Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Аномально болыпие поверхностные волны в океане: натурные данные и численные расчеты 33
1. Описания волн-убийц 33
2. Различные подходы к теоретическому изучению волн-убийц 37
3. Сравнение натурных данных и численного моделирования 39
Глава II. Исследование нелинейных уравнений, описы вающих волны на воде 48
4. Основные уравнения 48
5. Корректность математической модели 72
6. Конструктивное исследование уравнений, описывающих волны на воде 84
Глава III. Вычислительные эксперименты в моделиро вании поверхностных волн 114
7. Численные методы 114
8. Исследование различных режимов динамики поверхностных .волн на воде 149
9. Исследование волн-убийц с помощью вычислительных экспериментов 176
Глава IV. Качественные и статистические исследования волн-убийц в океане 181
10. Вероятности возникновения волн-убийц 181
11. Качественные характеристики волн-убийц 184
12. Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы 198
13. Эвристические методы исследования волн-убийц 203
Заключение 211
Литература
- Различные подходы к теоретическому изучению волн-убийц
- Корректность математической модели
- Исследование различных режимов динамики поверхностных .волн на воде
- Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Настоящая работа посвящена поверхностным волнам аномально большой амплитуды, так называемым волнам-убийцам. Под волнами-убийцами понимают внезапно возникающие одиночные волны огромной (до 30 м) амплитуды. Само название «волна- убийца» происходит из того, что эти волны приводят к крушениям морских судов, в том числе и с человеческими жертвами, разрушениям морских платформ, а также береговых сооружений. В англоязычной литературе такие волны обычно называют «Freak waves» или «Rogue waves», чем подчеркивается нерегулярность и опасность этого явления в океане. Единого определения волн-убийц не существует. В настоящей работе используется определение, общепринятое в современных работах, посвященных волнам-убийцам [10]. Это определение основано на амплитудном критерии, согласно которому волна-убийца — это такая волна, амплитуда которой более чем в два раза превышает значительную высоту волн в данном районе.
По нашему мнению, главной целью исследования волн-убийц является разработка методов прогноза аномально больших волн в океане. Изучение статистики возникновения этих волн позволит подойти к проблеме районирования акватории Мирового океана по уровню опасности возникновения экстремально больших волн. Необходимо также описать физические механизмы возникновения волн-убийц и построить адекватные модели, описывающие динамику этих волн. Наличие динамического описания такого явления, как волны-убийцы, необходимо для вычисления количественных параметров аномальных волн, что является основным для разработки новых норм безопасности строительства кораблей и морских платформ.
Поскольку феномен волны-убийцы является относительно редким и непредсказуемым, то натурное изучение этих волн весьма затруднительно. С другой стороны, и лабораторные исследования аномально больших волн тоже имеют большие ограничения. Поэтому в последнее время все более актуальным становятся теоретические исследования. Поскольку мы имеем дело с существенно нелинейным физическим процессом, то проведение аналитических исследований является крайне сложной задачей. Таким образом, основным средством изучения волн-убийц становится вычислительный эксперимент.
В настоящее время существуют фотографии и инструментальные записи фактов возникновения поверхностных волн аномально большой амплитуды — волн-убийц. Однако наше представление об этих волнах базируется в основном на отдельных случаях [4,5,11]. В то же время, по данным С.К. Гулева и В.Г. Григорьевой (2004) [28], существует значительная межгодовая изменчивость ветрового волнения. В частности, в некоторых районах Мирового океана обнаруживается рост интенсивности штормовых волн. В связи с этим вопрос о связи вероятности таких аномальных событий, как волны-убийцы, с характеристиками поля ветрового волнения приобретает большое значение.
Изучение поверхностных ветровых волн сопряжено с известными трудностями, связанными со сложностью и большой разнообразностью физических явлений на поверхности океана. Изучению ветровых волн посвящено большое количество фундаментальных работ таких авторов, как И.Н. Давидан, В.Е. Захаров, С.А. Китайгородский, В.П. Красицкий, И.В. Лав- ренов, М.С. Лонге-Хиггинс, А.С. Монин, О.М. Филлипс, К. Хассельман и др. Современные теории ветрового волнения, основанные на статистических подходах, позволяют получить закономерности развития волнения в среднем. Важную роль при этом играют и эмпирические зависимости роста волнения (Г.С. Голицын (2010) [1]), связь которых с современными теоретическими представлениями удалось установить совсем недавно (С.И. Бадулин, А.В. Бабанин, Д. Ресио, В.Е. Захаров (2007) [21]). Однако при статистическом описании волнения не учитывается информация о конкретной форме поверхности, а волны-убийцы представляют собой индивидуальное событие с нехарактерным профилем волны. Поэтому аномально большие волны (волны-убийцы), очевидно, не могут быть описаны в рамках статистического подхода. Необходимо обращение к нелинейным уравнениям, описывающим динамику поверхностных волн.
Для решения принципиальной проблемы прогноза волн-убийц необходимо иметь строгое обоснование нелинейных математических моделей, описывающих поверхностные волны на больших временных интервалах вплоть до обрушения, и эффективные численные методы расчета динамики волн на воде. В настоящей диссертации предложена целостная математическая теория на основе нелинейных уравнений, позволяющая вычислять вероятности возникновения волн-убийц в зависимости от параметров начального волнения и вопросы устойчивости волн-убийц относительно внешних воздействий. В рамках этой теории разработаны эффективные численные методы для расчета поверхностных волн в океане. Дано доказательство сходимости этих методов, а также получены важные для практического применения результаты о регуляризации вычислительных
процедур в условиях машинной точности. Полученные математические результаты применяются для организации масштабных вычислительных экспериментов по моделированию поверхностных волн с целью получения большого массива расчетных данных необходимых для изучения волн- убийц.
Цель работы. Целью настоящей работы является получение оценок вероятности возникновения волн-убийц в океане с помощью численного моделирования на основе строгой математической теории. Основные задачи работы: (1) показать корректность математической модели поверхностных волн вплоть до момента обрушения; (2) разработать математические основы для проведения доказательных вычислений в моделировании волн на воде; (3) рассмотреть вопросы сходимости численных методов для приближенных расчетов поверхностных волн в океане, а также методы регуляризации вычислительных процедур в условиях машинной точности; (4) провести вычислительные эксперименты с большой точностью и исследовать статистические характеристики волн-убийц; (5) установить устойчивость решений, описывающих поверхностные волны экстремальной амплитуды; (6) дать теоретико-игровую трактовку нелинейной динамики волн-убийц.
Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы современные методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений в частных производных, математической гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью, теории вероятности и математической статистики, а также авторская методика изучения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений. Работа базируется на уравнениях динамики поверхностных волн в конформных переменных, выведенных в работе Л.В. Овсянникова, а затем использованных в работах А.И. Дьяченко, В.Е. Захарова, В.П. Рубана, Д.В. Чаликова и др. Мы используем аналогичные уравнения из работы [6].
Научная новизна. Изучение волн-убийц с помощью моделирования полных нелинейных уравнений (в том числе и в конформных переменных) проводилось в ряде работ [23,25,26,32]. Научная новизна данной работы состоит в том, что волны-убийцы изучаются с использованием строго доказанных математических методов, а также в оригинальности постановок вычислительных экспериментов. Новым также является изучение динамики волн-убийц на основе дифференциальных включений, что позволило использовать доказательные вычисления.
В математической теории нестационарных уравнений, описывающих динамику поверхностных волн на воде, научная новизна состоит в том, что уравнения были систематически исследованы не на малых временных интервалах, а на максимальных временных интервалах, на которых существует решение. В области построения и обоснования численных методов научная новизна состоит в том, что вычислительные процедуры рассматриваются в условиях машинной точности, причем эти процедуры проектируются таким образом, чтобы служить основой для проведения доказательных вычислений при моделировании динамики поверхностных волн экстремальной амплитуды. Новыми также являются методы исследования устойчивости волн-убийц по отношению к внешним возмущениям и теоретико-игровые методы интерпретации возникновения волн-убийц.
Основные результаты, выносимые на защиту
-
Установлена корректность точной математической модели поверхностных волн в океане вплоть до момента обрушения. Показана возможность построения доказательных вычислений для качественного и количественного исследования поверхностных волн аномально большой амплитуды.
-
Предложен новый метод построения точных решений уравнений, описывающих поверхностные волны на основе дифференциальных включений. Этот метод позволяет эффективно учитывать внешнее ветровое воздействие на нелинейную динамику поверхностных волн.
-
Доказана сходимость численных методов расчета волн на воде на основе динамических уравнений в конформных переменных. Предложен метод регуляризации этих вычислительных процедур в условиях машинной точности.
-
На основе проведенных масштабных вычислительных экспериментов получены оценки вероятности возникновения волн-убийц в зависимости от средней крутизны и спектральных параметров начального волнения.
-
Установлена устойчивость (теоретическая и вычислительная) волн- убийц относительно возмущений начального волнения и внешних воздействий на свободную поверхность в процессе нелинейной динамики.
-
Предложены теоретико-игровые трактовки возникновения волн-убийц. Построена формальная игра, где в качестве игроков выступают отдельные волны. Для рассматриваемой игры введено понятие справедливости игры, при этом факт возникновения аномально большой волны трактуется как несправедливая игра.
Достоверность полученных результатов. Достоверность численного моделирования волн аномально большой амплитуды подтверждается сравнением результатов вычислительных экспериментов с инструментальными данными известных случаев возникновения волн-убийц. Предложенные вычислительные процедуры также проверялись на тестовых расчетах, что подтверждает их корректность при применении в вычислительных экспериментах. Достоверность математических результатов, применяемых к решению поставленных задач, подтверждается тем, что все эти результаты снабжены строгими доказательствами. Достоверность оценок вероятности возникновения волн-убийц по характеристикам волновых спектров качественно согласуется с натурными наблюдениями (Хольт М., Фуллертон Г., Ли Дж.-Г. (2004) [30]).
Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Теоретическая значимость основных результатов состоит в том, что предложена последовательная математическая теория моделирования поверхностных волн на основе полных нелинейных уравнений. Практическая значимость работы состоит в том, что с помощью результатов данной работы продемонстрирована возможность определять вероятность возникновения волн-убийц по параметрам морского волнения.
Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 42-х научных работах. В том числе в монографии в издательстве «Наука», 15-ти рецензируемых журналах (из них 13 из списка ВАК), 4-х статьях в рецензируемых сборниках, 22-х тезисах конференций.
В работах [2] и [3] автору принадлежит частично постановка вычислительных экспериментов, полностью численная реализация программных комплексов, а также проведение экспериментов и обработка результатов экспериментов. В работах [15], [18], [19] автору принадлежит идея статей, математическое обоснование применяемых методов, а также интерпретация результатов экспериментов. Все остальные работы выполнены без соавторов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы излагались: на Ученом совете в Институте океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Ученом совете Физического направления Института океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Научных сессиях Совета РАН по нелинейной динамике; в Институте вычислительных технологий СО РАН (Новосибирск) под руководством академика Ю.И. Шокина, В.М. Ковеня; в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством В.В. Пухначева; в Институте Альфреда Вегнера полярных и морских исследований (Бремергафен, Германия); на семинаре в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством С.Ю. Доброхотова, в Институте вычислительной математики РАН на семинаре под руководством Г.М. Кобелькова, В.И. Лебедева, А.В. Фурсикова, на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством М. С. Аграновича и М. И. Вишика и семинаре под руководством академика В.В. Козлова и член-корреспондента Д.В. Трещева; в Московском авиационном институте на семинаре под руководством Г. А. Каменского и А. Л. Скубачевского, а также на семинаре под руководством П. С. Красильникова; на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А. Л. Скубачевского; на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю.А. Дубинского; в Свободном университете Берлина (Берлин, Германия); в Университете Гумбольдта (Берлин, Германия); в Институте Вейерштраса прикладного анализа и стохастики (Берлин, Германия).
А также на конференциях: «Асимптотические методы и математическая физика», Москва, 2010; Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, 2009; The Fifth International Workshop «SOLITONS, COLLAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives» CHERNOGOLOVKA, Moscow region, 2009; International Conference «Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009», Tashkent, Uzbekistan, 2009; Итоговой конференции по результатам реализации Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология» Москва, 2008; The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. Moscow, 2008; 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых, Бийск, 2008; Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва 2008; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна- 2008. Воронеж, 2008; Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Барнаул, 2007; International
Conference «Nonlinear partial differential equations». Yalta, Crimea, Ukraine, 2007; Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения». Москва, 2007; International Conf. «Differential Equations and Related Topics» dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow 2007; IUTAM Symposium «Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence». Moscow, 2006; International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics» Moscow, Russia, 2006; International Conference «Mathematical Hydrodynamics» Moscow 2006; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2006; International Conference «Nonlinear partial differential equations». Alushta, 2005; Fourth International Conference on Differential and Functional-Differential Equations, Moscow, Russia, 2005.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка используемой литературы.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность руководителю и вдохновителю работы — академику Владимиру Евгеньевичу Захарову и своему первому учителю — профессору Александру Леонидовичу Скубачевскому. Автор также благодарит своих коллег — сотрудников Лаборатории нелинейных волновых процессов ИО РАН: С.И. Баду- лина, В.В. Геогджаева, Н.Г. Кожелупову, Б.Н. Филюшкина, В.И. Шриру и преподавателей кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН: М.Е. Боговского, Е.М. Варфоломеева, П.Л. Гуревича, Л.Е. Россовского, В.Ж. Сакбаева, М.Ф. Сухинина, а также А.И. Дьячен
ко, Г.А. Каменского, А.С. Левина, И.А. Малиновскую, А.И. Смирнову, Д.В. Сошникова.
Различные подходы к теоретическому изучению волн-убийц
Результаты диссертационной работы излагались: на Ученом совете в Институте океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Ученом совете Физического направления Института океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Научных сессиях Совета РАН по нелинейной динамике; в Институте вычислительных технологий СО РАН (Новосибирск) под руководством академика Ю.И. Шокина, В.М. Ковеня; в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством В.В. Пухначева; в Институте Альфреда Вегнера полярных и морских исследований (Бремергафен, Германия); на семинаре в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлин-ского РАН под руководством СЮ. Доброхотова, в Институте вы-числительной математики РАН на семинаре под руководством Г.М. Кобелькова, В.И. Лебедева, А.В. Фурсикова, на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством М. С. Аграновича и М. И. Вишика и семинаре под руковод ством академика В.В. Козлова и член-корреспондента Д.В. Трещева; в Московском авиационном институте на семинаре под руководством Г. А. Каменского и А. Л. Скубачевского, а также па семинаре под руководством П., С. Красильникова; на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А. Л. Скубачевского; на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю.А. Дубинского; в Свободном университете Берлина (Берлин, Германия); в Университете Гумбольдта (Берлин, Германия); в Институте Вейерштраса прикладного анализа и стохастики (Берлин, Германия).
А также на конференциях: «Асимптотические методы и математическая физика», Москва, 2010; Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика. В.А. Садов-ничего, 2009; The Fifth International Workshop «SOLITONS, COLLAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives» CHERNOGOLOVKA, Moscow region, 2009; International Conference «Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009», Tashkent, Uzbekistan, 2009; Итоговой конференции по результатам реализации Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология» Москва, 2008; The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. Moscow, 2008; 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых, Бийск, 2008; Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва 2008; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2008. Воронеж, 2008; Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Барнаул, 2007; International Conference «Nonlinear partial differential equations». Yalta, Crimea, Ukraine, 2007; Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения». Москва, 2007; International Conf. «Differential Equations and Related Topics» dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow 2007; IUTAM Symposium «Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence». Moscow, 2006; International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics» Moscow, Russia, 2006; International Conference «Mathematical Hydrodynamics» Moscow 2006; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2006; International Conference «Nonlinear partial differential equations». Alushta, 2005; Fourth International Conference on Differential and Functional-Differential Equations, Moscow, Russia, 2005.
Основные результаты диссертации опубликованы в 42-х научных работах. В том числе в монографии в издательстве «Наука», 15-ти рецензируемых журналах (из них 13 из списка ВАК), 4-х статьях в рецензируемых сборниках, 22-х тезисах конференций.
В работах [2] и [3] автору принадлежит частично постановка вычислительных экспериментов, полностью численная реализация программных комплексов, а также проведение экспериментов и обработка результатов экспериментов. В работах [15], [18], [19] автору принадлежит идея статей, математическое обоснование применяемых методов, а также интерпретация результатов экспериментов. Все остальные работы выполнены без соавторов.
Корректность математической модели
Заметим, что условие (П.1) доставляет значительные трудности при теоретическом изучении уравнений, а также при проведении численных расчетов. В-третьих, мы будем рассматривать жидкости при отсутствии вязкости. Известно, что такая обычная жидкость, как вода имеет очень небольшой коэффициент вязкости1: v — 1,005-Ю-3 Пас, для сравнения глицерин имеет коэффициент вязкости v = 4,22 Па-с, см. [45]. Исключение из рассмотрения вязкости жидкости (принятие коэффициента вязкости равного нулю) означает не только изменение коэффициента в уравнениях, но и изменение самих уравнений и граничных условий.
Так как мы будем изучать поверхностные волны, то будем рассматривать тяжелую жидкость, находящуюся с однородном поле силы тяжести. Наша жидкость будет обладать однородной плотностью. В некоторых параграфах, посвященных неустойчивости Релея—Тейлора, мы будем рассматривать движение жидкости в отрицательном поле ТВ Международной системе (СИ) единицей вязкости является паскаль-секунда: 1Па с = 1кг/(м с) тяжести.
Перейдем к основным уравнениям, описывающим динамику идеальной несжимаемой жидкости. Для описания течения жидкости мы выбрали эйлеровы координаты. В этих координатах динамика идеальной жидкости описывается системой уравнений Эйлера: есть внешняя сила, действующая на жидкость, скалярная функция p(x,t) называется давлением. Неизвестными в этой системе уравнений является поле скоростей v(x,t) и давление p(x,t).
Система уравнений Эйлера (П.2) должна быть дополнена граничными и начальными условиями. Предположим, что объем жидкости остается неизменным во времени и ограничен границей, сквозь которую жидкость не может протекать. Эту границу обозначим Г. Мы будем считать, что поверхность Г не имеет самопересечений. За исключением специально оговоренных случаев, мы будем предполагать, что поверхность Г является кусочно-гладкой, и при почти всех ге Є Г определен вектор внешней нормали п (х). Условие непроте кания через границу означает, что нормальная скорость на границе равна нулю
Граничные условия на свободной границе существенно отличаются от условий непротекания. Эти условия мы подробно обсудим чуть позже. Заметим, что при рассмотрении задач гидродинамики, возникающих в океанологии, области, занимаемые жидкостью, часто имеют огромные размеры, поэтому при удобно использовать периодические граничные условия.
Несмотря на то, что в систему (П.2) не входит производная по времени от давления, уравнения Эйлера являются эволюционной системой с выделенной переменной , означающей время. При изучении динамики эволюционных систем необходимо задавать начальные условия Поскольку давление p(x,to) может быть определено по полю скоростей 1/ (x,to) при фиксированном t0, то начальные условия (П.4) должны удовлетворять соответствующим условиям согласования.
Система уравнений Эйлера представляет собой очень сложную математическую задачу как в плане доказательства теорем о существовании и единственности решений этой системы, так и с вычислительной точки зрения. В двумерном случае результаты о разреши мости уравнений Эйлера получены в работах [87,111]. В трехмерном случае до настоящего момента результатов о глобальной (по времени) разрешимости уравнения Эйлера неизвестно. Существование (решений на достаточно малом временном интервале в трехмерном случае рассматривалось в работах [18,117].
С этого момента мы будем рассматривать двумерное течение идеальной жидкости со свободной границей и бесконечно глубоким дном. Конкретнее, пусть идеальная несжимаемая жидкость занимает область в плоскости (ж,у), ограниченную свободной поверхностью
Будем считать, что движение жидкости является потенциальным, т. е. существует функция Ф(х,у,і) такая, что поле скоростей v задается по формуле rf(x,y:t) = V S {x,y,t). Из условия несжимаемости жидкости div v = 0 следует, что потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа ДФ(а;,у, )=0. (П.5) Уравнение (П.5) является простейшим линейным уравнением в частных производных, однако особая сложность в изучении поверхностных волн заключается в нелинейных граничных условиях. Тем более, что неизвестной (и искомой) функцией является не только потенциал скоростей, но профиль и волны — свободная поверхность, которая задается функций r)(x,t).
Будем рассматривать движение жидкости в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения д.
Это условие означает, что давление на свободной поверхности должно быть равно нулю. Напомним, что сейчас мы рассматриваем исключительно гравитационные поверхностные волны, исключая из нашей модели внешнее воздействие. В-третьих, на дне должно быть выполнено условие непротекания, т. е. вертикальная компонента скорости v2 должна быть равна нулю при у —» — со: Фуу=-оо = 0. (П.8) По переменной х мы будем рассматривать периодические краевые условия. Поскольку мы рассматриваем нестационарную задачу, необходимо задать начальные условия для Ф и г): Ф =о = Фо( ,!/). (И.9) fl\t=o = no(x). (П.10) Задача (II.5)—(11.10) представляет собой замкнутую систему уравнений. В различных функциональных классах эта задача изучалась во многих работах. Рассматривались также обобщения этой задачи на трехмерный случай. Не претендуя на полноту библиографических ссылок, приведем лишь некоторые работы: [51-53,98,136]. В приведенных работах доказана корректность задачи (П.5)-(И.10), в частности, было доказано существования решений этой задачи на достаточно малом временном интервале. Натурные и численные эксперименты убедительно показывают, что явление обрушения волн и/или образования особенностей за конечное время возникает для большинства волн. Поэтому принципиально важной является проблема оценки времени существования решений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости.
Исследование различных режимов динамики поверхностных .волн на воде
В силу теорем 5.1-5.7 к задаче (11.31), (11.32) применима теорема Ни-ренберга-Нисиды (теорема, с. 220, [57] и теорема, с. 629, [118]). По этой теореме существует Т = T{q2) 0 такое что при t Є (0, Т) существует единственное аналитическое решение задачи (11.31), (11.32). Тогда функция W(t) = Wa(t) + Wo будет (s, -аналитическим решением задачи (11.28), (11.29). Нужно еще показать, что функция W удовлетворяет условию (11.30). По условию теоремы начальное условие Wo удовлетворяет этому условию, с другой стороны, пусть А Є Е, тогда для функции В = F(A) Є Е имеет место
Замечание 5.1. Поскольку задача (П.28)-(П.ЗО) эквивалентна задаче (11.18), от теорема 5.8 устанавливает разрешимость задачи (11.18). Теорема 5.8 устанавливает разрешимость уравнений (11.18) в шкале Щ, для любых s Є R, q 0. Однако не каждое решение из шкалы пространств Е будет соответствовать физической модели, описывающей поверхностные волны идеальной жидкости со свободной поверхностью. Поэтому (s, д)-решения мы называем формальными решениями. Среди формальных решений можно выделить подмножество решений, которые мы будем называть физическими решениями.
Эта система получается при формальном делении - . Поскольку эта система является диагональной, то ее решение может быть получено по рекуррентным формулам.
Определение 5.2. Формальное (s, д)-решение Л, V называется физическим решением на [Ті,Тг], если выполнены следующие условия: 1. Функции І?, V являются аналитичными в нижней полуплоскости при всех t Є [Ті, Т2]. 2. Функция, определенная по формуле оо 1 fc=l является непрерывной по и функцией при всех t Є [Ті, Т2]. 3. Кривая, заданная как геометрическое место точек Г() = {{х,у) : х = Rez(u,t),y = 1mz(u,t)7u Є [0,2тг]}, является кривой Жордана, т.е. непрерывной и без точек самопересечения, причем Re z(0, t) = 0, Re z(2n, t) = 2тт и Im z(0, t) = Іт(2тг, t) при всех t Є [Ть T2].
Функции R(u, t) и (u, і) мы будем называть физическим решением, при t = 0, если эти функции являются физическим решением на [о, о] Теорема 5.9. Пусть начальные функции Ro(u) и VQ(U) принадлежат пространству Е /; где s 0 и RQ, VQ удовлетворяют условиям (11.30). Предположим также, что RQ(U) и VQ{U) являются физическим решением при t = 0; тогда существует такое 0 Т со, что на [0, Т — е\[ существует физическое решение при любом 0 є\ Т и при любом Є2 0 не существует физического решения на [0,Т + є2].
Доказательство. Выберем произвольное число s 0. Прежде всего заметим, что Д0 и Vb принадлежат пространству EJ при г = — . Следовательно, существует формальное (s,—)-решение на некотором [0,Т ]. Определим число Т по формуле:
Т = SUPJ61 0 : Я, V - физическое решение на [0, S]}. Если Т" оо, то Т Т". Действительно, если бы Я и У были бы физическими решениями на [0,Т"], то формальное (s, -решение существовало бы на [О, Т + є] для некоторого є 0. Из определения числа Т следует, что это число является тем числом, которое утверждается в теореме. Заметим, что это число не зависит от выбора
Основной результат об оценки времени существования решений уравнений, описывающих волны на воде мы получим как частный случай для абстрактного эволюционного функционально-дифференциального уравнения.
Для каждого Т Є (0,Т], Т 0 будем рассматривать пару банаховых пространства Е?, Е - Также будем предполагать, что существуют следующие проекторы
Поскольку при фиксированном Т Є (0,Т] функционал J(T, ) является непрерывным на компактном множестве М, то справедлива следующая лемма.
Также как и для задачи (11.33) при решении задачи (11.34) необходимо найти максимальное значение Т Є (О, Т] и элемент и Є Мт, для которых верно (11.34). Введем обозначение Во(є) = {/ Є Е : \\1\\Е } гДе ПРИ 0 множество Во(е) есть шар радиуса є. Приведем естественное условие, при котором задача (11.34) всегда имеет решение. Условие 1. Существует такой элемент v Є М, что имеет место ИтФтР яо=0. (11.35) Замечание 6.1. В случае пространств Е% — Lp(0, Т; X), где 1 р со, X — некоторое банахово пространство, условие 1 будет выполненным. Лемма 6.2. Пусть выполнено условие 1, тогда для любого є О существует такое х 0« такое и Є Мх, что Фхи Є В0(є). Доказательство. Доказательство леммы непосредственно следует из (6.2).и Введем числовую функцию х(є) при є 0 по следующей формуле x()=sup{Te(0,T]:/(T) }. Согласно лемме 6.2 множество {Т Є (О, Т] : І(Т) є} непусто, и поэтому функция х{є) определена корректно. Функция х имеет смыл максимального интервала существования решения задачи (11.34).
Введем величину для уравнения (11.33), которая будет определять максимальный интервал существования решения этого уравнения.
Рассмотрим произвольную числовую последовательность єп 0, сходящуюся к нулю. Тогда в силу (11.37) числовая последовательность Хп — х(єп) принадлежит ограниченному отрезку [LT, Т]. Рассмотрим верхний предел
Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы
При изучении вопросов разрешимости задачи (11.18) мы игнорировали проблемы связанные с тем, что решения задачи (11.18) представляют свободную поверхность в параметрическом виде. При изучении этих уравнений возникает теоретическая проблема, состоящая в том, что уравнения могут допускать гладкие решения имеющие самопересекающийся профиль свободной поверхности. Весьма часто задачу (11.18) аппроксимируют задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае мы покажем, что молено конструктивно оценивать время на котором наше решение остается физическим, т.е. свободная поверхность не имеет самопересечений.
Пусть Q сШ.п — выпуклая область (ограниченная или нет) с кусочно-гладкой границей. Пусть I = [О, Т] — ограниченный отрезок на котором будем рассматривать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: z (t) = f(z(t),t), і Є (ОД], (III. 16) z(0) = z0, zQ Є Q, где / : Q x [0,T] — Rn — заданная функция. Относительно функции / будем предполагать, что она непрерывна и удовлетворяет условию: \f(z,t)\ M(\z\ + 1), zeQ,te [0,Т], (111.17) где М 0 не зависит от z и t. Будем также предполагать, что по 141 переменной z в Q функция / удовлетворяет условию Липшица: \f(zltt) - f(z2,t)\ L\Zl - ъ\, z1:z2 Є Q. (Ш.18) Через L(0, Т; Rn) обозначим множество непрерывных кусочно-линейных функций, заданных на [0,Т] со значениями в Rn. Очевидно, что L(0,T;Rn) с ІУІ(0,Т;Кта). Совместно с задачей (III. 16) будем рассматривать функционал Р, принимающий лишь три значения {0,1,2}: п fc=i На функционал Р мы наложим следующие условия: Условие 5. Для любой вектор-функции z{t) P[z,0] =0 и P[-z, ] = 2 только при условии, что t — Т или z{t!) Є dQ. Также будем предполагать, что при фиксированном z функционал монотонный по t. Условие 6. Функционал Р не зависит от будущего, т.е. для любого t Є [0, Т] значение P[z, t ] не зависит от значений функции z(t) при t t . Мы будем говорить, что в момент t\ Є [0, Т] произошло переключение на функции z, если t\ = inf{ Є (0, Т] : -P[ ,t] 0}, также мы будем говорить, что для z до момента t Є [0, Т] не было переключения, если P[z,t ] = 0.
Условие 7. Для любой последовательности zN сходящейся к решению z задачи (111.16) в W O, Т;МП) молгенты переключения ti для функций zN сходятся к моменту переключения t\ для функции z.
Из известных теорем о разрешимости задачи Коши получаем, что задача (III.16) имеет единственное в Q решение на [0,Т], Т Т. Основная задача, рассматриваемая в статье состоит в вычислении момента переключения для заданного начального условия, при условии, что на (0, Т] происходит переключение.
Продолжим функцию f(z,t) в1пх [0,2Т] с сохранением непрерывности и условий (III. 17) и (III. 18), возможно с другими константами Mi и L\. Это продолжение обозначим через F, и будем рассматривать задачу Коши:
Если исходная задача (III. 16) имеет решение в Q на [0, Т], то на этом отрезке решение задач (111.16) и (III.19) совпадают. Поэтому для решения задачи (III. 19) мы сохраняем обозначение z(t). где Nj такое, что zf Є Q, j = 1,..., NT и либо NT — JV, либо zf+1 Q. Обозначим через zN(t) кусочно-линейную функцию, построенную по точкам {zf?,tf?)i к = 1,...,7VT С помощью линейной интерполяции. Определим числовую последовательность
TN = max{tf : P[zN, if ] = 0, к = 0,..., NT}. (111.21) Теорема 7.5. Пусть выполнены условия 5-7. ДАЯ любого 0 г Т существует такой N = N(r), что на [0,Tyv] не происходит переключения на решении z, и P[z, тіп{Т# + т, Т}] 0. Доказательство. Для любого є 0 непрерывная на [0, Т] функция g(t) называется е-решением задачи (111.19), если:
первого примера рассмотрим задачу определения время выхода решения на границу. Согласно известным теоремам о продолжении решения на максимальный интервал (теорема 3.1, гл. 2 [70]) для задачи (III. 16) существует такое число Т 0, что (z(T),T) Є dQ х (0,Т]. В прикладных задачах важно уметь вычислять это число для заданного начального условия. Покажем, что это число можно конструктивно вычислить с любой точностью по формулам (III.21).
Для задачи (III. 16) определим функционал P\[z, t] следующим образом: P\[z,t ] = 0, если z(t) Є Q при всех t Є [0,t ), и P\[z,tr] = 2, если либо t = Т, либо z(t ) Є dQ. Условие 8. Для функции / существует такое є 0, что функция f равна нулю не более чем в конечном числе точек в є-окрестности dQ. Теорема 7.6. Пусть выполнено условие 8. Тогда для задачи (III. 16) с функционалом переключения Р\ выполнены условия 5-7 и, соответственно, верна теорема 7.5. Доказательство. Условия 5 и 6 выполнены по определению функционала Pi. Покажем, что выполнено и условие 7. Согласно условию 8 решение задачи (III.19) пересекает множество К = {dQ х (0,Т]} U {(z, Т) : z Є Q} лишь в одной точке (z , і ), в которой происходит переключение.
Пусть zN последовательность сходящееся к решению z задачи (III. 19) в 1 (0,2Т;МП). Момент переключения для функции zN совпадает с величиной tN такой, что z(tN) Є К. В силу кусочной гладкости границы 8Q существует такое є 0, что пересечение множества Ze = {(z,t):\z-z(t)\ e,t Є (0,Т}} с множеством К содержится в шаре {(z,t) : \(z(t ),tf) — (z,t)\ є}. Поскольку zN равномерно сходится к z, то для любого є 0 суще ствует такое N = N(e), что {(zN(t),t) : t Є (ОТ]} Є Z. Устремляя є к нулю, мы получаем, что tN — t при N —у со.
