Содержание к диссертации
Введение 5"
Ч А С Т Ь I СЛАБОТУРБУЛЕНТЖАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОСНОВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ФАКТОВ
О ВЕТРОВЫХ ВОЛНАХ
ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ: ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИЯ <
Iol» Различия в динамическом описании волн и турбулентности...9
1*2, Различия в статистическом описании волн и турбулентно
сти . г1
1*3.. Спектры слабонелинейных случайных волн 2*7
ГЛАВА 2л ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЙМШЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН РГ ИХ
ДИСПЕРСИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ъв
2*1. Оценки влияния турбулентности и волн на возмущения повер
хности раздела вода-воздух. 3 б
2.2. Качественная структура пространственно-временных спект
ров ветровых волн ^ $
2.3. Интерпретация экспериментальных данных Sb
ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН И ОСОБЕННОСТИ
ИХ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ *>г
3-І. Пространственные и частотно-угловые спектры ^
3.2.. Интерпретация экспериментальных данных. в 6
ГЛАВА 4. ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН И ЗАВИСИМОСТЬ ИХ
ПАРАМЕТРОВ ОТ В0ЛН00БРАЗЛВДХ ФАКТОРОВ ^
4.1. Замечания о гипотезах подобия для ветровых волн ^
4.2.. Малопараметрические аппроксшлации частотных спектров
ветровых волн s ь
4*3* Интегральные характаржстикж частотных спектров, ветровых
волн * . 36
4*4* Волновне потока импульса, энергии: и действия. .**..'и0
ГЛАВА- 5* ВЕТЕР НАД ВОШАМИ И ОТЖЧЖ ЕЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ОТ ПРИСТЕНОЧНОЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ^
' 5*1* Возможности гипотез подобия и волновые возмущения..,,...12^
5*2* Волновые возмущения средней скорое ти ветра. ... J 3
5*3* Волновые возмущения флуктуационных характеристик. * 1Z^
Ч А. С Т Ь I Г СДАБОТУРБТІКНІЕІЯ: TEQPEiT ВЕТРОВЫХ ВОЛГЕ ГЛАВ 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРЖ ВЕТРОВЫХ ВОЖ И ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ВЕТРОМ И ДРЕЙФОВЫМ ТЕЧЕНИНИ*.*..1^ 6*Г* Уравнения для волновых возмущений, двуслойной ЖИДКОСТИ*.лЦв
6*2 Квазипотенциальная модель ветровых волн.... .. л b ^
6*3* 0 механизмах Филлипса и Майлса взаимодействия волк с
ветром... . '
6*4* Квазилинейное взаимодействие волн с ветром * 19*
ГЛАВА. 7* КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРА. ВЕТРОВЫХ ВОЖ
И ИНТЕРВАЛЫ НАКАЧКИ И ДИССИШЩЙИ . 2Н
7*1* Общая формулировка задачи прогноза ветровых волн по
кинетическому уравнению-. .....J2-16
7*2* Интервалы накачки и диссипации...
ГЛАВА. 8. тВйк СПЕКТРА ВЕТРОВЫХ ВОЖ ?^5
8*1* Слабо турбулентный колмогоровский: спектр потока-
действия*. 4 ? ^ 5
8*2. Шзвжтже спектра ветровых волн. * 7-s$
ШВА» 9. ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ВЕТРОВЫХ ВОЛН ОТ СКОРОСТИ
ВЕТРА, ПГОДОЖИТЕЛЬНОСТИ ЕГО ДЕЙСТВИЯ: И РАЗХША 2-ьъ
9«J» Следствия из интегрального уравнения баланса действия 263
9»2» Следствия из интегральных уравнений баланса импульса
и энергии.» .... г7"6
Заключение .............................. ....... 90
Литература. "^
Введение к работе
Ветровые волны - один из самых распространенных в природе видої волнового движения на поверхности жидкости, который при достаточнс сильных ветрах становится, пожалуй, наиболее впечатляющим проявлением взаимодействия атмосферы и океана. Масщтабы ветровых волк весьма изменчивы и определяются главным образом скоростью ветра 0t продолжительностью его действия' *Ь и разгоном 3е- от наветренного берега. С увеличением U , t , х. растут характерные амшп туды, длины и периоды волн, а в количественном определении этих зависимостей и состоит задача прогноза ветровых волн в самых грубых ее чертах. Потребность в решении этой задачи столь же длительна, как ж история мореплавания, для которого прогноз ветровых вол всегда являлся проблемой большой практической важности»
Помимо непосредственного прикладного значения , прогноза ветровых волн для навигации, судостроения и т.д. эта задача важна и в более фувдаментальном плане - как один из основных динамических аспектов мелкомасштабного взаимодействия атмосферы и океана. Взаимодействие этих двух сред, определяющее в конечном итоге погоду и климат планеты, происходит в сравнительно тонких пограничных слоях у поверхности раздела вода-воздух, а ветровые волны являются по сути дела самым наглядным индикатором этого взаимодействия. Поэтому задача прогноза ветровых волн в достаточно полной ее пост новке является также задачей о динамическом взаимодействии турбулентных пограничных слоев в окрестности поверхности разрыва плотности и тем самым - частью общей проблемы взаимодействия атмосферы и океана.
2етя попытки рационального описания ветровых волн имеют уже более чем столетнюю историю и связаны, например, с именами Кельви
на, Гельмгольца, Джеффриса, Капицы, Шулейкина, успехи теории в решении задачи прогноза ветровых волн остались столь ^скромны, что для прикладных целей до сих пор используются чисто эмпирические м тоды. Между тем за последние двадцать-тридцать лет ветровые волны служили объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследовании, в значительной, степени стимулированных известными работами Филлипса /' 1 S1 /и Майлса /-/3 5* Д Объединенная модел Фшглшгса-Майлса получила широкую популярность, однако позднее ста ло ясно, что эта линейная теория имеет мало отношения к реальным ветровым волнам, в которых нелинейность может конкурировать с эффектами взаимодействия волн с атмосферой ж дрейфовым течением. С другой, стороны, уже более двадцати лет назад Хассельманом /112 / была предложена широко распространенная сейчас слаботур булентная формулировка задачи прогноза ветровых волн. Предположен ние о слабой нелинейности случайных волн с дисперсией, лежащее в основе приближения слабой турбулентности, позволяет радикально уп ростить общую задачу их статистического описания и свести ее к ан лизу замкнутого уравнения для спектра волн, описывающего его эволюцию за счет нелинейных взаимодействий» Для поверхностных гравитационных волн такое кинетическое уравнение и было получено впервые Хассельманом и им же позднее была показана принципиальная возможность учета в этом уравнении тех или иных эффектов слабых взаимодействий, волн с турбулентными пограничными слоями в воде и воздухе. Однако механизмы взаимодействия волн с ветром и дрейфовым течением оказались столь сложны и многообразны, что -утратжлйсБ^ надежды--даже на явную запись кинетического уравнения
*
для ветровых волн, а сам слаботурбулентный формализм стал: лишь символическим средством демонстрации калейдоскопической сложности конкурирующих процессов волнообразования.
Между тем в обсуждаемом подходе к описанию ветровых волн в силу ряда причин отсутствовали попытки использования идеологии слаботурбулентных Колмогоров с ких спектров, предложенной В^Е.Захаровы
е / ^«3 / как раз для, волн на воде, но в дальнйшем развивавшейся
в основном применительно к другим областям физики. Эти- фундамента льные представления играют в слабой турбулентности ту же роль, чт и идеи КолмогоровагОбухова в обычной гидродиншлическож турбулентн сти, но в отличие от последних имеют уже силу не правдоподобных гипотез, а точных следствий из кинетического уравнения. Судя по всему, только с их' помощью можно надеяться вывести существующую слаботурбулентную теорию ветровых волн из тупикового состояния, связанного с практической невозможностью адекватного описания механизмов взаимодействия волн с турбулентными пограничными слоями в окрестности поверхности раздела вода-воздух.. Действительног кол могоровские спектры определяются только интегральными значениями потоков в соотвествующих инерционных интервалах и, следовательно, не зависят от конкретных механизмов взаимодействия волн с ветром и течением в областях накачки и диссипации.
Разумеется, вопрос об обоснованности такого подхода к слаботур булентной теории ветровых волн далеко не очевиден, поскольку в принципе все спектральные компоненты поверхностного волнения взаи модействуют с ветром и дрейфовым течением. Тем не менее можно обнаружить довольно веские свидетельства существования по крайней мере одного специфического для гравитационных волн колмогоровског спектра и тогда слаботурбулентная теория ветровых волн может быть продвинута вплоть до непосредственного сопоставления с данными наблюдений. В реализации этой программы и состоит конечная цель ; ;этой: .; работы, которая включает в себя экспериментальное и теоретическое исследование вопросов, связанных с выяснением возможно-
стей. описания: реальных ветровых волн приближением слабой; турбулен тгости, определением основных механизмов взаимодействия- волнс/.вет ром, выяснением .условий, реализации слабо турбулентных колмогоров-ских спектров, построением основанной на них теории прогноза ветр вых волн: и ее апробацией, на данных измерений.
В конечном итоге удается добиться: столь сущеетвеннога упрощени исходного кинетического уравнения слаботурбулентной теории ветровых волн, что с его помощью можно объяснить основные эксперимента льные факты о связи параметров волн со скоростью ветра, продолжительностью era действия и разгоном в наиболее интересном с практи ческой, точки зрения случае достаточно развитого волнения* Эта дос ту иная для практического применения слаботурбулентная теория прои нова ветровых волк является, судя по всему,и наиболее выразительным пока примером, плодотворности идей слабой, турбулентности* и с этой точки зрения она представляет определенный, общефизический ив терес» Уместно отметить также в этой связи,, что именно океан оказ лея той первой "лабораторной, установкой.'*, на которой, предотавленв слабой турбулентности получили надежную экспериментальную проверв
Хотя содержание диссертации, естественно, является определен/-ным итого того, что понял: и сделал в обсуждаемой, проблеме ее автор, на данную работу существенно повлияло общение и совместная работа сг членом-корреспондентом Ж СССР А*С.Мониным и профессора» В ^Захаровым* Сотрудничество и дискуссии с моими коллегами по Институту океанологии Ж СССР АДЗ-Бениловым, Р^ССошниковым» ВЛІЛфасицким, Д^В.Чаликовым. по теории ветровых волн, а также с И-А»Дейкиннм и АД*Розенбірїгом в соответствующих экспериментальных исследованиях были всегда полезны и. плодотворны- ЯГ приношу свою искреннюю признательность всем указанным, лицам-
ЧАСТЬ I С ХА.Б О Т У Р Б У Х.ЕЕТЕ А ЕЕ Т Е Р К РЖТ L Ц К ОСНОВНЫХ Э КС ЕЕРИ М ЕЕТА Л.ЬЕЫ X ФАКТОВ О ВЕТРОВЫХ В О Г Е А X
шва г
ОСОБЕННОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ: ВЕТРОВОГО: ВОЛНЕНИЕ
І у. . 1&зличия в динамическом описании волн: и турбулентности;.
Ветровка волны всегда имеют случайный характерг поскольку они инициируются в конечном счете турбулентным пограничным слоем атмосферы. Еоэтому для их теоретического и экспериментального исследования широко используются идеи и методы теории случайных полей,, аналогичные традиционно применяемым в теории турбулентности (см.,; например,, /so tgi /) - так что, например, при вероятностном описании волнения смещение поверхности раздела $(ae,-fc ] относительно невозмущенного уровня "г. = Q необходимо рассматривав как случайную функцию горизонтальных- координат ас. = (act , эсг )ї к времени -fc и интересоваться в конечном счете лишь ее статистическими характеристиками.
При? жошгльзваниж для этих целей развитых в теории турбулентности методов рледует, однако, иметь в виду физическую специфику случайных поверхностных волн: в противоположность существенна нелинейным гидродинамическим полям турбулентных: течений крупномасштабные компоненты достаточно развитого волнения, как будет показана ниже, удовлетворительно, описываются моделью слабонели-иейных свободных потенциальных гравитационных: волж. Представление о слабонелинейных случайных волнах, (или, по физической терминологии, о "слабой турбулентности') позволяет провести для них: довольно существенную детализацию общей, теории случайных полей.
їкажеж в этой, связи сначала на некоторые, видоизменения традиционной, турбулентной идеологии, связанные с потенциальностью волнового движения. При описании турбулентности в жидкости с поверхностью разрыва плотностж ^ (' ос ,-t ) приходится иметь дело, с общими уравнениями гидродинамики (уравнения движения и несжимаемо' сти, кинематические и динамические граничные условия), из которых; определению подлежат статистические характеристики пяти скалярных случайных полей! - трех компонент скорости V^ = VL( л „ъ. ,-t ), (; L = I, 2, 3), давления "P = V C?c.„z tA. ) и самой! поверхности раздела ^ ( — »ъ ) Щ>едположение о потенциальности движе^-ния при ъ<х> позволяет, во-первых,, свести число искомых гидродинамических полей: в' воде до двух: компоненты скорости V'u определяются по потенциалу t ( \/л = в^/азс^, ы. = I, 2; V5 =э<е/;эг. а давление "Р также определяется через <$ по теореме Нернулли для потенциальных: течений (Р = - ^^^/э-Ъ+ + V^Vl/2. )
Поэтому общая система, уравнений! и граничных: условий для потенциальных: движений! в слое жидкости *$ > в > - И со свободно! поверхностью ^ С 25 r"t ) и твердым дном ^ = - И =CowVt СВОДИ! ся к следующей системе для двух искомых функций <С = Ч> (эс ,^ и ^ = "S C2S „*ь ); (см-, например,, / 36 /):
СІЛг)
%
гравитапдонное ускорение, - = T/^e — нормированный на плотность, воды e = cov-uvt коэффициент поверхностного натяжения „а границе раздела вода-во3дух„ т»> ^ .* ) - расяредаленла атмосферного давления на водной поверхности, которое мы будем пока считать заданным; слой, воды при. ^> г> - И полагается неограниченным по горизонтальным координатам эс. ; подиндексом.5 обозначаются соответствующие функции при " = *s (^Л )»
Общие динамические законы сохранения импульса и; энергия для потенциального волнового движения также должны быть модифицированы",- в рассматриваемом случае приходится отказаться от использова ния обычных в теории турбулентности удельных (на единицу объема).-плотностей, среднего импульса SeVL и: энергии. <5eV^Vj, /г Например, в области a -cm^n^ средний на единицу объема удельны импульс потенциального волнового, движения %eV^ = Q* тогда кав средний, импульс единичного столба жидкости (см* ниже (1*2 а» отличен:, разумеется, от нуля, при Ч, ф Q. (Чертой мы будем обозна-* чать в этом параграфе осреднение по горизонтальным координатам х. которое для статистически однородных по ее случайных полей эквивалентно осреднению по статистическому ансамблю, но в настоящей контексте может прилагаться и для периодических по за детерминированных функций "5 , *^ ).
Вместо % ь \л , ^Vi^/a в теории потенциальных волн ис пользуются плотности среднего импульса М и энергии. Є волне фого движения в вертикальном столбе единичного сечения:
и =%Л у****,
_н (1»2 а)
ё.ёк+е*+ е:= *. s\c^)%^Ti^-
И (1.2 б)
* 1%гЪ ** + * %U^ Cv'sV^*- 1 3
\
Определяя: из (1.2а, б) *э 4 /э* , эЕ /э-fc с учетом зависимости: от времени верхней: границы области интегрирования по ^ в (1.2 а,. 6) и используя: уравнения (I.I), после применения: формулы Ірина приходим: к следующим уравнениям баланса для" М и Е
(3.3 а)
эЕ/э-t —T>*as/»t а..3б)
Отсюда при "Р^= tov4^-t получаем естественные законы сохранения среднего импульса и энергии" свободных потенциальных волн.
Наконец;, важным общим следствием потенциальности волнового движения является и то обстоятельство» что его средний, импульс И и: энергия Е. могут быть выражены только через функции горизонтальных координат: и: времени *S C2L »~k )» ^fe »*t ) =^
м =-5([
(первая формула следует из (iJEa ) при использовании: тождества
а вторая получается из (IJ2 б) после преобразования Є по фор-муле Грина с учетом уравнений (ІЛН. Отмеченная особая роль двумерных функций. $ (.. ,."Ь ),, Я5 ('.эе. ,-t ) еще более выразительно выявляется в предложенной. В^Е-Захаровым гамильтоновой формулировке динамики свободных: потенциальных волк / 4 Н- /
с каноническими.переменными *5 (обобщенный: импульс)„ *р (обоб-
' yJ
щенят координата)' ж гамильтонианом И = В / % & » который в соответствии: с (1*4 б) является функционалом отг пары канонических переменных 5 иг Я5 ^ (В (XJ5) Ь /&ЯР » S /b'S - вариационные производные функционала Н ).
Хотя при анализе системы СГЛ5 нас в конечном счете интересу
ют двумерные - динамические характеристики: потен
циальных волн Сз& r*t ), Ф (ос. ,'t ), их определение, требует
предварительного решения трехмерной краевой! задачи (І.Л а, б, в)
для потенциала скорости ^ (> ^ rt ),. получаемой из чисто ки
нематических: условий несжимаемости,, непроницаемости материальной
поверхности раздела ^ и: дна -И .. Наиболее очевидное упрощение
этих: уравнений связано с дополнительным предположением о малости
функций "$ „ ^ ж их производных,, что позволяет искать решение
системы (І.Г) в виде рядок по степеням малого параметра нелиней
ности е. = а0 k0 „ соетавленноіґпо характерной амплитуде волн
сса ж характерному волновому числу к9 * Полезно отметить, что
такие разложения: пригодны только для достаточно узких: волновых
пакетов с волновыми числамж k~k0 „ хотя это обстоятельство
часта упускается из рассмотрения: ж результаты таких: разложений
прилагаются к волнам с широким спектром - сю»» например» /V6S" /,
В первом па е приближениж система (ІЛЇ при V = Q сводился к известным уравнениям линейной теориж свободных, поверхностных ВОЛВГ.
^*U (1,6 в)
J -1
Снулевыми подиндексами обозначены соответствующие функции: при: s = G). Выражения C.I.4.' аг б) для среднего импульса и энергии воля сводятся в этом приближении к следующим формулам:
М=-$ЙЧ?0УН, , аЛа)
E-H.'e-ll + is.a^+^Yf.cvs)*- алеї
Элементарные решения: линеаризованных, уравнений (1.6) имеют-вид плоских гармонических волн "S Сх *** )» ^ (5»* »'fe Ї ^р lj*C!sX -^"t )] с изотропным уравнением связи: частоты ио и: модуля волнового вектора к = Ск4Гк.г J (дисперсионным: соотношением)
4L/2.
Как будет показано далее,, представление о близости, реальных ветровых волн к линейныж свободным волнам может быть оправдано толь-
1/2.
ко в области достаточно больших масштабов к « ( % /у )., где можно пренебречь капиллярными .эффектами. Исключая также для про-стоты рассмотрения: эффекты конечности: глубины ("Н^ к" ), мы получаем из (Т»а>) дисперсионное соотношение для линейных: гравитационных волн на глубокой: воде
которым к будет ограничено наше дальнейшее рассмотрение,, если спе циально не оговорено; противное. (Принятому упрощению дисперсион-нога соотношения: отвечает пренебрежение капиллярными: членами: в динамическом граничном условии: (І.Я г) и: выражении: (JJ7 б'Х для В , а также замена условия непроницаемости: дна (1*6 в); на условие затухания <^ -*> о при -г-^-«*)..
В теории: сильной: гидродинамической, турбулентности дисперсионная: связь частоты ш ж волнового вектора к вообще отсутвтву-ету тогда как в слабо нелинейных: волнах учет следующих: членов; разложений по е при k ~ к с должен лищь незначительно искажать линейное дисперсионное соотношение. Это обстоятельство является одним из самых: существенных" отлична слабонелинейных: волн о обычной; гидродинамической: турбулентности.
Решение уравнений линейных: гравитационных воля можно искать в виде разложений: Фурье
\<еса,»,-«о{ Wb«,wJ >ало)
что дает для глубокой воды связь <kev и: SUu, вида *fKcO(*0 =
4 k а — " ~
--ікоо^^^е- „В этом случае формулы (Т.7 а* б) для импульса ж энергии: волн: принимают вид;
— : , _» СП а)
e^^^WV^'W^C^-') ал 6)
""" — .ТОЛЬКО,
"- т»е» выражаются*через "5 Кш. Учет слабой! нелинейности должен незначительно искажать эти соотношения:, а поэтому в слабонелинейных волнах возвышение поверхности раздела *5 является не только кинематически наглядным индикатором поверхностных, волн — с помощью спектральных характеристик. ^ могут быть с приемлемой точностью выражены и основные динамические параметры волнения. Это обстоятельство имеет важное значение при интерпретации экспериментальных данных:,, поскольку в измерениях обычно регистрируется только возвышение поверхности раздела»
Эффекты слабонелинейных взаимодействий свободных гравитационных волн удобно рассматривать в рамках гамильтоновых уравнении (1.5). Слвдуя работам / 44 } 3'? /, перейдем от канонических переменных 5 »^ к спектральным нормальным переменным q = = сс( k ,-t ), а. =о.(к ,t ) по формулам
Тогда
fe V2<
/ л ч V-н , (LIS)
где *J> , Яр - пространственные Фурье-компоненты исходных кано-нических переменных S r9 :
L к ос
С і *_ ^ к эс
С I, ^ о '«-й* (1Л4)
Гамилжтоновы уравнения (1*5) в переменных, с*. , сх имеют вид
5 ^
S>Cc
*ачь Ь<х
Л4"ь -ГГ^^- (І.І5У
а гамильтониан Н при слабой нелинейности выражается в виде ряда по степеням ее , ее :
Ц^Нв+Ні+Н^,,. ' (ІЛ6)
Здесь
Ис= ^ сск о_* сік
(.1.17)
- квадратичный по о-^^к гамильтониан линейного приближения, а И4, Нг ,... - описывающие нелинейные взаимодействия функцио-налы третьего, четвертого и т.д. порядков по а.к ,<х^ (их явные выражения приводятся в / А 4 /). В частности, для исходного гамильтониана Но канонические уравнения (І.І5) принимают вид
*.
~Э Сс
= + с$Сс^ =0, (І.І8)
а учет последующих членов в разложении (I.I6) для Н приводит к появлению в правой части динамических уравнений (I.I8) интегральных нелинейных членов второго, третьего и т.д. порядков по сс„. , а. * (в явном виде эти уравнения выписаны в / 44 /}.
Наиболее существенной стороной закона дисперсии поверхностных гравитационных волн является его "нераспадность", означающая, чтс
уравнения
<ИЛ = etk'>* ёсО
Н* k' + k" ^*19)
не имеют вещественных решений для < (к ) = (<^к ) ' . Как показано в /45* /, этим обстоятельством можно воспользоваться для- упрощения: гамильтониана (I.I6) путем перехода от переменных
<*-., » Ct-2* К НОВЫМ ПеремеННЫМ 6 = 6 ( k ,-t ), 6. = В ( к r'fc ),
сохранияющим канонический вид уравнений движения (I.I5)r но уничтожающим динамически несущественный кубический по с^к гс\^ член VU в исходном гамильтониане Ч .
В такой процедуре упрощения гамильтониана (1-16)- преобразована Ч *"їв ^**&vc ищется в виде функционального ряда по степеням 6t , / ^6~ /:
CO (.t) / и
(Ядра С і„w = C( к , Vt , к ),... определяются нелинейными чле-
In i^ 1^
*-
нами H1,... исходного гамильтониана (1,16)-). В переменных вк t
вк гамильтониан (1*16) принимает вид
н-н;+<+..., (1>21)
где.
Н'0=^Ч6*с1к (1.22)
-гамильтониан линейного приближения, а
* & ц \7 ц' О к« ф кл» С к + к — , ~ Е: /
.следующий член разложения эффективного гамильтониана,, имеющий, уже четвертый порядок по Bk г 6>к » Явное выражение дж ядра "T"kk/Ki/ki// = T ( к гк' ,к" ,к'") получено в / 44 / и не" приводит-ся здесь из-за его громоздкости. Оно удовлетворяет условиям симметрии
Т !< fc' te"k'" ~Tfc.'b-vi.,,!<n, ~ХВ.Ч' *"'*'' = Тк''к'''k k' ^-24)
и является однородной функцией третьей степени»
При слабой нелинейности поверхностных гравитационных волн можно ограничиться первыми двумя членами в разложении (1„21) для Н , Этому приближенному гамильтониану отвечают уравнения движения, кубически нелинейные по 6Ь, вк :
-^^^eka.i^ii'SJfe.,'^fc.,,'Tkk,Kll|t«-
в&/ & к" в *<« S с к ч- к'- к"- к"')
используя выписанные выше свойства симметрии (1.24) ядра "^кк'к"к"'и условия резонанса для гравитационных волн
к + к = к + к.
можно убедиться, что приближенные слабонелинейные уравнения (1.25 для 6к , 6J*" имеют интегральные по к законы *сохранения/43 /
^
^ $СЬЛ 6* в*Г сЛк =0 (1.27)
^СЮ ск,бСЮ,і
(1.28)
Им отвечают три интеграла движения
S^kCcU , (т#29а)
S Є* >Г cAk (1.29 в)
Первые два интеграла движения (1.29 а, б) имеют, соответственно, смысл импульса и энергии гравитационных поверхностных волн в переменных 8^ , @* . Третий интеграл движения (1.29 в) слабонелинейных уравнений (1.25), который мы будем называть интегралом волнового действия (или просто действием) уже не имеет традиционных общединамических аналогов: его существование обеспечивается специфическими для поверхностных гравитационных волн "нераспад-ними" условиями резонанса (1.26) (например, для гравитационно-капиллярных волн, линейное дисперсионное соотношение которых (1.8) удовлетворяет "распадным" условиям резонанса (I.I9), волновое действие уже не сохраняется из-за квадратичного характера слабой нелинейности динамических уравнений). Необходимо также подчеркнуть, что с точки зрения исходных полных уравнений движе-
ния потенциальных гравитационных волн действие сохраняется лишь приближенно - уже следующее слагаемое Нй пятого порядка по gk &^ в эффективном гамильтониане (I.2I) нарушает закон сохранения действия, пользоваться которым можно лишь в случае слабой нелинейности поверхностных гравитационных волн.
С экспериментальной точки зрения важным является и то обстоятельство, .что волновое действие, также как и их импульс и энергия может быть определено с удовлетворительной точностью по простым измерениям возмущений, водной поверхности "S .Действительно, при слабой нелинейности из (1.20) следует приближенное равенство
^й/^^к (1.30)
и, следовательно, интегралы (1.29 а,б,в) с этой точностью могут быть переписаны в терминах исходных нормальных переменных w-w»Cc^
^о-ь^ь^, (1.31а)
S^^K^^^k, (1*31 б)
S ** <* ^ (IJ31 B)
В свою очередь, соотношение (І.ІЗ) устанавливает связь с<- о Фурь компонентами ^ возмущений, водной поверхности, и поэтому определенные согласно (1.29 а,б,в) динамические параметры волн могут быть с приемлемой точностью выражены через спектральные характеристики ^ . Конкретные формулы этого рода будут выписаны в ''-- IJ3 (с их помощью можно будет, кстати, убедиться, что с принятой степенью точности соотношения (1.29 а, б) сводятся к интегральным определениям (1.7 а, б) импульса и энергии поверхностных, потенциальных волн}.
Г^2«. Различия: в статистическом описании волн, и турбулентности»
Как было показано выше, в силу специфики гидродинамических; уравнений, слабонелинейных" свободных гравитационных: волн все иг динамические характеристики с приемлемой- точностью выражаются через возмущение поверхности раздела ^С»»"^)» Уже это обстоятельство радикально упрощает задачу слаботурбулентного описания: движения: жидкости со свободной поверхностью: при попытках ее решения: в: рамках общих уравнений; . теории: турбулентности пришлось бы интересоваться; взаимными статистическими характеристиками пяти случайных: скалярных: гидродинамических: полей V;. (.'** = Гг 2r S)>р V ,*Ъ
Далее,, при статистическом описании: слабонелинейных свободных: гравитационных волн появляется правдоподобная возможность: существенного упрощения общей задачи теоретико-вероятностного описания; случайного волнового«поля. ^ С» ,*t }, состоящей, как известно* в определении многомерных плотностей вероятности "Р С$»..., "S/v случайных; величин: Vt= ^ С^)г««.» "5 = S ОЛ^Ї на всевозможных конечный: множествах точек М^= (x.±9±±),...t М^= Сo^Nг-ьN ) пространственно-временной области задания функции "%(? Д ) ил соответствующих им моментов
Действительно, близость волн к линейным заставляет надеяться, что их вероятностные: характеристики не должны существенна отличат ся ог тех> которые имеют место для линейных волновых полей.. В свою, очередь,, для последних кажется правдоподобным применение выводов центральной предельной теоремы вероятностей,, в соответствии с которыми, совместная плотность распределения вероятностей "5 (также как ж линейных функций *S .) должна быть гауссовой (см»г например,; / ВО /):
(здесь Ъ - < S^^S^r *"*** = I,-..» ^ - матрица дисперсии: с детерминантом: Д ,* "5 = ("$it..., <SN } -матрица-строка,, a "S -матрица-столбец, полученная транспозицией- ^S )v В частности»
PC^=C^
Из-за качественного характера аргументов,, оправдывающих, условн применимости центральной пределвной теоремы к линейным случайным волновым полям представление-об их гаусссвости носит, однако,, лишь характер правдоподобной, гипотезы. Более тщательный: теоретический: анализ Хассельмана / 97 / показал* что свойство волновых полеж быть гауссовыми: является следствием их линейности., но имеет место лишь в "крупнозернистом"' смысле: это касается лишь достаточно крупномасштабных: компонент волнового поля, тогда как. его тонкая мелкомасштабная: структура остается негауссовой и в линейном случае. Можно полагать, что слабая: нелинейность волн: незначительно искажает гауссовы свойства их линейной модели. Тогда появляется возможность рассчитывать иг динамических уравнений? для слабо нелинейных волн: поправки к исходной гауссовой плотности распределения: вероятности / *3 2. д
Представление о приближенной гауссовости ветрового волнения широко подтверждается также и натурными наблюдениями, В частности данные измерений свидетельствуют о том, что распределение вероятности для *5 в фиксированной точке довольно близко к гауссово-му, хотя и обладает некоторой ассиметрией. (см., например, //2.5^
Приближенная: гауссавостЕ ветрового волнения:, нозволяет: при изучении их энергонесущих компонент ограничиться в первом приближении сведениями только об их: втором моменте или пространственно-временной корреляционной функции
"" (.2*4)
- последней в соответствии с (2Л), (2.2)' определяются: все моменты гауссовою случайного поля "$ ("at ,'Ъ J ("в. (2-4Ї и: далее мы будем обозначать эс = *= г -ъ = -t г э?т= зс + ъ rt = -t -к.-«Cr ).
Из: наблюдений известног что масштабы пространственной СХ"! и. временной ("т ); изменчивости статистических характеристик достаточно развитых ветровых волн на три-четыре порядка превосходят их характерные длины "S0 и периоды ^с (см» по этому поводу далее главы 2*.-<]L С другой стороны» зависимость В от ъ ж f оказывается существенной уде при г, ^ X е rt~*rc и поэтому в масштабах: t <& X rt
(2.
Заметим, кстати, что из определения: (2..5) вытекают определенные условия симметрии для "В ( ъ , t ). А именно, замена переменных: ^ ->эс- ъ ,.
но (2.6);
В С^^)^е>с^^),Ь^,г^ ВС-:?,,-О
.2.4
Вместо пространственно-временной корреляционной функциж Bc&,f} часта удобнее: рассматривать соответствующий, ей спектр волновых чисел: ж частот 1Е ("k ,^ J (или пространственно-временной спектр), определяемый, как преобразование Фурье по ъ к f от
(І Ь. — С ki» кг } - двумерный волновой вектор,, со - частота). Изз обращения: (2..7Х
находим прж ^. 9 ^ = CF условие нормировки для Е (f k , «j ): <Ъ*>=ВСО,сО = ^olk ^cU>ECb,"0, (2#gJ
а из (2.6 - условия симметрии
Менее полную статистическую информации о случайном поле ^с*го содержат: симметричные спектры частот: С Сел» ) = С С— со } ж волновых: чисел: Чт (?к X = *V G-k )г которые выражаются: через Ё GW; ,<- їг BC't *.-t Ї формулами
С (ouV 1 «*!*. Е С b. 0ш) - (г^У1^^ & Со,*} ^рСбсотО,
(2Л1>
чЛ:к> ^ ol ои Е Ск ,«Л= С 'escy^daBc^o^^pc-iks)^^
ж удовлетворяют аналогичным (2..9} условиям нормировки.
~^>
В приложениях вместо симметричного частотного спектра С (и> ) чаще используется несимметричный" частотный спектр S ( ос» }, определенный условней
г гсссео
uo < О
5cw^= \ _ \ . Л С2ЛЗЇ-
При этом соотношение (2,11) принимает вид,
Sc<*>W^ \АЪ Ь^Ол^чс^ии^ (2Л4)>
а условие нормировки сводится к
<ъг>- fcco>oy* ^ stood** (2Л51
Мы отметим, что соотношениями 02.II), 02.12)" не устанавливается связь С Сси ): ж V( к ). В теории: турбулентности это обстоятельство вызывает определенные осложнения^ поскольку теоретические заключения: о статистических характеристиках гидродинамических полей получаются для спектров волновых чисел V Ok I*. а в экспериментах обычно определяется частотный, спектр О 0 «*» >. Как. мы увидим далее, для: случайных слабонелинейных волновых полей, в этом отношении: дело обстоит более благополучным образом.
Более естественное определение спектров слабонелинейных волн: получается при использовании разложений: *SC ^ ,*fe ) по гармоническим функциям 4 О'эс ,-t »k г *А> ) =<ъ*р[\. Окл — u»-t J вида 01.Ш), где при вещественных *$ для Фурье-амплитуд < па аргументам к и со выполняется условие вещественности
S ь«, - ^-к-«. (2ЛЄУ
ОЗдесь и далее для кратости обозначений мы будем всюду писать вместо компонент Фурье-Стильтьеса elZ(k rco ) обычные Фурье-компоненты , используя символическое, равенство ^. =
d-O
сІЗСЬ. »> ValkciuJ у эта общеупотребительная: f физике формальная некорректность представления случайных полей при известной осмотрительности в определении спектров не влечет за собой никаких упущений. Заметим, впрочем, что такое определение является вполне строгим в смысле теории обобщенных функций).
В рамках корреляционной теории случайных функций существование интеграла (1.10) естественно понимать как условие существования: корреляционной функции: (2.4). Для этого достаточно потребовать выполнения условия: абсолютной! сходимости, интеграла (I.IQ); в среднеквадратичном
^к^ш^к'^о(и;/1<^^^/а;/>\<М=со^5
'(2.17 J
что Обеспечивает: представление (2.4) в виде
BCSS + 't >*Ь-»-Ъ , ?,-0- ^dk $сЛсо ^clk' ^cJou'.
(2.18)
Далее, единственность разложения (ІЛ0) для случайной функции "5 (97 "Ь ) пр0 условиж (2.17) также должна пониматься в среднеквадратичном — т.е. как условие взаимно однозначного соответствия между вторыми моментами: ^ E[SSl<_ * ^ш достигается при условиях: (2*5} статистической однородности: и. стационарности. Из; сравнения (2.18) с (2.4) видно,, что эти условия обеспечиваются: при
- (2.IS)
ж. тогда (2.18) сводится к (2.8J. .'. ~
Г.З. Спектры слабонелинейных случайных волн
Обратимся сначала к детализации выписанных выше общих выражений для симметричных спектров E(k ,<-«j), ЧЧк_), С( со ) э считая *s ( 2S»"* ) случайным линейным волновым полем (ниже мы убедимся, что эти обычные для теории турбулентности симметричные спектры в рассматриваемом случае естественно выражаются через специфичные для волновых полей несимметричные спектры). Как показано в ІД, линейные волны в нормальных переменных <х^,<х описываются уравнениями
с решениями
-+ -Let * Л - „ u
Тогда с учетом выражения (1,13) для пространственных Фурье-компонент V через нормальные переменные o.fc , с* * имеем:
(3.2)
Сравнивая (3.2) с представлением
заключаем, что они совпадают, если
^*~ = ^ (|) \а* W<^)+A^O"-fcO][(3.3)
Составим теперь из (3.3) пространственно-временную корреляционную функцию (2.18) и потребуем, чтобы она не зависела от х^ и "t Тогда для Ь( ъ , tr ) получается представление вида
^С-с^^ІУ^СРСк-)^ -- + Fc~i<)e J3.
4)
где функции Р( к.), F (- к) определены соотношениями
' да
< А1САГк0*> > < AZk(A"+fc/)^>^0 при всех к,к' (3.6)
Воспользуемся теперь соотношением (3.4) для определения ЕО<-,сч) ^( к )t С (to ). Сравнивая (3..4} с общей формулой (2.8) для В ( »^ )» имеем следующее выражение . Н( к ,со ) через Р Ск);
ECk,<^=^F<^bt^-0 + PC-k^&c<^ + <3;>] (3.7)
Интегрированием (3.7) по и» находим далее:
ЦУ СЮ = *. [ Р(к)+ FC-k)3 (3.8)
Для выражения частотного спектра С (со ) через F ( к ) надо проинтегрировать (3.7) по к с учетом свойства & -функции
^СКЮ^Х-ГІІГ %Ск-к„^ (3.9)
N 1В^ 1-1-
где f ( к ) - заданная функция, а к ^ корни уравнения (k )=0. При = ( $-к )^2 уравнение
Ск^?-+СЮ=со-С%кУ/г = о
имеет решение ло /g при со>о , а уравнение СЮ=, ~Ск^ = "> + С$-кУ/г=о
обладает тем же решением при со <0 . Так как зависимость б ( k ) в рассматриваемом случае изотропна, то в формуле (3.7) удобно перейти к полярным координатам к ,& и тогда
Cl^=^ d& ( kdk Є Ck0^,co") ~
^ -^ Jo (3.10)
* ^ С^ rPCk=^^CcoV РСк=-^±*)ЄС-соУ1 .
CZ)
где (uO- ^0
Наконец, из (ЗЛО) получается аналогичная формула и для определенного согласна (2.13} несимметричного частотного спектра S(<-o):
ЪСсо^^3 $ с\^ PCk = ^\^) (З.п) Полезно привести также следующие из (3.7), (3.8) соотношения
рсю= г ^ sck,co)dcxj 5
о (ЗЛЗ)
первое из которых указывает на ошибочность распространенной "эвристической" формулы Е (к ,<*> ) = мк)>(а? - ) (см., например, /3.2. ,?6 , ВО /),а второе-может использоваться для определения F(k ) no E(k ,<^ ).
Формулы (3.7) - (3.13) имеют в определенном смысле фундамен-. тальное значение для случайных волновых полей. Они свидетельствуют о важности функции F(k ), поскольку через нее выражаются все спектры &( к ,"> ), ^('к), С С ">) линейных случайных волн. Определенная соотношенияшгфункция F ( k) имеет смысл пространственного спектра, поскольку ее нормировка, совпадает с нормировкой Ч; (к } - в этом легко убедиться, обратившись к формуле (3.4) для Ъ ( % ,'.*е ) при %.,ъ = 0:
<*Ьг>*ЪС0,О^=\ ^fc[.pCk)+FG-feO> Selk_Fc3.I4)
Однако из (3.5) видно, что в противоположность обычному пространственному спектру Ч^( к )
PCbWFC-O (S.I5)
и поэтому мы будем называть Р С к) несимметричным пространственным спектром (или несимметричным спектром волновых чисел).
Несимметричный пространственный спектр Ff.k) возмущений поверхности раздела * тесно связан с соответствующим спектром N (k) нормальных переменных о. , о. , который, мы также определим нор-мированным на ^ соотношением
%е% Мею Sck-Vb.1)» <«.fe с*.\, > (ЗЛ6)
В. соответствии с приближенным определением (Г.ЗІ в) N (k) имеет смысл пространственного спектра волнового действия, и нормированное на
выражением
vi^NCk^dk (3.17)
Связь между N ( k ) и F ( к ) устанавливается соотношением
%Л -^V^-fc^C -<сх^*>>(ЗД8).
получаемым из (3.1) с учетом (3^5), и следующего из (3.1) условия
Сравнивая (3.16), (ЗД8), находим, что в-смысле обобщенных функ
ций р. .
МСк^-^ (3.20)
Хотя спектр волнового действия N Ok ) является первичной динамической характеристикой случайных волн, для интерпретации экспериментальных данных важны соотношения, позволяющие определить спектральные характеристики действия по спектральным характеристикам возмущений поверхности раздела "$ ( эс ,-t )^ Формула (3.20] малополезна для этих целей, поскольку F( к) выражается только
через пространственно-временной спектр Е( k , to ) (см. (3.13 )\ а подавляющее большинство экспериментальных данных, о ветровых
'31
волнах относится к частотным спектрам S(<-^ ). Связь типа (3..20) в терминах частотных спектров проще всего может быть получена, если несимметричный частотный спектр волнового действия /V ( се? )
определить условием нормировки
va= $М(иО«іиз = ^tslCVOclkr \&$\ ^Ck*^~ kdk (3.21)
<5 -5c о C%k")
Заменой переменных k = cz/^ отсюда находим
в „^ ъ
что с учетом (З.Щ окончательно дает
МС«П« ^тг" C3J23)
Нормированный на g а пространственный несимметричный спект] импульса волн М С к ) = ( М4(к )г Иг(к )) связан с N (к.) следующей из определения (1,31 а) приближенной формулой
, ч (3.24)
Мос(\0 = ^осНсьК о<.= ,0г,
и нормированный на ^& интегральный импульс волн m .тогда записывается в виде
^«~S ^*^">^ (3.251
С практической точки зрения попрежнему более полезны соотношения, выражающие спектр нвФвяа импульса через спектр ^(«,-t ). Из исходной общей формулы этого типа
MrfCh^ ^ FCh) (3^26)
и условия нормировки несимметричного частотного спектра импульса волн М(«) ^ оо
а > -^ J takV/г. э
00 ^- г- «Л
V, 1 I .
^ d.
после замены переменных к =<<и /& получаем аналогичные (3.22) соотношения
мгс«о=?^ \ pcvc- s^,^).*^ d. рис. 2-І б):
[би;ьСк^"]г ' >L*">c О-Л"}^ Сг»Г8)
В то же время размазка коротковолнового хвоста спектра на фиксированном волновом числе k L при Си„у>± должна быть меньше, чем на том же: волновом числе в случае <^~± — поскольку с уменьшением 5 m увеличивается: дисперсия орбитальных скоростей энергонесущих компонент волнения:
L^^Cki^^^^L^cCW^^^ (2»ВД
йнача говоря» по мере развития: ветровых волн должны уменьшаться й,%отличия их: энергонесущих компонент с k~U ^ от линейных свободных волн» Напротив, коротковолновые компоненты в фиксированном диапазоне волновых чисел при: развитии: волнения становятся все в меньшей: степени похожи: на линейные свободные волны ж по своим дисперсионным характеристикам все больше приближаются: к обычной: турбулентности:» Эти: две различные тенденции в; эволюции: > tocC *< ~). ucot С и. і }. по мере: развития: волнения:
схематично иллюстрирует рис. 2.2.
Проведенное рассмотрение свидетельствует о том, что представление о близости реальных: ветровых: волк к линейным свободным волнам, с достаточной, уверенностью можно использовать только для энергонесущих компонент в окрестности спектрального максимума и лишь ш случае достаточно развитого волнения, когда Лт~1 . Поэтому рассчитывать на успех в теоретическом описании ветровых: волн следует не столько в изучении очень сложных механизмов образования: затравочных возмущении с и/,*,1» л. t сколько в исследовании асимптотических режимов их энергонесущих компонент при: С„ ~ 1 {напомним в этой связи, что обычно наиболее простым-объектом" теоретического анализа принято считать начальные стадии развития: неустойчивости: поверхности раздела вода-воздух ~ см*, например, книгу ФиллЙгса /S3 /, сыгравшую заметную роль, в. распространении: этой точки: зрения:}..
Обсуждавшиеся, различия ветровых воля в случаях <и~і ж &v,^>l нолезно иметь также в виду при сопоставлении экспериментальных данных, относящихся к ветроволновым лоткам ((»^»4 ) щ натурным наблюдениям при достаточно больших разгонах (7^~l ):. Этот круг вопросов: будет рассмотрен ниже в гл. 4, но и проведенного обсуждеяині достаточно для вывода: о *ам| мфя несостоятельности, распространенных пока попыток отыскания общих универсальных зависимостей: для параметров ветровых: волн в случаях Сй„ ~ ± , 5r~ ^^ »
A'ft ex
V«
Вїс. 2.2. Качественная- зависимость от степени, развития: ветрового волнения: Гт размазки спектра Я*(;к гсс ); (&сис('к )): относительно дисперсионного хребта сссСк 1 на волновом числе спектрального максимума С/^сс С к*«УХ и: на фиксированном волновом числе Vi>^(>^cf>ai; 1-лсисСк„)/^Ск^>, 2 -
oo.
2.Я.. Интерпретация экспериментальных: данных:
Перейдем теперь к сравнению обсуждавшихся: выше качественных: оценок структуры пространственно-временного спектра ветрового волнения с экспериментальными данными. Для прямого определения Е (г к^ , <^ ) необходимы синхронные измерения: возвышения: поверхности 'S ( 9Ё. г**= ) ВО МНОГИХ ТОЧКаХ, ЧТО ТеХНИЧеСКИ ОЧеНЬ СЛОЖг-
на и не применяется даже в лабораторных: условиях. Однако с развитием адаптивных методов спектрального анализа (см,, например, / S4- 910ъ /). появилась принципиальная возможность оценок спектра Е С к % со ) с помощью небольшого (порядка десяти) числа датчиков..
Эти методы использовались в / '2. Z / для: непосредственного
е.
опредеМия пространственно-временного спектра ветровых волн в
ситуации развитого волнения: с Си^т ± .. Приведенный на рис.2.Л
график из. этой работы, изображающий сечения пространственно-вре
менного спектра развитых ветровых: волн: на нескольких: частотах,
демонстрируем хорошее качественное: соответствие с рис* 2.Га:
для энергонесущих: компонент волнения с со < ^ccv*-, среднее поло
жение дисп&рсивіщог.о- хребта хорошо описывается: дисперсионным:
соотношением со"2- =^-k г а величина размазки: в непосред
ственной^ окрестности спектрального пика мала;, в области более
высоких частот <-о ^2 сот среднее положение дисперсионного хреб
та: отклоняется от: кривой ю*= &к к одновременно происхо
дит увеличение размазки: хребта»
С помощью аналогичных: методов: в / ЄО / были независимо определены по данным натурных измерений! в условиях: развитого волнения: частота сот ж: модуль волнового вектора км спектрального максимума ветровых: волн» Эти данные» представленные на рис* 2-Св виде зависимости; «;„(". К*)'» также свидетельствуют о:
-J ^ GL.
Рис, 2,3. Экспериментальные, оценки сечении пространственно-временного спектра В ( W , <- , *<, ) ветрового волнения с tow ^ I по данным / 2- 2. А
* 10'
Рис. 2.4» Зависимость частоты ^^ от волнового числа к^для спектрального пика развитого ветрового волнения с ^ I по данным натурных измерений, / GO /. Пунктирная линия - дисперсионная зависимость и)*~= %.к
близости энергонесущих: компонент достаточно развитого волнения: к линейным свободным гравитационным волвши. Незначительное систематическое превышение uj^ над С% к)^ на рис. 2,С связано, очевидно, с наличием дрейфовых: течении, всегда сопровоядающих реальный процесс волнообразования: (мы отметим в этой связи, что н отличие от остальных рассматриваемых: здесь натурных данных, на обсуждавшемся выше рже*. 2»31 учтен допплеровский сдвиг частоты за счет дрейфового течения,, регистрировавшегося: в^ этих измерениях)..'
Однако основной, объем: имеющихся в нашем распоряжении экспе-риментальныхданных о дисперсионных, характеристиках ветрового волнения: носит косвенный характерг„. Бри интерпретации этих, данных необходимо: соблюдать определенную осторожность, поскольку с их помощью часто не удается разделить эффекты размазки: дисперсионного соотношения: от: эффекта смещения: дисперсионного хребта 'ио^С \< ) относительно ё С к );=,('.к. )^Z /33 Д
Рассмотрим сначала один, из наиболее простых и популярных способов косвенной проверки дисперсионного соотношения: для: ветровых вола по частотным спектрам возвышения уровня: S ('у-> ) и спектрам наклонов: S ('<-<-> ), S„ (><-*), СООТВЄТСТВуЮІЦИМ: Пространственным производным "Э^/эк^ ,'^ц$/ээс.г в двух взаимно перпендикулярных направлениях о эе^ , о vs.z .. Так. как пространст-ственно-временной спектр Е- Ci< PuJ ) случайного поля s*s /ээс. (;оС = Г, Z). связан: с EL (IU 9ио ) соотношением Н С к ,<-с> ) = = КГ ^Ск .из ), то С к ,«> ) =Е^'Л< г^ )-^ Ск гю)г Интегрированием: по к последнего равенства, с учетом CTJ2) при & = (;g.k )"^ получаем связь частотных, спектров S С<-^ ) я. SJ{"> X = S^ Ceo ) +^SV C"->) вида.
ь^х^ = «^ьс«о/аг сад
о -t
Экспершентальнаяс проверка этого соотношения: позволяет судить, выполняется ли в действительности представление (1*2) при б = (f^.k у**- для спектра ветровых: волн.
Обычно из измерений такого рода определяют: "дисперсионное соотношение"
получаемое при замене множителя <^> / на к в правой, части ЗГЛ)f SB. ,ч-Ч- f НО Д Аналогичные: с методической, точки зрения: результаты получаются при сопоставлении спектров орбитальных: скоростей, измеренных: на двух горизонтах в приповерхностном слое, моря / 1 ? /. Рассмотрение этих- данных показывает:, что "'дисперсионное соотношение" С3*2> приближенно совпа-дает: с k uj ); = со /Ь в некоторой окрестности частоты спектрального максимума, волнения; <-fm г -$в.. в области меньших масштабов определенная согласно (3J2.) зависимость "J^CM ) систематически превышает <о С к ). Однако_ связать этот эффект: со „ смещением реальной дисперсионной поверхности со<^ С k ) относительно ^ С к ) оказывается невозможным — непосредственными расчетами можно убедиться в том, что аналогичный- эффект: дает и: размазка, пространственно-временного спектра (U2) относительно неискаженной, дисперсионной, поверхности. «*> = -±(',к У^ .
Обсудим теперь другой, метод определения, дисперсионного соотношения: для ветровых волн, состоящий в синхронной: регистрации возвышений, поверхности "Ь.іС"Ь )» С "Ь ). в двух точках, разнесенных на небольшое ("по сравнению с характерной длиной^ измеряемых волн) расстояние: Z в главном направлении распространения волн $ = О». С помощью взаимного спектрального анализа по записям SdC"t 1, ^-2_С"^ } рассчитывается функция, фазового сдвига:
t>e>
(; С ('со )ts Q ('и> J — действительная и мнимая; части взаимного спежтра) и: определяется "фазовая скорость" спектральных: компонент
с^с^-О- Єсо/^Cco) (3(Л^
Натурные данные такого рода, относящиеся к достаточно развитому волнению /" 1& /приведены на рис» 2-5- Систематическое пре вышение экспериментальной, функции с^С^) над соответствующеж зависимостью для свободных линейных гравитационных волн с (Ьс)= = g /со отчасти связано с методикой, измерений! —при учете, реального углового распределения: энергии: волн: оказывается* что с ^0^ Ъ- % / при Lt> t~<-On - Однако в области: более высоких; частот объяснить таким образок отличие определенных по (3*31 экспериментальных значении с «^С^ )-' ат 8:^6^ не УДа~ ется. Е этой, связи следует: иметь^в виду» что обсуждаемый метод обладает в болезе завуалированной, форте теми: же: недостатка-ми„ что и: способ,, основанный: на проверке соотношения 3-2).--Действительно,. в выражениях, связывающих: частотные спектры С-_0-о ) и Ф ('со ) со спектром Е. (.!< rct/ у априорно уже используется представление: (Х»2) для: В С1< г<л> ) линейной: теории. Поэтому приведенное выражение (3*3.) для С-^О^ ), также: как ж: "дисперсионное соотношение" (3*2),. может использоваться лишь как индикатор; близости: реального дисперсионного соотношения: к (Н) =Са-кУ- Приближенное выполнение равенства tco/<^(uj)= = ^ /wj (дри дополнительном учете угловой зависимости спектра волн* а также обсуждавшихся в 2,2 других эффектов* приводя:-щих к завышению фазовой скорости - например;, дрейфового течения:) действительно означает малость, эффектов размазки: дисперсионного соотношения, и его близость к зависимости. 6 (' k У -= C%v< ), - Однако при: нарушении этого равенства определенные согласно (3.3) значения .^( ее») уже не описывают реальное
CJ, роЪ-с
Ейс, 2.5. Отношение "фазовой скорости" с^(и> ) спектральных компонент ветрового волнения к фазовой скорости линейных свободных гравитационных волн о(и> ) = % /со по натурным данным /18 / (со^/г'їс « 0,2 * 0,3 гц» сведения о скорости ветра отсутствуют).. I - экспериментальные значения; 2, 3, 4 - расчетные кривые для различных аппроксимаций углового распределения.
i>2
дисперсионное соотношение. В частности, можно убедиться, что неравенство ба) /<{(и>) >
С учетом указанной неоднозначш остж интерпретации результатов косвенной проверки дисперсионного соотношения для ветровых: волк по формулам (3.2$, (3.3) экспериментальные данные этого типа согласуются с очень немногочисленными пока прямыми измерениями Е (k ,oj> ). Все они подтверждают полученные в 2.Z качественные оценки для случая достаточно развитого волнения: в том отношении, что только для энергонесущих компонент этих волн среднее положение дисперсионного хребта близко к зависимости ш = -*. (;%к у-' % а величина его размазки мала. Однако уже на частотах u^2com можно ожидать заметных нарушений представления (1.2); для Є (к ,<х» ).
Для мелкомасштабных (с k»k^ > компонент развитого ветрового волнения определение дисперсионных характеристик затруднено сложностью проведения измерении при наличии мощных энергонесущих составляющих. С другой стороны, для измерений в этой области масштабов уже преодолимы конструктивные трудности, связанные с применением в натурных условиях многоэлементных систем волнографов, обладающих избирательностью по волновому числу к и направлению привода волн \Я . С помощью таких систем / ' ' 6 * / можно измерять сечение S. t(u> ) пространственно-временного спек-ра Е- С к *<-и ) на заданном волновом числе k і , что позволяет в принципе определить как среднее положение дисперсионной поверхности при W_ -\, так и характер ее размазки г^<-« (кс).
данные такого рода в натурных условиях получены в работах / <&/ г?2 /, однако в этих измерениях; отсутствуют сведения о
скорости ветра» частоте спектрального максимума, и даже вообще не отобраны сравнительно чистые условия волнообразования: бещ зыби. Поэтому упомянутые; измерения оказываются малополезными: для проверки представленной: на рис. 2.2 схемы зависимости размазки: ^ "> С ki )/<*>. Ц ) от: степени развития волнения Си . Они позволяют лишь обнаружить качественный факт уширения спектра Ь . &uj ).: например, для >L = г%/к'с = 6 си уширение час-тотного спектра этой компоненты S^. (mj Іуже столь велико, что определить среднее положение дисперсионного хребта вообще невозможно / 7- 2 /..
Обратимся теперь к обсуждению экспериментальных данных: о дисперсионных характеристиках ветровых волн на начальных стадиях их развития ("<*, »1 },, которые обычно изучаются в лаборатор^ ных условиях. Наиболее распространенным методом изучения дисперсионного соотношения" в аэрогидроканалах являете! уже обсуждавшийся выше: метод, определения фазовой скорости с помощью двух разнесенных датчиков / 5"9 ,7 5"5"Д На рис. 2.6 приведены определенные таким образом значения с <% Leo } по / S3 /. Систематическое превышение измеренных значений с<е ( UJ ї над обычной дисперсионной зависимостью с (ш } = g /со для затраво— чн&Зветровых воля оказывается заметно больше» чем для аналогичных данных в натурных условиях (см. предыдущий рис. 2.5). Это обстоятельство может служить некоторым косвенным подтверждением изложенных в |2 качественных различий, в структуре пространственно временного спектра ветровых волн при 0О^~"± И са„>5>4 г
Б лабораторных бассейнах получены также некоторые фрагментарные сведения о размазке дисперсионного соотношения: для ветрового волнения с Сигп'^-± . в частности,, отмечено уширение спектров S ([,<-*-) }, измеренных многоэлементными системами волногра-феш, при X = 3,6 см даже при слабом ( V = 3*5 м/с) ветре ,
сн-с
(л), раде1
Вго. 2.6. "Фазовая скорость" ^(^ ) для затравочных ветровых волн, с ийуп^>± по лабораторным данным /59 /: I - дисперсион ная зависимость с (<х> )=&/«-> ; 2, 3, 4 - серий измерений, отно сящиеся к значениям динамической скорости ветра и- = 20,8, 60, 99 см/с; стрелками указано положение частоты спектрального максимума сот .
:6 і
Качественную информацию о размазке дисперсионного соотношения можно извлечь и из радиофизических: работ,, связанных с исследованием допплеровеких спектров радио и акустических сигналов, рассеянных взволнованной водной поверхностью* В измерениях этого' рода обнаружено //67 /, что наблюдаемое уширение рассеянных допплеровеких спектров Xj i
К сожалению, из перечисленных экспериментальных: данных нельзя извлечь* более определенных сведений о структуре пространст-веняо^временното спектра волн на различных стадиях их развития: и: тем самым-количественных оценок среднего положения дисперсионного хребта tt>c С !<. ) и его размазки: дсос (к }» Однако сам качественный факт близости энергонесущих компонент достаточно развитого ветрового волнения с и>„~4. к линейным свободным гравитационным волнам подтверждается всей суммо рассмотренных экспериментальных данных, также как и соображения: о более сильных отклонениях от линейных свободных волн для коротковолнового хвоста спектра и для затравочных ветровых волн: с іум^і .
