Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Исследование дисперсионных зависимостей... 14
1.1. Требования к дисперсионным формулам... 14
1.2. Обзор методов вычисления точных значений показателей преломления 16
1.3. Выбор весовых коэффициентов при аппроксимации, общая постановка задачи 22
1.4. Краткое описание используемого математического аппарата 25
1.4.1. Метод наименьших квадратов и статистическая опенка результатов аппроксимации 25
1.4.2. Уменьшение погрешности исходных величин при аппроксимации измерений 28
1.4.3. Регрессионный анализ при аппроксимации дисперсионной зависимости п(Я.) 31
1.4.4. Нелинейный метод наименьших квадратов 35
1.5. Сравнение и анализ дисперсионных формул 38
1.5.1. Дисперсионные формулы, линейные относительно искомых параметров. 38
1.5.2. Аппроксимация дисперсионной зависимости формулой Зельмейера... 74
1.6. Аппроксимация спектрального показателя ослабления оптического стекла 80
Выводы 89
Глава 2. Аппроксимация дисперсии оптических материалов с помощью наглядных параметров 91
2.1. Исходные соображения. Универсальные оптические функции 93
2.2. Определение базисного набора длин волн и универсальных оптических функций 99
2.3. Интерполяция универсальных оптических функций 105
2.4. Аппроксимация дисперсионной зависимости отдельных стекол 107
2.5. Определение показателей преломления конкретных реализаций (плавок) оптического стекла 111
2.6. Вычисление показателей преломления при изменении температуры Ї20
Выводы 126
Глава 3. Аппроксимация показателей преломления в рабочем интервале длин волн при оптимизации оптических систем на ЭВМ 128
3.1. Аппроксимация дисперсионной зависимости в рабочем спектральном интервале... 128
3.2. Теоретическая оценка погрешности, допустимой при расчете показателей преломления 131
3.3. Практическая опенка допустимой погрешности показателей преломления 138
Выводы 141
Глава 4. Пути решения задач оптимального выбора стекол при автоматизированном проектировании оптических систем 142
4.1. Алгоритм построения области существования реальных стекол в пространстве параметров 145
4.2. Переход к наборам реальных стекол 151
4.2.1. Определение расстояния между стеклами 152
4.2.2. Компенсация влияния параметров стекол на оценочную функцию изменением других параметров 154
4.2.3. Учет в алгоритме перехода влияния изменения параметров стекол 161
4.3. Результаты исследования метода автоматического выбора стекол 162
Выводы 175
Глава 5. Программная реализация машинного каталога оптических материалов (ЮСОМ) 178
5.1. Место МКОМ в комплексе математического и программного обеспечения расчета оптических систем 178
5.2. Лингвистическое обеспечение МКОМ 183
5.3. Структура ШОМ 187
5.4. Структура исходной информации формирование и обслуживание ЖОМ 189
5.5. Способы обращения к МКОМ 193
Выводы 201
Заключение 203
- Выбор весовых коэффициентов при аппроксимации, общая постановка задачи
- Определение базисного набора длин волн и универсальных оптических функций
- Теоретическая оценка погрешности, допустимой при расчете показателей преломления
- Компенсация влияния параметров стекол на оценочную функцию изменением других параметров
Введение к работе
Современный етап применения вычислительной техники в про-ектно-конструкторских работах характеризуется созданием крупных систем автоматизированного проектирования. Системный подход, использование современных математических методов и последних достижений теории, наличие большого количества взаимодействующих между собой программ, подключение разнообразного периферийного оборудования, автоматизация использования входной нормативной документации (ГОСТы, ОСТн, нормали и т.п.) и автоматизация выпуска результирующих документов обеспечивают эффективность применения вычислительной техники на всех этапах процесса проектирования.
В историческом документе "Основные направления экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года", конкретно и всеобъемлюще отражающем экономическую политику нашего государства, отмечена актуальность решения задач, позволяющих "расширять автоматизацию проектно-конструк-торских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники" [I].
В постановлении Щ КПСС и СМ СССР "0 мерах по ускорению научно-технического прогресса в народном хозяйстве", опубликованном в августе 1963 года, также подчеркивается необходимость "...создания гибких автоматизированных производств и систем автоматизированного проектирования и их использования в народном хозяйстве".
В области оптического проектирования, специфика которого заключается в необходимости выполнения большого количества трудоемких вычислений, применение ЭВМ имеет давние традиции. К настоящему времени в различных организациях имеется значительное количество разнообразных программ, предназначенных для решения многих отдельных задач, связанных с расчетом оптических систем. Однако зти программы, созданные разными авторами и часто на основе различных теоретических подходов, имеют различную структуру исходных данных, требуют заполнения неодинаковых входных бланков, а несогласованность выходных данных исключает возможность сквозного использования программ без ручного переоформления промежуточных результатов.
Среди исходных данных, задание которых на входных бланках занимает существенную часть рабочего времени оптиков-конструкторов, значительное место принадлежит числам, характеризующим на данном спектральном интервале свойства оптических материалов, входящих в проектируемую оптическую систему. Так числовые значения только показателей преломления для нескольких длин волн составляют более 50% общего количества чисел в исходных данных. Кроме того, для определения пропускания, цветности необходимы значения показателей ослабления оптических материалов на разных участках спектра, для расчета териооптических аберраций - термооптические характеристики стекол. В настоящее время основными официальными документами, содержащими все зти сведения, являются ГОСТ 13659-78, ОСТ 3-77-77, РТМ-3-995-77 и некоторые другие. Информация, вручную извлекаемая оптиками-конструкторами из соответствующих таблиц, часто требует дополнительной математической обработки (например, с целью интерполяции), для чего применяются отдельные промежуточные программы. Такая практика значи тельно увеличивает вероятность появления ошибок в исходных данных и приводит к потерям как рабочего времени конструкторов,так и машинного времени.
Таким образом, разработка системы автоматизированного проектирования оптики в качестве одного из необходимых этапов включает в себя создание машинного каталога оптических материалов (МКОМ), под которым будем понимать комплекс математических методов, программ и наборов данных, автоматизирующий процесс получения и обработки информации о свойствах оптических материалов на всех этапах процесса проектирования. Наличие хорошо организованного машинного каталога в составе автоматизированной системы позволяет при описании исходных данных, касающихся свойств оптических материалов, ограничиться только указанием их марок. Значения показателей преломления, их температурных изменений и значения коэффициентов ослабления для указанных длин волн должны быть поставлены или вычислены автоматически. При этом существенно уменьшается количество задаваемых оптиком-конструктором исходных данных, исключается необходимость их предварительной обработки и исчезают многие источники ошибок в них.
Кроме того машинный каталог должен обеспечить возможность использования параметров стекол в качестве коррекционных параметров в так называемых программах автоматизированной коррекции оптических систем. Это позволило бы включить марки стекол,составляющих проектируемую оптическую систему, в число других автоматически выбираемых конструктивных параметров.
Быстрое развитие вычислительной техники и все более глубокое проникновение современных методов ее использования в практику оптического проектирования позволяют заключить, что в ближайшее время фактическим источником информации о свойствах стекол станет не ГОСТ, ОСТ или им подобные документы, а построенный на
их основе и заменяющий их машинный каталог оптических материалов. При этом важно отметить, что машинный каталог материалов в силу своей специфики не является эквивалентом этих документов, которые в настоящее время не приспособлены для машинного использования, ставшего уже совершенно необходимым.
По имеющимся данным различные программы, существующие в отдельных организациях, не решают полностью поставленных задач и чаще всего сводятся к интерполяции табличных значений показателей преломления. В зарубежной литературе встречаются упоминания о необходимости разработки и применения машинного каталога, но там нет сведений о его структуре или способах организации.
Для реализации машинного каталога, позволяющего решить перечисленные задачи, необходимо исследовать и разработать математические методы и программы, обеспечивающие: выбор оптимальных параметров при аппроксимации зависимости показателя преломления и коэффициента спектрального ослабления от длины волны и температуры; рациональную организацию на машинных носителях информации об оптических материалах; эффективное использование этой информации в программах расчета оптических систем на всех основных этапах процесса авто-матиз ированного проектирования.
Целью диссертационной работы является разработка методов, алгоритмов и программ, обеспечивающих определение уточненных значений показателей преломления и ослабления стандартных отечественных и зарубежных оптических материалов и их плавок в широком спектральном и температурном интервалах, автоматизацию выбора марок стекол «входящих в оптическую систему, и создание
МКОМ, как части информационного и программного обеспечения системы автоматизированного проектирования оптики.
При этом предусматривается решение следующих задач: 1. Анализ современных способов вычисления показателей преломления. Разработка единого для большинства оптических материалов метода аппроксимации дисперсионной зависимости,обеспечивающего повышенную точность определения показателей преломления в широком спектральном интервале за счет избыточности исходных данных. 2. Исследование результатов аппроксимации зависимости п(Х) и обоснование выбранной дисперсионной формулы методами математической статистики. 3. Разработка и исследование метода вычисления показателей преломления плавок оптических стекол по их паспортным данным, а также при изменении температуры от -60°С до +120°С. 4. Разработка алгоритма и программы для расчета спектрального показателя ослабления оптических стекол в широком спектральном интервале от 0,365 мкм до 2,6 мкм. 5. Создание метода описания свойств оптических материалов в рабочем спектральном интервале для автоматического выбора марок стекол при синтезе оптических систем, обеспечивающего удержание параметров стекол в допустимой области определяемой машинным каталогом. 6. Разработка эффективного алгоритма перехода от теоретических значений параметров стекол, полученных в ходе оптимизации, к реальному набору оптических материалов заданного класса относительной доступности. 7. Разработка алгоритмов и комплекса программ, обеспечивающего создание, сопровождение и использование машинного каталога отечественных и зарубежных оптических материалов в рамках САПР. На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы: 1. Статистически обоснованный метод аппроксимации дисперсионной зависимости в широком спектральном интервале с помощью усовершенствованной формулы Герцбергера. 2. Метод вычисления температурных приращений показателей преломления и показателей преломления плавок стекол по минимальному количеству измерений, выполненных в видимой области спектра. 3. Математическая модель дисперсии стекла в рабочем интервале длин волн и метод выбора оптимальных рабочих параметров стекол при автоматической коррекции оптических систем. 4. Метод перехода от теоретических значений рабочих параметров стекол, полученных в ходе автоматической коррекции, к параметрам реальных стекол из числа помещенных в МКОМ. 5. Структура МКОМ и алгоритмы его формирования, использования и сопровождения. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.
Первая глава содержит обзор и анализ известных дисперсионных формул и общие требования к тем из них, которые могут быть положены в основу машинного каталога оптических материалов (МКОМ). В ней приводится краткое изложение применяемого математического аппарата, исследуются распространенные дисперсионные соотношения и приводятся типичные результаты машинных расчетов, содержащие полный статистический анализ.
Вторая глава посвящена изложению и исследованию разработанного автором метода аппроксимации показателей преломления с помощью наглядных параметров и универсальных оптических функций, позволяющего с высокой степенью точности вычислять значения частных относительных дисперсий, а также показателей преломления при переходе от "плавки к плавке" и при изменениях температуры.
В третьей главе рассматриваются особенности вычисления показателей преломления в рабочем спектральном интервале, вводится понятие о рабочих параметрах и приводится теоретическая и практическая оценка допустимой погрешности при вычислении показателей преломления.
Четвертая глава посвящена рассмотрению вопросов, связанных с использованием МКОМ при оптимизации оптических систем. В ней излагается алгоритм аппроксимации эллипсоидом в трехмерном пространстве параметров множества точек, соответствующих стеклам заданного класса и алгоритм перехода к наборам реальных оптических материалов в процессе автоматической коррекции.
Пятая глава содержит описание программной реализации разработанных методов на ЕС ЭВМ в рамках САПР оптических систем. Основные научные результаты диссертации и их новизна: 1. Впервые статистически обоснован метод аппроксимации дисперсии оптических материалов во всем интервале их прозрачности. 2. Существенно развит предложенный М.Герцбергером метод определения показателей преломления в широком спектральном интервале с помощью наглядных параметров и универсальных оптических функций. 3. Впервые предложен метод и развит математический аппарат определения базисных длин волн при вычислении поправок к частной относительной дисперсии по универсальным функциям и получены их значения. 4. Впервые предложен метод и испытан алгоритм вычисления температурных приращений показателей преломления для любой длины волны, а также показателей преломления плавок по минимальному числу измерений, выполненных в видимой области спектра. 5. Предложен метод описания дисперсионной зависимости стекол в рабочем интервале длин волн с помощью разложения по ортогональному базису от специально выбранной переменной, обеспечивающий минимальное количество членов разложения и удобство при оптимизации оптических стекол на ЭВМ. 6. Впервые предложен метод автоматического выбора марок стекол, отличающийся тем, что в процессе оптимизации значения параметров стекол удершгоаются в допустимой области, определяемой каталогом стекла, путем использования недиагональной демп-" фирующей матрицы, описывающей указанную область. 7. Выполнена модификация демпфированного метода наименьших квадратов, обеспечивающая компенсацию ухудшения критерия коррекции, вызванного заменой теоретических параметров стекол реальными, с помощью других параметров оптической системы. Практическая ценность и промышленное использование материалов диссертации:
Применение математических моделей характеристик оптического стекла позволяет сократить потери рабочего времени оптиков-конструкторов и затраты машинного времени, необходимые для получения значений этих характеристик для заданных длин волн, отсутствующих в таблицах. 2. Предложенные методы повышают точность и достоверность получаемой информации за счет статистической обработки избыточных исходных данных. 3. Метод определения показателей преломления плавок уменьшает количество необходимых трудоемких измерений до трех и су щественно упрощает процесс заказа и поставки бесцветного оптического стекла заводами отрасли. 4. Применение рабочих параметров позволяет автоматизировать выбор наиболее эффективных марок стекол при расчете оптических систем с апохроматической коррекцией аберраций. Ранее этот выбор полностью определялся квалификацией оптика-конструктора. На основе предложенных в диссертации методов и алгоритмов соискателем разработан и внедрен комплекс программ "Машинный каталог оптических материалов", успешная эксплуатация которого на многих предприятиях оптико-механической промышленности подтверждает практическую значимость работы. Экономический эффект от внедрения программ составляет 250 тыс.руб.в год. Результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции по созданию и внедрению новых оптических систем различного назначения (Ленинград, 1971 год), Научно-технических конференциях молодых специалистов Л0М0 (Ленинград, 1973 год) и КМЗ (Красногорск, 1974 год), на второй Всесоюзной конференции пользователей ЕС ЭВМ (Москва, МГУ, 1979), семинарах кафедры ТОП в ЛИТМО, на научно-практическом семинаре "Диалоговые вычислительные системы" (Ленинград,1981), Всесоюзном семинаре по теории и расчету оптических систем (Ленинград, ГОИ, 1962 год). Основное содержание диссертации отражено в печатных работах [22,23,56,61,68,69,106,107,108].
Выбор весовых коэффициентов при аппроксимации, общая постановка задачи
Так как данные о показателях преломления стекол являются результатами эксперимента и содержат неизбежную погрешность, то целью аппроксимации показателей преломления дисперсионной формулой является не столько возможность получения значений показателей на промежуточных длинах волн (интерполяция), сколько уменьшение погрешности измерений статистическими методами за счет избыточности данных.
Известно [29,30,31] , что классические методы интерполяции обеспечивают точное совпадение интерполирующей и интерполируемой функций в узлах. Очевидно, что используя такие методы или повышая степень аппроксимирующего полинома, можно достичь равенства исходных (приведенных в стандартах) и вычисленных значений показателей преломления на фиксированном наборе длин волн. При этом необходимо отметить, что стремясь к лучшему-согласию с экспериментальными данными, мы, начиная с некоторого момента, неизбежно получим рассогласование с истинной зависимостью п(А-), которую мы стремимся оценить наилучшим образом [29, 32] . Это объясняется тем, что "экспериментальные данные представляют собой случайные величины и содержат лишь ограниченную информацию, которую можно использовать для оценки [29]. Таким образом, наша задача сводится к построению метода корректной аппроксимации«позволяющего обосновать количество коэффициентов в аппроксимирующем выражении путем статистического анализа их значимости. В связи с этим очень актуален вопрос о точности экспериментальных значений показателей преломления, которые приводятся в ГОСТе и используются оптиками при проектировании оптических систем. К сожалению, в документах, содержащих показатели, которые являются исходным материалом при расчете, не содержатся сведения о погрешности исходных данных. В документах, регламентирующих методики измерений [33,34,35] , сообщается, что погрешность самой точной из них составляет в видимом диапазоне не менее 1,5.10 . Имеется значительное количество работ [36,37,38,39,40,41,42],посвященных технике измерения показателей преломления с повышенной точностью. Так сообщается [36] , что применение интерференционного способа позволяет уменьшить погрешность до 2.10 - 5.10 в видимой области спектра. В работе [13] , тем не менее, содержится ряд предостережений, направленных против возможного преувеличения точности выполненных измерений, к которым склонны экспериментаторы, не учитывающие влияние атмосферного давления, а также состава и температуры воздуха. В статье [42] утверждается, что под влиянием космического излучения изменение показателя преломления может достигать величины 2.10 . По-видимому, можно ожидать, что экспериментальные данные, используемые при расчетах, имеют погрешность порядка 1,5.10 . Как будет показано в главе 3 и как свидетельствует практика оптических расчетов, для коррекции хроматизма длиннофокусных оптических систем требуется знание разностей показателей преломления с более высокой точностью, поряд-ка 10" . Отсюда следует важность статистически обоснованной аппроксимации показателей преломления, которая позволяет уменьшить погрешность значений показателей за счет избыточности измерений.
С другой стороны для проведения корректной статистической обработки необходимо знать погрешности экспериментальных данных, по крайней мере, с точностью до постоянного множителя,то есть знать весовые коэффициенты показателей для различных длин волн. В соответствии с ГОСТ 8.011-72 результаты любых измерений, выполненных с целью публикации в справочных материалах (ГОСТах, ОСТах и т.п.) должны сопровождаться следующими показателями точности измерений: интервал, в котором погрешность измерения находится с заданной вероятностью; интервал, в котором систематическая составляющая погрешности измерения находится с заданной вероятностью; числовые характеристики систематической составляющей погрешности измерений; плотности вероятности систематической и случайной составляющих погрешности измерений. Эти сведения не содержатся,к сожалению, ни в одном из справочных материалов и, возможно, вообще отсутствуют. Поэтому в дальнейшем погрешность обрабатываемых данных принята равной единице последней приводимой в таблицах ГОСТа значащей цифры и для большинства марок отечественного стекла составляет: 1.10 на длинах волн 0,365 мкм (і) и 0,40466 мкм (Ъ) и интервале от 0,7 мкм до 1,4 мкм; 1.10" на интервале от 0,43405 мкм (& ) до 0,65628 мкм ( С) 1.10"" на интервале от 1,5 мкм до 2,6 мкм. Весовые коэффициенты показателей преломления выбраны как величины обратно пропорциональные погрешностям и после приведения к единице (умножены на I0"u) равны соответственно I; 10; 0,1.
Необходимо отдельно отметить, что значение показателя преломления на длине волны D приводится в ГОСТ 13659-68 и ГОСТ 13659-78 округленным до 1.10 , что неблагоприятно сказывается при вычислении хроматических аберраций. Поэтому при ап-роксимации весовой множитель для n(D) следует принять равным 0,1, чтобы Уменьшить влияние ошибки округления, внесенной в таблицы П.(А) .
Определение базисного набора длин волн и универсальных оптических функций
Выше приводились общие соображения в пользу подхода, основанного на представлении частной относительной дисперсии выражением вода (2.2). Рассмотрим главные трудности, стоящие на пути его успешного применения.
Во-первых, вместо эмпирического выбора опорных длин волн при определении поправочных коэффициентов, необходимо разработать способ их выбора из условия наибольшей корректности аппроксимации. Во-вторых, следует выбрать не только вид универсальных оптических функций, но и обосновать их количество«необходимое для работы в интервале (0,365-2,6) мкм. Кроме того следует использовать не интерполяцию, а метод наименьших квадратов, что обеспечит наилучшую аппроксимацию на всех длинах волн заданного спектрального интервала с учетом весовых коэффициентов.
Для обоснованного выбора поправочных коэффициентов и их количества р на более широком интервале длин волн предположим, что для каждой длины волны ЛІ 1-ГО стекла назначен свой поправочный коэффициент со : . Бго величина может быть тогда определена следующим выражением: где q.g л с . т - нормирующий множитель.
Исследуем матрицу 2 » численные значения элементов которой могут быть легко вычислены, поскольку функции А4(ЛЛ и Аа(Л0 уже определены. Каждая \-ая строка матрицы й пред ставляєт собой вектор f = , содержащий поправки для одного г-го стекла ( \=»i,H ) на всех длинах волн As(Jai,L) . Рассмотрим выражение (2.8), аппроксимирующее эти поправки где С- матрица размерностью Lxp значений некоторого базиса, а В - вектор размерностью р 1 параметров аппроксимации. Если из каких-нибудь соображений выбран конкретный базис,то р искомых параметров легко вычислить, например, с помощью МНК. Однако, решить задачу выбора базиса, если он не задан, в случае анализа отдельного стекла не представляется возможным.
Рассмотрим теперь эту задачу для всех М стекол одновременно. Выражение (2.8) примет вид где С - матрица значений неизвестного, единого для всех стекол базиса, размерностью L p , 9 - матрица параметров аппроксимации размерностью р М , Q- матрица поправок, вычисленных в соответствии с (2.7) размерностью MXL . Требуется так выбрать С , чтобы равенство выполнялось как можно точнее. Известно, что ранг произведения матриц не превосходит ранга сомножителей. Ранг матрицы С и матрицы G очевидно не превосходит р , так как рхМ и p L. Пусть ранг г матрицы S? равен рангу р произведения 9 С
В этом случае соотношение (2.10) можно выполнить абсолютно т точно. Покажем, что при г»р надлежащий выбор 9 позволяет определить значения матрицы С . Выделим в матрице Q р линейно независимых (базисных) столбцов и после необходимых перестановок представим S? в виде клеточной матрицы где Ъ - матричный блок размерностью М р » состоящий из базисных столбцов матрицы Q - матричный блок размерностью M (L p) , состоящий из линейно зависимых (небазисных) столбцов матрицы ? .
Так как г=р , линейно зависимые столбцы Q могут быть выражены через базисные с помощью некоторой матрицы Н раз- где В - первые р линейно независимых столбцов матрицы 2 , расположенных "в порядке убывания их независимости".
Небазисные столбцы не могут быть, в этом случае, точно выражены через базисные в виде ВН. Поэтому в выражении (2.14) появляется матричный блок размерностью M (L-p) , показывающий отклонение небазисных столбцов от зависимости ВН. В виде (2.14) может быть представлена любая матрица, однако, можно показать, что при выборе в качестве базисных первых р наиболее линейно независимых столбцов, норма матрицы поправок Є получается минимальной. Заметим, что первые р базисных столбцов соответствуют первым р сингулярным числам матрицы 2 , расположенным в порядке убывания [45].
В этом случае матрица С уже не может быть определена из выражения (2.13) и должна определяться из условия минимизации нормы отклонений от равенства (2.10):
Задача минимизации этой нормы решается с помощью МНК, который приводит к соотношению т Можно показать, что выбор Q =В в (2.16) минимизирует норму (2.15) не только по С , но и по всем возможным Э . Таким образом получаем окончательное выражение
Итак задача сводится к поиску линейно независимого базиса матрицы 52 , имеющего заданный ранг р и определению затем матрицы С значений универсальных оптических функций в соответствии с выражением (2.17). Таким образом найдено решение задач, поставленных в начале этого раздела. Предложен и обоснован способ определения базиса такого, что номера найденных базисных столбцов будут соответствовать тем длинам волн, поправки на которых обеспечивают наибольшую корректность аппроксимации. Определение ранга может выполняться методом исключения Гаусса с выбором ведущего элемента. Одним из способов численной реализации метода исключения является, так называемое LU - разложение [45,46,51), позволяющее представить любую матрицу в виде произведения St?sLDir
При практическом выполнении этих расчетов были использованы стандартные программы из пакета прикладных программ на Фортране [51], в частности, для определения ранга, программа DHYGR В результате этих вычислений были выделены Р базисных столбцов, из которых несколько первых соответствуют следующим длинам волн из рассматриваемого стандартного интервала: Л3= 0,43405 мкм (& ), Яи=2,5 мкм, Лх=0,36501 мкм ( і), Ла=0,40466 мкм (К), А9=0,65628 мкм (С), Яа=0,7 мкм, Лаі=І,5 мкм.
Поправки именно на этих опорных длинах волн, как было сказано выше, обеспечивают наибольшую корректность аппроксимации, то есть получение наименьшей погрешности аппроксимации при из вестной погрешности исходных данных. Выделив р опорных длин волн, мы можем определить теперь универсальные оптические функции
Теоретическая оценка погрешности, допустимой при расчете показателей преломления
Для оценки аберраций оптических систем удобно использовать функцию волновой аберрации WCJC.p), представленную разложением в ряд по ортогональным полиномам:
Воспользуемся соотношением (3.8) для того, чтобы оценить количество m полиномов Лежандра в разложении (3.5), достаточное для обеспечения требуемой точности вычисления хроматических аберраций. Для простоты ограничимся рассмотрением только точки на оси. В этом случае, в силу симметрии, волновая аберрация зависит только от четных степеней относительной координаты р и может быть задана в виде где RaK0(f) - радиальные полиномы Цернике. При этом коэффициент w080 выражает расфокусировку, wuo , wwo и т.д. -"первичный", "вторичный" и т.д. хроматизм положения, w0JO -сферическую аберрацию третьего порядка, w140 , wwo и т.д.-"первичный", "вторичный" и т.д. сферохроматизм.
В качестве критерия остаточных аберраций для хорошо корригированных систем используется, как известно[2,72} , средне-квадратическая волновая аберрация WCKb , которая, вследствие ортогональности полиномов, легко находится через коэффициенты nгде со = — - норма полиномов Цэрнике, сое- - норма полиномов Лежандра.
В соответствии с критерием Марешаля [72] оптическая система считается практически безаберрационной, если выполняется услоте Как видно из табл.3.4, наибольшее значение имеют коэффициен ты хроматизма положения, поэтому влияние погрешности показателя преломления прежде всего сказывается на них. Ограничиваясь в разложении (3.5) тремя или пятью членами, мы, в соответствии с (3.8), не учитываем в разложении волновой аберрации члены,начиная с W320 или W52Q . Оценим их допустимые величины, исходя из марешалевского критерия: где о3 - средняя величина коэффициента о3 , Сяо - средняя величина суммарного коэффициента Сао . Но коэффициент Сао , описывающий основную часть переменной составляющей оптической длины луча между поверхностями, соизмерим в первом приближении (для осевого пучка) с величиной стрелки прогиба поверхности. Поэтому, исходя из (З.П) и (3.12), /.ъ можно оценить с помощью неравенства где Сао - средняя суммарная величина стрелки
Считая, что величина стрелки принимает значения от 10 мм до 50 мм, получаем Аналогичные вычисления при Е =5 позволяют оценить верх-нее допустимое значение для о5 величиной 4x10 . Проверка показала, что при использовании МНК для определения рабочих параметров, последнее условие ( о5 4x1 СП) выполняется практически всегда даже для весьма широких рабочих интервалов (0,36 мкм - 0,7 мкм).
Таким образом, можно заключить, что применение разложения (3.5) для аппроксимации дисперсии стекла на рабочем интервале при т=4 не повлечет за собой погрешности в вычислении хроматических аберраций, если для каждого \-го стекла, входящего в оптическую систему, выполняется условие oi5 4x10 .
Естественно предположить, что для реальных оптических систем требования к точности вычисления показателей преломления окажутся менее жесткими, чем теоретические оценки, полученные для почти идеальных систем. Для исследования была составлена специальная программа, блок-схема которой представлена на рис. 3.1.
Для нескольких хорошо корригированных объективов с исправленными хроматическими аберрациями вычислялась волновая аберрация п лучей осевого пучка, равномерно распределенных по квадрату координаты на зрачке (п 50). Эти расчеты выполнялись для большого числа частот ( 20), соответствующих равномерному разбиению по у.є (-1,1). Таким образом, была получена матрица "W , каждый элемент W-J которой представляет собой значение функции волновой аберрации w(t ,%i), где t p - координата на зрачке, а у. є (-1,1) - спектральная координата. Для определения коэффициентов wtK разложения (3.3) дважды использовался МШ, при этом количество удерживаемых в (3.3) полиномов Цер-нике и Лежандра было равно, соответственно, 5 и 7. Большое количество узлов позволило при вычисленных без заметной погрешности заменить интегрирование суммированием. Для каждого объектива такой расчет WCM и коэффициентов wtK выполнялся три раза с показателями, вычисленными тремя способами: с помощью машинного каталога стекла [23,57]; по формуле (3.5) при т=4; по формуле (3.5) при т=2. Результаты расчетов приведены в табл. 3.4 и 3.5.
Компенсация влияния параметров стекол на оценочную функцию изменением других параметров
Комплекс математического и программного обеспечения расчета оптических систем и анализа качества изображения предназначен для проектирования оптических систем различных классов, состоящих из плоских, сферических и асферических поверхностей вращения второго и высшего порядков любого типа. Структурная схема представлена на рис.5.1. (Двойной рамкой отмечены функциональные блоки системы, непосредственно обращающиеся к МКОМ). Машинный каталог оптических материалов входит в состав комплекса как необходимая составляющая часть базы данных и должен удовлетворять общим требованиям, предъявляемым к информационному обеспечению. Наиболее важными среди них являются: полнота в рамках рассматриваемых задач; небольшое время ответа; универсальность по отношению к оборудованию (независимость от внешних запоминающих устройств); возможность расширения пополнения) два уровня обращения к данным, а именно: уровень пользователя и уровень программиста; различная физическая и логическая организация данных на машинных носителях.
Два последних требования объясняются прежде всего тем,что пользователи программного комплекса не являются специалистами в области вычислительной техники и программирования и должны быть избавлены от необходимости вникать в особенности реализации каталога на той или иной ЭВМ.
Язык описания объекта проектирования является обязательной частью лингвистического обеспечения всякого крупного программного комплекса. Синтаксис языка должен быть прост и удобен для изучения, а семантика максимально приближена к понятиям, обозначениям и терминологии, принятым среди пользователей.
С другой стороны, правила языка и понятия, описываемые с его помощью, должны быть достаточно универсальными и обобщенными, чтобы обеспечить единообразное представление оптических систем различных типов и классов. Такой язык был разработан при участии автора и внедрен в рамках конкретной системы автоматизированного проектирования на ряде предприятий и организаций. Язык описания оптических систем (Я00С) не является алгоритмическим языком, но допускает выполнение арифметических операций над определенными в нем переменными и элементами массивов. За основу приняты несколько измененные и расширенные правила записи арифметического оператора присваивания, известного из распространенных языков ФОРТРАН и ПЛ/І. Принципиальное отличие ЯООС заключается в том, что идентификаторы являются не любыми последовательностями букв и цифр, начинающимися с буквы, а представляют собой допустимые сочетания, именующие конкретные характеристики и конструктивные параметры описываемой оптической системы. Преобразование описания оптической системы с ЯООС во внутренний машинный вид выполняется программой-транслятором. При разработке этой программы были использованы некоторые принципы построения синтаксически ориентированного транслятора,один из которых предписывает сосредотачивать необходимые для трансляции правила, идентификаторы, ключевые слова и признаки в таблицах, внешних по отношению к транслятору. Этот прием позволяет существенно расширить область применения программы, практически не изменяя при этом ее содержательную часть. Обращение пользователей к каталогу должно происходить на уровне входного языка описания оптических систем, для чего в состав операторов языка необходимо включить специальные средства для задания марок оптических материалов и сведений о плавках и температуре. Таким образом, необходимы программы, выступающие в качестве посредников между пользователями и наборами данных, хранящимися на магнитных дисках. Назначение и место этих программ в процессе функционирования программного комплекса иллюстрируется схемой на рис.5.2. Они оформлены как в виде отдельных блоков транслятора с ЯООС, реализующих те операторы входного языка, которые относятся к каталогу стекла, так и в виде стандартных подпрограмм, обеспечивающих обращение к МКОМ из различных программ в ходе автоматизированного проектирования. Подобные программы относятся к так называемым "прозрачным" средствам информационного обеспечения [105] , которые предоставляют проблемным программистам удобные и простые средства доступа к данным, оставляя скрытыми конкретные особенности организации МКОМ и численных методов, лежащих в его основе.
При разработке входного языка автоматизированной системы проектирования оптики были предусмотрены средства неявного обращения пользователей к машинному каталогу оптических материалов. В простейшем, наиболее часто встречающемся случае, эти средства должны обеспечивать возможность указания только марок стекол, входящих в рассчитываемую оптическую систему,и рабочего спектрального интервала. Если в исходных данных не содержится никаких дополнительных указаний, то в оперативную память ЭВМ будут поставлены значения показателей преломления и/или коэффициентов спектрального ослабления стандартных стекол перечисленных марок для указанных длин волн. Необходимо, однако, предусмотреть дополнительные возможности, позволяющие определять температурные изменения показателей преломления, необходимые для вычисления термооптических аберраций, а также рассчитывать показатели преломления плавок.
Рассмотрим те средства ЯООС, с помощью которых пользователи могут обращаться к каталогу оптических материалов. Основной структурной единицей ЯООС является оператор (предложение) языка, состоящий из правой и левой частей, которые отделяются друг от друга символом " = " (присвоить). В левой части записывают идентификатор переменной или список идентификаторов, а праваячасть содержит значение или список значений, которые будут им присвоены. Значения, стоящие в правой части могут быть числовыми иди текстовыми константами, переменными, определенными в предшествующих операторах, а также арифметическими выражениями. Переменные могут быть простыми и индексированными. Индексы заключаются в круглые скобки, допускается использование списка индексов. Элементы списков отделяются запятыми, все операторы языка завершаются символом.
