Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Качество измерений: основные методы и подходы 25
1.1. Предмет метрологии. Качество измерений 25
1.2. Роль инвариантов в метрологии 28
1.3. Основные методы обработки данных при измерениях 35
1.4. Теоретико-групповые методы компенсации систематических погрешностей 41
1.5. Выводы к главе 1. Основные задачи исследования 44
Глава 2. Теоретико-групповой анализ теории шкал ...47
2.1. Элементы теории измерений 47
2.2. Разновидности количественного оценивания с точки зрения теории групп 55
2.2.1. Шкалы 55
2.2.2. Типы шкал и разновидности познавательных процедур 57
2.2.2.1. Неметрические шкалы 61
2.2.2.2. Метрические шкалы 66
2.2.3. Систематизация процедур формирования данных 75
2.3. Выводы к главе 2 78
Глава 3. Анализ симметрии размерностей физических величин 80
3.1. Общая теория размерностей 80
3.1.1. Введение 80
3.1.2. Размерные и безразмерные величины с точки зрения теории групп 82
3.1.3. Структура функциональных связей между физическими величинами 93
3.1.4. Параметры, определяющие класс явлений 99
3.2. Анализ симметрии размерностей на примере уравнения движения математического маятника 103
3.2.1. Определение функциональных связей путем сравнения размерностей 103
3.2.2. Метод вычисления операторов группы растяжений, допускаемой уравнениями математического маятника 109
3.3. Методы повышения качества измерений на примере точных весов 115
3.3.1. Точное взвешивание 115
3.3.2. Приложение анализа симметрии размерностей физических величин 119
3.3.2.1. Определение функциональных связей для рычажных самоуравновешивающихся весов 119
3.3.2.2. Вычисление операторов группы растяжений, допускаемой уравнением колебаний коромысла в рычажных весах 121
3.3.3. Проективная методика повышения точности измерения массы в условиях неопределенностей 123
3.4. Выводы к главе 3 127
Глава 4. Анализ и синтез измерительных преобразований в условиях неопределенностей 129
4.1. Теоретико-групповые свойства измерительных преобразований в условиях неопределенностей 129
4.2. Теоретико- групповое обоснование метода измерения параметров электродинамических сейсмоприемников 138
4.2.1. Метрологическое обеспечение сейсмоприемников 138
4.2.2. Основные параметры и характеристики электродинамических сейсмоприемников ускорений 141
4.2.3. Алгебра симметрии уравнения движения чувствительного элемента сейсмоприемника 148
4.3. Выводы к главе 4 157
Глава 5. Пространственные искажения изображений в томографии и роль теоретико-групповых методов в формировании шкал коррекции .. 159
5.1. Измерительные преобразования в томографии в условиях неопределенностей 159
5.1.1. Виды томографии. Показатели качества изображений в томографии 159
5.1.2. Информационный аспект томографии 163
5.1.3. Применение магнитно-резонансной аппаратуры при измерениях 167
5.1.4. Артефакты изображений в МРТ 169
5.2. Реконструкция MP-изображений с учетом неодиородностей полей 171
5.2.1. Реконструкция MP-изображений 171
5.2.2. Метод получения однородного поляризующего поля в рабочем объеме МРТ 175
5.2.3. Математический учет технических неодиородностей полей 176
5.2.4. Применение инвариантных аппроксимаций в томографии 179
5.3. Методы коррекции пространственных искажений, которые описываются групповыми преобразованиями 181
5.3.1. Преобразование изображений аффинной группой 183
5.3.2. Преобразование изображений проективной группой 184
5.3.3. Преобразование изображений импримитивпыми группами 185
5.3.4. Коррекция пространственных искажений с использованием реперных точек 186
5.3.4.1. Вычисление параметров аффинного преобразования 188
5.3.4.2. Вычисление параметров проективного преобразования 190
5.3.4.3. Коррекция нелинейных искажений. Вычисление параметров импримитивной группы № 19 191
5.4. Совмещение изображений, полученных различными томографическими методами 194
5.5. Выводы к главе 5 201
Заключение 202
Список литературы 205
Приложения 228
- Роль инвариантов в метрологии
- Разновидности количественного оценивания с точки зрения теории групп
- Анализ симметрии размерностей на примере уравнения движения математического маятника
- Теоретико- групповое обоснование метода измерения параметров электродинамических сейсмоприемников
Введение к работе
В настоящее время предъявляются новые требования к обеспечению качества продукции (машин, оборудования, приборов и т.д.), выпускаемой промышленными предприятиями. Прогресс в области вычислительной техники способствует реализации на промышленных предприятиях методов и средств обеспечения качества. Обеспечение качества продукции - важнейший инструмент в поддержании и укреплении конкурентоспособности. При этом следует повышать обеспечение качества изделия на всех этапах его жизненного цикла: проектирование, производство, контроль, хранение и эксплуатация. Решение этой задачи невозможно без выработки общих принципов и специальных методов изучения механизмов и процессов образования неопределенностей параметров изделий или их частей. Сюда же следует отнести и проблемы управления параметрами в технологических процессах. Эти задачи представляют собой основу теории точности, интегрированной в общую проблему качества. Ядром проблемы качества продукции на стадиях проектирования, изготовления и эксплуатации является теория точности.
В Международном стандарте [18] качество определено как "совокупность характеристик объекта, относящихся к его способности удовлетворять установленные и предполагаемые потребности".
Научно-технический прогресс в области приборостроения, а также развитие вычислительной техники и информационных технологий привели к повышению требований, предъявляемых к качеству измерительной информации. Это определило появление измерительных систем нового типа, структура которых
включает как измерительные, так и информационные подсистемы: измерительно-информационные системы (ИИС). Измерительная задача всегда является частью более общей задачи принятия решений. Это может быть метрологическая задача, например, поверка средств измерений. Или задачи, возникающие в прикладных исследованиях, таких как экология, медицина, торговля, экономика и др. Это и задачи контроля параметров окружающей среды, качества продукции, управления технологическими процессами, разработка сложных измерительно-информационных комплексов распознавания источников загрязнения, измерения при конфликтных ситуациях (арбитражные измерения) и др. Достаточно часто измерительная задача может быть выделена в самостоятельную обособленную задачу, и ее связь с более общей задачей проявляется лишь на постановочном этапе измерения, когда определяется объект исследования, измеряемая величина и требования к точности измерений. Однако в ряде случаев обособленное решение измерительной задачи невозможно в силу того, что требования к качеству измерений, а также критерии принятия решений зависят от значения измеряемой величины. Это требует комплексного подхода к оценке качества принимаемых решений.
Одна из характеристик качества измерения - точность результата. Требуемая точность определяется дальнейшим использованием результата измерения. Точность, согласно [19] -это "степень близости результата измерений к принятому опорному значению". Термин "точность", когда он относится к серии результатов измерений (испытаний), включает сочетание случайных составляю 11 тих и общей систематической погрешности. Общий термин "точность" используют в [19] в отношении двух терминов- "прецизионность" и "правильность".
Прецизионность является общим термином для выражения изменчивости повторяющихся измерений. Прецизионность, согласно [19] - это "степень близости друг к другу независимых результатов измерений, полученных в конкретных регламентируемых условиях". Прецизионность зависит только от случайных погрешностей и не имеет отношения к истинному или установленному значению измеряемой величины.
Правильность метода измерений имеет смысл в случаях, когда можно прямо или косвенно представить истинное значение измеряемой величины. Хотя для некоторых методов измерений истинное значение не может быть известно точно, существует возможность располагать принятым опорным значением измеряемой величины, например, когда имеются в распоряжении соответствующие стандартные образцы или когда принятое опорное значение может быть установлено посредством ссылки на другой метод измерений. При этом правильность того или иного метода измерений может быть исследована посредством сопоставления принятого опорного значения с уровнем результатов, полученных этим методом. Правильность обычно выражают в терминах систематической погрешности (смещения). Правильность, согласно [19] - это "степень близости среднего значения, полученного на основании большой серии результатов измерений (или результатов испытаний), к принятому опорному значению".
Термин "правильность" в отечественных нормативных документах до введения стандарта [19] не применялся. В рамках обеспечения единства измерений термин "правильность" - степень близости результата измерений к истинному
(действительному) значению измеряемой величины или в случае отсутствия эталона измеряемой величины - степень близости среднего значения, полученного па основании большой серии результатов измерений (или результатов испытаний), к принятому опорному значению.
На практике всегда присутствуют систематические погрешности, которые приводят к смещению результатов измерений. Это ухудшает правильность, а следовательно, точность и качество измерений, что в конечном итоге снижает качество продукции и качество принимаемых решений.
Повышение правильности - одна из наиболее сложных задач теории измерений. Этим вопросам посвящены многие исследования в нашей стране и за рубежом, в частности, необходимо отметить работы таких ученых, как Е.Ф. До-линский, Г.Д. Бурдун, Б.Н. Марков, К.П. Широков, К.А. Резник, В.А. Иванов.
В ряде работ В.А. Иванова [38, 39, 40] для описания, выявления и компенсации постоянных систематических погрешностей измерений предложено использовать аппарат теории групп преобразований.
Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы: анализ знаков неисправленных случайных погрешностей, графический метод, метод симметричных наблюдений, специальные статистические методы (способ последова 13 тельных разностей - критерий Аббе, дисперсионный анализ - критерий Фишера, критерий Вилкоксона).
Однако постоянные систематические погрешности не устраняются при многократных измерениях. Вероятностно-статистические методы не позволяют в большинстве случаев выявить постоянные систематические погрешности. Наличие постоянной систематической погрешности приводит к смещению истинного значения измеряемой физической величины. Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы: метод замещения, метод противопоставления, метод компенсации погрешности по знаку, метод рандомизации. Все эти методы являются методами исключения погрешностей в процессе измерения, т.е. экспериментальными методами, на которые оказывают влияние основные составляющие процесса измерения. Поэтому применение подобных экспериментальных методов устранения постоянных систематических погрешностей не всегда возможно.
Предлагаемые теоретико-групповые методы исключения постоянных составляющих систематических погрешностей свободны от влияния этих составляющих процесса измерения. Этот факт определяет актуальность и значимость данной диссертационной работы.
Методам компенсации систематических погрешностей измерения, или методам уменьшения влияния возмущающих воздействий на измерительные устройства, посвящено достаточно большое число исследований. Математическим выражением явления компенсации возмущений в настоящее время стал принцип инвариантности, введенный в теорию и практику автоматического регули 14 рования благодаря работам академиков М.Н. Лузина, B.C. Кулебакина, Б.Н.
Петрова, Л.10. Ишлинского, А.И. Кухтенко, Г.В. Щипанова, Г.М. Уланова, В.А. Якубовича. В теории автоматического управления под инвариантностью понимают компенсацию возмущений, т.е. достижение полной или частичной независимости координат рассматриваемой регулируемой системы (измерительного устройства, прибора) от действующего на нее возмущения.
Применение теоретико-групповых моделей и методов для анализа, учета и компенсации постоянных систематических погрешностей в результатах измерений является развитием исследований в области группового анализа сложных систем, использующих принцип инвариантности в измерительной технике. Подобные исследования охватывают широкий спектр современных прикладных задач моделирования и эксплуатации ИИС [29, 39, 40, 75, 105, 135, 171].
Появление ИИС требует создания единой методологической основы их исследования. Поскольку измерительные и информационные подсистемы составляют одну систему и взаимодействуют друг с другом, то существуют общие принципы их исследования. Одним из таких принципов является принцип симметрии.
Классическим считается следующее определение симметрии, принадлежащее Герману Вейлю [8]: "объект является симметричным, если после применения к нему определенной операции он остается таким же, как до операции". Такой объект считается инвариантом относительно данной операции, а сама операция называется операцией симметрии объекта. Симметрия является фундаментальным свойством объектов и процессов окружающего мира, которое отражается в их моделях. Симметрия проявляется как свойство инвариантности модели исследуемого объекта или системы относительно определенных преобразований, выполняемых в модели. Инвариантом может быть структура ИИС или числовая величина, например, значение критерия качества измерения.
Поэтому разработка методов исследования и применения свойств симметрии в ИИС представляет собой актуальную проблему, имеющую теоретическое и прикладное значение.
Основу методологии анализа и применения симметрии представляет теория групп. Несмотря на значительный арсенал теоретико-групповых методов, они не являются рабочим инструментом в задачах современной теории измерений, что объясняется высокой степенью их абстракции.
В связи с этим актуальными становятся прикладные исследования, призванные создать методы и алгоритмы применения теоретико-групповых методов к решению прикладных задач в ИИС. Это определяет актуальность и значимость предлагаемой диссертации, посвященной вопросам повышения качества ИИС на основе теоретико-группового анализа.
Целью диссертационной работы является разработка прикладной теории инвариантного анализа и синтеза ИИС с симметрией.
Достижение данной цели позволяет решить важную научно-техническую проблему исследования ИИС с единых теоретико-групповых позиций, включающих инвариантный анализ и синтез для решения задач повышения качества измерительной информации.
Задачи исследовании. Выполненный методологический анализ проблем применения принципа симметрии и проблем повышения качества измерений в ИИС позволяет сформулировать следующие основные задачи исследования:
1. Анализ проблемы и формальная постановка задач исследования симметрии в ИИС методами теории групп.
2. Разработка методов исследования и применения свойства симметрии в ИИС.
3. Классификация типов шкал измерений в зависимости от допустимых групп преобразований на основе теоретико-группового подхода к современной теории шкал.
4. Проведение теоретико-группового анализа симметрии размерностей физических величин в уравнениях движения для ряда задач механики.
5. Проведение теоретико-группового анализа и синтеза измерительных преобразований в условиях неопределенностей.
6. Выбор и обоснование математического аппарата для описания постоянных систематических погрешностей (задачи анализа).
7. Разработка новых способов повышения качества измерений с помощью выявления и компенсации постоянных систематических погрешностей.
8. Разработка методов инвариантных аппроксимаций измерительных систем (задачи синтеза).
9. Решение задач повышения качества изображений с помощью теоретико-групповых методов коррекции пространственных искажений изображений в томографии.
Таким образом, сформулирован методологический принцип данного исследования - принцип симметрии. Этим создано необходимое единство подхода к исследованию ИИС и решению сформулированных конкретных научно-технических задач, имеющих большое народно-хозяйственное значение.
Основные положении, защищаемые в диссертации, составляют методы инвариантного анализа и синтеза измерительных подсистем ИИС с симметриями, включающие в себя комплекс теоретических, методологических и алгоритмических решений:
- единый подход к исследованию свойств симметрии и применение его в задачах анализа и синтеза в измерительных подсистемах ИИС;
- теоретико-групповой подход к современной теории шкал и проведенная на его основе классификация типов шкал в зависимости от допустимых групп преобразований;
- метод вычисления операторов группы растяжений с помощью сравнения размерностей, позволяющий найти допускаемые моделями операторы алгебры симметрии;
- разработка методов теоретико-группового анализа и синтеза ИИС в условиях неопределенностей, позволяющих повысить качество измерительной информации; - разработка теоретико-групповых методов коррекции пространственных искажений изображений (на примере томографии).
Методы исследования. Основные результаты работы получены с применением методов теории непрерывных групп преобразований и теории инвариантов. Также в диссертационной работе использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, методы подобия и размерностей, методы обработки экспериментальных данных, методы коррекции пространственных искажений.
Научная новизна работы состоит в разработке элементов теории инвариантного анализа и синтеза измерительных подсистем ИИС с симметрией. В работе получены следующие новые научные результаты:
- выполнен анализ проблемы и поставлены задачи исследования симметрии в измерительных подсистемах ИИС методами теории групп;
- предложены и обоснованы направления применения теории инвариантов в метрологии;
- разработан теоретико-групповой подход к современной теории шкал и на его основе проведена классификация типов шкал в зависимости от допустимых групп преобразований;
- разработан метод вычисления операторов группы растяжений с помощью сравнения размерностей, позволяющий найти допускаемые уравнениями измерительных преобразований операторы группы растяжений; проведено сравнение полученных операторов группы растяжений с известными результатами, найденными классическими методами; - разработан теоретико-групповой метод повышения качества измерений с помощью выявления и компенсации постоянных систематических погрешностей;
- разработаны новые теоретико-групповые методы коррекции пространственных искажений томографических изображений, обусловленных наличием артефактов различной природы.
Совокупность представленных в работе результатов может рассматриваться как фундаментальные основы инженерных наук, касающиеся теории и эффективности функционирования измерительных систем. Внедрение технических решений, принятых на основании исследований, проведенных в диссертационной работе, вносит значительный вклад в ускорение научно-технического прогресса.
Достоверность научных результатов, полученных в работе, обеспечивается строгостью постановки задач и применяемых математических методов, а так же сравнением, где это возможно, с экспериментальными данными и известными результатами. Обработка экспериментальных данных проводилась на базе кафедры измерительных технологий и компьютерной томографии СПбГУ ИТМО, в Лаборатории эталонов силы и массы ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева" и в Лаборатории сейсмоприемников ФГУ НПП "Геологоразведка". Томографические изображения были получены на кафедре рентгенологии Санкт-Петербургской медицинской академии последипломного образования (СПб МАПО) на магнитно-резонансном томографе "Signa Infinity" 1,5 Тл ("General Electric", США) и на рентгеновском компьютерном томографе LightSpeed Plus ("General Electric", США), а также в Лаборатории позитронно 20 эмиссионной томографии в Санкт-Петербургском институте мозга человека РАН (СПб ИМЧ РАН) на ПЭТ томографе PC 2048-15В ("Scanditronix", Швеция).
Практическая ценность результатов работы заключается в универсальности метода инвариантного анализа и синтеза, применение которого возможно как в измерительных и динамических, так и в информационных подсистемах ИИС. Разработанные методы компенсации постоянных систематических погрешностей могут быть эффективно применены для широкого класса технических объектов, функционирующих в условиях неопределенных внешних возмущений. Применение предложенных методов позволяет существенно повысить точность, а следовательно, и качество измерений.
Реализация результатов. Разработанный теоретико-групповой метод повышения качества измерений был внедрен в ФГУ НПП "Геологоразведка" при создании метода определения параметров электродинамических сейсмоприем-ников ускорений, степень затухания сигналов которых выше критической. Результаты работы были использованы при разработке измерительного комплекса для поверки сейсмоприемников СВУ-1.
Результаты диссертационной работы были внедрены в ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева" при создании новых теоретико-групповых подходов к повышению качества измерений. Предложены новые решения при разработке методик выполнения измерений массы объектов в условиях изменяющихся внешних влияющих факторов. Предложен метод построения полной системы инвариантов измерительной системы на примере математической модели точных весов. Разработаны новые теоретико-групповые методы коррекции пространственных искажений изображений в томографии, позволяющие повысить качество при совмещении различных томографических изображений. Разработанные методы прошли апробацию и были внедрены на магнитно-резонансном томографе (СПб МАПО).
Опубликованные результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете точной механики и технологий СПбГУ ИТМО. Материалы были использованы при чтении лекций и проведении лабораторных работ по дисциплинам ЕН.Ф.06 "Физические основы получения информации", ОПД.Ф.05 "Метрология, стандартизация и сертификация", СД.Ф.02 "Теория измерений", ЕН.В.02 "Математические основы синтеза измерительных систем", а также в учебных пособиях [14, 15], получивших гриф "Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения в качестве учебного издания для студентов высших учебных заведений".
Практическое использование результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими документами.
Работа получила развитие и поддержку Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-08-65468а как работа в области фундаментальных основ инженерных наук.
Международной программой образования в области точных наук (ISSEP) автор работы признан лауреатом конкурсов "Доцент-2003" и "Доцент-2004". Апробации работы. Основные положения диссертации докладывались, обсуждались и получили положительную оценку более чем на 10 Международных конференциях.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 60 печатных работ, в том числе одна монография.
Структура н объем работы. Диссертационная работа изложена на 227 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (188 наименований), а также включает пять приложений на 112 страницах.
В первой главе выполнен анализ состояния исследований по проблеме диссертации. Рассматриваются основные методы и подходы к проблеме повышения качества измерений, систематизирована роль теории инвариантов в метрологии, представлены теоретико-групповые методы компенсации систематических погрешностей и на содержательном уровне сформулированы задачи исследования.
Во второй главе рассмотрен теоретико-групповой анализ теории шкал. Проведена классификация количественного оценивания с точки зрения теории групп, а также на основе теоретико-группового подхода к современной теории шкал представлена классификация типов шкал в зависимости от допустимых групп преобразований.
В третьей главе проведен анализ симметрии размерностей физических величин. Показано, что с помощью анализа симметрии размерностей физических величин можно определить функциональные связи между этими величинами. Результаты общей теории размерностей могут быть получены как результаты теории групп растяжений. Важным следствием этого вывода является то, что величина является безразмерной, если ее числовое значение \Х\ есть инвариант соответствующей группы растяжений. Этот факт представляет особый интерес для приборостроения. Источник полезных приложений метода теории размерности к исследованию механических задач заключается в том, что всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Рассмотрено обратное влияние теории размерностей на задачи группового анализа. Представлен разработанный метод вычисления операторов группы растяжений с помощью сравнения размерностей, позволяющий найти допускаемые дифференциальными уравнениями операторы алгебры симметрии группы растяжений. Методы повышения качества измерений проиллюстрированы на примере точных весов. С помощью разработанного метода, найдены операторы группы растяжений, допускаемые уравнением колебаний коромысла в точных рычажных весах. Построена полная система инвариантов математической модели точных весов с автоматическим уравновешиванием. Предложена и внедрена проективная методика повышения точности измерения массы в условиях неопределенностей.
В четвертой главе приведены разработанные в диссертации методы анализа и синтеза измерительных преобразований в условиях неопределенностей. Показано, что теория непрерывных групповых преобразований является адекватным математическим аппаратом для выявления и компенсации постоянных систематических погрешностей. Найдена алгебра симметрии уравнения движения чув 24 ствительного элемента сейсмоприемника ускорений. Показано, что уравнение движения ЧЭ сейсмоприемника будет инвариантно по отношению к преобразованиям группы трансляций, группы растяжений и группы Галилея. Разработан теоретико-групповой метод определения параметров электродинамических сейсмоприемников ускорений с высокой степенью затухания, в котором в качестве эталона используется вибростенд с нужными параметрами.
В пятой главе приведены разработанные методы коррекции пространственных искажений изображений в томографии, обусловленные наличием различных артефактов. Приведены результаты применения теоретико-групповых методов при совмещении изображений, полученных различными томографическими способами.
Таким образом, в данной работе решена научная проблема создания теоретического, методологического и алгоритмического подхода к исследованию измерительных систем. Как следует из результатов работы, такой подход может быть построен на основе принципа симметрии. В силу универсальности свойств симметрии, построенные в работе методы теоретико-группового анализа и синтеза, охватывают широкий спектр современных прикладных задач моделирования и эксплуатации ИИС.
Роль инвариантов в метрологии
В работах [38, 39, 40, 47, 53, 123, 124] в качестве одного из элементов математического фундамента метрологии было предложено использовать классическую теорию инвариантов. Понятие инвариантности отражает наиболее фундаментальные свойства изучаемых объектов и явлений. В частности, один из общих методологических рецептов теории инвариантности гласит, что решение прикладных задач следует начинать с отыскания полной системы инвариантов и установления связей между ними [78, 135, 151].
Применение теории инвариантов в прикладных науках обеспечивает необходимый уровень строгости и адекватности при построении математических моделей, их корректный анализ и эффективную вычислительную реализацию. Поскольку инварианты представляют собой важные характеристики системы, отражающие ее самые существенные свойства, то исследование любой системы, с какой бы целью оно не проводилось (метрологический анализ, моделирование, управление, диагностирование), следует начинать с отыскания ее инвариантов. В этом смысле теория любого явления сводится к описанию его инвариантов и связей между ними.
Применительно к метрологическим проблемам теория инвариантов может оказать помощь при выборе измеряемых параметров объекта, анализе их взаимосвязи и информативности, оценке точности полученного результата, при описании и систематизации различных метрологических методов. При этом ключом к успешному применению теории инвариантов служит знание полных наборов инвариантов в конкретной прикладной области. Задача отыскания и описания таких наборов отнюдь не тривиальна и требует глубокого изучения исследуемого класса объектов.
Рассмотрим структуру стандартного метрологического эксперимента. Кратко охарактеризуем основные этапы эксперимента, представленные на рис. 1.2. Этапы 1 и 2 связаны с указанием объекта и цели исследований. При этом речьможет идти как о природных или искусственных объектах, явлениях и процессах (определение массы Солнца, измерение скорости света), так и о технических устройствах (измерение токов и напряжений в электрической схеме, определение скорости судна).
Целью метрологического эксперимента может быть получение количественной информации о характеристиках (параметрах) исследуемого объекта либо определение его класса, а также обеспечение единства и требуемой точности измерений. Если исследуемым объектом является средство измерений, цель метрологического эксперимент - определение его нормированных метрологических характеристик.
На этапах 3 и 4 осуществляется построение метрологической модели объекта, отражающей цель исследований, а также производится выбор параметров, подлежащих экспериментальному определению. Метрологическая модель - это математическая модель объекта, процесса и условий измерений, учитывающая возможные источники погрешностей (модель объекта плюс модель погрешностей). При этом реальные погрешности обычно отражаются в модель опосредованно в виде дополнительных входных сигналов или в виде изменения некоторых параметров, например коэффициентов в уравнениях.
Модель должна включать в себя в явном виде метрологические параметры: во-первых, характеристики и параметры объекта, определяемые целью исследований (косвенные измерения), и, во-вторых, параметры, подлежащие прямому экспериментальному измерению (прямые измерения). Эти параметры называются косвенными и прямыми измерениями.
Выбор совокупности непосредственно измеряемых метрологических параметров представляет собой ответственный этап, от которого во многом зависят качество, точность и эффективность всего эксперимента. Требования к измеряемым параметрам можно сформулировать, следуя работе [124], в виде принципа "трех И" - измеримость, информативность, инвариантность.
Измеримость параметра означает, что он должен допускать возможность непосредственного измерения с помощью соответствующего датчика (скорости, температуры, давления и т.п.) Информативность параметра заключается в том, что он должен нести существенную информацию об исследуемых свойствах объекта и допускать возможность количественного определения их характеристик. Инвариантность параметра означает, что он должен иметь малую (в идеале - нулевую) чувствительность к шумам и другим мешающим воздействиям. Например, при измерении температуры воздуха, показания датчика температуры должны быть инвариантны по отношению к изменению атмосферного давления и влажности воздуха.
Однако одновременное выполнение на практике этих требований не всегда возможно. Это можно пояснить с помощью следующей диаграммы (рис. 1.3), на которой выделены множества измеримых, информативных и инвариантных параметров объекта. Множество параметровИзмеримые параметрыИнформативные параметрыИнвариантные параметрыРис. 1.3. Взаимосвязь свойств измеряемых параметров
Если пересечение этих трех множеств не пусто, то их общая часть содержит параметры, удовлетворяющие принципу "трех И", и именно их нужно использовать в метрологическом эксперименте. В противном случае приходится удовлетворять, в первую очередь, требованию измеримости, а в отношении двух других требований идти на разумный компромисс.
Однако если при выборе непосредственно измеряемых метрологических параметров удастся найти отношение некоторых параметров, которое будет инвариантным к измерительному преобразованию (к факторам, влияющим на эти параметры), то тогда мы сможем провести коррекцию модели или аппроксимировать метрологическую модель объекта моделью, инвариантной к некоторым измерительным процедурам - этапы 5 и 6.
Разновидности количественного оценивания с точки зрения теории групп
Формально нее вышесказанное можно представить введением трех связанных систем:- эмпирической системы с отношениями (совокупность объектов, их свойств и отношений);- абстрактной системы с отношениями (совокупность оценок и правил их образования);- систему правил соотнесения эмпирической и абстрактной систем (совокупность правил и процедур оценивания).
Задача количественного оценивания ограничивает совокупность абстрактных систем числовыми системами. Достоинства числовых систем - богатая структура отношений между их элементами. Два числа могут быть равны или не равны, одно число может быть больше другого, может быть делителем другого - это примеры отношений между двумя элементами (бинарных отношений). Одно число может быть суммой или произведением двух других - это тоже отношения, но уже между тремя элементами (трехчленные или тернарные отношения). Числовая пропорция - пример четырехчленного отношения. Система действительных чисел, как известно, изоморфна системе точек на прямой, а система комплексных чисел - системе точек на плоскости. Все это обеспечивает числовым системам большие возможности в качестве абстрактных систем для формирования данных. Используя числа в качестве абстрактных объектов при формировании данных, мы фактически устанавливаем сложные отношения между теми реальными объектами, данные о которых формируем, и теми объектами, отношения которых были ранее обобщены как отношения чисел.
Таким образом, ставится задача: поставить в соответствие системе объектов, рассматриваемых в определенном аспекте, систему чисел так, чтобы каждый новый объект, данные о котором нужно иметь, получал в качестве компонента этих данных некоторое число. Можно ставить и обратную задачу: по данному числу найти или построить, если это возможно, хотя бы один объект, которому это число соответствует.
Совокупность правил, позволяющих выполнить такое сопоставление или установить гомоморфизм эмпирической системы отношений в числовую систему отношений, называется шкалой.
Следовательно, задача количественного оценивания, ограничивающая совокупность абстрактных систем числовыми системами, позволяет рассмотренные
выше три взаимосвязанные системы свести к шкале. Согласно более строгому определению шкалы, данному в [120], шкала определяется как упорядоченная тройка, первым членом которой является эмпирическая система с отношениями, вторым - числовая система с отношениями, третьим - функция, гомоморфно отображающая первую систему во вторую (точнее, в ее подсистему).
Шкала измерений количественного свойства является шкалой физической величины. Шкала физической величины представляет собой упорядоченную совокупность значений этой величины, принятую по соглашению на основании результатов точных измерений [120].
Современная теория шкал называется также репрезентационной теорией измерений (от англ. represent - представлять, поскольку изучается представление свойств объектов числами) или теорией измерений [72, 156, 173]. Эти названия дезориентируют, так как теория выходит за рамки собственно измерений. В ряде работ предлагается называть ее теорией обобщенных измерений [155, 170]. Основные работы по теории обобщенных измерений написаны специалистами в области математической психологии, однако все чаще встречаются попытки изложения теории обобщенных измерений с технических позиций [22, 72, 73]. При соответствующем подходе теория обобщенных измерений может действительно стать теоретическим фундаментом измерительной техники.
В теории обобщенных измерений различают несколько типов шкал в зависимости от того, насколько богатые отношения между эмпирическими объек тами должны отражаться данными. Таким образом, с эмпирической точки зрения типы шкал характеризуются теми наборами отношений в эмпирических системах, которые должны воспроизводиться отношениями в числовой системе.
С математической точки зрения удобнее характеризовать шкалы иначе -группами допустимых преобразований числовой системы, так как в различных типах шкал одна и та же числовая система должна передавать различные наборы эмпирических отношений. Трудно «заставить» числа не иметь какие-либо из присущих им отношений. Вместо этого конструируется такая группа преобразований числовой системы, чтобы ненужные отношения между числами не сохранялись при всевозможных допустимых преобразованиях. Эта группа и характеризует тип шкал. Поэтому в теории обобщенных измерений числовая система всегда выступает как представитель всей, иногда бесконечной, совокупности систем, получаемых друг из друга допустимыми преобразованиями [73]. Различные типы шкал были рассмотрены в следующих работах [22, 71, 73, 144, 173]. В монографии автора диссертации [105] была проведена классификация типов шкал с точки зрения допустимых в шкале групп преобразований.
Особенности рассмотренных далее шкал представлены в табл. 2.2, которая отличается от соответствующей таблицы, приведенной в [22] тем, что, во-первых, дополнительно проведена классификация информации, содержащейся в результатах измерений различного типа, а во-вторых, проведена классификация принадлежности типа шкалы группе преобразований.
Наиболее мягкой, или слабой, шкалой является номинальная (от лат. потеп - имя, название) шкала, в которой объекту или классу объектов присваивается номер, служащий в качестве условного наименования (результатом измерения может быть численное значение, название или символ).
Номинальная шкала, применяемая для индивидуальных объектов, называется еще шкалой наименований. Условные номера в качестве имен присваиваются по следующему правилу: нельзя присваивать одно имя двум разным объектам.
Примером номинального измерения в технических науках служит целый класс измерений, осуществляемых системами обнаружения. Эти системы конструируются так, чтобы результат их действия был двоичным. Системы пожарной сигнализации вырабатывают сигнал "пожара нет", когда температура ниже определенного значения, и сигнал "пожар", когда температура превышает это значение. В этом случае отношение в эмпирической системе для номинального измерения - тождество. Конечно, температуру можно измерить количественно. Эмпирические соотношения между отдельными значениями температуры — это много больше того, что может быть выражено результатом номинального измерения. Номинальное измерение выбрано из соображений экономии: оно проще и дешевле. Защитная сигнализация и система датчиков дыма также являются системами обнаружения, выполняющими номинальные измерения: результаты представляют собой образы взаимоисключающих событий. Номинальное измерение не может указать, какое из событий или явлений больше или меньше. Все,
Анализ симметрии размерностей на примере уравнения движения математического маятника
Рассмотрим классический пример о движении математического маятника. Это типичная задача, для которой применение анализа размерностей дает хорошие результаты.
Математический маятник (рис. 3.1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, конец которой закреплён неподвижно. Совокупность возможных движений ограничим условием, что движения маятника плоские. 104 Введем следующие обозначения: / -длина маятника, ф - угол между нитьюи вертикалью, t - время, т- масса груза и N - натяжение нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению уравненийт.е. за начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклоненна угол ф0, а скорость равна нулю.
Из уравнений (3.8), (3.9) и начальных условий, очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему:
Числовые значения всех остальных величин определяются полностью значениями этих параметров. Следовательно, можно записатьгде ф и ./V - безразмерные функции.Числовые значения функций ф и 7V не должны зависеть от системы единиц измерения. Вид этих функций можно определить либо решая уравнения (3.8), (3.9), либо с помощью эксперимента.
Итак, мы имеем пять аргументов функций ф и N, т.е. пять определяющихвеличин т, I, t, g, ф0. Соответствующая система независимых величин (их комбинация не является безразмерной) состоит из размерностей массы, длины и времени т, I, t (основные механические единицы измерения). Согласно П-теореме из этих величин можно составить два (5-3=2) независимых комплекса, представляющих собой безразмерные комбинации, составленные из т, /, t, g, ф0.
Следовательно, из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять аргументов функций ф и N можно свести только к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации.
Проанализируем список определяющих величин. В системе СИ они имеют следующие размерности [122]:безразмерной, следовательно, представляет собой безразмерный комплекс и является одним из аргументов функций ф и N. Заметим, что лишь в одну из пяти величин входит масса, поэтому масса не может входить в соответствующий безразмерный комплекс, так как масса не сокращается при комбинации с другими параметрами. Следовательно, во второй безразмерный комплекс будут входить три величины, из которых можно составить безразмерную комбинацию: I, t, g. Единственно возможным видом связи между /, /, g является алгебраическая функция. Запишем нашу задачу в виде (3.5)
Будем искать функцию / в следующем виде:безразмерный коэффициент пропорциональности, а Х\ %2 %3 неизвестные показатели степени. Приравняем размерности левой и правой частей этого уравнения:
Исходя из этого выражения, получим следующие уравнения для показателей степени:СоответственноСледовательно, можно записать безразмерную комбинациюсоставить две независимые безразмерные комбинацииВсе другие безразмерные комбинации, составленные из т, I, t, g, ф0 или вообще из любых величин, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (3.12). Резюмируя, можно записать
Формулы (3.13), полученные с помощью метода сравнения размерностей, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти выводы вытекают также непосредст венно из уравнений (3.8) и (3.9). Величину t ..\— можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.
Если через Т обозначить какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т.е. период колебания, то тогда имеемтого, согласно (3.11) период можно записать
Из вышесказанного следует, что функция /2 должна представлять собой безразмерную величину, а так как из т, /, g нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция /2 не зависит от т, I, g. Следовательно,
Эта формула устанавливает зависимость времени Т от длины маятника. Получить вид функции /2(Фо) с помощью теории размерности нельзя. Определение /г(Фо) можно провести либо теоретически, на основании уравнения (3.8), либо экспериментально.
Из соображений симметрии очевидно, что период Т не зависит от знака ф0,т.е. /2(Фо) = Л( Фо)- Следовательно, функция /2 является четной функцией аргумента ф0. Предполагая, что при малых ф0 функция /2(Фо) регулярна, можно написать. Для малых колебаний члены со степенями ф0 и выше можно отбросить, и для периода получаем формулу
Решение уравнения (3.8) показывает, что С, =2л. Таким образом для малыхколебаний маятника с помощью теории размерностей можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.формул (3.13) и (3.14) вытекает из единственного условия, что состояние движения определяется параметрами
Для установления этой системы определяющих величин мы использовали уравнения движения, но эти величины можно указать и, не прибегая к уравнениям движения. Для характеристики маятника нужно указать т, I. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо указать (р0 и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения ф0 и рассматриваемым моментом времени t.
Теоретико- групповое обоснование метода измерения параметров электродинамических сейсмоприемников
Усложнившиеся в последние годы задачи геологического изучения недр и бурное развитие вычислительной техники обусловили качественные изменения технических параметров СИ, применяемых в сейсморазведке. Высокое качество первичных сейсмических результатов в системах наблюдений, предусматривающих накопление данных, обеспечивается повторяемостью регистрации полезного сигнала на фоне помех, которые могут быть соизмеримы с полезным сигналом или превышать его [27].
Требование повторяемости регистрации сигналов с необходимой точностью, а также единства получаемых результатов делает необходимым осуществление метрологического обеспечения сейсмического канала, без которого сегодня немыслимо дальнейшее развитие сейсморазведки [27, 152,
Осуществление метрологического обеспечения сейсморазведочной аппаратуры до последнего времени в значительной степени сдерживалось тем, что эта аппаратура не относилась к средствам измерений, а считалась средством регистрации, не отмеченным государственным или отраслевым стандартом.
Концепция сейсмического канала как единой измерительной системы была изложена в работе [27, 74]. Как было отмечено в работе [27], контроль качества получаемых результатов, обеспечивающий необходимую геологическую информативность сейсмических временных разрезов, достигается путем проведения периодических поверок и калибровок канала (или его звеньев) с помощью специального эталонного оборудования, в процессе которых подтверждаются значения основных технических параметров, определяющих погрешность проводимых измерений.
Поэтому в настоящее время особенно актуальными стали вопросы создания поверочных схем и эталонов, предназначенных для сейсморазведочной аппаратуры.
Сформулируем основные положения, которые обязательно должны быть учтены согласно работе [153] при разработке поверочной схемы.1. Измеряемая физическая величина - сейсмические колебания (сейсмо-колебания): сейсмосмещение, сейсмоскорость, сейсмоускорение. Сейсмо-колебания должны рассматриваться и в горизонтальной, и в вертикальной плоскостях. 2. Сейсмоколебания, приходящие на вход сейсмоприемника, и электрический сигнал на его выходе математически описываются как комплексная величина, характеризующаяся значениями модуля и фазы. В этом состоит отличие сейсмоприемников от виброметров, для которых достаточно регламентировать только амплитудные характеристики.3. В число регламентируемых погрешностей необходимо включать фазовые погрешности и нелинейные искажения.
Таким образом, перечень погрешностей должен включать следующие составляющие:- случайные погрешности: фазовые и амплитудные;- систематические погрешности: фазовые, характеризующие отклонения фазо-частотной характеристики (ФЧХ) от номинальной, и амплитудные, которые в свою очередь включают, во-первых, погрешности, вызванные отклонением линеаризованного коэффициента преобразования от номинального, и, во-вторых, нелинейные искажения, определяемые зависимостью фактического коэффициента преобразования от входного сигнала.4. Эталон, стоящий во главе поверочной схемы, и рабочие эталоныдолжны иметь малые нелинейные искажения и известные фазовые характеристики.
В настоящее время при проведении сейсморазведочных работ наиболее широко применяются сейсмоприемники с выходным сигналом, пропорциональным первой производной перемещений поверхности и со степенью затухания менее единицы [154]. Для электродинамических сейсмоприемников скорости со степенью затухания менее единицы существующие методики фактически сводятся к исследованию переходной характеристики сейсмо-приемника, представляющей собой затухающую синусоиду [154].
Повышение разрешающей способности сейсморазведки потребовало создания новых конструкций первичных преобразователей, обеспечивающих в широком диапазоне частот линейность амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Это может быть достигнуто при пропорциональности выходных сигналов второй производной перемещений поверхности исследуемой среды [140]. В подобных электродинамических сейсмоприемниках ускорений пропорциональность выходного сигнала второй производной входного перемещения достигается за счет высокой степени затухания, превышающей критическое значение. В сейсмоприемнике со степенью затухания в несколько единиц выходной сигнал становится пропорциональным ускорению перемещения корпуса в частотном диапазоне, тем более широком, чем больше степень затухания [140].
Дифференциальное уравнение движения подвижной части механического сейсмоприемника согласно [147]: где х - смещение подвижной системы или чувствительного элемента (ЧЭ) от посительно корпуса; х -— и х" = —- - скорость смещения ЧЭ и его уско репие; (З - степень затухания сигнала, 2р = h/m имеет смысл удвоенной степени затухания; со0 - круговая частота собственных колебаний ЧЭ,
