Содержание к диссертации
Введение
1 Модельные гамильтонианы, когерентные состояния и инте гралы по траекториям в квантовой оптике и лазерной физике 24
1.1 Динамические группы в квантовой оптике 24
1.2 Когерентные состояния на динамических группах Ли 29
1.3 Интегралы но траекториям в голоморфном представлении и квазиклассическая динамика 40
1.3.1 Гауссовы пакеты и гамильтоновы интегралы по путям 42
1.3.2 Символы операторов и интегралы но траекториям 45
1.3.3 Квазиклассическое приближение и гамильтоновы уравнения в пространствах Кэлера 49
1.3.4 Нестандартные члены и проблема выхода за рамки квазиклассики 52
1.4 Когерентные состояния группы SU(n) и динамика п-уровневых систем 54
1.4.1 Многоуровневые атомы во внешнем однородном поле 55
1.4.2 Когерентные состояния группы SU(2) и генерация атомных когерентных состояний 57
1.4.3 Когерентные состояния группы 57/(3) и трехуровневые атомы во внешних полях 60
2 Динамические супергруппы и суперкогерентные состояния в квантовой оптике и теории систем многих частиц 74
2.1 Преобразование Хаббарда - Стратоновича и интегралы но траекториям для фермион - бозонных гамильтонианов 74
2.1.1 Взаимодействующие бозоны и ферм ионы и преобразования Хаббарда - Стратоновича 75
2.1.2 Расчет интеграла но траекториям для статистической суммы многофермиошюй системы 78
2.2 Суиерсимметричные модели Джейнса - Каммингса 87
2.2.1 Супергруппа OSp(2\2) и модель Джейнса- Каммингса 87
2.2.2 Континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы 05^(212) 92
2.2.3 Эволюция параметров когерентных состояний 95
2.2.4 Решение гамильтоновых уравнений для суперсимметричных обобщений модели Джейнса - Каммингса 98
2.2.5 Вероятности перехода и статистическая сумма в суперсимметричной модели Джейнса - Каммингса 101
3 Динамический хаос в квантовых системах 106
3.1 Изучаемые модели 107
3.1.1 Трехволновое параметрическое взаимодействие 109
3.2 Гамильтоновы уравнения для параметров когерентных состояний 111
3.3 Хаотическая и регулярная динамика параметров когерентных состояний 113
3.4 Уравнения для операторных средних и квантовый хаос 132
3.5 Обобщенная модель Дикке с затуханием, максимальный показатель Ляпунова и сжатие 152
4 Когерентная релаксация квантовых систем с конечным числом уровней 160
4.1 Квантовое кинетическое уравнение, релаксация и декогерепция 160
4.2 Когерентная релаксация системы двухуровневых атомов и уравнение Фоккера - Планка 166
4.2.1 Релаксация двухуровневого атома (j = 1/2) 171
4.2.2 Релаксация атома с j = 1 173
4.3 Релаксация двухуровневой системы в "сжатом" термостате 175
4.4 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром 181
4.5 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для изолированного атома 185
4.6 Вычисление наблюдаемых величин. Одновременные и двух-временные корреляционные функции 191
5 Двухуровневая система во внешних стохастических полях 199
5.1 Уравнение Фоккера-Планка 199
5.2 Проиагатор уравнения Фоккера - Планка. Метод теории возмущений 201
5.3 Конкретные реализации стохастических процессов и вычисление наблюдаемых 207
5.3.1 Оптический белый шум 208
5.3.2 Процессы Кубо - Андерсона 212
5.4 Марковские дихотомические процессы. Метод дифференцирования статистических средних 218
5.5 Точно решаемые модели 225
5.5.1 Модель оптического белого шума 229
5.5.2 Процессы Кубо-Андерсона 230
6 Когерентная релаксация ансамблей большого числа кван товых систем 235
6.1 Асимптотическое разложение для уравнения Фоккера - Планка235
6.2 Когерентная релаксация ансамбля двухуровневых атомов 238
6.3 Диполь-дипольно взаимодействующие атомы и квантовое управление 243
7 Релаксация в осцилляторных системах, статистика фотонов и сжатие 248
7.1 Релаксация гармонического осциллятора с одноквантовыми переходами в "сжатом" термостате 248
7.2 Кинетика параметрического осциллятора в термостате со сжатыми флуктуациями 252
7.3 Квантовые суперпозиции и фракталы 257
7.3.1 Квантовые ковры 258
7.3.2 Фрактальные решения для гармонического осциллятора266
7.3.3 Свойства квантовых ковров в разных представлениях 269
7.3.4 Свойства осцилляторных фрактальных состояний в представлении КС 277
7.3.5 Система связанных осцилляторов и динамика фракталов 279
7.4 Модель Джейнса -Каммингса с диссипацией, как теория од ноатомного мазера 281
7.4.1 Точная матрица плотности модели в мазерном приближении 283
7.4.2 Временные зависимости и спектры излучения 287
Заключение 294
- Когерентные состояния на динамических группах Ли
- Когерентные состояния группы 57/(3) и трехуровневые атомы во внешних полях
- Решение гамильтоновых уравнений для суперсимметричных обобщений модели Джейнса - Каммингса
- Уравнения для операторных средних и квантовый хаос
Введение к работе
Актуальность проблемы
Принципы симметрии и методы теории групп [1] играют важную роль в аппарате современной квантовой физики. По разным аспектам ее использования к настоящему времени опубликовано огромное количество статей, обзоров и монографий. Метод групп динамической симметрии [2], появившийся в середине 60-х годов (А.О. Barut, С. Fronsdal, Е. Sudarshan, В.И. Манько, И.А. Малкин, A.M. Переломов, B.C. Понов и др.) оказался исключительно полезным при расчетах квантовых систем, переводя на язык теории представлений групп и алгебр Ли такие задачи, как отыскание волновых функций, уровней энергии, амплитуд и сечений переходов и т.д. В начале 70-х годов возник, тесно связанный с теорией груші метод обобщенных когерентных состояний (A.M. Переломов, В.И.Манько, Л.А. Ше-лепин, А.Л. Шелепин, В.П.Карасев, R.Gilmore, R.Glauber, J. Klauder и др.). Когерентные состояния (КС) [3], если их удачно построить, оказываются квантовыми состояниями наиболее близкими к классическим (минимизация соотношений неопределенности для генераторов динамической группы). Эволюция параметров когерентного состояния приводит к классической динамике для классического аналога квантовой задачи. Если же гамильтониан линеен по генераторам динамической алгебры, то временная эволюция квантовой задачи является чисто классической. В последнее время метод динамических групп и алгебр активно применяется в квантовой оптике и физике конденсированных сред (В.П. Карасев, СВ. Пранц, Е.А. Кочетов, J.L. Birman, J. Gerry, R.R. Puri, A. Solomon и др.). При этом на наш взгляд наиболее существенные успехи связаны с разработкой теории континуальных интегралов [6, 4, 5, 7] (интегралов по траекториям) в представлении КС и их применении. В настоящей работе метод динамических групп, связанных с ними КС и континуальных интегралов является основным методом исследования. При этом изучены как принципиальные вопросы построения КС для моделей многоуровневых атомов, исследования их свойств, так и их применения к теории когерентного (коллективного, кооперативного) поведения в квантовой оптике [8, 9, 10].
По прежнему остается весьма актуальным исследование когерентных резонансных явлений, интенсивность протекания которых пропорциональны квадрату числа частиц [11, 10] (световое (фотонное) эхо, оптическая нутация, сверхизлучение и ряд других).
В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекунд-ного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как между собой так и с квантованным полем в высокодобротных резонаторах и оптических ловушках.
В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные ноля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.
Наиболее простой и вместе с тем фундаментальной системой в квантовой оптике и лазерной физике является двухуровневый атом, взаимодействующий с одной модой квантованного электромагнитного поля. В рамках этой модели, как оказалось, могут быть описаны практически все основные эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом. Введенная Эйнштейном (см., например, [12]), модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом ([13]) было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джейнса - Каммингса (ДКМ)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера ([14], [15], [16]) предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электроди намики [17].
Модель двухуровневого атома является одной из простейших. Однако, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, уже требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населешю-стей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью КС группы SU(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суиерпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в современной квантовой инженерии.
Потребность в более детальном изучении двух - и п— уровневых атомов, взаимодействующих как классическим (лазерным), так и с квантованным электромагнитным полем, связана также с разработкой так называемых Q - компьютеров (квантовых компьютеров) [18, 19, 20, 21] и с кодированием и декодированием сигналов, передаваемых но квантовому каналу -квантовая криптография. Современное состояние дел в этой интенсивно развиваюейся области современной физики отражено в монографии [22] и сборнике статей [23].
Вместе с тем появились новые математические подходы исследования квантовоонтических систем и моделей, использующие принципы суперсимметрии и технику грассмановых антикоммутирующих переменных. Так, в работе [24] показано, что супергруппа 05р(22) может быть связана с обобщенной модели Джейнса - Каммингса, не использующую приближение вращающейся волны. Это значит, что гамильтониан может быть представлен функцией генераторов соответствующей суиералгебры. Как известно, знание группы динамической симметрии позволяет сделать важные заключения о спектре состояний системы, существенно облегчить вычисления амплитуд и вероятностей переходов, статистической суммы (см., например, [25]).
Е.А.Кочетовым ([26]) был построен интеграл по траекториям для чистой ДКМ в представлении КС супергруппы U(l1), которая является группой динамической симметрии этой системы (и подгруппой OSp(2\2)). Континуальные интегралы при расчетах модели двухуровневого атома, взаимодей ствующего с внешним классическим полем, были использованы в [27], [28]. Была введена концепция "скрытой"SU(2) - симметрии модели Джсйнса -Каммингса. Кроме того, к подобным моделям применялся метод обратной задачи [29].
В настоящей работе построен континуальный интеграл для обобщенной суиерсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении когерентных состояний супергруппы 05 (212). Полученный результат использован для изучения квазиклассической динамики параметров когерентных состояний и, затем, вычисления вероятностей переходов между уровнями атома и статистической суммы. Применение супергруппы OSp{2\2) осно-вывется на переходе к однофермионной реализации операторов энергетического спина и, соответственно, замене коммутационных соотношений антикоммутационными в алгебре атомных операторов. Если такая замена не проводится, алгебраическая структура не замкнута, и группы динамической симметрии (порождаемой некоторой конечномерной алгеброй Ли, опирающейся на коммутационные соотношения) не существует. Тем не менее, если гамильтонианы невзаимодействующих подсистем обладают динамической симметрией, техника когерентных состояний может также оказаться полезной при расчетах. Использование грассмановых переменных и техники двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича оказалось полезным для расчетов как термодинамически равновесных свойств систем из взаимодействующих бозонов и фермионов, так и матричных элементов оператора эволюции.
Еще в 1977 г. были опубликованы первые работы, связанные с описанием хаоса в моделях с большим числом атомов (модель Дикке) (см., например,[146], [153]). За счет большого числа атомов становилась достаточно большой эффективная константа связи, для единичного атома в резонаторе такие значения были экспериментально недостижимы. Однако появление одноатомного мазера и микролазера привели к надежде на реализацию в обозримом будущем систем с константой взаимодействия порядка частоты перехода, что делает такую задачу актуальной. Для одноатомного мазера переход осуществляется между высоковозбужденными уровнями ридберговских атомов (главное квантовое число п = 60 -г- 70). Хорошо известно ([155]), что матричный элемент переходного дипольного момента между уровнями с соседними п ведет себя подобно п2. В микролазере аномально большие значения констант связи могут быть обусловлены размерами резонаторов порядка длины волны (квантоворазмерные потенциальные ямы, [14]). Теоретические работы, изучающие динамический хаос в системе "двухуровневый атом + поле" без учета квантовых флуктуации, появились во второй половине 80-х годов прошлого столетия (см.,например, [156], [157], [158],[159], [161], [162]). Нами из алгебраических соображений был изучен гамильтониан, в котором генераторы группы SU(2) заменялись генераторами группы
SU(l, 1), являющейся ее аналитическим продолжением. Такие гамильтонианы возникают при квантовом описании трехволнового параметрического взаимодействия [163]. Обе задачи легко обобщаются на случай многоквантовых переходов. Однако получаемые уравнения, описывающие динамику параметров КС, даже в таких, казалось бы простых случаях, необходимо исследовать с применением численных методов.
Представлялось необходимым рассмотреть другой квазиклассический подход: изучение динамики средних значений операторов (см.,например, [9], [164]). Такой подход расширяет круг решаемых задач, предоставляя возможность учесть, например, взаимодействие описанных выше систем с нелинейной средой.
Обе возможности - исследование квазиклассической динамики параметров когерентных состояний и динамики операторных средних - были реализованы компьютерной программой, написанной на основе известных вычислительных алгоритмов [166]. Программа позволяет в широком диапазоне менять начальные условия, значения констант взаимодействия, частоты как переходов между уровнями, так и внешних нолей. Отметим, что понятия когерентности и хаоса никак не противоречат друг другу, поскольку иод хаосом мы понимаем хаотическое поведение параметров когерентных состояний, т.е. обычный детерминированный хаос в "классической" динамической системе переменных, задающих когерентные состояния, ассоциированные с исследуемой квантовой задачей. Напомним, что можно говорить как о хаосе в полностью консервативных системах, когда хаотическое поведение обусловлено значениями параметров и другими исходными данными (в нашем случае - большими константами связи), так и о динамическом хаосе, когда на систему оказывается регулярное воздействие извне ([167], [169]). Как правило, в качестве такого воздействия рассматривали возмущение бозонной (фотонной) моды классической внешней периодической силой [170], [171], [31]. Нам представляется, что имеет смысл изучить и иные способы возбуждения нолевой моды, в частности, учет параметрических эффектов, возникающих из-за нелинейности среды, помещаемой в резонатор.
Когерентная (унитарная) динамика, является скорее исключением, чем правилом. Любая реальная физическая система всегда связана с внешним окружением и поэтому эволюционирует неунитарным образом, что приводит к необратимому разрушению когерентности. В последнее время интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [32, 33], физика микромазера и спектроскопия изолированных атомов (молекул) [34]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [35, 36, 37] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных (когерентных) состояниях.
В работах [38, 8, 39] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным нолем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описываются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии SU(n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.
При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением - термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в квантовой теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомехани-ческих средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.
Использование глауберовских КС и бозонного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 61, 62]. Однако, такой подход, эффективный в осцилляторных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU(n) [39].
В работе [42] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы SU(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [43, 3] был предложен метод построения КС для произвольных групп Ли. Привлекательной чертой использования КС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения асимптотических методов для нахождения приближённых решений в случае больших коллективов частиц .
Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [37].
Цель диссертационной работы
Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей когерентной динамики и релаксации супериозиционных фотонных состояний в (неидеальных) резонаторах и в системах из двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантованным и классическим (как регулярным, так и случайным) электромагнитным полем и диссипативным окружением на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний соответствующих групп динамических симметрии.
Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:
• Обоснование единого подхода для описания когерентных явлений, основанный на методе динамических групп и техники теоретико - групповых когерентных состояний.
• Исследование интегралов по траекториям в представлении теоретико - групповых КС, вывод квазиклассических уравнений для параметров КС и изучение их свойств.
• Построение системы КС группы SU(n) п—уровневых атомов и их детализация для модели трехуровневых атомов. Получение интеграла по траекториям в представлении КС группы SU(n), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населенностей трехуровневых атомов.
• Расчет статистической суммы системы взаимодействующих фермио-нов и бозонов на основе метода двойного преобразования Хаббарда -Стратоновича и динамических суиералгебр.
• Построение интеграла по траекториям для суиерсимметричной модели Джейнса - Каммингса в представлении КС супергруппы Osp(22), расчет спектра, вероятностей переходов и статистической суммы.
• Проведение детального математического моделирования хаотичных и стохастических систем квантовой оптики. Исследование особенностей динамического (квантового) хаоса в двухуровневых моделях и моделях трехволнового взаимодействия.
• Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух- и трехуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.
• Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.
• Применение метода динамических групп и КС для описания релаксации квантового параметрического усилителя и фотонов в модели одноатомного мазера.
Научная новизна
Научная новизна результатов состоит в том, что: • Найдены квазиклассические асимптотики интегралов по траекториям в представлении теоретико - групповых КС и показано, что традиционный подход справедлив лишь в рамках квазиклассики.
• Построена система КС на однородном пространстве SU(3)/U(2) группы SU(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы КС на однородном пространстве SU(n)/U(n — 1) группы SU(n). Построен интеграл но траекториям в представлении КС группы SU(n), найдены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.
• Впервые построен интеграл по траекториям для суиерсимметричной модели Джейнса- Каммингса и ее обобщений. Рассчитаны спектр, вероятности переходов и статистическая сумма.
• Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и рассчитаны явные выражения для населенностей уровней через параметры КС.
• Впервые исследованы эффекты динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики иод воздействием периодической параметрической накачки.
• Впервые методом максимального коэффициента Ляпунова исследован динамический хаос в модели Дике с диссипацией и предсказано возможное подавление квантовых флуктуации в фотонной моде.
• Впервые найдено точное выражение для пропагатора УФП, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.
• Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флуктуациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения. • Впервые точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом иоле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов.
• Впервые рассчитано асимптотическое разложение для решения УФП, описывающего квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка 1/JV к нропагатору УФП и контуру линии излучения.
• Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со "сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено явное аналитическое решение.
• Впервые найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.
Научная и практическая ценность результатов
1. Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода КС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными нолями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогеренции в микромазерах, в теории квантовой информации и квантовых вычислений.
2. Полученный в диссертации метод расчета статистической суммы фер-мион - бозонных систем с использование двойного преобразования Хаббарда - Стратоновича перспективен для исследования свойств недавно открытых атомных конденсатов и атомных лазеров. 3. Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.
4. Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Т ф 0 позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах но спектроскопии изолированного атома.
5. Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики ноля и оценки времён релаксации.
6. Найденное точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса - Каммингса с фотонными потерями открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.
7. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском ГУ при чтении спецкурсов: "Методы теории груші в квантовой физике" и "Когерентные и кооперативные явления", при подготовке курсовых и дипломных работ студентами специализации "теоретическая физика".
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Метод описания когерентной динамики п— уровневых атомов во внешних классических полях, основанный на гамильтоновых уравнениях для параметров КС группы SU{ri).
2. Метод расчета статистической суммы взаимодействующих фермионов и бозонов на основе двойного преобразования Хаббарда - Стратонови-ча. 3. Интеграл по траекториям для суперсимметричных моделей Джейнса - Каммингса, построенный в представлении КС супергруппы OSP{2\2) и метод решения квазиклассических уравнений с комплексными и грассмановыми переменными.
4. Расчет характеристик динамического хаоса в двухуровневых моделях квантовой оптики. Предсказание подавления квантовых флуктуации фотонов в режиме развитого динамического хаоса.
5. Уравнение Фоккера - Планка (УФП) в представлении теоретико - групповых когерентных состояний для двух - и трехуровневых систем. Формула связи двухвременного коррелятора динамической подсистемы с решением УФП.
6. УФП и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный иро-иагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.
7. УФП для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим нолем и их иропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.
8. Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.
9. Метод построения асимптотического разложения для УФП, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, проиагатор такой системы в нервом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.
10. Метод решения УФП для квантового параметрического усилителя с потерями. 11. Точное выражение для матрицы плотности двухуровневого атома в резонаторе с фотонными потерями.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международных Семинарах по теоретико - групповым методам в физике (Звенигород, 1979, 1982 и Юрмала, 1985); семинаре но теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева (Москва, 1986); Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987); 6 Всесоюзном коллоквиуме Современный групповой анализ. Методы и прило-оісения (Баку, 1988); IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989); Всесоюзной школе - семинаре Представления групп в физике (Тамбов, 1989), XIII Международном Коллоквиуме но теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990), IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991, 1992); 2 Международном семинаре Squeezed States and Uncertainty Relations (Москва, 1992); IV Международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992); Международной конференции Volga Laser Тоі/г(теплоход "Александр Суворов", 1993); VII Международной конференции Symmetry Methods in Physics (Дубна, 1995); 5 Международной конференции Path Integrals from meVto Mev (Дубна, 1996); Международном семинаре Дифференциальные уравнения и их приложения (Самара, 1996); Международном семинаре Нелинейное моделирование и управление (Самара, 1997); VI Международном симпозиуме Фотонное эхо и когерентная спектроскопия (Йошкар-Ола, 1997); Международных рабочих совещаниях Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997, 2003); VIII и IX Международных Чтениях но квантовой оптике (Казань, 1999 и Санкт - Петербург, 2003); IV Харито-новских научных тематических чтениях Физика лазеров. Взаимодействие лазерного излучения с веществом (Саров, 2002); Международных школах молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 1999 - 2004); 3 Международной конференции Quantum Physics and Communication (Дубна, 2005); Всероссийской научной конференции Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века (Самара, 2005); а также на научно - практических кон ференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.
Публикации.
По теме диссертационной работы опубликовано 60 работ, в том числе: статьи в реферируемых журналах - 14; сборники трудов Всероссийских, отраслевых и региональных симпозиумов, научных и научно-технических конференций и семинаров - 20; сборники трудов международных симпозиумов и конференций - 23; учебные пособия - 3.
Личное участие автора
Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии. Ряд работ выполнен совместно Дж. Л. Бирманом (CUNY, New York) при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит реализация теоретических методов и расчетных схем, проведение численного моделирования и физическая интерпретация полученных результатов. Под руководством автора в составлении программ расчетов и проведении численных экспериментов участвовали аспиранты Е.В.Рогачева, В.В. Ручков, А.В. Ширяев, И.Е. Синайский и соискатели В.А. Михайлов и А.В.Шайкин. В работах, выполненных с этими и другими соавторами, автору принадлежат постановка задач и разработка методов их решений. Обсуждение полученных результатов выполнялось совместно с соавторами.
Объем и структура работы
Диссертация изложена на 296 с. печатного текста. Она состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы, включающего 291 наименования. Общий объем диссертации - 321 страницы текста (в том числе 77 рисунков).
Когерентные состояния на динамических группах Ли
Когерентные состояния были введены Глаубером [48] для описания ноля излучения лазера, которое моделировалось набором гармонических осцилляторов. Операторы переходов между соседними уровнями осциллятора а+, а, есть операторы рождения и уничтожения квантов поля излучения. Они, вместе с единичным оператором /, порождают алгебру Ли W\ - алгебру Гейзенберга-Вейля. КС \а) определяются как собственные состояния оператора уничтожения Эти состояния разлагаются по стационарным состояниям \п) гармонического осциллятора и описывают нерасплывающийся волновой пакет с амплитудой \а\. Другой способ введения системы КС состоит в действии оператора на вакуумный вектор 0), определяемый условием й0) = 0, (00) = 1: В (ЇЛО) а - величина комплексно сопряженная а. Заметим, что оператор представления группы Гейзенберга-Вейля W\ может быть записан в виде [3] Тогда, учитывая что оператор егвІ является центром группы W\ и стационарной подгруппой вектора 0) систему КС можно определить как Когерентные состояния обладают рядом замечательных свойств: они являются неортогональными друг другу, для них выполняется "разложение единицы", система КС является сверхполной, т.е. содержит больше состояний, чем необходимо для разложения произвольного состояния. КС минимизируют соотношение неопределенностей Гейзенберга (для них ApAq = ), поэтому они являются квантовыми состояниями, наиболее близкими к классическим. Они являются удобным базисом для разложения векторов состояния и операторов но проекторам о;)(а. Используя свойство (1.8), нетрудно видеть, что действие произвольной операторной функции /(а) на а) сводится к его умножению на обычную комплексную функцию f(a) В [49, 50] рассматриваются математические аспекты свойств осцилля-торных КС и их применения для вычисления функций корреляции различных порядков при описании статистических свойств оптических полей. Например, в [51] корреляционные функции используются для анализа явлений группировки и антигруппировки фотонов. В работе [52] были построены спиновые когерентные состояния, возникающие при описании частицы со спином S, изучены их свойства и показано, что при S 1 они переходят в глауберовские. Рассматривалось приложение таких когерентных состояний для вычисления статистической суммы частицы со спином в магнитном поле, описания спиновых волн и взаимодействие двух спинов в гейзенберговской модели ферромагнетика. Важные результаты получены в [42], где построены КС для двухуровневой системы, названные атомными, как КС углового момента.
Эволюция этих состояний описывается точкой на единичной двухмерной сфере, что эквивалентно эволюции конца вектора энергетического спина на сфере Блоха [50, 51]. Поэтому атомные КС в угловой параметризации часто называют блоховскими. В этой же работе показана идентичность двухуровневой системы и частицы со спином как систем имеющих два стационарных состояния. Исследовалась связь атомных КС с неприводимыми представлениями группы SU(2), описание ансамбля из большого числа двухуровневых атомов и показана связь с состояниями Дике в теории сверхизлучения. В работе [38] метод энергетического спина применяется для описания динамики изолированной n-уровневой молекулы и показывается, что группа SU(n), в данном случае, является группой динамической симметрии. Швингером [55] был предложен метод представления операторов углового момента, которые являются генераторами группы 50(3) и локально изоморфной ей группе 5/(2), через бозонные операторы рождения и уничтожения двух сортов: На основе этого метода были построены [56] КС глауберовского типа двухуровневой системы где пі,П2) - состояние с фиксированным числом фотонов пі,П2. С другой стороны, так как представление реализовано с помощью операторов рождения и уничтожения двух независимых гармонических осцилляторов, то КС (1.16) будут описывать и двухмодовое поле излучения. Обобщение на случай конечного или бесконечного счетного числа степеней свободы электромагнитного поля можно найти в [57]: При к = 3 когерентные состояния (1.17) использовались в [8] для получения уравнений движения макроскопических векторов поляризации для трехуровневой неэквидистантной квантовой системы в условиях коллективного поведения (задача Дикке). Для описания статистических свойств полей излучения Глаубером было введено диагональное представление матрицы плотности p{t) по когерентным состояниям [61, 49]: часто называемое Р- представлением или представлением Клаудера - Су-даршана [83, 57]. Это представление удобно для вычисления квантовых корреляционных и характеристических функций, например, при описании экспериментов с фотодетекторами [34, 50, 56], исследования формы контура линии излучения [34, 51] и функций когерентности различных порядков [9, 34, 50, 57, 63]. Метод динамической симметрии применяется к широкому кругу задач, имеющих различные группы симметрии [2]. Это диктует необходимость построения систем когерентных состояний для произвольных групп Ли. Метод построения таких систем, предложенный в [53, 54], применим только к некомпактным группам и, кроме этого, построенное множество состояний неинвариантно относительно действия операторов представления группы. A.M. Переломовым [43, 3] была предложена общая концепция построения систем когерентных состояний для унитарных неприводимых представлений произвольной группы Ли - систем обобщенных когерентных состояний.
Основная идея состоит в во введении системы состояний, которые порождаются действием операторов группового сдвига на некоторый фиксированный вектор. Фактически такие состояния были предложены еще в работе Дж. Клаудера [44], однако в то время не вызвали интереса (см. обзор [45], где изложена история вопроса и приведены репринты основных журнальных публикаций по этой теме). В обзорной работе Гилмора и соавторов [46] когерентные состояния строятся но схеме несколько отличающейся от иод-хода Переломова (см., также [42]) и рассмотрены важные приложения КС к расчету термодинамически равновесных систем. Современное состояние проблемы изложено в недавно опубликованной монографии [47[. Следуя [60], разберем основные положения метода КС. Пусть G - произвольная группа Ли, Т(д) - ее унитарное представление, действующее в гильбертовом пространстве Ті. Пусть Фо) некоторый фиксированный вектор пространства 7Ї. Рассмотрим множество векторов {Ф5)}, где а д пробегает всю группу G. Пусть Н = {h} - множество элементов группы G, таких, что Очевидно, что Н есть подгруппа группы G. Когда подгруппа Н максимальна, ее называют стационарной подгруппой состояния Фо). Два вектора, Ф51) и Ф52), отличаются друг от друга фазовым множителем (Ф51) = ешФ52), еш2 = 1) или, иными словами, определяют одно и тоже состояние лишь в том случае, когда gi = g ih, h Є Н. Из этой конструкции видно, что векторы ФР) для всех д, принадлежащих одному левому классу смежности G но Н, отличаются друг от друга лишь фазовыми множителями и, следовательно, определяют одно состояние. Обозначим через X множество классов смежности G/H. Выбирая в каждом классе X = дН по одному представителю д(х) группы G, получаем множество состояний {#)}, где Системой обобщенных когерентных состояний типа {Т(д), Фо)} называют множество состояний {ж)}, определенных согласно (1.21). Отметим, что множество КС инвариантно относительно действия one-раторов Т(д), т.е. оператор Т(д) переводит одно когерентное состояние в другое. Из определения системы КС следует, что ее свойства существенно зависят от выбора начального состояния Фо). В работах [187,188,189] рассматривался вопрос о таком выборе Фо), чтобы состояния полученной системы были наиболее близки к классическим. В [187] вводились ковариантным образом определенные спиновые КС, минимизирующие инвариантную величину где Ji,J2,J3 операторы группы 50(3), и доказывалось, что в этом случае (Смысл векторов \j, dbj) будет пояснен ниже).
Когерентные состояния группы 57/(3) и трехуровневые атомы во внешних полях
Возможности двухуровневой системы в качестве модельного приближения в известном смысле ограничены и рассмотрение физических процессов на основе трехуровневой системы приводит к качественному и количественному описанию более тонких эффектов и явлений. Так, первые исследования трехуровневых систем привели к открытию комбинационного рассеяния в жидкостях и газах, позволили осуществить оптическую накачку атомов, что имело принципиальное значение для создания квантовых генераторов. На основе трехуровневой модели атома объясняются такие эффекты нестационарной оптики как эффект Ханле, квантовые биения и пересечение уровней. Результаты работ по исследованию особенностей поведения трехуровневых систем в поглощении слабого (пробного) ноля при условии, что на смежном переходе действует интенсивное, насыщающее этот переход, электромагнитное иоле, лежат в основе лазерной спектроскопии сверхвысокого разрешения [190]. Другой интересной особенностью поведения трехуровневых систем в ситуации, когда на каждый разрешенный смежный переход действует свое резонансное поле и расстройки частот равны, система в целом не переходит в верхнее состояние и практически не взаимодействует с этим нолем. Это явление получило название когерентного пленения населешюстей и широко исследовалось в последние годы [191]. Напомним, что в [38] было установлено, что группой динамической симметрии при рассмотрении взаимодействия п - уровневой системы с электромагнитным нолем, является группа SU(n). Частный случай иолуклас-сического описания взаимодействия трехуровневой системы с электромагнитным нолем рассматривался в [193], где были в общем виде построены уравнения движения для компонент вектора, квадрат которого на константу отличается от оператора Казимира второго порядка. Эти уравнения аналогичны уравнениям Блоха для вектора энергетического спина в случае двухуровневой системы. Временной эволюции трехуровневых систем, взаимодействующих с бигармоническим полем, с полем лазерных импульсов, посвящено огромное количество работ, например, [194, 195, 196] и ссылки в них. Построим систему КС для группы SU(3), исследуем их свойства и используем для описания динамики трехуровневых систем, следуя работе [192] Группа 577(3) состоит из унитарных унимодулярных преобразований 3-х мерного комплексного пространства.
Из ее генераторов можно построить алгебру повышающих и понижающих операторов, которые в матричном представлении записываются в виде Инфинитезимальные операторы L+, L_, Н\ действуют в пространстве, натянутом на векторы 0), 2) и являются генераторами подгруппы SU(3) D SU(2). Такие же SU{2) подгруппы образуют операто-ры {J+, J-, 3#2 — 2Яі}, которые действуют в подпространстве, натянутом на векторы 0) и 1) и операторы {К+, і _,4Яі —ЗЯг}» действующие в подпространстве, натянутом на векторы 1) и 2). Эти подгруппы могут быть расширены, так, например, оператор Ні коммутирует с К+, К- и операто-ром АН\ — ЗЯг- Эта четверка операторов образует прямое произведение Из сказанного выше следует, что операторы {K+,K_,4Hi — 3#2,#2J являются стационарной подалгеброй вектора 0), т.к. первые три онера-тора действуют в подпространстве векторов 1),2), а для оператора Я2 вектор 0) является собственным. Отметим, что эта стационарная подалгебра является максимальной. Следовательно, КС будет задаваться точкой фактор-пространства 5С/(3)//(2), на котором можно ввести однородную комплексную структуру. Это пространство изоморфно единичной четырехмерной сфере и двумерному комплексному проективному пространству: Заметим, что одновременно все три перехода за счет операторов электрического дипольного момента запрещены правилами отбора, поэтому один переход можно рассматривать за счет оператора магнитного дипольного момента или квадрупольного электрического момента. Полный гамильтониан системы равен сумме невозмущенного и гамильтониана взаимодействия: На рис. 1.3 показана схема действия операторов перехода между уровнями системы. Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (1.105), будем искать в виде что приводит для вектора КС \z\, z2) к уравнению Важной особенностью системы (1.108) является то, что она одинакова для всех иолносимметричных представлений группы 51/(3). Как и в случае двухуровневой системы, кваптовомеханическая задача сводится к решению уравнений, описывающих классическое движение точки (zi,z2) на фазовой плоскости СР2 переменных zi,z2. Если перейти к локальным переменным х, у, z Є Сз, то подстановкой z\ — , z2 = систему (1.108) можно линеаризовать.
В этих переменных система принимает вид Системы уравнений (1.108) и (1.109), описывающие динамику одной трехуровневой системы во внешних классических нолях и соответствующие иолносимметричному представлению )(1,0) описывают и динамику ансамбля N трехуровневых систем, если их эволюция задается оператором из иолносимметричного представления D(N, 0). Это соответствует случаю, когда уровни энергии молекул невырождены и в начальный момент времени все молекулы находятся в одинаковом состоянии. С учетом правил отбора, возможны три схемы переходов (см. рис. 1.4). Рассмотрим динамику ансамбля N трехуровневых атомов К-тииа, взаимодействующую с двумя лазерными полями, частоты которых близки к частотам атомных переходов (рис. 1.5). В этом случае А = \Пі2\е іи;іі, D = Пізе іа;зі, В = 0,где Оі2, із - частоты Раби па переходах 1 —+ 2 и 1 — 3 соответственно, UI,CJ — частоты лазерных полей. Учтем также распад возбужденных уровней со скоростями Г2 и Гз на не включенные в систему уровни или из-за взаимодействия с термостатом. Тогда, в резонансном приближении система уравнений (1.109) Уравнения (1.108), (1.112) удобны для применения в квантовой инженерии при изучении оптимальных режимов создания супериозиционных состояний атомов и определения времени декогеренции. Можно рассматривать динамику такой системы иод действием одного или двух лазерных полей где ш\ и Uz — частоты лазерных полей, о\ и о% — величины, задающие ширины гауссовых импульсов, oi и оз — времена, соответствующие максимуму гауссовых импульсов, воздействующих на атом. На Рис. 1.6 показана эволюция действительных частей z\ и 2 — параметров, задающих когерентные состояния. Видно, что под действием гауссова импульса лазерного ноля на переходе 1 — 3 (случай точного резонанса при отсутствии затухания (7 = Г = 0 ), toi = т = 20, о\ = 10) Rezi, Imzi, Rez2 и Imz2 осциллируют с частотами переходов между уровнями 1 — 3 и 1- 2. Однако модули \zi(t)\ и 1 ) (см. Рис. 1.7) после переходного процесса стремятся к значениям, определяемым начальными условиями i(t) — ki(0) = 1,1 (01 "" 1 (0)1 = 2. Это указывает на то, что эволюция вектора КС после прекращения воздействия имеет вид На рисунке (1.8) показана динамика населенности уровней при возбуждении V— атома гауссовым импульсом на том же переходе. Можно подобрать и такие параметры внешнего воздействия на систему, чтобы она переходила (как и для двухуровневого атома) в некоторое новое КС группы SU(3). Генерацию КС с заданными параметрами мы здесь не обсуждаем. Эта очень важная тема особенно в контексте физики квантовых вычислений, связана с общей актуальной проблемой управления динамикой квантовых состояний и требует отдельного рассмотрения (см., например, [181]). Динамические супергруппы и суперкогерентные состояния в квантовой оптике и теории систем многих частиц Идея введения в физику суперсимметричных моделей возникла в физике в начале 70 -х г. XX века и была первоначально связана с попыткой нетривиального объединения релятивистской симметрии группы Пуанкаре и внутрених симметрии ([118]).
Решение гамильтоновых уравнений для суперсимметричных обобщений модели Джейнса - Каммингса
Точное решение уравнений гамильтоновых уравнений с грассмановыми переменными возможно и в более общем случае, чем суперсимметричное обобщение стандартной модели Джейнса - Каммингса. Рассмотрим систему с гамильтонианом (2.51). Чтобы найти временные зависимости параметров когерентных состояний, воспользуемся тем, что они принадлежат грассма-новой алгебре с конечным базисом, состоящим из единицы и одночленов не более чем 6-го порядка: где ХО) Хо " начальные значения параметров когерентных состояний. Тогда, разложив все переменные по этому базису: где z{...} и у{...} - комплексные коэффициенты при соответствующих одночленах, придем к новой системе уравнений для каждого из этих коэффициентов. Так, для z : Все последующие уравнения (как для z{...}, так и для у{...}) содержат в правой части комбинации коэффициентов предыдущих порядков, например: По мере возрастания порядка одночленов уравнения становятся весьма громоздкими, и поскольку их получение из исходной системы уравнений является тривиальной задачей, мы не будем их приводить и сразу перейдем к обсуждению возможности решения этих уравнений в аналитическом виде. Уравнение Риккати, возникающее для z, можно проинтегрировать лишь в частных случаях (подробно об этом - см., например,[179]). Очевидно, что решение легко находится, когда 7 = 0 (вообще говоря, 7 "С д, и такое приближение часто используют, исключая соответствующее слагаемое из рассмотрения). Также несложно найти решение этого уравнения при 7 = 7() = a{t)ехр(—2%v{t — to)), где a(t) - вещественная функция, что соответствует интерпретации 7 как коэффициента взаимодействия с внешним классическим полем в случае точного резонанса. Итак, если 7 — 0, то: а все остальные коэффициенты обращаются в нуль. Если же 7 = l{t) = a(t) exp(—2iv(t — to)), то решения уравнений для коэффициентов можно выписать в квадратурах. Полученные решения для параметров когерентных состояний можно использовать для вычисления вероятности перехода атома из возбужденного состояния в невозбужденное (или наоборот). Действительно, в рамках квазиклассического приближения для матричного элемента оператора эволюции можно написать где \KC(t) определяется из уравнений движения.
Выберем начальное г и конечное / состояния следующими: Тогда для матричного элемента оператора эволюции суперсимметричной ДКМ получаем Выполнив интегрирование и суммирование, после несложных, но достаточно громоздких вычислений, можно придти к следующему выражению для вероятности перехода: Хорошо известен результат для вероятности перехода атома из возбужденного в невозбужденное состояние при фиксированном числе фотонов п в моде излучения (см.,например, [128, 114]): Для сравнения формул ( 2.80) и ( 2.81) нужно положить д2 = 2ГГ. Учитывая то, что в расчетах использовалась грассмановость Г и Г (квадраты этих величин обращаются в нуль, можно объяснить отсутствие соответствующих слагаемых в знаменателе и в подкоренном выражении. При больших п(т) (когда и имеет смысл говорить о квазиклассике) результаты согласуются. Более корректным, однако, является сравнение не формул ( 2.80) и ( 2.81), поскольку они выведены, по существу, для разных моделей, а квазиклассического и последовательно квантового результатов. В случае суиер-симметричной модели Джейнса - Каммингса последний достаточно легко получить, если применить технику распутывания операторной экспоненты на супергруппе С/(11), воспользовавшись линейностью гамильтониана по ее генераторам. Как показывают вычисления, квантовый и квазиклассический ответы совпадают с точностью до множителей, стоящих в квадратных скобках выражения (2.80), которые в области высоких значений квантовых чисел близки к единице [140], [141]. Одной из важнейших величин в теории равновесных термодинамических процессов является статистическая сумма, поскольку через нее могут быть выражены такие термодинамические потенциалы, как свободная энергия, число частиц, химический потенциал. Известно, что когерентные состояния, построенные для обычных груші Ли, часто позволяют существенно упростить вычисление статистической суммы. Используем для этих целей базис когерентных состояний супергруппы OSp(2\2). В общем виде статистическая сумма записывается как обратная температура, а след взят по всем переменным матрицы плотности в равновесном состояниии системы. Вычисления удобнее проводить с диагонализованным гамильтонианом: Используя явный вид когерентных состояний, приходим к следующему выражению: Как легко видеть, при отключении взаимодействия (Г = 0), получаем известный результат для статистической суммы системы, состоящей из свободных фермионного и бозонного осцилляторов. Исходя из полученного для статистической суммы результата, можно получить энергетический спектр изучаемой системы, основываясь на формальном сходстве оператора эволюции и подынтегрального выражения в определении статистической суммы. Воспользовавшись формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии, ( 2.85) можно преобразовать к виду: Подводя итог, отметим что наличие линейной группы динамической симметрии 05р(22) позволило провести полный анализ суиерсимметрич-ной модели Джейнса - Каммингса. Однако, как показывает расчет вероятности переходов и энергетических уровней, эта модель имеет лишь косвенное отношение к исходной, реалистической модели двухуровневого атома. Вопрос о существовании физической системы, описываемой гамильтонианами ( 2.35) или ( 2.51) остался для нас открытым. При Г = 0 подобная система хорошо известна - это электрон Ландау в магнитном иоле [142].
В последние несколько десятилетий явление динамического хаоса интенсивно обсуждается в физике лазеров, см., например, [144, 145]. При этом, лазерная генерация описывается на основе "классических" динамических уравнений. Теория хаоса в классических системах достаточно хорошо разработана, здесь под ним понимается чувствительная зависимость траекторий движения от начальных условий (подробная библиография по этой проблеме приведена, например, в [146]). Ситуация с так называемым "квантовым хаосом", несмотря на значительные усилия, всё еще далека от полной ясности и вызывает большой интерес [148] - [152]. Связано это с несколькими причинами, которые препятствуют буквальному переносу в квантовую теорию концепций классического хаоса. Во-первых, в отличие от классической механики, квантовые уравнения эволюции принципиально линейны. Во-вторых, соотношение неопределенности Гейзенберга "замазывает" тонкие различия близких классических траекторий, что должно приводить к подавлению классического хаоса в результате квантования. С другой стороны, известны разные подходы к определению т.н. "квантового хаоса". Один из них заключается в изучении особенностей динамики квантовых систем, которые являются хаотическими в классическом смысле [147], [149]. Однако до сих нор особенности проявления хаоса при квантовании остаются дискуссионными, несмотря на интенсивное изучение этой проблемы. Остается актуальным исследование хаотических свойств моделей квантовой оптики, начало которому было положено в работе [143]. В литературе известны разные подходы к определению хаоса в "квантовом смысле". Так, один из них заключается в изучении особенностей динамики квантовых систем, которые являются хаотическими в классическом смысле [149]. Другая возможность состоит в том, чтобы исследовать вид стационарных волновых функций (или квантовых функций Вигнера) и посмотреть то, как распределение квантовых уровней энергии "отражает" хаос классических траекторий (т.н. разбегание уровней [148, 169]). Наконец, обсуждают проблему хаоса в связи с алгоритмической недосягаемостью при измерениях (algorithmic inaccessability) некоторых квантовых состояний [151]. Подход, которому мы будем следовать в настоящей главе, состоит в исследовании квазиклассической динамики параметров квантовой системы, которые могут быть использованы при вычислении наблюдаемых (физических величин).
Уравнения для операторных средних и квантовый хаос
Наряду с изучением квазиклассической динамики КС может быть рассмотрен иной подход - изучение динамики средних значений операторов (см.,например, [9]). Функция Гамильтона Ті для МДК с учетом нерезонансных слагаемых и т— квантовых переходов имеет следующий явный вид (для большей общности рассмотрен не двухуровневый, а 2 J + 1— уровневый атом в резонаторе): скобки Пуассона { , } определены следующим образом: dzsdz , матрица (T;SS ) является обратной матрице (T7SS ); функция известна как ( -символ оператора F см. Главу 1, а В нашем случае if (а, а ; С, С ) = ехр (а а ) (1 + ) . Можно показать, что каждой "подходящей" системе физических онера-торов {FI,...FM} соответствуют некоторая система (нелинейных) квазиклассических уравнений движения, определенных с помощью скобок Пуа-сона (3.14). Если группа динамической симметрии линейно реализована, то уравнения для средних формально совпадают с гейзенберговскими уравнениями в силу их линейности. В общем случае приходится иметь дело с бесконечной системой уравнений для символов операторов (операторных средних), поскольку гейзенберговские операторные уравнения, как правило, являются нелинейными и символы произведений нолевых и атомных операторов должны рассматриваться как новые независимые переменные. Приближенное замыкание этой системы уравнений может быть осуществлено путем некоторой "факторизации произведений". Мы ограничимся обычно используемым приближением, в рамках которого заменяем среднее от произведения операторов произведением средних, считая малыми флуктуации. Такую факторизацию можно провести, например, в начальный момент времени, если система приготовлена в чистом когерентном состоянии (в нашем случае - в смысле произведения КС груші W\ и SU(2)) или (для рассматриваемых моделей) в случае сильного возбуждения нолевой моды, когда мало изменение среднего числа фотонов п =а2 1, приготовленных изначально в чистом когерентном состоянии, и если число атомных уровней (2 J + 1) невелико (J 1). Можно показать [172], что время жизни факторизован-ного состояния п(0) . Итак, гамильтониан где AQ И А± - либо i o и К± - в случае группы SU(1,1), либо Sz и S± - в случае группы SU(2). В целях общности запишем коммутационные соотношения следующим образом: где р = 1 для 51/(2) и р = — 1 для SU(1,1) - группы.
В отличие от предыдущего параграфа, в приведенном гамильтониане учтено слагаемое, описывающее внешнее воздействие на нолевую подсистему, возникающее из-за нелинейности среды. Константа взаимодействия 7 при этом пропорциональна нелинейной восприимчивости среды и интенсивности классического ноля накачки с частотой П, Q « 2 v. Для нас представляет интерес возможность сравнения результатов с полученными в предыдущем параграфе. Поэтому в качестве начального состояния выбираем когерентные состояния атома и ноля. Это дает основание заменить среднее от произведения операторов произведением операторных средних. Полагая, как и ранее, Н = 1 , запишем уравнения: для случая т = 1: Эти системы уравнений могут быть решены численными методами. По - прежнему воспользуемся методом Дормана - Принса 5-го порядка. С помощью программы рассчитываются временные зависимости для атомных и нолевых переменных, в том числе и иолуразность населенностей уровней для двухуровневой модели, среднее число квантов в нолевой моде, квадратурные неременные; для тестирования динамики системы строятся фазовые портреты и сечения Пуанкаре, а также спектры мощности для всех неременных. Параметры гамильтониана могут варьироваться в широком диапазоне. Как известно (см.,например, [128]), для двухуровневого атома Sz описывает иолуразность населенностей атомных уровней и совпадает (с точностью до сдвига на 1/2) с вероятностью перехода. Сравнение соответствующих графиков может являться критерием согласованности рассматриваемых подходов - в рамках концепции теоретико - групповых состояний и через операторные средние. В наших расчетах совпадение (с учетом смещения) было полным. Справедливыми, соответственно, остались и выводы о регулярной динамике системы в случае модели Джейнса - Каммингса и усложнении поведения при учете в гамильтониане контрвращающих слагаемых. Интересно проследить при этом за эволюцией фазового портрета Sz (рис.3.17 - 3.22), в зависимости от константы взаимодействия. Подобные графики могут быть сопоставлены серии рисунков (3.4 - 3.7). Главный интерес поэтому, с нашей точки зрения, представляет возможность изучения внешнего воздействия на полевую подсистему. Для двухуровневого атома в электромагнитном поле мы рассматривали две ситуации: без учета и с учетом антирезонансных слагаемых. В первом случае включение параметрического воздействия на достаточно короткое время приводило к изменению динамики иолуразности населенностей, внешне похожему на хаос (ср.рис.3.8). Однако исследование фазового портрета соответствующей величины не оставляло сомнений в том, что перед нами - высокочастотный регулярный режим (рис.3.22 - 3.24). Сверх того, как следует из детального рассмотрения модели, учитывающей контрвра-щаюшие члены, параметрическое воздействие может регуляризовать поведение параметров (рис.3.25, 3.26). Но если система ведет себя хаотическим образом к моменту воздействия, оно окажет лишь краткосрочное влияние, более заметное на начальных стадиях развития хаоса (рис.3.26). Отметим, что это согласуется с результатами, полученными нами иным образом [172]. Представляет интерес динамика квадратурных переменных AXf и АХ$, в таких процессах. Рост обеих квадратурных переменных при хаотическом поведении полуразности населенностей атомных уровней сменяется в результате параметрического воздействия на полевую моду синусоидально-подобными колебаниями (рис.3.28).
Соответствующие графики, описывающие динамику атомной подсистемы приведены на рис.3.27. В случае параметрического воздействия на систему, описываемую гамильтонианом вида Рассчитывались временные зависимости для атомных и нолевых переменных, в том числе и полуразность населенностей уровней (для двухуровневых моделей), среднее число квантов в полевой моде, квадратурные переменные. Для исследования и тестирования динамики системы строились фазовые портреты и сечения Пуанкаре, спектры мощности для всех переменных, а также вычислялся максимальный показатель Ляпунова [168]. Параметры модельных гамильтонианов "обезразмеривались" и варьировались в широком диапазоне. В качестве тестовой модели при проведении компьютерного моделирования использовалась стандартная МДК. Результаты расчетов временной динамики иолуразностей населенностей для МДК, хорошо согласуются с известными теоретическими формулами [14] и эта модель при всех значениях параметров гамильтониана остается регулярной. При учете же контрвра-щающих членов ее поведение может существенно усложняться. Увеличение константы взаимодействия "атом + поле" до значений порядка частоты внутриатомного перехода может привести к возникновению хаоса посредством механизма удвоения частот. (Рождение циклов с ростом констаны связи "атом + поле" показано на рис. 3.18 - 3.21. Число частот определяется средним числом фотонов п . Если п 1, возникновение хаоса наступает при меньшей константе взаимодействия (при прочих равных условиях). Случаю п 1 соответствует "классическое" состояние фотонов и динамика является регулярной и при достаточно больших значениях д. Изучая воздействие параметрической накачки на полевую подсистему, мы рассматривали две ситуации: краткосрочное включение параметрического воздействия без учета и с учетом антирезонансных слагаемых. В первом случае после такого воздействия появляется многочастотный регулярный режим. Когда модель включает в себя контрвращающие члены, то параметрическое воздействие, в принципе, может регуляризовать динамику. Однако, если система к моменту воздействия ведет себя хаотическим образом, оно может лишь на короткое время приостановить развитие хаоса. Поведение обобщенной МДК с двухквантовыми переходами качественно такое же, как и для модели с одноквантовыми переходами. Но здесь система становится хаотической при значительно более низких значениях константы взаимодействия.
