Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор существующих численных методов расчета волноводных оптических устройств и планарных схем 19
1.1 .Лучевой метод 19
1.2.Волновые методы 20
1.2.1. ВРМ и FDTD методы 21
1.2.2. Метод конечных разностей 27
1.2.3. Метод конечных элементов 27
1.2.4. Метод матрицы линий передачи 28
1.2.5. Метод интегральных уравнений 29
1.2.6. Метод расчета в спектральной области 30
1.2.7. Эквивалентная волноводная модель 30
1.2.8. Модель планарной схемы 31
1.3.Ограничения применимости лучевых и волновых методов 32
Глава 2. Разработка математической модели и численного алгоритма для реализации метода плоских доменов 38
2.1. Математический аппарат МПД 38
2.2. Принцип численной реализации и алгоритм МПД 42
Глава 3. Расчет распространения света в оптических межсоединениях методом МПД 54
3.1. Соединение двух оптических волокон 62
3.2. Соединение оптического волокна с канальным волноводом 67
Глава 4. Модифицированный метод МПД для расчета эффективности дифракционных оптических элементов 84
4.1. Описание модели (ДОЭ) 84
4.2. Расчет дифракционной эффективности ДОЭ 88
4.3. Сопоставление расчетов методом МПД с расчетами методом FTD..100
Заключение 105
Литература
- Метод конечных разностей
- Принцип численной реализации и алгоритм МПД
- Соединение оптического волокна с канальным волноводом
- Расчет дифракционной эффективности ДОЭ
Введение к работе
Уровень современной цивилизации определяется объемом передаваемой и перерабатываемой информации. XXI век становится веком всеобъемлющей информатизации общества. Это уже сейчас подтверждается бурным развитием информационных технологий, созданием глобальных сетей связи и телекоммуникаций, становлением и развитием всемирной компьютерной сети Internet, обусловившей взрывной рост спроса на объемы передаваемой информации [1].
Прогресс, достигнутый в производстве оптических волокон с малыми потерями, уже сейчас позволяет передавать информацию со скоростями в сотни Гбит/с на расстояния в сотни километров без регенерации сигнала. Относительная дешевизна массового производства волоконно-оптического кабеля приводит к возрастающему вытеснению спутниковой связи волоконно-оптической даже на рынке межконтинентальных телекоммуникаций. Серьезными аргументами в пользу волоконно-оптических систем являются также высокая помехозащищенность и электромагнитная совместимость каналов связи, скрытность предаваемой по ним информации [1,8].
Помимо систем связи волоконная оптика находит широкое применение в измерительных приборах и системах. Очень перспективны в настоящее время волоконно-оптические датчики, которые, не уступая традиционным датчикам в чувствительности, имеют ряд существенных преимуществ, таких как высокая устойчивость к воздействию внешних факторов, помехозащищенность, малый вес и габариты, экономичность [4-8]. Только в США разработкой и выпуском волоконно-оптических датчиков занимается более 100 фирм.
В последние годы созданы и продолжают активно разрабатываться волоконно-оптические лазеры и усилители света, которые открывают возможности создания уникальных, полностью оптических информационных систем, включающих в себя оптический компьютер с огромным быстродействием, волоконно-оптические сенсоры. Компьютер подключается к внешним волоконным линиям связи также с помощью оптических волокон. Фактически речь идет о переходе от электронной обработки информации к оптической. По масштабам эта технологическая революция будет сравнима с переходом от письма к радио и телевещанию [9-27]. Актуальность работы
Непрерывный технологический прогресс требует разработки адекватных современных методов анализа микро- и наноразмерных структур, а также совершенствования существующих методов контроля. Одним из главных направлений в этой области является разработка узлов эффективной передачи оптического сигнала между различными компонентами оптических цепей и отдельными системами. Применение новых волноводных элементов с включением микрооптических структур представляет интерес в проектировании и создании новых так называемых гибридных оптических устройств, использующих волоконно-оптические системы связи, канальные и планарные волноводы, а в перспективе фотонные чипы и фотонные кристаллы. Для гибридных оптических устройств (ГОУ), впрочем, как и интегральных схем, наиболее важной остается проблема оптических межсоединений (ОМ) — передачи оптического сигнала между отдельными компонентами с наибольшей эффективностью.
В настоящее время, для расчета прохождения излучения через оптические узлы интегральных схем сложной конфигурации используются лучевые и волновые методы. Хорошо известны два метода расчета волноводных устройств - это метод ВРМ (Beam Propagation method - метод распространения пучков), и метод FDTD (метод конечных элементов с разделением по времени). Но, к сожалению, эти методы имеют свои недостатки, которые существенно ограничивают возможности их применения. Это с одной стороны малая универсальность, а с другой чрезвычайно низкая вычислительная эффективность. В тоже время программы, основанные на этих методах, являются дорогостоящими коммерческими продуктами и поэтому труднодоступны для использования в исследованиях. В связи с этим, был предложен альтернативный подход к компьютерному моделированию и исследованию работы оптических микроструктур различной конфигурации, которые используются, в частности, для передачи излучения между современными устройствами оптической связи.
В последнее время в технике оптической записи и воспроизведения информации стали широко применяться микрооптические узлы, сконструированные на базе дифракционных оптических элементов (ДОЭ), анализ и проектирование которых невозможны без математического моделирования, основанного на строгой теории дифракции света.
Таким образом, разработка новой методики и алгоритма для моделирования распространения света в оптических микроструктурах, которой посвящена диссертационная работа, является весьма задачей.
Целью диссертационной работы является построение математической модели распространения света в оптических микроструктурах, основанной на приближении дифракции Френеля, а также исследование эффективности этой модели при проектировании оптических устройств различной конфигурации, содержащих минимальные элементы порядка длины волны света Для этого необходимо решить следующие задачи:
1. Провести анализ и сравнение использования традиционных лучевых методов расчета прохождения света через стыковочные микрооптические узлы с методами, основанными на решении уравнения Гельмгольца.
2. Разработать алгоритм для расчета распространения света через ОМ и ДОЭ.
3. Провести анализ зависимости эффективности ОМ от продольных и поперечных сдвигов компонентов в местах их стыковки, сопоставление результатов с экспериментальными данными.
4. Разработать программы для исследования работы ОМ различной конфигурации, а также для исследования и анализа дифракционной эффективности ДОЭ, применяемых в микрооптических устройствах записи и чтения информации.
Методами исследования являются:
1. Методы волновой теории светового ПОЛЯ.
2. Методы разложения сложного светового поля в спектр плоских волн.
3. Методы быстрых вычислений, алгоритм быстрого преобразования Фурье.
Последние достижения в фотонике показывают, что важная тенденция в фотонных устройствах - их миниатюризация и интеграция. Миниатюризация означает уменьшение размера, веса и требуемой власти компонентов. Интеграция - объединение различных функций на том же самом основании. Эти две тенденции неизбежно приводят к концепции фотонного чипа [2-4, 29-34]. В научных дискуссиях сейчас оживлённо обсуждается, какой тип материала будет лучшим для первого фотонного чипа — полупроводник АшВу, стекло (кварц) или оптический полимер (ПММА или другие) [33-34]. В противовес к такому подходу, основанному на концепции монолитных оптических устройств, рассмотрение тенденций развития фотоники как совокупности оптоэлектроники, микрооптики и волоконной оптики позволяют сформировать иное направление в фотонике, а именно: гибридные оптические устройства (ГОУ). Первые устройства фотоники по нашему мнению и будут являться гибридным типом в ближайшем будущем, потому что объединять все необходимые функции в одном материале - это - задача не для 1-2 и даже 5 лет.
В дальнейшем, в работе под ГОУ будем понимать оптическое устройство, состоящее из различных компонентов, как отдельных свободных оптических микроструктур (линз, призм и т. п.), работающих с оптическими пучками в свободном пространстве, так и волноводных компонентов (оптических волокон, канальных волноводов, интегральных оптических чипов и т. д.), работающих с волноводными пучками, включая источники оптического излучения (полупроводниковые лазеры, светодиоды и т. д.) и фотоприёмники (фотодиоды, CCD-приёмники и т. д.) [15-20,22]. А Часть ГОУ, включающую в себя минимум два функциональных компонента, соединённые оптическим волокном будем называть оптической цепью. Существует много примеров такого вида ГОУ в оптической информационной технике (особенно в оптической телекоммуникации), оптический распознаватель (рис. 1) [6,7,] - это медицинская техника на основе лазера, ближнепольная оптика, оборудование для обработки материалов и т.д. А. А-2 Лз »4 Хи ... 4 а) Ъ) с)
Рис. 1. Интегрированные оптические компоненты для гибридных устройств фотоники:. а - оптическая схема: - интерферометр Маха-Цендера для сенсорныхс и измерительных приборов, b - DWDM-система для оптического информационного устройства, с - плоский фотонный чип для обработки данных.
К основным видам устройств интегральной и волоконной оптики относятся такие устройства, как, например, волоконная бреговская решетка, сварные биконические разветвители, устройства мультиплексирования/демультиплексирования [31,35-38].
Волоконная брэгговская решетка - это, по сути, оптический интерферометр, встроенный в волокно (рис. 2). Рис. 2 Волоконная брэгговская решетка выделяет из составного сигнала канал определенной длины волны Такие решетки могут использоваться как для компенсации хроматической дисперсии в волоконной линии связи или для коррекции чирпированного сигнала лазерного источника так и в качестве оптического фильтра в устройствах мультиплексирования и демультиплексирования, как компенсатор хроматической дисперсии, или в комбинации с циркуляторами в мультиплексорах ввода/вывода каналов и транзисторах [31].
Простейший биоконический разветвитель FBT (Fused В iconic Tapered) представляет собой пару одномодовых оптических волокон, на определенном участке сваренных друг с другом по длине. Основная мода волокна, которая распространяется по сердцевине одного из оптических волокон, при прохождении области сварки преобразуется в моды оболочки. Когда волокна снова разделяются, моды оболочки снова преобразуются в моды волокна, распространяющиеся по сердцевине каждого из выходных волокон. В результате получается разветвитель, практически не вносящий потерь.
Если два таких разветвителя расположены последовательно (рис. 3), и два рукава имеют разные оптические пути между местами сварки, то такая комбинация действует подобно интерферометру Маха-Цендера [32-34]. Мощность входного сигнала распределяется между выходными волноводами в зависимости от длины волны с определенной периодичностью. Если составной входной сигнал содержит оптические каналы двух различных длин волн, то при определенном подборе параметров эти каналы на выходе окажутся в разных выходных волокнах. Второе входное волокно не используется. Рис. 3. Входной сигнал распределяется между двумя выходами Массивы таких устройств, отдельные секции которых иногда заменены брэгговскими решетками, используются для выделения каналов определенной частоты из многоканальных систем WDM и DWDM или для добавления каналов в каком-либо узле оптической сети. Поскольку они являются полностью пассивными устройствами и имеют низкие потери, допустимо применение достаточно больших наборов таких устройств [26,27,30-35].
Интегральные оптические устройства мультиплексирования и демультиплексирования - это оптический эквивалент интегральных схем в электронике. Оптические волноводы в несколько слоев помещаются на подложку из кремния или ниобата лития. В таком небольшом блоке содержится множество оптических компонентов, взаимосвязанных друг с другом. При использовании современного полностью автоматизированного оборудования возможно массовое производство таких блоков.
Интегральная оптика - относительно новая технология и для того, чтобы полностью использовать ее потенциал, требуются дальнейшие научные исследования и конструкторские разработки. В настоящее время интегральная оптика используется при производстве оптических разветвителей, коммутаторов, модуляторов, эрбиевых и легированных различными редкоземельными элементами волноводных усилителей, брэгговских решеток и других компонентов систем DWDM [26,27,30,31].
Интегральная оптика успешно применяется для создания решеток на основе массива планарных волноводов (более 100) различной длины между двумя планарными линзами смесителями AWG (Arrayed Waveguide Gratings) [26], рис. 4. Входные волноводы Входной NxM к разветвитвль Выходные волноводы 11 Xl2 Vl3 Хц %2Л 31
/Выходной М х N У разветвитвль Рис.4 Решетка на основе массива волноводов AWG - принцип работы Решетки на основе массива волноводов AWG используются для того, чтобы перераспределять сигналы различных длин волн (каналы) между двумя наборами волокон (рис. 4.) или выделить (демультиплексировать) отдельные каналы составного сигнала в отдельные волокна. Эта технология сейчас становится основной для производителей мультиплексоров и демультиплексоров систем DWDM. Благодаря легко масштабируемой структуре, она может широко применяться в системах с сотнями каналов. Решетки AWG еще также называют "драконовыми маршрутизаторами" (Dragon Routers), фазовыми матрицами или фазарами [26,30].
Рассмотрим виды оптических волокон и канальных (планарных) волноводов, которые входят в состав оптоволоконных устройств и интегральных схем. Оптические волокна: их типы и характеристики.
Все оптические волокна делятся на две основные группы: многомодовые MMF (multi mode fiber) и одномодовые SMF (single mode fiber). Многомодовые волокна подразделяются на ступенчатые (step index multimode fiber) и градиентные (graded index multimode fiber). Одномодовые волокна подразделяются на ступенчатые одномодовые волокна (step index single mode fiber) или стандартные волокна SF (standard fiber), на волокна со смещенной дисперсией DSF (dispersion-shifted single mode fiber), и на волокна
с ненулевой смещенной дисперсией NZDSF (non-zero dispersion-shifted single mode fiber) [1,8-27].
Типы и размеры волокон приведены на рис. 5. Каждое волокно состоит из сердцевины (core) и оболочки (cladding) с разными показателями преломления. Сердцевина, по которой происходит распространение светового сигнала, изготавливается из оптически более плотного материала. При обозначении волокна указываются через дробь значения диаметров сердцевины и оболочки. Волокна отличаются диаметром сердцевины и оболочки, а также профилем показателя преломления сердцевины. У многомодового градиентного волокна и одномодового волокна со смещенной дисперсией показатель преломления сердцевины зависит от радиуса. Такой более сложный профиль делается для улучшения технических характеристик или для достижения специальных характеристик волокна.
Одномодовое волокно имеет значительно меньший диаметр сердцевины по сравнению с многомодовым и, как следствие, из-за отсутствия межмодовой дисперсии, более высокую пропускную способность. Однако оно требует использования более дорогих лазерных передатчиков. Стандарты оптических волокон
• многомодовое градиентное волокно 50/125 (рис. 5 а);
• многомодовое градиентное волокно 62,5/125 (рис. 5 б);
• одномодовое ступенчатое волокно SF (волокно с несмещенной дисперсией или стандартное волокно) 8-10/125 (рис. 5 в);
• одномодовое волокно со смещенной дисперсией DSF 8-10/125 (рис. 5г);
• одномодовое волокно с ненулевой смещенной дисперсией NZDSF (по профилю показателя преломления это волокно схоже с предыдущим типом волокна).
NZDSF) Широко используются два стандарта многомодового градиентного
волокна 62,5/125 и 50/125 отличающиеся профилем сердцевины, рис. 5 а.
В стандартном многомодовом градиентном волокне (50/125 или
62,5/125) диаметр светонесущей жилы 50 и 62,5 мкм, что на порядок больше
длины волны передачи. Это приводит к распространению множества
различных типов световых лучей - мод - во всех трех окнах прозрачности.
Два окна прозрачности 850 и 1310 нм обычно используют для передачи света по многомодовому волокну.
В ступенчатом одномодовом волокне (SF) диаметр светонесущей жилы составляет 8-10 мкм и сравним с длиной световой волны. В таком волокне при достаточно большой длине волны света Я Я CF ( Л- CF - длина волны отсечки) распространяется только один луч (одна мода). Одномодовое волокно с ненулевой смещенной дисперсией NZDSF в отличие от DSF оптимизировано для передачи не одной длины волны, а сразу нескольких длин волн (мультиплексного волнового сигнала) и наиболее эффективно может использоваться при построении магистралей "полностью оптических сетей" - сетей, на узлах которых не происходит оптоэлектронного преобразования при распространении оптического сигнала [8-20].
Планарные и канальные волноводы
Основная направляющая структура, предназначенная для передачи электромагнитного излучения в интегральной оптике, - тонкопленочный волновод. Такие волноводы служат конструктивной основой любого интегрально-оптичского устройства [11-14]. Планарные и трехмерные (канальные и полосковые) волноводы различной геометрии представляют собой аналоги контактной металлизации электронных схем и выполняют функции информационных магистралей, по которым оптический сигнал направляется в ту или иную область пространства или часть схемы [11,12].
Основу оптических волноводов в интегральной оптике составляют тонкие диэлектрические слои с низкими потерями на рабочих длинах волн излучения. Простейший планарный диэлектрический волновод представляет собой пленку прозрачного на данной длине волны диэлектрика, нанесенную на подложку из материала с более низким показателем преломления. Третьим слоем волновода (покровным) может служить воздух или любая другая среда. Чтобы удержать электромагнитную волну, показатель преломления волноводного слоя должен удовлетворять неравенству п2 пъ и
и, , где п3 и Пі — показатели преломления соответственно материалов
подложки и покровного слоя. Если показатели преломления подложки и
покровного слоя равны, такой волновод называется симметричным, в противном случае — ассимметричным [12].
По степени локализации излучения волноводы делятся на планарные и трехмерные. В планарных волноводах область распространения света ограничена только в одном, вертикальном направлении - волноводный слой покрывает всю поверхность подложки и горизонтальный размер во много раз больше вертикального. Несмотря на то, что применение трехмерных волноводов в большинстве схем и устройств интегральной оптики обеспечивают ряд важнейших преимуществ для некоторых устройств, планарные волноводы все же предпочтительны. К таким устройствам, в частности, относятся тонкопленочные акустооптические модуляторы и дефлекторы, планарные фокусирующие элементы (различные интегрально-оптические линзы). В каждом конкретном случае выбор того или иного типа волновода определяется спецификой создаваемого прибора или устройства. Поэтому и планарные, и трехмерные волноводные структуры широко применяют в том большом разнообразии устройств, которым сегодня располагает интегральная оптика.
Рис. 6. Основные типы трехмерных волноводов: а) канальный волновод гребенчатого типа, 6) погруженный канальный волновод, в) полосковый волновод
Основные типы трехмерных полосковых и канальных волноводов схематически представлены на рис. 6. Деление трехмерных волноводов на полосковые и канальные в некоторой степени условно, тем не менее оно отражает конструктивные особенности структур, влияющие на возможное число волноводных мод, специфику распределения полей и, следовательно, на основные их характеристики [11,12].
В канальных волноводах гребенчатого типа (рис. 6, а) значительный скачок показателя преломления в поперечном направлении, как правило, приводит к многомодовому их режиму. Погруженные канальные структуры (рис. 6, б) характеризуются промежуточными свойствами по сравнению с гребенчатыми канальными и полосковыми волноводами. Число распространяющихся мод в них определяется размером канала и разностью показателей преломления материалов, образующих волновод. Полосковый волновод, или волновод с налаженной полоской (рис. 6, в), представляет собой планарный тонкопленочный или диффузионный волновод с узкой диэлектрической областью, нанесенной на его поверхность. Здесь практически вся световая мощность локализована под полоской диэлектрика и почти не проникает в нее. В результате неровности границ раздела между полоской и волноводом не приводят к значительным потерям излучения. В полосковых волноводах легко реализуется одномодовый или маломодовый режим работы [11].
Наиболее перспективны для интегральной оптики полосковые и погруженные канальные волноводы. Основные их достоинства связаны с широкими технологическими и конструктивными возможностями создания эффективных волноводных структур на их основе.
Расчет параметров диэлектрических волноводов методами электродинамики (уравнения Максвелла) более точен, но они довольно трудоемки. Для получения качественных характеристик, определяющих основные особеннности интегрально-оптических схем, в большинстве случаев, достаточно приближения геометрической оптики, которая рассматривает распространение электромагнитной волны в волноводе как следствие многократных полных внутренних ее отражений от границ раздела диэлектрических слоев [11-15].
В планарных волноводах световой канал ограничен только в одной плоскости. В интегральной оптике это ухудшает согласование микроволноводов с другими ее компонентами и стекловолоконными световодами и кабелями, осложняет локализацию оптических связей, снижает эффективность волноводных устройств, ограничивает технологию интегрально-оптических схем. Значительно большими степенями свободы характеризуются трехмерные волноводы, которые и получили основное распространение в интегральной оптике и интегральных оптоэлектронных устройствах [11-13].
Большая часть исследований, касающихся оптических интегральных схем (ОИС) стимулируется их использованием в системах к волоконно-оптической связи и передачи информации. Так, последние планы, касающиеся высокоскоростных систем, которые используют одномодовые оптические волокна, и лазерных источников с длиной волны 1,3 -1,5 мкм, показали необходимость ОИС, работающих на этих длинах волн со скоростями модуляции и переключения свыше 1 ГГц. Исходя из этого, большая работа, проводимая по лазерам, волноводам и детекторам в последнее время была направлена на изготовление приборов, которые можно использовать в диапазоне длин волн 1,3-1,5 мкм. Были разработаны методы модуляции полупроводниковых лазеров лазеров на частотах, значительно превышающих величину 1 ГГц, и переключения оптических сигналов между волноводами на гигагерцевых скоростях. В большей своей части исследования в области интегральной оптики продолжают фокусироваться на разработке и оптимизации устройств, а не ОИС, содержащих много приборов. Однако, в некоторых случаях были достигнуты существенно новые уровни интеграции. Продолжались также исследования фундаментальных характеристик материалов, волноводов, лазеров и других устройств [11-16].
Поскольку волноводы являются основными элементами всех оптических интегральных схем, неудивительно, что они являются объектом значительной части продолжающихся исследований. Фундаментальные исследования волноводов привели к созданию новых теоретических моделей для описания их свойств, а также нового математического аппарата анализа. Особое внимание было уделено модовым характеристикам волноводов и потерям в них, что обусловлено важностью этих свойств при обработке сигналов, переключении и связи с помощью ОИС. Были исследованы экспериментальные методы измерения оптических свойств и их изменения путем контроля различных параметров волновода [11-15].
Контроль направления оптического пучка, его положения и фокуса с помощью устройств связи и линз является существенной частью оптических интегральных схем. С 1981 г [11-15]. Продолжалась работа над всеми типами устройств связи, причем в этой области был достигнут значительный прогресс. Однако радикально новых типов устройств связи представлено не было. Дальнейшее развитие получила теория решетчатых устройств связи; кроме того, были разработаны усовершенствованные методы изготовления решеток. Решетки также использовались при спектральном мультиплексировании. Наряду с вводом света через решетку имели место дальнейшие исследования таких способов ввода и вывода светового пучка из волновода, как призменный и торцевой.
Исследования, касающиеся передачи оптического излучения из одного волновода в другой, включали в основном либо направленную передачу на параллельных волноводах и многоканальное ветвление в волноводных цепях, либо связь с оптическими волокнами. Упор делался на одномодовую связь, и большая работа была проведена как на LiNb03 так и на GaAs/GaAlAs. Однако, были использованы также другие волноводные материалы, например кварц и Та205 [11].
Микролинзы можно использовать для облегчения ввода оптического излучения в полупроводник (или вывода из него), а также для фокусировки светового пучка внутри волновода. Существенный прогресс в изготовлении волноводных линз был достигнут в последние несколько лет. Были исследованы два основных типа линз, в которых волновод формируется таким образом, чтобы изменилась оптическая длина пути светового пучка для осуществлении фокусировки, например, линзы Лунеберга и геодезические линзы, и линзы, в которых фокусировка осуществляется с помощью дифракционных эффектов, например, френелевские линзы и линзы на брэгговских решетках [8-29,31].
Требования, возлагаемые на световодные системы, заметно возросли, поощряя совершенствование световодных компонентов таких, как оптические волокна, лазеры, датчики, модуляторы, переключатели и устройства мультиплексирования/демультиплексирования по длине волны, схемы на основе планарных и канальных волноводов, и так далее. Все из этих компонентов обогащаются за счет развития программного обеспечения автоматизированного проектирования и моделирования [16-37].
Поэтому точное моделирование оптоэлектронных устройств существенно для многих компаний и фирм для того, чтобы развивать высокоэффективные оптические узлы. Инструменты проектирования и устройства моделирования позволяют инженерам оптимизировать дизайн, сокращать цикл проектирования для новых моделей и оценивать новые концепции устройства [107-115].
Метод конечных разностей
Принцип метода сводится к тому, что интересующая область делится на сетчатые области, разделенные в точках некоторым расстоянием. Вместо решения (1.4) непосредственно, этот метод разделяет решения на решения дискретных областей. Выражение (1.4) аппроксимируется по всем точкам, пока расстояние между точками в ячейках достаточно мало. В граничной точке величина ф конкретизируется непосредственно, а её производная конкретизируется в форме конечных разностей, или комбинацией из двух ранее определенных [71]. Все эти процедуры повторяются в каждой точке сетки. В результате получается матричное уравнение: М,=В. (1.5)
Стоящий справа вектор В содержит информацию, данную граничными точками. Этот метод, как известно, является менее всего аналитическим. Обработка математики минимальна, и метод может применяться к широкому классу структур, включая несимметричные формы. Ценой этого является численная неэффективность и некоторые ограничения, например, точки ячейки лежали на границе.
Этот метод несколько подобен методу конечных разностей. Однако он имеет вариационные особенности в алгоритме и содержит несколько гибких особенностей. В методе конечных элементов, вместо частных дифференциальных уравнений с граничными условиями, соответствующие функционалы составляют систему вариационных выражений, относящихся к каждой из малых областей или объемов, подразделяющих область, представляющую интерес [72,73]. Обычно, эти малые сегменты -многоугольники типа треугольников и прямоугольников для двух размерных задач и тетраэдных элементов для трехмерных задач. Из-за такой дискретизации, не всякие ограничения могут быть наложены на форму структуры.
Одна из проблем методов конечных элементов - существование так называемых паразитных нулей. Такие нули соответствуют физически несуществующим структурам. Точная причина этого явления еще не ясна. Несколько способов имеется, чтобы уменьшить влияние или исключить эти нули. Обычно они основаны на вариационном выражении, которое содержит дополнительное ограничение А Н = 0 [74,75].
Некоторая предосторожность должна быть осуществлена, когда метод конечных элементов применяется к задаче с открытой областью типа диэлектрического волновода. Во многих случаях, область, к которой метод применяется, усекается в конечном объеме. В некоторых ситуациях, например, вблизи граничной частоты волновода, такое усечение не очевидно, потому что область разделяется очень медленно [76-80]. Это - комбинация метода интегрального уравнения на границе, и техники дискретизации, подобной алгоритму конечных элементов, применяемому к границе. Одно из преимуществ этого метода состоит в уменьшении требуемой памяти и времени расчета, следующее из уменьшения размерности.
В методе матрицы линий передачи TLM [81, 82] задача поля преобразована к трехмерной эквивалентной схемной задаче. Этот метод более подходит для моделирования явлений распространения волны во временной области, чем для определения характеристики структуры. Хотя это не очевидно. В исходной форме трехмерного TLM метода, пространство дискретизировано в трехмерную решетку с некоторым периодом. Границы, соответствующие электрической стенке и магнитной стенке представлены короткозамкнутыми схемами и схемами с открытыми концами. Магнитные и диэлектрические материалы могут быть учтены, прибавляя схемные шлейфы длиной А//2 в последовательные узлы (компоненты магнитного поля) и разомкнутые схемные шлейфы А//2 в параллельные узлы (компоненты электрического поля). Потери могут быть представлены резистивными нагрузками параллельных узлов. После того, как получена реакция во временной области, частотная характеристика находится преобразованием Фурье.
Имеются отдельные предосторожности, которые должны учитываться. Из-за введения периодических решетчатых структур, появляется типичное явление пропускания и режекции в полосе частот. Частотный диапазон должен быть ниже верхней границы самых низких частот пропускания, и ограничен размером ячейки А/ . Структуры, которые могут быть проанализированы TLM методом, совершенно произвольны. Типичная задача, решаемая этим методом - скачок ширины микрополосковой линии в экране [83-86].
Поле в трехмерной структуре может быть найдено, из неизвестных величин отдельных токов на конечной границе, которые решены этим методом [87-92]. При этом часто требуются небольшие предварительные аналитические расчеты. Типичное интегральное уравнение для трехмерной пассивной компоненты может быть получено из принципа суперпозиции линейной системы: \z(r,r )j(r )ds = -E (r\re S (1.6) Очевидно, что однородное уравнение получается для задачи о собственных значениях, когдаЕ = 0.
Принцип численной реализации и алгоритм МПД
Использование аппарата преобразования Фурье является эффективным средством сокращения объема вычислений при моделировании сложных дифракционных процессов [121-124]. Вместе с тем именно применение дискретного преобразования Фурье чревато серьезными трудностями сохранения адекватности результатов моделирования в различных конкретных ситуациях. Исследование корректности численной реализации предложенной в работе модели представляет собой важную фундаментальную задачу.
Дело в том, что выбор шага по пространственным координатам, длина волны излучения и объем выборки тесно взаимосвязаны по теореме Котельникова. Если dt - это шаг по или у, Л - длина волны, Nx N- объем выборки (в диссертационной работе выборка составляет 512x512 точек), то шаг по пространственной частоте dv можно вычислить из следующего соотношения: где dt выражено в длинах волн.
Из выражения (2.19) видно, что если dt значительно превышает длину волны, то шаг по пространственным частотам будет ничтожно мал, что не даст никакого эффекта при применении данного метода к требуемым структурам. Именно это обстоятельство служит препятствием на пути использования такого метода для расчета дальнепольных распределений света.
Тем не менее, эту проблему удалось обойти, применив приближение Фраунгофера, заключающееся в том, что если шаг не превышает размеры самых мелких неоднородностей моделируемых структур, то дифракция и распространение света достаточно хорошо описываются при помощи аппарата преобразования Фурье.
В процессе программной реализации математического аппарата и алгоритма, приведенного ниже, возникли сложности с использованием преобразования Фурье для вычисления распространения поля внутри структуры, состоящей из нескольких различных оптических сред.
Задачей численного метода является организация вычисления распределения светового поля на основе решения неоднородного волнового уравнения, где в правой части учитывается изменение диэлектрической проницаемости среды. Используемая в данной работе волновая модель вначале была применена для расчетов ближнепольной оптики [117-119]. В данной работе она применяется по-новому, а именно: во-первых, структура, через которую проходит свет не имеет симметрии, а, во-вторых, размеры неоднородностей несколько больше длины волны в отличие от ближнепольной оптики, где размеры неоднородностей существенно меньше длины волны. С другой стороны, альтернативой мог бы быть расчет лучей по законам геометрической оптики, если размеры неоднородностей превышали бы длину волны на несколько порядков.
Для моделирования дифракционных процессов, прежде всего, требуется решить только одно из рассмотренных уравнений, а именно (2.6). Сформулируем условие решения этого уравнения на основе принятого в данной работе описания поля. Поскольку используется раздельно описание полей ( ) и (у) поляризаций, то векторное уравнение (2.6) преобразуется без потери общности в скалярное неоднородное уравнение: V2fe +—fe= -4%(Vz dr), (2.20)
С где Vs - градиент пространственного распределения абсолютной диэлектрической проницаемости, dr - дифференциал радиус-вектора, Ve dr — разностная функция диэлектрической проницаемости [116]. Функция Ve- dr определяется конфигурацией неоднородностей и может быть однозначно описана либо аналитически, либо численно. Уравнение (2.20) аналитически решается только для отдельных не представляющих особого интереса частных случаев, поэтому необходим поиск численного решения.
Для полного описания поля с произвольной поляризацией вообще говоря используется пара функций fe и fm. Поскольку, как известно, естественный свет представляется как некогерентная суперпозиция полей с взаимно ортогональными линейными поляризациями [116], целесообразно использовать в качестве таких слагаемых поля с линейными поляризациями в строго определенных направлениях - обозначенных индексом (х), либо ( ).
Соединение оптического волокна с канальным волноводом
Планарные и канальные волноводы являются неотъемлемой частью ГОУ и работают с волноводными пучками. Эффективность передачи энергии через систему канальный волновод - оптическое волокно является непростой задачей. Различия в форме, размерах и модовой структуре цилиндрического оптического волокна и планарного или канального волновода в этом случае требует особых методов решения. Результат сильно зависит и от размеров волновода и от направления распространения света.
В случае, когда свет из многомодового канального волновода, как части интегральной оптической структуры внутри полимерного чипа, направляется в стандартное одномодовое кварцевое оптическое волокно DX D2 Q2 Q,, и «, и2 (1—полимерный (ПММА) канальный волновод, 2 — кварцевое оптическое волокно). Поскольку процессы, происходящие в оптоволокнах и канальных волноводах, описываются только в рамках волноводной теории, то достижение максимальной эффективности возможно при согласовании дифракционных инвариантов. Передача энергии становится более полной, если по возможности согласованы инварианты канального волновода и оптического волокна. Технически трудоемко соединение оптических компонентов как можно ближе друг к другу, так как допустимые погрешности установки компонентов весьма малы и такая операция требует прецизионной механики. Еще сложнее ситуация, когда необходимо соединить сильно различающиеся по своей геометрии и структуре поля компоненты, такие как канальный волновод, полупроводниковый лазер и др. с оптоволокном. Поэтому становится уместен подход введения в схему оптического согласующего оптического элемента, например, дифракционной решетки, микролинзы, или призмы, что значительно расширит поле допусков.
Поскольку принципы геометрической оптики в корне не дают адекватного решения картины описания прохождения энергии через такие структуры, то для проверки эффективной передачи энергии из канального волновода в оптическое волокно целесообразно использовать отношение инвариантов. Но оно получается всегда больше 100%, что не дает ясности в передаче световой энергии и, возникают некоторые противоречия использования простых соотношений для определения эффективности. Хотя на самом деле никаких противоречий нет, для более корректного расчета световой эффективности требуется более сложное моделирование.
В случае оптического контакта, когда свет идет из многомодового канального волновода, как части интегрированной оптической структуры внутри полимерного чипа, в стандартное стеклянное по кварцу оптическое волокно в одмодовом режиме. Компьютерные вычисления были выполнены для многомодового волновода в РММА с поперечным размером 50 мкм и эффективной глубиной 20 мкм с нормализованным показателем преломления я = 1.5 после и одномодового оптического волокна и микролинзой, сформированной на торце ( рис. 3.12).
Можно заключить, что микролинзы дают увеличение эффективности оптического контакта до 20 % в случае правильной линзы и расширение полей допусков.
Следующий очень важный многомодовый случай - линза сформирована на торце оптического волокна, чтобы сфокусировать свет в многомодовый канальный волновод. Теоретическое исследование эффективности этого оптического соединения дано на рис. 3.17. Из полученных картин распределения интенсивности света внутри ОМ можно видеть, что оборудованное микролинзой оптическое волокно может обеспечивать лучшую эффективность специального промежутка между оптическим волокном и канальным и более широкий спектр полей допусков.
Результаты, приведенные в данной главе, показывают высокую концентрацию интенсивности света в области, близкой к параксиальному фокусу. Тем не менее, часть световой энергии не концентрируется в этой области, поскольку многомодовая структура светового пучка, входящего в микролинзу такая, что рассходимость некоторых мод больше, чем показывает параксиальный инвариант Л-Г, что является следствием неудовлетворительного соответствия условиям геометрической оптики, т.е. реальным условиям прохождения света через микролинзу. Под условиями геометрической оптики, как известно, понимается то, что Я « d , где d диаметр кора (сердцевины). В нашем случае соотношение d / Я составляет от 20 до 100, что указывает на явную некорректность использования понятий геометрической оптики применительно к данному случаю.
Расчет дифракционной эффективности ДОЭ
В ходе работы было рассмотрено современное состояние вопроса о методах расчета прохождения светового поля через различные микроструктурные оптические элементы. В итоге выяснилось, что часть «быстрых» методов, в частности, лучевых методов, дает слишком грубое приближение, не учитывая существенность волновых эффектов, а другая часть «быстрых» методов, в частности метод ВРМ, не является универсальной. В тоже время «медленные методы», в частности, метод FDTDM, вообще не пригодны для расчета микроструктурных элементов, поскольку требуют нецелесообразно больших вычислительных ресурсов. Поэтому необходимо было решить основную задачу данной работы, а именно, разработать и применить для анализа оптических микроструктур новый достаточно быстрый и вместе с тем универсальный метод расчета, основанный на дифракции Френеля. Отличительной чертой предложенного метода МПД, является использование преобразования Фурье для моделирования дифракции света в неоднородных оптических средах.
Основное отличие модели, рассматриваемой в данной работе, от моделей дифракции света для ближнепольной оптики, рассмотренных в работах [120-122], заключается в том, что строго применяется условие поперечности световых колебаний. Хотя модель, применяемая в данной работе, является скалярной, тем не менее косвенный учет векторных свойств света необходим для корректного моделирования распределения светового поля на границе между различными материалами рассматриваемой волноводной структуры. В рамках принятого в работе скалярного приближения это можно сделать, строго применяя условие ортогональности вектора к (этот вектор показывает направление движения волны и волнового фронта в каждой точке пространства). В предыдущих работах это условие выполнялось не так строго, как в данной работе. Второе важное отличие заключается в том, что в работе исследовались волноводные устройства, имеющие значительную протяженность в пространстве по сравнению с длиной волны, порядка 60-200 мкм. В предыдущих работах рассматривались как правило ближнепольные дифракционные структуры, имеющие размеры не более длины волны.
Метод, предложенный в диссертации не учитывает поляризацию света, то есть направление, однако из векторной теории дифракции [119] известно, что в ближнем поле поляризация оказывает большое влияние на распределение поля в случае дифракции на проводящих структурах. Если, как в данной работе, рассматривается прохождение светового поля через систему диэлектриков, то влияние поляризации на порядки слабее. Тем не менее, данная теория из-за того, что она не учитывает поляризацию, может давать небольшие отличия при расчете световой эффективности от экспериментальных данных. Но эти отличия на порядки меньше, чем различия между расчетами по таким моделям как лучевая и волноводная и связанные с ней модели. Первая не пригодна в силу того, что не учитывает явления дифракции и интерференции, которые играют определенную роль в микроструктурах. А вторая - волноводная, не является универсальной для сложных конфигураций оптических межсоединений.
Для вычисления световой эффективности ОМ предложен новый метод моделирования. Метод основан на послойном вычислении световых волн, проходящих через набор неоднородных сред. Разработана программа, которая позволяет промоделировать прохождение света через достаточно сложные структуры с размером порядка длины волны. Метод применен к новым оптическим элементам для ОМ - микролинзам, сформированным на торце оптического волокна и оптическим канальным волноводам. Показано, что применение основного приближения геометрической оптики-предположение о бесконечной малости длины волны - неприемлемо для решения поставленной в работе задачи. Расчеты показывают неоднозначность влияния формы и взаимного расположения микрооптических элементов на картину распределения интенсивности проходящего света и световую эффективность ОМ. Научная новизна диссертации заключается в том, что:
1. Предложен и исследован новый подход к трехмерному моделированию распространения светового поля через микроструктурные оптические элементы произвольной конфигурации, основанный на дискретизации структуры на плоские слои (домены) и последовательном расчете дифракционной задачи для каждого из доменов.
2. Найдено численное решение волнового уравнения в среде с размерами неоднородностей в диапазоне от одной до нескольких сотен длин волн.
3. Предложен новый метод оптимизации ОМ, основанный на использовании инварианта Лагранжа-Гельмгольца.
4. Исследована и обоснована возможность применения метода плоских доменов для расчета дифракционной эффективности ДОЭ со структурой порядка длины волны света.
Основные научные положения диссертационной работы:
1. Для расчета прохождения света через микрооптические элементы, не содержащие металлических включений (то есть состоящие только из диэлектрических компонентов), достаточно использовать скалярное приближение волновой теории света.
2. Для адекватного моделирования влияния неоднородностей, размеры которых сравнимы с длиной волны, на распределение проходящего светового поля шаг по пространственным координатам не должен превышать длину волны.
3. Разработанная математическая модель полностью согласуется с экспериментом в том, что применение микролинз значительно повышает световую эффективность ОМ и одновременно снижает потери излучения при взаимных продольных, поперечных и угловых сдвигах компонентовом.
