Содержание к диссертации
Введение
1. Современные оптические системы переменного увеличения и методы их расчета 8
1.1. Основные характеристики объективов с переменным увеличением 10
1.2. Обзор существующих схем объективов переменного увеличения 12
1.3. Обзор основных существующих методов расчета систем переменного увеличения 23
1.4. Выводы по главе 28
2. Методы автоматизированного расчета оптических систем в гауссовой области 30
2.1. Автоматизированный синтез систем переменного увеличения 30
2.2. Альтернативный метод синтеза систем переменного увеличения 43
2.3. Автоматизированный синтез систем «двойного сопряжения» 45
2.4. Альтернативный метод синтеза систем двойного сопряжения 49
2.5. Выводы по главе 51
3. Методы автоматизированного расчета оптических систем в параксиальной области 53
3.1. Усовершенствованный универсальный численный алгоритм для расчета оптических систем в параксиальной области. 53
3.2. Сравнительный анализ численных и алгебраических методов автоматизированного расчета оптических систем в параксиальной области . 67
3.3. Использование универсального численного алгоритма для решения неравенств. 73
3.4. Выводы по главе 76
4. Компьютерное моделирование систем переменного увеличения в области гаусса и реализация в толстых компонентах. 77
4.1. Расчет трехкомпонетной системы с дискретным изменением увеличения 77
4.2. Расчет четырехкомпонентной системы с заданными начальными осевыми расстояниями 78
4.3. Расчет четырехкомпонентной системы с телецентрическим ходом главного луча 80
4.4. Расчет пятикомпонентного объектива с исправленной кривизной Петцваля 81
4.5. Расчет четырехкомпонентной системы 82
4.6. Расчет трехкомпонентной системы с элементом, изменяющим оптическую силу. 85
4.7. Расчет пятикомпонентной системы «двойного сопряжения» 86
4.8. Расчет пятикомпонентной системы «двойного сопряжения» с элементами, изменяющими оптическую силу 87
4.9. Расчет пятикомпонентной системы «двойного сопряжения» с заданными начальными промежутками. 89
4.10. Расчет панкратического объектива в области реальных полей и апертур 93
4.11. Выводы по главе 98
Заключение 100
Список литературы 101
- Обзор существующих схем объективов переменного увеличения
- Автоматизированный синтез систем «двойного сопряжения»
- Сравнительный анализ численных и алгебраических методов автоматизированного расчета оптических систем в параксиальной области
- Расчет четырехкомпонентной системы с заданными начальными осевыми расстояниями
Введение к работе
Актуальность работы:
Одним из важных этапов проектирования центрированных изображающих оптических систем, имеющих нетривиальную структуру, является синтез оптической схемы в области Гаусса. На этом этапе определяются такие параметры системы, как оптические силы компонентов, осевые расстояния между ними, положение предмета и входного зрачка, исходя из требований к параксиальным характеристикам системы или ее части. Наиболее трудным параксиальный синтез представляется при расчете систем переменного увеличения, а также так называемых систем «двойного сопряжения», которые при изменяемом увеличении имеют две пары неподвижных сопряженных плоскостей: предмета и изображения, входного и выходного зрачка.
Обсуждению данной проблемы посвящено значительное количество публикаций. Изложим кратко основные подходы к ее решению. Первая группа методов использует экспертные системы, основанные на поиске в базе данных наиболее подходящего аналога. Такой подход позволяет игнорировать этап параксиального синтеза, однако не может дать положительный результат, когда речь идет о необходимости получения нового решения. Вторая группа методов основывается на применении для синтеза методов нелинейного программирования. Подобный подход требует наличия некоторой стартовой системы, которая во многих случаях отсутствует либо требует трудоемкого патентного поиска. К третьей группе можно отнести методы, основанные на разработке специализированных алгоритмов, учитывающих специфику решаемых задач. Однако эти методы не универсальны (не могут применяться для других систем) и не обладают достаточной степенью автоматизации. В частности, большинство специальных методов разработано для классических панкратических объективов с перемещающимися компонентами и не могут применяться для расчета систем, содержащих элементы с переменной оптической силой, такие как жидкостные линзы, которые в настоящее время получают все более широкое распространение в технике. Жидкостные линзы представляют собой пластиковую камеру заполненную двумя разными жидкостями (например, водой и нефтью), которая под внешним воздействием (гидравлическим или электромагнитным) может изменять кривизну поверхности и, следовательно, оптическую силу. Для расчета систем, построенных на подобных элементах, применяются собственные специализированные алгоритмы.
Таким образом, ни один из существующих методов не позволяет в полной мере, на универсальной основе, с использованием средств автоматизации выполнить параксиальный синтез центрированных оптических систем переменного увеличения. Поэтому исследование и разработка новых методов такого класса является актуальной научной и практической задачей.
Цель работы:
Разработка методов синтеза оптических систем переменного увеличения в гауссовой области с использованием компьютерных технологий.
Задачи исследования:
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Исследовать существующие методики синтеза оптических систем в области Гаусса.
-
Разработать и реализовать универсальный метод параксиального синтеза базовой трехкомпонентной системы переменного увеличения.
-
Разработать и реализовать алгоритм перехода от базовой схемы к системе с механической или оптической – на основе использования компонентов переменной оптической силы - компенсацией сдвига изображения.
-
Разработать и реализовать алгоритм синтеза оптических систем «двойного сопряжения».
-
Усовершенствовать универсальный метод и алгоритм параметрического синтеза в области Гаусса, основанный на использовании численного подхода к решению систем полилинейных модельных уравнений.
-
Осуществить апробацию разработанных методов на примере расчета панкратического объектива в области реальных полей и апертур.
Научная новизна:
-
Создана система универсальных математических моделей для расчета центрированных оптических систем переменного увеличения в области Гаусса, пригодная как для схем с механической компенсацией, так и для схем, содержащих компоненты с изменяемой оптической силой.
-
Разработана система универсальных математических моделей для синтеза центрированных систем «двойного сопряжения» в параксиальной области.
-
Усовершенствован универсальный метод параметрического синтеза оптических систем, основанный на автоматическом составлении полилинейных модельных уравнений и их численном решении.
Методы исследования:
-
Компьютерное моделирование оптических систем.
-
Методы матричной оптики.
-
Численные методы и методы компьютерной алгебры для решения систем уравнений.
-
Методы нелинейного программирования применительно к синтезу оптических систем.
Основные результаты, выносимые на защиту:
-
Система универсальных математических моделей для синтеза центрированных оптических систем переменного увеличения с механической компенсацией или оптической компенсацией на основе применения компонентов с изменяемой оптической силой.
-
Система универсальных математических моделей для синтеза центрированных оптических систем «двойного сопряжения» в области Гаусса.
-
Усовершенствованный алгоритм генерации и решения систем полилинейных модельных уравнений, описывающих оптическую систему.
-
Оптические системы в тонких компонентах, полученные при помощи разработанной методики (демонстрация работоспособности методики).
-
Объектив переменного увеличения, синтезированный на основе разработанных в диссертации методов в области реальных полей и апертур.
Практическая ценность работы:
-
Разработана методика параксиального синтеза систем переменного увеличения и систем «двойного сопряжения», позволяющая свести к минимуму временные затраты оптика-конструктора
-
Решена проблема выбора стартовой схемы при расчете сложных оптических систем.
-
Разработано прикладное программное обеспечение, которое позволяет: а) произвести параксиальный расчет оптической системы и определить оптические силы входящих компонентов; б) рассчитать траектории движения подвижных компонентов систем переменного увеличения и систем «двойного сопряжения».
Апробация работы:
Основные результаты работы докладывались: на XLI научно-методической конференции НИУ ИТМО, 31 января – 03 февраля 2012 г.; на I Всероссийском конгрессе молодых ученых, (IX Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых), 10 – 13 апреля 2012 г.; на II Всероссийском конгрессе молодых ученых, 9 – 12 апреля 2013 г.; на ХLIII научной и учебно-методической конференции НИУ ИТМО, 28 – 31 января 2014 г.; на III Международной научно-практической конференции «Наука в современном информационном обществе» 10 – 11 апреля 2014 г.
Публикации:
Материалы диссертационный работы опубликованы в 6 печатных работах, из них 3 - в рецензируемых изданиях, рекомендуемых ВАК РФ (из них одна статья в издании, включенном в систему цитирования Scopus), 1 – в трудах международных конференций.
Личный вклад автора:
Все результаты исследований, представленные в работе, выполнены автором лично либо при его определяющем участии.
Достоверность работы
Рассчитанные параксиальные системы моделировались в программном комплексе для оптических расчетов «ZEMAX», результаты моделирования совпадали с полученными результатами.
Структура и объем работы:
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 50 наименований. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Работа содержит 68 рисунков и 7 таблиц.
Обзор существующих схем объективов переменного увеличения
8Рассмотрим различные оптические схемы с переменным увеличением. К простейшим схемам относятся системы с дискретным изменением увеличения. Изменение увеличения в таких системах происходит за счет смены линз или перемещения одного компонента. Одним из наиболее применяемых способов дискретного изменения увеличения является использование вращающейся галилеевской системы в параллельном пучке между линзами. При этом смена увеличений происходит путем переворачивания системы на 180, кроме того, возможно исключение галилеевской системы. Таким образом, может быть получено три различных увеличения [14].
Переходя к системам, в которых смена увеличений обеспечивается путем перемещения одного компонента, следует отметить, что такие системы применяются в телескопах и микроскопах. Но наиболее широкое распространение они нашли в лазерной технике.
При работе с лазерными источниками излучения системы с одним перемещающимся компонентом обычно характеризуются небольшим изменением увеличения (в пределах 4-6 крат). Обычно они предназначены для работы с одной длиной волны. Однако иногда с целью экономии расчет ведется и для нескольких длин волн, чтобы иметь возможность использовать одну универсальную систему с несколькими лазерами.
Лазерные системы переменного увеличения можно разделить на две группы: 1) Расширители лазерного излучения. Имеют в пространстве изображений параллельный пучок. Масштаб таких систем определяется через соотношение диаметров пучков на выходе в двух крайних состояниях. 2) Концентраторы лазерного излучения. В патентной литературе имеют название «Системы с переключаемым двойным фокусным расстоянием» («Dual-Focus Switchable lens») [15, 16, 17]. Могут работать как с конечного расстояния, так и с бесконечности. Системы чаще всего имеют три компонента, два крайних неподвижны, средний перемещается. На рисунке 2 показана параксиальная схема системы из второй группы:
На рисунке 2 показано перемещение второго компонента и сдвиг плоскости изображения, соответствующий данному перемещению. Видно, что система может работать как с предметом дальнего типа, так и ближнего. На рисунке 3 показана оптическая схема системы: Рисунок 3– Объектив «двойного фокуса»
Переходя к системам, имеющим плавное изменение фокусного расстояния, следует отметить, что для сохранения неподвижности плоскости изображения необходимо перемещать как минимум два компонента. Поэтому простейшая система переменного увеличения состоит из двух подвижных компонентов. Однако подобная схема не позволяет получить большой перепад увеличений и приемлемое качество изображения [14, 18].
Рассмотрим трехкомпонентную схему. Её структурная формула выглядит как , где Р – обозначает положительный компонент, N- отрицательный, Рисунок 4 – Трехкомпонентная система переменного увеличения прямая черта над буквой означает, что компонент перемещается по линейной траектории, волнистая по нелинейной [1, 19]. Её схема в параксиальных компонентах выглядит следующим образом (Рисунок 4): Первый и второй компоненты - подвижные, причем второй компонент перемещается по линейной траектории, а первый по нелинейной. Такие системы используются в фотоаппаратах, однако не позволяют получить большого перепада увеличений при небольших габаритах. Кроме того, они характеризуется достаточно небольшими относительными отверстиями. Из-за перечисленных недостатков область применения таких объективов ограничена в основном любительскими фотоаппаратами.
Как уже было показано, двух- и трехкомпонентные системы переменного увеличения не позволяют обеспечить требуемые характеристики. Поэтому большинство современных систем переменного увеличения имеют четырех-или пятикомпонентную структуру.
Четырехкомпонентная схема с двумя внутренними подвижными компонентами Второй компонент - обычно отрицательный, и его перемещение осуществляется по линейному закону, что является определенным преимуществом, третий компонент положительный либо отрицательный и перемещается по нелинейной возвратно-поступательной траектории. Обоснование такого вида траектории приведено в [18]. По данной схеме реализован объектив (Рисунок 6) [20]:
Четырехкомпонентный объектив переменного увеличения с двумя внутренними перемещающимися компонентами Также в литературе встречаются четырехкомпонентные системы, имеющие законы движения, проиллюстрированные на рисунке 7:
Структура четырехкомпонентного объектива переменного увеличения В данном случае второй компонент является отрицательным и перемещается по нелинейному закону, третий компонент может быть как положительным, так и отрицательным. Исследования показывают, что в случае использования отрицательного компонента оптические силы компонентов Рисунок 8 – Панкратический объектив, реализованный по схеме рисунка 4
Еще одна возможная структура P представлена на рисунке 9. получаются меньше, что является преимуществом. Кроме того, объективы, построенные по этой схеме, обладают высоким относительным отверстием и большим полем зрения [21, 22, 23]. По подобной схеме построен следующий панкратический объектив [24]:
В данном случае второй и третий компоненты могут быть как положительными, так и отрицательными. Кроме того, законы их движения очень похожи, что может являться определенным преимуществом при реализации перемещения компонентов.
Далее рассмотрим четырехкомпонентную систему с изменяющимся задним отрезком, в которой перемещаются второй и четвертый элементы [25]. Рисунок 10 – Четырёхкомпонентная система переменного увеличения со вторым и четвертым перемещающимися компонентами
Можно видеть, что она достаточно проста, поэтому объективы такого типа зачастую применяются для любительских видеокамер. Данная схема имеет один отрицательный компонент и два положительных. Второй компонент (вариатор) может перемещаться как по линейной, так и по нелинейной траектории. Четвертый компонент (компенсатор) применяется для компенсации сдвига изображения, который происходит при перемещении второго компонента. Иногда для обеспечения большего перепада увеличения и при сохранении заданных габаритов дополнительно перемещается третий компонент схемы.
Достаточно часто в литературе встречаются объективы, основанные на пятикомпонентной схеме P с подвижными вторым и четвертым компонентами. На рисунке 12 показана подобная схемаКак видно из схемы, второй и четвертый компоненты отрицательны. Второй компонент может перемещаться линейно, а траектория четвертого компонента характеризуется как возвратно-поступательная. Такая схема позволяет исправить кривизну Петцваля и обладает лучшим качеством за счет большего числа свободных параметров. Например, по данной схеме реализован объектив [27]:
Как уже было сказано, в последнее время широкое распространение получили жидкостные линзы. Поэтому были реализованы системы переменного увеличения, построенные на подобных оптических элементах. Изменение масштаба изображения и компенсация сдвига изображения в таких системах полностью или частично происходит за счет изменения оптических сил компонентов, а не за счет перемещения. В патенте Samsung представлена панкратическая схема, содержащая жидкостную линзу. На рисунке 14 показан пример системы, содержащей перемещающийся и жидкостной компоненты [28]:
Литературный обзор систем переменного увеличения позволяет сделать вывод, что большинство объективов построено по общему принципу и общим схемам, что свидетельствует о том, что большинство авторов игнорировали параксиальный расчет и в качестве исходной схемы брали наиболее подходящую уже изготовленную систему. К сожалению, такой подход не способствует «патентной чистоте» и оригинальности решения. Кроме того, большинство компонентов представляют из себя группы из нескольких линз, которые в параксиальной области представляются тонкими элементами. Следовательно, необходимо обеспечить достаточный воздушный промежуток между тонкими компонентами, чтобы избежать «врезания» при переходе к конечным толщинам линз.
Все системы переменного увеличения имеют одну пару неподвижных сопряженных плоскостей – предмета и изображения. Рассмотрим более интересный случай - синтез систем «двойного сопряжения», которые имеют две пары сопряженных неподвижных плоскостей: плоскости входного и выходного зрачка и предмета – изображения. Такие системы нашли свое применение в фазово-контрастной микроскопии [3]. В этих приборах необходимо иметь возможность изменять увеличение при неизменном положении плоскостей изображения и выходного зрачка. Эта задача решается двумя способами: сменой объективов и применением систем «двойного сопряжения». Недостатки первого способа очевидны: необходимо иметь широкий набор объективов, изменение увеличения происходит дискретно, кроме того при смене возможно попадание пыли на оптические поверхности. Второй способ свободен от этих недостатков, однако более трудоемок в расчете.
Автоматизированный синтез систем «двойного сопряжения»
Как уже было показано во второй главе, задача расчета оптических систем в гауссовой области может быть сведена к проблеме составления систем уравнений относительно неизвестных параметров схемы, что делает необходимым создание эффективного инструмента для их решения, поскольку, показали исследования, приведенные в главе 3.2, алгоритмы компьютерной алгебры не могут справиться с поставленными задачами в разумные временные интервалы. Кроме того, наличие небольшой погрешности расчета коэффициентов в системе уравнений может приводить к большей погрешности в найденных решениях.
Задача получения коэффициентов при составлении систем уравнений и нахождения решения для полученных систем приводит к необходимости разработки аппарата, который позволяет осуществлять данные операции в автоматическом режиме.
Зависимость выражений для параксиальных функций от структуры оптической схемы и способа выбора параметров сильно усложняет процесс автоматизированного формирования и последующего решения систем уравнений [43, 47]. Поясним сказанное на примере. Известно, что оптическая сила системы двух бесконечно тонких компонентов срс связана с оптическими силами компонентов (р1,(р2 и расстоянием d между ними следующим образом:
Если в качестве переменной x выбрать оптическую силу первого компонента, то функция заднего фокального отрезка имеет вид: (рс=а + Ъх (18) Если же в качестве переменной взять осевое расстояние между компонентами, то выражение для функции (17) формально не изменится, но значения коэффициентов будут определяться совершенно иными формулами: Аналогичные примеры можно привести и для других параксиальных выражений. Поэтому, вследствие множества вариантов структуры оптических систем и способов выбора переменных, уравнения для параксиального расчета практически всегда составляются специалистом «вручную», под каждую определенную схему и набор параметров.
Однако, в работе [46] было показано, что в центрированной оптической системе координаты параксиальных лучей являются полилинейными функциями от оптических сил поверхностей, осевых расстояний между поверхностями, расстояний до предмета и входного зрачка. Другими словами, координаты связаны линейно с каждой из переменных при условии, что зафиксированы все остальные. Данное свойство позволяет путем элементарных преобразований привести подавляющее число уравнений, используемых при габаритном расчете оптической системы, к полилинейному виду: полилинейная функция п переменных; X - вектор варьируемых параметров (оптических сил, осевых расстояний, расстояний до предмета и входного зрачка вдоль оптической оси) х\, х2,..., хп; а0, а\, а2,..., ап , an,..., ап...„ -коэффициенты полилинейной функции. Представление в виде (21) создает возможность, во-первых, полностью автоматизировать процесс составления систем уравнений для достижения избранных значений параксиальных характеристик, а во-вторых, построить универсальные алгоритмы их решения.
Одним из таких алгоритмов является численный метод, предложенный в [47]. Суть его заключается в последовательном разбиении исходной области изменения переменных, заданной в виде гиперпараллелепипеда, на отдельные части. На каждом этапе разбиения выделяются те блоки, сквозь которые проходят все поверхности fi(X)=0, i=1,2,…,m, определяемые системой уравнений, а иные заведомо не содержащие решения блоки отбрасываются. Индикатором прохождения поверхности fi(X)=0 через блок в виде гиперпараллелепипеда является перемена знака fi(X) в любых двух его угловых точках, поскольку полилинейная функция не имеет экстремумов.
Описанный метод разбиения обладает глобальными свойствами, то есть позволяет найти все множество решений системы уравнений в пределах заданной области изменения переменных. В отличие от традиционных подходов, применяемых при габаритном расчете оптических систем, метод не ограничивает конструктора в количестве варьируемых параметров, так как не связан с каким-либо преобразованием исходных уравнений и реализуется в автоматическом режиме. Однако на практике его применение сдерживается тем фактором, что при большом числе переменных локализация корней является довольно трудоемкой задачей и требует значительного объема компьютерной памяти для хранения промежуточных результатов. Дело в том, что прохождение всех поверхностей fi(X)=0, i=1,2,…,m через блок еще не гарантирует наличие в нем единой точки пересечения указанных поверхностей.
То есть, правило изменения знака функций fi(X) в пределах гиперпараллелепипеда формулирует необходимое, но далеко не достаточное условие существования решения системы полилинейных уравнений. Это приводит к тому, что многие «пустые» блоки приходится запоминать и считать перспективными для поиска корней, так как через них проходят поверхности нулевого уровня всех многочленов.
После составления системы уравнений, задаются начальные промежутки изменения переменных и осуществляется последовательное сокращение исходной области поиска методом деления пополам по каждой из переменных.
На рисунке 42 показаны кривые линии, соответствующие уравнениям (близкое расположение линий уровня является типичным); заштрихованные области 1, 2, 3 соответствуют удаляемым блокам на первой, второй, третьей стадиях процесса разделения начального квадрата; зоны с отсутствием штриховки охватывают остаточные площади с неопределенным расположением решения (Рисунок 42).
Сравнительный анализ численных и алгебраических методов автоматизированного расчета оптических систем в параксиальной области
Как видно из построения, кривые линии проходят близко друг от друга, но нигде не пересекаются. Следовательно, точного решения у системы нет. Однако есть весьма близкое сближение линий, которое свидетельствует о наличии комбинации переменных, делающей невязки уравнений достаточно малыми. Эта комбинация может иметь интерес при рассмотрении исходной задачи как некорректной, имеющей большую относительную погрешность исходных данных. В этом случае целесообразными с точки зрения синтеза становятся все решения, обеспечивающие незначительную невязку уравнений.
В данном случае метод компьютерной алгебры вычислит комплексные корни, не представляющие интереса. В то же время численный метод может выделить интервал неопределенности переменных, в котором решение достигается с определенной степенью точности. Эта точность может регулироваться пользователем. В четвертом примере требуется рассчитать в гауссовой области панкратический объектив, имеющий в двух крайних состояниях фокусные расстояния 57,12 мм и 142,8 мм и неизменный задний фокальный отрезок, равный 82,03 мм. Оптическую схему представим в виде набора четырех тонких компонентов, двух подвижных и двух неподвижных. Оптические силы компонентов будем считать неизвестными, а осевые расстояния для крайних состояний заимствуем из работы [14] (Таблица 3).
В этом случае методы компьютерной алгебры либо вообще не находят решения, либо находят корни, не являющиеся решением, либо находят приближенное решение, которое требует уточнения. Численный метод находит все действительные решения за удовлетворительный промежуток времени (около 1 сек.). Для решения данной проблемы воспользуемся усовершенствованным методом составления полилинейных уравнений, описанным в разделе 3.1. Тогда система будет иметь вид:
Такое представление исходной системы уравнений существенно упрощает задачу по нахождению корней. Методы компьютерной алгебры находят решение за малый промежуток времени, скорость работы численного алгоритма также уменьшается.
В качестве пятого примера рассчитывался пятикомпонентный объектив с исправленной кривизной Петцваля, пример расчета такой системы приведен в четвертой главе. С поиском решений системы, составленной оригинальным универсальным алгоритмом, методы компьютерной алгебры не справились, в то время как при помощи численного алгоритма решение было найдено. Однако использование усовершенствованного алгоритма для составления систем уравнений позволило существенно упростить задачу, и решение было найдено и методами компьютерной алгебры.
Неоспоримым преимуществом методов компьютерной алгебры является возможность получения в ряде случаев аналитического решения. Рассмотрим следующий пример. Необходимо было рассчитать систему, состоящую из трех компонентов. Необходимо выдержать фокусное расстояние всей системы равным 40,8 мм, задний отрезок равным 50 мм и передний отрезок равным 90мм. Система уравнений будет выглядеть следующим образом: -оптические силы первого, второго и третьего компонентов; d1 и d2 – осевые расстояния между компонентами. Все перечисленные характеристики являются неизвестными. Данный пример хорошо иллюстрирует универсальность алгоритма. В случае использования численного метода необходимо фиксировать значения d1 и d2, затем осуществлять поиск решения. Таким образом, будет найдено множество решений для различных осевых расстояний. Методы компьютерной алгебры позволяют получить решение аналитически:
Подставляя значения d1 и d2 можно определить оптические силы компонентов, очевидно, что подобное представление является более наглядным и удобным для анализа.
Рассмотренные алгоритмы достаточно успешно решают предложенные типы задач. В ряде примеров методы компьютерной алгебры оказываются быстрее. Однако они могут порождать ненужные решения или не находить комбинации переменных, представляющие интерес, но не являющиеся решением. Преимуществом является возможность получения аналитического выражения. Численный метод является универсальным и позволяет находить решение с заданной точностью. Его быстродействие можно заранее предсказать, зная количество переменных.
Использование универсального численного алгоритма для решения неравенств.
В ряде случаев при расчете оптических систем допустимо некоторое отклонение от заданных параметров. Более того, зачастую точного решения может не существовать. Фактически это означает, что система уравнений превращается в систему неравенств, решение которой обеспечит нахождение характеристик в заданном диапазоне. Решение системы неравенств достаточно непростая задача и не может быть эффективно выполнено методами компьютерной алгебры. Однако возможно модернизировать исходный численный метод для данной задачи. Представляется три подхода к решению указанной проблемы:
1) Первый способ описан в главе 3.2. Возможно уменьшение пользователем точности нахождения решения. Тогда даже при отсутствии точного решения будет найден интервал неопределенности, наиболее удовлетворяющий заданным значениям. Однако описанный подход обладает серьезным недостатком – все характеристики будут выдержаны с меньшей точностью, в то время как возможна ситуация, в которой одно или несколько значений необходимо выполнить точно. Например, может быть необходимо рассчитать объектив переменного увеличения, у которого достаточно широкий допуск на фокусные расстояния в двух крайних положениях, но необходимо выдержать постоянство плоскости изображения. В этом случае при уменьшении точности найденное решение может удовлетворять первым двум условиям и не выполнять последнего. Тогда в уже найденном диапазоне необходимо проводить уточняющие процедуры.
2) Второй способ заключается в последовательном решении систем уравнений с возмущенными характеристиками. Например, по заданию фокусное расстояние системы может отклоняться от номинала на некоторое значение. Возможно изменять фокусное расстояние в заданных пределах с некоторым шагом, составлять систему уравнений для каждого случая и находить решение. Описанный подход позволяет охватить все возможные решения, однако является достаточно ресурсозатратным. Отметим, что возможно комбинирование первого способа со вторым. 3) Третий подход заключается в поиске области решений. Главная проблема этого подхода заключается в представлении результата. Если в двумерном случае результат легко представляется в виде графика (Рисунок 48), то при наличии трех и более переменных необходимо рассматривать сечения искомой области. Для упрощения задачи возможно в найденной области выделить максимальный гиперпараллелепипед. В этом случае все значения, которые находятся в этом гиперпараллелепипеде удовлетворяют системе неравенств, однако одновременно происходит потеря части решения.
На рисунке 48 показано решение системы неравенств (46) третьим способом. Необходимо было рассчитать длиннофокусный объектив. Однако, теперь зададим допуски на характеристики, которые необходимо выдержать. Необходимо получить f =500±55 мм, задний отрезок должен быть меньше 180 мм, тогда система неравенств будет выглядеть следующим образом: Г-150 2 + х1 + х2 - 0.018 0
Зеленая и фиолетовая кривые соответствуют первому и второму неравенству, коричневая - третьему. Область, удовлетворяющая решению системы уравнений, на рисунке заштрихована. 1. Выполнено исследование, показывающие необходимость создания эффективного инструмента для создания и решения систем уравнений, так как методы компьютерной алгебры не могут справиться с поставленными задачами в разумные временные интервалы. 2. Усовершенствован универсальный численный метод поиска решений систем уравнений, позволяющий существенно сократить временные затраты. 3. Разработан усовершенствованный метод автоматизированного составления систем уравнений, позволяющий уменьшить общую степень получаемых уравнений. 4. Выполнено исследование возможности применения численного метода для решения неравенств.
Расчет четырехкомпонентной системы с заданными начальными осевыми расстояниями
Далее необходимо «расщепить» один из трех компонентов. Как было показано, наиболее оптимально разделять третий компонент, при этом возможно два варианта - с увеличением исходной длины системы и без увеличения. Будем использовать первый вариант, так как для него проще выполнить условие «неврезания» компонентов. Далее можно рассчитывать траектории движения компонентов, выдерживая нулевую оптическую силу всей системы, но в этом случае необходимо будет «приставить» объектив с фиксированным фокусным расстоянием, что увеличит габариты и сделает систему пятикомпонентной. Либо необходимо «приставлять» такой объектив сразу после расщепления к новому компоненту и выдерживать определенную оптическую силу. Зададимся задним отрезком в крайнем положении равным 100мм, следовательно, фокусное расстояние «приставляемого» объектива также равно 100мм. Расщепление третьего базового компонента производилось в автоматическом режиме, в результате фокусные расстояния новых третьего и четвертого компонентов получились равны 42,5578мм и -60 мм соответственно. Так как к четвертому компоненту «приставлен» с нулевым расстоянием объектив с фокусным расстоянием 100 мм, то окончательно фокусное расстояние четвертого компонента равно -150 мм. Так как в крайних положениях компоненты имеют нулевой воздушный промежуток, то объектив нельзя использовать во всем диапазоне фокусных расстояний. Траектории движения компонентов показаны на рисунке.
Траектории движения компонентов Траектории движения нелинейны, но достаточно простые и не содержат перегибов. Окончательно, объектив имеет следующие характеристики: Таблица 6 – Осевые расстояния для двух крайних положений
Таким образом, был получен объектив переменного увеличения, не уступающий аналогам, представленным на рынке. Расчет трехкомпонентной системы с элементом, изменяющим оптическую силу. Изменение оптической силы третьего компонента Если в предыдущем примере использовать один элемент с изменяющейся оптической силой, то «расщепление» уже не является обязательным. Исходной системой также служит трехкомпонентная схема, к которой для получения требуемого заднего отрезка необходимо «приставить» объектив с известным фокусным расстоянием. Таким образом, фокусное расстояние третьего компонента получается равным 59,41мм. В качестве третьего компонента можно использовать жидкостную линзу с изменяющейся оптической силой, тогда траектория движения компонента и изменение оптической силой выглядят следующим образом:
Расчет пятикомпонентной системы «двойного сопряжения» Для демонстрации работоспособности разработанного метода рассчитаем систему «двойного сопряжения». Базовой схемой служит четырехкомпонентная система, описанная в разделе 2.3. Зададимся воздушным промежутком между первым и третьим компонентами равным 100 мм и между третьим и четвертым равным 20 мм. Положение входного зрачка зададим равным 10мм от первой поверхности. Положение выходного зрачка будет изменяться в процессе поиска решения. Тогда система (16) примет вид:
Далее, для поддержания неподвижности плоскости изображения и выходного зрачка расщеплялся третий компонент и рассчитывались траектории движения компонентов (Рисунок 54). Расчет пятикомпонентной системы «двойного сопряжения» с элементами, изменяющими оптическую силу
Если в предыдущем примере использовать хотя бы один компонент с изменяемым фокусным расстоянием, то расщепление можно не производить. Траектории движения компонентов и соответствующее им изменение оптической силы компонента показаны на рисунках 55, 56:
Если использовать два элемента с изменяемой оптической силой, то удается получить трехкомпонентную систему и оставить всего один перемещающийся третий компонент.
Необходимо было рассчитать систему «двойного сопряжения» по алгоритму, описанному в главе 2.4. Исходя из сформулированных условий, получается пять уравнений и пять неизвестных оптических сил. Оптическая схема соответственно ограничивается пятью компонентами, причем крайние принимаются неподвижными, а три средних перемещаются. Действие алгоритма проверено на примере расчета системы Гопкинса, из которой заимствованы начальные осевые расстояния между компонентами [2]. В таблице 8 приведены выбранные воздушные промежутки для двух крайних состояний и соответствующие им фокусные расстояния.
При помощи описанного выше способа была просчитана кинематика движения компонентов системы «двойного сопряжения» в двух вариантах комбинаций оптических сил. Схема перемещения компонентов для первого решения проиллюстрирована на рисунке 59, для второго решения - рисунок 60. Рисунок 59 – Траектории движения компонентов для первой комбинации оптических сил.
На рисунках по вертикальной оси отложены фокусные расстояния оптической системы, по горизонтальной оси – положения входного и выходного зрачков, оптических компонентов и плоскости изображения. За ноль принято положение первого компонента. Рисунок 60 – Траектории движения компонентов для второй комбинации оптических сил.
Первый вариант решения представляется более приемлемым, так как оптические силы компонентов меньше и их сумма ближе к нулю, что означает меньшую кривизну Петцваля, чем во втором случае. Кроме того, в первом варианте нет такого сближения компонентов, как во втором. 4.10. Расчет панкратического объектива в области реальных полей и апертур
Данный пример иллюстрирует возможность использования предложенных в диссертации моделей и методов как необходимого элемента комплексного решения проблемы синтеза ОСПУ в области реальных полей и апертур.
Требовалось рассчитать панкратический объектив с десятикратным перепадом увеличений, имеющий задний отрезок равный 45 и работающий с матрицей 1/2,5 ”, диагональ такой матрицы равна 7,2 мм. Для этого при помощи разработанной математической модели сначала был осуществлен синтез объектива в гауссовой области. Для того чтобы избежать врезания компонентов исходная трехкомпонентная система рассчитывалось с запасом по перепаду увеличений. В результате были получены следующие фокусные расстояния:
Такая система соответствует пятнадцатикратному перепаду увеличений. Далее производилось расщепление исходных компонентов. В результате анализа было выбрано расщепление четвертого компонента. Окончательно в результирующей четырехкомпонетной системе получились следующие фокусные расстояния: Траектория движения компонентов представлена на рисунке. Рисунок 61 – Траектории движения компонентов
Видно, что траектории движения компонентов достаточно простые и близки к линейным. Окончательно, необходимо «приставить» объектив с фокусным расстоянием равным 45мм к афокальной подсистеме для обеспечения необходимого заднего отрезка. Такой объектив можно поставить вплотную к последнему компоненту, то есть просто изменить оптическую силу последнего компонента. Таким образом, фокусное расстояние четвертого компонента становится равным -145,34 мм. Полученные результаты были проверены в компьютерной программе «Zemax». Поля зрения выбирались исходя из условия заполнения всей матрицы. Относительное отверстие равняется 1:5 и остается постоянным при изменении фокусного расстояния, что является определенным преимуществом системы.
Далее был осуществлен синтез системы, состоящей из тонких компонентов, с использованием теории Слюсарева, после чего осуществлен переход к линзам конечной толщины. Далее была проведена оптимизация объектива средствами «Zemax» для одной длины волны. Получившаяся система имеет дифракционно ограниченное качество изображения и может применяться, например, в лазерных системах или интеферометрах. Затем была осуществлена оптимизация для диапазона длин волн 480-643 нм. Получившийся результат показан на рисунке:
