Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модельные уравнения нелинейных внутренних волн мелкого моря 15
1.1. Нелинейные внутренние волны неподвижного мелкого моря 16
1.2. Нелинейные внутренние волны вращающегося мелкого моря с горизонтальной боковой границей 33
1.3. Влияние стратификации плотности, турбулентной вязкости и неоднородностей рельефа дна на проявление нелинейных свойств у внутренних волн в мелком море 54
1.4. Выводы 87
Глава 2. Статистическое описание нелинейного внутреннего волнения мелкого моря 93
2.1. Статистическое описание линейных внутренних волн 95
2.2. Кинетические уравнения и спектральные плотности нелинейных внутренних волн в мелком море 115
2.3. Модельный спектр нелинейного внутреннего волнения мелкого моря и его трансформация под воздействием неоднородностей рельефа дна 130
2.4. Выводы 139
Глава 3. Параметрическая неустойчивость и взаимодействие нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне океана 143
3.1. Параметрическая неустойчивость внутренних волн в прибрежной зоне океане 144
3.2. Стоячие по вертикали внутренние волны, как параметрическое явление мелкого моря 151
3.3. Влияние низкочастотного шума на нелинейные внутренние волны с приливной частотой 158
3.4. Трансформация спектра высокочастотных внутренних волн под воздействием нелинейной внутренней волны с приливной частотой 164
3.5. Выводы 172
Глава 4. Интерпретация натурных наблюдений внутреннего волнения в прибрежной зоне океана с использованием предложенной модели нелинейных внутренних волн 175
4.1. Низкочастотные внутренние волны в прибрежной зоне Японского моря 177
4.2. Вертикальная структура внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря 202
4.3. Проявление нелинейных свойств у внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря 215
4.4. Интерпретация спектров внутреннего волнения шельфовой зоны океана с помощью нелинейной теории случайных волн 238
4.5. Выводы 256
Заключение 261
Литература 269
Оглавление 284
- Нелинейные внутренние волны вращающегося мелкого моря с горизонтальной боковой границей
- Кинетические уравнения и спектральные плотности нелинейных внутренних волн в мелком море
- Стоячие по вертикали внутренние волны, как параметрическое явление мелкого моря
- Вертикальная структура внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря
Введение к работе
В динамике краевых областей океана, включающих шельф и прибрежную зоны, значительную роль играет разновидность волнового движения, связанного с одной стороны с плотностной стратификацией, а с другой вращением Земли, известного под названием внутренние волны (ВВ). Его исле-дование имеет большое значение в силу того, что именно оно, главным образом, формирует мезомасштабную изменчивость гидрофизических полей, вызывает апвелинг и неустойчивость вдольбереговых течений, оказывает существенное влияние на генерацию и изменчивость ветровых течений [113, 134, 192, 194]. Кроме того, ВВ во многом определяют особенности распространения акустических сигналов [110] и различного рода примесей [144], миграцию биологических сообществ [148, 149, 150, 151] ВВ оказывают влияние на состояние морской поверхности [78]. Их необходимо учитывать и при разработке новых и совершенствовании имеющихся методов исследования океана из космоса. Все эти факторы определяют актуальность изучения динамики внутренних волн (ВВ) в прибрежной зоне морей и океана.
Начало современным исследованиям ВВ в прибрежной зоне океанов приходится на середину шестидесятых годов прошлого века, примечательных тем, что это явление стало объектом пристального внимания исследователей сразу трёх разделов науки: экспериментальной океанографии, прикладной математики и дистанционного зондирования. Появление нового типа океанографических приборов в 60-х годах (например, «термических кос») позволило зарегистрировать эти необычные волны в различных районах прибрежной зоны океанов и окраинных морей. Среди наиболее известных из ранних измерений были измерения в Андаманском море [173]. С их помощью были зарегистрированы ВВ до 80 м высотой и 2000 м длинной в главном термоклине, расположенном на глубине 500 м при общей глубине 1,5 км. В работе [109] позднее было показано, что эти волны возбуждаются приливным потоком, проходящим через проливы между островами Андаман и Ни кобар. К числу ранних океанологических наблюдений ВВ следует отнес-ти наблюдения Хальперна в проливе Гибралтар [197, 198] и Хэйри в Массачусетсом заливе [137, 138]. Тогда же Торп [184] и Хункинс [140] выполнили аналогичные наблюдения в озёрах Лох-Несс, Сенека штат Нью- Йорк, соответственно. В работах [197, 198], в частности, был убедительно доказан солитонный характер волн.
Из первых наблюдений следовало, что искомое волновое движение принадлежало к нелинейному типу волн. Их амплитуды по сравнению с вертикальными масштабами стратификации были слишком велики для того, чтобы быть линейными. Каноническое уравнение, определяющее эволюцию длинных свободных волн, и содержащее нелинейность и дисперсию является уравнение КдВ и уже первые исследователи догадывались о значении недавнего открытия Гарднера [127] о точных асимптотических решений уравнения КдВ, которым соответствовали упорядоченные по рангу уединённые солитоны.
Третья «точка роста» в исследованиях нелинейных ВВ связана с развитием дистанционных методов. Апель [109] привёл доказательства присутствия нелинейных ВВ в Нью-йорской бухте и на северо-западе побережья Африки. Это было начало программы SEASAT , в которой началось использование радаров с синтезированной апертурой (SAR) для получения изображений прибрежной зоны океанов. На этих изображениях были отчёт-ливо видны пакеты, распространяющихся к берегу ВВ, повторяющиеся через приливной период. Вскоре выяснилось, что подобные ВВ повсеместно распространены в прибрежной зоне океанов и окраинных морей. Множество примеров этих ранних изображений можно найти в работе [126]. Обширная коллекция ВВ представлена на сайте http://www.internalwaveatlas.com/.
За прошедшие годы был опубликован ряд обзоров, включающих различные аспекты динамики длинных нелинейных ВВ. Обзор Майлса [159] посвящен нелинейным ВВ, включая уединённые ВВ. В работе [171] сделан об зор натурных наблюдений и теорий нелинейных ВВ, и солитонов этих волн. В обзорах [135, 136] дан анализ уединённых ВВ и длинных нелинейных ВВ во вращающихся системах, соответственно. Важный обзор Акуласа [108], посвящен трёхмерным длинным нелинейным ВВ. И наконец, в последнем обзоре [140] подведены итоги исследования этого явления геофизической гидродинамики, важного для океанографии прибрежной зоны океана.
Таким образом, история их активного изучения насчитывает уже более трёх десятилетий, но всё ещё остаются открытыми целый ряд вопросов. Теоретические исследования продвинулись существенно дальше экспериментальных, о чём, в частности, свидетельствует литература, посвященная ВВ, состоящая в основном из теоретических работ. Однако говорить о полной теоретической ясности явления ещё говорить рано. Практически отсутствуют работы, связанные с решением статистических задач теории нелинейных ВВ. Тем самым затрудняется интерпретация натурных наблюдений ВВ. Положение усугубляется ещё и тем, что исследования ВВ в натурных условиях представляют значительные трудности, в первую очередь, в техническом плане.
Разнообразие источников возбуждения (ветер, флуктуации давлении), наличие различного рода неоднородностей (рельефа дна, береговой черты...) усиливает случайную компоненту ВВ, усложняя адекватное описание волнового поля. Одним из наиболее эффективных методов анализа случайного волнового движения является спектральный метод [2, 121]. Спектральные характеристики волнового поля зачастую позволяют идентифицировать основные механизмы формирования этого движения с различными пространственно-временными масштабами. Кроме того, этот метод полезен не только с точки зрения моделирования структуры его спектров, но и как взгляд на явления, происходящие в океане через выбранное «спектральное окно» с последующим детальным статистическим анализом рассматриваемых через это «окно» флуктуации.
Экспериментальные исследования показывают, что в отличие от ВВ глубокого океана в прибрежной зоне поле ВВ нелинейно, нестационарно во времени и неоднородно по пространству. Указанные особенности затрудняют использование традиционного спектрального анализа для исследования и интерпретации натурных наблюдений за ВВ. В связи с этим достаточно актуальной представляется задача определения пространственно-временных масштабов, в пределах которых поле ВВ может быть охарактеризовано как стационарное и однородное поле в широком смысле. В рамках такого подхода исследование нестационарной природы ВВ состоит в изучении нестационарной изменчивости и применении мощного аппарата теории нелинейных случайных волн [11, 27, 29] для создания спектральной модели этого волнения. Возможность такого подхода основывается на том, что в первом приближении по параметру нелинейности (є А/Н где А- амплитуда волны, Я-глубина бассейна) нестационарность и неоднородность волнового поля является «плавной», т.е. изменение амплитуды волны - ЗА на расстоянии равном её длине мало, т.е. 8А1А«\.
Успехи в изучении нелинейных ВВ последнего времени связаны, прежде всего, с использованием численных метод, сделавших возможным расчёты полей в сложных и вполне реалистичных моделях прибрежной зоны [141, 142, 143, 189]. Не потеряла своей актуальности и возможность аналитического описания ВВ. Последняя важна при планировании натурных экспериментов и интерпретации полученных при этом данных. Дело в том, что в прибрежной зоне профиль частоты плавучести зачастую точно не известен. Кроме того, он существенно зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых моделей ВВ позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при вариациях параметров и предвидеть последствия изменений условий проведения экспериментов. Наличие таких оценок пред ставляет интерес и с точки зрения развития теории обработки экспериментальных данных.
В натурных условиях профиль частоты плавучести отягчён различного рода погрешностями. Кроме того, он зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых аналитических моделей позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при изменении параметров и предвидеть последствия изменение условия проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес и с точки зрения развития методов обработки экспериментальных данных. Наличие простых аналитических формул, связывающих характеристики частоты плавучести и параметры волнового поля, имеет особую важность при решении обратных задач. Например, в качестве измеряемых характеристик поля, играющих роль входных параметров при решении обратных задач можно рассматривать параметры мод.
В последнее время наметилось ещё одно направление в исследованиях ВВ прибрежной зоны, для которого использование аналитических методов весьма актуально. Это так называемая проблема замкнутого описания различных режимов эволюции нелинейного случайного внутреннего волнения. Её суть состоит в следующему. По целому ряду причин нелинейные ВВ в прибрежной зоне могут быть случайными. Известно, что слабодисперсные нелинейные случайные волны могут находиться в том числе и в режиме сильной волновой турбулентности. Дать замкнутое статистическое описание различных стохастических режимов в ансамбле случайных нелинейных ВВ в мелком море, проследить эволюцию такого ансамбля от начального состояния, до развитой турбулентности, изучить влияние гидрологических условий на развитие этих режимов без использования аналитических методов достаточно проблематично.
Изложенные выше соображения определяют актуальность темы диссертационной работы. Кроме того, актуальность работы, основанной на натурных наблюдениях, усиливается дефицитом экспериментальных исследо ваний ВВ, вызванном ограниченностью финансовых возможностей для проведения таких исследований и техническими трудностями, связанными с проведением экспериментальных исследований в прибрежной зоне. Вместе с тем, небольшие глубины ( 100м) и значительные амплитуды ВВ, близость пикноклина ко дну или к поверхности, наличие течений превращают прибрежную зону в полигон, где особенно выразительно проявляются нелинейные свойства ВВ. Тем самым указанная зона, может служить природным полигоном для тестирования теоретических моделей этого волнового процесса, и в тоже время исследование ВВ в этих зонах может быть стимулирующим фактором развития теории нелинейных волн в океане.
В соответствии со сказанным нами формулируется цель настоящей диссертации - разработка и экспериментальная проверка ряда математических моделей, пригодных для описания и анализа динамики внутреннего волнения в краевых областях океана с учётом его нелинейности и случай-ности. Реализация намеченной цели осуществлялась путём решения трёх основных задач, каждая их которых потребовала создания соответствующих математических моделей.
Эти задачи:
1. Изучение динамики нелинейных случайных внутренних волн в мелком море с произвольным распределением плотностной стратификации по глубине, диссипации, неоднородностей рельефа дна и наличия боковых границ.
2. Разработка методики анализа вертикальной структуры нелинейных случайных ВВ, адаптированной к натурным условиям.
3. Экспериментальная проверка основных положений и выводов, предложенных моделей случайного, нелинейного внутреннего волнения в краевых областях океана
Здесь и далее под математической моделью подразумевается совокупность дифференциальных или интегральных уравнений с соответствующими краевыми условиями и аналитического или численного алгоритма точного или приближённого решения задачи. При построении всех специализированных моделей исходным является представление о краевой зоне океана, глубина которой много меньше характерного горизонтального масштаба ВВ, расположенной на/-плоскости, ограниченной боковой границей, с неоднородным рельефом дна, заполненной вязкой жидкостью с произвольной плот-ностной стратификацией.
Первая модель представлена в главе 1 и предназначена для изучения динамики нелинейных внутренних волн, в том числе волн в краевых зонах. В основу первой модели положено известное гидростатическое приближение. В работе показано, что в рамках этого приближения волновое поле можно представить в виде суперпозиции нормальных мод, горизонтальная структура которых определяется решением нелинейного уравнения Бюргерса, а вертикальная структура определяется решениями линейной краевой задачей на собственные значения. Модель имеет аналитический.
Вторая модель представлена в главе 2 и предназначена для изучения динамики случайных нелинейных внутренних волн. В её основу положено уравнение Бюргерса со случайным краевым условием. С помощью этой модели удаётся эффективно решить задачу замкнутого статистического описания случайных нелинейных внутренних волн, проследить полную картину трансформации этих волн в мелком море.
Третья модель предназначена для анализа вертикальной структуры случайных нелинейных ВВ в мелком море. В её основу положен метод эмпирических ортогональных функций. Последние представляют собственные функции интегрального уравнения, ядром которого выступает корреляционная функция поля вертикальных смещений изопикн, вызванных ВВ.
Основные результаты настоящей диссертации состоят в следующем:
используя асимптотический метод многих временных масштабов показано, что эволюция начального возмущения конечной амплитуды в мелком море, ограниченном боковой границей в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т.е. представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина (ВВК);
- установлено, что процесс трансформации фиксированной моды ВВК определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности у, существенно зависящим от распределения частоты плавучести по глубине.
- первые в океанологической практике решён ряд задач о трансформации спектра случайного нелинейного внутреннего волнения в мелком море:
• установлено, что при соответствующей стратификации плотности с ростом частоты нелинейного внутреннего волнения спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны - С, неоднороден и спадает по универсальному степенному закону вида Spl;{x\(o) or \
• показано, что наличие плавных уклонов дна (tg& «: 1) мелкого моря не изменяет универсального вида спектральной плотности его внутреннего волнения, т.е. его спектральная плотность в таком море сохраняет степенную асимптотику Sp x; ) оз 3.
• обнаружено, что в результате взаимодействия нелинейного внутреннего прилива с высокочастотным внутренним волнением спектр последнего уширяется как в сторону высоких, так и в сторону низких частот, так что имеется область частот, в которой энергетический спектр волнения неоднороден и принимает универсальный степенной вид S {o),x) а) \а21ж(ЗАхО) с наклоном р=\, а его параметры определяются энергией волнения а2, амплитудой А и частотой прилива;.
• показано, что эффективность взаимодействия синоптического шума и внутреннего прилива существенно зависит от шумовой модуляции M= j/3a 0x, так что для случая «М»1 при #-»оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону S (х; со) со г, а для противоположного случая пМ &\ в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых S (x;co) -со 3 и S?{x;co) -со 2 -показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод N0(z)Wm(z) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями y/m{z) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра q0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению dqjdz &CN0 (z); -в ходе анализа гидрологической информации, полученной осенью 1986г., обнаружено, эмпирические ортогональные функции корреляционной матрицы вертикальных профилей температуры - срт (z) на шельфе Японского моря и амплитудные функции внутренних волн Wm(z) связаны приближённым соотношением (pm{z)-{dTJdz)Wrn{z), где {dTJdz) - фоновый градиент температуры;
-анализ инструментальных измерений температуры, модуля скорости течения и уровня моря, полученных осенью 1999, 2001 годов в прибрежной зоне полуострова Гамова, показал, что спектр мезомасштабной изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: Vj» і/і2.5ч-1, 2v, v2«l/l 1.1ч"1,У3«І/І4.6Ч_1 и частоте синоптической изменчивости Q «і/96ч_1;
-обнаружено, что наклон спектра изменчивости температуры в прибрежной зоне Японского моря осенью 1999, 2003 годах и на тихоокеанском шельфе Мексики 1995 году в среднем диапазоне частот не плохо аппрокси мируется наклоном р=Ъ, а в высокочастотной области спектра изменчивости на мексиканском шельфе этот наклон оказался близок к р= 1.
На защиту выносятся следующие положения и научные выводы:
1. Предложенные в настоящей работе математические модели решают сформулированные основные задачи.
Гидростатическая модель нелинейных внутренних волн Кельвина позволяет исследовать характерные особенности динамики этих волн для произвольной стратификации плотности, различного типа турбулентной вязкости, плавных шероховатостей рельефа дна.
Существенно опирающаяся на теорию случайных нелинейных слабодисперсных волн гидростатическая модель нелинейного внутреннего волнения является удобным средством исследования само и взаимодействия случайных нелинейных внутренних волн в краевых областях океана с произвольной стратификацией плотности по глубине и плавными неоднородностями рельефа дна.
Преимуществом предложенной методики исследования вертикальной структуры внутренних волн с использованием метода эмпирических ортогональных функций является то, что эта методика позволяет учесть случайный характер внутреннего волнения. Тем самым создаётся замкнутая схема анализа горизонтальной и вертикальной структуры случайных внутренних волн.
Все модели опробованы на ряде частных задач экспериментального или теоретического характера. Путём обобщения полученных с помощью различных моделей и не противоречащих друг другу результатов делаются сформулированные ниже выводы.
2. В краевой области океана, с плавными неоднородностями рельефа дна, расположенной на бета-плоскости и заполненной вязкой, стратифицированной по плотности жидкостью эволюция начального возмущения конечной амплитуды в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компо ненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т.е. быстрая компонента представляет внутреннюю волну Кельвина (ВВК) с вынужденной поперечной компонентой поля скорости. Динамика ВВК существенно зависит от соотношения между нелинейностью и диссипацией.
3. В указанной краевой области при соответствующей стратификации плотности по глубине с малой диссипацией закономерности формирования спектральной структуры внутреннего волнения определяются нелинейным самовоздействием и взаимодействием его спектральных компонент. В частности, в результате самовоздействия спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны становится неоднороден и приобретает универсальный степенной вид Sp((x;u)) co 3, а при взаимодействие внутен него прилива конечной амплитуды с высокочастотным внутренним волнением у спектра последнего появляется область частот, в которой он принимает универсальный степенной характер Sp (o),x) o) \(J2/7r AxQ), где а2 энергии волнения, А - амплитуда и Q - частота прилива.
4. При наличии в краевой области узкополосного синоптического шума и внутреннего прилива их взаимодействие существенно зависит от коэффициента шумовой модуляции M= JJ3CO0X, так что для случая «М»1 при 0-» оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону (Х; У) ЙГ3 , а для противоположного случая пМ«: 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых Spi(x;co) co 3n Sp -,(0) -со 2.
5. Показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод N0(z)Wm(z) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями if/m(z) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра q0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению dg0/dz « CN0 (z).
6. В прибрежной зоне Японского моря в районе полуострова Гамова при соответствующем распределении стратификации плотности (а) внутреннее волнение имеет модовую структуру, с преобладанием первых трёх мод, на которые приходится более 90% от полной энергии волнового поля; возможно (б) формирование у внутреннего волнения спектра с наклоном р=-3; (в) нелинейное параметрическое усиление внутреннего прилива синоптическим шумом.
Отдельные полученные в работе теоретические и экспериментальные результаты не противоречат более ранним исследованиям других авторов и подтверждены в более поздних исследованиях с помощью сопоставления с данными натурных наблюдений, а также путём воспроизведения одних и тех же эффектов во многих натурных и численных экспериментов. Это свидетельствует о научной достоверности сделанных выводов.
Основное значение настоящей работы заключается в построении различного уровня сложности математических моделей случайного нелинейного внутреннего волнения в прибрежной зоне океана, предназначенных для решения широкого круга задач мезоокеанологии
Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространении волн (г. Винница, сентябрь 1990 г.); на международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Владивосток, сентябрь 1991 г.; Санкт-Петербург, сентябрь 1992 г.; Москва, июнь 2005 г.), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза IUGG-2003 (Саппоро, Япония, 2003), на 11-й школе-семинаре «Акустика океана» (Москва, май 2004 г.), на семинарах ТОЙ ДВО РАН по «Нелинейной динамике».
В предлагаемой диссертации обобщены результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в 1990-2005гг. автором в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичёва ДВО РАН. Работы [61, 63, 65, 69] сделаны автором единолично, прочие в соавторстве. В выполненных в соавторстве работах [19-22, 31, 48, 50, 51, 59, 60, 125, 68, 70, 71, 82, 83, 84, 85] автором диссертации осуществлены постановка задачи и разработка программы экспериментов. Всё изложенное в настоящей работе отражает точку зрения автора и полностью лежит на его ответственности.
Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и содержит 284 страниц машинописного текста, 35 рисунков и четырёх таблиц. Список литературы включает 199 наименования, в том числе 92 работы иностранных авторов.
Содержание работы видно из оглавления. Каждому параграфу и каждой главе в целом предпослана краткая аннотация с указанием публикаций основных результатов. Нумерация формул - по главам, а внутри глав - по параграфам; нумерация рисунков по главам.
Нелинейные внутренние волны вращающегося мелкого моря с горизонтальной боковой границей
В динамике шельфовых и прибрежных вод морей и океана заметную роль играет особый класс волн, так называемых захваченных волн [9, 38], длинноволновых движений вращающегося океана, локализованных в прибрежной зоне. Внутренние волны Кельвина (ВВК) представляют один из наиболее энергоёмкий видов из этого класса. Линейная теория ВВК хорошо разра-ботана и успешно используется для интерпретации таких явлений, как неустойчивость вдольбереговых течений, генерация и изменчивость ветровых течений на шельфе, апвеллинг [65, 113, 134, 192, 194]. Нелинейные же свойства ВВК изучены пока недостаточно. Одна из основных причин этого положения - слабая проработка нелинейной теории и почти полное отсутствие наблюдений проявления нелинейных свойств у ВВК в натурных условиях. Данный параграф посвящен развитию нелинейной теории этого класса волн. Результаты этого параграфа опубликованы в работах [66, 68] Исходной моделью вращающегося мелкого моря, ограниченного горизонтальной боковой границей, служит вращающийся бассейн, заполненный жидкостью, плотность которой в равновесном состоянии стратифицирована по вертикальной и однородна по горизонтальным координатам. Эволюция волнового поля в таком бассейне определяется уравнениями гидродинамики, связывающими скорость частиц жидкости.
Помещая начало левовинтовой системы локальных прямоугольных координат на невозмущённую поверхности океана и направляя оси координат Ox, Оу, Oz соответственно на восток, на север и по вертикали вверх, запишем исходную систему уравнений движения, неразрывности и несжимаемости в виде Здесь использованы обозначения dt=dt + идх + vdy + wdz- для оператора полного дифференцирования, g - ускорение свободного падения; /- параметр Кориолиса (используется традиционное приближение, в котором учитывается лишь вертикальная компонента силы Кориолиса). Соотношения (1.2.1а) -(1.2.1в) представляют замкнутую систему уравнений для пяти искомых функций - трёх компонент вектора скорости и, v, w, давления р и плотности р, каждая из которых зависит от пространственных координат х, у, z и времени t. Сформулируем краевые условия по вертикали. Мы будем пренебрегать отклонениями поверхности моря от невозмущенной формы, т.е. воспользуемся традиционным условием «твёрдой крышки». Тогда кинематическое граничное условие запишется в виде На дне z =- Н потребуем выполнения того же условия «твёрдой крышки». Дополнительные условия на боковых границах и начальные условия будут сформулированы по ходу изложения. Введём характерные масштабы, рассматриваемого движения и приведём систему уравнений (1.2.1а - г) к безразмерному виду. Будем полагать, что жидкость в состоянии равновесия (все скорости тождественно равны нулю) характеризуется распределением давления р(1)и плотности р0. Граничные условия и уравнения (1.2.1а, Ь) удовлетворяются тождественно, а из (1.2.1 в) получаем условие равновесия, из которого следует, что p(s)=p{s)(z), p(s) =p0(z), причём эти функции связаны соотношением p(s)= gp0. В состоянии устойчивого равновесия (-dpjdz 0), следовательно, можно ввести параметр N(z) = yl-(g/p0)(dp0/dz), получивший название частоты плавучести, или частоты Брента-Вяйсяля. Введём вместо трудно измеряемой в море вертикальной компоненты скорости w, легко измеряемую величину, характеризующую отклонение изо-пикнической поверхности (жидкой линии), расположенной в невозмущённом состоянии на горизонте z. Рассмотрим волновые движения жидкости конечной амплитуды. Обозначим через С, вертикальное смещение частиц жидкости (изопикнической поверхности), находящихся в состоянии покоя на горизонте z. Предположим, что z + (x,y,z,t)- высота, на которую сместилась жидкая частица, участвуя в волновом движении, если первоначально она находилась на горизонте z. Тогда, поскольку диффузией в жидкости мы пренебрегаем, плотность частицы при волновом движении не изменится, т.е. Раскладывая в ряд Тейлора правую часть (1.2.3), получим
Новая независимая переменная: (x,y,z,t) в данный момент времени t, совпадающая с расстоянием от точки (x,y,z) до жидкой поверхности, в которую переместилась плоскость, состоящая из тех же частиц, что и в состоянии покоя, проходившая через эту точку (x,y,z). На этой поверхности имеем w = Qt 4- иС,х + vC,y. Тогда при С, « Н значение w на фиксированном горизонте z = const с точностью до малых третьего порядка равно а отклонение плотности p = p-pQ от равновесного значения на этом горизонте с учётом уравнения несжимаемости будет равно Введём гидродинамическое давление p = p g Г p0dz. Будем считать величины р С,, и, v малыми, но конечными, т.е. в уравнениях будем, оставлять лишь квадратичные члены, пренебрегать членами более высокого порядка. Тогда, подставляя (1.2.5), (1.2.6) в уравнения (1.2.1а), (1.2.16) получим в приближении Буссинеска
Кинетические уравнения и спектральные плотности нелинейных внутренних волн в мелком море
Исследованию нелинейных свойств внутренних волн (ВВ) посвящено большое число публикаций [41, 77, 139]. Статистические свойства случайных ВВ конечной амплитуды изучены не так полно. Одна из тенденций развития исследования подобного типа волн состоит в их классификации по характеру межволнового взаимодействия. В случае, когда энергия взаимодействия пространственных гармоник мала по сравнению с их полной энергией и ВВ сильно дисперсные, как это имеет место для открытого океана, состояние волнового поля получило название слаботурбулентное. В этом состоянии приближение хаотических фаз, предполагающее, что взаимодействие между гармониками некогерентное, позволяет перейти к замкнутому статистическому описанию ВВ [41, 78]. Если длина ВВ достаточно велика, как это имеет место для ВВ в краевых областях океана для достаточно широкого диапазона частот (axzN.-характерное значение частоты плавучести), статистические свойства ВВ будут определяться сильным взаимодействием большого числа её когерентных гармоник. В этом случае в волновом поле реализуется режим сильной турбулентности [12].
Анализ статистических свойств волнового поля в этом режиме ранее не проводился. В данном параграфе предполагается восполнить этот пробел, воспользовавшись идеями и методами теории нелинейных волн в случайных средах [11, 27,29, 86]. Статистические свойства случайных ВВ конечной амплитуды в мелком море, удовлетворяющих нелинейным уравнениям в частных производных (например, уравнению КдВ), до сих пор сравнительно мало изучены ещё и потому, что нелинейность исходных уравнений не позволяет сколь-нибудь точно замкнуть уравнения для моментов волнового поля. Положение кардинально меняется, когда эволюция волнового поля определяется уравнением Римана, или Бюргерса. В этом случае, оказывается, что от нелинейного уравнения в частных производных первою порядка можно перейти к замкнутым уравнениям для конечномерных функций плотности вероятности (ФПВ) волнового поля, эволюция которого детерминируется указанным уравнениям [30], т.е. получить кинетические уравнения. Решение этих уравнений позволяет аналитически исследовать статистические свойства нелинейных ВВ, распространяющихся в мелком море. Переход от динамического уравнения, например уравнения простой волны, к эквивалентному статистическому описанию выполним, используя методику предложенную в работе [30]. Ниже с помощью этой методики будет дан вывод кинетических уравнений для одноточечной и двуточечной ФПВ. К числу основных экспериментально наблюдаемых характеристик внутреннего волнения относится вертикальное смещение изотермической, или изопикнической поверхности (x,t) так, что при его вероятностном описании необходимо рассматривать {x,t), как случайное поле. Объектами исследований при этом становятся распределения вероятностей для значений (x,t) на конечных множествах пространства и времени {х„, }(и = 1,2,..). Основная задача заключается в получении замкнутых уравнений для статистических характеристик волнового поля и их исследовании.
Будем полагать, что поле С(х 0 представляет двухпараметрическую случайную величину С,, полностью определяемую функциями плотности вероятности (ФПВ) аргументами которых являются ,, 2,...,п - значения случайной величины С, из пространства реализаций, а параметрами - пространственные координаты xvx2,...,xn и моменты времени tvt2,...,tn. ФПВ определим как средние от функций (p(tk,xk;)= 5($(xk,tk)-) сосредоточенных на сечении случайного процесса xk(tk)= const и получивших название индикаторных функций, P(x,t;C)= S(C(x,t)-C) ;, Аналогично находятся совместные ФПВ случайных поле (x,t) и q{x,t), например
Стоячие по вертикали внутренние волны, как параметрическое явление мелкого моря
В предыдущем параграфе мы проанализировали явление параметрической неустойчивости поля ВВ в мелком море, порождаемой колебаниями частоты плавучести, вызванными, например, поверхностным приливом. Ранее выполненные экспериментальные исследования [51, 53] показали, что во-первых, рассматриваемый механизм генерации может порождать стоячие по вертикали ВВ, и во-вторых, такая неустойчивость может возникать только, если амплитуда возбуждающей силы достигла порогового значения. Согласно предыдущему рассмотрению число возбуждаемых мод у волнового поля ничем не ограничено. Этот вывод находится в явном противоречии с наблюдениями, проведенными в шельфовой зоне океана [58]. Более того, как было указано во введении к этой главе, по мнению некоторых исследователей [59, 89] океан - слишком изменчивая среда для того, чтобы стоячие моды могли в нем сформироваться. Снять указанное противоречие можно следующим образом. Явление параметрической неустойчивости обладает одной важной особенностью. При наличии в системе слабой диссипации, возбуждение элементарных колебаний становится возможным только при достижении некоторого порогового значения амплитуд возбуждающей силы (в нашем случае N, = N0). Причем, как будет показано ниже, это пороговое значение будет различным для различных мод. Характер зависимости порогово- го зна-чения от номера моды и составляет содержание этого параграфа. Результаты этого параграфа опубликованы в работах [53, 59]. Для ее определения вновь рассмотрим явление параметрической неустойчивости в отсутствии диссипации. Покажем, что амплитуда фиксированной моды W(t) в важном частном случае, когда tj = -2q/a пропорциональна exp(st).
Далее учтем, что при наличии в слое стратифицированной жидкости малой диссипативной силы постоянной по глубине, амплитуда т-и моды ВГВ затухает по закону ехр(-// г/2) [36], т. е. коэффициент затухания у такой волны прямо пропорционален коэффициенту трения ju и квадрату вертикального волнового числа ym=mnlH. Ранее отмечалось, что в важном частном случае, когда -2qla«\ и диссипация отсутствует, наиболее интенсивно параметрическое возбуждение возникает, если со близка к cojl. Поэтому решение уравнения (3.9) будем искать в виде Применяя метод усреднения, для амплитуды А и фазы в получим систему что позволяет ее легко проинтегрировать. При этом оказывается, что для є S2 существует решение А - exp(st), где s = yjs1 - S2. В этом можно убедиться простой подстановкой указанного решения в уравнение (3.2.9). Таким образом, амплитуда W(t) фиксированной вертикальной моды ВВ пропорциональна ехр( 0, а условие её экспоненциального роста имеет место в интервале расположенном в окрестности частоты coJ2. Ширина частотного интервала ц и такого же порядка, в этом интервале, значение показателя усиления колебаний s, при со„=2п:1\2(рад/ч), со, = 2л 124(рад I ч). Для средних широт такое значение частоты внутреннего волнения о может оказаться меньше частоты Кориолиса /, т. е. эта частота оказывается вне частотного интервала существования свободных ВВ: u)E(f,Nmax). Однако нетрудно сообразить, что параметрический резонанс должен иметь место при любом со - ncot 12, где п - целое число, в том числе и при п = 2. В этом случае со - со уже попадает в частотный интервал (3.2.4) Следуя [80] нетрудно доказать, что вторая зона параметрической неустойчивости будет определяться неравенствами Видно, что спектральная ширина этой зоны на порядок уже первой. Соответственно уменьшится скорость роста (s) амплитуд ВГВ на частоте a -cot. Выше было установлено, что при параметрическом резонансе амплитуда т -й моды растет по закону exp(.s(m)/). При наличии трения этот рост будет пропорционален expj s(m)-ріу2т /2Іп, а основная зона параметрической неустойчивости определяется неравенствами [80] Из (3.2.6) с учетом определения rj следует что рост амплитуды ВВ возможен не при сколь угодно малом N , а лишь начиная с определенного порогового значения Nt = Nc равного для первой зоны параметрической неустойчивости Соотношение (3.2.7) показывает, что чем выше номер моды, тем больше должна быть амплитуда приливных колебаний для того, чтобы эта мода начала параметрически возбуждаться, а при фиксированном значении амплитуды приливных колебаний в слое стратифицированной жидкости возможно возбуждение лишь конечного числа мод, равного
Вертикальная структура внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря
При исследовании внутренних волн (ВВ) в океане, включая изучение нелинейных ВВ его прибрежной зоны, широкое распространение получил модовый подход [9, 76, 77, 139]. Согласно этому подходу волновое поле задаётся в виде суперпозиции стоячих по вертикали ВВ, или нормальных мод. Например, поле вертикальных смещений С, в этом случае можно представить в виде: где ст - её собственные значения и без учёта вращения Земли имеют смысл скоростей распространения нормальных мод ВВ. Каждое из решений краевой задачи представляет амплитудную функцию нормальной моды, или просто «моду» ВВ [9]. Определение нормальных мод, с использованием натурных данных и дальнейший анализ волнового поля с их помощью представляется важной задачей исследования пространственно-временной структуры внутреннего волнения. В 2.1 был сформулирован алгоритм выделения Wm(z)- нормальных мод ВВ с использованием метода разложения вертикальных профилей вариаций некоторых гидрофизических параметров по эмпирическим ортогональным функциям (ЭОФ). Суть этого метода заключается в следующем.
В мелком море, охваченном внутренним волнением, ЭОФ - {y/t(z)} вариаций консервативного параметра q, градиент которого по вертикали повторяет профиль частоты плавучести, т.е и амплитудные функции нормальных мод {Wm{z)} связаны соотношением: В этом параграфе с использованием натурных данных 1986 года будут определены амплитудные функции первых трёх мод внутреннего волнения и проведено их сопоставление с ЭОФ, полученными в результате обработки этих данных, т.е. будет выполнена проверка соотношения (4.2.4). Далее будет выполнено сопоставление следствий, вытекающих из спектральной модели Манка [131] с натурными данными, обработанными с помощью сформулированной ранее (2.1) методики. В качестве консервативного измеряемого параметра q далее будет использоваться температура. Ее вариации где Г0 (z) - усреднённый по всем зондированиям профиль температуры, послужили исходным экспериментальным материалом для решения поставленной задачи. При этом предполагалось, что вариации 5Т вызваны, главным образом, случайным полем ВВ и определяются исключительно вертикальными смещениями слоев с различными значениями температуры относительно температурного датчика (свойство консервативности). В экспедиции 1986 г. на НИС "Борей" исследовалось поле ВВ на шельфе Японского моря. Для этого, в частности, с борта заякоренного судна выполнялись вертикальные зондирования температуры с частотой 0,5 (час 1) и разрешением по вертикали 1м зондом фирмы "Цуруми, Сейки и К0". Общее время зондирования составило 32 часа. Для определения солености выполне- гидрологическая станция с отбором проб батометрами со стандартных горизонтов. Глубина моря в точке наблюдения составила 120 м. На рис. 4.14 представлены записи температуры на горизонтах z= 43, -50 и - 57 метров, полученные во время экспедиции.
