Содержание к диссертации
Введение
Интегральное преобразование для идеальной изображающей оптической системы с аксиконом 11
Аксикон и его применение 11
Прямое преобразование мезооптики 16
Преобразование мезооптики n-го порядка 21
Основные свойства преобразования мезооптики 26
Обратное преобразование мезооптики 33
Разложение комплексной амплитуды света по коническим волнам 33
Выводы 36
Кольцевое преобразование Радона 38
Преобразования Радона и Хоу 38
Усреднение функции по сферам или окружностям 39
Основные свойства кольцевого преобразования Радона 44
Кольцевое преобразование Радона произвольного порядка 56
Бинарное (фазовое) кольцевое преобразование Радона 58
Обратное кольцевое преобразование Радона 59
Выводы 67
Использование оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач 69
Оптическое выполнение преобразования Радона 69
Обнаружение окружностей во входной функции 81
Визуализация фазы светового поля 84
Обнаружение точек фазовой сингулярности светового поля 95
Выводы 102
Заключение 104
Литература
- Прямое преобразование мезооптики
- Обратное преобразование мезооптики
- Основные свойства кольцевого преобразования Радона
- Визуализация фазы светового поля
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом.
Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы - безаберрационные. Предполагается, что свет в системе когерентный и монохроматический, а его распространение описывается методами Фурье-оптики.
Актуальность темы
Среди оптических систем с кольцевым импульсным откликом наиболее эффективными в энергетическом смысле являются оптические системы с импульсным откликом в виде максимально узкого светового кольца. Наиболее известной изображающей оптической системой с узким кольцевым импульсным откликом является система с аксиконом [1] - стекляным конусом, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Аксикон, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [2,3] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [4-6].
Одним из применений бездифракционного лазерного пучка является создание оптического пинцета для манипулирования микрочастицами [7].
Формирование узкого кольцевого распределения интенсивности света используется, например, для преодоления фундаментального ограничения на глубину резкости микроскопов. Раздел оптики, в котором используются
изображающие оптические системы с кольцевым импульсным откликом, Сороко Л.М. предложил называть мезооптикой [8,9].
Использовать аксикон для формирования изображений прямолинейных объектов для подсчета треков частиц в ядерных фотоимульсиях впервые было предложено в [10].
В работе [11] рассмотрена одна из базовых оптических схем мезооптики, которая представляет собой Фурье-коррелятор с аксиконом в частотной плоскости. Такую оптическую схему нетрудно проанализировать с помощью методов Фурье-оптики.
Несмотря на широкую распространенность аксикона, до сих пор остается невыясненной аналитическая зависимость между входными и выходными световыми полями в базовой оптической схеме мезооптики.
Аксикон является широко распространенным благодаря простоте изготовления. Однако формируемое им кольцо не бесконечно тонкое (без учета дифракционного размытия), а имеет некоторую ширину.
Поэтому представляет интерес рассмотреть другие оптические системы с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца и интегральные преобразования, связанные с ними.
С 1917 года известно преобразование Радона (ПР). Оно широко применяется в обработке изображений, томографии, геодезии, медицине [12-16]. Двумерное преобразование Радона ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости.
ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы [17] или дифракционного оптического элемента [18, 19]. В [17] используется матрица, состоящая из большого числа микро-голограмм,
трудоемких для изготовления. В [18] рассматривается подход, осуществляемый с помощью набора пар скрещенных цилиндрических линз, фокусирующих прямые линии в точки. Недостатком является снижение отношения сигнал/шум всего устройства, так как для линий с определенной ориентацией будут участвовать все пары линз. Кроме того, изготовление фазового дифракционного элемента достаточно трудоемко. Подход, описанный в [19], предлагает использование коррелятора с пространственным фильтром, состоящим из набора угловых секторов. Недостатком подхода является ограничение на число угловых секторов (грубая дискретизация по углу).
Из-за указанных недостатков имеет смысл разработать альтернативный метод оптического выполнения ПР с помощью оптической системы с кольцевым импульсным откликом.
Обобщением ПР является преобразование Хоу [20], которое ставит в соответствие функции средние значения этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых). Преобразование Хоу также имеет достаточно много применений. Например, оно применяется для компьютерной обработки видеоизображений листьев растений с целью определения площади листовой поверхности [21]. В этой работе функции ставятся в соответствие интегралы по кривым, имеющим форму эллипса. Существуют также медицинские приложения преобразования Хоу. В работе [22] оно используется для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах. В работе [23] преобразование Хоу применяется для сегментации полутоновых изображений.
Частным случаем преобразования Хоу является преобразование, заключающееся в усреднении значений функции по окружностям (или сферам в трехмерном случае).
Усреднение по сферам введено в работе [24]. Усреднение по сферам используется в радарах с синтезированной апертурой (SAR) и в акустической
навигации (SONAR - sound navigation and ranging). Связь между усреднением по сферам и обычным преобразованием Радона установлена в [25]. Для двумерного случая в [26, 27] получены формулы обращения усреднения по кривым, лежащим в плоскости, а в [28, 29] приведены теоремы о взаимнооднозначном соответствии между функцией двух переменных и всеми интегралами по окружностям, лежащими в плоскости. То есть в [28,29] введено в рассмотрение кольцевое преобразование Радона (КПР), хотя оно там так и не называется. Однако в этих работах КПР не являются преобразованиями типа свертки, а потому не известна их оптическая реализация.
Поэтому представляет интерес рассмотрение интегрального преобразования, сопоставляющего функции ее средние значения на окружностях, которое является сверткой и потому может легко быть реализовано оптически с помощью изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом.
Еще одной оптической задачей является визуализация фазы светового поля. Многие интересные для микроскопии объекты обладают высокой прозрачностью и поэтому совсем или почти совсем не поглощают свет (например, бесцветные бактерии). При прохождении света через такой объект основным эффектом будет появление сдвига фазы, величина которого различна в разных точках. Подобный эффект, конечно, нельзя наблюдать с помощью обычного микроскопа и приемника, реагирующего на интенсивность света.
Одним из подходов к визуализации фазовых неоднородностей является использование Фурье-коррелятора при размещении в частотной плоскости фазового фильтра Цернике (такое устройство называют теневым прибором [30]). Недостатком подхода является то, что линейная связь между наблюдаемой интенсивностью и фазой объектов имеет место в предположении о «слабости» фазового объекта.
Визуализировать фазу можно также с помощью малой дефокусировки, получаемой либо сдвигом выходной плоскости Фурье-коррелятора, либо использованием в качестве фильтра слабой параболической линзы. Недостаток метода дефокусировки в том, что интенсивность на выходе коррелятора пропорциональна не самой фазовой функции, а ее вторым производным.
Представляется интересным показать, что использование идеальной изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом не требует «слабости» фазового объекта, и позволяет получить линейную связь между наблюдаемой интенсивностью и градиентом фазы.
Из предыдущего анализа следует цель диссертационной работы. Целью работы является получение и исследование интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом и применение полученных результатов для решения некоторых оптических задач.
* Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы - безаберрационные.
Задачи исследования
Получить интегральное преобразование, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра.
Исследовать систему с идеальным кольцевым импульсным откликом, представляющим собой бесконечно узкое кольцо.
Исследовать применимость изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач.
Научная новизна работы
Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики л-го порядка).
Введено в рассмотрение двумерное кольцевое преобразование Радона п -го порядка, аналогичное традиционному преобразованию Радона, но интегрирование в котором производится не по прямым, а по всевозможным окружностям определенного радиуса. Кольцевое преобразование Радона связывает комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с бесконечно узким импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого пропорциональна функции Бесселя. Аналитически исследованы основные свойства кольцевого преобразования Радона.
Численно показана возможность применения изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для выполнения
традиционного преобразования Радона, визуализации фазы и обнаружения точек и порядков фазовой сингулярности светового поля.
На защиту выносятся
Прямое и обратное преобразования мезооптики, которые связаны с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом, пространственным фильтром которой является аксикон. Прямое и обратное кольцевые преобразования Радона, связанные с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого описывается функцией Бесселя.
Применения кольцевого преобразования Радона и преобразования мезооптики для оптического выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы объектной функции и ее особых точек.
*
Прямое преобразование мезооптики
Среди оптических систем с кольцевым импульсным откликом наиболее эффективными в энергетическом смысле являются оптические системы с импульсным откликом в виде максимально узкого светового кольца. Наиболее известной изображающей оптической системой с узким кольцевым импульсным откликом является система с аксиконом [1] - стекляным конусом, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Аксикон, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [2,3] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [4-6].
Одним из применений бездифракционного лазерного пучка является создание оптического пинцета для манипулирования микрочастицами [7].
Формирование узкого кольцевого распределения интенсивности света используется, например, для преодоления фундаментального ограничения на глубину резкости микроскопов. Раздел оптики, в котором используются изображающие оптические системы с кольцевым импульсным откликом, Сороко Л.М. предложил называть мезооптикой [8,9].
Использовать аксикон для формирования изображений прямолинейных объектов для подсчета треков частиц в ядерных фотоимульсиях впервые было предложено в [10].
В работе [11] рассмотрена одна из базовых оптических схем мезооптики, которая представляет собой Фурье-коррелятор с аксиконом в частотной плоскости. Такую оптическую схему нетрудно проанализировать с помощью методов Фурье-оптики.
Несмотря на широкую распространенность аксикона, до сих пор остается невыясненной аналитическая зависимость между входными и выходными световыми полями в базовой оптической схеме мезооптики.
Аксикон является широко распространенным благодаря простоте изготовления. Однако формируемое им кольцо не бесконечно тонкое (без учета дифракционного размытия), а имеет некоторую ширину.
Поэтому представляет интерес рассмотреть другие оптические системы с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца и интегральные преобразования, связанные с ними.
С 1917 года известно преобразование Радона (ПР). Оно широко применяется в обработке изображений, томографии, геодезии, медицине [12-16]. Двумерное преобразование Радона ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости.
ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы [17] или дифракционного оптического элемента [18, 19]. В [17] используется матрица, состоящая из большого числа микро-голограмм, трудоемких для изготовления. В [18] рассматривается подход, осуществляемый с помощью набора пар скрещенных цилиндрических линз, фокусирующих прямые линии в точки. Недостатком является снижение отношения сигнал/шум всего устройства, так как для линий с определенной ориентацией будут участвовать все пары линз. Кроме того, изготовление фазового дифракционного элемента достаточно трудоемко. Подход, описанный в [19], предлагает использование коррелятора с пространственным фильтром, состоящим из набора угловых секторов. Недостатком подхода является ограничение на число угловых секторов (грубая дискретизация по углу).
Из-за указанных недостатков имеет смысл разработать альтернативный метод оптического выполнения ПР с помощью оптической системы с кольцевым импульсным откликом.
Обобщением ПР является преобразование Хоу [20], которое ставит в соответствие функции средние значения этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых). Преобразование Хоу также имеет достаточно много применений. Например, оно применяется для компьютерной обработки видеоизображений листьев растений с целью определения площади листовой поверхности [21]. В этой работе функции ставятся в соответствие интегралы по кривым, имеющим форму эллипса. Существуют также медицинские приложения преобразования Хоу. В работе [22] оно используется для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах. В работе [23] преобразование Хоу применяется для сегментации полутоновых изображений. Частным случаем преобразования Хоу является преобразование, заключающееся в усреднении значений функции по окружностям (или сферам в трехмерном случае).
Обратное преобразование мезооптики
Преобразование Радона (ПР) известно с 1917 года. Оно широко применяется в обработке изображений, томографии, геодезии, медицине [12-16]. Двумерное преобразование Радона ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости (рис. 2.1):
Преобразование Радона: I -линия интегрирования ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы [17] или дифракционного оптического элемента [18, 19].
Известны формулы обращения для ПР [15], с помощью которых можно восстановить саму функцию по ее преобразованию Радона.
Обобщением ПР является преобразование Хоу [20], которое ставит в соответствие функции средние значения этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых). Преобразование Хоу также имеет достаточно много применений. Например, оно применяется для компьютерной обработки видеоизображений листьев растений с целью определения площади листовой поверхности [21]. В этой работе функции ставятся в соответствие интегралы по кривым, имеющим форму эллипса. Существуют также медицинские приложения преобразования Хоу. В работе [22] оно используется для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах. В работе [23] преобразование Хоу применяется для сегментации полутоновых изображений.
В данной главе будет рассматриваться преобразование, ставящее в соответствие функции двух переменных интегралы этой функции по окружностям в плоскости.
В [24] введено некоторое обобщение преобразования Радона - усреднение по сферам. Усреднение по сферам используется в радарах с синтезированной капертурой (SAR) и в акустической навигации (SONAR - sound navigation and ranging). Для сферического преобразования Радона также известны формулы обращения [43, 44]. Связь между усреднением по сферам и обычным преобразованием Радона установлена в [25]. Для двумерного случая в [26, 27] получены формулы обращения усреднения по кривым, лежащим в плоскости, а в [28, 29] приведены теоремы о взаимно-однозначном соответствии между функцией двух переменных и всеми интегралами по окружностям, лежащими в плоскости. То есть в [28, 29] введено в рассмотрение кольцевое преобразование
Радона (ICIIP), хотя оно там так и не назьшается. Заметим, что КПР можно определить разными способами, потому что усреднение по всем окружностям в плоскости является переопределенным, так как набор всех окружностей имеет размерность три, что больше размерности двумерного пространства. В [28] рассматривается кольцевое преобразование Радона как усреднение по всем окружностям, имеющим одну общую точку в центре координат (рис. 2.2). Заметим, что преобразования (2.4) и (2.5) зависят от параметров t и у соответственно, а преобразование (2.3) непараметрическое. В случае (2.5) КОР можно представить как свертку с S-функцией: R, {Ы = Я/М4 - V( f -xY+h-yy}bdy, (2.6) Л2 где {,т]) - декартовы координаты центра окружности радиуса у. В размерных единицах в (2.6) перед квадратным корнем должен стоять множитель k/f, а радиус окружности равен у//к и зависит от длины волны и фокусного расстояния сферических линз. Ц В правой части преобразования (2.6) имеется свертка двух функций, что позволяет представить КПР в виде обратного преобразования Фурье: ,&l) = llrv JP WVo6Ф2+/)«Р[І"( # + УФФ, (2.7) {27Г) RI где F{x,y) = {}/(#,7)ехр[- i(x + yTj)]dtdTj, (2.8) л2 a J0{x) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода. Из уравнения (2.7) видно, что КПР можно оптически реализовать с помощью Фурье-коррелятора, в частотной плоскости которого расположен щ пространственный фильтр, пропускание которого пропорционально функции Бесселя нулевого порядка (рис. 2.5,2.6):
Основные свойства кольцевого преобразования Радона
Из уравнения (2.17) следует, что плоская волна (2.16) переходит в плоскую волну 27ryJ0(ay)exp(ia f), также наклоненную только к одной оси , которая параллельна оси х, то есть КПР сохраняет величину и направление наклона плоской волны, изменяя только амплитуду. Если осу - корень функции Бесселя, то плоская волна не проходит через оптическую систему на рис. 2.5, так как ее амплитуда на выходе равна нулю.
Из уравнения (2.46) следует, что КПР сохраняет функцию Бесселя л-го порядка, умноженную на угловую гармонику, домножая ее на константу. Если ау - корень функции Бесселя нулевого порядка J0(ay) = О, то функция Бесселя п -го порядка не пропускается через оптическую систему на рис. 2.5.
Функция комплексного пропусания пространственного фильтра для выполнения кольцевого преобразования Радона при у = 15 первого (а) и третьего (б) порядков (вещественная часть) Преобразование в таком Фурье-корреляторе имеет вид:
Преобразование (2.51) будем называть кольцевым преобразованием Радона п -го порядка. Видно, что преобразование (2.5) соответсвует нулевому порядку.
В [51, 52] рассматривалось обобщение традиционного преобразования Радона - так называемое преобразование Радона с учетом поглощения и его частный случай, экспоненциальное преобразование Радона [53], имеющее следующий вид:
Рассмотренное кольцевое преобразование Радона позволяет получить более узкое кольцо (рис. 2.10 (а), 2.10 (б)), чем преобразование мезооптики, однако для последнего характерны меньшие энергетические потери, так как в этом случае функция комплексного пропускания пространственного фильтра фазовая. КПР также можно выполнять с помощью Фурье-коррелятора с фазовой функцией комплексного пропускания пространственного фильтра: Н, ( f, rj) = sign{ V f2+/72) } (2.56) Импульсный отклик в этом случае будет не идеально узким кольцом, но более узким, чем для преобразования мезооптики (рис. 2.10 (в)). Из рис. 2.10 (в) видно, что фильтр (2.56) создает узкие кольца и кольца других радиусов, которые имеют существенно меньшую «плотность энергии».
В отличие от преобразования мезооптики, функция комплексного пропускания Hr( ,rf) пространственного фильтра Фурье-коррелятора не является фазовой. В этом случае обращение КПР с помощью Фурье-коррелятора с функцией комплексного пропускания, обратной Hr(g,rj), невозможно,так как Hr( ,rj) имеет нули. Функции на входе f{x,y) и выходе g(x ,y ) Фурье-коррелятора с фильтром Hf{g,rj) связаны следующим соотношением: g = 3-{ff,3{/-}}, (2.57) где 3 и З"1 - прямое и обратное Фурье-преобразования.
Если существует точка (,7]), такая что Нг (,7) = 0»т-е. фильтр часть света
не пропускает, то точное восстановление входной функции по ее образу невозможно. Однако, такое восстановление может быть выполнено при использовании нескольких фильтров.
Пусть используется К фурье-корреляторов с фильтрами Н\{g,77),...,// K{g\TJ). Обозначим функции на выходе корреляторов через gl(x\y,),...1gK(x\y ). Выполняя преобразования Фурье для выходных функций, получим соотношения: где G, ,...,GK - фурье-образы выходных функций g, ,... -Из (2.58) следует, что
Тогда, суммируя уравнения в (2.59), получим, что восстановление входной функции можеть быть выполнено по следующей формуле: При этом необходимым условием является неравенство нулю знаменателя выражения (2.60). Для этого достаточно, чтобы все фильтры не имели общих нулей.
Возвращаясь к прежним обозначениям, можно получить формулу обращения КПР, используя КПР-образы для разных значений параметра у = а иу = /1: где (в полярных координатах) где р = 4%2 +г?г а &а(р$) - Фурье-преобразование КПР-образа в полярных координатах:
В знаменателе выражения (2.62) может быть нуль при условии, что ар = гк и /Зр = гп где гк и г, - нули функции Бесселя: J0(rt) = J0(r;) = 0. С учетом асимптотической формулы для нулей функции Бесселя нулевого порядка гк &я(к — \/4) получим приближенное условие для неравенства нулю знаменателя в уравнении (2.62):
Если на практике КПР регистрируется с ошибками или в присутствии аддитивного шума, то для повышения устойчивости восстановления функции fix,у) по Rr{g,rj) следует использовать обобщение формулы обращения (2.62) на случай многих значений у. Если у - непрерывная величина из отрезка [a,b], то вместо (2.62) можно получить следующую формулу обращения:
Визуализация фазы светового поля
КПР-образы изображения цифр при значениях параметра у, для которых контраст максимален:а) КПР-образ изображения цифр при у = 10; б) КПР-образ изображения цифр при у -17; в) КПР-образ изображения цифр при у = 3\
Из рис. 3.13 видно, что при / = 10 наибольшую интенсивность на КПР-образе имеют отсчеты, соответствующие центрам окружностей с диаметром, равным приближенно половине высоты всей цифры. При у = 11, наибольшую интенсивность на КПР-образе имеют отсчеты, соответствующие центрам окружностей с диаметром, равным приближенно высоте всей цифры. При 7 = 31 КПР-преобразование дало размытие всех цифр, не позволяющее выделить центры окружностей, из дуг которых эти цифры состоят.
Многие интересные для микроскопии объекты обладают высокой прозрачностью и поэтому совсем или почти совсем не поглощают свет (например, бесцветные бактерии). При прохождении света через такой объект основным эффектом будет появление сдвига фазы, величина которого различна в разных точках. Подобный эффект, конечно, нельзя наблюдать с помощью обычного микроскопа и приемника, реагирующего на интенсивность света.
Визуализация фазовых неоднородностей осуществляется с помощью Фурье-коррелятора при размещении в частотной плоскости фазового фильтра Цернике [58] (такое устройство называют теневым прибором [30]). Пусть на входе имеется фазовое световое поле со слабой модуляцией фазы (\ р{х)[ «1): f(x) = exp[i(p(x)]. (3.18) Тогда (3.18) можно разложить в ряд с точностью до квадратичного члена: exp[ty(r)] 1 + i p(x). (3.19)
В частотной плоскости коррелятора получим комплексную амплитуду 3{exp[i ( )]} = 8{g) + /Ф(), (3.20) где ф( ) - Фурье-образ ф(х). Фильтр Цернике имеет пропускание вида: (3-21) которое можно реализовать с помощью прозрачной пластины с показателем преломления п, имеющей ступеньку высотой z: где Я - длина волны света. Диаметр ступеньки 2А равен ширине функции импульсного отклика линзы коррелятора. С учетом (3.20) и (3.21) на выходе коррелятора получим комплексную амплитуду вида 3{3{exp[ty(x)]} Я} = 3{tf() + №()} = /[1 + р{и)\ (3.23) и интенсивность
Из (3.24) видно, что распределение интенсивности света на выходе коррелятора с фильтром Цернике пропорционально фазе исходного светового поля, т.е. модуляция интенсивности на изображении зависит от фазы изображения, а это и есть эффект визуализации фазы. Однако при больших значениях фазовой функции (р(и) приближенное равенство (3.24) будет нарушено и интенсивность на выходе коррелятора будет зависеть от фазы светового поля нелинейно. Визуализация фазового объекта с помощью малой дефокусировки
Для малой дефокусировки можно либо сдвинуть выходную плоскость Фурье-коррелятора Е(х,у), либо использовать фильтр H( ,TJ) в виде слабой параболической линзы: Из выражения (3.32) видно, что интенсивность после дефокусировки будет пропорциональна лапласиану от фазы. В точках перегиба вторая производная будет равна нулю, а в точках экстремума фазы максимальна.
Преимущество метода дефокусировки перед фильтром Цернике в том, что не требуется предположения о «слабости» фазового объекта (ср«\) и вместо фильтра Цернике можно использовать обычную сферическую «слабую» (длиннофокусную) линзу или просто сместить выходную плоскость коррелятора.
Из выражения (3.45) видно, что \Rr(,rfy находится в линейной зависимости с квадратом модуля градиента фазы объектной функции и принимает наибольшее значение в тех точках, где фазовая функция постоянна. Таким образом, КПР может быть использовано для визуализации фазы.
На рис. 3.14 (а) изображена некоторая фазовая функция (128x128 отсчетов). Для численного эксперимента была выбрана кусочно-постоянная функция с фазой 0 (белые квадраты) и ж (черные квадраты). На рис. 3.14 (б) и 3.14 (в) показаны квадраты модуля КПР со значениями параметра КПР у = 1 и у = 5 отсчетов, соответственно.
Из рис. 3.14(6) и 3.14(B) видно, что действительно при малых значениях параметра КПР у интенсивность КПР-образа минимальна в местах резкого изменения фазы входной функции, причем контура подчеркиваются точнее с уменьшением /. Преимущество КПР-метода по сравнению с методом дефокусировки в том, что выходная интенсивность зависит от первых, а не вторых производных от фазовой функции.
