Экспериментальные измерения статистических характеристик интенсивности 193
6. Индекс мерцаний при рассеянии на системе больших рассеивателей 197
7. Распределение фазы во фраунгоферовой зоне рассеивающего объема 202
8. Статистика поля при рассеянии на системе коррелированных рассеивателей. 206
9. Центр инверсии во фраунгоферовых спеклах 209
10. Эффект разделения вращательного и поступательного
движения рассеивающей среды в динамике фраунгофе
ровых спеклов 215
Основные результаты 221
Теория распространения оптических волн в турбулентной атмосфере с осадками и аэрозолем 223
I. Распространение оптических волн в турбулентной атмосфере с осадками 224
1.1. Уравнения Максвелла при распространении оптических волн в турбулентной атмосфере с аэрозолем и осадками... 224
1.2. Уравнения для высших моментов поля в приближении параболического уравнения 227
1.3. Средние квадратичные величины поля 232
1.4. Модель флуктуации интенсивности. 239
.2. Распространение оптических волн в турбулентной атмосфере с аэрозолем.. 255
2.1. Средние квадратичные величины поля 256
2.2. Приближенные стохастические уравнения 259
Основные результаты 262
Стохастическое уравнение переноса излучения 264
I. Рассеяние излучения на отдельной неоднородности 267
1.1. Уравнение переноса излучения в операторной форме 267
1.2. Оптические характеристики отдельной неоднородности 269
2. Многократное рассеяние на системе неоднородностей... 280
3. Распространение излучения в сплошных пространственно-неоднородных средах 285
3.1. Усреднение прямого ослабленного излучения 285
3.2. Усреднение ряда Неймана 290
3.3. Экспериментальные исследования прохождения узких пучков излучения в неоднородных рассеивающих средах. 292
Основные результаты 294
Методы оптической диагностики двухфазных сред при многократном рассеянии ... 296
I. Метод корреляции интенсивности 297
2. Метод малых углов при многократном рассеянии 302
3. Комплекс аппаратуры для измерения параметров осадков
на протяженных трассах... 309
3.1. Устройство, использующее метод корреляции ин тенсивности 310
3.2. Устройство, использующее метод малых углов при многократном рассеянии.. 315
3.3. Локальный измеритель параметров капель дождя ИВДАН 317
3.4. Результаты измерения параметров искусственного дождя. 320
4. Методы решения обратных задач оптики рассеивающих сред, использующие приближение прямых лучей... 324
4.1. Метод спектральной прозрачности для оптически мягких частиц, находящихся в поглощающей среде 324
4.2. Пример использования высших моментов флуктуации интенсивности для определения параметров рассеивающей среды 326
4.3. Метод определения формы и ориентации не сферических частиц по корреляции интенсивности 329
Основные результаты. 332
Заключение
- Уравнения Максвелла, Гельмгольца, параболическое и приближение прямых лучей
- Оптические характеристики рассеивающей среды в приближении однократного рассеяния волн
- Корреляционная функция поля системы изотропных источников и флуктуации преломленного поля
- Уравнения для высших моментов поля в приближении параболического уравнения
Введение к работе
В диссертации рассматривается распространение или многократное рассеяние оптических волн в средах,- состоящих из системы большого числа рассеивателей. Также в рассмотрение включены и более сложные среды, состоящие из непрерывной случайно-неоднородной среды и системы рассеивателей, например атмосфера Земли, замутненная аэрозолем или осадками. Работа содержит как теоретические результаты, так и результаты экспериментальных исследований, выполненных в лабораторных и в натурных условиях. В последней главе описана аппаратурная реализация разработанных в диссертации методов: комплекс аппаратуры по лазерной диагностике осадков.
Актуальность темы и состояние вопроса.
Разработка лазерных систем связи, навигации, зондирования природной среды, а также разработка методов исследования Земли аэрокосмическими средствами сделали актуальной задачу распространения оптических волн в сложных случайно-неоднородных средах. Для оптических волн атмосфера и гидросфера Земли являются сплошной средой со случайно-неоднородным за счет турбулентного движения показателем преломления, со взвешенной в среде системой дискретных рассеивателей (аэрозоль, гидрозоль, облака, осадки), со случайно-неоднородной (взволнованной) границей раздела вода-воздух и с неоднородной подстилаю щей поверхностью.
В диссертации рассмотрение ограничено только случайно--неоднородными средами, моделирующими атмосферу Земли. В этом случае основными факторами, влияющими на распространяющееся в среде оптическое излучение, являются: I) рассеяние и рефракция на неоднородностях показателя преломления турбулентной атмосферы; 2) рассеяние на частицах аэрозоля или осадков и 3) рассеяние на неоднородностях концентрации аэрозоля. Отметим, что задача рассеяния оптического излучения Солнца на таких неоднородностях концентрации частиц, как облачный слой атмосферы, является, кроме того, одной из центральных и актуальных проблем радиационной климатологии.
Поставленная таким образом задача распространения оптического излучения в атмосфере Земли перекрывается со следующими интенсивно развивающимися разделами физики.
Оптика рассеивающих или дисперсных сред в настоящее время составляет раздел оптики, традиционно изучающий рассеяние оптического излучения в следующих средах: I) аэрозоль земной атмосферы, включая атмосферные дымки, туманы, облака, антропогенный аэрозоль [І-5] ; 2) гидрозоль морей и океанов, состоящий из взвешенных в воде частиц неорганического и органического происхождения [б-7] ; 3) взвеси частиц с размерами порядка от микрона до миллиметра, моделирующие аэрозоль и гидрозоль в лабораторных условиях [і.б.б] ; 4) мутные стекла [в] и другие.
Работы по оптике рассеивающих (или дисперсных) сред были начаты у нас в стране под руководством Г.В.Розенберга [з,4] и интенсивно развиваются в настоящее время во многих отечественных и зарубежных научных центрах. Отметим наиболее крупные научные коллективы под руководством В.Е.Зуева и М.В.Кабанова [і] , К.Я.Кондратьева Щ , А.П.Йванова [б,б] f О.А.Волковицкого [э] . Важную роль при разработке оптики рассеивающих сред сыграли работы К.С.Шифрина [ioj по рассеянию света на одной частице. Теоретической базой большинства работ по оптике рассеивающих сред являлось уравнение переноса излучения, широко использующееся также в астрофизике [lI,I2J , в теории переноса проникающей радиации и в теории ядерных реакторов [l3,I4] . Отметим, что обычно при использовании уравнения переноса излучение трактуется эвристически, например как система фотонов или нейтронов.
Использование в оптике рассеивающих (дисперсных) сред лазеров как источников излучения сделало актуальными вопросы о применимости уравнения переноса излучения к когерентному лазерному излучению, об учете интерференции между рассеянными на системе частиц полями и о других кооперативных эффектах [з] . В настоящее время можно констатировать, что попытки ряда авторов выйти за рамки уравнения переноса в оптике рассеивающих сред за счет феноменологических поправок, учитывающих кооперативные эффекты, не привели к каким-либо существенным результатам. Эта задача требует рассмотрения на основе строгой теории многократного рассеяния волн. Отметим, что бурно развивающееся в последнее время направление по изучению распространения мощного лазерного излучения в дисперсных средах основывается не на уравнении переноса излучения, а непосредственно на волновых уравнениях для оптического поля [9,15,1б].
К оптике рассеивающих (дисперсных) сред тесно примыкает раздел оптики, названный опектроокопией рассеивающих сред.
Здесь основным объектом исследования являются рассеивающие среды с плотной упаковкой частиц, когда расстояние между частицами сравнимо с их размерами, а центральной теоретичес кой проблемой является учет влияния корреляций между положениями частиц, в том числе корреляций высших порядков, на многократно рассеянное излучение. Исследование таких сред оптическими методами является важной народнохозяйственной задачей [Г7,18] . Перечислим некоторые из задач, стоящие перед спектроскопией рассеивающих сред: определение спектральных характеристик веществ , находящихся в виде порошков или пигментов, определение размеров частиц порошков или пигментов оптическими методами, определение параметров биологических объектов со сложной внутренней структурой, оптимизация параметров инфракрасных дисперсионных светофильтров [l9-2l] , изучение образования изображения в фотографических слоях [22] и так далее. В настоящее время эти вопросы рассматриваются на основе различных модельных представлений с неясной границей их применимости. Это делает актуальным рассмотрение задачи распространения света в средах с плотными упаковками частиц также на основе строгой теории многократного рассеяния волн.
Теория многократного рассеяния волн является фактически одним из разделов математической физики, имеющим многочисленные приложения во всех разделах физики, начиная от акустики и кончая ядерной физикой. В теории многократного рассеяние волн несущественен вид излучения и рассеивателей, так как решение задачи рассеяния излучения на одном рассеивателе здесь считается известным и является параметром задачи. Для системы неперекрывающихся в пространстве рассеивателей существенными параметрами задачи становятся параметры типа xjd » где л - длина волны и с/- среднее расстояние между рассеивателями. Например, при распространении света в веществе, где рассеивателями являются молекулы, макроскопические уравнения Максвелла выводятся из микроскопических уравнений , фактически на основе теории многократного рассеяния волн [23] , Эта задача за счет значения параметра л/с/»1 оказывается аналогичной, например, задаче рассеяния низкоэнергетических нуклонов на атомных ядрах, что приводит к оптической модели ядра. Рассеяние высокоэнергетических (Л/с/«1 ) нуклонов на ядрах описывается уже упоминавшимся уравнением переноса излучения [24] и так далее.
Задача многократного рассеяния волн на системе большого числа рассеивателей, как раздел математической физики, была сформулирована в явной форме впервые, по-видимому, Л.Фолди [25] . Затем в операторной форме она была сформулирована К.Ватсоном [2б] и в квантовой механике называется теорией многократного рассеяния Ватсона. Многие авторы рассматривали эту задачу, часто независимо друг от друга, как чисто математически, так и в приложении к различным разделам физики.
(Гдругой стороны, задача многократного рассеяния волн является частью более общей проблемы распространения волн в случайно-неоднородных средах. Непрерывные случайно-неоднородные среды, в отличие от системы дискретных рассеивателей, широко используются как математические модели среды в теории плазмы, ряде разделов теории упругости и сейсмологии, теории распространения акустических и радиоволн в природной среде,в различных моделях квантовой механики. Наиболее близкими к данной диссертации являются работы по распространению оптических волн в турбулентной атмосфере [27,28] .
Большая часть работ по распространению волн в случайно--неоднородных средах посвящена вычислению средних энергетических величин поля, то есть первых двух моментных функций поля. При вычислении первого момента или среднего поля наи более трудной является проблема нахождения эффективных параметров среды типа диэлектрической проницаемости или массового оператора уравнения Дайсона [29-31] . При вычислении второго момента поля, или при исследовании решения уравнения Бете-€олпитера, наиболее важным в физическом аспекте является цикл работ ряда авторов [32-40] по установлению связи между уравнением Бете-Солпитера и уже упоминавшимся уравнением переноса излучения [ІІ-І4] • Наиболее фундаментальные результаты по этому вопросу для трехмерных рассеивашщх сред получены в работах Ю.Н.Барабаненкова [40] . В последние годы активно обсуждается связь между указанными уравнениями для одномерных сред, где эта связь выражена менее отчетливо [зі,4І-43] . Отметим, что перечисленные работы частично пересекаются с данной диссертацией, в которой уравнение переноса излучения также играет существенную роль.
Флуктуации интенсивности волновых полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, то есть высшие момен-тные функции поля, изучаются, в основном, в статистической радиофизике и в новом разделе оптики - оптике спеклов.
Теория распространения оптических волн в турбулентной атмосфере является в настоящее время одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов статистической радиофизики [27,28] . Пионерские работы в этом направлении были сделаны С.М.Рытовым, предложившим приближенный метод плавных возмущений, и А.М. Обуховым, применившим этот метод к задачам атмосферной акустики и оптики. Большое число отечественных и зарубежных учёных внесли свой вклад в разработку различных приближенных методов расчета распространения оптического излучения в турбулентной атмосфере [27,28,41,44-49] . Экспериментально обнаруженное М.Е.Грачевой и А.С.Гурвичем в 1965 г.
явление насыщения индекса мерцаний флуктуации интенсивности света при увеличении длины трассы или флуктуации показателя преломления атмосферы привело к резкому увеличению числа публикаций по теории флуктуации интенсивности света в атмосфере. Эти работы завершились созданием В.И.Татарским и В.И. Кляцкиным изящной теории, названной приближением марковского случайного процесса [28,4l] . Аналог этого приближения также широко используется в диссертации как для средних энергетических характеристик, так и для флуктуации интенсивности излучения. Отметим, что в последние годы интенсивно ведутся работы по разработке более общей теории распространения оптических волн в турбулентной атмосфере [43,50] .
Вопросы изучения флуктуации интенсивности оптического излучения, возникающих при многократном рассеянии на системе дискретных рассеивателей, наиболее естественно включаются в систему представлений и понятий, развитых в недавно созданном разделе оптики - оптике спеклов.
Оптика спеклов - это раздел оптики, изучающий пятнистую структуру или спекл-структуру (от английского слова speckle -- пятнистость) интенсивности, в основном, лазерного излучения, отраженного от шероховатых поверхностей, прошедшего слой случайно-неоднородной среды и так далее. Этот раздел оптики существует всего около десяти лет. Действительно, в 1973 г. журнал Applied Optics t а в 1974 Г. журнал Journal of the Optical Society of America ввели новую рубрику: Speckle • В настоящее время такая рубрика имеется во всех зарубежных оптических журналах, причем число публикаций в них ежегодно увеличивается. Интерес к оптике спеклов объясняется тем, что она дала ряд новых удобных экспериментальных методов исследования шероховатости поверхностей, их перемеще ний, вибраций, напряжений, деформаций и тому подобное. Сейчас по оптике спеклов имеется несколько монографий и специальных выпусков оптических журналов [51-55] .
В теоретическом отношении работы по оптике спеклов базируются на определенных математических моделях, которые,как правило, не обосновываются. Для системы дискретных рассеива-телей, рассматриваемых в диссертации, теория многократного рассеяния волн позволяет в большинстве случаев рассчитать флуктуации интенсивности излучения, что приводит в одних случаях к известным в оптике спеклов математическим моделям, а в других дает новые результаты. Полученные таким образом результаты, кроме того, в ряде случаев оказываются аналогичными ряду результатов по флуктуациям поля, изучаемыми в статистической радиофизике.
В отмеченных выше разделах физики рассматривается распространение волновых полей в случайно-неоднородных средах. В последние годы потребности радиационной климатологии, а также теории ядерных реакторов и теории распространения проникающей радиации в веществе,сделали актуальной задачу распространения излучения, описываемого корпускулярными моделями, например как систему фотонов или нейтронов, в случайно-неоднородных средах. Математически задача сводится к исследованию момент-ных функций стохастического уравнения переноса. В радиационной климатологии, изучающей прохождение солнечного излучения через облачный покров Земли, эта задача названа оптикой стохастически неоднородных СТРУКТУР [бб] . В теории ядерных реакторов она относится к проблеме гомогенизации, то есть определения эффективных коэффициентов, гетерогенных реакторов [б1/}. В настоящее время в этом разделе физики используются различные приближенные методы с неясной границей их применимости.
Более последовательно эта задача рассматривается в диссертации на основе общих методов усреднения линейных стохастических уравнений, разработанных в задачах распространения волн, и общих соотношений теории многократного рассеяния.
Мы отметили активно развивающиеся актуальные разделя физики, с которыми частично пересекается данная диссертация, в основном, за счет теоретических результатов. Отметим актуальность экспериментальной и прикладной части работы.
Экспериментально статистические характеристики лазерного излучения в настоящее время изучаются, в основном, при распространении лазерных пучков в чистой турбулентной атмосфере [27,28,44-49] , или при их отражении от шероховатых поверхностей [51-55] . Экспериментальных данных по статистическим характеристикам лазерного излучения, многократно рассеянного на системе дискретных рассеивателей, в литературе практически нет. Такие данные нужны как для качественной проверки теории распространения оптических волн в рассеивающих средах, так и для количественного определения входящих в теорию . параметров. Эти данные, в частности, нужны для прямой задачи распространения лазерных пучков в атмосфере, замутненной аэрозолем или осадками, которая, как уже отмечалось, важна для расчета параметров и оптимизации лазерных устройств связи, навигации и зон дарования, проектируемых для работы в атмосфере или гидросфере.
Решение обратной задачи многократного рассеяния, то есть разработка методов определения параметров рассеивающей среды по характеристикам рассеянного излучения и их аппаратурная реализация, является другой, не менее важной, народнохозяйственной задачей.
Действительно, громадное число технологических процессов использует двухфазные среды, когда одна из компонент среды находится в диспергированном состоянии, то есть состоит из системы дискретных частиц, Свда относятся процессы сжигания твердого или жидкого топлива, процессы в ряде химических, биохимических или биологических реакторов и многие другие процессы. Для контроля и управления такими технологическими процессами требуется аппаратура для оперативной диагностики дисперсности среды, то есть концентрации частиц и их распределения по размерам. Существующие оптические методы решения таких обратных задач разработаны в настоящее время в приближении однократного рассеяния и пригодны, следовательно, только для достаточно тонких слоев двухфазных сред [58,59] . Разработка методов и создание аппаратуры по оптической диагностике дисперсности двухфазных сред с произвольной оптической толщей позволит автоматизировать управление такими технологическими процессами.
В диссертации в этом плане наиболее подробно разработаны методы определения параметров искусственных дождей, создаваемых дождевальной техникой при искусственном орошении, и описана аппаратурная реализация этих методов. Отметим актуальность этой задачи. Дождевальная техника разрабатывается и создается Министерством мелиорации и водного хозяйства СССР и поставляется на предприятия сельского хозяйства и другие отрасли народного хозяйства. Основной технической характеристикой дождевальной установки является распределение капель дождя по размерам и скоростям. Действительно, увеличение размеров или скоростей капель относительно оптимальных приводит к эрозии (разрушению) почвы, что делает ее за несколько лет искусственного полива неплодородной. С другой стороны, уменьшение размеров капель также неэкономично, так как приводит к пере расходу воды и другим технологическим трудностям. В результате, в процессе испытаний и доводки новой дождевальной техники требуется оперативный контроль за параметрами дождя. В настоящее время у нас в стране нет аппаратуры для оперативной диагностики параметров дождя, единственным исключением является созданная в единственном экземпляре во Всесоюзном научно-иоследовательском институте по механизации и технологии полива ММЖ СССР (г.Коломна) аппаратура "Спектр", позволяющая в полуавтоматическом режиме определять размеры и скорости одиночных капель, пролетающих в фиксированной точке пространства. Таким образом, создание автоматизированной аппаратуры по диагностике дождя не в фиксированной точке пространства, а на протяженных трассах является важной задачей.
Цель работы.
1. Сформулировать и рассмотреть оптику рассеивающих (дисперсных) сред как раздел тесрии многократного рассеяния волн.
2. Провести экспериментальные измерения статистических характеристик лазерного излучения при рассеянии на системе дискретных рассеивателей.
3. Разработать теорию распространения оптического излучения в турбулентной атмосфере с аэрозолем и осадками.
4. Разработать новые методы ж создать аппаратуру по оптической диагностике двухфазных сред, в том числе атмосферных осадков.
Теоретический метод, используемый в работе.
Практически все теоретические результаты, полученные в диссертации, базируются на общих соотношениях теории многократного рассеяния волн. Эти соотношения для сред с дискретными рассеивателями дают определенные преимущества по сравне
нию с методами, используемыми в теории распространения волн в непрерывных случайно-неоднородных средах. Рассмотрим эти соотношения.
Распространение волн в неоднородной среде описывается следующим операторным уравнением:
(Ь-1/)ф = 0 , »
где L - линейный оператор, описывающий распространение волнового поля ф в однородном пространстве, а оператор / описывает неоднородную рассеивающую среду. В случае произвольного разбиения оператора V на сумму операторов ]/ , где о™ Vj определи j -й рассеивав, задача (I) может рассматриваться как задача многократного рассеяния:
(L -ZVj) Ф =0 . «
В этом случае выделим решение задачи рассеяния на отдельном рассеивателе:
(L -Ц) 0j =0 (3)
посредством Т - матрицы:
ty = fy + Ф, = Фо + Ь Т; Ф0 • (4)
В выражении (4) записана суперпозиция падающего 0О и рассеянного ф. поля. Т- матрица определяется операторным уравнением:
С учетом (5), решение уравнения (2) записывается в виде системы /\f-f-/ уравнений, где Л/ - число слагаемых V; ;
Ф-Ф0 ь1щ (6)
&--Фо+Е теФе .
Вспомогательные поля 0- называются эффективными или возбуждающими полями.
Итерации уравнений (6) дают ряд по кратности рассеяния:
Этот ряд имеет прозрачный физический смысл: второе слагаемое есть однократно, третье - двукратно и так далее рассеянное поле.
Операторные соотношения (6),(7) введены К.Ватсоном J26] и называются в квантовой механике теорией многократного рассеяния Ватсона. В действительности мы будем трактовать их шире, как общие операторные соотношения, дающие решение любых линейных операторных уравнений типа (2). В частности, в диссертации в главе У эти соотношения применяются к решению стохастического уравнения переноса, где величина 0 уже не является волновым полем.
Научная новизна.
Оптика рассеивающих (дисперсных) сред выделена из общей теории многократного рассеяния волн простым условием: \«d9 где Л - длина волны падающего излучения, а/ - среднее расстояние между рассеивателями ( cf=c 3 , С - счетная концентрация рассеивателей). По сравнению с общей теорией многократного рассеяния волн, охватывающей как случай Х«с/, так и случай л »с/ (характерный, например, для электродинамики сплошных сред), это условие позволило выделить оптику рассеивающих сред в более простой в математическом отношении, но физически содержательный раздел оптики, имеющий прозрачную физическую интерпретацию. В частности показано, что для разреженных сред а «с/ ( of - размер рассеивателей) оптика рассеивающих сред описывается универсальными аналитическими выражениями для среднего поля и средних квадратичных величин поля как для малых ( о/« я ), так и для больших ( с/»Л ) рассеивателей, независимо от того, находятся они в волновой или ближней зоне друг друга» Полученные выражения физически можно интерпретировать, двумя способами, в зависимости от того, рассматриваются средние квадратичные величины поля в виде функции когерентности Г или в виде функции Вигнера W . Показано, что, с одной стороны,функция Вигнера подчиняется уравнению переноса излучения, где элементарным рассеивающим объемом является одна частица. Дифракция падающего поля при распространении в среде при этом учитывается автоматически за счет граничных условий для функции Вигнера, С другой стороны, функцию когерентности Г в среде можно интерпретировать как результат взаимного затенения частицами ДРУГ друга с сечением, равным сечению экстинции. Оптическая толща среды имеет смысл средней кратности затенений. Эти результаты снимают обсуждающиеся в литературе по оптике рассеивающих сред вопросы об учете интерференции рассеянных волн, об учете дифракции падающего поля при его распространении в рассеивающей среде, о предельном переходе к большим рассеива-телям, когда они в ближней зоне затеняют друг друга, о физическом смысле понятия элементарного рассеивающего объема,
В диссертации для случая больших а » Л рассеивателей в общем случае введено разделение многократно рассеянного поля на две качественно отличающиеся друг от друга части: тенеобразующее и преломленное поле. На большом материале, содержащемся во всех главах диссертации, показано,что эти понятия имеют общефизическую значимость, так как позволяют дать простую и наглядную физическую интерпретацию рас пространению излучения в любых рассеивающих средах, содержащих большие рассеиватели.
Разработана теория распространения волн в средах с большими а Л рассеивателями при их плотной упаковке:
d а • При этом показано, что первые два момента поля описываются простыми формулами приближения, называемого в диссертации приближением прямых лучей. Введены понятия факторов эффективности экстинции и рассеяния для лучей, пересекающих рассеиватели. Эти понятия позволили поставить и , в определенной степени, ответить на следующие вопросы: I) когда увеличение числа рассеивателей приводит к увеличению прозрачности среды?; 2) увеличится или уменьшится прозрачность среды с данной счетной концентрацией рассеивателей, если ввести корреляции между рассеивателями? Создана элементарная и, в значительной степени, законченная теория для монослоя рассеивателей с плотной упаковкой, подтвержденная проведенными в работе экспериментальными измерениями. Полученные результаты позволили систематизировать и проинтерпретировать работы других авторов по этим вопросам в спектроскопии рассеивающих сред.
Теоретически и экспериментально исследованы флуктуации интенсивности лазерного излучения (спеклы) при многократном рассеянии на системе дискретных рассеивателей для большинства практически важных ситуаций: рассеиватели находятся в волновой или ближней зоне друг друга; излучение фокусируется в среде; приемник излучения находится на произвольном расстоянии от рассеивающей среды. Прослежена аналогия полученных результатов с результатами, известными в статистической радиофизике и оптике спеклов.
Рассмотрены особенности определенного класса спеклов, известного как фраунгоферовы спекли: эргодичность относительно пространственной переменной, разделение вращательного и поступательного движения среды в динамике спеклов, условия появления в спеклах центра инверсии. Предложено использовать эти особенности для решения обратных задач статистической оптики рассеивающих сред.
Построена теория распространения света в турбулентной атмосфере с осадками на основе теории многократного рассеяния волн. Показано, что моменты тенеобразующего поля подчиняются уравнениям приближения марковского случайного процесса, а моменты преломленного поля определяются решением стандартного уравнения переноса излучения. Так как для характеристик флуктуации интенсивности в приближении марковского случайного процесса нет компактных аналитических выражений, в диссертации предложена простая модель флуктуации интенсивности в таких средах, хорошо согласующаяся с известными экспериментальными данными.
Задача распространения света в турбулентной атмосфере с оптически плотным аэрозолем сведена к стохастическому уравнению переноса, то есть уравнению переноса излучения с коэффициентами, являющимися случайными функциями в пространстве.Мо-ментные функции лучевой интенсивности стохастического уравнения переноса рассмотрены на основе общих соотношений теории многократного рассеяния, а также стандартных методов усреднения линейных стохастических уравнений. Показано, что средняя лучевая интенсивность для сред типа разреженной кучевой облачности описывается нестохастическим (гомогенизированным) уравнением переноса с коэффициентами, расчет которых проведен на ЭШ.
Разработанная в диссертации система физических представ лений, а также совокупность полученных теоретических и экспериментальных результатов, образуют новое научное направление - статистическую оптику рассеивающих (дисперсных) сред.
Практическое значение.
Полученные в работе результаты составляют теоретическую основу для численного расчета параметров лазерного излучения, распространяющегося в реальной атмосфере, так как позволяют учесть совместное влияние на параметры излучения таких факторов как рефракция и рассеяние света на турбулентных неодно-родностях показателя преломления, многократное рассеяние на частинах аэрозоля или осадков и рассеяние на неоднородностях концентрации аэрозоля. Такие расчеты нужны для создания инженерных методик учета влияния атмосферы или гидросферы на работу лазерных систем связи, навигации или зондирования.
Основное внимание с точки зрения практических приложений в диссертации уделено разработке новых методов решения обратных задач в оптике рассеивающих сред, то есть методов определения концентрации и распределения по размерам частиц среды по характеристикам оптического излучения, распространяющегося в этой среде. Перечислим предложенные автором и проверенные в лабораторных условиях новые методы, описанные в диссертации.
1. Метод корреляции интенсивности для определения распределения по размерам больших cf Л частиц на протяженных трассах в условиях многократного рассеяния.
2. Обобщение метода малых углов для определения распределения по размерам больших частиц на случаи: а) произвольных оптических толщ; б) произвольного падающего излучения; в) наличия турбулентной атмосферы.
3. Обобщение метода спектральной прозрачности для опре деления распределения по размерам частиц на случай произвольных оптических толщ и больших оптически мягких частиц.
4. Метод использования высших моментов флуктуации интенсивности для определения распределения по размерам больших частиц в условиях многократного рассеяния.
5. Метод определения формы и ориентации больших несферических частиц по корреляции интенсивности в двух пересекающихся пучках.
Первые два метода легли в основу разработанного и созданного под руководством автора комплекса аппаратуры для измерения параметров искусственных дождей на протяженных трассах. Комплекс аппаратуры состоит из трех устройств.Уст-ройство для измерения параметров осадков на протяженных трассах, использующее метод корреляции интенсивности, предназначено для определения распределения капель по размерам в дождях с диаметром частиц больше 0.3 мм. Устройство для измерений параметров дождя на протяженных трассах с диаметром капель меньше 0.3 мм использует малоугловой метод при многократном рассеянии. Для калибровки указанных устройств, а также для независимых измерений параметров дождя в локальном объеме, создано третье устройство - ИКДАН. Устройство ЩДШ измеряет те же характеристики дождя, что и отмеченная выше система НШИМТП "Спектр", но значительно превосходит "Спектр" по технологическим характеристикам и по уровню автоматизации.
Комплекс аппаратуры прошел полевые испытания в 1979--1983 г.г. на стендах предприятий п/я Р-6766, п/я М-5539 и ВЕЛО "Радуга" и внедрен на предприятиях п/я М-5539 и ШЛО "Радуга".
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается: а) сопоставлением и согласованностью теоретичес ких результатов автора с близкими результатами, полученными в отмеченных выше разделах физики; б) параллельным выполнением по ряду вопросов как теоретических, так и экспериментальных исследований; в) созданием действующих макетов аппаратуры, использующих предложенные в работе метода решения обратных задач статистической оптики рассеивающих сред. Автор выновит на защиту следующие основные положения;
1. Оптика разреженных а «с/ рассеивающих сред л «сУ относительно средних квадратичных величин поля описывается уравнением переноса излучения, где элементарным рассеиваю-щим объемом является одна частица. Все волновые свойства излучения учитываются в этом уравнении автоматически,
2. Для системы больших а »Л рассеивателей многократно рассеянное поле состоит из двух качественно отличающихся друг от друга частей: тенеобразующего и преломленного поля, Тенеобразующее поле существенно при небольших углах рассеяния и определяет высокочастотные флуктуации интенсивности излучения в таких средах.
3. Прозрачность среда, состоящей из больших рассеивателей, в том числе при плотной упаковке рассеивателей, а также малоугловая часть рассеянной лучевой интенсивности, описываются приближением прямых лучей.
4. Статистика поля, многократно рассеянного на системе дискретных рассеивателей, изменяется от логарифмически пуас-соновской, когда рассеиватели находятся в ближней зоне,до гауссовой при переходе в волновую зону. При этом поле в общем случае будет некруговым гауссовым полем. Оно становится круговым гауссовым в области, где можно пренебречь средним полем.
5. Поступательное и вращательное движение рассеивающей среды разделяются в динамике фраунгоферовых спеклов: вращение спекл-структуры относительно оптической оси происходит с угловой скоростью вращения среды, независимо от положения центра вращения. Поступательное движение влияет на время жизни пятен,
6. При распространении оптических волн в атмосфере с осадками высокочастотные флуктуации интенсивности определяются слоем частиц осадков толщиной 02/л , примыкающим к приемнику излучения.
Распространение оптических волн в атмосфере с осадками в зоне прямой видимости описывается известным приближением марковского случайного процесса, при этом к коэффициентам уравнений для моментов поля, определяемых турбулентной атмосферой, следует добавить коэффициенты, определяемые через геометрические тени частиц.
7. При распространении оптических волн в атмосфере с аэрозолем низкочастотные флуктуации интенсивности определяются стохастическим уравнением переноса. Усреднение стохастического уравнения переноса для сред типа разреженной кучевой облачности приводит к детерминированному уравнению переноса с коэффициентами, определяемыми решением задачи :..-; рассеяния на одной неоднородности.
Распределение материала по главам. Б I главе диссертации разрабатываются физические представления статистической оптики рассеивающих сред в случае статистической независимости рассеивателей, а также вводятся понятия тенеобразующе-го и преломленного поля. П глава посвящена средам с плотной упаковкой рассеивателей. В Ш главе рассмотрена статистика полей и спеклов при многократном рассеянии. Вопросы распространения света в турбулентной атмосфере с аэрозолем или осадками излагаются в ІУ главе, В У главе рассмотрены вопросы усреднения стохастического уравнения переноса. В УІ главе излагаются методы решения обратных задач статистической оптики рассеивающих сред и описан комплекс аппаратуры по лазерной диагностике осадков. Разделы: апробация результатов, публикации и личный вклад автора вынесены в заключение. Приложение содержит материалы, отражающие внедрение аппаратуры и результатов работы.
Нумерация ФОРМУЛ. В диссертации принята нумерация формул внутри параграфа, двойная нумерация означает формулу из другого параграфа этой же главы (например, 2.34 - формула 34 § 2), а тройная - формулу из другой главы (например, 2.3.45 - глава 2, § 3, формула 45).
Благодарности. Многие сотрудники Института оптики атмосферы СО АН СССР, в котором выполнена эта работа, помогли при ее выполнении, особенно в экспериментальной части. Всем им автор выражает свою благодарность.
Глубокую благодарность и признательность автор выражает В.Е.Зуеву, М.В.Кабанову и С.Д.Творогову за постоянную поддержку на всех этапах выполнения работы.
Глубокую благодарность автор выражает также Н.И.Вагину, С.Н.Волкову, А.В.Ивонину, Ф.П.Паршину, О.А.Реутовой, с которыми выполнена значительная часть этой работы, и В.П.Арсено-вой за большую работу по ее оформлению.
Уравнения Максвелла, Гельмгольца, параболическое и приближение прямых лучей
Распространение произвольного волнового поля в свободном пространстве определим в общем виде операторным уравнением: 1Ф = $ , (I) где ф - волновое поле, а - источник излучения, L -- линейный оператор соответствующего уравнения. Решение уравнения (I) записывается через пропагатор или функцию Грина: Ф =Z" (2)
В большинстве задач распространения волн удобнее рассматривать не все пространство, а некоторую его область Р . Тогда влияние источников излучения, находящихся вне этой области, можно определить значением поля Ф5 на границе S . Например, излучение от конкретного источника чаще бывает удобнее задавать не функцией Ц , а значением поля Ф$ на выходной апертуре. В теории дифракции Кирхгофа поле ф3 задается приближенно в плоскости затеняющего экрана и так далее. Решение уравнения (I) примет вид: ф =Z"V +&Фз , (3) где - поверхностная функция Грина.
Приведем конкретные выражения для величин L, Ф, а Отметим, что в диссертации рассматриваются только монохрома - ЗІ тические поля, у которых зависимость от времени задается множителем ехр(- і cot) , со - круговая частота. В дальнейшем этот множитель везде опускается.
Наиболее общими для оптики рассеивающих сред являются уравнения Максвелла для векторов напряженности электрического (г) и магнитного Н(г) поля. В свободном пространстве можно ограничиться уравнением только для Е (г) 9 в результате в координатном представлении имеем: Ф = 1(F) L = - rot rot + кг (4) к2 і 4Х/Г-ГЧ где к = со/т) $ т) - скорость света, / - матрица с единичными компонентами, вектор Н(г) выражается через Е( ) соотношением: LkH = rot Е .
Во многих случаях, например, при распространении света в турбулентной атмосфере, при дифракции электромагнитных волн под малыми углами и так далее, поляризация излучения несущественна при решении задачи распространения. В этом случае вместо уравнений Максвелла можно пользоваться скалярным уравнением Гельмгольца:
Уравнение Гельмгольца также лежит в основе задач распространения волн в акустике и, как приближение, во многих разделах квантовой механики. В дальнейшем мы будем широко использовать аналогии с этими разделами физики.
Существует большой круг практически важных задач,когда скалярное поле Ф (г) уравнения (5) слабо отличается от плоской волны ескх t распространяющейся в направлении оси х . Выделяя этот множитель: Р(г) = и(г)е х (6) получаем для поля U(F) приближение параболического уравнения: ф = U(r) L - 2ск 3- + А, =2ск -г— + -%—z + -Ц— - /7ч дя 1 дх ду2 dzz {7) _ Н(х -х ) г и (J -jQ ) 7 4я(х-х ) L 2(х-х ) J G- = ZikL"1. где Н - функция Хэвисайда: Н (х) = і при х о Н (х) = о при х О J5 - у Z - поперечные координаты. Поверхностная функция Грина G- преобразует поле, задаваемое в плоскости х = cons і Параболическим уравнением описываются многочисленные задачи радиофизики, объединенные термином "квазиоптика", и когерентной оптики, практически в приближении параболического уравнения получены все основные результаты по дифракции волн под малыми углами на объектах с поперечными размерами, превышающими длину волны и тзк далее, В данной диссертации пара?- ;. болическое уравнение будет основным математическим инструментом для получения замкнутых выражений.
При распространении или дифракции волн в свободном пространстве на расстояниях х« к а2 , где а - размеры диафрагмы или рассеивающего объекта, можно в уравнениях (7) при интегрировании по плоскости х = const пользоваться широко известной формулой стационарной фазы, смотри например [60] . Это эквивалентно следующему приближению: Ф = и(г) оос
Приближение (8)-наиболее простое приближение в задачах распространения волн, имеющее прозрачный физический смысл. В частности, в свободном пространстве оно соответствует сохранению поля и (г) вдоль луча fi = const Использование приближения (8) в задаче распространения волн в пространственно неоднородной среде приводит только к дополнительному набегу комплексной фазы на луче /)=const
Оптические характеристики рассеивающей среды в приближении однократного рассеяния волн
Приближение однократного рассеяния волн широко используется в различных разделах физики [26,28,61,163-165] . В частности, именно на этом приближении основаны все работы по экспериментальному измерению корреляций в расположении атомов и молекул в веществе при облучении вещества проникающей радиацией (рентгеновские, у -лучи, нейтроны). Оно записывается как первый член разложения по кратности рассеяния (1.3.5): Ф= t 0+Y,L-1Tj(t 0 U8) и применимо к средам с малыми оптическими толщами с«1
В данной главе будет рассматриваться только следующая постановка задачи, направленная на получение оптических характеристик рассеивающей среды в рамках первых двух моментных функций поля. Плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, падает на протяженную среду с плоскими границами x7 2-const. Для квадратичных величин поля будем пользоваться следующей терминологией. Б рамках уравнения Гельмгольца, а следовательно и параболического уравнения, плотность энергии поля (или плотность числа фотонов) будем называть интенсивностью излучения У (г): 7 = / /2 =С+]?=/У(г,Я)с/Я (19) С = / Ф /; D= l lz - / /z. (20)
Интенсивность излучения делится на две части: когерентную С и некогерентную J) , посредством соотношений (20). Кроме того, плотности числа фотонов в данной точке сопоставляется их распределение по направлениям распространения. Это распределение задается положительной лучевой интенсивностью J(r,Q) . При падающей плоской волне лучевая интенсивность когерентной части сингулярна как функция телесного угла, она содержит мно-жителем J1 - функцию: (&-7) » где / - (%0t0)- вектор, направленный по оси х Несингулярная относительно телесного угла часть является лучевой интенсивностью некогерентной части.
Когерентная часть интенсивности С является важной оптической характеристикой и называется прозрачностью среды. Важную роль при оценке прохождения излучения играет также лучевая интенсивность некогерентной части под небольшими углами рассеяния, так как она играет роль помехи при измерении прозрачности. В литературе даже используется специальный термин "инструментальная прозрачность", учитывающий влияние этой помехи.
Подставляя (18) в (19) получим для интенсивности излучения выражение, справедливо как для протяженных рассеивающих сред, так и, в частном случае, для монослоя:
где отрезок прямой - падающее поле или пропагатор / , о - Т-- матрица j - го рассеивателя, под каждым из пяти 7S членов в (21) стоит число слагаемых, где N -- число рассеивателей, нижней линии соответствует комплексно сопряженное поле ф " , связка между линиями обозначает совпадение индексов j у операторов Tj
Усредним разложение (21) по конфигурациям системы рассеивателей. Нам нет необходимости проводить вычисления, так как с учетом физического смысла слагаемых и результатов главы I непосредственно получаем:
Здесь 70 - интенсивность падающего поля, Члены У7 ж 72 описывают интерференцию падающего поля с рассеянным полем каждого рассеивателя, константа с определена выражением (1.4.22), а ґ-С(Ґх - оптическая толща. Выражение (23) является следствием оптической теоремы для одного рассеивателя (1.2.17). В выражении (24) складываются интенсивности полей, рассеянных на отдельных рассеивателях. Поэтому в (24) входит ядро уравнения переноса излучения (1.5.12), где положено ё Тzz 1 и для упрощения принято, что среда однородна с концентрацией рассеивателей С = const . Перейдем к последне му слагаемому , описывающему интерференцию между рассеянными полями и зависящему уже от двухчастичной функции распределения (2). Для того, чтобы включить в рассмотрение системы с переменным числом рассеивателей, запишем поле (18) вместо суммы в виде интеграла, включающего микроскопическую плотность системы (6):
Среднее поле и когерентная часть интенсивности (20) равны: где знак статистического усреднения ,.. введен в диаграммы, а величина —— есть среднее рассеянное поле. Для некогерентной части получаем: где первое слагаемое в (28) совпадает с членом 7$ , а в последнем слагаемом волнистой линией обозначена функция/V c , где о - радиальная функция (15), Сравнивая выражения (21), (27) и (28), получаем:
Радиальная функция системы рассеивателей входит в данном приближении только в некогерентную часть интенсивности. Именно на измерении лучевой интенсивности некогерентного излучения под сравнительно большими углами, где можно пренебречь когерентной частью, основан широко используемый метод измерения радиальной функции в веществе при облучении вещества рентгеновскими лучами, нейтронами или электронами
Корреляционная функция поля системы изотропных источников и флуктуации преломленного поля
Прежде чем переходить к флуктуалиям преломленного поля, рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Найдем корреляционную функцию поля в неограниченной среде, заполненной независимыми изотропными источниками сферических волн.
Пусть точечный источник излучения генерирует сферическую волну еСР/Г , где величина р =k+L?{ комплексная, то есть в среде присутствует поглощение. Функция когерентности, образованная системой таких независимых источников, имеет вид:
Таким образом получаем, что радиус корреляции поля в этом случае имеет порядок длины волны. Перейдем к преломленному полю:
Выражение (12) является одним из общих соотношений теории многократного рассеяния (1.3.4). Оно показывает, что преломленное поле является суперпозицией полей, образованных пре-образованием так называемых возбуждающих полей ф. посред-ством преломляющих операторов R- . Эти поля вблизи рас-сеивателей х а образует при интерференции с падающим или тенеобразующим полем мелкомасштабную структуру интенсивности с размером пятен Сґ « а 9 которые обычно не регистрируются приемниками излучения. На расстояниях х » а эти поля образуют сферические волны, причем фазы этих волн хаотически распределены в интервале /"#, 2я] . Напомним, что при небольших кратностях рассеяния в направлении рассеяния вперед, когда еще могут быть регулярные соотношения между фазами волн / R- 0 , преломленное поле пренебрежимо мало по сравнению с тене образующим. Таким образом, при х»а преломленное поле будет соответствовать модели независимых источников излучения, рассмотренной выше. Отличие от формулы (9) будет в появлении под знаком интеграла сравнительно медленно изменяющегося сомножителя, учитывающего изменение возбуждающего поля. Этот множитель скажется только на значение константы В в выражении (II), а корреляционная функция поля (среднее поле в этом случае равно нулю) сохранит вид выражения (II) и будет иметь радиус корреляции порядка длины волны.
В связи с этим интересно отметить работу Ю.Н.Барабанен-кова [l72] , где вычислялась корреляционная функция поля при глубинном режиме, исходя из общего уравнения Бете-Солпи-тера. Выражение, полученное в [172] , отличается от выражения (II) только константой В . Это легко понять, так как при глубинном режиме, как и в нашем случае преломленного поля, можно пренебречь когерентными эффектами, следовательно к ним применима модель системы некогерентных источников излучения.
Таким образом показано, что флуктуации поля и интенсивности, связанные с преломленным полем, обычно не регистрируются за счет пространственного усреднения интенсивности приемниками излучения. Флуктуации сигналов квадратичных прием ников при распространении излучения в среде с большими оптически жесткими рассеивателями связаны с флуктуациями тене-образущего поля. Оптический сигнал обычно представляется в виде линейного функционала от лучевой интенсивности: Q =foc (rf Я) 7(г, Я) dr d9 , Ш где ос - аппаратная функция прибора. Моментные и корреляционные функции лучевой интенсивности, определяющие моменты и кумулянты оптического сигнала (17), находятся из модели (13) тривиальным образом. Также нетрудно записать, с учетом (8), и многоточечные плотности распределения вероятностей. Например, одноточечный закон для лучевой интенсивности на луче, пересекающим источник излучения, имеет вид: р(?)=е-"х(7-1)+(1-ес х)Р(1- Зп ) 18) Если на луче расположен приемник, принимающий излучение в широком интервале углов, то плотность распределения оптических сигналов несколько изменится: р(А) = е csxf(A- An -A0h(1-e"x)$(A - А„ ) , (19) где A0 = 7lc(r, Я0); А„ =J ln(r,Q) c(r, 9)dS. В заключение рассмотрим зависимость индекса мерцаний интенсивности от оптической толщи среды /t=csx при распространении плоской волны через слой непоглощающих рассеи-вателей. Отметим, что интенсивность излучения определится плотностью распределения (19) при о( = I. дисперсия интенсивности будет определяться тенеобразую-щим полем. Из выражения (2) имеем: Средняя интенсивность равна: - e 2 + 7n . (2i) Определим интенсивность преломленного поля. Так как мы приняли, что рассеиватели не поглощающие, то на преломленное излучение уходит доля энергии падающего поля, равная
Эта энергия распределяется довольно сложным, но близким к изотропному, образом по направлениям рассеяния. Если принять, что это распределение изотропно, то измеряемая величина 7П соответствует доле телесного угла, вырезаемого приемником излучения. Например, если фотоприемником является маленькая диафрагма перед фотоумножителем, не снабженная приемной оптикой, то естественно принять эту долю как 1/2. В общем случае обозначим эту величину буквой
Уравнения для высших моментов поля в приближении параболического уравнения
Рассмотрим многократное рассеяние на системе пуассоновс-ких центров, когда рассеянные поля являются сферическими волнами. Этот случай реализуется для малых ка«1 рассеивате-лей и для больших к а » / рассеивателей, если они находятся в волновой зоне друг друга: с/ » kaz . Математически условие перехода к сферическим волнам соответствует приближению (1.4.8) для Т - матрицы: Tj (F, г ) = -4x ?(F-F Jftr-ry)4 (Q, А,; , (8) где /. - амплитуда рассеяния. Для точек наблюдения, находящихся внутри рассеивающего объема, большинство диаграмм легко оценивается, как и в разделе 3.2 данной главы и в разделах 4.1 и 5.1 главы I, при помощи формулы стационарной фазы.
Например, рассмотрим первый член разложения кумулянта 20 / ге "к г - jc/e ikx f / го V /г-г /г 2 к ,j,x x (9) - 189 Из условия сферичности рассеянных волн следует условие If/z/ I . Поэтому нижняя граница интегрирования в (9) „а РавН0Й /// , «. вд м-х рассеве-лей дает ошибку порядка C0f5«1 . Б результате получаем оценку: Iff l etrf/? (10) тогда как для аналогичного члена я J имеем: xjb] - с(Ґя її и Сравнивая члены с одинаковой кратностью рассеяния для кумулянтов Xff и XZo получаем:
Диаграммы типа 4 в разложении (7) также оказываются малы из-за дополнительного осциллирующего множителя в интегралах по сравнению с диаграммой той же кратности рассеяния в кумулянтах ХГ1 . В частности, прюоценке диаграммы 4 можно воспользоваться формулой (2.II). диаграммы типа 5 описывают флуктуации интенсивности за счет некогерентного рассеяния. Не прибегая к оценкам из физического смысла ясно, что относительные флуктуации таких аддитивных величин падают с ростом числа слагаемых как А/"7 .В частности, это сразу следует в приближении однократного рассеяния, где .1 сго1 Xn N и J3 N
В результате получен следующий качественный результат. В случае многократного рассеяния посредством сферических волн результирующее поле внутри рассеивающего объема является круговым гауссовым полем с ненулевым средним значением т 10
Величины Xf0 и х„ , характеризующие такое поле,рассмотрены в главе І. В частности, среднее поле равно: ft,0 = Ф = Ф0 Є , (12) - 190 где ф0 - поле от источника излучения, oc=2tflcf0k 1 , f0 -- амплитуда рассеяния в направлении вперед. Кумулянт хп является некогерентной частью интенсивности: ; „- 00 - 0 Ф =2) . (13) Некогерентная часть интенсивности D находится через решение уравнения переноса излучения для лучевой интенсивности: 7(г,&)=% /л9) JH(F,Q) , (14) где X - когерентная часть лучевой интенсивности, равная %(r,Q) 7e(fi,Q)e . (15) Здесь 70 - лучевая интенсивность от источника излучения, теоретическое вычисление некогерентной части обычно требует численных расчетов. Когерентная С и некогерентная D части интенсивности определяются через лучевые интенсивности посредством выражений: C=/Jk(r,)dS, D=/7H(r,fi)d9 . (к) Индекс мерцаний такого поля, в соответствии с выражением (3.25), равен: 2CD + D2 , С2 _ 1 С2 (С+д)2 = (С+д)2 7 2 \ (17) а одноточечный закон распределения интенсивности является законом Райса-Накагами: где ґ1о - функция Бесселя. При нулевом среднем значении поля имеем С - 0 и закон (18) переходит в экспоненциальный закон(3.221
Определим кумулянтную функцию Xf1(r,r J. Из диаграммного представления легко видеть, что она определяется следующим интегралом: где к - эффективное волновое число рассеивающей среды (1.4.ЗІ). В соответствии с результатами раздела 2.2, такой интеграл приближенно равен выражению (2.II).
Таким образом, многократно рассеянное поле эквивалентно в данном случае полю от некогерентного источника излучения с плотностью источников вида c7(r,"Q) . Радиус корреляции поля при этом, естественно, порядка длины волны, и такие флуктуации поля или интенсивности в оптическом диапазоне длин волн практически ненаблюдаемы.
Но при удалении точки наблюдения во френелевулг / :/4 или фраунгоферову зону х»кА2 рассеивающего объема флуктуации поля и интенсивности легко наблюдать. Пример таких флуктуации при прохождении лазерного пучка через рассеивающую среду приведен на рисунке 3.2.
Перейдем к рассмотрению статистики поля во фраунгоферо-вой зоне рассеивающего объема. Рассмотрим зависимость J32( c) от оптической толщи на оптической оси пучка. Как показано в разделе 3,3, при 4 — О имеем: fi2— 0 как N . По мере увеличения оптической толщи среды соотношение между когерентной С и некогерентной частью интенсивности D изменяется. При больших оптических толщах, когда преобладающей является некогерентная часть, очевидно, что основную роль в формировании оптического сигнала играют поля с большой кратностью рассеяния. Для таких полей характерно равномерное распределение фазы в интервале [0,2х] , поэтому такие поля образуют случайное круговое гауссово поле.
